实际问题与二次函数——利润问题
实际问题与二次函数利润问题
1.谈谈这节课你的收获. 2.总结解这类最大利润问题的一般步骤:
（1）列出二次函数的解析式，并根据自 变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式 法或通过配方求出二次函数的最大值或最 小值.
1．（2010·包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则 这两个正方形面积之和的最小值是 25 或12.5cm2．
请大家带着以下几个问题读题:
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x-600)
=-10［(x-5)2-25-600］
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
解：设降价x元时利润为y元，根据题意得：
y=(60-x-40) ) (300+20x) (0≤X≤20)
=(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000
1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方 法，并会应用函数关系式求利润的最值； 2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
某种品牌的电脑进价为3000元，售价3600元. 十 月份售出m台，则每台电脑的利润为 600元 ， 十月份的利润为 600m元 .
《实际问题与二次函数》(商品最大利润问题)
06
研究方法与展望
研究方法的优缺点分析
数学规划方法
数学规划是一种经典的优化方法，能够解决商品最大利润问题。优点是模型简单、易于理 解，缺点是求解速度较慢，且对某些复杂问题可能需要更多的计算资源。
人工智能方法
人工智能方法如神经网络、遗传算法等，能够自适应地求解问题。优点是求解速度较快， 缺点是模型复杂，不易于理解和调试。
构建二次函数模型
根据成本、售价和销量，利用二次函数构建 利润模型。
求最大利润
通过求导数，确定最大利润点，并求出最大 利润。
优化问题的提出与解决
• 优化问题：在商品利润问题中，如何调整售价、成本和销 量等因素，以最大化利润。
优化问题的提出与解决
解决步骤
1. 确定优化目标：明确要优化的目标，如最大化利润、最小化成本等。
混合方法
混合方法是将数学规划方法和人工智能方法结合起来，取长补短，综合利用各种方法的优 点。优点是求解速度快、精度高，缺点是需要更多的计算资源和时间。
研究方法在其他领域的应用前景
生产计划
在生产计划中，如何优化资源配置、提高生产效率是一个核心问题。商品最大利润问题可以转化为生产计划问题，因此研究方法在其他领域的应用前景广阔。
2. 分析影响因素：分析对利润产生影响的因素，如售价、成本、销量等 。
优化问题的提出与解决
3. 构建优化模型
根据影响因素和目标，构建优化模型。
4. 求解最优解
利用数学方法求解最优解，如求导数、使用优化算法等。
5. 实施优化方案
根据最优解调整售价、成本和销量等因素，以实现最大利润。
04
商品利润问题的实例分析
顶点
二次函数图像的最高点或最低点，其 坐标为(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
人教版数学九年级上册实际问题与二次函数——利润最大(小)值问题课件
即房价为180+170=350时，利润 y 有最大值。
分析题目的两个变量
解：设房租涨价10x元，则利润为y元，
y写 出(18函0 数10关x)系(50式 x) 20(50 x) (0 x 5写0)出等量关系
利润=房价×入住数量—支出
9000180x 500x 10x2 1000 20x
三、总结提升
实际问题
目 标
实际问题 的答案
归纳
二次函数
抽象
y ax2 bx c
图象 性质
利用二次函数的 图像和性质求解
变式1 原条件不变，旅游局为了促进低碳 环保，规定宾馆空房率不能超过20%，房 价定为多少的时候，利润最大？
y (18010x)(50 x) 20(50 x) (0 x 10) y
本题是以文字信息情势出现，求最大 利润的实际应用问题，要抓住题目中的关 键词来审题，对信息进行梳理、分析 。
二、解题过程
问题一：题目研究的是哪两个变量的关系？ （利润随房价的变化而变化）
问题二：能根据题意列出等量关系吗？
（利润=房价×入住数量—支出） 问题三：等量关系中各数据关系是什么？
房价=180+涨价 入住数量=涨10元空一间 支出=20 ×入住数量
x 设涨价 元，利润为 y 元.
y (180 x)(50 x ) 20(50 x ) 0 x 50
10
10
9000 1 x2 32x 1000 2x
1
10
x2 34x 8000
10
当 x b 34 170 时，利润y 有最大值。
2a 2 ( 1 ) 10
一、题目分析
四、自我评价
1、数学教育要使学生掌握现代生活和学习中 所需要的数学知识与技能。题目的解决体现 了知识对日常生活的重大作用，学生对数学 知识实用性的有更深一层认识。
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
实际问题与二次函数--利润问题 人教版九年级上册数学
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数--利润问题1.在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元，销售量为y套．(1) 求出y与x的函数关系式．(2) 当销售单价为多少元时，月销售额为14000元．(3) 当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少．2.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2) 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？3.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为{mx−76m,1≤x<20,x为整数n,20≤x≤30,x为整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入−成本）．(1) m=，n=；(2) 求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3) 在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？4.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．(1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价怡好为2800元？(2) 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3) 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）5.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通信产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．(1) 直接写出y关于x的函数关系式为．(2) 市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．6.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y={34x,0≤x≤6 20x+80,6<x≤20．(1) 李明第几天生产的粽子数量为280只？(2) 如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价−成本）7.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1) 写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2) 写出销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式；(3) 若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？8.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为，y={mx−76m,1≤x<20,x为正整数n,20≤x≤30,x为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入−成本）．(1) m=，n=．(2) 求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3) 在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？9.为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=−10x+ 1200．(1) 求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额−成本）；(2) 当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？10.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1) 写出每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求当x为多少时，w有最大值，最大值是多少？(2) 商场的营销部结合上述情况，提岀了甲、乙两种营销方案：方案甲：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案乙：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．11.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=−2x+80(20≤x≤40)，设这种健身球每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式；(2) 该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？12.销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2) 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元．(3) 足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元．13.诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）(2) 每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．(3) 要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．14.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的函数关系如图所示．(1) 求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2) 当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3) 某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．15.小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均为2元/件，在销售过程中发现：每天玩具销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w元．(1) 根据图象，求出y与x之间的函数解析式；(2) 求出每天销售这种玩具的利润w（元）与x（元/件）之间的函数解析式，并求每天利润的最大值；(3) 若小米某天将价格定为超过4元（x>4），那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围．16.由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=−2x+1000．(1) 该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式．(2) 若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？(3) 公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？17.某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情况进行了调查，调查发现这种水产品每千克的售价y1（元）与x+36，其每千克成本y2（元）与销销售月份x（月）满足关系式y1=−38售月份x（月）满足的函数关系如图所示：(1) 试确定b，c的值；(2) 求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；(3) 几月份出售这种水产品可使每千克利润最大？每千克的最大利润是多少？Array18.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费−月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润−月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：(1) 当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等．(2) 求两公司月利润差的最大值．(3) 甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a>0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．利润问题答案 1. 【答案】(1) y =240−x−605×20，∴y =−4x +480．(2) 根据题意可得，x (−4x +480)=14000， 解得：x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），∴ 当销售单价为 70 元时，月销售额为 14000 元．(3) 设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意，得w =(x −40)(−4x +480)=−4x 2+640x −19200=−4(x −80)2+6400,当 x =80 时，w 的最大值为 6400， ∴ 当销售单价为 80 元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元．2. 【答案】(1) y =−10x +740(44≤x ≤52)．(2) w =(x −40)(−10x +740)=−10x 2+1140x −29600=−10(x −57)2+2890,当 x <57 时，w 随 x 的增大而增大，而 44≤x ≤52， ∴ 当 x =52 时，w 有最大值，最大值为 2640．答：将足球纪念册销售单价定位 52 元时，商店每天销售纪念册得的利润 w 元最大，最大利润 2640 元．3. 【答案】(1) −12；25(2) 由（1）第 x 天的销售量为 20+4(x −1)=4x +16，当 1≤x <20 时，W =(4x +16)(−12x +38−18)=−2x 2+72x +320=−2(x −18)2+968，∴ 当 x =18 时，W 最大=968，当 20≤x ≤30 时，W =(4x +16)(25−18)=28x +112， ∵28>0，∴W 随 x 的增大而增大，∴ 当 x =30 时，W 最大=952， ∵968>952，∴ 当 x =18 时，W 最大=968．(3) 当 1≤x <20 时，令 −2x 2+72x +320=870， 解得 x 1=25，x 2=11，∵ 抛物线 W =−2x 2+72x +320 的开口向下， ∴11≤x ≤25 时，W ≥870， ∴11≤x <20， ∵x 为正整数，∴ 有 9 天利润不低于 870 元，当 20≤x ≤30 时，令 28x +112≥870，解得 x ≥27114，∴27114≤x ≤30， ∵x 为正整数，∴ 有 3 天利润不低于 870 元，∴ 综上所述，当天利润不低于 870 元的天数共有 12 天．4. 【答案】(1) 设商家一次性购买这种产品 x 件时，销售单价恰好为 2800 元，根据题意得：3200−5(x −10)=2800,解得x =90.答：商家一次性购买这种产品 90 件时，销售单价怡好为 2800 元．(2) 由题意得：当 0≤x ≤10 时，y =(3200−2500)x =700x ，当 10<x ≤90 时，y =[3200−5(x −10)−2500]⋅x =−5x 2+750x ，当 x >90 时，y =(2800−2500)⋅x =300x ．(3) 因为要满足一次性购买数量越多，所获利润最大，所以 y 随 x 的增大而增大，函数 y =700x ，y =300x 均是 y 随 x 的增大而增大，而 y =−5x 2+750x =−5(x −75)2+28125 在 10<x ≤75 时，y 随 x 的增大而增大．由上述分析可知 x 的取值范围为 10<x ≤75，即一次购买 75 件时，恰好是最低价，最低价为 3200−5×(75−10)=2875 (元)．答：公司应将最低销售单价调整为 2875 元．5. 【答案】(1) y =−120x +8(2) W =yx −40y −120=(−120x +8)(x −40)−120=−120x 2+10x −440.令 W =55，−120x 2+10x −440=55， x 2−200x +9900=0，(x −90)(x −110)=0，x 1=90，x 2=110，∵x ≤100，∴x =90，∴ 当年的销售价为 90 元．6. 【答案】(1) 设李明第 x 天生产的粽子数量为 280 只，由题意可知：20x +80=280,解得x =10.答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只．(2) 由图象得，当 0≤x <10 时，p =2；当 10≤x ≤20 时，设 P =kx +b ，把点 (10,2)，(20,3) 代入得，{10k +b =2,20k +b =3, 解得 {k =0.1,b =1,∴p =0.1x +1，① 0≤x ≤6 时，w =(4−2)×34x =68x ，当 x =6 时，w 最大=408（元）；② 6<x ≤10 时，w =(4−2)×(20x +80)=40x +160，∵x 是整数，∴ 当 x =10 时，w 最大=560（元）；③ 10<x ≤20 时，w =(4−0.1x −1)×(20x +80)=−2x 2+52x +240， ∵a =−3<0，∴ 当 x =−b 2a =13 时，w 最大=578（元）．综上，当 x =13 时，w 有最大值，最大值为 578．7. 【答案】(1) 根据题意得，y =200+(80−x )×20=−20x +1800，∴ 销售量 y 件与销售单价 x 元之间的函数关系式为 y =−20x +1800(60≤x ≤80)．(2) W =(x −60)y=(x −60)(−20x +1800)=−20x 2+3000x −108000,∴ 销售该品牌童装获得的利润 W 元与销售单价 x 元之间的函数关系式 W =−20x 2+3000x −108000．(3) 根据题意得，−20x +1800≥240，解得 x ≤78，∴76≤x ≤78，W =−20x 2+3000x −108000， 对称轴为 x =−30002×(−20)=75， ∵a =−20<0，∴ 抛物线开口向下，∴ 当 76≤x ≤78 时，W 随 x 的增大而减小，∴x =76 时，W 有最大值，最大值 =(76−60)(−20×76+1800)=4480（元）．∴ 商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480 元．8. 【答案】(1) −12；25(2) 由（1）得第x天的销售量为20+4(x−1)=4x+16，当1≤x<20时，W=(4x+16)(−12x+38−18)=−2x2+72x+320=−2(x−18)2+968，∴当x=18时，W最大=968元，当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25−18)=28x+112，∵28>0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大=952元．∵968>952，∴当x=18时，W最大=968元．(3) 当1≤x<20时，令−2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，∵抛物线W=−2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870，∴11≤x<20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30，∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．9. 【答案】(1) S=y(x−40)=(x−40)(−10x+1200)=−10x2+1600x−48000；(2) S=−10x2+1600x−48000=−10(x−80)2+16000，则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．10. 【答案】(1) 由题意得：w=(x−20)[250−10(x−25)]=−10(x−5)(x−20)，∵−10<0，故w有最大值，当x=35时，w最大值为2250．(2) 甲方案：x≤30，把x=30代入函数表达式得：w=2000，乙方案：250−10(x−25)≥10，且x−20≥25，解得：45≤x≤49，当x=45时，w有最大值为1250，∵2000>1250，故：甲方案最大利润最高．11. 【答案】(1) 根据题意可得：w=(x−20)⋅y=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600.w与x之间的函数关系为：w=−2x2+120x−1600．(2) 根据题意可得：w=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200.∵−2<0，∴当x=30时，w有最大值，w最大值为200．答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．(3) 当w=150时，可得方程−2(x−30)2+200=150．解得x1=25，x2=35，∵35>28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．12. 【答案】(1) y=−10x+740(44≤x≤52)．(2) 根据题意得(x−40)(−10x+740)=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．(3) w=(x−40)(−10x+740) =−10x2+1140x−29600=−10(x−57)2+2890.当x<57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，∴当x=52时，w有最大值，最大值为−10(52−57)2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润是2640元．13. 【答案】(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40−x元，故答案为：(20+2x )；(40−x )；(2) 根据题意，得：(20+2x )(40−x )=1200，解得：x 1=20，x 2=10（舍去）答：每件童装降价 20 元，平均每天赢利 1200 元；(3) 不能，∵(20+2x )(40−x )=2000 此方程无解，故不可能做到平均每天盈利 2000 元．14. 【答案】(1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y =kx +b ，将 (10,200)，(15,150) 代入，得：{10k +b =20015k +b =150,解得：{k =−10b =300,∴ y 与 x 的函数关系式为 y =−10x +300(8≤x ≤30)；(2) 设每天销售获得的利润为 W ，则W =(x −8)y=(x −8)(−10x +300)=−10(x −19)2+1210,∵ 8≤x ≤30，∴ 当 x =19 时，w 取得最大值，最大值为 1210；(3) 由（2）知，当获得最大利润时，定价为 19 元/千克，则每天的销售量为 y =−10×19+300=110 千克，∵ 保质期为 40 天，∴ 总销售量为 40×110=4400，又 ∵ 4400<4800，∴ 不能销售完这批蜜柚．15. 【答案】(1) 因为 AB 段为反比例函数图象的一部分，A (2,40)，所以当 2≤x ≤4 时，y =80x ，因为 BC 段为一次函数图象的一部分，且 B (4,20)，C (14,0)，所以设 BC 段的解析式为 y =kx +b ，有 {4k +b =20,14k +b =0, 解得 {k =−2,b =28,所以当 4<x ≤14 时，y =−2x +28，所以 y 与 x 之间的函数解析式为y ={80x , 2≤x ≤4−2x +28, 4<x ≤14．(2) 当 2≤x ≤4 时，w=(x −2)y =(x −2)⋅80x =80−160x , 因为随着 x 的增大，−160x 增大，w =80+−160x 也增大，所以当 x =4 时，w 取得最大值，为 40；当 4<x ≤14 时，w =(x −2)y=(x −2)(−2x +28)=−2x 2+32x −56=−2(x −8)2+72,因为 −2<0，4<8<14，所以当 x =8 时，w 取得最大值，为 72．综上所述，每天利润的最大值为 72 元．(3) 由题意可知 w =−2x 2+32x −56=−2(x −8)2+72，令 w =54，即 w =−2x 2+32x −56=54，解得 x 1=5，x 2=11，由函数解析式及函数图象可知，要使 w ≥54，5≤x ≤11，所以当 5≤x ≤11 时，小米的销售利润不低于 54 元．16. 【答案】(1) 由题意得w =(x −200)y=(x −200)(−2x +1000)=−2x 2+1400x −200000.(2) 令 w =−2x 2+1400x −200000=40000，解得：x =300 或 x =400，故要使每月的利润为 40000 元，销售单价应定为 300 或 400 元．(3) y =−2x 2+1400x −200000=−2(x −350)，当 x =250 时，y =−2×2502+1400×250−200000=2500．故最高利润为 45000 元，最低利润为 25000 元．17. 【答案】(1) 将 (3,25) 和 (4,24) 分别代入 y 2=18x 2+bx +c ，得 {98+3b +c =25,2+4b +c =24,解得 {b =−158,c =592.(2) 由题意得y=y1−y2，∴y=(−38x+36)−(18x2−158x+592)=−18x2+32x+132．(3) 将y=−18x2+32x+132化为顶点式，得y=−18(x−6)2+11，∵a=−18<0，∴抛物线开口向下，∴当x=6时，二次函数取得最大值，此时y=11，∴6月份出售这种水产品可使每千克利润最大，每千克的最大利润是11元．18. 【答案】(1) 48000；37(2) 设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲=[(50−x)×50+3000]x−200x，y乙=3500x−1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0<x<37，y=y甲−y乙=[(50−x)×50+3000]x−200x−(3500x−1850)=−50x2+1800x−1850，当x=−1800−50×2=18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37<x≤50，y=y乙−y甲=3500x−1850−[(50−x)×50+3000]x+200x=50x2−1800x−1850，∵对称轴为直线x=−−180050×2=18，当x=50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元．(3) ∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y=−50x2+1800x+1850−ax=−50x2+(1800−a)x+1850，对称轴为直线x=1800−a100，∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，所以16.5≤1800−a100≤17.5，解得：50≤a≤150．。
实际问题与二次函数商品利润最大问题
实际问题与二次函数商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x －1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
23.6.1实际问题与二次函数(利润)
基础扫描
求下列二次函数的最大值或最小值： ⑴ y=x2＋2x－3;
⑵ y=x2＋2x-3(0≤x≤3)
1. 某商场试销一种成本为60元/件的T恤， 规定试销期间单价不低于成本单价，又获利 不得高于40%，经试销发现，销售量y（件） 与销售单价x（元/件）符合一次函数y=kx+b， 且x=70时，y=50；x=80时，y=40； （1）求出一次函数y=kx+b的解析式 （2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w 与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多 少时，商场可获得最大利润，最大利润是多 少？
（2013•鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的 单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单 价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元， 就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40）， 请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌 玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元）x 销售量y（件） 1000﹣10x 销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000 （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利 润，求该玩具销售单价x应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销 售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售 任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
4. 某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按 规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80 元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x （元/件）满足下表中的函数关系．
x（元/件）35 40 45 y（件） 550 500 450 50 400 55 350
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在最大利润问题中的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在学生小组讨论环节，虽然学生们提出了很多有见地的观点，但我感觉他们在分析问题和解决问题的能力上还有待提高。为此，我计划在今后的教学中，多设计一些开放性的问题，引导学生深入思考，培养他们的逻辑思维和分析能力。
总之，在本次教学过程中，我深刻认识到了自身在教学方法和策略上的不足，也看到了学生在学习过程中遇到的困难。在今后的教学中，我将不断调整和改进，努力提高教学效果，让每个学生都能在数学学习的道路上取得更好的成绩。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-二次函数模型的建立：如何根据问题的具体情境，正确地建立二次函数模型，包括确定自变量和因变量，理解函数中各个参数的实际意义。
-实际问题与数学模型的关联：将实际问题抽象成数学模型，理解数学模型背后的实际背景，以及如何将数学结果应用到实际问题中去。
举例：在农产品销售问题中，重点在于让学生理解售价、销售量和成本之间的关系，并将其表达为二次函数的形式。
二次函数与实际问题最大利润问题
1）小明家的服装店每 星期获利多少元？你用 到了哪几个量的关系？
如果调整价格：每件 涨价1 元，每星期要 少卖出10 件服装
2）怎样定价才使每星
期利润达到6090元？
能否达到10000元？
3 ）如何定价才能使一星期所获利润 最大？
分析
(60+ x)元 (60+ x-40) 元
涨价x元
销售 单价
单件 利润
如果调整价格：每件 降价1 元，每星期要 多卖出20 件服装
爸爸在旁边说， 降价必须是整数 哦，我可嫌找零
钱麻烦
帮小明算一算该如何定价才能使一星期所获 利润最大？最大利润是多少？
你是这样做的吗？
解：设降价x元，每 星期获得的利润为y 元，则 y=(60- x40)(300+20 x)
=(20x)(300+20 x)
的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出 y （万个）与x（元/个）的函数解析式． ? （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润 z（万个）与 销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元 时净得利润最大，最大值是多少？ ? （3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售 价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大， 销售价格应定为多少元？
2、直接代入顶点坐标公式，求最值 (
?
b 2a
, 4a4c-ab2)
3、观察二次函数图象，找最高点或最低点，求最值
2、求下列二次函数的最值
（1）
（2）-1≤x≤2，该
y x?1
函数的最大值是 2 ，
最小值是 -2 ；
(3)若-2≤x≤0，该
o
x
函数的最大值是 1 ，
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
②T恤衫何时获得最大利润,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？
(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;
(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?
⑥纯牛奶何时利润最大：
6.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利润最大：
8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
设销售价为x元(x≤13.5元),利润是y元,则
③日用品何时获得最大利润：
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售价为x元(x≥30元),利润为y元,则
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
实际问题与二次函数------最大利润问题
22.3.2实际问题与二次函数------最大利润问题一、教学目标：1、知识与技能：通过探究实际问题与二次函数关系,能用配方法或公式法求二次函数最值，并由自变量的取值范围确定实际问题的最值。
2、过程与方法：（1）、通过研究生活中实际问题,体会建立数学建模的思想. （2）、通过学习和探究“销售利润”问题,渗透转化及分类的数学思想方法.3、情感态度：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际,让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣。
二、学情分析：学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质,学习了列代数式,列方程解应用题,这些内容的学习为本节课奠定了基础,使学生具备了一定的建模能力,但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能比较灵活的运用知识,对学生来说要完成这一建模过程难度较大。
三、教学重难点：教学重点：1、理解数学建模的基本思想,能从实际问题中抽象出二次函数的数学模型。
2、能根据实际问题，确立二次函数解析式，并用配方法或公式法求最值教学难点：从实际情景中抽象出函数模型。
四、教学过程：【活动1】小视频导入本节课的探究内容：某运动服的进价为每套40元,售价是每套60元时，每星期可卖出300套,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10套,每降价1元,每星期可多卖出20套,问：如何定价才能使利润最大?(设计说明:教师通过小视频将这个实际问题呈现给学生，但本问题是一道较复杂的市场营销问题,不能直接建立函数模型,需要分类讨论,初中学生分类讨论的思想较薄弱,这给解题造成了障碍,造成学习上的困难，因此，并没有马上去处理这个问题而是先进行一下知识储备。
)【活动2】小组合作探究解决自主学习中存在的问题：1、与利润有关的几个等式：（1）总价、单价、数量的关系；（2）单件利润、售价、进价的关系；（3）总利润、单件利润、数量的关系。
2、如何求2(0)y ax bx c a=++≠的最值？你有几种方法？3、二次函数2=-+的对称轴是直线，顶点坐标是y x2(3)5当x= 时，y有最值，是。
初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题
初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x －1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
⑦水产品何时利润最大：
.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
利润=售价-进价
总利润=每件利润×销售数量
①何时橙子总产量最大：
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?
求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利Βιβλιοθήκη 最大：8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
二次函数和实际问题应用 利润问题
某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元．试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100 ．（利润=售价 制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元．如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件. 如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）.设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）写出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少元？某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2 400元，销售单价定为3 000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3 000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2 600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2 600元? （2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)。
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22.3 实际问题与二次函数
——利润问题
教学目标：1、通过探究商品销售中的变量关系，列出函数关系式；2、学会用二次函数求实际问题中的极值.
教学重点：会列出二次函数关系式，并解决利润问题中的最大（小）值.
教学难点：会列出二次函数关系式，并解决利润问题中的最大（小）值.
教学方法：以问题为载体，引导学生探究新知
教学过程：
一、导入
简单的复习。
将学生分成两大组，分别完成第一题的|（1）、（2）小题。
1、求下列二次函数的最值
⑴ y=2x2＋8x ＋13 ; ⑵ y= -x2＋4x
在第一题的基础上，给出函数图像，完成第二题。
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：
y=2x2＋8x ＋13
⑴若-3≤x ≤3，该函数的最小值为（ ）.
⑵又若0≤x ≤3，该函数的最小值为（ ）.
通过上两题提出第三个问题：
3、求函数的最值问题，应注意什么? 【归纳】一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是最低
（高）点，所以当________时，二次函数y=ax2+bx+c 有最小（大）值________.
二、新授
例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
请同学们带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.
先来看涨价的情况：现售价为每件60元,成本40元，每星期可卖300件，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件.
⑴设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 也随之变化，涨价x 元,则每星期少卖 件，实际卖出_______件,每件利润为_______因此，所得总利润为___________元.
带领同学们以表格形式探讨其中的价格和数量的关系，表格如下：
根据表格分析再填空，此时y与x的函数关系式就显而易见了.
同学们设好未知数并列好函数关系式y=(60+x-40)(300-10x)，同时提问：对于自变量x 的范围有没有要求呢？
六人一组分小组讨论，然后全班交流答案.得出0≤x≥30.
在自变量范围内求最值：发现函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点（5，6250）是函数图象的最高点，而x=5恰好在0≤x≥30范围内，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.
展示解题过程：
解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元.依题意可得：
y=(60+x-40)(300-10x) (0≤x≤30)
即y= -10（x-5）2 +6 250
∴当x=5时，y最大值=6 250.
涨价的情况下，当售价为65元时，每周利润最大，且最大为6250元.
此为间接设元，若是直接设元，你会列函数解析式吗？请同学们课后试一试.
【归纳】1、切记自变量的取值范围（可从自变量的实际意义考虑，也可从用含自变量来表示的量的实际意义考虑）2、最值可优先考虑抛物线顶点，但要检查顶点的横坐标是否在自变量取值范围内.
接下来看看降价的情况：
某商品现售价为每件60元，成本40元，每星期卖300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.在降价的情况下，最大利润是多少？
在涨价的基础上，同学们自行求解降价的最值，并请一名同学在黑板上展示结果，再由全班同学一起批改.
【归纳】解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
三、练习巩固
1、有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。
据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，？最大利润是多少？
请同学们找出等量关系（利润=销售总额—收购成本—放养费用）
分析等量关系：销售总额=活蟹的总额+死蟹的总额
活蟹总额=活蟹单价×活蟹数量死蟹的总额=死蟹单价×死蟹数量
死蟹数量=1000—活蟹数量
则有：
利润=活蟹单价×活蟹数量—死蟹单价（1000—活蟹数量）—收购成本—放养费用
分析：设x天后每千克活蟹市场价为________元，活蟹的数量为______________只；死蟹的数量为_________只；各种费用支出为_________元.设利润为W元，则W=_____________________________________.
可参照例题的方式探讨活蟹单价与活蟹数量之间的关系，完成上面填空.
同学们独立完成解题，然后全班交流.
展示解题过程：
解：设该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，且利润为W，依题意可得：W=（30+x)(1000-10x）+200x -30000-400x
整理得W= -10(x-25)2+6250（0≤x≤100）
∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.
2、问：若因各种原因，这批蟹只能销售二十天，在其他条件不变的情况下，放养多少天后出售可获最大利润？分小组讨论.
分析：此时解析式不变，自变量变为（0≤x≤20）.抛物线顶点横坐标不在自变量范围，根据二次函数增减性可知，当x<25时，w随x的增大而增大.故，当x=20时，w最大，且为6000元.
【归纳】当顶点不在自变量范围内时，可使用抛物线的增减性得出最值.
四、课堂小结
1、主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2、利用二次函数解决实际问题时，写出二次函数表达式是解决问题的关键.
五、课后作业
1、必做：课本52页第3、4题
2、选作：课本52页第5题
六、教学反思
学生对二次函数的最值掌握不够，所以导入过程所花时间较长，平时要关注学生对基础知识的掌握.。