实际问题与二次函数——利润问题

22.3 实际问题与二次函数

——利润问题

教学目标：1、通过探究商品销售中的变量关系，列出函数关系式；2、学会用二次函数求实际问题中的极值.

教学重点：会列出二次函数关系式，并解决利润问题中的最大（小）值.

教学难点：会列出二次函数关系式，并解决利润问题中的最大（小）值.

教学方法：以问题为载体，引导学生探究新知

教学过程：

一、导入

简单的复习。将学生分成两大组，分别完成第一题的|（1）、（2）小题。

1、求下列二次函数的最值

⑴ y=2x2＋8x ＋13 ; ⑵ y= -x2＋4x

在第一题的基础上，给出函数图像，完成第二题。

2、图中所示的二次函数图像的解析式为：

y=2x2＋8x ＋13

⑴若-3≤x ≤3，该函数的最小值为（ ）.

⑵又若0≤x ≤3，该函数的最小值为（ ）.

通过上两题提出第三个问题：

3、求函数的最值问题，应注意什么? 【归纳】一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是最低

（高）点，所以当________时，二次函数y=ax2+bx+c 有最小（大）值________.

二、新授

例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

请同学们带着以下几个问题读题

（1）题目中有几种调整价格的方法？

（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.

先来看涨价的情况：现售价为每件60元,成本40元，每星期可卖300件，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件.

⑴设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 也随之变化，涨价x 元,则每星期少卖 件，实际卖出_______件,每件利润为_______因此，所得总利润为___________元.

带领同学们以表格形式探讨其中的价格和数量的关系，表格如下：

根据表格分析再填空，此时y与x的函数关系式就显而易见了.

同学们设好未知数并列好函数关系式y=(60+x-40)(300-10x)，同时提问：对于自变量x 的范围有没有要求呢？

六人一组分小组讨论，然后全班交流答案.得出0≤x≥30.

在自变量范围内求最值：发现函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点（5，6250）是函数图象的最高点，而x=5恰好在0≤x≥30范围内，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.

展示解题过程：

解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元.依题意可得：

y=(60+x-40)(300-10x) (0≤x≤30)

即y= -10（x-5）2 +6 250

∴当x=5时，y最大值=6 250.

涨价的情况下，当售价为65元时，每周利润最大，且最大为6250元.

此为间接设元，若是直接设元，你会列函数解析式吗？请同学们课后试一试.

【归纳】1、切记自变量的取值范围（可从自变量的实际意义考虑，也可从用含自变量来表示的量的实际意义考虑）2、最值可优先考虑抛物线顶点，但要检查顶点的横坐标是否在自变量取值范围内.

接下来看看降价的情况：

某商品现售价为每件60元，成本40元，每星期卖300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.在降价的情况下，最大利润是多少？

在涨价的基础上，同学们自行求解降价的最值，并请一名同学在黑板上展示结果，再由全班同学一起批改.

【归纳】解决这类题目的一般步骤

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.

（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。

三、练习巩固

1、有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，？最大利润是多少？

请同学们找出等量关系（利润=销售总额—收购成本—放养费用）

分析等量关系：销售总额=活蟹的总额+死蟹的总额

活蟹总额=活蟹单价×活蟹数量死蟹的总额=死蟹单价×死蟹数量

死蟹数量=1000—活蟹数量

则有：

利润=活蟹单价×活蟹数量—死蟹单价（1000—活蟹数量）—收购成本—放养费用

分析：设x天后每千克活蟹市场价为________元，活蟹的数量为______________只；死蟹的数量为_________只；各种费用支出为_________元.设利润为W元，则W=_____________________________________.

可参照例题的方式探讨活蟹单价与活蟹数量之间的关系，完成上面填空.

同学们独立完成解题，然后全班交流.

展示解题过程：

解：设该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，且利润为W，依题意可得：W=（30+x)(1000-10x）+200x -30000-400x

整理得W= -10(x-25)2+6250（0≤x≤100）

∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.

2、问：若因各种原因，这批蟹只能销售二十天，在其他条件不变的情况下，放养多少天后出售可获最大利润？分小组讨论.

分析：此时解析式不变，自变量变为（0≤x≤20）.抛物线顶点横坐标不在自变量范围，根据二次函数增减性可知，当x<25时，w随x的增大而增大.故，当x=20时，w最大，且为6000元.

【归纳】当顶点不在自变量范围内时，可使用抛物线的增减性得出最值.

四、课堂小结

1、主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.

2、利用二次函数解决实际问题时，写出二次函数表达式是解决问题的关键.

五、课后作业

1、必做：课本52页第3、4题

2、选作：课本52页第5题

六、教学反思

学生对二次函数的最值掌握不够，所以导入过程所花时间较长，平时要关注学生对基础知识的掌握.