离散数学证明题

答：(1)因为h(e1) h(e1)=h(e1 e1)= h(e1)= e2 h(e1),所以h(e1)=e2。
(2) a∈G1，h(a) h(a-1)=h(a a-1)= h(e1)= e2,
h(a-1) h(a)=h(a-1 a)= h(e1)= e2,故h(a-1)=h(a)-1。
(3) c,d∈h(H), a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。故c d=h(a) h(b)=h(a b)。因为H G，所以a b ∈H ，故c d∈h(H)。又c-1=(h(a))-1=h(a-1)且a-1∈H，故c-1∈h(H)。由定理5.3.2知h(H) G2。
因为对任一f F，deg(f) 3，故要使上述等式成立， 对任一f F，deg(f)=3。
证明题
10
6.4
3
3
3
证明对于连通无向简单平面图，当边数e＜30时，必存在度数≤4的顶点。
答：若结点个数小于等于3时，结论显然成立。
当结点多于3 个时，用反证法证明。
记|V|=n,|E|=m,|F|=k。
假设图中所有结点的度数都大于等于5。
答：证明1)：
(1) R 前提
(2) Q R 前提
(3) Q （1），（2）
(4)P→Q 前提
(5) P （3），（4）
(6) S P 前提
(7) S （5），（6）
证明2)：
(1)A 前提
(2) A→(B→C) 前提
(3) B→C （1），（2）
(4) B 附加前提
(5)C （3），（4）
(6)C→( D E) 前提
（2） a,b A,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),
(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。
故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。
（3） a,b,c A,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c
综上所述，<G,*>是一个群。
证明题
10
8.3
4
4
7
设<G,*>是一个群，H、K是其子群。定义G上的关系R：对任意a,b∈G，aRb存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，则R是G上的等价关系。
答： a∈G，因为H、K是G的子群，所以e∈H且e∈K。令h=k=e,则a=e*a*a=h*e*k,从而aRa。即R是自反的。
且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。
由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，
故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c
且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c，
即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。
a,b∈G，若aRb，则存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。因为H、K是G的子群，所以h-1∈H且k-1∈K。故a=h-1*a*k-1,从而bRa。即R是对称的。
a,b,c∈G，若aRb,bRc,则存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。因为H、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。从而aRc。即R是传递的。
(3) P （1），（2）
(4)P Q 前提
(5)Q （3），（4）
(6)Q→S 前提
(7)S （5），（6）
(8)R S CP，（1），（8）
证明2)：
（1） P 假设前提
（2） P→R 前提
（3） R （1），（2）
（4） (P→Q) (R→S) 前提
（5） P→Q （4）
（6） R→S （5）
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
(P→（Q R）) ( P （Q R）)
( P Q) ( P R)
( P Q (R R)) ( P (Q Q) R)
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
它们有一样的主合取范式，所以它们等价。
从而由已知条件知，a*b*c=a*c。
证明题
10
8.1
2
2
10
I上的二元运算*定义为： a,b I，a*b=a+b-2。试证：<I,*>为群。
答：（1） a,b,c I，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c)
=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。
|E| 3|V|－6。
证明题
10
6.4
3
3
5
设G=<V,E>是连通的简单平面图，|V|=n 3，面数为k,则k 2n-4。
答：记|E|=m。因为G=<V,E>是连通的简单平面图，故每个面的度数都不小于3。从而由公式 deg(f)=2|E|可得3k 2m
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2有
m=n+k-2
证明题
10
2.4
5
5
20
证明:
1)、(U V)→(M N), U P, P→(Q S)， Q S =>M
2)、 B D，(E→ F)→ D， E=> B
答：证明1)：
(1) Q S附加前提
（2）P→(Q S)前提
（3） P （1），（2）
（4）U P前提
（5）U（3），（4）
(4)若|a|=n,则an=e1。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。从而h(a)的阶也有限，且|h(a)| n。
设|h(a)|=m,则h(am)= (h(a))m= h(e1)=e2。因为h是单一同态，所以am=e1。即|a| m。
故|h(a)|=|a|。
若a的阶是无限的，则类似于上述证明过程可以得出，h(a)的阶也是无限的。
试证明若 是群， ，且任意的 ，对每一个 ，有 ，则 是 的子群。
答：证明：（1）设群 的幺元为 ，则 有 ，∴ 即H非空。
（2） ，则 有 ，
从而
故 是 的子群。
证明题
10
8.1；8.3
5
5
18
证明:
1)P→Q， Q R， R， S P=> S
2)A→(B→C)，C→( D E)，
F→(D E),A=>B→F
从而在半群<G,*>中, 关于运算*存在单位元，记为e。
现证G中每个元素关于运算*存在逆元。
对 b G，记c为方程b*x=e的惟一解。下证c为b关于运算的逆元。记d=c*b。 则b*d=(b*c)*b=e*b=b。
b*e=b,且方程b*x=b有惟一解， d=e。
b*c=c*b=e。从而c为b关于运算的逆元。
故结论成立。
证明题
10
8.2；8.3
5
5
9
设*是集合A上可结合的二元运算，且 a,b A,若a*b=b*a，则a=b。试证明：
（1） a A,a*a=a，即a是等幂元；
（2） a,b A,a*b*a=a;
（3） a,b,c A,a*b*c=a*c。
答：（1） a A,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。
编号
题目
答案
题型
分值
大纲
难度
区分度
1
用先求主范式的方法证明(P→Q) (P→R) (P→（Q R）
答：先求出左右两个公式 的主合取范式
(P→Q) (P→R) ( P Q) ( P R)
( P Q (R R))) ( P (Q Q) R)
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
综上所述，R是G上的等价关系。
证明题
10
4.4
3
3
8
设h是从群<G1, >到<G2, >的群同态，G 和G2的单位元分别为e1和e2，则
（1）h(e1)=e2；
（2） a G1，h(a-1)=h(a)-1；
（3）若H G1，则h(H) G2；
（4）若h为单一同态，则 a G1，|h(a)|=|a|。
（7） Q （1），（5）
（8） S （3），（6）
（9） (Q→W) (S→X) 前提
（10） Q→W （9）
（11） S→X （10）
（12） W （7），（10）
（13） X （8），（11）
（14） W X （12），（13）
（15） (W X) 前提
（16） (W X) (W X) （14），（15）
⑵ T⑴E
⑶ P
⑷ T⑶E
⑸ P
⑹ T⑷⑸E
⑺ T⑹E
⑻ T⑺I
⑼ T⑵⑻I
⑽ P
⑾ T⑽E
⑿ T⑾E
⒀ T⑼⑿I
2、证明
① P（附加前提）
② P
③ T①②I
④ P
⑤ T③④I
⑥ T⑤E
⑦ CP
证明题
10
2.4
5
5
15
设<A,*>，是半群，e是左幺元且 ，使得 ，则<A , *>是群。
答：（1）
(2) e是<A，*>之幺元。
（2）记e=2。对 a I，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I关于运算*的单位元。
（3）对 a I，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。
综上所述，<I,*>为群。
证明题
10
8.3
4
4
11
R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当< a, b>和<a , c>在R中有<.b , c>在R中。
及 k n+k-2
故 k 2n-4。
证明题
10
6.4
3
3
6
在半群<G,*>中，若对 a,b G，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，则<G,*>是一个群。
答：任意取定a G，记方程a*x=a的惟一解为eR。即a*eR=a。
下证eR为关于运算*的右单位元。
对 b G，记方程y*a=b的惟一解为y。
由欧拉握手定理得 deg(v)=2|E|得 5n 2m。
又因为G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图，
所以对每个面f,deg(f) 3。
由公式 deg(f)=2|E|可得，2m 3k。
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得2 m-m+ m= m
从而30 m,这与已知矛盾。
证明题
10
6.4
3
3
证明题
10
2.3；2.4
3
3
2
给定连通简单平面图G=<V,E,F>，且|V|=6, |E|=12, 则对于任意f F, d(f)=3。
答：因为|V|=6 3，且G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图，
所以对任一f F，deg(f) 3。
由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|F|=8。
再由公式 deg(f)=2|E|， deg(f)=24。
事实上：由于e是左幺元，现证e是右幺元。
（3）
由（2），（3）知：<A,*>为群。
证明题
10
8.1；8.3
4
4
16
设 ，在 上定义关系 当且仅当 ，证明 是 上的等价关系，并求出
答：证明：1）：
即R自反。
2）：
即 ，即R对称。
3）：
从而 ，
即R传递。
综上得出，R是等价关系。
且
证明题
10
4.4
3
3
17
(7) D E （5），（6）
(8) F→(D E) 前提
(9)F （7），（8）
B→F CP
证明题
10
2.4
4
4
19
证明:
1)、P Q， P→R, Q→S => R S
2)、(P→Q) (R→S)，(Q→W) (S→X)， (W X)，P→R => P
答: 证明1)：
(1) R 附加前提
(2)P→R 前提
答：“ ” 若 由R对称性知 ，由R传递性得
“ ”若 ， 有 任意 ，因 若 所以R是对称的。
若 ， 则 即R是传递的。
证明题
10
4.3
2
2
12
f和g都是群<G1,★>到< G2,*>的同态映射，证明<C ,★>是<G1,★>的一个子群。其中C=
1、答：证 ，有 ，又
★ ★
★ < C ,★>是< G1,★>的子群。
4
在一个连通简单无向平面图G=〈V，E，F〉中若|V| 3，则 |E| 3|V|－6。
答： |V| 3，且G=〈V，E，F〉是一个连通简单无向平面图，
d(f) 3， f F。
由公式 deg (f)=2|E|可得，2|E| 3|F|。
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|V|-|E|+ |E| 2。
证明题
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8.2；8.3
4
4
13
设R是A上一个二元关系，
试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。
答：
（1）S自反的
，由R自反， ，
（2）S对称的
S传递的
由（1）、（2）、（3）得；S是等价关系。
证明题
10
4.4
3
3
14
1）用反证法证明 。
2）用CP规则证明
答：1证明：
⑴ P（附加前提）
<G,*>是半群， 运算*满足结合律。
b*eR=(y*a)*eR=y*(a*eR)=y*a=b。
类似地，记方程y*a=a的唯一解为eL。即eL*a=a。
下证eL为关于运算*的左单位元。
对 b G，记方程a*x=b的惟一解为x。
<G,*>是半群， 运算*满足结合律。
eL*b=eL*(a*x)=(eL*a)*x=a*x=b。