专题复习五 立体几何高考题型

专题复习五 立体几何高考题型

热点之一：点、线、面问题

包括平面的基本性质、空间的直线和平面的位置关系及判定方法，特别注意三垂线定理及其逆定理的应用。 [例1] 已知、αβ是两个平面，直线,.l l αβ⊄⊄若以①l α⊥，②//l β，③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

[例2]把边长为a 的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中

所画的线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（

（A （B （C （D （练习）

1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）

2．如右图，点E 是正方体1111ABCD A BC D - 的棱1DD 的中点，则过点E 与直线AB 和

11B C 都相交的直线的条数是（ ）

（A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）无数

3．在正方体1111ABCD A BC D -中，写出过顶

点A 的一个平面______________，使该平面与正方体的

12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。

热点之二：空间角与距离问题

三个角：包括两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；

八个距离：包括点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、异面直线

1A 1C

1

B D

A

C

B E 1D

（A ） （D ）

的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离、球面上两点的距离。 在求角或距离时，一定要“先找后解”。 [例3]（1998年全国高考题）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC

垂直，90,2,ABC BC AC ∠=== ， 且1111,.AA AC AA AC ⊥=

（Ⅰ）求侧棱1AA 与底面ABC 所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面11A ABB 与底面

ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）（理）求顶点C 到侧面11A ABB 的距离；

（Ⅲ）（文）求侧棱1B B 和侧面11A ACC 的距离。

(练习)

4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为

AB 、AD 的中点， (1)11

AC 与1

B C 所成角的大小是_____________;

(2) 11AC 与

EF 所成角的大小是_____________; (3) 1AC 与1AD 所成角的大小是_____________; (4)1AD 与EF 所成角的大小是_____________; (5)1BD 与CE 所成角大小是_____________; (6)1B C 与平面ABCD 所成角的大小是_________; (7)1BD 与平面1!DCC D 所成角的大小是_____________; (8)二面角1A BC D --的大小是_________; (9)二面角111B AC B --的大小是_____________; (10)二面角1C EF C --的大小是_____________;

5．将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角后， （1）求异面直线AC 与BD 的距离；

（2）求三棱锥C ABD -的体积；

（3）求D 到面ABC 的距离。

D E

A

C

B

O

C 1A

1

B D

A

C B

E

1D F 1C

1C

1

B A

C B 1

A

热点之三：表面积与体积问题

[例4]棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积记作1S 、2S 、3S ，则( ) (A)123S S S << (B) 213S S S <<

(C)321S S S << (D)132S S S <<

[例5]如右图，在母线长为2

当这个圆柱体积最大时，它的高是( )

(B) (C)23

(练习)

6．如图，三棱台111ABC A B C -的上底111A B C ∆面积 为4，下底ABC ∆面积为9，且三棱锥11C AA B -的体 积为9，则三棱台111ABC A B C -的体积为( ) (A)19 (B)18 (C)

572 (D)763

7．已知圆台上、下底面半径分别为1cm 和4cm ，圆台的侧面展开图扇环所对的圆心角

为216°，则该圆台的体积为_________________________。

8．直四棱柱ABCD EFGH -的体积等于1，底面ABCD 为平行四边形，则四面体DCGF 体积为____________。

热点之四：立几综合题

［例6］如图，圆台1OO 的高等于下底面圆的半径，母线1AA 与下底面成60

的角，P

为下底面圆周上的一点，PO 与1AA 成30

的角。 (Ⅰ)求二面角1P OO A --的余弦值； (Ⅱ)若下底面圆的半径为1，求圆台的侧面积。

1C

1

B A

C B

1A

1A

［例7］如图，直四棱柱1111ABCD AC B D -的侧棱1AA 的长是a ，底面ABCD 是边长AB=2a ，BC=a 的矩形，E 为11C D 的中点。 (Ⅰ)求证:平面BCE ⊥平面BDE; (Ⅱ)求二面角E-BD-C 的大小;

(Ⅲ)求三棱锥1B BDE -的体积.

（练习答案）

1、B

2、B

3、面11AB D

4、（1）60 （2）90 （3）90 （4）60

（5）6）45

（7）8）45 （9）10）arctg 5、（1）34a （23

（3）32a 6、C 7、328cm π 8、16 A B

C

D

1A 1B

1C

1D

E

F

H