高中数学简单的线性规划(提高)知识梳理

简单的线性规划

【考纲要求】

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

要点诠释：

画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；

②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域。

简称：“直线定界，特殊点定域”方法。

考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

要点诠释：

判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：

因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

考点三：线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、简单的线性规划 二元一次不等式（组）

表示的区域

简单应用

不等式（组）的应用背景

y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z=ax+by (a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

要点诠释：

在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：

①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。

②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；

③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；

④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。 考点四：解线性规划问题总体步骤：

设变量→找约束条件，找目标函数

作图，找出可行域−−

−→−运动变化

求出最优解 要点诠释：

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：

①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；

②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．

【典型例题】

类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1. 用平面区域表示不等式组3122y x x y ≤-+⎧⎨≤⎩

. 【解析】不等式312y x ≤-+表示直线312y x =-+右下方的区域，

2x y ≤表示直线2x y =右上方的区域，

取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

举一反三：

【变式1】画出不等式组3003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩

表示的平面区域并求其面积。 【解析】如图，面积为814

；

【变式2】由直线20x y +-=，220x y --=和10x +=围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为 。

【解析】122020x x y x y >-⎧⎪--<⎨⎪+-≤⎩

【变式3】求不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示平面区域的面积.

【解析】不等式所表示的平面区域如图

联立方程组得)2

5,25(),3,3(),8,3(--C B A 所以4

121211112121=⨯⨯=⋅=h AB S ABC 例2. 画出下列不等式表示的平面区域

(1) 0)1)((≤---y x y x ； (2) x y x 2≤≤

【解析】 (1) 原不等式等价转化为010x y x y -≥⎧⎨--≤⎩或⎩⎨⎧≥-≤-1

0y x y x （无解），

故点),(y x 在区域010

x y x y -≥⎧⎨--≤⎩内，如图：

(2) 原不等式等价为0020y x y x y >⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩或0020y x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩

，如图

举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式

（1）1y x ≥+； （2）x y ≥； （3）x y ≥

【解析】