概率分布正态化总结讲解

第二章：常见的随机变量的分布类型
正态分布 均匀分布 指数分布 对数正态分布 极值分布（ Gumbel ） 瑞利分布（Rayleigh） 韦伯分布（ Weibull ）
正态分布概要
正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一 类分布。在概率论中, 正态分布是几种连续分布和离散分布 的极限分布。各种各样的心理学测试和物理现象都被发现近 似地服从正态分布。
第三章 非正态分布的当量正态化
事实上，具备以下四个要素才能顺利实现变量的正态化： 变量服从的分布，以及它的分布参数或统计参数 变量当量正态化的验算点 x*
在验算点处的 FX x 值和 fX x 值
正态分布函数的反数值 （1 Fi (xi*)）
常用分布的分布参数表
分布形式 均匀分布 正态分布 对数正态分布 指数分布 Weibull分布 Gumbel分布 Gumma分布 Rayleigh分布
第一章：为什么要研究随机变量的分布
在材料力学和弹性力学发展以后，早期的结构可靠性设计中， 人们往往采用许用应力法。考虑到各种不确定因素，有许用应力乘 以安全系数后，就得出结构的强度，然后确定结构的规格尺寸，这 种方法称为静强度决定论方法或传统设计方法。但是这种方法所采 用的载荷及材料性能等数据，均取它们的平均值，或者取所谓的最 大或最小值，没有考虑到数据的分散性，而且在设计中引入了一个 大于1的安全系数，这种安全系数在很大程度上由设计者根据经验 确定，带有一定的不确切性和盲目性。
正态分布概要
由上图可以看出约68%的数值分布在距离平均值有1个标准 差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内 的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内 的范围。称为 "68-95-99.7法则"或"经验法则".
关于非正态分布需要转化的一些说明
由于正态分布具有上述一些优良的特性，而且工程界的大 多数参数都是服从正态分布的，因此在目前比较成熟的可靠 性分析方法中，很多方法（改进一次二阶矩方法，一次、二 次响应面法）往往都是针对正态分布展开的，因此我们对非 正态分布变量需要采用当量正态化。具体方法将在第三章中 详细介绍，为了能更好的理解各种分布类型的相关特性，对 实验数据的获得提供相应参考，本章将对一些常见的非正态 变量的分布类型分类进行简要阐述。
假定非正态随机变量服从某一分布，其分布函数为FX x，
密度函数为 fX x。找到非正态变量 x 的等价正态变量
x ~ N x,x2 ，通过计算确定两个分布参数 x 和 x。R-F法
提出了如下所示的在特定点 x* 处的等价变换条件。
FX
x*



x* x x
第一章：为什么要研究随机变量的分布
概率论预测方法利用自然律得到响应量与影响响应量的基本变 量之间的关系，并利用统计学方法收集基本变量的样本数据得到基 本变量的统计规律，然后采用演绎推理的方法，将基本变量的统计 规律传递到响应量，得到响应量的统计规律后也就全面掌握了系统 行为的统计规律。概率论预测方法避免了确定论方法与统计学方法 的缺点，收集到的基本变量的统计资料具有推广价值，其所采用的 演绎推理方法具有通用性，因此概率论方法是目前可靠性分析与设 计中普遍应用的一种方法。
关于非正态分布变量当量正态化的总结
章节综述
为什么要在可靠性分析中研究变量的分布规律 常用的变量分布类型都有哪些 如何对这些非正态分布类型进行当量正态化
第一章：为什么要研究随机变量的分布
结构可靠性就是研究结构在各种因素作用下的安全问题。 进行可靠性分析的目的，就是将机构可靠性或失效可能性 的大小，用概率定量的表示出来，以保证结构具有足够的 安全水平。并且在分析过程中将各种因素对结构失效的影 响以灵敏度的方式量化表示，从而为设计人员在设计中提 供重要的参数设置依据，达到优化设计的目的。
a
1 b
(
1
1)
b
0.5772

2
标准差
ab 23
x (e 2 1)e(2 2 )

1
ab
( 2 1) [( 1 1)]2
b
b
1 6

x
4 2
统计参数向分布参数的转化
即可返回满足精度要求的区间点。 3.在VB中编写程序实现 4.在fotran中编写程序生成达到工程精度要求的正态分布表，然
后编写程序遍历查询
第三章 非正态分布的当量正态化
从软件源程序的简易性和执行速度角度考虑，最终我们 采用第四套方案，成功解决了标准正态分布函数的反函数求 解问题。
至此，非正态分布转化的所需的四个要素都已经具备， 针对不同的分布类型，只需按照上面介绍的理论方法编写程 序即可。按模块化编程的思想，将各分布类型的转化模块植 入到具体的可靠性算法当中，即可实现非正态变量的可靠性 分析。
x
fX x*
（5）
第三章 非正态分布的当量正态化
通过对上述理论公式的推导和分析，我们要思考的是： 要对非正态变量顺利实现当量正态化，需要具备那些条件呢？
1 FX x*
x
fX x*
xi xi* xi 1 Fi xi*
第一章：为什么要研究随机变量的分布
按照结构可靠度设计统一标准的定义，结构可靠度是结构 在规定时间内和规定条件下完成预定功能的能力，而相应的概 率为可靠度。规定的时间是指设计使用年限，即结构或构件不 需要大修即可按其预定目的使用的时间；规定的条件指正常设 计、正常施工和正常使用；预定功能即安全性、适用性和耐久 性。但是在工程实际中由于尺寸公差、加工精度和使用环境等 各种不确定因素的存在，影响结构可靠性的各个变量往往存在 随机性。因此给结构可靠性分析带来了困难。
的两个基本分布参数 x 和 x 。对(2)式取反函数有：
x* x 1 x
FX
x*
（3）
进而得到 x 和 x 的关系为
x x* x 1 FX x*
（4）
将(1)式代入(2)式可求得 x 参数如下
1 FX x*
第一章：为什么要研究随机变量的分布
目前概率论预测方法的应用已经遍及自然科学和社会科学 的各个领域。从电子、航空、宇航、核能等尖端工业部门扩展 到电机与电力系统、机械设备、动力、土木建筑、冶金、化工 等部门。可靠性的应用也从复杂航天器的设计推广普及到日常 生活中的机电产品设计之中,并贯穿于产品的开发研制、设计、 制造、试验、使用、运输、保管及维修保养等各个环节。
概率密度函数
累计分布函数
期望值为
方差为
第三章 非正态分布的当量正态化
非正态变量转化的基本原理是将非正态的变量当量正态化,
替代的正态分布函数要求在设计验算点x*处的累积概率分布函
数(CDF)和概率密度函数(PDF)值分别和原变量的CDF值、PDF值
相等。
f
等价正态分布
非正态分布
o x
x
x
第三章 非正态分布的当量正态化
致谢
thank you
第一章：为什么要研究随机变量的分布
概率论与数理统计的关系 概率论研究无限次试验所反映出的规律，是一种数学上
假设。数理统计研究有限次试验所反映出的规律，具有工程 价值。概率论是统计的理论基础，统计是概率的工程应用。
事实上，用已知推断未知，用部分推断总体不仅仅是科 学发展的方向，也是工程界必须解决的问题。特别是对于一 些特殊的科学领域，我们很难进行近乎无限次的实验，因此 获得全面而准确的实验数据存在困难，这也就是我们对随机 变量的分布规律进行研究的原因。我们需要利用有限的数据 来尽可能准确地推断出其变量分布的规律，从而分析和推断 出整个系统的分布规律。

（1）
fX
x*




x* x x


1 x


x* x x

（2）
式中， 和 分别为标准正态分布的分布函数和密度函
数， 表示对标准正态分布函数的导函数。
第三章 非正态分布的当量正态化
依据这(1),(2)式中的两个条件，可以确定 x 等价正态变量
那么究竟采用那种解决方案，既能更方便、准确的求出 结果，有能很好的和软件源程序语言相结合呢？那么采用该 方案的具体实现方式又是什么呢？
第三章 非正态分布的当量正态化
结合上述思想，进过查询大量文献，目前针对该问题有多 种具体的解决方案： 1.在matlab中直接调用库函数norminv(F(x),0,1),0,1)即可求解 2.在excell中直接根据要求精度,采用库函数NORMSINV( X )

b
0.78
2 2
4 2
形状参数
a
( )2
第三章 非正态分布的当量正态化
在得到各非正态变量分布参数的情况下，只需将验算点 x*带入
各自的概率密度函数和概率分布函数即可求得验算点处的 fX x 和
FX x值，至于各种分布的概率密度函数和概率分布函数公式在大
分布形式
位置参数
均匀分布
a 3
正态分布

对数正态分布 指数分布
ln 1 ln[1 ( )2 ]
2

__
Weibull分布
__
Gumbel分布
0.45
Gumma分布
__
Rayleigh分布
__
尺度参数
b 3
ln[1 ( )2 ]
通常我们用概率密度函数和累计分布函数来描述变量的 分布规律。正态分布的概率密度函数曲线呈高度对称性，被 称为“钟型曲线”。该分布的相关特性如下表所示：
正态分布概要
概率密度函数
累计分布函数
正态分布概要
在正态分布中值得注意的是： 密度函数关于均值对称 均值是它的众数(statistical mode)以及中位数(median) 函数曲线下68.268949%的面积在均值左右一个标准差范围内 95.449974%的面积在均值左右两个标准差2σ 的范围内 99.730020%的面积在均值左右三个标准差3σ 的范围内 99.993666%的面Leabharlann Baidu在均值左右四个标准差4σ 的范围内
均匀分布概要
连续型均匀分布相对简单，其分布特性列表如下：
概率密度函数
累计分布函数
指数分布概要
概率密度函数
累计分布函数
对数分布概要
概率密度函数
累计分布函数
极值分布（ Gumbel ）
概率密度函数
累计分布函数
其中
瑞利分布（Rayleigh）
概率密度函数
累计分布函数
期望值为
方差为
韦伯分布（ Weibull ）
多数的数学资料里都有清楚的罗列，这也不是本课题的研究重点， 在此不再獒述。
那么在以上红笔标记的四个条件都具备的情况下，（1 Fi (xi*)） 又如何求解呢？
第三章 非正态分布的当量正态化
关于 （1 Fi (xi*)）问题的求解，本课题组曾提出两个设想： 直接利用maple求解出其反函数公式，然后将 Fi (xi*) 值带入 建立一个正态分布表的电子文档，直接调用程序遍历查询
第一章：为什么要研究随机变量的分布
特别是对于一些新材料、新产品的分析设计更是如此，事 实上这中方法并不能绝对防止结构失效的发生，相反，却造成 了结构重量的增加，材料的浪费和结构性能的降低，显然不能 满足产品安全性、经济性的发展的需要。因此概率化的设计法 思想便应运而生，早在1911年卡宾奇就提出用统计数学方法来 研究载载和材料强度。1926～1929年，霍契阿洛夫和马耶罗夫 制定了概率设计的计算方法，由此拉开了可靠性分析方法的序 幕。
位置参数 a

__ __

__ __
尺度参数 b


b


形状参数
a
常用分布的统计参数表
分布形式 均匀分布 正态分布 对数正态分布 指数分布 Weibull分布 Gumbel分布 Gumma分布 Rayleigh分布
均值


ab 2

( 2 )
x e 2