河北科技大学2017—2018高数试卷A

河北科技大学2017-2018学年第二学期《高等数学》下册期末试卷

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 设L 为221x y +=的圆周曲线，则曲线积分22()d L

x y s +=⎰ 【 】 A. 0 B. 2π C. π D. π2

2. 已知函数1cos y x ω=，23sin y x ω=是微分方程()()0y p x y q x y '''++=的解，则1122y C y C y =+（1C ，2C 为任意常数）是该微分方程的 【 】

A. 通解

B.解

C.不一定是解

D. 是解，但不是通解

3. 过两点1(3,2,1)M -和2(1,0,2)M -的直线方程为 【 】 A.

321421x y z -+-==- B. 321421

x y z -+-==-- C. 12421x y z +-== D. 12421

x y z +-==- 4. 下列说法正确的是 【 】 A. 若(,)x f x y 、(,)y f x y 在点0P 处连续，则(,)f x y 在点0P 处连续

B. 若(,)x f x y 、(,)y f x y 在点0P 处存在，则(,)f x y 在点0P 处连续

C. 若(,)x f x y 、(,)y f x y 在点0P 处存在，则(,)f x y 在点0P 处可微

D. 若(,)f x y 在点0P 处可微，则(,)x f x y 、(,)y f x y 在点0P 处连续

5. 极限lim 0n n a →∞=，是级数1n n a ∞

=∑收敛的 【 】 A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 若向量{1,2,3}a =-与向量{,2,1}b x =-垂直，则x = .

2. 已知曲面∑为平面0x =，0y =，0z =，1x =，1y =，1z =所围成的立体的表面的外侧，则积分d d z x y ∑

=⎰⎰ .

3. 二次积分2

100d (,)d x x f x y y ⎰⎰的另一种次序的积分是 . 4. 曲面0z xy -=在点(3,1,3)--处的切平面方程为 .

5. 微分方程e x y y -'+=的通解为 .

三、计算下列各题（每小题7分，共21分）

1. 求空间曲线2229,1

x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在xOy 坐标面上的投影曲线的方程.

2. 计算二重积分22()d d D

x y x x y +-⎰⎰，其中D 是由直线2y =、y x =及2y x =所

围成的闭区域.

3. 求函数224()z x y x y =+--的极值.

四、解答题（每小题8分，共40分）

1. 计算三重积分22()d x y v Ω

+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=与平面2z =所围成

的闭区域.

2. 求微分方程y y x '''+=的通解.

3. 计算曲线积分()e sin ()d e cos d x x L

y b x y x y ax y ⎡⎤-++-⎣⎦⎰，其中a ，b 为正的常数，L 为沿圆周222x y ax +=的逆时针方向.

4. 求函数x z xy y

=+的全微分及2z y x ∂∂∂. 5. 将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数，并求出该幂级数的收敛域.

五、综合题（9分）

已知函数()y x 为幂级数0()!n

n x x n ∞

=-∞<<∞∑的和函数，证明：若1()()0p x q x ++=，

则函数()y x 为微分方程()()0y p x y q x y '''++=的一个解.