第4章拉丁方试验设计与分析
试验设计与统计分析 第四章 常用的试验设计方案
(2) B C D E A 行间调整 D E A B C A B C D E E A B C D C D E A B
5×5拉丁方
3. 优缺点： 优缺点：
优点：满足试验设计的原则，能提供无偏的试验 优点：满足试验设计的原则， 误差估计；由于两个方向都设计的区组，因此可 误差估计；由于两个方向都设计的区组， 以控制两个方向的土壤差异，精度较高；设计简 以控制两个方向的土壤差异，精度较高； 单，统计分析简单；缺区能补充。 统计分析简单；缺区能补充。 缺点：缺乏伸缩性，因为重复数等于处理数； 缺点：缺乏伸缩性，因为重复数等于处理数；要求 一块规则平整的地形，一个试验不能分开设置，缺 一块规则平整的地形，一个试验不能分开设置， 乏灵活性。 乏灵活性。
3. 局部控制： 局部控制：
局部控制：在试验的一个小范围内， 局部控制：在试验的一个小范围内，保持除试 验处理以外的一切影响试验结果的因素要控制 相似或相同的条件下 。 局部控制的作用： 局部控制的作用： 1）降低试验误差 2）正确的估计试验处理的效应值
重复
随机排列
局部控制
无偏估计试验误差
降低试验误差
处理数＝重复数＝行数＝ 处理数＝重复数＝行数＝列数 根据处理数×重复数（处理数的平方数） 根据处理数×重复数（处理数的平方数）将 试验地分成若干个小区， 试验地分成若干个小区，然后将应用的拉丁方设 计方案安排到各小区中。 计方案安排到各小区中。
2、设计方案
1）根据处理数查标准的拉丁方表（P25页）， 根据处理数查标准的拉丁方表（P25页 也可以人工排标准的拉丁方表。 也可以人工排标准的拉丁方表。 常用拉丁方理论方案
缺点： 缺点：
要求试验地能满足安排全部试验小区，且 要求试验地能满足安排全部试验小区， 规则的地块； 规则的地块；
拉丁方试验和统计方法
第十三章拉丁方试验和统计方法知识目标：●掌握拉丁方试验设计方法；●掌握拉丁方试验结果统计分析方法。
技能目标：●学会拉丁方试验设计；●学会拉丁方试验结果统计分析。
第一节拉丁方试验设计一、拉丁方设计将k个不同符号排成k列，使得每一个符号在每一行、每一列都只出现一次的方阵，叫做k×k拉丁方。
应用拉丁方设计〔latin square design〕就是将处理从纵横二个方向排列为区组(或重复)，使每个处理在每一列和每一行中出现的次数相等〔通常一次〕，即在行和列两个方向都进行局部控制。
所以它是比随机区组多一个方向局部控制的随机排列的设计，因而具有较高的精确性。
二、拉丁方设计步骤拉丁方设计的特点是处理数、重复数、行数、列数都相等。
如图13-1为5×5拉丁方，它的每一行和每一列都是一个区组或一次重复，而每一个处理在每一行或每一列都只出现一次，因此，它的处理数、重复数、行数、列数都等于5。
C D A E BE C D B AB A EC DA B C D ED E B A C图13-1 5×5拉丁方拉丁方试验设计的步骤如下：〔1〕选择标准方标准方是指代表处理的字母，在第一行和第一列均为顺序排列的拉丁方。
如图13-2。
在进行拉丁方设计时，首先要根据试验处理数k从标准方表中选定一个k×k的标准方。
例如处理数为5，那么需要选定一个5×5的标准方，如图13-2。
随后我们要对选定的标准方的行、列和处理进行随机化排列。
本例处理数为5，因此根据随机数字表任选一页中的一行，除去0、6以上数字和重复数字，满5个为一组，要得到这样的3组5位数。
假设得到的3随机数字为14325，53124，41235。
〔2〕列随机用第一组5个数字14325调整列顺序，即把第4列调至第2列，第2列调至第4列，其余列不动。
如图13-3。
〔3〕行随机用第二组5个数字53124调整行顺序，即把第5行调至第1行，第3行调至第2行，第1行调至第3行，第2行调至第4行，第4行调至第5行。
拉丁方设计
▪
Ｃ×Ｄ
Ｂ×Ｄ Ａ×Ｄ
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11
按正交表Ｌ８ (２７)安排试验，各处理的组合为
处理 编号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
A因素 B因素
１列 １ １ １ １ ２ ２ ２ ２
２列 １ １ ２ ２ １ １ ２ ２
３列 １ １ ２ ２ ２ ２ １ １
C因素
４列 １ ２ １ ２ １ ２ １ ２
５列 １ ２ １ ２ ２ １ ２ １
６列 １ ２ ２ １ １ ２ ２ １
D因素
７列 １ ２ ２ １ ２ １ １ ２
观察 指标
###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.#
8
选择正交表的几个原则
⑴、各实验因素的水平数最好相等。当ｍ＝２时，可 选选LL49（（2334））、 、LL81（ 8（23117））、、LL1267（（231153））等等；；当当ｍ ｍ＝ ＝３ ４时 时， ，可 可 选（４L16×（２454））、、LL3126（（4４9）2×等２。4当）水、平L18数（不2×等3时7），等则。可选L8
⑵、试验的操作简单或希望得到较多的信息，可选择 Ｎ较大的正交表。反之，操作复杂或成本较高的试验， 可选择Ｎ较小的正交表。
⑶、分析交互作用（主要是两因素之间的交互作用）， 选ｋ较大的正交表。若已知因素间的交互作用很小，则 选ｋ较小的正交表。
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正交设计
▪ 例5：有研究者为研究某种呼吸机的四个参数 选择对通气量的影响，这四个参数分别为频 率（Ａ因素）、驱动压（Ｂ因素）、呼吸比 （Ｃ因素）和管径（Ｄ因素），每个参数分 高、低两个水平。按析因设计，有２４ ＝１ ６种处理分组，如选择正交表Ｌ８(２７) 进 行试验，只需８种处理分组。
拉丁方设计
拉丁方设计-----------------------------------------------------------------“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
S4 拉丁方设计
D47
192 A314
C31
202 B145
A87
236 C136
A87
205 D240
213
835
1.H0：（1）各动物对药液的反应总体均数相等 （2）各用药次序的反应总体均数相等 （3）各药液的反应总体均数相等 H1：（1）各动物对药液的反应总体均数不全相等 （2）各用药次序的反应总体均数不全相等 （3）各药液的反应总体均数不全相等
自由度
15 3 3 3 6
MS
F值
257.73 90.23 1784.23 176.65
1.46 0.511 10.101
4.P值
F0.05,3,6 5.14 F0.01,3,6 9.78 药液间F>F0.01,3,6 9.78, P 0.01, 有统计学意义。
5.结论
统计分析举例：
例 四只大白鼠对不同药液、不同次序的反 应的拉丁方试验设计的实验数据的方差分 析。
用药次序 大白鼠编号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 1 A75 B45 C25 2 B29 D71 A71 3 C27 A81 D80 4 D42 C53 B23 各动物 合计 173 250 199
Ⅳ
各次序合计 各药液合计
0.05
C
( X ) 2 n
835
16
2
43576.56
2 2 2
2.
SS
总
2
X 2 C 75 45 87 C 7456.44
SS动物间
各动物小计的平方和 C 动物数
2
173
SS次序间
213 C 773.19 4 各次序小计的平方和 C 次序数 205 C 270.69 4 各药液小计的平方和 C 药液种类
拉丁方
2.1
3、随机分配处理
（1）对各因素事先编号 首先规定 家兔编号 部位编号 药物编号 1 Ⅰ 2 3 Ⅱ 4 5 Ⅲ Ⅳ Ⅴ
甲 乙 丙 丁 戊
（2）随机化处理 读取5个随机数字10，28，81，47，20， 读取5个随机数字10，28，81，47，20，则 10 R=1， R=1，3，5，4，2，有A（甲）B（丙） C（戊） D （丁） E （乙） （3）随机安排处理 将随机化后的拉丁方行、 将随机化后的拉丁方行、列与字母分别对应于 家兔、注射部位、药物。 家兔、注射部位、药物。
用r个拉丁字母排成 行r列的方阵，使每行 个拉丁字母排成r行 列的方阵 列的方阵， 个拉丁字母排成 每列中每个字母都只出现一次， 每列中每个字母都只出现一次，这样的方阵叫 r阶/r×r拉丁方 。 阶 × 拉丁方 按拉丁方的字母、 按拉丁方的字母、行、列安排处理及影响因 素的试验称为拉丁方试验。 素的试验称为拉丁方试验。
C D A B E D E E B A C A B D E C B C E A D C D E B C A A B D E C E A C D B B C E A D D C D A B E A E B E A D D C C B B C E A D E B C A
3.4
C D A B
D A B E
r×r拉丁方设计方差分析表 × 拉丁方设计方差分析表
变异来源
总变异 处理组间 行间 列间 误差
离均差平方 自由度 DF 和SS
均ห้องสมุดไป่ตู้MS 均方
F
P
∑X
2 ij
−C
r2-1 r-1 r-1 r-1 SS处理/( r-1) MS / MS误差
处理
1 X k2 − C ∑ r
拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题
拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题拉丁方实验设计（Latinsquaredesign，LSD）是指利用全排列采样技术对地层因素（如温度、盐度、污染物等）和人工因素（如抽样时期、采样设备等）为每个试验单元构建定量模型的一类实验设计方法，它已经成为多元统计分析（Multivariate statistical analysis）中的重要工具之一。
它使实验者能够迅速而有效地研究出实验变量，也能够发现更多实验变量与实验结果之间的关系及其趋势。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理主要有：（1）排列和组合原理。
实验设计的本质是一种排列，因此拉丁方实验设计的基本思想是利用排列的原理来解决实验问题。
拉丁方实验设计需要通过排列和组合手段，让实验变量的不同效应在实验中得到充分展现。
（2）分组原理。
拉丁方实验设计是把所有实验观测数据进行分组处理，使实验结果能够达到最大程度的描述和控制。
每一个分组中，实验设计要求所有变量的单位观测值（平均）达到均衡，这样就可以有效地消除每个实验变量的误差影响。
（3）协方差原理。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理还包括协方差原理，它是实验设计时最重要的原理之一。
协方差原理指的是两个变量之间的关系，它可以帮助实验者有效地控制实验当中的干扰因素，以便更好地控制实验结果。
在实际使用拉丁方实验设计过程中，实验者会遇到几个常见的问题：（1）实验变量选择问题。
由于拉丁方实验设计本身具有排列、组合、分组和协方差原理，在实际使用中，实验变量的选择非常重要，否则试验结果会不准确。
（2）试验设计问题。
拉丁方实验设计的本质是实验变量的排列，因此实验者需要合理设计实验，以便能够更好地揭示不同实验变量之间的关系。
（3）实验结果分析问题。
拉丁方实验设计得出的实验结果需要进行相应的分析才能够得出准确的结论，而且拉丁方实验设计是包含多种因素的实验设计，实验结果分析需要对多种变量进行分析，因此，分析的结果会更加准确。
4.拉丁方试验设计
• 试验设计见下表：奶牛血色素测定的5×5拉丁方 设计 • 奶牛号 试 管 号 • 1 2 3 4 5 • 1 A（4） D（5） E（2） C（3） B（1） • 2 E（2） C（3） D（5） B（1） A（4） • 3 C（3） A（4） B（1） E（2） D（5） • 4 D（5） B（1） C（3） A（4） E（2） • 5 B（1） E（2） A（4） D（5） C（3） • 注：括号内的数字表示兽医师编号。
• 四、拉丁方试验设计 • 1、根据试验处理数选定一个标准拉丁方。 • 2、随机拉丁方的行、列： • 3阶拉丁方先随机1、2、3列，再随机2、 3行即可； • 4阶拉丁方先随机1、2、3、4列，再随 机2、3、4行即可；也可随机所有的行列。 • 5阶及以上拉丁方先随机所有列，再随机 所有行即可。 • 3、随机确定哪个字母代替何种试验处理。
Chapter 5 拉丁方试验设计
拉丁方试验设计是运用局部控制的原则而进行的一个设计方法。 一、拉丁方试验设计：根据拉丁字母排成的k行k列的方阵来安排 试验处理，每个字母代表一个试验处理，行和列各安排一个影响 试验结果的非处理因素。该设计方法即为拉丁方试验设计。 二、拉丁方：由k个拉丁字母排成的k行k列的方阵，使每个拉丁 字母在每一行每一列均出现一次。 3阶拉丁方： A B C B C A C A B 4阶拉丁方： A B C D B C D A C D A B D A B C
• 由于拉丁方试验设计的处理数=重复数=行 区组数=列区组数，处理数多则重复较多， 造成浪费；处理数少，则重复少，误差就 大；因此，拉丁方试验一般应用于试验处 理数为5-----8个的试验。 • 五、拉丁方试验结果的统计分析 • 用方差分析。行和列各作为一个非处理因 素。 • SST=SSt+SS行+SS列+SSe • dfT=dft+df行+df列+dfe
拉丁方试验设计及统计分析
前言拉丁方试验设计及分析1前言“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列拉丁方试验设计及分析就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA 的顺序来安排实验处理的顺序。
拉丁方设计
拉丁方的应用注意事项一：当实验的动物数量较少的时候二：当需要排除单位组因素所产生的系统误差对实验造成的影响的时候。
（在后面有详细的例子会对该问题就行阐述）。
三;主要是为了消除单位组内的实验单位之间的差异而对于拉丁方的定义是什么呢？如果有n个字母排列起来，将他们分成一个矩阵，这n个字母在n排和n列当中只能出现一次，我们称之为n阶方程为n×n阶拉丁方。
第一行第一列都是按照顺序来排列的拉丁方叫做基本拉丁方或标准拉丁方。
拉丁方实验的优点①精确度高:他比随即组多设置了一个单位组因素，因此横列和竖列两个单位组的变异则从实验误差当中分离了出来，误差小，而且精确度较高，在动物较少的情况下可以选择。
②实验结果的分析非常的方便③尤其是适合做大型动物或者成本比较高，数量较少的一些动物实验，因此反刍动物的实验用的比较多。
拉丁方实验设计可用于处理三因素的实验，行因素和列因素考虑在内，而不考虑其他的外来因素时所使用的方法。
拉丁方实验的缺点①因为在处理的过程当中，横列、竖列、实验处理数等都必须要相等，因此在处理数这一环节收到了比较大的影响，处理数多了工作量大，处理数少了影响检验的灵敏性。
因此此实验设计就缺乏灵活性，实验空间缺乏延展性，而且重复过多。
②注意是否有交互影响，例如做钙与磷对泌乳的影响时，他们都会对奶牛的泌乳量产生影响，但是还可能会产生交互影响，发挥1+1＞2的效果。
还有就是例如前一阶段做的奶牛的泌乳实验，用的某种微量元素或者添加剂，在做下一阶段实验时还要考虑到是否有残留效应。
为了研究夏季蛋鸭圈舍当中不同的温度对蛋鸭的生产性能的影响，我们将温度分为了A、B、C、D、E，5个，这5种温度分别在5个圈舍内起作用，对应的圈舍为1、2、3、4、5，由于鸭群和温度对于它的产蛋量都有非常大的影响，因此采用拉丁方实验设计，这样可以更好的消除这几组因素对于实验当中所产生的系统误差。
那么根据上面的一些内容以及定义我们在对鸭子进行实验的时候，有可能会遇到以下的一些情况。
拉丁方设计解析(课堂PPT)
36
例2：有A、B、C、D、E 5个水稻品种作比较试验，其中E为 标准品种，采用5×5拉丁方设计，其田间排列和产量结果见 下表，试进行统计分析。
表4 水稻品比5×5拉丁方试验的产量结果(kg)
横行 区组
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
Ⅰ D(37) B(48) C(27) E(28) A(34)
32
(3)列方差分析表进行F检验
变异来源
df SS
S2
F
F0.05
F0.01
横行（乳牛）间 4 3224 536.00
纵列（月份）间 4 2144 806.00
处理（饲料）间 4 50504 12626.00 20.61** 3.26 5.41
误差
12 7352 612.67
总变异
24 63224
1. 选择标准方
16
表2 饲料类型对乳牛产乳量影响的拉丁方设计
泌乳时间 一月 二月 三月 四月 五月 ⅠA B C D E ⅡB A E C D
牛号 Ⅲ C D A E B ⅣD E B A C ⅤE C D B A
17
一、拉丁方设计
1. 选择标准方
列随机 32154 行随机 25431 处理随机 51342
i 为横行的效应，
j 为纵列的效应，
t 为处理的效应，
ij(t) 为独立的随机误差，具有 N (0, 2 )。
24
平方和与自由度的分解为： SST = SSr+SSc+SSt+SSe df T = dfr+ dfc+ dft+dfe
式中: r 表示横行, r = 1,2,…,k； c 表示纵列, c = 1,2,…,k; t 表示处理, t = 1,2,…k; e 表示随机误差。
随机区组设计和拉丁方设计
03
2.要确保每个受试对象在实验过程中受到 相同的处理措施，避免出现偏差；
04
3.要确保实验操作和数据记录的准确性和 可靠性，避免出现误差。
02
CATALOGUE
拉丁方设计
定义与特点
定义
拉丁方设计是一种实验设计方法，用于比较多个处理在两个 或更多因子水平上的效果。它通过将每个因子水平与拉丁字 母（如A、B、C等）进行配对，来安排实验单元的顺序。
随机区组设计和拉 丁方设计
目 录
• 随机区组设计 • 拉丁方设计 • 随机区组设计与拉丁方设计的比较 • 随机区组设计和拉丁方设计在实验设计中的应
用 • 实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
随机区组设计
定义与特点
定义
随机区组设计是一种将受试对象 按照某种属性或特征进行分组， 并在每组内部随机分配处理措施 的实验设计方法。
同时，也需要加强实验设计方法的普及和应用，提高科研人员的 实验设计和数据分析能力，推动科学研究的进步和发展。
THANKS
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总结词
比较分析实例
详细描述
在心理学实验中，为了比较不同刺激对被试反应的影 响，可以采用随机区组设计和拉丁方设计的结合。具 体而言，将被试随机分为若干个小组，每个小组内的 被试接受不同的刺激处理，同时每个小组内的被试按 照拉丁方阵的排列方式接受不同的实验条件和测试时 间等，以确保每个小组内的被试具有均衡的特性，从 而更准确地比较不同刺激对被试反应的影响。
实施步骤与注意事项
实施步骤 1. 确定研究目的和因子数量。 2. 选择拉丁字母作为因子水平的标识。
实施步骤与注意事项
01 3. 设计拉丁方表格，确定每个因子的水平数和实 验单元的数量。
拉丁方试验设计
拉丁方试验设计拉丁方试验设计在统计上控制两个不相互作用的外部变量并且操纵自变量。
每个外部变量或分区变量被划分为一个相等数目的区组或级别，自变量也同样被分为相同数目的级别。
它是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
拉丁方——以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n 阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
拉丁方设计一般用于5~8个处理的试验，设计的基本要求：①必须是三个因素的试验，且三个因素的水平数相等；②三因素间是相互独立的，均无交互作用；③各行、列、字母所得实验数据的方差齐（F 检验）。
试验设计的步骤：①根据主要处理因素的水平数，确定基本型拉丁方，并从专业角度使另外两个次要因素的水平数与之相同；②先将基本型拉丁方随机化，然后按随机化后的拉丁方阵安排实验。
可通过对拉丁方的任两列交换位置或任两行交换位置实现随机化；③规定行、列、字母所代表的因素与水平，通常用字母表示主要处理因素。
数据处理的相关理论：拉丁方设计实验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行。
将横行单位组因素记为A ，直列单位组因素记为B ，处理因素记为C ，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为r ，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：),,2,1()()(r k j i x k ij k j i k ij ===++++=εγβαμ式中:μ为总平均数；i α为第i 横行单位组效应；j β为第j 直列单位组效应，）（k γ为第k 处理效应。
第4章拉丁方试验设计与分析
5 E=11 A=13 B=10 C=15 D=15 64 63
T..k 57 64 62 64 66 T=313 T..k2 3249 4096 3844 4096 4356 19641
解：1.拉丁方设计的统计模型是
Xijk=u+ai+bj+ck+eijk i,j,k=1,2,…,p,
u处是理试X的ij验k效是的应第总，i行均c、k值是第，第ka列ki是列、第效第i应行j个，效处e应i理jk，~的Nb(观j0是,察d第2值)j.个， 2.方差分析是把总离差平方和分成行、列、处理
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3
4X4
I
II
123 123
231 312
312 231
I 1234 2143 3412 4321
II 1234 3412 4321 2143
III 1234 4321 2143 3412
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 消除与试验目的无关因素的影响 • 例1：考察ABC三种不同水稻品种对亩产量的影响，
四、正交拉丁方格
• 定义:凡满足3的两个拉丁方格是相互正交的 • 定理：在nxn方格中，当n(>2)为素数或素
数的幂时就有n-1个正交拉丁方格 • 特例：n=2时，无 n=3时，有n-1=2个 N=4时，有n-1=3个：22 N=5时，有n-1=4个 N=6时，没有：不为素数或素数的幂 N=7时，有n-1=6个 N=8时，有n-1=7个：23
答案
• 4个 1。A和B的全面试验 2。C与D的3X3正交方格的组合 3。1和2的组合
• 可以。只要各因素的4个水平与另一个因素 的4个水平各相遇一次，搭配均匀即可。
第4章拉丁方试验设计与分析
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需安排“单因素三水平”试验
ABC (a)
ACA CBB BAC
(b)
ABC BCA CAB
(c)
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 在同样精度下可减少试验次数；在同样试 验次数下可提高结论的准确性
例2：生产某种染料需三种原料：A-硫磺，B烧碱，C-二硝基，每种原料均取四个水平， 要找一个最好的配方，使质量又好，成本 又低，应怎样安排试验？ 全面试验：43=64次 先考虑A，B两因素的全面试验，共16次
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。
• 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。
• 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正
交方格组成吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表
B1
B2
B3
B4
A1 A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3 A1B4C4
A2 A2B1C2 A2B2C1 A2B3C4 A2B4C3
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3
4X4
I
II
123 123
231 312
312 231
I 1234 2143 3412 4321
II 1234 3412 4321 2143
III 1234 4321 2143 3412
拉丁方设计及其统计分析
拉丁方设计及其统计分析拉丁方设计及其统计分析若试验中涉及到3个因素,当它们之间不存在交互作用或交互作用可以忽略不计, 且各因素均取相同水平时,适合于选择拉丁方设计。
１．试验设计假定某项研究中涉及1个试验因素,它有K个水平,同时,还需排除2个重要非处理因素的影响,研究者希望采用拉丁方设计。
于是,需选用K×K拉丁方设计格式之一作为此设计的核心部分,K×K拉丁方阵中的每一个字母代表试验因素的一个水平;让２个区组因素也各取K个水平,并把它们分别放在K×K拉丁方阵的横向和纵向上,由２个区组因素便形成了K×K种水平组合,每种水平组合下伴有试验因素的1个水平,此3个水平便构成了1个特定的试验条件, 每个试验条件下做1次试验(若数据间变异很大,建议做2次以上重复试验)。
常见的正交拉丁方(同阶的任何２个拉丁方阵之间互相正交)设计格式如下, 使用时可选其一。
每1个拉丁方阵具有如下的性质: 每个拉丁字母在每行及每列中只出现1次且仅容许出现1次;同阶的任何2个拉丁方阵具有如下的性质:任何2富同符号(字母或数字)都只相遇1次。
3×34×4A B C a b c A B C D a b c dα β γ δB C A c a b B A D C c d a bδ γ β αC A B b c a CD A B d c b aβ α δ γD C B A b a d cγ δ α β5×5A B C D E a b c d eα β γ δ ε 1 2 3 4 5B C D A E c d e a bδ ε α β γ 5 1 2 3 4C D E A B e a b c dε α β γ δ 4 5 1 2 3D E A B C b c d e aβ γ δ ε α 3 4 5 1 2E A B C D d e a b cδ ε α β γ 2 3 4 5 1[说明]同阶方阵中几个方阵分别用不同符号表示是为了便于把其中任何2个搭配起来使用(即希腊拉丁方设计),一般统计书上一律用拉丁字母A,B,…,给出。
拉丁方试验设计方案统计分析
拉丁方实验设计及分析1前言“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，实验处理数=横行单位组数=直列单位组数=实验处理的重复数。
在对拉丁方设计实验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从实验误差中分离出来，因而拉丁方设计的实验误差比随机单位就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
组设计小，实验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA的顺序来安排实验处理的顺序。
或者把单组被试分为两半．一半按照ABBA的顺序实施处理，另一半按照BAAB的顺序实施处理。
第4章常用的试验设计方案
第4章常用的试验设计方案试验设计是科学研究中的一项重要工具，通过对试验设计方案的设计和分析，可以直观地反映出变量之间的关系，从而为科学研究的进展提供重要的支持。
本章将重点介绍一些常用的试验设计方案，包括完全随机设计、随机区组设计、随机区组设计的变体、有特殊结构的试验设计等。
1.完全随机设计完全随机设计是最简单的试验设计方案之一，其特点是每个试验单位被随机分配到不同的处理组中。
这种设计方案适用于无系统偏差的情况下，处理间的差异仅由随机因素引起。
完全随机设计的优点是易于实施和分析，且能够有效控制处理间的干扰。
2.随机区组设计随机区组设计是一种常用的试验设计方案，适用于处理间存在系统性差异的情况。
它采用了分层的方式将试验单位划分为几个区组，每个区组内的试验单位随机分配到不同的处理组中。
通过这种方式，可以消除处理间差异的干扰，更准确地评估不同处理的效应。
随机区组设计的优点是较好地控制了处理间的差异，适用于多个处理间比较的情况。
3.随机区组设计的变体除了传统的随机区组设计，还有一些变体的设计方案，如拉丁方设计、拉丁方设计的变体、格栅设计等。
这些设计方案在处理分配上不同于传统的随机分配方式，通过特定的分配规则使得处理间和处理内的差异得到进一步控制和平衡。
这些变体的设计方案通常适用于特定问题和特定的实验要求。
4.有特殊结构的试验设计有些实验设计方案可以根据研究的特点和需求进行定制，使得试验设计具有特殊的结构和特点。
例如，在多元因素的情况下，可以采用多因素设计方案来进行研究，评估不同因素以及交互作用对结果的影响。
另外，有一些特殊的试验设计方案如Taguchi方法、反应曲面法等，可以针对特定的工程和优化问题进行试验设计。
本章介绍了一些常用的试验设计方案，它们可根据实际研究的需求和问题进行选择，并在实验过程中灵活运用。
通过合理设计的试验设计方案，可以更加有效地研究变量之间的关系，为科学研究的进展提供重要的支持。
在应用过程中，还应结合统计分析方法和工具，对实验数据进行合理的处理和解释，以得到准确的结果和结论。
方差分析拉丁方实验分析
第六节 拉丁方实验设计
拉丁方设计是从横行和直列两个方向进 行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成 单位组的设计。在拉丁方设计中，每一行或 每一列都成为一个完全单位组，而每一处理 在每一行或每一列都只出现一次，即在拉丁 方设计中：
14
第十四页，当前共14页六，共十61一页，页星期日。。
含2个处理的单因素试验方案
第当三前页3页，，共共6六1页十，一星期页日。。
或设置几个加不同剂量微量元素处理组、一个不添加 微量元素对照，即一个包含多个处理的单因素试验方案 。若进行微量元素不同添加剂量与不同品种猪的饲养试 验，则安排一个二因素试验方案。
注意：一个试验中研究的因素不宜过多，否则处理数 太多，试验过于宠大，试验干扰因素难以控制。凡是能用 简单方案的试验，就不用复杂方案。
3、试验方案中必须设立作为比较标准的对照 动物试验 目的：通过比较来鉴别处理效应大小、 好坏等。则试验方案应包括：各试验处理，比较的对 照 。任何试验都不能缺少对照，否则就不能显示出 试验的处理效果 。根据研究的目的与内容，选择不 同的对照形式。
如进行添加微量元素试验中，添加微量元素为处 理组，不添加微量元素为对照，此时对照为空白对照 。进行几种微量元素添加量的比较试验。
； j
为随i机j(k误) 差，相互独立，且都服(k) 从 N0 (0，σ2)
k 1
通常
(k)
当第前三30十页页，共，6共1页六，十星一期页日。。
当前第9九页页，共，6共1页六，十星一期页日。。
三、完全随机设计的优缺点
完全随机设计是一种最简单的设计方法：
完全随机设计的主要优点
1、设计容易 处理数与重复数都不受限制，适用 于试验条件、环境、试验动物差异较小的试验。
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一、拉丁方格 二、标准拉丁方格 三、n阶拉丁方格的个数 四、正交拉丁方格 五、拉丁方格在安排试验中的应用 六、几点说明 七、拉丁方试验的直观分析 八、拉丁方试验的方差分析
一、拉丁方格
1.定义：用 r 个拉丁字母排成 r 行 r 列的方阵， 使每行每列中每个字母都只能出现一次， 这样的方阵叫r阶拉丁方或r×r拉丁方。 2.N阶拉丁方格 • 2阶或2 ×2 拉丁方 A B b a B C a b （I） （2）
四、正交拉丁方格
• 定义:凡满足3的两个拉丁方格是相互正交的 • 定理：在nxn方格中，当n(>2)为素数或素 数的幂时就有n-1个正交拉丁方格 • 特例：n=2时，无 n=3时，有n-1=2个 N=4时，有n-1=3个：22 N=5时，有n-1=4个 N=6时，没有：不为素数或素数的幂 N=7时，有n-1=6个 N=8时，有n-1=7个：23
A1 A2 A3 A4
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。 • 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。 • 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正 交方格组成吗？
三、n阶拉丁方格的个数
4.计算总数S S=k· n! · (n-1)! K为标准拉丁方格个数
三、实例： n=2时，k=1, s=1 ·2! ·1!=2 n=3时，k=1, s=1 ·3! ·2!=12 n=4时，k=4, s=4 ·4! ·3!=576
三、3阶拉丁方格的个数:12
1 1 A 2 B 3 C 1 1 A 3 C 2 B 2 3 231 B C 1 BCA C A 2 CAB … A B 3 ABC (i) (2) … 2 3 2 3 1 B C 1 BCA A B 3 ABC C A 2 CAB (7) (8) …
对虾饲料配方问题的拉丁方试验结果
机 器 1 2 3 4 5 T..k T..k2 操 2 B=10 C=12 D=15 E=14 A=13 64 4096 作 者 （k列） 4 5 Ti.. D=12 E=12 57 E=13 A=17 67 A=13 B=11 63 B=11 C=11 62 C=15 D=15 64 64 66 T=313 4096 4356 19641
八、拉丁方试验的方差分析
在研究对虾的配合饲料试验时，需要比较5种配 方的效果，现有5台饲料机和5个操作人员，这些机器 的性能和操作人员的技术有所差异，在试验中必须消 除由这两个外来变源造成的影响。对于这个问题可以 按下面的方法进行试验。用每台机器做所有的5种配 方，5个操作人员每人也做所有的5种配方，用这个设 5 5 计进行试验，得到的结果（增重）如表。表中拉丁字 母A、B、C、D、E表示5种配方。拉丁方设计可以在 不增加试验次数的条件下，同时克服两个外来的变源 的影响，但它要求试验总次数为该因素所设水平数的 平方，且要求该因素与这两个方向上的划区作为因素 来看，彼此间没有交互作用。
(6)
(12)
四、正交拉丁方格
• 组合方格（I）和（7）：先编号再组合 A1B1C1 A7B7C7 A1A7 B1B7 C1C7 B1C1A1 C7A7 B7 B1C7 C1 A7 A1B7 C1A1B1 B7C7A7 C1B7 A1C7 B1 A7 • 合成方格具有以下性质 1. A1，B1，C1在各行各列中各出现一次 2. A7，B7，C7在各行各列中各出现一次 3. A1，B1，C1和A7，B7，C7各组合一次（如对A7 ： A1A7 ，B1 A7和C1 A7 各出现一次）
用拉丁方安排试验 B1 A1B1C1 A2B1C2 A3B1C3 B2 18.9 23.4 21.9 64.2 21.4 B2 A1B2C2 A2B2C3 A3B2C1 B3 A1B3C3 A2B3C1 A3B3C2 KCk 58.9 61.8 66.1 k Ck 19.6 20.6 22.0 RC=2.4 RC> RB
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表 A1 A2 A3 A4 B1 B2 A1B1C1 A1B2C2 A2B1C2 A2B2C1 A3B1C3 A3B2C4 A4B1C4 A4B2C3 B3 A1B3C3 A2B3C4 A3B3C1 A4B3C2 B4 A1B4C4 A2B4C3 A3B4C2 A4B4C1
I
4×4标准拉丁方有4个
ABCD BADC CDBA DCAB ABCD BADC CDAB DCBA ABCD BCDA CDAB DABC ABCD BDAC CABD DCBA
（I）
（II）
（III） （IV）
三、n阶拉丁方格的个数
一、方法：每个拉丁方格可用标准拉丁方格 对行号或列号随机化排列方法得到其它符 合要求的拉丁方格 二、操作： 1.选中一个标准拉丁方格，编上行号或列号 2.固定行号，列号用不同排列得到。有n!种 3.固定第二步得到的n!个方格的列号及第一 行行号其它行用不同排列生成(n-1)!方格
A1 A2 A3 B1 16.8 18.8 26.2 61.8 20.6
A1 A2 A3 KBj kBj
B3 KAi kAi 16.5 52.2 17.4 20.2 62.4 20.8 24.1 72.2 24.0 60.8 RA=6.6 20.3 RB=1.1 RA >
七、拉丁方试验的直观分析
1.由RB<RC<RA由知对折断力影响从主到次的 因素排序为A，C，B 2.由kA3> kA2>kA1由知A的水平3好；同理…. 最佳工艺条件为A3B2C3 3.当最佳点在试验范围的边界时，要扩大试 验范围。 如A3，C3工还可取水分14，碾压 重取340kg. 4. A3B2C3在试验中没有安排，但拉丁方却具 备找出的此类结果的能力。 5.实际上这是一个极差分析法。
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3 I 123 231 312 II 123 312 231 I 1234 2143 3412 4321 4X4 II 1234 3412 4321 2143 III 1234 4321 2143 3412
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 消除与试验目的无关因素的影响 • 例1：考察ABC三种不同水稻品种对亩产量的影响， 需安排“单因素三水平”试验 A C A C B B B A C (a) (b) A B C B C A C A B (c)
SST = SS行 + SS列 + SS处理 + SSe
自由度是 其中
2Байду номын сангаас
fT = f 行 + f列 + f处理 + f e
f列 = p − 1
fT = p − 1 f e = ( p − 2)( p − 1)
在H0:b1=…=bp下 F=S处2/Se2 服从自由度为((p-1),(p-2)(p-1))的分布。
A B C B C A C A B A B C D B C D A C D A B
3 阶或3 ×3 拉丁方
D A B C
4 ×4拉丁方
二、标准拉丁方格
1。定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母 顺序排列。 2. N阶标准拉丁方格的个数 2 ×2 标准拉丁方只有一个 A B B A I 3 ×3 标准拉丁方只有一个 A B C B C A C A B
1 A=12 B=10 C=11 D=13 E=11 57 3249
3 C=11 D=15 E=13 A=13 B=10 62 3844
T.j. 68 52 60 70 63
拉丁方设计的统计模型是 解：1.拉丁方设计的统计模型是 拉丁方设计的统计模型 Xijk=u+ai+bj+ck+eijk i,j,k=1,2,…,p, Xijk是第 行、第k列、第j个处理的观察值， 是第i行 个处理的观察值， 列 个处理的观察值 u是试验的总均值，ai是第 行效应，bj是第 个 是试验的总均值， 是第i行效应 行效应， 是第j个 是试验的总均值 处理的效应， 是第k列效应 列效应， 处理的效应，ck是第 列效应，eijk~N(0,d2). 2.方差分析是把总离差平方和分成行、列、处理 方差分析是把总离差平方和分成行、 方差分析是把总离差平方和分成行 和误差四部分，行和列分别代表了两个外来变 和误差四部分， 源。
答案
• 4个 1。A和B的全面试验 2。C与D的3X3正交方格的组合 3。1和2的组合 • 可以。只要各因素的4个水平与另一个因素 的4个水平各相遇一次，搭配均匀即可。
七、拉丁方试验的直观分析
例：烟灰砖折断力试验 试验目的：寻找最佳工艺条件,折断力是指标 因素水平：生产经验知应选如下： 因素 水平 1 2 3 A (％) 成型水分 8 10 12 B (分) 碾压时间 7 10 13 C (公斤) 一次碾压料重 340 370 400
以下是
饲料配方试验的方差分析
问：A1B1C4没出现，那这个试验安排会最优吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 例3：生产某种染料用四种原料：A-硫磺，B-烧碱，C二硝基，D-硫化碱，每种原料均取四个水平，要找最好 配方，试验又该怎样安排？ • CD用II，III正交拉丁方格 B1 A1B1C1D1 A2B1C3D4 A3B1C4D2 A4B1C2D3 B2 A1B2C2D2 A2B2C4D3 A3B2C3D1 A4B2C1D4 B3 A1B3C3D3 A2B3C1D2 A3B3C2D4 A4B3C4D1 B4 A1B4C4D4 A2B4C2D1 A3B4C1D3 A4B4C3D2