离散数学证明题
《离散数学》试题及答案详解
一、填空题1设集合A,B，其中A＝｛1，2，3｝, B= {1，2}, 则A — B＝________｛3｝____________；ρ（A) - ρ(B)＝_____{｛3｝,｛1，3},{2，3}，｛1,2,3｝｝_______ 。
2. 2. 设有限集合A, ｜A｜= n，则｜ρ(A×A）｜= __3.设集合A = ｛a, b}, B = ｛1, 2}，则从A到B的所有映射是__α1= {(a,1）, (b,1）｝, α2= {（a,2)，（b，2）}，α3= {(a,1），(b,2)｝，α4= {(a,2）, （b，1)}；_，其中双射的是____α3，α4。
_4。
已知命题公式G＝⌝（P→Q)∧R，则G的主析取范式是______（P∧⌝Q∧R）__________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12_______，分枝点数为_______3_________.6设A、B为两个集合, A= {1，2,4}， B = ｛3,4}，则从A⋂B＝_______｛4}__________________; A⋃B＝_____｛1, 2, 3, 4｝____________；A－B＝____{1, 2}_________________ .3.7。
设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反性;对称性；传递性_______________________________.8. 设命题公式G＝⌝（P→（Q∧R）)，则使公式G为真的解释有____（1, 0, 0)________，___ _（1，0, 1)_________，____（1, 1，0）______________________。
9. 设集合A＝{1，2,3，4}, A上的关系R1 = ｛(1,4）,（2，3)，(3，2）｝，R1 = ｛（2，1)，（3,2）,（4,3)}，则R1•R2 = _｛(1，3）,（2，2）,（3,1)}__________，R2•R1=___{(2,4）,(3,3）,(4,2)}_____ __, R12 =_____｛（2,2)，(3,3）}__________________。
离散数学样卷十二套(含答案)
一、证明下列各题1、 （10分）证明蕴涵式：()P P Q Q ∧→⇒2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。
5、 3、（10分）给定代数结构,N ⨯和{}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。
设{}:0,1f N →，定义为：12,,()0k n n k N f n ⎧=∈=⎨⎩否则试证}01N ⨯≅⨯，，，。
4、（10分）给定代数结构,R *，其中R 是实数集合，对R 中任意元a 和b ，*定义如下：a b a b a b *=++⨯ 试证明：,R *是独异点。
二、求下列各题的解：1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）：()()P Q P Q ⌝∨⌝→⌝€2、（15分）{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}11R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、{}11R -⎡⎤⎣⎦3、（15分给定无向图,G V E =，如图，试求： F E DCA B（1） 从A 到D 的所有基本链； （2） 从A 到D 的所有简单链；（3） 长度分别是最小和最大的简单圈； （4） 长度分别是最小和最大的基本圈； （5） 从A 到D 的距离。
4、（15分）给定二部图12,,G E V =，如图 9v 8v 7v 6v 1V1v 2v 3v 4v 5v 2V 试求1V 到2V 的最大匹配一、证明下列各题1、 （10分）证明蕴涵式：()P Q P P Q →⇒→∧2、（10分）证明：()()()A B C A B A C ⨯-=⨯-⨯3、（10分）给定群,G ，则,G 为Abel 群⇔222()()(,())∀∀∈→=a b a b G a b a b4、（10分）给定代数结构,S *，其中S 中元为实数有序对，*定义为 ,,,2a b c d a c b d bd *=+++，试证,S *是可交换独异点。
《离散数学》试题及答案 2
《离散数学》试题及答案 2《离散数学》试题及答案2一、填空题1设子集a,b，其中a＝{1,2,3},b={1,2},则a-b＝____________________;?(b)＝__________________________.2.设有限集合a,|a|=n,则|?(a×a)|=__________________________.3.设子集a={a,b},b={1,2},则从a至b的所有态射就是_______________________________________,其中双射的就是__________________________.4.已知命题公式g＝?(p?q)∧r，则g的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设g就是全然二叉树，g存有7个点，其中4个叶点，则g的总度数为__________，分枝点数为________________.6设a、b为两个集合,a={1,2,4},b={3,4},则从a?b＝_________________________;a?b＝_________________________;a－b＝_____________________.7.设r就是子集a上的等价关系，则r所具备的关系的三个特性就是______________________,________________________,______________________________ _.8.设命题公式g＝?(p?(q?r))，则使公式g为真的解释有__________________________，_____________________________,__________________________.9.设子集a＝{1,2,3,4},a上的关系r1={(1,4),(2,3),(3,2)},r1={(2,1),(3,2),(4,3)},则r1?r2=________________________,r2?r1=____________________________,r12=________________________.(a)-10.设有限集a,b，|a|=m,|b|=n,则||?(a?b)|=_____________________________.11设a,b,r是三个集合，其中r是实数集，a={x|-1≤x≤1,x?r},b={x|0≤x<2,x?r},则a-b=__________________________,b-a=__________________________,a∩b=__________________________,.13.设子集a＝{2,3,4,5,6}，r就是a上的相乘，则r以子集形式(列出法)记作__________________________________________________________________.14.设一阶逻辑公式g=?xp(x)??xq(x)，则g的前束范式是_______________________________.15.设g就是具备8个顶点的树，则g中减少_________条边就可以把g变为全然图。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。
答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。
答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。
答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。
答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。
解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。
反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。
由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。
因此，R一定是反自反的。
答案完整证明了该结论。
2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。
解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。
所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
离散数学证明题
离散数学证明题离散数学证明题:链为分配格证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a ≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论:⑴b≤a或c≤a⑵a≤b且a≤c如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c)如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c)无论那种情况分配律均成立,故A是分配格.一.线性插值(一次插值)已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。
1. 插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:记并称它们为一次插值基函数。
该基函数的特点如下表：从而P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)此形式称之为拉格朗日型插值多项式。
其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。
一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。
解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010则插值基函数为：于是, 拉格朗日型一次插值多项式为:故 :即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二.二次插值多项式已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2 (x), 使其满足,P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 .其几何意义为:已知平面上的三个点(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
离散数学高概率考试题
(2)（高概）证明若S为集合X上的二元关系：a)S是传递的，当且仅当(S∘S)⊆S证明：证明：必要性使得任取序偶<a,b>∈S∘S,则存在c∈X,使得<a,c>∈S∧<c,b>∈S,因为S传递，故传递，故<a,b>∈S,即S∘S⊆S.充分性对任意序偶<a,b>∈S∧<b,c>∈S,有<a,c>∈S∘S,<a,c>∈S,S S传递. 因为S∘S⊆S,故有<a,c>∈S,(3)（中难）（中难） 设S为X上的关系，证明若S是自反的和传递的，则S∘S=S。
⊆S; ; 证明: S传递ÛS∘S⊆S以下只需证明S⊆S∘S. "<x,y>ÎS, 因为S自反，有<x,x>ÎS, 由关系合成运算的定义，有<x,y>ÎS∘S，即S⊆S∘S。
本命题的逆不真，举反例如下：仅传递而不自反。
空关系j满足j∘j=j, 但j仅传递而不自反。
(6)（中概低难）设R为集合X上的二元关系，R在X上反传递⇔∀x∀y∀z(x∈X∧y∈X∧z∈X∧xRy∧yRz→x Rz) 当且仅当(R∘R)∩R=φ。
证明：证明：必要性必要性使得任取序偶<a,b>∈R∘R,则存在c∈X,使得<a,c>∈R∧<c,b>∈R,因为R反传递，故反传递，故<a,b>∉R,即R∘R中任何序偶都不属于R，因此(R∘R)∩R=φ. 充分性充分性对R 中任意序偶aRc∧cRb,有<a,b>∈R∘R, 因为(R (R∘R)∩R=φ,∘R)∩R=φ,故<a,b>∉R ， 因此，R 反传递. (8)(中概中上难度)设R,S,T 为集合X 上的关系，证明上的关系，证明R∘(S∪T)=R∘S∪R∘T证明：a)任取序偶<a,b>∈R∘(S∪T), 则存在c∈X,使得使得<a,c>∈R 且<c,b>∈S∪T, 若<c,b>∈S,则<a,b>∈R∘S, 若<c,b>∈T,则<a,b>∈R∘T,故<a,b>∈R∘S∪R∘T,即R∘(S∪T)⊆R∘S∪R∘T. b)任取序偶<a,b>∈R∘S∪R∘T,则有<a,b>∈R∘S 或<a,b>∈R∘T, 若<a,b>∈R∘S,则存在c∈X,使得使得 <a,c>∈R 且<c,b>∈S,若<a,b>∈R∘T,则存在d∈X,使得使得 <a,d>∈R 且<d,b>∈T,总之，总之，存在y∈X,使得<y,b>∈S∪T 且<a,y>∈R, 故<a,b>∈R∘(S∪T),即R∘(S∪T)⊇R∘S∪R∘T R∘(S∪T)⊇R∘S∪R∘T. . 综合a)和b)，有R∘(S∪T)=R∘S∪R∘T. 3-8 （2）算闭包。
《离散数学》试题含答案
《离散数学》试题含答案⼀、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设G是完全⼆叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2 =________________________,R2?R1 =____________________________, R12=________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B =__________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设⼀阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
大学试卷《离散数学》及答案.docx
离散数学一、填空题(本大题共48分，共16小题，每小题3分)1.--公式为之充分必要条件是其合取范式之每一合取项中均必同时包含一命题变元及其否定2.无向图G具有是生成树，当且仅当的，若G为(n,m)连通图，要确定G的一棵生成树必删掉G的条边。
3.一个无向图的欧拉回路要求经过图中一次且仅一次，汉密顿图要求经过图中一次且仅一次。
4.设P：我生病，Q：我去学校(1)命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为o (2)命题“只有生病的时候，我才不去学校”符号化为o (3)命题"如果我生病，那么我不去学校”符号化为o5.设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需要5个插头的接线板数6.若HlAH2A-AHn是 ,则称Hl, H2, -Hn是相容的，若HlAH2A-AHn是 ,则称H1.H2, -Hn是不相容的7.设f,g,h 是N 到N上的函数(N 为自然数集合),f(n)=n+l;g(n)=2n;h(n)=0；贝lj(fdg)oh=8.K5的点连通度为 ,边连通度为o9.A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}, R 是A 上的整除关系。
子B={1, 2, 3, 4},那么B的上界是； B的下界是；：6的上确界是; B的下确界为10.命题公式P-*QAR的对偶式为11.设入={1, {2}, <t>},则A的幕集有元素个。
12.设A={0, 1,2, 3}, B={4,6, 7}, C={8, 9, 12, 14}, R1 是由A 到B 的关系,R2 是由B到C原关系，分别定义为Rl={<2, 6>, <3, 4>, <0, 7>} ;R2={<4, 8>, <4, 12>, <6, 12>,〈7, 14〉},则复合关系RloR2 为：13.设A= {<i)}, B={<t>, (<!>}},贝i]P(A) nP(B)= 。
离散数学证明题（精选篇）
离散数学证明题离散数学证明题离散数学证明题离散数学证明题:链为分配格证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,分下面两种情况讨论:⑴b≤a或≤a⑵a≤b且a≤如果是第⑴种情况,则a∪(b∩)=a=(a∪b)∩(a∪)如果是第⑵种情况,则a∪(b∩)=b∩=(a∪b)∩(a∪)无论那种情况分配律均成立,故A是分配格.一.线性插值(一插值)已知函数f(x)在区间xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。
1. 插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:记并称它们为一插值基函数。
该基函数的特点如下表：从而P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)此形式称之为拉格朗日型插值多项式。
其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。
一插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .例1: 已知lg10=1,lg=1.3010, 利用插值一多项式求lg12的近似值。
解: f(x)=lgx,f(10)=1,f()=1.3010, 设x0 =10 ,x1 = ,y0 =1 ,y1 =1.3010则插值基函数为：于是, 拉格朗日型一插值多项式为:故 :即lg12 由lg10 和lg 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二.二插值多项式已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个数不超过二的多项式P2 (x), 使其满足,P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 .其几何意义为:已知平面上的三个点(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一个二抛物线, 使得该抛物线经过这三点。
离散数学试题带答案(三)
离散数学试题带答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2•R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。
离散数学第9章习题答案
习题91. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学题集
一、填空题(共20分)1．若A-B=A, 则A B= .2．若关系R具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素；若关系只具有对称性，当且仅当关系矩阵是 .3．设 f : N→N, 且令A={0,1}, B={2}, 那么有f(A) = ； f(B) = .4．A={1,2}, 则EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}IA={<1,1>,<2,2>}5．已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点 .二、单项选择题(选择一个正确答案的代号，填入括号中。
共14分)1．下面关于集合的表示中，正确的是( )．A．φ＝0 B．φ∈{φ}C．φ∈φ D．φ∈{a，b}2．设R1，R2是集合A＝{1，2，3，4}上的两个关系，其中R1＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(4，4)}，R2＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，4)}，则R2是R1的( )闭包．A．自反 B．反对称C．对称 D．以上都不是3．设半序集(A，≤)上关系只的哈斯图如下图所示，若A的子集B＝{2，3，4，5}，则元素6为B的( )．A．下界 B．上界C．最小上界 aa D. 最大下界4．函数f : R→R, f(x)= -x2+2x-1是( )A．单射的 B．双射的C．满射的 D．以上都不对5.非平凡的无向树至少有( )片树叶．A．1B. 2C．3D．4三、计算题(共50分)1．求下列公式的前束范式：1）∃xF(x)→∀xG(x)2）∀xF(x)∃⌝∧yG(y)2．求⌝(p→q)⌝∨r 的主析取范式与主合取范式3．设偏序集<A,≼>如下图所示，求A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 设B＝{ b, c, d }, 求B 的下界、上界、下确界、上确界.4．设 f : R →R, g : R →R2)(323)(2+=⎩⎨⎧<-≥=x x g x x x x f求 f ∘g, g ∘f. 如果 f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数 四、证明题1)证明 A ⊕B=A ⋃B-A ⋂B. 2)证明下列等值式:⌝ ∃x(M(x)∧F(x)) ⇔ ∀x(M(x)→ ⌝F(x))答 案一、填空题1．φ2．全为1 对称矩阵3．f(A)=f({0,1}) = { f(0), f(1) }={ 0, 2 }f(B) = { f(2) } = { 1 }4．EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}IA={<1,1>,<2,2>}5．8二、单项选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 三、计算题1．解：1) ⇔⌝∃xF(x)∨∀xG(x)⇔∀x⌝F(x)∨∀xG(x)⇔∀x⌝F(x)∨∀yG(y)⇔∀x(⌝F(x)∨∀yG(y))⇔∀x∀y (⌝F(x) ∨G(y))2) ∀xF(x)∃⌝∧yG(y)⇔∀xF(x)∧∀y⌝G(y)⇔∀x(F(x)∧∀y⌝G(y))⇔∀x∀y(F(x)⌝∧G(y))2．解：解 (1) ⌝(p→q)⌝∨r ⇔ (p⌝∧q)⌝∨rp⌝∧q ⇔ (p⌝∧q)∧1⇔ (p⌝∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p⌝∧q⌝∧r)∨(p⌝∧q∧r)⇔ m4∨m5⌝r ⇔ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)⌝∧r⇔ (⌝p⌝∧q⌝∧r)∨(⌝p∧q⌝∧r)∨(p⌝∧q⌝∧r)∨(p∧q⌝∧r)⇔ m0∨ m2∨ m4∨ m6 得⌝(p→q)⌝∨r ⇔ m0∨ m2∨ m4 ∨m5 ∨ m6可记作⇔∑(0,2,4,5,6)(2) ⌝(p→q)⌝∨r ⇔ (p⌝∨r)∧(⌝q⌝∨r)p⌝∨r ⇔ p∨0⌝∨r⇔ p∨(q⌝∧q)⌝∨r⇔ (p∨q⌝∨r)∧(p⌝∨q⌝∨r)⇔ M1∧M3⌝q⌝∨r ⇔ (p⌝∧p)⌝∨q⌝∨r⇔ (p⌝∨q⌝∨r)∧(⌝p⌝∨q⌝∨r)⇔ M3∧M7得⌝(p→q)⌝∨r ⇔ M1∧M3∧M7可记作⇔∏(1,3,7)3．解：极小元：a, b, c, g；极大元：a , f , h ； 没有最小元与最大元.B 的下界和最大下界都不存在,上界有d 和f , 最小上界为 d .4．解：⎩⎨⎧<-≥+=⎩⎨⎧<≥+=→→121)2()(332)(RR :RR :22x x x x g f x x x x f g g f f g f : R →R 不存在反函数；g : R →R 的反函数是g -1: R →R, g -1(x)=x -2四、证明题1) 证 A ⊕B=(A ⋂~B)⋃(~A ⋂B)=(A ⋃~A)⋂(A ⋃B)⋂(~B ⋃~A)⋂(~B ⋃B) =(A ⋃B)⋂(~B ⋃~A) =(A ⋃B)⋂~(A ⋂B) =A ⋃B-A ⋂B2） 证 左边 ⇔ ∀x ⌝(M(x)∧F(x))⇔ ∀x(⌝M(x)∨⌝F(x)) ⇔ ∀x(M(x)→ ⌝F(x))离散数学试卷一．选择题1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2.设集合A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( ) (A) 1∈A (B) {1,2, 3}⊆A (C) {{4,5}}⊂A (D) ∅∈A3．设R 1，R 2是集合A ＝{1，2，3，4}上的两个关系，其中R 1＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(4，4)}，R 2＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，4)}，则R 2是R 1的( )闭包． A ．自反 B ．反对称 C ．对称 D ．以上都不是4．设S 1={1,2，…，8,9},S 2={2,4,6,8},S 3={1,3,5,7,9}，S 4={3,4,5},S 5={3,5}.确定在以下条件下X 可能与S 1,…, S 5中哪个集合相等。
离散证明题
离散数学证明题专项训练——09软件2班 金信冬1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群证明：由条件e a =2，所以1-=a a ，则对任意的a ，b ，11-*-=*b a b a另外，由e b a =*2)(，得e b a b a b a =***=*)()(2)(，两边同时左乘以1-a ，右乘以1-b ，利用结合律，得11-*-=*b a a b 所以a b b a *=*，<G ，*>是交换群2．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 证明(1) SCP 规则 (2) ⌝S ∨PP(3) P(1),(2)析取三段论(4) P →(Q →R) P (5)Q →R (3),(4)假言推理 (6)QP(7)R(5),(6)假言推理3.设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø证明：A —B=AA ∩~B=A =>A ∩~B ∩B=A ∩B=>A∩B= øA∩B= ø=>(A∩B)∪~B=~B=>A∪~B=~B=>A∩(A∪~B)=A∩~B=>A∪(A∩~B)=A-B=>A=A-B4. 设R,S都是非空集合A上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS具有对称性当且仅当 RoS=SoR.证明：1）必要性对于任意<x,y>∈RoS<=><y.x>RoS<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=>存在z(<z,y>∈S ∧<x,z>∈R)<=><x,y>∈SoR所以RoS=SoR.2)充分性对于任意<x,y>∈RoS<=> <x,y>∈SoR<=>存在z(<x,z>∈R ∧<z,y>∈S)<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=><y,x>∈RoS所以：RoS具有对称性。
《离散数学》复习练习题带答案(六)
离散数学试题带答案四、证明题1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群2. 形式证明q s p r s r q p ⇒∧⌝→∨→,,3. 证明：P →(Q →R)⇔P ∧Q →R.4．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 5．试证明：Q R R Q Q P ⌝⇒⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝)()( 6. 证明：)()(x xB x xA ∀→∃⇒))()((x B x A x →∀7．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树. 8. 设B 是任意集合，试验证(P(B),⊕)是群. P(B)是集合B 的幂集，⊕是集合的对称差运算， 9．给定代数系统(G,+,*), 二元运算见表一，表二.表一 表二证明(G ,+,*)是域.10. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系． 11．试证A －(B －C)＝(A －B)⋃(A ⋂C)12．设非空集合A ，验证(A A P ,~,,,),(∅⋂⋃)是布尔代数，13. 试证明属于关系不满足传递性，即对于任意的集合A,B,C 若A ∈B 且B ∈C 不一定有 A ∈C14．设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø15. 设R,S 都是非空集合A 上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS 具有对称性当且仅当 RoS=SoR.16. 已知g ：A->B,f ：B->C1） 已知fog 是单射的且g 是满射的，证明f 是单射的 2） 已知fog 是满射的且f 是单射的，证明g 是满射的 17．设A 是传递集，证明A+也是传递集。
18．设G 是n 阶无向简单图，其直径为d(G)=2, ο(G)=n-2，证明G 的边数m ≥2n-4 19．V=<S,*>是可交换半群,若a,b ∈S 是V 中得幂等元，证明a*b 也是V 中的幂等元20．设 L 是格，证明对于任意a,b,c,d ∈L 有：( a ∧b)∨(c ∧d)≤(a ∨c)∧(b ∨d)五、计算题1. 无向树T 有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其他的都是树叶，问T 中有多少片树叶？2. 设公式()()x Q x P → ，其中P(x)：x>2，Q(x)：x=0，F 是永假式，个体域是{1，2}，求公式A(x)的真值 3. 设集合X={1，2，3, 4}，X 中的关系为F={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>} 写出F 的关系矩阵及其关系图，F 有哪些性质？4. (1) n(n ≥1)阶无向完全图与有向完全图各有多少条边?为什么？ (2)完全二部图K m n ,中共有多少条边?为什么？(3) 每个顶点的度都为k 的无向图称为k 正则图，问：n 阶k 正则图中共有多少条边?为什么？5. 设集合L={a ，b}，在L 中规定 + 和·如下：a+a=a ，a+b=b+a=b ，b+b=b a ·a=a ，a ·b=b ·a=a ，b ·b=b问<L ，+，·>能构成代数系统吗？若可以，写出该代数系统的运算表。
离散数学习题汇总
14
集合论习题课
15
1. 判断下面命题的真值(真的话证明，假的话举反例)
a)如果A∈B，B C ，则 A∈ C
b)如果A∈B，B C，则 A C
c)如果A B，B∈C，则 A∈Cd)如果A B，B∈C，则 A C
2.集合计算
a) Φ∩{Φ}
b){Φ}∩{Φ}
c) {Φ,{Φ}} -Φ
d) {Φ,{Φ}}-{Φ} e) {Φ,{Φ}}-{{Φ}}
b) ρ(A) ∪ρ(B)
7.笛卡尔积
A={0,1} B={1,2} 求A2×B
ρ(A∪B)
17
二元关系习题课
18
一. 判断题
( )⒈ 设A、B、C和D是四个非空集合, 且A×C B×D，则A B且C D。
( )⒉ 设A、B、C和D是四个集合，则A×C=B×D，iff A=B且C=D。 ( ) 3. 传递关系的对称闭包仍是传递的。 ( ) 4. 非空集合上的关系不是对称的，则必是反对称的。 ( ) 5. 非空集合上的自反关系必不是反自反的。 ( ) 6. 若R和S是二个有完全相同的二元组的集合，则称它们是相等的二
① rst(R)是等价关系 ② Ｒ10＝Φ ③ r(R)是偏序 ④ tr(R)是良序 ( )⒋ 设R和S分别是A到B和B到C的关系，且R·S=Φ，那么
① R是空关系 ② S是空关系 ③ R和S都是空关系
④ R和S中至少有一个是空关系 ⑤ 以上答案都不对
20
( )⒌ 若R和S是集合A上的等价关系，则下列关系中一定是等价 关系的有 ① R∪S ② R∩S ③ R－S ④ R⊕S
9
六. 逻辑推理熟练掌握三种推理方法。 (1)用P 三种推理方法证明： (A∨B) (C∧D), (D∨E) P A (2) 请根据下面事实，找出凶手： 1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。 6.经理有钱且清洁工不富裕。 7.午夜时屋里灯灭了。 令A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。
《离散数学》试题及答案
《离散数学》试题及答案一、填空题1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; (B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则| (A×A)| = __________________________.3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝(P Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A B＝_________________________; A B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________,_______________________________.8. 设命题公式G＝(P (Q R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________,__________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1 R2 = ________________________,R2 R1 =____________________________, R12 =________________________.(A) -10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| | (A B)| =_____________________________. 11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x R}, B = {x | 0≤x 2, x R},则A-B =__________________________ , B-A = __________________________ , A∩B =__________________________ , .13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = xP(x) xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式xR(x)→ xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
离散数学答案-第四章习题解答.doc
习题四1.用归结法证明:(1)\= p^q^r(2)p T r , q — r# pvqir(3)p W 匕(p T q)v(p f r)(4)p /\q r |= (/? ^ r) v(t? r)(5)p v v r , p t r A q v『⑹(〃T q) T O T 厂)f= p T (q T r)解(1)首先将p I q , p I f , 7p T q八门化为合取范式。
p T q o —\p 7 q , p T r o —yp v r ,—>(# T q /\ 厂)u> -1(-1/? v(q A /*)) u> /? /\ (—v -i厂)给出子句集\rpy q’rpy l ”，p,->^rv—»r｝的反驳如下。
①rpy q②~yp v r③p④-it?v—«r⑤q由①和③⑥r由②和③⑦由④和⑤⑧口由⑥和⑦因此，p — q , p T r b p I q z⑵将p T r, q T厂7p v q —厂)化为合取范式。
/? T 厂O -1〃\/儿q t ro-yq 7 丫、-i( p v q r) <=> (p v q) /\—^r 给111子句集｛ v r, v r, p v ty, -.r｝的反驳如下：—p v r②->q v r③p y q④—if⑤q 7 T rti①和③⑥r由②和⑤⑦□由④和⑥因此，p—> r, q T r 匕p v q T r。
⑶首先将p t qy r, -•((/?^^)v(p^r))化为合取范式。
p T q \z 厂 o -yp v <7 v r ,T q) \/ (p —> r)) o -i((-ip v^) v (-i/? v r))<=> p A —yq A -ir给出子句集\rp7 q\/ F ,p, -yq , 的反驳如下。
—7 q7 丫 Prq—>rq7 丫由①和② r由③和⑤ □由④和⑥①②③④⑤⑥⑦因此，p T qvr \= (j?->(7)v(/?^r)(4)首先将 p /\qf r, -i((pr) v ((? -> r))化为合取范式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（8） S （3），（6）
（9） (Q→W) (S→X) 前提
（10） Q→W （9）
（11） S→X （10）
（12） W （7），（10）
（13） X （8），（11）
（14） W X （12），（13）
（15） (W X) 前提
（16） (W X) (W X) （14），（15）
试证明若 是群， ，且任意的 ，对每一个 ，有 ，则 是 的子群。
答：证明：（1）设群 的幺元为 ，则 有 ，∴ 即H非空。
（2） ，则 有 ，
从而
故 是 的子群。
证明题
10
8.1；8.3
5
5
18
证明:
1)P→Q， Q R， R， S P=> S
2)A→(B→C)，C→( D E)，
F→(D E),A=>B→F
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
(P→（Q R）) ( P （Q R）)
( P Q) ( P R)
( P Q (R R)) ( P (Q Q) R)
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
它们有一样的主合取范式，所以它们等价。
证明题
10
2.3；2.4
3
3
2
给定连通简单平面图G=<V,E,F>，且|V|=6, |E|=12, 则对于任意f F, d(f)=3。
答：因为|V|=6 3，且G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图，
所以对任一f F，deg(f) 3。
由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|F|=8。
再由公式 deg(f)=2|E|， deg(f)=24。
4
在一个连通简单无向平面图G=〈V，E，F〉中若|V| 3，则 |E| 3|V|－6。
答： |V| 3，且G=〈V，E，F〉是一个连通简单无向平面图，
d(f) 3， f F。
由公式 deg (f)=2|E|可得，2|E| 3|F|。
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|V|-|E|+ |E| 2。
(4)若|a|=n,则an=e1。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。从而h(a)的阶也有限，且|h(a)| n。
设|h(a)|=m,则h(am)= (h(a))m= h(e1)=e2。因为h是单一同态，所以am=e1。即|a| m。
故|h(a)|=|a|。
若a的阶是无限的，则类似于上述证明过程可以得出，h(a)的阶也是无限的。
从而由已知条件知，a*b*c=a*c。
证明题
10
8.1
2
2
10
I上的二元运算*定义为： a,b I，a*b=a+b-2。试证：<I,*>为群。
答：（1） a,b,c I，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c)
=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。
证明题
10
8.2；8.3
4
4
13
设R是A上一个二元关系，
试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。
答：
（1）S自反的
，由R自反， ，
（2）S对称的
S传递的
由（1）、（2）、（3）得；S是等价关系。
证明题
10
4.4
3
3
14
1）用反证法证明 。
2）用CP规则证明
答：1证明：
⑴ P（附加前提）
因为对任一f F，deg(f) 3，故要使上述等式成立， 对任一f F，deg(f)=3。
证明题
10
6.4
3
3
3
证明对于连通无向简单平面图，当边数e＜30时，必存在度数≤4的顶点。
答：若结点个数小于等于3时，结论显然成立。
当结点多于3 个时，用反证法证明。
记|V|=n,|E|=m,|F|=k。
假设图中所有结点的度数都大于等于5。
故结论成立。
证明题
10
8.2；8.3
5
5
9
设*是集合A上可结合的二元运算，且 a,b A,若a*b=b*a，则a=b。试证明：
（1） a A,a*a=a，即a是等幂元；
（2） a,b A,a*b*a=a;
（3） a,b,c A,a*b*c=a*c。
答：（1） a A,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。
⑵ T⑴E
⑶ P
⑷ T⑶E
⑸ P
⑹ T⑷⑸E
⑺ T⑹E
⑻ T⑺I
⑼ T⑵⑻I
⑽ P
⑾ T⑽E
⑿ T⑾E
⒀ T⑼⑿I
2、证明
① P（附加前提）
② P
③ T①②I
④ P
⑤ T③④I
⑥ T⑤E
⑦ CP
证明题
10
2.4
5
5
15
设<A,*>，是半群，e是左幺元且 ，使得 ，则<A , *>是群。
答：（1）
(2) e是<A，*>之幺元。
（2）记e=2。对 a I，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I关于运算*的单位元。
（3）对 a I，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。
综上所述，<I,*>为群。
证明题
10
8.3
4
4
11
R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当< a, b>和<a , c>在R中有<.b , c>在R中。
综上所述，R是G上的等价关系。
证明题
10
4.4
3Hale Waihona Puke 38设h是从群<G1, >到<G2, >的群同态，G 和G2的单位元分别为e1和e2，则
（1）h(e1)=e2；
（2） a G1，h(a-1)=h(a)-1；
（3）若H G1，则h(H) G2；
（4）若h为单一同态，则 a G1，|h(a)|=|a|。
a,b∈G，若aRb，则存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。因为H、K是G的子群，所以h-1∈H且k-1∈K。故a=h-1*a*k-1,从而bRa。即R是对称的。
a,b,c∈G，若aRb,bRc,则存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。因为H、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。从而aRc。即R是传递的。
证明题
10
2.4
5
5
20
证明:
1)、(U V)→(M N), U P, P→(Q S)， Q S =>M
2)、 B D，(E→ F)→ D， E=> B
答：证明1)：
(1) Q S附加前提
（2）P→(Q S)前提
（3） P （1），（2）
（4）U P前提
（5）U（3），（4）
从而在半群<G,*>中, 关于运算*存在单位元，记为e。
现证G中每个元素关于运算*存在逆元。
对 b G，记c为方程b*x=e的惟一解。下证c为b关于运算的逆元。记d=c*b。 则b*d=(b*c)*b=e*b=b。
b*e=b,且方程b*x=b有惟一解， d=e。
b*c=c*b=e。从而c为b关于运算的逆元。
由欧拉握手定理得 deg(v)=2|E|得 5n 2m。
又因为G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图，
所以对每个面f,deg(f) 3。
由公式 deg(f)=2|E|可得，2m 3k。
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得2 m-m+ m= m
从而30 m,这与已知矛盾。
证明题
10
6.4
3
3
答：(1)因为h(e1) h(e1)=h(e1 e1)= h(e1)= e2 h(e1),所以h(e1)=e2。
(2) a∈G1，h(a) h(a-1)=h(a a-1)= h(e1)= e2,
h(a-1) h(a)=h(a-1 a)= h(e1)= e2,故h(a-1)=h(a)-1。
(3) c,d∈h(H), a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。故c d=h(a) h(b)=h(a b)。因为H G，所以a b ∈H ，故c d∈h(H)。又c-1=(h(a))-1=h(a-1)且a-1∈H，故c-1∈h(H)。由定理5.3.2知h(H) G2。
<G,*>是半群， 运算*满足结合律。
b*eR=(y*a)*eR=y*(a*eR)=y*a=b。
类似地，记方程y*a=a的唯一解为eL。即eL*a=a。
下证eL为关于运算*的左单位元。
对 b G，记方程a*x=b的惟一解为x。
<G,*>是半群， 运算*满足结合律。
eL*b=eL*(a*x)=(eL*a)*x=a*x=b。
及 k n+k-2
故 k 2n-4。
证明题
10
6.4
3
3
6
在半群<G,*>中，若对 a,b G，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，则<G,*>是一个群。