必修二数学第13课：平面与平面平行的性质

＝25
，则 AC
课 堂 小
习
结
探 ＝________．
·
提
新
素
知
养
·
·
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
难
15 [由题可知DDEF ＝AACB ⇒AC＝DDFE ·AB＝52 ×6＝15.]
业
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·
17
3．将本例改为：已知三个平面 α、β、γ 满足 α∥β∥γ，直线 a 与
自
课
主 预
这三个平面依次交于点 A、B、C，直线 b 与这三个平面依次交于点 E、堂小
·
新
素
知 行吗？
养
合 作
[提示] 不一定．它们可能异面．
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
6
·
自
课
主
堂
预
1．平面 α 与圆台的上、下底面分别相交于直线 m，n，则 m，n 小
习
结
·
探 新
的位置关系是(
)
提 素
知
养
A．平行
B．相交
合
作 探
C．异面
D．平行或异面
课 时
究
分
释
A
[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探 新
2. 证明直线与平面平行的方法：
提 素
知
养
(1)线面平行的判定定理．
合
作 探
课
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 时
究
分
释 平面．
层 作
疑
业
难
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·
24
·
自
课
主 预
[跟进训练]
堂 小
习
结
探
如图，三棱锥 A-BCD 被一平面所截，截面为平行四边形 EFGH. 提
·
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑 难
求证：CD∥平面 EFGH.
业
返 首 页
·
25
·
自
[证明] 由于四边形 EFGH 是平行四边形，
课
主
堂
预 习
∴EF∥GH.
小 结
·
探 新
∵EF⊄平面 BCD，GH⊂平面 BCD，
提 素
知
养
∴EF∥平面 BCD.又∵EF⊂平面 ACD，
合
作
课
探
平面 ACD∩平面 BCD＝CD，∴EF∥CD.
习
结
探 新
F、G.
求证：BACB
＝FEGF
.
·
提 素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
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18
·
自
课
主
[证明] 连接 AG 交 β 于 H，连 BH、FH、AE、CG.
堂
预
小
习
因为 β∥γ，平面 ACG∩β＝BH，平面 ACG∩γ＝CG，
·
结
探
提
新
素
知
所以 BH∥CG.同理 AE∥HF，
养
合 作 探
素 养
·
·
合 平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作
作
质，提升直观想
课
探
时
究 用．(重点)
象、逻辑推理的 分
层
释
疑 3．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些 数学核心素养．
作 业
难
与空间面面平行关系有关的简单问题．(难点) 返 首 页
3
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新 知
合
自主
预习
探新
知
素 养
作
作 业
难
以上三个条件缺一不可．
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·
11
·
自
2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？
课
主
堂
预 习
[提示] 联系如下：
小 结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
·
12
【例 1】 如图，已知平面 α∥平面 β，P∉α 且 P∉β，过点 P 的直
自
课
主
堂
预 线 m 与 α、β 分别交于 A、C，过点 P 的直线 n 与 α、β 分别交于 B、 小
课
探
时
究
②
[由面面平行的性质可知，过 a 与 β 相交的平面与 β 的交线才
分 层
释
作
疑 难
与 a 平行，故①错误；②正确；平面 β 内的直线与直线 a 平行，异面
业
均可，其中包括异面垂直，故③错误．]
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9
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
作 探
又 MK∩NK＝K，MK，NK⊂平面 MNK，
课 时
究
分
释
所以平面 MNK∥平面 ADD1A1.
层 作
疑
难
因为 MN⊂平面 MNK，
业
·
所以 MN∥平面 ADD1A1.
返
首
页
·
·
自
主
预 习
探 新
课时
分层
知
合
作
探
究
点击右图进入…
释
疑
难
34
课
堂
作业
·
小 结
提 素
养
课 时 分 层 作 业
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主
1．证明直线与直线平行的方法
堂
预
小
习
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；结
·
探
提
新
素
知 三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 养
合 等．
作
课
探
时
究
(2)公理 4.
分 层
释
作
疑 难
(3)线面平行的性质定理．
业
(4)面面平行的性质定理． 返 首 页
·
23
·
10
·
自
平面与平面平行性质定理的应用
课
主
堂
预
小
习
[探究问题]
结
·
探
提
新 知
1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？
素 养
合
[提示] 必须具备三个条件：①平面 α 和平面 β 平行，即 α∥β；
作
课
探 究
②平面 γ 和 α 相交，即 α∩γ＝a；
时 分
层
释 疑
③平面 γ 和 β 相交，即 β∩γ＝b.
Thank you for watching !
习
结
·
探 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作 提
新
素
知 平面交平面 BDM 于 GH.
养
合
作
求证：GH∥平面 PAD.
探
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
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21
·
[证明] 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO.
自
课
主
∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点，堂
预
小
习
∴PA∥MO，而 AP⊄平面 BDM，OM⊂平面 BDM，
·
结
探
提
新 知
∴PA∥平面 BMD，
素 养
合
又∵PA⊂平面 PAHG，
作 探
平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，
课 时
究
分
释
∴PA∥GH.
层 作
疑
难
又 PA⊂平面 PAD，GH⊄平面 PAD，
业
·
∴GH∥平面 PAD.
返
首
页
22
·
自
课
堂
预
小
习
结
探
2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知 提
·
新
素
知 想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通 养
合 作
已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅
课
探
时
究 助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．
分 层
释
作
疑
业
难
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·
29
自
课
主 预
中(
)
堂 小
习
结
探
A．不一定存在与 a 平行的直线
·
提
新
素
知
B．只有两条与 a 平行的直线
养
·
·
合 作
C.存在无数条与 a 平行的直线
课
探
时
究
D．有且只有一条与 a 平行的直线
分 层
释 疑
D
[由于 α∥β，a⊂α，M∈β，过 M 有且只有一条直线与 a 平行，
作 业
难
故 D 项正确．]
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究
分
层
释
作
疑 难
求证：MN∥平面 ADD1A1.
业
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·
33
·
[证明] 如图所示，取 CD 的中点 K，连接 MK，NK.
自
课
主 预
因为 M，N，K 分别为 AE，CD1，CD 的中点，
堂 小
习 探
所以 MK∥AD，NK∥DD1，
·
结 提
新 知
所以 MK∥平面 ADD1A1，
素 养
合
NK∥平面 ADD1A1.
31
3．用一个平面去截三棱柱 ABC-A1B1C1，交 A1C1，B1C1，BC，AC
自 主
分别于点 E，F，G，H.
若 A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填
课 堂
预 习
序号)
小 结
·
探
提
新
素
知
养
·
·
合
作
课
探
时
究
分
释
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．
层 作
习
结
·
探 新
D，且 PA＝6，AC＝9，PD＝8，求 BD 的长．
提 素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
13
·
自
课
主
[解] 因为 AC∩BD＝P，所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 堂
预
小
习 探
PCD，
·
结 提
新
素
知
因为 α∥β，α∩平面 PCD＝AB，β∩平面 PCD＝CD，所以 AB∥CD. 养
究
时 分
层
释
又∵EF⊂平面 EFGH，CD⊄平面 EFGH，
作
疑
业
难
∴CD∥平面 EFGH.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
返 首 页
·
26
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新 知
合
课堂
小结
提素
养
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
27
·
自
课
主
1．常用的面面平行的其他几个性质
堂
预
小
习
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 结
·
探
提
新 知
平面．
素 养
合
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
作 探
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
课 时
究
分
释
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
层 作
疑 难
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平 业
行．
返
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页
·
28
·
自
课
主
合 作 探
所以APAC
＝BPDB
，即69
＝8－BDBD
.
究
课 时 分
层
释 疑 难
所以 BD＝254 .
作 业
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·
14
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
1．将本例改为：若点 P 在平面 α，β 之间(如图所示)，其他条件 提
·
新
素
知 不变，试求 BD 的长．
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
15
·
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
2
核心素养
自 主
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平
课 堂
预
小
习 行的性质定理并加以证明．(重点)
探
通过学习平面与 结 提
·
新 知
2．能用文字语言、符号语言和图形语言准确描述 平面平行的性
所以BACB ＝HAHG ＝FEGF .
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
19
·
自
课
主 预
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：
堂 小
习
结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
·
20
平行关系的综合应用
自
课
主 预
【例 2】
如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面
堂 小
·
自
课
主
1．a∥α，b∥β，α∥β，则 a 与 b 位置关系是( )
堂
预
小
习
A．平行
B．异面
·
结
探
提
新 知
C．相交
D．平行或异面或相交
素 养
合 作
D [如图①②③所示，a 与 b 的关系分别是平行、异面或相交．] 课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
①
②
③
返
首
页
·
30
2．若平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，点 M∈β，过点 M 的所有直线
时 分
释 假设不成立，则 l∥β 或 l⊂β.]
层 作
疑
业
难
返 首 页
·
8
3．已知平面 α∥β，直线 a⊂α，有下列命题：
自
课
主 预
①a 与 β 内的所有直线平行；
堂 小
习
结
探
②a 与 β 内无数条直线平行；
·
提
新
素
知
③a 与 β 内的任意一条直线都不垂直．
养
·
·
合 作
其中真命题的序号是________．
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
4
·
自
课
主
平面与平面平行的性质定理
堂
预
小
习
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 结
·
探 新 知
文字语言 的交线 平行
提 素 养
合 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a∥b
作
课
探
时
究
分
层
释 图形语言
作
疑
业
难
返 首 页
·
5
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
思考：如果两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平 提
疑 难
②⑤ [当 FG∥B1B 时，四边形 EFGH 为矩形；当 FG 不与 B1B 业
平行时，四边形 EFGH 为梯形．]
返
首
页
32
·
自
课
主 预
4．如图所示，在长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E 是 BC 的中点，
堂 小
习
结
探 M，N 分别是 AE，CD1 的中点．
·
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
层 作
疑
业
难 性质定理可知 m∥n.]
返 首 页
·
7
·
自
课
主
堂
预 习
2．已知平面 α∥平面 β，直线 l∥α，则( )
小 结
·
探 新
A. l∥β
B. l⊂β
提 素
知
养
C. l∥β 或 l⊂β
D. l, β 相交
合
作
课
探 究
C
[假设 l 与 β 相交，又 α∥β，则 l 与 α 相交，与 l∥α 矛盾，则
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
[解] 与本例同理，可证 AB∥CD.
提
新
素
知 合
所以PPAC ＝PPDB ，即63 ＝BD8－8 ，
作
养 课
探 究
所以 BD＝24.
时 分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
16
2. 将本例改为：已知平面 α∥β∥γ，两条直线 l、m 分别与平面 α、
自 主 预
β、γ 相交于点 A、B、C 与 D、E、F.已知 AB＝6，DDEF