离散数学证明题

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离散数学样卷十二套(含答案)

一、证明下列各题1、（10分）证明蕴涵式：()P P Q Q ∧→⇒2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。

5、 3、（10分）给定代数结构,N ⨯和{}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。

设{}:0,1f N →，定义为：12,,()0k n n k N f n ⎧=∈=⎨⎩否则试证}01N ⨯≅⨯，，，。

4、（10分）给定代数结构,R *，其中R 是实数集合，对R 中任意元a 和b ，*定义如下：a b a b a b *=++⨯ 试证明：,R *是独异点。

二、求下列各题的解：1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）：()()P Q P Q ⌝∨⌝→⌝€2、（15分）{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}11R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、{}11R -⎡⎤⎣⎦3、（15分给定无向图,G V E =，如图，试求： F E DCA B（1）从A 到D 的所有基本链；（2）从A 到D 的所有简单链；（3）长度分别是最小和最大的简单圈；（4）长度分别是最小和最大的基本圈；（5）从A 到D 的距离。

4、（15分）给定二部图12,,G E V =，如图 9v 8v 7v 6v 1V1v 2v 3v 4v 5v 2V 试求1V 到2V 的最大匹配一、证明下列各题1、（10分）证明蕴涵式：()P Q P P Q →⇒→∧2、（10分）证明：()()()A B C A B A C ⨯-=⨯-⨯3、（10分）给定群,G ，则,G 为Abel 群⇔222()()(,())∀∀∈→=a b a b G a b a b4、（10分）给定代数结构,S *，其中S 中元为实数有序对，*定义为 ,,,2a b c d a c b d bd *=+++，试证,S *是可交换独异点。

离散数学试题及答案

离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。

答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。

答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。

答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。

答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。

解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。

反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。

由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。

因此，R一定是反自反的。

答案完整证明了该结论。

2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。

解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。

所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。

离散数学考试题及详细参考答案

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。

（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

离散数学高概率考试题

(2)（高概）证明若S为集合X上的二元关系：a)S是传递的，当且仅当(S∘S)⊆S证明：证明：必要性使得任取序偶<a,b>∈S∘S,则存在c∈X,使得<a,c>∈S∧<c,b>∈S,因为S传递，故传递，故<a,b>∈S,即S∘S⊆S.充分性对任意序偶<a,b>∈S∧<b,c>∈S,有<a,c>∈S∘S,<a,c>∈S,S S传递. 因为S∘S⊆S,故有<a,c>∈S,(3)（中难）（中难）设S为X上的关系，证明若S是自反的和传递的，则S∘S=S。

⊆S; ; 证明: S传递ÛS∘S⊆S以下只需证明S⊆S∘S. "<x,y>ÎS, 因为S自反，有<x,x>ÎS, 由关系合成运算的定义，有<x,y>ÎS∘S，即S⊆S∘S。

本命题的逆不真，举反例如下：仅传递而不自反。

空关系j满足j∘j=j, 但j仅传递而不自反。

(6)（中概低难）设R为集合X上的二元关系，R在X上反传递⇔∀x∀y∀z(x∈X∧y∈X∧z∈X∧xRy∧yRz→x Rz) 当且仅当(R∘R)∩R=φ。

证明：证明：必要性必要性使得任取序偶<a,b>∈R∘R,则存在c∈X,使得<a,c>∈R∧<c,b>∈R,因为R反传递，故反传递，故<a,b>∉R,即R∘R中任何序偶都不属于R，因此(R∘R)∩R=φ. 充分性充分性对R 中任意序偶aRc∧cRb,有<a,b>∈R∘R, 因为(R (R∘R)∩R=φ,∘R)∩R=φ,故<a,b>∉R ，因此，R 反传递. (8)(中概中上难度)设R,S,T 为集合X 上的关系，证明上的关系，证明R∘(S∪T)=R∘S∪R∘T证明：a)任取序偶<a,b>∈R∘(S∪T), 则存在c∈X,使得使得<a,c>∈R 且<c,b>∈S∪T, 若<c,b>∈S,则<a,b>∈R∘S, 若<c,b>∈T,则<a,b>∈R∘T,故<a,b>∈R∘S∪R∘T,即R∘(S∪T)⊆R∘S∪R∘T. b)任取序偶<a,b>∈R∘S∪R∘T,则有<a,b>∈R∘S 或<a,b>∈R∘T, 若<a,b>∈R∘S,则存在c∈X,使得使得 <a,c>∈R 且<c,b>∈S,若<a,b>∈R∘T,则存在d∈X,使得使得 <a,d>∈R 且<d,b>∈T,总之，总之，存在y∈X,使得<y,b>∈S∪T 且<a,y>∈R, 故<a,b>∈R∘(S∪T),即R∘(S∪T)⊇R∘S∪R∘T R∘(S∪T)⊇R∘S∪R∘T. . 综合a)和b)，有R∘(S∪T)=R∘S∪R∘T. 3-8 （2）算闭包。

离散数学习题集(十五套) - 答案

离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数）则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c dA BCa b cda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。

10．下图所示的偏序集中，是格的为。

二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C．若R，S 是对称的，则SR 是对称的；D．若R，S 是传递的，则SR 是传递的。

5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=则P（A）/ R=（）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

《离散数学》试题含答案

《离散数学》试题含答案⼀、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设G是完全⼆叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2 =________________________,R2?R1 =____________________________, R12=________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B =__________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设⼀阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。

离散数学证明题（精选篇）

离散数学证明题离散数学证明题离散数学证明题离散数学证明题:链为分配格证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,分下面两种情况讨论:⑴b≤a或≤a⑵a≤b且a≤如果是第⑴种情况,则a∪(b∩)=a=(a∪b)∩(a∪)如果是第⑵种情况,则a∪(b∩)=b∩=(a∪b)∩(a∪)无论那种情况分配律均成立,故A是分配格.一.线性插值(一插值)已知函数f(x)在区间xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。

1. 插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:记并称它们为一插值基函数。

该基函数的特点如下表：从而P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)此形式称之为拉格朗日型插值多项式。

其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。

一插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .例1: 已知lg10=1,lg=1.3010, 利用插值一多项式求lg12的近似值。

解: f(x)=lgx,f(10)=1,f()=1.3010, 设x0 =10 ,x1 = ,y0 =1 ,y1 =1.3010则插值基函数为：于是, 拉格朗日型一插值多项式为:故 :即lg12 由lg10 和lg 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二.二插值多项式已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个数不超过二的多项式P2 (x), 使其满足,P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 .其几何意义为:已知平面上的三个点(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一个二抛物线, 使得该抛物线经过这三点。

32784离散数学(2)-1复习题

离散数学（2）-1复习题一、证明题1．利用真值表证明公式(Q→P)∧(¬P∧Q) 为矛盾式。

解令β=(Q→P)∧(¬P∧Q)，公式β的真值表如表所示。

公式β的真值表因为公式β的真值表的最后一列全为0，所以该公式为矛盾式。

2. 证明整数集I上的模m同余关系R={<x,y>|x≡y(mod m)}是等价关系。

其中，x≡y(mod m)的含义是x-y可以被m整除。

证明：1）∀x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x≡x(mod m)，即xRx。

2）∀x,y∈I，若xRy，则x≡y(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y - x）/m=-k∈I，所以y≡x(mod m)，即yRx。

3）∀x,y,z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。

3．利用真值表证明⌝(P∨Q)与⌝P∧⌝Q这两个命题公式是等值的。

解：要判断⌝(P∨Q)与⌝P∧⌝Q这两个命题公式是否等值，即用真值表法判断⌝(P∨Q)与⌝ P∧ ⌝Q 是否为重言式，此等价式的真值表如表所示。

从表1.10可知⌝(P∨Q)↔(⌝P∧⌝Q)是重言式，因而⌝(P∨Q)与⌝P∧⌝Q等值。

4. <G,*>是个群，u∈G，定义G中的运算“∆”为a∆b=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：<G, ∆>也是个群。

证明：1）∀a,b∈G，a∆b=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。

2）∀a,b,c∈G，（a∆b）∆c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a∆（b∆c），运算是可结合的。

3）∀a∈G，设E为∆的单位元，则a∆E=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元。

4）∀a∈G，a∆x=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则x∆a=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。

(完整版)离散数学题目及答案

数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式（ √ ） 2．公式)(q p p →⌝→是永真式（ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式（ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题（ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式（ × ） 9．“我正在撒谎”是命题（ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题（ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式（ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式（ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式（ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式（ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1．下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。

C．2是偶数。

D．铅球是方的。

2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。

离散数学试题带答案(三)

离散数学试题带答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2•R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。

离散数学题集

一、填空题(共20分)1．若A-B=A, 则A B= .2．若关系R具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素；若关系只具有对称性，当且仅当关系矩阵是 .3．设 f : N→N, 且令A={0,1}, B={2}, 那么有f(A) = ； f(B) = .4．A={1,2}, 则EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}IA={<1,1>,<2,2>}5．已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点 .二、单项选择题(选择一个正确答案的代号，填入括号中。

共14分)1．下面关于集合的表示中，正确的是( )．A．φ＝0 B．φ∈{φ}C．φ∈φ D．φ∈{a，b}2．设R1，R2是集合A＝{1，2，3，4}上的两个关系，其中R1＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(4，4)}，R2＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，4)}，则R2是R1的( )闭包．A．自反 B．反对称C．对称 D．以上都不是3．设半序集(A，≤)上关系只的哈斯图如下图所示，若A的子集B＝{2，3，4，5}，则元素6为B的( )．A．下界 B．上界C．最小上界 aa D. 最大下界4．函数f : R→R, f(x)= -x2+2x-1是( )A．单射的 B．双射的C．满射的 D．以上都不对5.非平凡的无向树至少有( )片树叶．A．1B. 2C．3D．4三、计算题(共50分)1．求下列公式的前束范式：1）∃xF(x)→∀xG(x)2）∀xF(x)∃⌝∧yG(y)2．求⌝(p→q)⌝∨r 的主析取范式与主合取范式3．设偏序集<A,≼>如下图所示，求A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 设B＝{ b, c, d }, 求B 的下界、上界、下确界、上确界.4．设 f : R →R, g : R →R2)(323)(2+=⎩⎨⎧<-≥=x x g x x x x f求 f ∘g, g ∘f. 如果 f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数四、证明题1)证明 A ⊕B=A ⋃B-A ⋂B. 2)证明下列等值式:⌝ ∃x(M(x)∧F(x)) ⇔ ∀x(M(x)→ ⌝F(x))答案一、填空题1．φ2．全为1 对称矩阵3．f(A)=f({0,1}) = { f(0), f(1) }={ 0, 2 }f(B) = { f(2) } = { 1 }4．EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}IA={<1,1>,<2,2>}5．8二、单项选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 三、计算题1．解：1) ⇔⌝∃xF(x)∨∀xG(x)⇔∀x⌝F(x)∨∀xG(x)⇔∀x⌝F(x)∨∀yG(y)⇔∀x(⌝F(x)∨∀yG(y))⇔∀x∀y (⌝F(x) ∨G(y))2) ∀xF(x)∃⌝∧yG(y)⇔∀xF(x)∧∀y⌝G(y)⇔∀x(F(x)∧∀y⌝G(y))⇔∀x∀y(F(x)⌝∧G(y))2．解：解 (1) ⌝(p→q)⌝∨r ⇔ (p⌝∧q)⌝∨rp⌝∧q ⇔ (p⌝∧q)∧1⇔ (p⌝∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p⌝∧q⌝∧r)∨(p⌝∧q∧r)⇔ m4∨m5⌝r ⇔ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)⌝∧r⇔ (⌝p⌝∧q⌝∧r)∨(⌝p∧q⌝∧r)∨(p⌝∧q⌝∧r)∨(p∧q⌝∧r)⇔ m0∨ m2∨ m4∨ m6 得⌝(p→q)⌝∨r ⇔ m0∨ m2∨ m4 ∨m5 ∨ m6可记作⇔∑(0,2,4,5,6)(2) ⌝(p→q)⌝∨r ⇔ (p⌝∨r)∧(⌝q⌝∨r)p⌝∨r ⇔ p∨0⌝∨r⇔ p∨(q⌝∧q)⌝∨r⇔ (p∨q⌝∨r)∧(p⌝∨q⌝∨r)⇔ M1∧M3⌝q⌝∨r ⇔ (p⌝∧p)⌝∨q⌝∨r⇔ (p⌝∨q⌝∨r)∧(⌝p⌝∨q⌝∨r)⇔ M3∧M7得⌝(p→q)⌝∨r ⇔ M1∧M3∧M7可记作⇔∏(1,3,7)3．解：极小元：a, b, c, g；极大元：a , f , h ；没有最小元与最大元.B 的下界和最大下界都不存在,上界有d 和f , 最小上界为 d .4．解：⎩⎨⎧<-≥+=⎩⎨⎧<≥+=→→121)2()(332)(RR :RR :22x x x x g f x x x x f g g f f g f : R →R 不存在反函数；g : R →R 的反函数是g -1: R →R, g -1(x)=x -2四、证明题1) 证 A ⊕B=(A ⋂~B)⋃(~A ⋂B)=(A ⋃~A)⋂(A ⋃B)⋂(~B ⋃~A)⋂(~B ⋃B) =(A ⋃B)⋂(~B ⋃~A) =(A ⋃B)⋂~(A ⋂B) =A ⋃B-A ⋂B2）证左边 ⇔ ∀x ⌝(M(x)∧F(x))⇔ ∀x(⌝M(x)∨⌝F(x)) ⇔ ∀x(M(x)→ ⌝F(x))离散数学试卷一．选择题1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2.设集合A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( ) (A) 1∈A (B) {1,2, 3}⊆A (C) {{4,5}}⊂A (D) ∅∈A3．设R 1，R 2是集合A ＝{1，2，3，4}上的两个关系，其中R 1＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(4，4)}，R 2＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，4)}，则R 2是R 1的( )闭包． A ．自反 B ．反对称 C ．对称 D ．以上都不是4．设S 1={1,2，…，8,9},S 2={2,4,6,8},S 3={1,3,5,7,9}，S 4={3,4,5},S 5={3,5}.确定在以下条件下X 可能与S 1,…, S 5中哪个集合相等。

离散数学期末考试试题(有几套带答案)

离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分）1)(⌝P ∧(⌝Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔((⌝P ∧⌝Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ⇔(⌝(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ⇔T ∧R(置换)⇔R2)∃x(A(x)→B(x))⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x ⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)⇔⌝(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))⇔（⌝P ∧(⌝Q ∨⌝R)）∨(P ∧Q ∧R) ⇔(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R)⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(⌝P ∧Q ∧⌝R))∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R) ⇔m0∨m1∨m2∨m7 ⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1） C ∨D, (C ∨D)→ ⌝E, ⌝E →(A ∧⌝B), (A ∧⌝B)→(R ∨S)⇒R ∨S证明：(1) (C ∨D)→⌝E(2) ⌝E →(A ∧⌝B)(3) (C ∨D)→(A ∧⌝B) (4) (A ∧⌝B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)(6) C ∨D(7) R ∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x) (2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)∃x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。

离散证明题

离散数学证明题专项训练——09软件2班金信冬1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群证明：由条件e a =2，所以1-=a a ，则对任意的a ，b ，11-*-=*b a b a另外，由e b a =*2)(，得e b a b a b a =***=*)()(2)(，两边同时左乘以1-a ，右乘以1-b ，利用结合律，得11-*-=*b a a b 所以a b b a *=*，<G ，*>是交换群2．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 证明(1) SCP 规则 (2) ⌝S ∨PP(3) P(1),(2)析取三段论(4) P →(Q →R) P (5)Q →R (3),(4)假言推理 (6)QP(7)R(5),(6)假言推理3.设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø证明：A —B=AA ∩~B=A =>A ∩~B ∩B=A ∩B=>A∩B= øA∩B= ø=>(A∩B)∪~B=~B=>A∪~B=~B=>A∩(A∪~B)=A∩~B=>A∪(A∩~B)=A-B=>A=A-B4. 设R,S都是非空集合A上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS具有对称性当且仅当 RoS=SoR.证明：1）必要性对于任意<x,y>∈RoS<=><y.x>RoS<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=>存在z(<z,y>∈S ∧<x,z>∈R)<=><x,y>∈SoR所以RoS=SoR.2)充分性对于任意<x,y>∈RoS<=> <x,y>∈SoR<=>存在z(<x,z>∈R ∧<z,y>∈S)<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=><y,x>∈RoS所以：RoS具有对称性。

离散数学试题及答案解析

________________________,R2R1 =____________________________,
R12
=________________________.
10. 设有限集 A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |(AB)| = _____________________________.
合映射•，•, •, •，••.
4. 设 I 是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2) f (3)
3
2
3
2
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
P(2, 2) P(2, 3) P(3, 2) P(3, 3)
0
0
1
1
(2) xy P (y, x).
5. 设集合 A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R 为 A 上整除关系。
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是( ).
(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.
8 设命题公式 G＝(PQ)，H＝P(QP)，则 G 与 H 的关系是( )。
(A)GH (B)HG (C)G＝H (D)以上都不是.
9 设 A, B 为集合，当( )时 A－B＝B.
(A)A＝B
(B)AB
＝_________________________;A－B＝ _____________________ .
7. 设 R 是集合 A 上的等价关系，则 R 所具有的关系的三个特性是______________________,
________________________, _______________________________.

《离散数学》复习练习题带答案(六)

离散数学试题带答案四、证明题1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群2. 形式证明q s p r s r q p ⇒∧⌝→∨→,,3. 证明：P →(Q →R)⇔P ∧Q →R.4．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 5．试证明：Q R R Q Q P ⌝⇒⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝)()( 6. 证明：)()(x xB x xA ∀→∃⇒))()((x B x A x →∀7．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树. 8. 设B 是任意集合，试验证(P(B),⊕)是群. P(B)是集合B 的幂集，⊕是集合的对称差运算， 9．给定代数系统(G,+,*), 二元运算见表一，表二.表一表二证明(G ,+,*)是域.10. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系． 11．试证A －(B －C)＝(A －B)⋃(A ⋂C)12．设非空集合A ，验证(A A P ,~,,,),(∅⋂⋃)是布尔代数，13. 试证明属于关系不满足传递性，即对于任意的集合A,B,C 若A ∈B 且B ∈C 不一定有 A ∈C14．设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø15. 设R,S 都是非空集合A 上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS 具有对称性当且仅当 RoS=SoR.16. 已知g ：A->B,f ：B->C1）已知fog 是单射的且g 是满射的，证明f 是单射的 2）已知fog 是满射的且f 是单射的，证明g 是满射的 17．设A 是传递集，证明A+也是传递集。

18．设G 是n 阶无向简单图，其直径为d(G)=2, ο(G)=n-2，证明G 的边数m ≥2n-4 19．V=<S,*>是可交换半群,若a,b ∈S 是V 中得幂等元，证明a*b 也是V 中的幂等元20．设 L 是格，证明对于任意a,b,c,d ∈L 有：( a ∧b)∨(c ∧d)≤(a ∨c)∧(b ∨d)五、计算题1. 无向树T 有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其他的都是树叶，问T 中有多少片树叶？2. 设公式()()x Q x P → ，其中P(x)：x>2，Q(x)：x=0，F 是永假式，个体域是{1，2}，求公式A(x)的真值 3. 设集合X={1，2，3, 4}，X 中的关系为F={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>} 写出F 的关系矩阵及其关系图，F 有哪些性质？4. (1) n(n ≥1)阶无向完全图与有向完全图各有多少条边?为什么？ (2)完全二部图K m n ,中共有多少条边?为什么？(3) 每个顶点的度都为k 的无向图称为k 正则图，问：n 阶k 正则图中共有多少条边?为什么？5. 设集合L={a ，b}，在L 中规定 + 和·如下：a+a=a ，a+b=b+a=b ，b+b=b a ·a=a ，a ·b=b ·a=a ，b ·b=b问<L ，+，·>能构成代数系统吗？若可以，写出该代数系统的运算表。

《离散数学》试题及答案

《离散数学》试题及答案一、填空题1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; (B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则| (A×A)| = __________________________.3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝(P Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A B＝_________________________; A B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________,_______________________________.8. 设命题公式G＝(P (Q R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________,__________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1 R2 = ________________________,R2 R1 =____________________________, R12 =________________________.(A) -10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| | (A B)| =_____________________________. 11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x R}, B = {x | 0≤x 2, x R},则A-B =__________________________ , B-A = __________________________ , A∩B =__________________________ , .13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = xP(x) xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式xR(x)→ xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。

离散数学答案-第四章习题解答.doc

习题四1.用归结法证明:(1)\= p^q^r(2)p T r , q — r# pvqir(3)p W 匕(p T q)v(p f r)(4)p /\q r |= (/? ^ r) v(t? r)(5)p v v r , p t r A q v『⑹(〃T q) T O T 厂)f= p T (q T r)解(1)首先将p I q , p I f , 7p T q八门化为合取范式。

p T q o —\p 7 q , p T r o —yp v r ,—>(# T q /\ 厂)u> -1(-1/? v(q A /*)) u> /? /\ (—v -i厂)给出子句集\rpy q’rpy l ”，p,->^rv—»r｝的反驳如下。

①rpy q②~yp v r③p④-it?v—«r⑤q由①和③⑥r由②和③⑦由④和⑤⑧口由⑥和⑦因此，p — q , p T r b p I q z⑵将p T r, q T厂7p v q —厂)化为合取范式。

/? T 厂O -1〃\/儿q t ro-yq 7 丫、-i( p v q r) <=> (p v q) /\—^r 给111子句集｛ v r, v r, p v ty, -.r｝的反驳如下：—p v r②->q v r③p y q④—if⑤q 7 T rti①和③⑥r由②和⑤⑦□由④和⑥因此，p—> r, q T r 匕p v q T r。

⑶首先将p t qy r, -•((/?^^)v(p^r))化为合取范式。

p T q \z 厂 o -yp v <7 v r ,T q) \/ (p —> r)) o -i((-ip v^) v (-i/? v r))<=> p A —yq A -ir给出子句集\rp7 q\/ F ,p, -yq , 的反驳如下。

—7 q7 丫 Prq—>rq7 丫由①和② r由③和⑤ □由④和⑥①②③④⑤⑥⑦因此，p T qvr \= (j?->(7)v(/?^r)(4)首先将 p /\qf r, -i((pr) v ((? -> r))化为合取范式。

《离散数学》试题及答案

一、填空题1设集合A，B，其中A＝｛1,2,3｝，B= {1，2}, 则A — B＝｛3} ；ρ（A）—ρ（B)＝｛3｝，{1,3｝,{2，3},{1,2，3}} 。

2. 设有限集合A, ｜A| = n, 则｜ρ（A×A)｜= .3.设集合A = ｛a，b}, B = {1，2}，则从A到B的所有映射是α1= ｛（a，1），(b，1）}，α2= {(a，2），（b,2）｝，α3= ｛（a，1），(b,2)}, α4= ｛（a，2), （b,1)}, 其中双射的是α3，α4 。

4。

已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是（P∧⌝Q∧R）5。

设G是完全二叉树,G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合，A= ｛1,2，4}，B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ；A⋃B＝｛1，2,3，4｝;A－B＝{1，2｝.7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性。

8。

设命题公式G＝⌝（P→(Q∧R)），则使公式G为真的解释有（1，0, 0), （1，0, 1),（1，1, 0)9. 设集合A＝{1,2，3,4}, A上的关系R1 = ｛(1，4）,（2,3),（3，2）｝，R2 = {(2，1)，（3，2)，（4,3)｝, 则R1•R2 =｛(1,3)，(2,2），（3，1)｝, R2•R1 = {（2，4），(3,3)，（4,2）｝_R12 ={(2，2），（3,3）。

10. 设有限集A，B，|A| = m，|B| = n, 则| ｜ρ(A⨯B）| = 。

11设A，B，R是三个集合，其中R是实数集,A = ｛x | -1≤x≤1，x∈R｝, B = {x | 0≤x < 2, x∈R｝，则A-B = —1<=x〈0 , B—A = ｛x | 1 < x < 2，x∈R} ,A∩B =｛x ｜0≤x≤1, x∈R｝, .13.设集合A＝{2，3，4, 5，6},R是A上的整除关系，则R以集合形式（列举法)记为{（2，2）,(2, 4)，（2，6）,（3，3)，（3, 6）,（4，4），（5，5）,（6, 6)｝。