角平分线的画法PPT讲稿
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《角平分线的性质》课件
角平分线的应用
• 利用角平分线可以求解未知角度，解决几何问题。 • 通过实例演示角平分线的应用，帮助加深理解。
思考题
• 给定一个三角形，如何构造它的角平分线？ • 如果角平分线上的点不在三角形内怎么办？ • 如果角平分线所分割的边不是三角形的边怎么办？
结语
• 角平分线是几何学中重要的概念，有着广泛的应用。 • 总结角平分线的性质和应用，强调其重要性。 • 提供参考资料，供进一步学习和探索。
《角平分线的性质》PPT 课件
这是一份关于角平分线性质的PPT课件，让我们一起探索角平分线的定义、性 质、应用和相关问题。
什么是角平分线
• 角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。 • 作图方法有使用直尺和指南针、使用角度量具等。
角平分线的性质
• 角平分线定义了角的特殊性质，具有重要的几ห้องสมุดไป่ตู้意义。 • 角平分线和角相似，具有相等比例关系。 • 角平分线具有平行、垂直等重要性质。
角的平分线课件(共16张PPT)
6.3.2.2 角的平分线
思考 如何能得到角平分线呢？ 量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到 小数点后 1 位，然后 再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?
角的平分线的画法及性质预习课件
性质
角的平分线上的点到 角的两边的距离相等 。
角的平分线与相对的 边形成一个等腰三角 形。
角的平分线将角平分 为两个相等的小角。
角的平分线的作法
使用量角器
首先找到角的顶点，然后使用量角器将角平分为两个相等的小角，最后通过角 的两边画出射线和交点。
使用圆规
首先以角的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，与角的两边相交于两点，然后 分别以这两点为圆心，相同的半径画弧，两弧相交于一点，最后连接角的顶点 和交点。
角的平分线定理的逆定理
如果一个点到角的两边的距离相等， 则这个点位于角的平分线上。
与角的平分线相关的习题
习题1
已知角平分线上的点A到角的两边 BC和BA的距离相等，求证：角 BAC是直角。
习题2
在三角形ABC中，AD是角BAC的 平分线，E、F分别是AB、AC上 的点，且DE=DF，求证：E、F分 别位于AD的两侧。
证明方法三
01
利用角平分线的定义证明
02
根据角平分线的定义，利用角的 平分线上的点到角的两边的距离 相等，证明角的平分线性质。
04
角的平分线的拓展知识
与角的平分线相关的定理
角的平分线定理
角的平分线与平行线定理
角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等。
角的平分线与相对的平行线交于一点 ，这一点到这个角的两边的距离相等 。
在日常生活中，角的平分线也有广泛 的应用。例如，在制作风筝时，可以 利用角的平分线来平衡风筝的左右两 侧，使其在空中保持平衡。
在建筑设计、道路规划等领域，角的 平分线也经常被用来确定建筑物的位 置、道路的方向等，以确保整体布局 的协调和美观。
在数学问题中的应用
在数学问题中，角的平分线是常见的考点之一。例如，在解决三角形问题时，可 以利用角的平分线来将一个三角形划分为若干个小三角形，从而利用小三角形的 性质来解决问题。
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
《角平分线》PPT课件3
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/
PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 美术课件：/kejian/meishu/ 物理课件：/kejian/wuli/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 历史课件：/kejian/lishi/
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
探索作已知角的平分线的方法
角平分线的画法：
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB 于N． （２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部交于C． A
（3）作射线OC，
M
则射线OC即为所要求
C
的∠AOB的角平分线.
你也来试一试！
生活中有很多数学问题：小明家 居住在一栋居民楼的一楼，刚好位 于一条自来水管和天然气管道所成 角的平分线上的P点，要从P点建两 条管道，分别与自来水管道和天然 气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么 关系，画来看看.
自来水
天然气
.P
什么叫做角平分线？
角平分线定义：一条射线把一个角分成 两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
c
O
B
探索
一、探索作已知角的平分线的方法
你有哪些方法可以找到角平分线？
活
动1
折叠法
不利用工具，请你将一张用纸
片做的角分成两个相等的角。你有什 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuwen/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
角平分线ppt课件
两边距离相(等√） )
B
D A
C
小结
角平分线上的点到角的两边间隔 相等
到角的两边间隔 相等的点在这个角 的平分线上.
结语
谢谢大家！
PDOPEO(AAS)
PDPE全 ( 等三角形的对应等边）相
反过来，到一个角的两边间隔 相等的点是否一
定在这个角度平富乡上呢？
已知：P如 D O图 A P， E , OB
点 D， E为垂足。 求证： P在 点 AO的 B平分线上
证 明 PD ： OP A E ,O点 BD,E,
A
为垂足
PD P O E R t O
例 1：已知： A如 B的 图 C角 ，平 B分 M C线 ,N 相交P 于点 求证P ： 在 点 BA的 C角平分线上
证明P： D A作 B PE , BC P F , AC
垂足分 DE,F 别 , 为
A
BM 是 AB 的 C平分P在 线 B， M 上点
PD P（ E角平分线上的点的到两角边距离相等）D
上任意P点 D O， A P,EOB 垂, 足分D别 E, . 为
求证P： D PE
A
D P
1
O
2
E
C B
证明：
OC是AOB的平分线（已知） 1 2(角平分线的定义） PD O， APE O（ B 已知） PDOPEO 90(垂直的定义）
在 PD和 O PE中 O
PDO PEO(已证） 1 （ 2 已证） OP OP(公共边）
从上面实验可以角看是出轴，对称图形 ，对称轴是它的线角所平在分的直线。
假如前面活动中的纸片换成木板，钢 板等没法折叠的角，又该怎么办？
用尺规作图的方法作出角 平分线
B
D A
C
小结
角平分线上的点到角的两边间隔 相等
到角的两边间隔 相等的点在这个角 的平分线上.
结语
谢谢大家！
PDOPEO(AAS)
PDPE全 ( 等三角形的对应等边）相
反过来，到一个角的两边间隔 相等的点是否一
定在这个角度平富乡上呢？
已知：P如 D O图 A P， E , OB
点 D， E为垂足。 求证： P在 点 AO的 B平分线上
证 明 PD ： OP A E ,O点 BD,E,
A
为垂足
PD P O E R t O
例 1：已知： A如 B的 图 C角 ，平 B分 M C线 ,N 相交P 于点 求证P ： 在 点 BA的 C角平分线上
证明P： D A作 B PE , BC P F , AC
垂足分 DE,F 别 , 为
A
BM 是 AB 的 C平分P在 线 B， M 上点
PD P（ E角平分线上的点的到两角边距离相等）D
上任意P点 D O， A P,EOB 垂, 足分D别 E, . 为
求证P： D PE
A
D P
1
O
2
E
C B
证明：
OC是AOB的平分线（已知） 1 2(角平分线的定义） PD O， APE O（ B 已知） PDOPEO 90(垂直的定义）
在 PD和 O PE中 O
PDO PEO(已证） 1 （ 2 已证） OP OP(公共边）
从上面实验可以角看是出轴，对称图形 ，对称轴是它的线角所平在分的直线。
假如前面活动中的纸片换成木板，钢 板等没法折叠的角，又该怎么办？
用尺规作图的方法作出角 平分线
16.3 角的平分线课件(共23张PPT)
归纳小结
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质定理的逆定理:
到角的两边距离相等的点在角平分线上.
尺规作图:作已知角的平分线
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
问题
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
新知探究
一起探究
知识点1 角平分线的性质定理
在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合.你从中能得出什么结论？
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点D垂为足，点C为垂足. 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF.
∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)，∴ AC＝ AD = BC.
3.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质定理的逆定理:
到角的两边距离相等的点在角平分线上.
尺规作图:作已知角的平分线
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
问题
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
新知探究
一起探究
知识点1 角平分线的性质定理
在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合.你从中能得出什么结论？
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点D垂为足，点C为垂足. 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF.
∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)，∴ AC＝ AD = BC.
3.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
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A.SAS B.ASA C.SSS D.HL
2.作平角∠AOB的平分线OC,反向延长角平分线 OC得直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
A
O
B
• 1.作直线AB的垂线。
A
B
• 2.用刻度尺画角平分线：在∠AOB的边OA、
OB上，分别取M,N两点，使OM=ON;连接
MN，测量MN的长度，取MN的中点P，射
内合作交流）
• 作∠DOE得D 平分线，并写出作法。
O E
尺规作角的平分线
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
1.作已知角的平分线理论依据是三角形全等条件 的（ ）公理
线OP就是∠AOB的平分线，你知道这是为
什么吗？写出说理过程。
A
M
P
ONB来自角平分线的画法课件学习目标
1.经历作已知角的平分线的过程. 2.掌握作已知角的平分线的方法.
自学方法
• 自学书本书本19页内容
1.动手完成探究部分的问题。（组内交流结果） 2.动手经历作已知角的平分线的方法。 3.思考作法（1）中为什么要以适当的长为半径画
弧？ 4.思半考径作画法弧（？2为）什中么为两什弧么的要交以点大要于在12角M的N内的部长找为？ 5.思考作法（3）中为什么不说成连接OC？ 6.为什么OC为∠AOB的平分线？你会证明吗？（组
2.作平角∠AOB的平分线OC,反向延长角平分线 OC得直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
A
O
B
• 1.作直线AB的垂线。
A
B
• 2.用刻度尺画角平分线：在∠AOB的边OA、
OB上，分别取M,N两点，使OM=ON;连接
MN，测量MN的长度，取MN的中点P，射
内合作交流）
• 作∠DOE得D 平分线，并写出作法。
O E
尺规作角的平分线
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
1.作已知角的平分线理论依据是三角形全等条件 的（ ）公理
线OP就是∠AOB的平分线，你知道这是为
什么吗？写出说理过程。
A
M
P
ONB来自角平分线的画法课件学习目标
1.经历作已知角的平分线的过程. 2.掌握作已知角的平分线的方法.
自学方法
• 自学书本书本19页内容
1.动手完成探究部分的问题。（组内交流结果） 2.动手经历作已知角的平分线的方法。 3.思考作法（1）中为什么要以适当的长为半径画
弧？ 4.思半考径作画法弧（？2为）什中么为两什弧么的要交以点大要于在12角M的N内的部长找为？ 5.思考作法（3）中为什么不说成连接OC？ 6.为什么OC为∠AOB的平分线？你会证明吗？（组