四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法

在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为

2

2

2

c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2

2

22c b a R ++=

【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：

因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=

1663142

2

22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S

二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，

5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22

2

10517=+ 所以知222PC PA AC +=

所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，

在ABC Rt ∆中OC OB OA ==

在PAC Rt ∆中OC OB OP ==

所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心

52

1

==

AC R 所以该外接球的体积为3

500343π

π==R V

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，

2===AC AD AB

解：由已知建立空间直角坐标系

)000(

，，

A )002(，，

B )200(，，D (C

设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知

222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++

解得 13

3

1==

=z y x

A

C

C

y

所以半径为3

21

1331222=

++=）（

R 【结论】：空间两点间距离公式：2

21221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=

四、四面体是正四面体

处理球的“内切”“外接”问题

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥的内切、外接球问题

例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．

正四面体的表面积22

34

34a a S =⨯

=表． 正四面体的体积222212

34331BE AB a AE a V BCD A -=⨯⨯=

- 322212

233123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

BCD A V r S -=⋅表31

，a a

a

S V r BCD

A 1263122332

3

=⨯==∴-表

在BEO Rt ∆中，2

22EO BE BO +=，即22

233r a R +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为

4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4

3h

，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。

例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ∆的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ，

图2

图1

由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥

设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2，得截面图MEF ∆及内切圆O

不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ∆的内心. 设球O 的半径为r ，则MF

EM EF S r MEF

++=

∆2，设a EF AD ==,1=∆AMD S .

2

22,2⎪⎭

⎫

⎝⎛+==∴a a MF a EM ,122

222222

2

2-=+≤

⎪

⎭

⎫

⎝⎛+++=

a a a a r

当且仅当a

a 2

=

，即2=a 时，等号成立. ∴当2=

=ME AD 时，满足条件的球最大半径为12-.

练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。（答案为：2） 【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。 二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图3，截面图为正方形

EFGH 的内切圆，得2

a

R =

； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2

2

=

。 3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2

3

1=

=。 例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且

a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.

图3

图4

图5