07 粘性流体动力学基础

第七章 粘性流体动力学基础

第一节 粘性流体运动的基本方程

采用流体力学微元体平衡分析方法可以推导出粘性流体运动的基本方程组，该方法可参考本书的第二章和第三章。本节将直接由两大守恒定律（质量守恒定律和动量守恒定律）来建立控制流体运动的基本方程组。首先需要给出空间某点物理量的随体时间导数表达式、雷诺输运方程以及本构关系。

一、随体导数

描述流体运动规律有拉格朗日和欧拉两种基本方法。拉格朗日法着眼于确定的流体质点，观察它的位置随时间的变化规律。欧拉法着眼于从空间坐标去研究流体流动，它的描述对象是流场。随体导数的物理意义是：将流体质点物理量q 的拉格朗日变化率以欧拉导数的形式表示出来。随体时间导数的数学表达式为：

()q V t q dt dq ∇⋅+= ∂∂ (7-1)

式中右边第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成的变化率，叫做当地导数。第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引起的变化率。这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。

二、雷诺输运方程

雷诺输运方程描述了积分形式的拉格朗日法和欧拉法的时间导数的变换关系。设封闭系统在t 时刻占有体积()t Ω，如图7-1所示。其中关于物理量q 的总量的随体时间导数有

图7-1 封闭系统输运示意图

()()()

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+Ω=ΩΩΩt S t t dS n V q d t q d q dt d ∂∂ (7-2) 其中()t S 为封闭体积的曲面，n 为曲面的法向向量。上式表明：封闭系统中，某物理量总和

的随体导数等于该瞬间与该系统重合的控制域中该物理量总和的当地时间导数（非定常效应）和通过控制面流出的该物理量的流量（对流效应）之和，此即为流体的雷诺输运方程。用广义的高斯公式将面积分转换成体积分，上式也可以写成

()()()Ω∂∂ΩΩΩd V q t q d q dt d t t ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+= (7-3)

三、连续方程

连续性方程反映了流体在运动过程中必须满足质量守恒定律。其中拉格朗日法的研究对象是流体中一个确定质量的流体物质团（称为封闭系统），随着流体的运动，封闭系统的表面的位置会不断随时间而变化，但没有流体穿过它的边界。质量守恒定律可表述为：封闭系统内流体的质量在流体运动的过程中不发生变化。而欧拉法的研究对象则是流场空间中一个固定的区域（称为控制域），控制域表面的位置不随时间而变化，由于流体的运动，控制域的表面通常会有流体通过。质量守恒定律可表述为：控制域内流体质量随时间的增加与流体经控制体表面流入的质量相等。

在式(7-3)中令ρ=q ，可得连续方程

()()0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+⎰⎰⎰Ωρ∂∂ρΩd V t t (7-4)

考虑到积分体积的任意性并假定被积函数连续，上式可以写成

()∂ρ∂ρt V +∇⋅= 0 (7-5)

这是基于欧拉观点的微分形式的连续方程。它表明控制体中流体质量在单位时间内的增加来自流体质量经控制体表面的流入速率。将随体时间导数表达式代入上式，便得到基于拉格朗日观点的微分形式的连续方程。

10ρρd dt

V +∇⋅= (7-6) 对于不可压缩流动，恒有d dt ρ/=0成立，此时连续方程简化为 ∇⋅= V 0 (7-7)

连续方程仅反映了流体的运动学特性，与流体的本构关系无关。动量方程反映了流体的动力学特性，因此需要先介绍本构方程。

四、 本构方程

本构方程反应了应力和应变率之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。真实流体的力学性质是很复杂的，不同种类的流体可能表现出完全不同的力学特性，即便是同一种流体在不同的外部条件下，比如温度不同时，力学特性也会有很大的差异。因此要建立一个普适的本构方程几乎是不可能的。Stokes 提出了适用于牛顿流体的如下三条假设：

（1）流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向无关，只是坐标位置的函数；

（2）应力张量ij σ是应变率张量ij e 的线性函数，与旋度无关。

（3）静止流体中，切应力为零，正应力的值为流体的静压。

根据以上假设，考虑到应力张量和应变率张量的对称性，由张量理论便可以推导出应力和应变率间的关系如下：

ij ij kk ij ij e e p μδλδσ2++-= (7-8)

其中μ为动力粘性系数，λ为第二粘度。静压p 是一个热力学状态参数()p p T =ρ,。在热力学平衡态下，它总是等于三个相互垂直方向上正应力的平均值(力学压强)。在流体力学研究的问题中，有相当一部分是接近平衡态的非平衡体系，这时p 与一点处的平均压强p 是有一定的差别的。将上式的下标缩并后两边除以-3后得到

p p e p e kk kk B kk =-=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-1323σλμμ (7-9)

图7-2 应力张量示意图

其中

μλμB =+2

3 (7-10)

称为体积粘性系数。这表明热力学平衡压强或静水压强p 与力学压强p 相差kk B e μ。式（7-8）也可写成：

()⎪⎭⎫ ⎝⎛

-++-=ij kk ij ij kk B ij e e e p δμδμσ312 (7-11) 对于单原子气体p ＝p ，μB ＝0。对于多原子牛顿流体，根据Stokes 假设，通常满足体积粘性系数μB 为零的条件，不必区分力学压强p 与热力学压强p ，本构方程简化为

⎪⎭⎫ ⎝⎛

-+-=ij kk ij ij ij e e p δμδσ312 (7-12)

其中只含有动力粘性系数，该本构关系样适用于静止流体、理想流体（σδij ij p =-）。

五、动量方程

动量方程在物理上反映了流体在流动过程中满足的动量守恒定律。基于拉格朗日观点，动量守恒定律可叙述为：封闭系统内流体动量随时间的变化率等于作用在该系统上所有外力之和。其数学表达式可以写成

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=S dS n d f d V dt d σΩρΩρΩΩ (7-13)

在雷诺输运方程中（7-3）式中，令V q ρ=并代入上式，可得到基于欧拉观点的积分形

式的动量方程

()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇+S dS n d f d V V V t σΩρΩρρ∂∂ΩΩ (7-14)

利用广义高斯公式将上式中的面积分项改写成体积分，考虑到积分体积的任意性并假定被积函数连续，则有

()∂ρ∂ρρσ() V t VV f +∇⋅=+∇⋅ (7-15)

这是基于欧拉观点的微分形式的动量方程。以连续方程（7-5）代入上式，得到动量方程的另一种常见的形式

()∂∂ρσ V t V V f +⋅∇=+∇⋅1 (7-16)