必修二数学第13课：平面与平面平行的性质
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高中新教材数学人课件必修第二册第章平面与平面平行
两个平面没有公共点，则称这两个平 面平行。
垂直于同一条直线的两个平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线都平 行于另一个平面，那么这两个平面平 行。
判定方法及性质
01
判定方法
如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则 这两个平面平行。
02
性质
两个平行平面被第三个平面所截，得到的两条交线平行 。
是异面直线。
已知三个平面α、β、γ，且 α∥β、β∥γ。求证：α∥γ。
解析过程
根据平面与平面平行的传递 性，如果两个平面分别与第 三个平面平行，那么这两个 平面也互相平行。因此，由 α∥β和β∥γ，我们可以得出
α∥γ。
解题思路总结和拓展延伸
解题思路总结
在解决平面与平面平行的问题时，我们主要运用平面与平面平行的性质定理和判定定理。性质定理可 以帮助我们判断两个平面的位置关系，而判定定理则可以帮助我们确定一个直线与一个平面的位置关 系。
01
02
03
空间向量定义
具有大小和方向的量，用 有向线段表示。
空间向量运算
包括加法、减法、数乘和 点乘等基本运算。
空间向量本定理
任意三个不共面的向量可 以构成空间的一个基底， 且空间任意向量均可由这 三个向量线性表示。
空间向量在证明直线与平面平行中应用
直线与平面平行判定定理
01
如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线就
直线与平面平行性质
01
如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线上任意 一点作平面的垂线，垂足必在平面上；
02
如果两条直线分别与同一平面平行，那么这两条直线或 者平行，或者异面；
03
如果两个平面分别与同一条直线平行，那么这两个平面 或者平行，或者相交。
垂直于同一条直线的两个平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线都平 行于另一个平面，那么这两个平面平 行。
判定方法及性质
01
判定方法
如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则 这两个平面平行。
02
性质
两个平行平面被第三个平面所截，得到的两条交线平行 。
是异面直线。
已知三个平面α、β、γ，且 α∥β、β∥γ。求证：α∥γ。
解析过程
根据平面与平面平行的传递 性，如果两个平面分别与第 三个平面平行，那么这两个 平面也互相平行。因此，由 α∥β和β∥γ，我们可以得出
α∥γ。
解题思路总结和拓展延伸
解题思路总结
在解决平面与平面平行的问题时，我们主要运用平面与平面平行的性质定理和判定定理。性质定理可 以帮助我们判断两个平面的位置关系，而判定定理则可以帮助我们确定一个直线与一个平面的位置关 系。
01
02
03
空间向量定义
具有大小和方向的量，用 有向线段表示。
空间向量运算
包括加法、减法、数乘和 点乘等基本运算。
空间向量本定理
任意三个不共面的向量可 以构成空间的一个基底， 且空间任意向量均可由这 三个向量线性表示。
空间向量在证明直线与平面平行中应用
直线与平面平行判定定理
01
如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线就
直线与平面平行性质
01
如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线上任意 一点作平面的垂线，垂足必在平面上；
02
如果两条直线分别与同一平面平行，那么这两条直线或 者平行，或者异面；
03
如果两个平面分别与同一条直线平行，那么这两个平面 或者平行，或者相交。
高中数学人教A版必修二：2.2.4 平面与平面平行的性质 课件
αl β
αl β
α
l β
知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理
思考2:黑板所在平面与地面所在平 面垂直，在黑板上是否存在直线与 地面垂直？若存在，怎样画线？
α
β
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其 交线为AD，直线A1A，D1D都在平面 A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两 条直线与平面ABCD垂直吗？
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P
A
D
E
B
C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 ☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故 DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知 直线DE与平面VBC垂直。
注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，
推出上面的结论。
例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。 求证：AB⊥BC。
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC,
S
∴ AD⊥平面SBC，
∴ AD⊥BC.
又∵ SA ⊥ 平面ABC，
∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
A
∴BC ⊥ 平面SAB.
∴BC ⊥AB.
C B
例3如图，四棱锥P-ABCD的底面是
矩形，AB=2，
平面与平面平行的性质 课件
β
γ
b
a
平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们
的交线平行。 图形语言：
γ
b
β
a
符号语言： / / a a / /b b
平面与平面平行的性质定理的认识
面面平行
线线平行
γ
b
β
作用：①作平行线的方法；
a
②判定直线与直线平行的重要依据.
关键：寻找两平行平面与第三个平面的交线.
平面与平面平行的性质
如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个 平面内的直线具有什么样的位置关系？
两个平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这 两个平面平行．
符号语言：a ,b
a bP
/
/
a / / ,b / /
ba
P
直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面
三种平行关系的转化
线
线
线 线面平行判定 面
平
平
行 线面平行性质 行
面 面面平行判定 面
平
面面平行定义
行
面面平行性质
例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
讨论:解决这个问题的基本步骤是什么?
第一步:结合图形，将原题改写成数学符号语言;
已知：如图，AB∥CD， A∈α ，
D∈β ， B∈β ,C∈α ， 求证:AB=CD
和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
符号语言：
a / / a
b
a / /b.
βa αb
如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面 有什么位置关系？ 平行
最新人教版高中数学必修2第二章平面与平面平行的性质1
BH , BA B'E BH 又 BF=B'E,BD=AB',∴ = . B'A BA AE AH ∴ = , AB' AB
由 FH∥AD,可得
BF BD
=
又∵∠EAH=∠B'AB,∴△EAH∽△B'AB. ∴∠AEH=∠AB'B. ∴EH∥B'B. 又 EH⊄平面 BB'C'C,B'B⊂平面 BB'C'C, ∴EH∥平面 BB'C'C.又 EH∩FH=H, ∴平面 FHE∥平面 BB'C'C. 又∵EF⊂平面 FHE,EF⊄平面 BB'C'C,∴EF∥平面 BB'C'C.
求证:AC∥BD. 证明:∵PB∩PD=P, ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又∵α∥β,∴AC∥BD.
-6-
1.1
DNA重组技术的基本工具
首 页
S 随堂练习 典型考题 J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
UITANG LIANXI
AF FM AF MF
=
DF . BF
=
AE , EB'
-10-
1.1
DNA重组技术的基本工具
首 页
S 随堂练习 典型考题 J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
UITANG LIANXI
题型一
题型二
证明线面平行的方法主要有三种: (1)应用线面平行的定义; (2)应用线面平行的判定定理; (3)应用面面平行的性质,即两个平面平行时,其中一个平面内的任意一条直 线都平行于另一个平面.
由 FH∥AD,可得
BF BD
=
又∵∠EAH=∠B'AB,∴△EAH∽△B'AB. ∴∠AEH=∠AB'B. ∴EH∥B'B. 又 EH⊄平面 BB'C'C,B'B⊂平面 BB'C'C, ∴EH∥平面 BB'C'C.又 EH∩FH=H, ∴平面 FHE∥平面 BB'C'C. 又∵EF⊂平面 FHE,EF⊄平面 BB'C'C,∴EF∥平面 BB'C'C.
求证:AC∥BD. 证明:∵PB∩PD=P, ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又∵α∥β,∴AC∥BD.
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1.1
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
UITANG LIANXI
AF FM AF MF
=
DF . BF
=
AE , EB'
-10-
1.1
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S 随堂练习 典型考题 J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
UITANG LIANXI
题型一
题型二
证明线面平行的方法主要有三种: (1)应用线面平行的定义; (2)应用线面平行的判定定理; (3)应用面面平行的性质,即两个平面平行时,其中一个平面内的任意一条直 线都平行于另一个平面.
2019-2020学年北师大版必修二 平面与平面平行的性质 课件(22张)
2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标 思维脉络 1.理解
并能证明两 个平面平行 的性质定理. 2.能利用性 质定理解决 有关的平行 问题.
平面与平面平行的性质定理
文字 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交 语言 线平行
图形 语言
a∥b 证明两条直线平行
∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ,
则 α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又 α∥β,∴AC∥BD.
(2)解:由(1)得 AC∥BD,
∴������������
������������
=
������������������������,∴45
=
������3������,∴CD=145,
∴PD=PC+CD=247.
或取 B1C1 的中点 E1→证明平面 EE1F∥平面 BB1D1D→EF∥平面 BB1D1D
探究一
探究二
(1)
证明:(方法一)如图,连接 AC,CD1.
∵P,Q 分别是 AD1,AC 的中点,∴PQ∥CD1.
又 PQ⊄平面 DCC1D1, CD1⊂平面 DCC1D1,
∴PQ∥平面 DCC1D1.
1234
1.已知长方体 ABCD-A'B'C'D',平面 α∩平面 AC=EF,平面 α∩平面 A'C'=E'F',
则 EF 与 E'F'的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
解析:由于平面 AC∥平面 A'C',所以 EF∥E'F'.
答案:A
1234
2.已知平面 α∥平面 β,过平面 α 内的一条直线 a 的平面 γ 与平面 β 相交,交
学习目标 思维脉络 1.理解
并能证明两 个平面平行 的性质定理. 2.能利用性 质定理解决 有关的平行 问题.
平面与平面平行的性质定理
文字 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交 语言 线平行
图形 语言
a∥b 证明两条直线平行
∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ,
则 α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又 α∥β,∴AC∥BD.
(2)解:由(1)得 AC∥BD,
∴������������
������������
=
������������������������,∴45
=
������3������,∴CD=145,
∴PD=PC+CD=247.
或取 B1C1 的中点 E1→证明平面 EE1F∥平面 BB1D1D→EF∥平面 BB1D1D
探究一
探究二
(1)
证明:(方法一)如图,连接 AC,CD1.
∵P,Q 分别是 AD1,AC 的中点,∴PQ∥CD1.
又 PQ⊄平面 DCC1D1, CD1⊂平面 DCC1D1,
∴PQ∥平面 DCC1D1.
1234
1.已知长方体 ABCD-A'B'C'D',平面 α∩平面 AC=EF,平面 α∩平面 A'C'=E'F',
则 EF 与 E'F'的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
解析:由于平面 AC∥平面 A'C',所以 EF∥E'F'.
答案:A
1234
2.已知平面 α∥平面 β,过平面 α 内的一条直线 a 的平面 γ 与平面 β 相交,交
【课件】平面与平面平行课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
AA1的中点，求证: 平面BDE//平面B1D1F
A1
分析：添辅助线，证明四边形AGED、四边形AGB1F
是平行四边形
F D
LOGO
C1
B1 E
G C
A
B
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是
D1
C1
P
棱AA1，CC1的中点，点P在上底面A1B1C1D1内运动， A1 若PE∥平面BDF，请画出点P的轨迹．
2. 平面与平面平行的性质
①两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 .
β // α a ⊂β
a // α 简述为：面面平行线面平行
a
探究新知 LOGO
问题9 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些 结论？ （1）其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么样的的位置关系？ （2）分别位于两个平行平面内的直线，具有什么样的位置关系？
MG∥AE, 又 GN 是△DEC 的中位线, GN∥EC, ∴ 平面MGN∥平面α, MN∥平面α.
A a
M
bB
EC ·N G D
例题讲解 变式：3.AB=6，BC=2，EF=3.求DE的长. DE＝9
ab
LOGO
D A
变式：4. 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB B
与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.
直线的条数不是关键，直线相交才是关键.
探究新知 LOGO
两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面．为什么两条相交直线判
定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢？你能从向量的角度解释吗？
D
平面内的两条相交直线代表两个不共线向量， E 而平面内的任意向量都可以以它们为基底进行线 A
平面与平面平行的性质【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
8平.面5 .与3 平第面二平行课的时 性平质面【与新平教面材 平】行人的教 性A版质高-【 中 数新学教必材 修】第人二教 册A版课（件2019） 高中数 学必修 第二册 课件(共 23张P PT)
2．[变条件，变结论]将本例改为：已知平面 α∥β∥γ，两条直线 l， m 分别与平面 α，β，γ 相交于点 A，B，C 与 D，E，F.已知 AB＝6，DDEF＝25，则 AC＝________.
利用面面平行的性质判断位置关系 [例 2] 如图，平面四边形 ABCD 的四个 顶点 A，B，C，D 均在▱A′B′C′D′所确定 的平面 α 外，且 AA′，BB′，CC′，DD′ 互相平行． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
8平.面5 .与3 平第面二平行课的时 性平质面【与新平教面材 平】行人的教 性A版质高-【 中 数新学教必材 修】第人二教 册A版课（件2019） 高中数 学必修 第二册 课件(共 23张P PT)
2．已知平面 α∥平面 β，直线 l∥α，则
A．l∥β
B．l⊂β
C．l∥β 或 l⊂β
D．l，β 相交
()
解析：假设 l 与 β 相交，又 α∥β，则 l 与 α 相交，与 l∥α 矛盾，则假设不成立，则 l∥β 或 l⊂β.故选 C.
答案：C
3．六棱柱的两底面为 α，β，且 A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD ∥BC，则 AB 与 CD 的位置关系是______． 解析：因为 AD∥BC，且平面 ABCD∩α＝AB，平面 ABCD∩β ＝CD，又 α∥β，所以 AB∥CD.
8平.面5 .与3 平第面二平行课的时 性平质面【与新平教面材 平】行人的教 性A版质高-【 中 数新学教必材 修】第人二教 册A版课（件2019） 高中数 学必修 第二册 课件(共 23张P PT)
高一数学必修2课件：2.2.4 平面与平面平行的性质
高一年级数学必修2
2.2.4 平面与平面平行的性质
湖南师大附中 彭萍
第一页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
复习巩固
1.直线与平面平行的性质定理
βa
b α
已知：a / / , a , b，则a / /b
定理：如果一条直线与一个平面平行，
则过这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行.
课后作业
1.教材第62页
习题2.2 B组：3，4. 2.学海第二章第8课时
第十页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
// , a, b a // b
γ
b β
α
a
第七页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
例题讲解
例3 求证：夹在两个平行平面间的 平行线段相等.
A
C
β
α Bγ D
第八页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
课堂练习
（1）P61：A组1，2； （2）《学海》习题。
第九页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
第二页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
复习巩固
2. 两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都
平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 .
用符号表示为 :
bA αa
若a ,b , a b A,
且 a / / ,b / / ,则 / / . β
第三页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
的位置关系如何？
l α β
第五页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
知识探究
2 若 // ，平面α、β分别与平面
γ相交于直线a、b，那么直线a、b的位 置关系如何？
γ
b
β
α
a
2.2.4 平面与平面平行的性质
湖南师大附中 彭萍
第一页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
复习巩固
1.直线与平面平行的性质定理
βa
b α
已知：a / / , a , b，则a / /b
定理：如果一条直线与一个平面平行，
则过这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行.
课后作业
1.教材第62页
习题2.2 B组：3，4. 2.学海第二章第8课时
第十页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
// , a, b a // b
γ
b β
α
a
第七页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
例题讲解
例3 求证：夹在两个平行平面间的 平行线段相等.
A
C
β
α Bγ D
第八页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
课堂练习
（1）P61：A组1，2； （2）《学海》习题。
第九页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
第二页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
复习巩固
2. 两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都
平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 .
用符号表示为 :
bA αa
若a ,b , a b A,
且 a / / ,b / / ,则 / / . β
第三页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
的位置关系如何？
l α β
第五页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
知识探究
2 若 // ，平面α、β分别与平面
γ相交于直线a、b，那么直线a、b的位 置关系如何？
γ
b
β
α
a
人教新课标版数学高一必修2课件2.2.4平面与平面平行的性质
解析答案
1 23 4
3.过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所 在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__平__行____. 解析 因平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 平面ABCD∩平面A1C1B＝l， 平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1， 所以l∥A1C1(面面平行的性质定理).
解析答案
1 23 4
4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有 两点E、F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
解析答案
课堂小结
1.常用的面面平行的其他几个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
自主学习
知识点 平面与平面平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 文字语言
么它们的交线__平__行__
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒___a_∥___b__
图形语言
答案
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合作探究
观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
问题1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？ 答案 是的. 问题2 若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？ 答案 不一定，也可能异面.
答案
问题3 过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1 与BC是什么关系？ 答案 平行.
人教课标版高中数学必修2《平面与平面平行的性质》名师课件
【解题过程】分两种情况： ①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩ 平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD， ∴AC∥BD，∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴EF∥BD，∴EF∥AC，
又EF β，BD⊂β，∴EF∥β.
同理可证，EF∥平面α.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l，在l上取一
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究二 平面与平面平行的性质定理的证明 活动① 证明平面与平面平行的性质定理
如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b. 求证a∥b.
证明 ∵α∩γ＝a，β∩γ＝b， ∴a⊂α，b⊂β. 又∵α∥β， ∴a，b没有公共点， 又∵a，b同在平面γ内，∴ a∥b.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（3）若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α. 此说法正确吗？ 答案：正确．如图，过直线PQ作平面γ， γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b. 因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b. 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行，所以直线a与直线PQ重合． 因为a⊂α，所以PQ⊂α. （4）若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b. 此说法正确吗？ 答案：错误．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β， 则a与b平行、相交和异面都有可能．
【解题过程】因为AB∥CD，所以过AB、CD可作平面γ，
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α∥β，所以 BD∥AC.因此，四边形ABDC是平行四边形. 所以AB＝CD. 【思路点拨】由面面平行得线线平行，得四边形ABDC是 平行四边形．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
活动③ 灵活应用，突破思维 例3 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均 在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、 CC′、DD′互相平行. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
又EF β，BD⊂β，∴EF∥β.
同理可证，EF∥平面α.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l，在l上取一
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究二 平面与平面平行的性质定理的证明 活动① 证明平面与平面平行的性质定理
如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b. 求证a∥b.
证明 ∵α∩γ＝a，β∩γ＝b， ∴a⊂α，b⊂β. 又∵α∥β， ∴a，b没有公共点， 又∵a，b同在平面γ内，∴ a∥b.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（3）若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α. 此说法正确吗？ 答案：正确．如图，过直线PQ作平面γ， γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b. 因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b. 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行，所以直线a与直线PQ重合． 因为a⊂α，所以PQ⊂α. （4）若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b. 此说法正确吗？ 答案：错误．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β， 则a与b平行、相交和异面都有可能．
【解题过程】因为AB∥CD，所以过AB、CD可作平面γ，
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α∥β，所以 BD∥AC.因此，四边形ABDC是平行四边形. 所以AB＝CD. 【思路点拨】由面面平行得线线平行，得四边形ABDC是 平行四边形．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
活动③ 灵活应用，突破思维 例3 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均 在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、 CC′、DD′互相平行. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
高中数学北师大版必修二课件：平面与平面平行的判定
题型一
题型二
题型三
反思对于条件缺失的探索性问题,解答过程中要明确目的,结合题 目本身的特点与相应的定理大胆地猜想,然后加以证明.特别要注 意中点、顶点等特殊点.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E为PB的中 点. (1)求证:CE∥平面PAD. (2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在, 证明你的结论;若不存在,说明理由.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 设α,β为两个不重合平面,在下列条件中,可判断 平面α与β平行的是 . ①α,β都平行于γ. ②α内存在不共线的三点到β的距离相等. ③l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β. ④l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β. 解析:①正确.②中如果平面α内三个点在平面β的两侧,满足不共 线的三点到平面β的距离相等,此时这两个平面相交,故②错误.③中 若l与m平行,则α与β可能相交,故③错误.④正确. 答案:①④
题型一
题型二
题型三
(1)证明 :如图 ①所示 ,取 PA 的中点 H,连接 DH,EH. 因为 E 是 PB 的中点 ,所以 HE∥AB,且 HE= ������������ . 又 CD∥AB,且 CD=
题型一
题型二
题型三
解:(1)不正确.当直线a和平面α不相交时,可能有a⫋α,a∥α两种情 况,当a⫋α时,a与α不平行; (2)不正确.当直线b∥a时,如果b⊈α,则有b∥α,如果b⫋α,则没有 b∥α; (3)不正确.当a∥α时,经过直线a的平面β可能与α平行,也可能与α 相交; (4)正确.由线面平行的判定定理,知a∥β,b∥β,且a,b⫋α,a与b相交, 所以必有α∥β. 反思1.运用线面平行、面面平行的判定定理判定结论是否正确 时,一定要紧扣两个定理的条件,忽视条件,很容易导致判断错误. 2.在判断一些命题的真假时,一方面要善于列举反例来否定一个 命题,另一方面要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各 种情形,以对一个命题的真假作出合理的判断.
平面与平面平行的性质 课件
∴A′ABB′＝OOAA′＝23. 而 S△ABC＝12AB·AC＝12×2×1＝1. ∴S△SA△′ABB′CC′＝(A′ABB′)2， ∴S△A′B′C′＝49S△ABC＝49×1＝49.
性质定理 【分析】 面面平行 ――――→ 线线平行 ―――→ 线段成比例 ―――→ S△A′B′C′
• 【解】 相交直线AA′、BB′所在平面和两平 行平面α、β分别相交于AB、A′B′.
• 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
• 同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平 面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.
• ∴平面FHE∥平面BB′C′C，EF⊂平面FHE.
• ∴EF∥平面BB′C′C.
• 【规律方法】 本题证法一使用线面平行 的判定定理；证法二利用面面平行的性质 定 理 ， 关 键 就 是 找 到 过 直 线 EF 与 平 面 BB′C′C平行的平面．
• 要点三线与面、面与面平行的性质定理的 综合运用
• 求证：EF∥平面BB′C′C. • 【分析】 线线平行⇒线面平行⇐面面平行
• 【证明】 证法一：连结AF延长交BC于M， 连结B′M.
• ∵AD∥BC，
∴△ADF∽△MFB，∴MAFF＝DBFF. 又∵BD＝B′A，B′E＝BF，∴DF＝AE. ∴FAMF ＝EABE′. ∴EF∥B′M，B′M⊂平面 BB′C′C，EF⊄ 面 BB′C′C ∴EF∥平面 BB′C′C.
• 求证：四边形ABCD是平行四边形．
• 【分析】 可利用平面与平面平行的性质 定理证明线线平行．
• 【 证 明 】 在 ▱A′B′C′D′ 中 ， A′B′∥C′D′，
• ∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面 C′D′DC，
高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质
两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．答案 A5．(2012·衡阳质检)在正方体________．解析如图．连接AC、BD交于ACE.答案平行在四棱锥PABCD中，底面求证：PB∥平面ACM.[审题视点] 连接MO，证明证明连接BD，MO.中点，所以PB∥MO.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．在正方体ABCDA1B1C1D1求证：平面MNP∥平面[审题视点] 证明MNMP∥C1B.(1)面面平行的定义；下面给出证明：如图，取BB1的中点则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接结论成立的充分条件，规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几在四棱台ABCDA1B1C1D1BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)如图，连结AC，A1C1设AC∩BD＝E，连结EA1因为四边形ABCD为平行四边形，明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．如图，在多面体ABCDEF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；β=b）平行的直线②④β=则,bm不平行于平面又∵AE∥CD且∴FM綉AE，即四边形证明如下：如图，取。
高中数学必修二：2.2.4平面与平面平行的性质.pptx
C′
B′
D′ MC
A′ B
D
A
18
例2如图，已知两异面直线夹在两个平
行平面α 、β 之间的线段AB、CD，M、N 分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面
β.
A α
M
C
N E
D
β
B
l
19
课堂小结
今天学习的内容有： 1. 空间两平面的位置关系有几种？ 2. 面面平行的判定定理需要什么条件？ 3. 面面平行的判定定理的变式是什么?
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
zxxkw
学科网w
2.2.4 平面与平学.科.网面平行的性质
2
问题提出
1.平面与平面平行的判定定理是什么？
定理 如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，则这两个平面平行.
2.平面与平面平行的判定定理解决了平 面与平面平行的条件问题，反之，在平 面与平面平行的条件下，可以得到什么 结论呢？
面同时和第三个平面 相交，那么它们的交 α
a
线平行.
// , a, b a // b 8
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平 面相交，那么它们的交线平行．
a
图形语言：
b
符号语言：
// a a // b b
C
M
B
22
证明平行的 转化思想：
小结
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)三角形对应边成比例 (4)平行四边形对边平行 (5)线面平行的性质
线//线
线//面
面//面
要证 a // ，通过构造过直线 a 的平面 与平面
高中数学人必修二课件平面与平面平行的判定
高中数学人必修 二课件平面与平 面平行的判定
汇报人：
目录
01
添加 目录标题
04
平面与平面平行的 判定定理的应用
02
平面与平面平行的 判定方法
05
平面与平面平行的 判定定理的证明方 法
03
平面与平面平行的 性质
定义法
两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
两个平面平行的判定方法：如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面平行。
应用场景：在几何、物理等领域 中，常常需要判定一个点是否与 平面共面。
判定定理：如果一个点在平面内， 且与平面内其他三个点构成的向 量共面，则该点与平面共面。
判定方法：利用向量叉积为零的 性质，判断该点与平面内任意两
向量构成的向量是否共线。
注意事项：在三维空间中，点与平 面的位置关系有三种：点在平面内、
添加标题
添加标题
添加标题
平行公理的推论
如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面相交，那么这两个平面不平行。
判定两平面是否平行
定理：如果两个平面的法向量 平行，那么这两个平面平行
平行公理的应用：平行公理是平面几何中的基本公理之一，可以用来证明其他几何命题。 平行公理的局限性：平行公理在非欧几何中并不成立，因此需要引入其他公理来代替。
反证法
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点；
a. 假设两个平面不平行 b. 推导出矛盾 c. 得出结论：两个平面平行
例子：在几何图形中，如果已知一条直 线与一个平面内的两条相交直线都平行，
汇报人：
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01
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04
平面与平面平行的 判定定理的应用
02
平面与平面平行的 判定方法
05
平面与平面平行的 判定定理的证明方 法
03
平面与平面平行的 性质
定义法
两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
两个平面平行的判定方法：如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面平行。
应用场景：在几何、物理等领域 中，常常需要判定一个点是否与 平面共面。
判定定理：如果一个点在平面内， 且与平面内其他三个点构成的向 量共面，则该点与平面共面。
判定方法：利用向量叉积为零的 性质，判断该点与平面内任意两
向量构成的向量是否共线。
注意事项：在三维空间中，点与平 面的位置关系有三种：点在平面内、
添加标题
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平行公理的推论
如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面相交，那么这两个平面不平行。
判定两平面是否平行
定理：如果两个平面的法向量 平行，那么这两个平面平行
平行公理的应用：平行公理是平面几何中的基本公理之一，可以用来证明其他几何命题。 平行公理的局限性：平行公理在非欧几何中并不成立，因此需要引入其他公理来代替。
反证法
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点；
a. 假设两个平面不平行 b. 推导出矛盾 c. 得出结论：两个平面平行
例子：在几何图形中，如果已知一条直 线与一个平面内的两条相交直线都平行，
高中数学人教A版必修二平面与平面平行的性质课件)
//， a， b，
证明：因为 a， b，
所以a，b.
β
b
又因为 //，所以 a，b没有公共. 点
又因为 a，b同在平面 内，所以a， //b.
知识探究(二):平面与平面平行的性质定理
思考1:由下图反映出来的性质就是一个定理，
分别用文字语言和符号语言可以怎样表述？
定理 如果两个平行平 面同时和第三个平面
互相平行.
例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M在 CD′上，试判断直线B′M与平面A′BD的位置
关系，并说明理由.
C′
D′
MC
B′
A′
平行
B
D
A
例3 如图，已知AB、CD是夹在两个平行 平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD
的中点，求证：MN∥平面β.
A
α
M
βB
C
N E
D
l
基础强化：
bβ
γ l
α
β
γ
α
a
l
b
a
平行
相交于一点
思考4:若 //，l，那么在平面β内经
过点P且与l 平行的直线存在吗？有几条？
平行
l
α
α
P
γ
β
存在，一条
β
思考5:若平面α、β都与平面γ平行，则平 面α与平面β的位置关系如何？
同平行于一个平面的两个平面平行
理论迁移：
例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线
段相等. (1)求证:AC∥BD;
无数条
D.
又β∥γ,∴c∥e,d∥f.
已知平面α∥平面β，它们之间的距离为d，直线
且平面γ与平面α和平面β分别相交于BD，AC. ∴四边形PQC1D是平行四边形,
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主
1．证明直线与直线平行的方法
堂
预
小
习
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；结
·
探
提
新
素
知 三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 养
合 等．
作
课
探
时
究
(2)公理 4.
分 层
释
作
疑 难
(3)线面平行的性质定理．
业
(4)面面平行的性质定理． 返 首 页
·
23
＝25
，则 AC
课 堂 小
习
结
探 ＝________．
·
提
新
素
知
养
·
·
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
难
15 [由题可知DDEF ＝AACB ⇒AC＝DDFE ·AB＝52 ×6＝15.]
业
返 首 页
·
17
3．将本例改为：已知三个平面 α、β、γ 满足 α∥β∥γ，直线 a 与
自
课
主 预
这三个平面依次交于点 A、B、C，直线 b 与这三个平面依次交于点 E、堂小
·
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑 难
求证：CD∥平面 EFGH.
业
返 首 页
·
25
·
自
[证明] 由于四边形 EFGH 是平行四边形，
课
主
堂
预 习
∴EF∥GH.
小 结
·
探 新
∵EF⊄平面 BCD，GH⊂平面 BCD，
提 素
知
养
∴EF∥平面 BCD.又∵EF⊂平面 ACD，
合
作
课
探
平面 ACD∩平面 BCD＝CD，∴EF∥CD.
堂
预
小
习
结
探
2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知 提
·
新
素
知 想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通 养
合 作
已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅
课
探
时
究 助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
29
疑 难
②⑤ [当 FG∥B1B 时，四边形 EFGH 为矩形；当 FG 不与 B1B 业
平行时，四边形 EFGH 为梯形．]
返
首
页
32
·
自
课
主 预
4．如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 BC 的中点，
堂 小
习
结
探 M，N 分别是 AE，CD1 的中点．
·
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
[解] 与本例同理，可证 AB∥CD.
提
新
素
知 合
所以PPAC ＝PPDB ，即63 ＝BD8－8 ，
作
养 课
探 究
所以 BD＝24.
时 分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
16
2. 将本例改为：已知平面 α∥β∥γ，两条直线 l、m 分别与平面 α、
自 主 预
β、γ 相交于点 A、B、C 与 D、E、F.已知 AB＝6，DDEF
预
小
习
∴PA∥MO，而 AP⊄平面 BDM，OM⊂平面 BDM，
·
结
探
提
新 知
∴PA∥平面 BMD，
素 养
合
又∵PA⊂平面 PAHG，
作 探
平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，
课 时
究
分
释
∴PA∥GH.
层 作
疑
难
又 PA⊂平面 PAD，GH⊄平面 PAD，
业
·
∴GH∥平面 PAD.
返
首
页
22
·
自
课
究
时 分
层
释
又∵EF⊂平面 EFGH，CD⊄平面 EFGH，
作
疑
业
难
∴CD∥平面 EFGH.
返 首 页
·
26
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新 知
合
课堂
小结
提素
养
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
27
·
自
课
主
1．常用的面面平行的其他几个性质
堂
预
小
习
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 结
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
2
核心素养
自 主
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平
课 堂
预
小
习 行的性质定理并加以证明．(重点)
探
通过学习平面与 结 提
·
新 知
2．能用文字语言、符号语言和图形语言准确描述 平面平行的性
究
分
层
释
作
疑 难
求证：MN∥平面 ADD1A1.
业
返 首 页
·
33
·
[证明] 如图所示，取 CD 的中点 K，连接 MK，NK.
自
课
主 预
因为 M，N，K 分别为 AE，CD1，CD 的中点，
堂 小
习 探
所以 MK∥AD，NK∥DD1，
·
结 提
新 知
所以 MK∥平面 ADD1A1，
素 养
合
NK∥平面 ADD1A1.
层 作
疑
业
难 性质定理可知 m∥n.]
返 首 页
·
7
·
自
课
主
堂
预 习
2．已知平面 α∥平面 β，直线 l∥α，则( )
小 结
·
探 新
A. l∥β
B. l⊂β
提 素
知
养
C. l∥β 或 l⊂β
D. l, β 相交
合
作
课
探 究
C
[假设 l 与 β 相交，又 α∥β，则 l 与 α 相交，与 l∥α 矛盾，则
·
新
素
知 行吗？
养
合 作
[提示] 不一定．它们可能异面．
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
6
·
自
课
主
堂
预
1．平面 α 与圆台的上、下底面分别相交于直线 m，n，则 m，n 小
习
结
·
探 新
的位置关系是(
)
提 素
知
养
A．平行
B．相交
合
作 探
C．异面
D．平行或异面
课 时
究
分
释
A
[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的
作 探
又 MK∩NK＝K，MK，NK⊂平面 MNK，
课 时
究
分
释
所以平面 MNK∥平面 ADD1A1.
层 作
疑
难
因为 MN⊂平面 MNK，
业
·
所以 MN∥平面 ADD1A1.
返
首
页
·
·
自
主
预 习
探 新
课时
分层
知
合
作
探
究
点击右图进入…
释
疑
难
34
课
堂
作业
·
小 结
提 素
养
课 时 分 层 作 业
返 首 页
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
4
·
自
课
主
平面与平面平行的性质定理
堂
预
小
习
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 结
·
探 新 知
文字语言 的交线 平行
提 素 养
合 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a∥b
作
课
探
时
究
分
层
释 图形语言
作
疑
业
难
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5
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
思考：如果两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平 提
·
自
课
主
1．a∥α，b∥β，α∥β，则 a 与 b 位置关系是( )
堂
预
小
习
A．平行
B．异面
·
结
探
提
新 知
C．相交
D．平行或异面或相交