方差及其性质
初二数学知识点归纳：方差
初二数学知识点归纳：方差方差的计算、知识点归纳方差在考试中考察不是很难，记住基本公式往里带就能解答正确，但是方差的概念让不少同学为此很是头痛。
那方差到底是什么，怎样计算呢，下面小编就为大家整理一些题型和解题方法技巧。
一、概念和公式方差的概念与计算公式，例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E=72;y：73，70，75，72，70E=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
基本定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E]2}存在，则称E{[X-E]2}为X的方差，记为D,Var或DX。
即D=E{[X-E]2}称为方差，而σ=D0.5称为标准差。
即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。
若X的取值比较集中，则方差D较小,若X 的取值比较分散，则方差D较大。
因此，D是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。
当数据分布比较分散时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大;当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动就越小二、计算方法和原理若x1,x2,x3......xn的平均数为m则方差方差公式方差公式例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E=72;y：73，70，75，72，70E=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
随机变量方差的概念及性质
= ( n 2 n) p 2 + np.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2
= np(1 p ) ).
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k } =
λk
k!
e λ , k = 0,1,2,
π π 2 = 3π + 24 2 4 16
4 2
2
= 20 2π 2 .
2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 2
1 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 12 12
解
D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)
= 4 D( X )
= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
推广 若 X 1 , X 2 ,
D( X1 ± X 2 ±
, X n 相互独立 , 则有 + D( X n ).
± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +
= C E {[ X E ( X )] }
2 2
= C 2 D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ).
证明
D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )]2 } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2
随机变量方差的定义及性质
02
CATALOGUE
方差的性质
方差的非负性
总结词
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，其方差Var(X)总是非负的。
详细描述
方差的独立性
要点一
总结词
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
要点二
详细描述
这是方差的一个重要性质，表明如果两个随机变量相互独 立，那么它们的和的方差等于它们各自方差的和。这个性 质在概率论和统计学中非常重要，因为它允许我们通过独 立随机变量的方差来计算复合随机变量的方差。
度。
方差主要关注数据点的离散程度 ，而峰态则关注数据点的集中趋
势。
如果数据分布更加尖锐，即数据 点更加集中在平均值附近，则方 差可能会减小，因为数据点之间
的差异较小。
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方差还可以表示为
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。这个公式可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值 ，E(X)表示随机变量X的期望值。
方差与期望值的关系
方差的大小与期望值有关。如果一个随机变量的期望值越大，其方差也越大；如果一个随机变量的期望值越小，其方差也越 小。
03
CATALOGUE
方差的应用
方差在统计学中的应用
描述数据分散程度
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，用于描述数 据的离散程度。
检验假设
在统计学中，方差分析（ANOVA）等方法用于检验 多个总体均值是否相等，从而判断假设是否成立。
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
高斯随机变量的均值和方差
高斯随机变量的均值和方差高斯随机变量的均值和方差概述：高斯随机变量是一种常见的概率分布，也被称为正态分布。
它在各个科学领域中都有广泛的应用，具有很强的实用价值。
均值和方差是高斯随机变量的两个重要统计特征，对于了解它的分布特性和应用具有重要意义。
一、高斯随机变量的定义和性质高斯随机变量的定义是指数学上服从正态分布的随机变量。
它的概率密度函数可以表示为一个钟形曲线，呈现出对称性和峰值集中的特点。
正态分布的概率密度函数可由均值和方差唯一确定。
1. 对称性：高斯随机变量的概率密度函数关于均值对称，即曲线在均值处达到峰值。
2. 峰值集中：均值是高斯随机变量的分布特征之一，它确定了曲线的中心位置。
方差则衡量了数据相对于均值的离散程度，决定了曲线的宽窄。
二、高斯随机变量的均值均值是一个概率分布的集中趋势的度量标准，对于高斯分布来说，均值是分布的中心位置。
1. 数学期望：高斯随机变量的均值也被称为数学期望，表示了随机变量的平均值。
对于高斯分布，其数学期望即为分布的均值。
2. 均值的性质：高斯随机变量的均值具有线性性质，即对于两个独立的高斯随机变量X和Y，它们的线性组合aX + bY的均值就是a和b的加权平均值。
三、高斯随机变量的方差方差是用来衡量数据的离散程度，对于高斯分布来说，方差决定了数据的分布宽度。
1. 方差的定义：高斯随机变量的方差是其概率分布关于均值的平均偏离程度的度量。
方差的数学定义为随机变量与均值的差的平方的期望。
2. 方差的性质：高斯随机变量的方差有以下几个性质：（1）方差非负，即方差的值大于等于0。
（2）方差为0表示所有数据都是相同的，即没有离散度。
（3）方差具有线性性质，对于两个独立的高斯随机变量X和Y，它们的线性组合aX + bY的方差为a^2Var(X) + b^2Var(Y)。
结论：高斯随机变量的均值和方差是衡量它分布特性的重要统计量。
均值决定了分布的中心位置，方差则表征了对中心位置的离散程度。
方差概念及计算公式
trapz梯形法定积分
cumtrapz梯形法区间积分
sum等宽矩阵法定积分
cumsum等宽矩阵法区间积分
fnint样条的不定积分
多重数值积分
dblquad('fun',inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method) 定积分
问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ；
问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？
下面我们就来学习这两个问题。
泰勒级数
我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。
积分限为函数时 先求G(y)={x2(y),x1(y)}f(x,y)dx 再求I={y2,y1}G(y)dy 这里用{}表示豆芽符
数值微分
多项式求导 polyder
差分算积分 diff(X)
6.符号微积分
约定变量x 系数a,b
极限
limit(f,x,a)求x->a时f值、
limit(f,x,a,'right') 右极限 limit(f,x,a,'left')左极限
超定求最小二乘解 用A\B %基于奇异值分解；用pinv(A)*B %基于householder变换
欠定由qr分解求得
非负最小二乘解 X=nnls(A,b,TOL) TOL指定误差，可缺省
零点法求解方程
fzero一元 fsolve多元
x=fzero(fun,x0)
[x,fval,exitflag]=fzero(fun,x0,options,P1,P2,...)
方差(概率论与数理统计)
方差分析通过比较不同组数据的分散程度，判断不同因素对数据变 异的贡献程度，从而进行多因素比较。
方差分析的适用条件
进行方差分析前需要满足独立性、正态性和方差齐性等条件，以确 保分析结果的准确性和可靠性。
方差分析的步骤
包括建立假设、计算自由度、计算F值、进行显著性检验等步骤，最 终得出各因素对数据变异的贡献程度和显著性水平。
统计学推断
在统计学中，方差分析、回归分析和生存分析等方法都涉及到方差的 概念和应用。
质量控制
在生产过程中，方差分析可以用于检测产品质量的一致性和稳定性。
社会科学研究
在社会学、心理学和经济学等社会科学领域，方差分析常用于研究不 同组别之间的差异和变化。
02
方差的计算方法
离差平方和的分解
离差平方和是由数据点与平均值的偏差平方和组成的，即每个数据点与平 均值的差的平方的总和。
其中，n是数据点的数量，组内离差平方和是每个数据点 与其所属类别的平均值的偏差平方和的总和，组间离差平 方和是不同类别的平均值之间的偏差平方和。
方差的计算实例
首先计算每个数据点与平均值的偏差的平方： {0, 1, 2, 3, 4}。
最后，根据方差的计算公式，方差 = (5-1) / 5 * 30 + 1 / 5 * 0 = 24。
假设有一个数据集{1, 2, 3, 4, 5}，其平均值为3。
然后求出偏差的平方的总和：0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30。
03
方差与其他统计量的关 系
方差与期望值的关系
方差是衡量数据离散程度的统计量，而期望值是数据的平均 水平。方差和期望值之间存在密切的关系，通常表示为方差 等于期望值的平方减去数据点的平方。
方差性质及应用
方差性质及应用方差是描述一组数据分布的离散程度的统计量，它可以帮助我们了解数据的波动程度和稳定性。
方差的计算方法是将每个数据点与数据的平均值相减，然后求平方，最后将这些差的平方求和并除以数据的个数。
方差的计算公式如下：\[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}\]其中，\(s^2\)表示方差，\(x_i\)表示第i个数据点，\(\bar{x}\)表示数据的均值，n表示数据的个数。
方差的性质：1. 方差是非负数，即方差的值始终大于或等于零，当方差等于零时，表示数据的波动程度为零，即所有的数据点都与均值相等。
2. 如果一个常数k被加到数据中的每个数上，方差不变，即对数据进行平移对方差没有影响。
3. 如果一个常数k被乘到数据中的每个数上，方差成为原方差的k的平方倍，即对数据进行缩放会影响方差的值。
4. 如果我们有两组数据，第一组数据是第二组数据每个数据点的k倍，那么第一组数据的方差是第二组数据方差的k的平方倍。
5. 如果数据是独立的，那么它们的方差加起来等于它们的和的方差。
方差的应用：1. 方差可以用来衡量一组数据的离散程度，当数据的方差较大时，表示数据的波动较大，反之，当数据的方差较小时，表示数据的波动较小。
2. 方差可以用来比较不同组数据的稳定性，当两组数据的方差相差较大时，表示它们的波动程度不同，可以用来选择稳定性更好的数据。
3. 方差可以用来评估一个模型的拟合程度，当模型的预测值与实际值的方差较大时，表示模型的拟合程度较差，需要进一步优化。
4. 方差还可以用来进行假设检验，通过比较两组数据的方差来检验它们是否来自同一个总体，从而进行统计推断。
总而言之，方差是一种非常重要的统计量，它能够帮助我们全面了解数据的分布，衡量数据的稳定性和波动程度，评估模型的拟合程度，以及进行假设检验。
在实际应用中，方差被广泛应用于统计学、经济学、金融学等领域，是一种非常有用的工具。
一随机变量方差的定义及性质
D( X ) 100 2
250 1 100 2
0.975
(2)设需要做n次独立试验,则X ～ B(n,0.5),求n使得
P0.35
X n
0.65
P0.35
n
0.5
n
X
0.5n
0.65n
0.5n
PX 0.5n 0.15n 0.95
成立,由切比谢夫不等式得
DX
0.25n
P X 0.5n 0.15n 1 (0.15n)2 1 (0.15n)2
10 D(C ) 0; 20 D(CX ) C 2D( X ); 30 当X,Y独立时，D( X Y ) D( X ) D(Y ).
4. 契比雪夫不等式
P{ X
μ
ε}
σ2 ε2
P{ X
μ
ε
}
1
σ2 ε2
.
5. 矩是随机变量的数字特征.
随机变量 X 的数学期望 E( X ) 是 X 的一阶原点矩;
12 p 02 (1 p) p2 pq
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2,,n),
k
则有
0 p 1.
EX
n
k0
k
n k
p
k
(1
p)nk
np
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
(3) 在实际应用中,高于 4 阶的矩很少使用.
三阶中心矩E{[X E( X )]3 }主要用来衡量随
机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩 E{[X E( X )]4 } 主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.
平均数、方差的运算性质
平均数、方差的运算性质
一、 平均数、方差的性质：
⑴如果数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,n x b x b x b ++⋯⋯+的平均数为x b +，方差是2s .
⑵如果一组数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,,n ax ax ax ⋯⋯的平均数为ax ，方差是22a s .
⑶如果数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,,n ax b ax b ax b ++⋯⋯+的平均数为ax b +，方差是22a s .
二、 典型例题：
例1、如果一组数据12,,,n a a a ⋯⋯的方差是2，那么一组新数据
122,2,,2n a a a ⋯⋯的方差是（ ）
.A 2 .B 4 .C 8 .D 16
【答案】：.C
例2、已知样本1235,35,,35n x x x ++⋯⋯+，若12,,,n x x x ⋯⋯的方差是2，则
1235,35,,35n x x x ++⋯⋯+的方差是（ ）
.A 11 .B 18 .C 23 .D 36
【答案】：.B
例3、某班期末英语考试的平均成绩为75分，方差为225分，若每个学生都多考5分，下列说法正确的是（ ）
.A 方差不变，
平均分不变 .B 平均分变大，方差不变 .C 平均分不变，方差变大 .D 平均分变大，方差变大
【答案】：.B。
1方差的定义
第二节 方 差1.方差的定义数学期望描述了随机变量取值的“平均”.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A ，B 两名射手，他们每次射击命中的环数分别为X ，Y ，已知X ，Y 的分布律为：表4-7其他的因素.通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数X 与它的平均值E （X ）之间的离差｜X -E （X ）｜的均值E ［｜X -E （X ）｜］来度量，E ［｜X -E （X ）｜］愈小，表明X 的值愈集中于E （X ）的附近，即技术稳定；E ［｜X -E （X ）｜］愈大，表明X 的值很分散，技术不稳定.但由于E ［｜X -E （X ）｜］带有绝对值，运算不便，故通常采用X 与E （X ）的离差｜X -E （X ）｜的平方平均值E ［X -E （X ）］2来度量随机变量X 取值的分散程度.此例中，由于E ［X -E （X ）］2=0.2×(8-9)2+0.6×(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4，E ［Y -E (Y )］2=0.1×(8-9)2+0.8×(9-9)2+0.1×(10-9)2=0.2.由此可见B 的技术更稳定些.定义4.2 设X 是一个随机变量，若E ［X -E （X ）］2存在，则称E ［X -E （X ）］2为X 的方差（Variance ），记为D （X ），即D （X ）=E ［X -E （X ）］2. （4.7）称)(X D 为随机变量X 的标准差（Standard deviation ）或均方差(Mean square deviation)，记为σ（X ）.根据定义可知，随机变量X 的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.若X 取值比较集中，则D （X ）较小，反之，若X 取值比较分散，则D （X ）较大.由于方差是随机变量X 的函数g （X ）=［X -E （X ）］2的数学期望.若离散型随机变量X 的分布律为P {X =x k }=p k ，k =1，2，…，则D （X ）=k k k p XE x∑∞=-12)]([. （4.8） 若连续型随机变量X 的概率密度为f （x ），则 D （X ）=⎰+∞∞--.)()]([2x x f X E x d （4.9）由此可见，方差D （X ）是一个常数，它由随机变量的分布惟一确定.根据数学期望的性质可得：D （X ）=E ［X -E (X )］2=E ［X 2-2X ·E (X )+［E (X )］2］=E (X 2)-2E (X )·E (X )+［E (X )］2=E (X 2)-［E (X )］2.于是得到常用计算方差的简便公式D （X ）=E （X 2）-［E （X ）］2. （4.10）例4.11 设有甲，乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下表：表4-9且评定它们的质量.解 由于E （X ）=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30，E (Y )=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30，故得D （X ）=（28-30）2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=4×0.1+1×0.15+0×0.5+1×0.15+4×0.1=1.1，D (Y )=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=4×0.13+1×0.17+0×0.4+1×0.17+4×0.13=1.38.因D （X ）＜D （Y ），所以甲种棉花纤维长度的方差小些，说明其纤维比较均匀，故甲种棉花质量较好.例4.12 设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+.,0,10,1,01,1其他x x x x求D （X ）.解 E （X ）=⎰⎰-++-1001)1()1(x x x x x x d d =0， E （X 2）=⎰⎰-++-102012)1()1(x x x x x x d d =1/6， 于是 D （X ）=E （X 2）-［E （X ）］2=1/6.2.方差的性质方差有下面几条重要的性质.设随机变量X 与Y 的方差存在，则1°设c 为常数，则D （c ）=0；2°设c 为常数，则D （cX ）=c 2D （X ）；3°D （X ±Y )=D (X )+D (Y )±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］；4°若X ，Y 相互独立，则D （X ±Y ）=D (X )+D (Y )；5°对任意的常数c ≠E (X )，有D (X )<E [（X -c ）2].证 仅证性质4°，5°.4°D （X ±Y ）=E ［(X ±Y )-E (X ±Y )］2=E ［(X -E (X ))±(Y -E (Y ))］2=E ［X -E (X )］2±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］+E ［Y -E (Y )］2=D (X )+D (Y )±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］.当X 与Y 相互独立时，X -E （X ）与Y -E （Y ）也相互独立，由数学期望的性质有E ［（X -E （X ））（Y -E （Y ））］=E （X -E （X ））E （Y -E （Y ））=0.因此有D （X ±Y ）=D (X )+D (Y ).性质4°可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.5°对任意常数c ，有E [(X -c )2]=E [(X -E (X )+E (X )-c )2]=E [(X -E (X ))2]+2(E (X )-c )·E [X -E (X )]+(E (X )-c )2=D (X )+(E (X )-c )2.故对任意常数c ≠EX ,有DX <E [(X -c )2].例4.13 设随机变量X 的数学期望为E （X ），方差D （X ）=σ2（σ＞0），令Y =σ)(X E X -，求E （Y ），D （Y ）.解 E （Y ）=[],0)()(1)]([1)(=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-X E X E X E X E X E X E σσσ D （Y ）=.1)(1)]([1)(2222===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-σσσσσX D X E X D X E X D 常称Y 为X 的标准化随机变量.例4.14 设X 1，X 2，…，X n 相互独立，且服从同一（0-1）分布，分布律为P {X i =0}=1-p ,P {X i =1}=p , i =1,2，…，n .证明 X =X 1+X 2+…+X n 服从参数为n ，p 的二项分布，并求E （X ）和D （X ）.解 X 所有可能取值为0，1，…，n ，由独立性知X 以特定的方式（例如前k 个取1，后n -k 个取0）取k （0≤k ≤n ）的概率为p k （1-p ）n -k ,而X 取k 的两两互不相容的方式共有kn C 种，故P {X =k }=kn C p k （1-p ）n -k , k =0，1，2，…，n ,即X 服从参数为n ，p 的二项分布.由于E （X i ）=0×(1-p )+1×p =p ，D (X i )=(0-p )2×(1-p )+(1-p )2×p =p (1-p )， i =1，2，…，n ，故有 E （X ）=.)(11np X E X E ni i n i i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑== 由于X 1，X 2，…，X n 相互独立，得D （X ）= ).1()(11p np X D X D ni i n i i -==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑== 3.常用分布的方差（1） （0-1）分布设X 服从参数为p 的0-1分布，其分布律为由例4.14知，D (X )=p (1-p ).(2) 二项分布设X 服从参数为n ,p 的二项分布，由例4.14知，D （X ）=np (1-p ).(3) 泊松分布设X 服从参数为λ的泊松分布，由上一节知E （X ）=λ，又E （X 2）=E [X （X -1）+X ]=E [X (X -1)]+E (X )=∑∑∞=--∞=-+-=+-2220)!2(!)1(k k k kk k k k λλλλλλλe e=λ2e -λ·e λ+λ=λ2+λ,从而有D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=λ2+λ -λ2=λ.（4） 均匀分布设X 服从[a ,b ]上的均匀分布，由上一节知E （X ）=2ba +，又E （X 2）=3222b ab a x a b x b a ++=-⎰d ,所以D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=12)()(41)(312222a b b a b ab a -=+-++.(5) 指数分布 设X 服从参数为λ的指数分布，由上一节知.E (X )=1/λ，又E （X 2）=222λλλ=⎰-b a x x x d e ,所以D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=.112222λλλ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-(6) 正态分布设X ~N （μ,σ2），由上一节知E （X ）=μ，从而D （X ）=[]⎰⎰∞+∞--∞+∞--=--d e πd x x x x f XE x x 222)(2221)()()(σμσμ令σμ-x =t 则D （X ）=)(22222222222⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--+-=t t t t t t td e e πd e πσσ=)20(22ππ+σ =σ2.由此可知：正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别是该分布的数学期望和均方差.因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.再者，由上一章第五节例3.17知道，若X i ~N (μi ,σi 2),i =1,2,…,n ，且它们相互独立，则它们的线性组合c 1X 1+c 2X 2+…+c n X n （c 1，c 2，…，c n 是不全为零的常数）仍然服从正态分布.于是由数学期望和方差的性质知道：c 1X 1+c 2X 2+…+c n X n ~⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i n i i i i i c c N 1122,σμ.这是一个重要的结果.例4.15 设活塞的直径（以cm 计）X ~N (22.40,0.032)，气缸的直径Y ~N （22.50,0.042），X ，Y 相互独立，任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率.解按题意需求P {X <Y }=P {X -Y <0}.令Z =X -Y ，则E （Z ）=E （X ）-E （Y ）=22.40-22.50=-0.10,D (Z )=D (X )+D (Y )=0.032+0.042=0.052,即Z ~N （-0.10,0.052）,故有P {X <Y }=P {Z <0}=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<--05.010.005.0)10.0(005.0)10.0(Z P=Φ(2)=0.9772.。
初中方差的性质教案
教案：初中方差的性质教学目标：1. 理解方差的定义和性质；2. 学会计算简单数据的方差；3. 能够应用方差的性质解决实际问题。
教学重点：1. 方差的定义和性质；2. 计算简单数据的方差；3. 应用方差的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 计算器；3. 实际数据集。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入方差的概念，让学生回顾平均数的定义和作用；2. 提问：为什么我们需要方差？方差有哪些实际应用？二、讲解方差的定义和性质（15分钟）1. 讲解方差的定义：方差是衡量一组数据波动大小的量；2. 讲解方差的性质：方差越小，数据越稳定；方差越大，数据波动越大；3. 通过实例演示方差的计算过程，让学生理解方差的计算方法；4. 引导学生思考：方差与平均数的关系是什么？三、练习计算简单数据的方差（10分钟）1. 给学生发放实际数据集，让学生计算方差；2. 引导学生注意数据的准确性和计算过程的规范性；3. 解答学生的问题，给予个别指导。
四、应用方差的性质解决实际问题（10分钟）1. 给学生发放实际问题案例，让学生应用方差的性质解决问题；2. 引导学生分析问题，明确需要用方差解决的问题；3. 引导学生思考：如何比较两组数据的稳定性？如何选择稳定的数据集？五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结方差的定义、性质和应用；2. 提问：你认为方差在实际生活中有哪些应用？如何选择稳定的数据集？教学延伸：1. 引导学生进一步学习多组数据的方差比较方法；2. 引导学生思考：如何利用方差进行数据分析和决策？教学反思：本节课通过讲解方差的定义和性质，让学生理解方差的作用和实际应用。
通过练习计算简单数据的方差，让学生掌握方差的计算方法。
最后，通过应用方差的性质解决实际问题，让学生学会将方差应用于实际生活中。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的问题，引导学生思考和讨论。
随机变量的方差
随机变量的方差
1
4.2 方差
一. 定义与性质 方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。
如何定义？
2
1.(p121)定义 若E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2 为随机变量 X的方差，记为D(X),或Var(X).
称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
可见
2 [ x E ( X )] P{ X xk }, 离散型情形 k D( X ) k 1 2 [ x E ( X )] f ( x )dx, 连续型情形
3
2.推论
D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
例1：设随机变量X的概率密度为 1 x 1 x 0 f ( x) 1 x 0 x 1 0 其它
5. 正态分布N(, 2)：
D X 2
6
1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续 型随机变量Y，使它们的期望都是2， 方差都是1。
2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，
且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+…+Xn ，求E（Y2）
7
三.切比雪夫不等式 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意 D( X ) 0，有 P{| X E( X ) | } ; 2 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：
i 1 i 1 n n5Βιβλιοθήκη 二.几个常用随机变量的方差
1. 二项分布B(n, p)： 2. 泊松分布p()：
D X np(1 p) D X
1 2 D X b a 12 1 D X 2
方差概念及计算公式
方差概念及计算公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1方差概念及计算公式一．方差的概念与计算公式例1两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即，其中分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
二．方差的性质1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）；证：特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）3．若X、Y相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
三．常用分布的方差1．两点分布2．二项分布X ~ B( n, p )引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布），3．泊松分布（推导略）4．均匀分布另一计算过程为5．指数分布（推导略）6．正态分布（推导略）~正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。
例2求上节例2的方差。
解根据上节例2给出的分布律，计算得到求均方差。
均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。
S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
二次变差(quadratic variation)和方差(variance)的区别
二次变差(quadratic variation)和方差(variance)的区别1. 引言1.1 概述在统计学和金融领域，我们经常会遇到二次变差（quadratic variation）和方差（variance）这两个概念。
尽管它们都与随机变量的波动性有关，但它们在定义、计算方法以及在统计学中的应用上存在着明显的区别。
本文将深入探讨二次变差和方差之间的区别，并解释它们分别在数学模型和实践中的重要意义。
1.2 文章结构本文将分为以下几个部分进行探讨。
首先，我们将阐述二次变差和方差的定义与解释，并比较它们之间的异同。
接着，我们将介绍计算二次变差和方差的方法以及它们所具有的性质。
然后，我们将重点关注二次变差和方差在统计学中的应用，并探讨它们对于数据分析与模型构建的意义。
最后，我们将总结二次变差和方差之间的区别和联系，并提出一些对进一步研究有启示性作用的建议。
1.3 目的本文旨在帮助读者更好地理解二次变差和方差这两个重要概念之间的区别，并认识到它们在统计学和金融领域中的实际应用。
通过对这两个概念的深入探讨，我们可以更准确地理解和分析随机变量的波动性，并在实践中更好地运用它们来进行风险管理、投资决策等方面的工作。
接下来，我们将开始介绍二次变差和方差的定义与解释。
2. 二次变差和方差的定义与解释：2.1 二次变差的定义与解释：二次变差（quadratic variation）是指一个随机过程在给定时间段内波动的累积量。
对于一个连续随机过程X(t)，其二次变差可以通过将其离散化为多个间隔，然后计算每个间隔内X(t)的变化量的平方和来获得。
具体地说，如果我们将时间段[a, b]分成n个子区间，并选择子区间上任意一点{t0, t1,...,tn-1}，则这些点构成了一个分割（partition）。
然后，我们可以计算每个子区间上X(t)的变化量ΔX(ti) = X(ti) - X(ti-1)并将其平方求和。
当分割逐渐细化且子区间长度趋近于零时，得到的二次变差就会趋向于稳定或极限值。
随机变量的方差和标准差
P|
x
EX
|
f
|xEX |
( x)dx
1
2
(x
EX
)2
f
(x)dx
DX
2
例4.11 设随机变量X的数学期望为μ，方差为 ，2 则由切
贝绍夫不等式，有
P 3 X 3 P X 3 1 1 0.89 9 然而，假如 X ~ N(, 2 ) 则利用附表1，可得
P
3
X
3
P|
X
|
3
一、随机变量的方差和标准差的 概念和性质
1、方差和标准差的定义 X－EX表示随机变量 X 对数学期 望 EX 的离差；为避免离差符号的影响，人们常使用X 对数 学期望 EX 的平方离差 (X EX )2 它显然也是随机变量；称 (X EX )2 的数学期望
DX E(X EX )2 EX 2 (EX )2
二、切贝绍夫不等式
设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对于任意ε>0， 事件{|X－EX|≥ε}的概率有如下估计式——切贝绍夫不等式：
P
X
EX
DX
2
或
P X EX
1
DX
2
证明 (1) 设X是非负离散型随机变量，其一切可能值为{Xi}，
则对于任意ε>0，有
P X EX PX xi
xi EX
1
2 xi EX
( X EX )2 P
X xi
1
2
xi
(X
EX )2 PX
xi
DX
2
,
其中前两个和式∑表示对于满足| xi －EX|≥ε的X 的一切可能 值xi求和，后一个和式∑表示对于X 的一切可能值xi求和．