数列型不等式的放缩技巧九法

1
盯
1
2?2
(x
(02年全国联赛山东预赛题)
0)
f (1)
f(n)
例3求证c：c2简析不等式左边c1
C
Cn
n 1
2
C
C
11
-(1 -
42
n 1
2v(n
C；2n
丄)
2
2门1
(1宀)
2 2
1
2.
1, n
N).
2 2
2
nv12 222n1=n
2•利用有用结论
例4求证(1 1)(1!)(1丄)
35
故原结论成立.
1.
(1) 2n 1.
2n 1
简析 本题可以利用的有用结论主要有：
1利用假分数的一个性质b
a
2n1
2n
6
5
2n
2n
4 6
3 5
3
2
2n
b m
(b
a m
13
24
a 0,m0)可得
2n 1)2
2n
1
1)(1
法2利用贝努利不等式
(1 x)
2n1
(2n
2n
11
3)(1 7)(1
35
nx(n N , n
1)
2n 1
1)33n 1.(可考虑用贝努利不等式n3的特例)
3n2
3x(n 1)xa nx
,0 a 1,给疋n N ,n 2. n
证明(1 1)(1扌)(1》
1 2
已知函数f (x) Ig
(1
求证：
f (2x) 2f (x)(x0)对任意n N且n 2恒成立。(90年全国卷压轴题)
简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西(Cauchy)
2.71828-) (05年辽宁卷第
(II )结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1
x)
x(x 0)的结构特征，可
得放缩思路:
an 1
(1
鳥)an
ln an 1
ln(1
ln an
lnan 1
ln an
n 1
(ln ai
i 1
ln ai)
(i
ln an
ln a1
1
2
n n
1
歹，
1(扩
2
1
1-
2
*)ln an
1简析 对第（2）问：用1/n代替n得数列｛bn｝:bn（1n「是递减数列；借鉴此
结论可有如下简捷证法：
11 1
数列｛(1 n)n｝递减，且1' m n,故(1m尸(1n)6
n
nn
不等式
(a bi)]
1
f (2x)
2f(x)
2 2
aibi的简捷证法:
i 1 i 1
x 2x
,1 23
lg
2x
(n 1)
n
2xn
. s X a X
2lg
(n 1)x
[1
而由Cauchy不等式得(1 11
(1212)?[122x
n?[122x32x
32x
已知印1,an1(1
x 2
n ]
2x
(n 1)2x
b[log2n]
简析
2时an
nan1
n an 1
1
(
1
)
ak1
注:
①本题涉及的和式
丄于是当
k'
1
2
1
an 1
3时有丄
an
an
1
an
1
-[log2n]
an 1
an
an
an 1
2 b[log2n]
1
3
1
n
丄为调和级数，是发散的，不能求和；但是可
n
Blog2n］来进行有效地放缩；
1
3
②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点, 有利于培养学生的学习能力与创新意识。
k 122
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
若放成
ai
n.a aa1an
1a1an
1n
an
2 2
a1an
n
其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。
4
-，且f (x)在［0,1］上的最小值为
5
已知函数
1
bx
1 a 2
，
求证:
f
f
f (n)
简析
f(x)
4
1
4
2
(1
1
1
1
2 2wk.baidu.com
数列型不等式的放缩技巧九法
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各 级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列 通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种:一利用重要不等式放缩
~2)an
n n
n ?[1
3x
(n 1)2x
a n2x](
2x
32x
/八Xx
(n 1) an n
(n
(n 1)x
n2x](x
a 1),
1)2x
a nx)2
0时取等号
得证!
2x
n ]
(II )对ln(1
22题)
解析
x) x对x 0都成立，证明an
丄.(I)用数学归纳法证明
2n
e2(无理数e
an2(n
2)；
i 2
ln (ai
1)]
即ln(an1)1
ln 3
1
例7已知不等式1
an
1
3
n(n
n 1
3e
n(n 1)
In (a.
1)
2
e .
2[log2n], n
1) In (a?1) 1
N ,n 2.[log2n]表示不超过
log2n的最大整数。设正数数列｛a.｝满足：aib（b0）,an
,n 2.
求证
空,n 3.（05年湖北卷第（22）题）
1.
均值不等式法
.n(n 1).求证n(n1)
(n 1)2
2
解析
此数列的通项为ak
k k 1
2
n(n 1)
2
k(k
1)
即n(n1)
Sn
2
注：①应注意把握放缩的
n
2
“度”
k(k
1
—?
2
(n1)2
1),k 1,2,
n
k
k 1
Sn
,n.
1
(k-)，
2
:上述不等式右边放缩用的是均值不等式
2
(k 1)(n 1)(n 3)(n，就放过“度”了!
2,x
.2n 1.
1,x0)的一个特例
1
(12k"
注:
I)2
1
2k 1
例4是
1
2-
2k 1
2k 1
2k 1
(此处n 2,x1)得
2k 1
n1n
(1 )
k 12k 1k 1.2k 1
2k 1.2n 1.
1998
1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成
年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：
即ln an
注：题目所给条件
放缩方向的作用；当然，
1
ln a12
e2.
an
ln(1
本题还可用结论
x) x(x
0)为一有用结论,
2n
an 1(1
)an
n(n1)
n(n
ln (an 1
1) ln (an
1)
ln(1
1
an
1)
1
n(n 1)(n(1nn11
可以起到提醒思路与探索
2)来放缩：
n 1
[ln (ai 11)
此式对一切正整数
n都成立，
即对一切偶数有
(1
S
n
4，又因为数列
｛an｝单调
递增，所以对一切正整数
n有(1
1、n
)4。
解析引入一个结论：若b a
n
1
注：①上述不等式可加强为2（1丄）“3.简证如下:
n
是正整数，且1i m n.（1）证明n'A^nm'An；（2）证明（1 m/（1 n）：（01
年全国卷理科第20题）
以利用所给题设结论1
2
1
例8设an（1-）n，求证：数列｛an｝单调递增且an4.
整理上式得an
1bn[(n
1)a n b].(
），以
a1
1 1 —,b 1-
代入（）
n 1n
式得(14)n1(1
丄八即｛a
n｝单调递增。
n1
n
以a 1,b1
丄代入（
)式得1(1
丄
n1 )-
(11)2n
4.
2n
2i
2
2n