2019-2020学年江西省抚州市临川一中高一(上)第一次月考数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文(扫描版)
江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文（扫描版）2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13、 14、 15、 16、三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (1)由，则，故数列为等比数列，首项为，公比为所以 .......6分(2)由，则.......12分18. (1)取的中点，连接，由，，故，又为，故，而，即，，又是边长为1的正三角形，则，，而面，故平面平面.......6分(2)由，则故，则，由故 .......12分19.由题可知在曲线上，所以有以下两种情况：当为切点时，由，得，即直线的斜率为，故直线的方程为，由，得，依题意，.......4分当不是切点时，设直线与曲线相切于点则①又②，则联立①②得，所以，故直线的方程为，由，得，依题意得，，得，综上，或 .......12分20. （1）由题可知，，故，而，则 ......4分（2）由题可知，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A，B，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A）（乙B）（丙丁）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）（AB），其中恰有2女教师的有（乙A）（乙B）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）共6种情况，故......8分（3）由题可知，，，所以，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故......12分21. （1）设，，由点都在椭圆上，故，则故直线的方程为 ......5分（2）由题可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，则即①联立，则将其代入①得故的值为.......12分22. （1）由，，故又直线：，故......5分(2)由，故直线的标准参数方程为（为参数），将其代入曲线中，得，故......10分23. (1)由，则必是该方程的根，所以在上无解，即与在上无交点，而，故......5分(2) 由对恒成立，而，故，则在上恒成立，故只需在上面对恒成立即可，又，则只需对恒成立，则，故.....10分。
临川区一中高一月考数学试题及答案
临川一中高一数学月考试卷姓名： 班级： 得分：一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知a <0,b <－1,则下列不等式成立的是( )A.2a a a b b >> B.2a aa b b >> C.2a a a b b >> D.2a a a b b>> 2.等差数列{}n a 中，378a a +=，则前9项和9S =（ ）A. 18B. 24C. 36D. 483.过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（ ） A.不一定有 B.只有一个 C.至多有两个 D.有无数个4.如右图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D.5.a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ； ③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ； ④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b . 其中正确命题的个数有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.已知四棱锥的俯视图是边长为4的正方形及其对角线（如右图），主视图与左视图都是边长为4的正三角形，则其全面积是( ) A.316 B.31616+ C.32 D.487．不等式22x x x x -->的解集是( ) A.(0,2) B.(,0)-∞ C.(2,)+∞ D.(,0)(0,)-∞+∞8. 设满足则（ ）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值9．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆ 的面积分别为22、32、62，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为( )A ．2πB ．6πC ．46πD ．24π 10.若x,y ∈R,且2x 2+y 2=6x,则x 2+y 2+2x 的最大值为( )A.14B.15C.16D.1711.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形．则在满足下列条件的三角形，存在“友好”三角形的是（ ）①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C ===；③75,75,30A B C ===．A ．①B ．②C ．③D ．均不存在 12.已知a ,b ∈R,函数b ax x f -=)(,若对任意2213,1)(0],1,1[-+++≤≤-∈b a b a x f x 则有的最大值为（ ）A ．21 B ．52 C ．2 D ．72二.填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13. 已知等比数列{}n a ，公比3=q ，且其前4项和804=S ，则=2a _________.14.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=4，AB=AD=2，M 、N 分别为AC 、DD 1的中点，则异面直线DM 与CN 所成的角为_________.15.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若c=1，且2A cos +a =2b ，则△ABC 的周长l 的取值范围是_________16.如图，在长方形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为三：解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本大题满分10分)如图，圆O 为三棱锥P －ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点．(1)求证：BC ⊥PB ；16题(2)设PA ⊥AC ，PA ＝AC ＝2，AB ＝1，求三棱锥P －MBC 的体积；18．(本大题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足 (2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos2A )，n ＝(4k,1)(k ＞1)，m ·n 的最大值为5，求k 的值．19．(本大题满分12分)如图，多面体AED —BFC 的直观图及三视图如图所示，M ，N 分别为AF ，BC 的中点．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A —CDEF 的体积； 20. (本大题满分12分)某中学计划把一块边长为2米的等边三角形ABC 的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上。
江西省抚州市临川第一中学等2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+， 所以|2|510|||1|22i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x =+>有解， 因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x y x ->+ C. 221x y x ->+ D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高一(上)第一次月考数学试卷
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
∴ ＝ ，
∵ ， ＝ ，
∴ ＝ 或 ， ， ， ，
或 ， ， ， ， ， ，
或 ， ， ， ，
或 ．
故满足条件的 有 个，
6.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据 的定义域即可得出，要使得函数 有意义，则需满足 ，解出 的范围即可．
当 ＝ ，即 时， ，满足 成立；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ，
综上实数 的取值范围为 ．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1） ＝ 时，可以求出集合 ，然后进行交集、补集的运算即可；
（2）根据 ＝ 即可得出 ，并且得出 ＝ ，然后可讨论 与 的关系，从而求出集合 ，再根据 即可得出 的取值范围．
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题.（每一题只有一个答案符合，每小题5分，共12小题，共60分）
1.已知全集 ＝ ，集合 ＝ ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
进行交集、补集的运算即可．
【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
【解答】
二次函数的对称轴为 ＝ ，
①当 时， 在 上单调递减， ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
两式作差得 ＝ ，
∵ ，∴ ＝ ，代入 ＝ ，
江西省临川第一中学等2020届高三数学上学期第一次联考试题理(扫描版)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）二、填空题13．－221 14．2315．16．2三、解答题17．解（1）∵a cos B ＝(4c －b )cos A ，由正弦定理得：sin A cos B ＝(4sin C －sin B )cos A ，…………2分即sin A cos B ＋cos A sin B ＝4sin C cos A ，即sin C ＝4 cos A sin C ，…………4分在中，，所以cos A ＝41…………………………5分（2）→AB ＋→AC ＝2→AM，两边平方得：……6分由b ＝4，|→AM |＝，cos A ＝41得c 2＋b 2＋2×c ×b ×41＝4×10，………………8分可得c 2＋16＋2c ＝40……………………10分解得：c ＝4或c ＝－6（舍） ………………11分所以△ABC 的面积s ＝21bc sin A ＝2 ………………12分18．解：(1)证明：∵AC ＝2，BC ＝2，AB ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝63＝33.又易知BD ＝2， ∴CD 2＝22＋(2)2－2×2×2cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝2，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC .……………………5分 (2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，∵直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，即∠PAD ＝45°， ∴PD ＝AD ＝4，则A (0，－4,0)，C (2，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴―→CB ＝(－2，2,0)，―→AC ＝(2，4,0)，―→PA＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ， ∴DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ， ∴CB ⊥平面PDE ，∴―→CB＝(－2，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则―→AC ―→PA ＝0，PA 即－4y －4z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，得x ＝，y ＝－1， ∴n ＝(，－1,1)为平面PAC 的一个法向量． ∴cos<n ，―→CB >＝12－4－2＝－23，∴平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为23，故平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.……………………12分19．解：由e ＝a c ＝23，又由于a ＞b ＞0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，可得：a ＝2，c ＝，b ＝1（1）故此椭圆的方程为4x2＋y 2＝1………………5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m联立椭圆的方程得： (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0由△＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)( 4m 2－4)＞0，可得m 2＜4k 2＋1则x 1＋x 2＝－4k2＋18km ，x 1·x 2＝4k2＋14m2－4|PQ |＝·|x 1－x 2|＝·＝4·4k2＋14k2－m2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝k2＋1|m|S △OPQ ＝21·d ·|PQ |＝2|m |·4k2＋14k2－m2＋1由于k 1·k 2＝x1x2y1y2＝x1x2x1＋x2＋m2＝－ 41，可得：4k 2＝2m 2－1故S △OPQ ＝2|m |·2m22m2－1－m2＋1＝1当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1 故△OPQ 的面积为定值1……………………12分20．（1）X 可能取值为3，4，5，6P (X ＝3)＝(31)3 ＝271P (X ＝4)＝C 31 (32)(31)2 ＝276…………1分 P (X ＝5)＝C 32 (32)2(31) ＝2712P (X ＝6)＝ (32)3 ＝278…………2分故其分布列为……………………3分E (（2）①总分恰为m 的概率A m ＝(31)m……………………6分 故S 6＝31＝729364……………………8分②已调查过的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得n －1分，再得2分，概率为32B n －1，而B 1＝31…………9分 故1－B n ＝32B n －1，即B n ＝－32B n －1＋1…………10分 可得B n －53＝－32( B n －1－53)，B 1－53＝－154…………11分 可得B n ＝53＋52·(－32)n……………………12分21．解：（1）f /(x )＝x ln x －a ln x ＋a －x ＝(x －a )(ln x －1)，x ∈(0，＋∞)………………1分①当a ＝e 时，f /(x ) ＝(x －e )(ln x －1)≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增…………2分 ②当a ≤0时，x －a ＞0，f (x )在(0，e ) 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增…………3分③当0＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增…………4分④当a ＞e 时， f (x )在(e ，a ) 上单调递减，在(0，e )，(e ，＋∞)上单调递增…………6分（2）假设存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x )＞3＋41sin 4aπ对任意x ∈[1，＋∞)恒成立 则f (1)＝2a －43＞3＋41sin 4aπ，即8a －sin 4aπ－15＞0…………7分 设g (x )＝8x －sin 4πx －15，g /(x )＝8－4πcos 4πx ＞0，则g (x )单调递增由于g (2)＝0，所以a ＞2①当a ＝e 时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)，所以a ＞2， 从而a ＝e 满足题意…………8分②当2＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增所以414aπ414aπ4aπ，可4aπ－e2－12＞0aπ（1）…………9分设h (x )＝4ex －sin 4πx －e 2－12，h /(x )＝4e －4πcos 4πx ＞0，则h (x )是单调递增函数…………10分由于h (2)＝8e －e 2－13＞0可得h (x )的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以2＜a ＜e …………11分综上，存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x ) ＞3＋41sin 4aπ对x ∈[1，＋∞]恒成立，且a 的取值范围是(2，e ] …………12分22．(1)C ：x 2＋y 2＝1，曲线C 1：y/＝sin αx/＝2cosα，得x /2＋4y /2＝4…………2分即ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4………………5分（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4θ＝β，有ρ21＝4cos2θ＋sin 2θ…………7分 ∴|OA|21＝4cos2θ＋sin 2θ，…………8分同理|OB|21＝2＋sin 2(θ＋2π)＝4sin2θ＋cos 2θ…………9分故|OA|21＋|OB|21＝45………………10分23．（1）f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥5可解得x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5他（2）由|x －a a2＋1|＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1，2]上恒成立，由于a ＞0，可得a a2＋1≥2…………6分等价于a a2＋1－x ＋x －1≤4－x －1在[1，2]上恒成立…………7分 即a a2＋1≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8分即a a2＋1≤2，可得a ＝1，…………9分故a 的取值集合为{1}…………10分。
2019临川一中高一上学期第一次月考数学答案
2019临川一中高一上学期10月月考数学参考答案一、选择题：1—6 AABBBC 7—12 DAADBB二、填空题13、18(,)55- 14、 12(,)33 15、9 16、3(,]2-? 三、解答题 17、（1）3[2,1)[,5]2A B =-- （2）()[2,5]R C B A=- 18、解：（1）令2,2t t > 则2(2)x t =-221()3(2)2(2)f t t t \=-++- 221()3(2)2(2)f x x x \=-++-，其定义域为(2,)+? （2）令0t t =?，则22x t =-212(2)y t t \=--+ 225,0tt t =-++? 当14t =时，y 的最大值为418，所以原函数的值域为41(,]8-? 19、解：（1）当1a =时，[4,2]B =-，则()()()(,1](2,)R R RC A C B C A B ==-?+? （2）A B B = B A \?且{|(2)(31)0}B x x a x a =-++?当231a a =--时，即15a =-时 2{}5B =- 满足B A Í成立； 当231a a >--时，即15a >-时，集合[31,2](1,3)B a a =--? 013110032352a a a a a a ì<ì-<--ïï\揶<\-<<眄<<镲îî 当231a a <--时，即15a <-时，集合[2,31](1,3)B a a =--? 112111243132253a a a a a a ì>-ïì-<镲\揶>-\-<<-眄--<镲î>-ïî综上：102a -<<20、解：（1）当12a =时，2()1,[1,1]f x x x x =+-?，其对称轴为12x =- 由于函数()y f x =在1(1,)2--上递减，在1(,1)2-递增 ()f x \的最大值为(1)1f = ()f x 的最小值为15()24f -=- （3）由2()21,f x x ax =+-其对称轴为x a =-当1a -?时，即1a ³时，()y f x =在[1,1]-上是递增的 m i n ()()(1)2f x g a f a \==-=- 当11a -<-<时，即11a -<<时，()y f x =在(1,)a --上递减，在(,1)a -递增2m i n ()()()1f xg a f a a ==-=-- 当1a -?时，即1a ?时，()y f x =在(1,1)-上递减m i n ()()(1)2f x g a f a \===综上：22,1()1,112,1a a g a a a a a ì-?ïï=---<<íï?ïî 21、解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为300,0200()2300,200300t t f t t t ì-＃ï=í-<?ïî由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+＃（2）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =-即2211175,020020022()171025,20030020022t t t h t t t t ì-++＃ïï=íï-+-<?ïî 当0200t ＃时，配方得到21()(50)100200h t t =--+ 所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值为100；当200300t <?时，配方整理得到：21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间(200,300]上的最大值为87.5。
江西省抚州市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
江西省抚州市2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在刚过去的2017年，我国整体经济实力跃上了一个新台阶，城镇新增就业1351万人，数据“1351万”用科学记数法表示为（ ） A ．13.51×106B ．1.351×107C ．1.351×106D ．0.1531×1082．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．﹣1与（﹣1）2B ．（﹣1）2与1C ．2与12D ．2与|﹣2|3．下列计算正确的是（ ） A ．（a+2）（a ﹣2）＝a 2﹣2 B ．（a+1）（a ﹣2）＝a 2+a ﹣2 C ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 24．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠1）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，1），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a ﹣b+c ＜1；③当x ＜1时，y 随x 增大而增大； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）；⑤若ax 2+bx+c=b ，则b 2﹣4ac=1． 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④⑤C ．①②④D ．③④⑤5．点A 、C 为半径是4的圆周上两点，点B 为»AC 的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（ ） A 7或2B 7或3C ．6或2D ．6或36．下列运算正确的是( ) A ．235x x x +=B ．236x x x +=C ．325x x =（）D ．326x x =（）7．若代数式22x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x≠0D ．x≠28．如图，取一张长为a 、宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边,a b 应满足的条件是（ ）A ．2a b =B ．2a b =C ．2a b =D ．2a b =9．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠1)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜1；②a ﹣b+c ＜1；③b+2a ＜1；④abc ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③10．下列图形中，线段MN 的长度表示点M 到直线l 的距离的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD ．若AC=10cm ，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25πcmB ．210πcmC ．215πcmD ．220πcm12．一元二次方程x 2﹣2x ＝0的根是（ ） A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝﹣2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知△ABC ，AB=6，AC=5，D 是边AB 的中点，E 是边AC 上一点，∠ADE=∠C ，∠BAC 的平分线分别交DE 、BC 于点F 、G ，那么AFAG的值为__________．14．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有________个红球．15．如图，四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若四边形EFGH 为菱形，则对角线AC 、BD 应满足条件_____．16．一个多项式与3212x y -的积为5243343x y x y x y z --，那么这个多项式为 . 17．在平面直角坐标系中，点A （2，3）绕原点O 逆时针旋转90°的对应点的坐标为_____． 18．将一副三角板如图放置，若20AOD ∠=o ，则BOC ∠的大小为______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ． (1)求证：四边形DBEC 是菱形；(2)若AD ＝3， DF ＝1，求四边形DBEC 面积．20．（6分）如图，己知AB 是的直径，C 为圆上一点，D 是的中点，于H ，垂足为H ，连交弦于E ，交于F ，联结.(1)求证：.(2)若，求的长.21．（6分）如图，抛物线y=ax2+ax﹣12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．（1）求点A、B的坐标；（2）若BN=MN，且S△MBC=274，求a的值；（3）若∠BMC=2∠ABM，求MNNB的值．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．23．（8分）计算：31|+（﹣1）2018﹣tan60°24．（10分）解不等式组：426113x xxx>-⎧⎪+⎨-≤⎪⎩，并写出它的所有整数解．25．（10分）（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN 的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．26．（12分）在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．下面是小林的探究过程，请补充完整：（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，D是线段AB上一动点，射线DE⊥BC于点E，∠EDF=60°，射线DF与射线AC交于点F．设B，E两点间的距离为xcm，E，F两点间的距离为ycm．（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y/cm 6.9 5.3 4.0 3.3 4.5 6（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为cm．27．（12分）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是_____；先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 4 的倍数的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据科学记数法进行解答.【详解】1315万即13510000，用科学记数法表示为1.351×107.故选择B.【点睛】本题主要考查科学记数法，科学记数法表示数的标准形式是a×10n（1≤│a│＜10且n为整数）.2．A【解析】【分析】根据相反数的定义，对每个选项进行判断即可.【详解】解：A、（﹣1）2＝1，1与﹣1 互为相反数，正确；B、（﹣1）2＝1，故错误；C、2与12互为倒数，故错误；D、2＝|﹣2|，故错误；故选：A．【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义. 3．D【解析】A、原式=a2﹣4，不符合题意；B、原式=a2﹣a﹣2，不符合题意；C、原式=a2+b2+2ab，不符合题意；D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，故选D 4．B 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴结合抛物线与x 轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；当x=﹣1时，y ＞1，得到a ﹣b+c ＞1，结论②错误；根据抛物线的对称性得到结论③错误；将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=1，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；根据抛物线的顶点坐标为（2，b ），判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠1）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，1）， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（1，1）， ∴抛物线过原点，结论①正确； ②∵当x=﹣1时，y ＞1， ∴a ﹣b+c ＞1，结论②错误；③当x ＜1时，y 随x 增大而减小，③错误；④抛物线y=ax 2+bx+c （a≠1）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点， ∴22ba-=，c=1， ∴b=﹣4a ，c=1， ∴4a+b+c=1，当x=2时，y=ax 2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c ）+b=b ， ∴抛物线的顶点坐标为（2，b ），结论④正确； ⑤∵抛物线的顶点坐标为（2，b ）， ∴ax 2+bx+c=b 时，b 2﹣4ac=1，⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①④⑤． 故选B ． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定． 5．C 【解析】 【分析】过B 作直径，连接AC 交AO 于E ，如图①，根据已知条件得到BD=12OB=2，如图②，BD=6，求得OD 、OE 、DE 的长，连接OD ，根据勾股定理得到结论． 【详解】过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为»AC的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，∴BD=12×4=2，∴OD=OB-BD=2，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵CE=2222=43=7OC OE--，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=2222=(7)1=22CE DE++；如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=12BD=3，OE=3-2=1，由勾股定理得：2222=41=15OC OE--2222=3(15)=26DE CE++.故选C ． 【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 6．D 【解析】 【分析】根据幂的乘方：底数不变，指数相乘．合并同类项即可解答. 【详解】解：A 、B 两项不是同类项，所以不能合并，故A 、B 错误，C 、D 考查幂的乘方运算，底数不变，指数相乘．326x x （）= ,故D 正确； 【点睛】本题考查幂的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键. 7．D 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于0即可解题. 【详解】解：∵代数式22x x -有意义，∴x-2≠0,即x≠2, 故选D. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件,属于简单题,熟悉分式有意义的条件是解题关键. 8．B 【解析】 【分析】由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为14a ，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论． 【详解】解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为14a ， ∵小长方形与原长方形相似，,14a b b a ∴=2a b ∴=故选B ． 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键． 9．C 【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①当x=1时，y=a+b+c=1，故本选项错误；②当x=﹣1时，图象与x 轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a ﹣b+c ＜1，故本选项正确； ③由抛物线的开口向下知a ＜1， ∵对称轴为1＞x=﹣＞1，∴2a+b ＜1， 故本选项正确； ④对称轴为x=﹣＞1， ∴a 、b 异号，即b ＞1， ∴abc ＜1， 故本选项错误；∴正确结论的序号为②③． 故选B ．点评：二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞1；否则a ＜1； （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a 判断符号；（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞1；否则c ＜1； （4）当x=1时，可以确定y=a+b+C 的值；当x=﹣1时，可以确定y=a ﹣b+c 的值． 10．A 【解析】解：图B 、C 、D 中，线段MN 不与直线l 垂直，故线段MN 的长度不能表示点M 到直线l 的距离； 图A 中，线段MN 与直线l 垂直，垂足为点N ，故线段MN 的长度能表示点M 到直线l 的距离．故选A ． 11．B 【解析】试题解析：∵AC=10，∴AO=BO=5，∵∠BAC=36°，∴∠BOC=72°，∵矩形的对角线把矩形分成了四个面积相等的三角形，∴阴影部分的面积=扇形AOD的面积+扇形BOC的面积=2扇形BOC的面积=27252360π⨯⨯=10π ．故选B．12．C【解析】【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程变形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x1＝1．故选C．【点睛】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3 5【解析】【分析】由题中所给条件证明△ADF~△ACG，可求出AFAG的值.【详解】解：在△ADF和△ACG中，AB=6，AC=5，D是边AB的中点AG是∠BAC的平分线，∴∠DAF=∠CAG∠ADE＝∠C∴△ADF~△ACG∴35 AF ADAG AC==.故答案为3 5 .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握. 14．1【解析】【详解】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有x 个红球，列出方程30x =20%， 求得x=1. 故答案为1．点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．15．AC=BD ．【解析】试题分析：添加的条件应为：AC=BD ，把AC=BD 作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG 平行且等于AC 的一半，EF 平行且等于AC 的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG 和EF 平行且相等，所以EFGH 为平行四边形，又EH 等于BD 的一半且AC=BD ，所以得到所证四边形的邻边EH 与HG 相等，所以四边形EFGH 为菱形．试题解析：添加的条件应为：AC=BD ．证明：∵E ，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在△ADC 中，HG 为△ADC 的中位线，所以HG ∥AC 且HG=12AC ；同理EF ∥AC 且EF=12AC ，同理可得EH=12BD ， 则HG ∥EF 且HG=EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC=BD ，所以EF=EH ，∴四边形EFGH 为菱形．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．16．22262x xy y z -++【解析】试题分析：依题意知()()524334325243343212332x y x y x y x y z x y x y x y x y z ⎛⎫-⎛⎫--÷-=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =22262x xy y z -++考点：整式运算点评：本题难度较低，主要考查学生对整式运算中多项式计算知识点的掌握。
2019年9月临川一中文科数学试卷 (1)
2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答．1.设集合{}26A x x =-<<，{}24B x x =>，则A B =I （ ）A. {}26x x <<B. {}26x x -<<C. {}22x x -<<D. {}6x x >2.设,a b R ∈，则“()20a b a ->”是“a b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3．若2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. b a c << 4．若复数z 满足342z i +-=，则z z ⋅的最大值为（ ）A.9B. 81C.7D.495．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ，若()544k k S a k N *+-=∈，则k 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 7或8 6．已知实数x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A. 6B. 5C. 4D. 37．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用样本估计总体，年龄在(),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是（其中x 是平均数，s 为标准差，结果精确到1%）A. 14%B. 25%C. 56%D. 67%8．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上(包含端点)，且2AC =，则PB PD PA →→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭有（ ）A. 最大值为12，没有最小值 B. 最小值为12-，没有最大值 C. 最小值为12-，最大值为4 D. 最小值为4-，最大值为129．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（ ） A. 230x y -+= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 20x y ++=10．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）A.1B.2C.22D.1211．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]2,2-.则上述结论中，正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312．已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，O 为 坐标原点，若M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r ，则OM u u u u r 的取值范围为（ ）A. (]0,3B. (0,22⎤⎦C. ()0,3D. ()0,22 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷相应题目的答题区域内作答．13.函数()()()23ln 2x f x x =-⋅-的零点个数为_______． 14．若1tan 4tan x x+=，则66sin cos x x +=_______． 15.当(],1x ∈-∞-时，不等式()2420x x m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围为 _______．16．在三棱锥P ABC -中，3,4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足112n n a a +=，且112a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .18．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是边长为1的正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =. (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若点E 为BD 的中点，求点B 到平面ACE 的距离.19．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线3232y x x x =-+和2y x a =+都相切，求a 的值. .20．抚州市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登军峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，)35,30[，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组，其频率分布直方图如下图所示．已知)40,35[之间的参加者有4人．（1）求N 和)35,30[之间的参加者人数1N ；（2）组织者从[)40,55之间的参加者（其中共有4名女教师包括甲女，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，求在甲女必须入选的条件下，选出的女教师的人数为2人的概率.（3）已知)35,30[和)40,35[之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?21．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. A D B C E(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.请考生在第22，23题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1313x m m y m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；(2)已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求11MP MQ+的值.23. （本小题满分10分）已知函数2()4f x x =-，()2g x a x =-.(1)若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2)若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.。
临川一中高一数学月考试卷2019.19.22
临川一中2019—2020学年度上学期月考高一年级数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R C A B =（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<< 2．已知0.22019a =，20190.2b =，2019c=log 0.2，则（ ） A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<3．已知函数()f x 在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度为0.01，则至少计算中点函数值（ ） A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次4．下列不等式正确的是（ ） A ．3sin130sin 40log 4>> B ．tan 226ln 0.4tan 48<<C ．()cos 20sin 65lg11-<< D ．5tan 410sin 80log 2>>5．函数()y f x =的图象与函数()xg x e =的图象关于直线y x =对称，则函数()243y f x x=+-的单调递减区间为（ ）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数图像( ) A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线6x π=对称C ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线3x π=对称7．已知函数)53(212log )(+-=ax x x f 在),1(+∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）)6,8.(--A ]6,.(--∞B ]6,8.[--C ]6,8.(--D8．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A ．B ．C ． D ．9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2B ．2C ．2-D 210．将函数()3sin y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．23π 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()6,3f x f x y f x +==+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（ ）A ．()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()12ln 210f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()12ln 210f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()12ln 210f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足()221f x t at ≤-+，则t 的取值范围是（ ）]2,2.[-A ]21,21.[-B ),2[}0{]2,.(+∞--∞ C ),21[}0{]21,.(+∞--∞ D第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边经过点P (4，y )，且3sin 5θ=-，则()tan πθ-=__________14．若1cos 1sin 2αα+=，则cos 2sin αα+=_________15．函数()2lg1y axax =++的值域是R ，则a 的取值范围是_________ _16．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为三、本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{}56A x x =<≤，139x aB x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，其中a 为实数 （1）当152a =时，求A B ；（2）若()R C B A φ≠，求a 的取值范围18. （本小题满分12分） （1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.19．（本小题满分12分）若函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1,5]x ∈-时，求()g x 的值域．20．（本小题满分12分）2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩ （1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．（本小题满分12分）下图为函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象，M 、N 是它与x 轴的两个交点，D 、C 分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且OME∆为等腰直角三角形.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 的解析式及单调增区间，对称中心.22．（本小题满分12分）已知函数()2lg ,2xf x m m R ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭． （1）当1m =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围；（3）任取[]12,,2x x t t ∈+，若不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案CCCDD ACBCD AC13. 34 14. 1 15. 4≥a 16. 1617.（1）当152a =时，151522213339x x B x x ---⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=<=<=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭15112,22x x ⎧⎫⎛⎫-<-=-∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，因为集合{}56A x x =<≤，所以(],6A B =-∞；（2）因为{}213339x ax a R C B x x ---⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭[)2,a =-+∞， 又因为()R C B A φ≠，所以26a -≤，即8a ≤， 所以a 的取值范围是(],8-∞. 18.解：（1）由5πππ1sin πsin cos 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得πsin 123α⎛⎫-===±⎪⎝⎭． （2）因为角α的终边过点()43P ,-，所以3sin 5α=，4cos 5α=-， 因为β为第三象限角，且4tan 3β=，所以4sin 5β=-，3cos 5β=- 所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19.（1）∵()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6， 记()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的周期为T ，则62T=， 又2T πω=，∴6π=ω. ∴()2sin 062f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭；∵()f x的图像经过点，∴(0)2sin 02f πϕϕ⎫==<<⎪⎭，∴3πϕ=，∴函数()f x 的解析式为()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）∵将函数()f x 的图像向右平移3个单位后得到函数()g x 的图像， 由（1）得，()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()g x 的解析式为()2sin (3)2sin 6366g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin [66x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.综上，当[1,5]x ∈-时，()g x 的值域为[2]. 20.（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩ （2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）. 综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.21.（1）由已知点()0,1E 为线段MD 的中点，则2A =， 又OME ∆为等腰直角三角形，且2MOE π∠=，OM OE ∴=，则点()1,0M -，则()1,2D ，()12112π∴⋅=--=，解得πω=，()2sin f x x ϕπ⎛⎫∴=+ ⎪.将点D 的坐标代入函数()y f x =的解析式得2sin 24πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin 14πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.02πϕ<<，3444πππϕ∴<+<，42ππϕ∴+=，解得4πϕ=， 因此，()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）将函数()y f x =图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，得出函数2sin 24x y ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再向左平移12个单位长度，得到函数()12sin 2cos 2242x g x x πππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由()222xk k k Z ππππ-≤≤∈，得()424k x k k Z -≤≤∈.令()22xk k Z πππ=+∈，解得()21x k k Z =+∈.因此，函数()y g x =的单调增区间为[]()42,4k k k Z -∈，对称中心为()()21,0k k Z +∈.22.（1）当1m =-时,()212xf x lg ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 要使函数()f x 有意义,则需2102x -+＞,即22x <,从而1x < 故函数()f x 的定义域为{}|1x x <（2）若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点, 则22202xlg m xlg ⎛⎫++= ⎪⎝⎭有且仅有一个根,即22(2)02x x lg m ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即22(2)12x x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 即()222210xx m +⋅-=有且仅有一个根令20x t =>,则2210mt t +-=有且仅有一个正根, 当0m =时,210t -=,则12t =,即1x =-,成立； 当0m ≠时,若()2241440m m ∆=-⋅-=+=即1m =-时,1t =,此时0x =成立； 若()2241440m m ∆=-⋅-=+>,需10m-＜,即0m >, 综上，m 的取值范围为[){}0,1+∞-（3）若任取[]12,,2x x t t ∈+,不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 即()()max min 1f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 因为()22xf x lg m ⎛⎫=+⎪⎝⎭在定义域上是单调减函数, 所以2()2max tf x lg m ⎛⎫=+⎪⎝⎭,22()2min t f x lg m +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 即222()()122max min tt f x f x lg m lg m +⎛⎫⎛⎫-=+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即2221022tt m m +⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则392tm ≥-, 所以339()24max t m ≥-=-,即112m ≥-, 又()22xf x lg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有意义,需202x m +＞,即22xm -＞, 所以222t m +-＞,[]1,2t ∈,18m -＞ 所以m 的取值范围为),121[+∞-。
江西省临川一中2019-2020年上学期第一次联合考试高三数学理科试题(无答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。
2019-2020学年江西省抚州市临川第一中学度高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019-2020学年江西省抚州市临川第一中学度高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B =，则()U C A B =（ ） A ．{5} B ．{1,3}C ．{1,3,4,5}D ．∅【答案】A【解析】先求集合A 的补集,再与B 求交集即可. 【详解】因为{1,2,3,4,5,6},U ={1,3,4}A =,{2,5,6}U C A ∴=,(){5}U C A B ∴⋂=,故选A . 【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.2．已知函数222,1(),22,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩则1()(2)f f 的值为（ ） A ．7136B ．6C ．74D ．119【答案】A【解析】先求(2)f 16=,再求1()6f 即可.【详解】2(2)22226f =+⨯-=,21171()2()6636f ∴=-=,故选A . 【点睛】满足分段函数的哪一段的范围,就用哪一段的解析式求值. 3．设集合15{|,},{|,}266k A x x k Z B x x k k Z ==+∈==-∈，则集合A 和集合B 的关系为（ ）A ．AB = B ．B A ⊆C ．A B ⊆D ．A B Ø【答案】B【解析】通过对集合A 和集合B 中的元素的公共属性变形,找出相同和不同点即可得到. 【详解】131266k k x +=+=,31{|,}6k A x x k Z +∴==∈,5653(22)1666k k x k --+=-==3(22)1{|,}6k B x x k Z -+∴==∈,B A ⊆.故选B. 【点睛】解题关键是对两个集合中元素的公共属性进行变形. 4．已知函数()f x 满足112()()f x xf x x=+，则(3)f =（ ） A ．3 B ．299 C ．239D ．13【答案】B【解析】在已知恒等式中分别3x =和13x =得到两个方程,再联立方程组消元可解得. 【详解】在112()()f x xf xx =+中, 分别令3x =和13x =得:112(3)3()33f f =+ ①,112()(3)333f f =+ ②,联立①②消去1()3f , 解得:29(3)9f =. 故选B . 【点睛】通过对已知恒等式中的变量赋值,是解题的关键. 5．已知集合{}12{|},3,42A a N NB a =∈∈=-，集合C 满足B C A ⊆⊆，则所有满足条件的集合C 的个数为（ ） A ．8 B ．16C ．15D ．32【答案】B【解析】先求出集合A ,再根据集合C 满足B C A ⊆⊆,可知集合C 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有满足条件的集合C 的个数为4216=. 【详解】12,2a N N a ∈∈-, 21a ∴-= 或22a -=或23a -=或24a -=或26a -=或212a -=,即3a =或4a =或5a =或6a =或8a =或14a =,{3,4,5,6,8,14}A ∴=,又因为{3,4}B =且集合C 满足B C A ⊆⊆,所以集合C 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14, 因此所有满足条件的集合C 的个数为4216=. 故选B . 【点睛】本题考查了集合的包含关系.属基础题.6．已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数2()g x = ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞ B ．[6,1)(2,3]--⋃C ．[1)-⋃D ．[2,1)(2,3]--⋃【答案】C【解析】利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得. 【详解】因为函数()f x 的定义域为[2,3]-,所以要使2()g x =,只需2223320x x x ⎧-≤-≤⎨-->⎩,解得:1x ≤<-或2x <≤所以函数()g x 的定义域为[1)-⋃. 故选C. 【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题.7．已知函数()f x =，则(2)f x -的单调递增区间为（ ）A ．1(,)2+∞B ．1(,2)2C ．1(1,)2-D ．3(,3)2【答案】D【解析】由()y f x =的解析式求出(2)y f x =-的解析式,再通过解析式求定义域,然后在定义域范围内求出分母中二次函数的单调递减区间即可. 【详解】 因为()f x =,所以(2)f x -=由230x x -+>得03x <<,所以(2)y f x =-的定义域为(0,3).又22393()24y x x x =-+=--+在3(0,)2上递增,在3(,3)2上递减, 所以(2)y f x =-的单调递增区间为3(,3)2.故选D . 【点睛】本题容易忽视函数的定义域,只能在定义域范围内求函数的单调区间. 8．已知函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且21()()21f xg x x x +=--+，则(2)f =（ ） A ．23-B ．73C ．-3D ．113【答案】A【解析】利用两个函数的奇偶性和已知恒等式构造另一个等式,再联立消元,解得()f x 即可解得(2)f . 【详解】因为21()()21f xg x x x +=--+ ①, 用x - 替换恒等式中的x 得:2211()()()2211f xg x x x x x -+-=---=---+-+ 又因为函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数, 所以()()f x f x -=- ,()()g x g x -= , 所以21()()21f xg x x x -+=---+ ②,联立①②消去,()g x ,解得11()2222f x x x =-++-+ , 所以11(2)222222f =-+⨯+-⨯+ =23-. 故选A . 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性构造等式求函数解析式. 9．已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据幂函数的概念和性质列式可解得. 【详解】因为函数()f x 为幂函数,所以211n -=,所以1n =,又因为函数()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数,所以2230m m -++>, 所以13m -<<,因为m N ∈,所以0,1,2m =.当0,2m = 时,函数()f x 为奇函数,不合题意,舍去.当1m = 时.4()f x x =为偶函数,符合题意.所以112m n +=+=. 故选A . 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质.属基础题.10．已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（ ） A ．4m < B ．142m -<< C ．742m <<D ．1722m -<< 【答案】D【解析】利用二次方程实根分布列式可解得. 【详解】设22()(28)16f x x m x m =--+-,根据二次方程实根分布可列式:3()02f <,即2233()(28)16022m m --⨯+-<, 即241270m m --<,解得:1722m -<<. 故选D. 【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.11．已知函数25(2),1(),2(72)1,1a x x f x x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪-+-+<⎩对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．522a <≤ B ．13562a ≤≤ C ．2a < D ．136a < 【答案】B【解析】先根据对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-得到函数()f x 单调递增,再根据分段函数的两段都递增且1x <时的最大值小于等于1x ≥时的最小值列不等式组解得即可. 【详解】因为对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-,所以()f x 为R 上的单调递增函数,所以2072125172122a a a a ⎧⎪->⎪-⎪-≥⎨-⎪⎪-+-+≤-+⎪⎩,解得:13562a ≤≤. 故选B . 【点睛】分段函数的单调性除了要各段都单调外,还要考虑各段的最值关系. 12．设函数2()(),[,](),1xf x x R M a b a b x=-∈=<+集合{|(),},N y y f x x M ==∈则使得M N =成立的实数对(,)a b 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个【答案】A【解析】先得到函数()f x 为R 上为奇函数,在R 上为递减函数,再根据定义域和值域都是[,]()a b a b <,列方程组无解可得.【详解】2()1||xf x x =-+,22()()1||1||x xf x f x x x -∴-=-==-+-+,()f x ∴是R 上的奇函数.当0x ≥时,22(1)2()11x x f x x x +-=-=-++221x=-++是单调递减函数, 所以()f x 是R 上的单调递减函数,[,]x a b ∈ ,∴ 值域是[(),()]f a f b ,即(),()a f b b f a == ,21b a b ∴=-+ ,21a b a=-+ , 解得:a b = ,这与已知a b < 相矛盾. 即使得M N =成立的实数对(,)a b 不存在. 故选A . 【点睛】解题关键是利用奇偶性,单调性求函数值域,再与已知值域相等,从而可列方程组来解.二、填空题13．已知映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-，则在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为_______.【答案】18(,)55-【解析】本题是已知像,求原像.而(,)x y 是原像,(2,2)x y x y +-是像, 所以由(2,2)(3,2)x y x y +-=- ,列方程组解得,x y 的值可得原像. 【详解】依题意:由2322x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ,解得:1585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 即在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为18(,)55-. 故答案为:18(,)55-. 【点睛】本题考查了映射的概念,属基础题..14．已知函数()f x 是定义域为R ，且函数(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-∞-上是单调递增的，则不等式1(21)()3f x f ->的解集为_________. 【答案】12(,)33【解析】根据已知条件和平移变换可得函数()f x 的奇偶性和单调性,再根据奇偶性和单调性解函数不等式可得. 【详解】因为(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-∞-上是单调递增的,所以()f x 的图象关于0x =(即y 轴)对称, 且在(,0)-∞上是单调递增的,所以()f x 为R 上的偶函数,在(0,)+∞上是单调递减的.所以(21)(|21|)f x f x -=-,所以原不等式等价于1(|21|)()3f x f ->,所以1|21|3x -<,解得:1233x <<. 故答案为:12(,)33.【点睛】本题考查了平移变换,函数的奇偶性和单调性.属中档题.15．已知函数2()410f x x x =-+（[,]x m n ∈）的值域为[3,3]m n ，则2____.m n +=【答案】9【解析】根据函数()f x 在R 上的最小值为6,可得36m ≥ ,从而可得函数()f x 在[,]m n 上的单调性,再利用单调性求得函数()f x 在[,]m n 上的值域.从而可解得,m n 的值. 【详解】22()410(2)6f x x x x =-+=-+6≥,36m ≥,2m ∴≥ ,又函数()f x 的对称轴为2x =, 所以函数()f x 在[,]m n 上单调递增. 所以()3,()3f m m f n n ==,即24103m m m -+= ,24103n n n -+= , 解得:2m = 或5m = ;2n = 或5n = , 又m n < ,所以2,5m n == , 所以2459m n +=+= , 故答案为:9. 【点睛】关键是利用函数()f x 在[,]m n 上的值域是函数()f x 在R 上的值域的子集可得m 的范围,这样避免了对m 进行分类讨论.16．设函数222,(),20x x f x xx ⎧≥=⎨-<⎩不等式(3)3)f x f x -≥的解集为_________. 【答案】3(,]2-∞【解析】按照①03x ≤≤ ;②3x > ;③0x < 分三种情况讨论,代入解析式可解得. 【详解】当03x ≤≤时,不等式(3)3)f x f x -≥可化为:222(3)3)x x -≥⨯ , 即69x ≤,解得:302x ≤≤.当3x >时,(3)0f x -<,3)0f x >,原不等式无解;当0x <时,(3)0,3()03f x f x -><,原不等式恒成立; 故原不等式的解集为:3(,]2-∞ . 【点睛】解题关键是讨论3x - 和x 的符号.三、解答题17．已知集合2{|3100}A x x x =-++≥，集合23{|0}1x B x x -=≥+，则 （1）求AB（2）求()R C B A【答案】（1）3[2,1)[,5]2A B ⋂=--⋃;（2）()[2,5]R C B A ⋃=- 【解析】化简集合,A B 后,利用集合的交并补进行运算可得. 【详解】(1)2{|3100}A x x x =-++≥{|25}x x =-≤≤;{|1B x x =<-或3}2x ≥,3[2,1)[,5]2A B ⋂=--⋃.(2)3{|1}2R C B x x =-≤<,所以()[2,5]R C B A ⋃=- . 【点睛】本题考查了集合的交并补运算,属基础题.18．已知函数12)32f x x=++，函数()12g x x =-（1）求函数()f x 的解析式，并写出其定义域. （2）求函数()g x 的值域. 【答案】(1) 221()3(2)2(2)f x x x =-++-，其定义域为(2,)+∞；(2) 41(,]8-∞【解析】(1)换元,2,2t t =>;(2)换元0t t =≥,化为关于t 的二次函数求值域. 【详解】解：（1）令2,2t t =>，则2(2)x t =-221()3(2)2(2)f t t t ∴=-++-221()3(2)2(2)f x x x ∴=-++-，其定义域为(2,)+∞（2）令0t t =≥，则22x t =-212(2)y t t ∴=--+225,0t t t =-++≥ 当14t =时，y 的最大值为418，所以原函数的值域为41(,]8-∞ 【点睛】利用换元法时,一定要注意新元的取值范围.19．已知集合{|13}A x x =-<<，集合22{|(1)620,}B x x a x a a a R =++--≤∈，则（1）若1a =时，求()()R R C A C B ⋃（2）若,A B B ⋂=求实数a 的取值范围。
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（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一高一（上）9月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填写在题中横线上）1．下列所给关系正确的个数是．①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|﹣4|∉N*．2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M= ．3．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B= ．4．已知f（x）=，则f[f（0）]= ．5．函数f（x）=+的定义域为．6．函数，使函数值为5的x的值是．7．设A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，则A∩B= ．8．若函数f（x）在实数集R上是增函数，且f（x）＞f（1﹣x），则x的取值范围是．9．满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是．10．已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有个．11．已知集合A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．若C∩A=C，则a的取值范围是．12．已知全集U=R，函数y=+的定义域为集合A，函数y=的定义域为集合B．则集合（∁U A）∩（∁U B）= ．13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））=g（f（x））的x值为．x 1 2 3 4f（x） 1 3 1 3x 1 2 3 4g（x） 3 2 3 214．函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，则f（1）= ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．集合A={﹣2}，B={x|ax+1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值．16．求下列函数的值域（1）y=﹣，x∈[﹣3，0）∪（0，1]；（2）y=x2+4x+1，x∈[﹣3，0]．17．已知集合M是由三个元素﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4组成，若2∈M，求x．18．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求f（x）及f（2）．19．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（0，+∞）上是单调增函数．20．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且f（4）=5．（1）求f（2）的值；（2）解不等式f（m﹣2）≤3．参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填写在题中横线上）1．下列所给关系正确的个数是 2 ．①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|﹣4|∉N*．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系进行判断．【解答】解：对于①π∈R：R是一切实数集，π是一个元素，所以π∈R是正确的，故A对．②∉Q：无理数，Q是有理数集，所以∉Q是正确的，故B对．③0∈N*：N*是大于0的正整数集，所以0∉N*，故C不对．④|﹣4|∉N*：N*是大于0的正整数集，|﹣4|=4∈N*，故D不对．综上所述：①②正确．故答案为：2．2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M= {3，5，6} ．【考点】补集及其运算．【分析】题目是用列举法给出了两个数集，直接利用补集运算进行求解．【解答】解：因为集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}．故答案为：{3，5，6}．3．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B= {x|﹣1＜x＜3} ．【考点】并集及其运算．【分析】利用交集性质直接求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．4．已知f（x）=，则f[f（0）]= ﹣5 ．【考点】函数的值．【分析】根据定义域的范围代值计算即可．【解答】解：由题意，f（x）=，当x=0时，则f（0）=﹣1，那么f[f（0）]=f（﹣1），当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣5．即f[f（0）]=f（﹣1）=﹣5故答案为﹣55．函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）6．函数，使函数值为5的x的值是﹣2 ．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】根据分段函数的分段标准进行分类讨论，分别建立方程，求出满足条件的x即可．【解答】解：①当x≤0时，x2+1=5解得x=﹣2②当x＞0时，﹣2x=5解得x=﹣（舍去）综上所述，x=﹣2，故答案为﹣27．设A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，则A∩B= {（1，2）} ．【考点】交集及其运算．【分析】直接联立方程组，求出方程组是解，就是A与B的交集．【解答】解：由题意可知A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，所以解得，所以A∩B={（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．若函数f（x）在实数集R上是增函数，且f（x）＞f（1﹣x），则x的取值范围是（，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】直接利用函数在R上是增函数，f（x）＞f（1﹣x）转化为x＞1﹣x求解即可．【解答】解：由题意：函数f（x）在实数集R上是增函数，由f（x）＞f（1﹣x），可得：x＞1﹣x，解得：x故答案为（，+∞）．9．满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是8 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据已知中M满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，列举出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：若M满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，则M可能为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个，故答案为：810．已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有9 个．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】由题意知，函数的定义域中，1和﹣1至少有一个，2和﹣2中至少有一个．【解答】解：∵一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，∴函数的定义域可以为{1，2}，{﹣1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，﹣2}，{1，﹣1，2}，{﹣1，1，﹣2}，{1，2，﹣2}，{﹣1，2，﹣2}，{1，﹣1，﹣2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个，故答案为9．11．已知集合A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．若C∩A=C，则a的取值范围是a≤﹣1 ．【考点】交集及其运算．【分析】由C∩A=C，得C⊆A，然后分C是空集和不是空集分类求解实数a的取值范围．【解答】解：由C∩A=C，得C⊆A，∵A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．当﹣a≥a+3，即a时，C=∅，满足C⊆A；当C≠∅时，有，解得：﹣＜a≤﹣1．综上，a的取值范围是a≤﹣1．故答案为：a≤﹣1．12．已知全集U=R，函数y=+的定义域为集合A，函数y=的定义域为集合B．则集合（∁U A）∩（∁U B）= {x|x＜﹣2} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】分别求出集合A，B，再求补集，即可得到交集．【解答】解：A={x|}={x|x≥2}，U A={x|x＜2}．B={x|}={x|x≥﹣2且x≠3}，U B={x|x＜﹣2或x=3}，则（∁U A）∩（∁U B）={x|x＜﹣2}．故答案为：{x|x＜﹣2}．13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））=g（f（x））的x值为2，4 ．x 1 2 3 4f（x） 1 3 1 3x 1 2 3 4g（x） 3 2 3 2【考点】函数的值．【分析】结合表格，先求出内涵式的函数值，再求出外函数的函数值；分别将x=1，2，3，4代入f[g（x）]，g[f（x）]，判断出满足f[g（x）]=g[f（x）]的x．【解答】解：x=1时，f（g（1））=f（3）=1；g（f（1））=g（1）=3，不满足f（g（x））=g（f（x））；x=2时，f（g（2））=f（2）=3；g（f（2））=g（3）=3，满足f（g（x））=g（f（x））；x=3时，f（g（3））=f（1）=1；g（f（3））=g（1）=3，不满足f（g（x））=g（f（x））；x=4时，f（g（4））=f（2）=3；g（f（4））=g（3）=3，满足f（g（x））=g（f（x））；故答案为：2，414．函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，则f（1）= ﹣3 ．【考点】二次函数的性质．【分析】利用当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，得到2是函数的对称轴，然后求出m，直接代入求f（1）即可．【解答】解：函数f（x）=2x2﹣mx+3的对称轴为．∵当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，∴x=2是函数f（x）=2x2﹣mx+3的对称轴，即，解得m=8．∴f（x）=2x2﹣8x+3，即f（1）=2﹣8+3=﹣3．故答案为：﹣3．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．集合A={﹣2}，B={x|ax+1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】由A∩B=B即得，B⊆A，所以B的可能情况为：B=∅，或B={﹣2}，所以得到a=0，或．【解答】解：∵A∩B=B；∴B⊆A；∴B=Ø或B={﹣2}；当B=Ø时，方程ax+1=0无解，此时a=0；当B={﹣2}时，﹣2a+1=0，∴；∴a=0，或．16．求下列函数的值域（1）y=﹣，x∈[﹣3，0）∪（0，1]；（2）y=x2+4x+1，x∈[﹣3，0]．【考点】函数的值域．【分析】（1）可看出函数在[﹣3，0），（0，1]上都是增函数，从而根据单调性求出该函数的值域；（2）只需配方便可求出该函数的最大、最小值，从而得出该函数的值域．【解答】解：（1）在[﹣3，0），（0，1]上都是增函数；∴﹣3≤x＜0时，，0＜x≤1时，y≤﹣4；∴该函数值域为；（2）y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3；∴x=0时，y取最大值1，x=﹣2时，y取最小值﹣3；∴该函数的值域为[﹣3，1]．17．已知集合M是由三个元素﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4组成，若2∈M，求x．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】集合M由3个元素组成，﹣2是其中一个，若2也是M中元素，需讨论3x2+3x﹣4=2和x2+x﹣4=2两种情况，根据集合的互异性，正确选取合适的答案即可．【解答】解：∵2∈M，当3x2+3x﹣4=2时，即x2+x﹣2=0，则x=﹣2或x=1．经检验，x=﹣2，x=1均不合题意，违反了集合的互异性．当x2+x﹣4=2时，即x2+x﹣6=0，则x=﹣3或2．经检验，x=﹣3或x=2均合题意．故答案为：x=﹣3或x=2．18．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求f（x）及f（2）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】设f（x）=ax+b，a≠0，代入已知式子，比较系数可得a、b的方程组，解之可得解析式及f（2）．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，a≠0∵f[f（x）]=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b又f[f（x）]=4x﹣1，∴a2x+ab+b=4x﹣1比较系数可得解得或．∴f （x ）=2x ﹣，或f （x ）=﹣2x+1，f （2）=4﹣=，或f （2）=﹣4+1=﹣3．19．求证：函数f （x ）=﹣﹣1在区间（0，+∞）上是单调增函数．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】首先，设两个自变量，然后，比较它们函数值的大小，最后，得到结论．【解答】解：任设x 1，x 2∈（0，+∞），x 1＜x 2，∴f （x 1）﹣f （x 2）==，∵x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴在区间（0，+∞）上是单调增函数．20．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x ，y ∈（0，+∞），都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣1，且f （4）=5．（1）求f （2）的值；（2）解不等式f （m ﹣2）≤3．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【分析】（1）令x=y=2，通过f（4）=5以及f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1即可求f（2）的值；（2）利用（1）的结果，通过函数的单调性的性质，直接求解不等式f（m﹣2）≤3．【解答】解：（1）对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且f（4）=5，令x=y=2，则f（4）=f（2+2）=2f（2）﹣1=5，解得f（2）=3．（2）由f（m﹣2）≤3，f（2）=3，得f（m﹣2）≤f（2）．∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，m﹣2≤2且m﹣2＞0；⇒m≤4且m＞2∴2＜m≤4．不等式的解集为：{m|2＜m≤4}．2017年1月10日。
2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三(上)期中数学试卷(理科)
2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2−4x >0}，B ＝{x|x 2−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−2, 0] B.(−∞, 0) C.[−2, 0) D.[−4, 4] 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】A ＝{x|x <0或x >4}，B ＝{x|−2≤x ≤2}， ∴ A ∩B ＝[−2, 0)．2. 已知角α终边上一点M 的坐标为(1,√3)，则sin2α＝（ ） A.−12B.12C.−√32D.√32【答案】 D【考点】二倍角的三角函数 任意角的三角函数 【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再由倍角公式求解． 【解答】由角α终边上一点M 的坐标为(1,√3)， 得r =√1+(√3)2=2， ∴ sinα=√32，cosα=12，故sin2α=2sinαcosα=√32，3. 已知α∈(−π2,0),sin(π−2α)=−12，则sinα−cosα＝（ ） A.√52B.−√52C.√62D.−√62【答案】 D【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用诱导公式以及二倍角公式转化求解即可． 【解答】因为sin(π−2α)=−12，所以sin2α=−12，2sinαcosα=−12， 所以(sinα−cosα)2＝1−2sinαcosα=32， 又α∈(−π2,0)，所以sinα<cosα，sinα−cosα=−√62．4. 函数f(x)=(22x +1−1)sinx 在[−2, 2]上的图象大致是（ ） A.B.C.D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据条件判断函数的奇偶性，结合x ＝1时，函数值的对应性，利用排除法进行判断即可． 【解答】因为f(−x)=(22−x +1−1)sin(−x)=−(2⋅2x1+2x −1)sinx =(22x +1−1)sinx =f(x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D ， 又当x ＝1时，f(1)=−13sin1<0，排除B ，5. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0 ，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A.−8B.−6C.−3D.3【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，设z ＝x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论． 【解答】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A(1, 1)，B(−2, −2)，C(−5, 1)，z ＝x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2, −2)时z 取到最小值， 所以z ＝x +2y 的最小值是−2+2×(−2)＝−6，6. 已知函数f(x)={lnx,x ≥1−x 2+ax −a 2+1,x <1在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A.(−∞, 1]B.[1, +∞)C.(−∞, 2]D.[2, +∞) 【答案】 D【考点】 几何不等式 分段函数的应用 【解析】lnx 在x ≥1时属于单调递增函数，所以只需满足x <1时−x 2+ax −a 2+1也是单调递增函数即可，进而求解． 【解答】若函数f(x)在R 上为增函数，则需满足{a2≥1a −a 2≤0，解得a ≥2，7. 已知非零向量a →与b →的夹角为θ，tanθ=√2，(a →−2b →)⊥(a →+b →)，则|b →||a →|=( )A.13B.3C.√3D.√33【答案】 D【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】可根据tanθ=√2求出cosθ=√33，进而求出a →⋅b →=√33|a →||b →|，从而根据(a →−2b →)⊥(a →+b →)即可得出|a →|2−√33|a →||b →|−2|b →|2=0，可设|b →||a →|=x ，从而得出1−√33x −2x 2=0，然后解出x 即可． 【解答】根据tanθ=√2，0≤θ≤π，得cosθ=√33，由(a →−2b →)⊥(a →+b →)，得(a →−2b →)⋅(a →+b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=|a →|2−√33|a →||b →|−2|b →|2=0，设|b →||a →|=x ，则6x 2+√3x −3=0，即(2x +√3)(3x −√3)=0，因为x >0，所以x =√33，即|b →||a →|=√33．8. 设ω>0，将函数y =sin(ωx +π3)的图象向左平移π6个单位长度后与函数y =cos(ωx+π3)的图象重合，则ω的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象的平移，求出函数的解析式，利用两个函数重合，得到关系式，转化求解即可．【解答】将函数y=sin(ωx+π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=sin(ωx+ωπ6+π3)的图象，又y=cos(ωx+π3)=sin(ωx+5π6)，所以ωπ6+π3=5π6+2kπ，k∈Z，ω∈(0, +∞)，ω＝12k+3(k∈Z)，又ω>0，所以ω的最小值为3，9. 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(log24.1)，b＝g(−20.2)，c ＝g(π)，则a，b，c的大小关系为（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】∵奇函数f(x)在R上是增函数，∴当x>0时，f(x)>0．又对任意的x1，x2∈(0, +∞)且x1<x2，有0<f(x1)<f(x2)，∴g(x1)<g(x2)，∴g(x)在(0, +∞)上也是增函数，∵g(−x)＝−xf(−x)＝xf(x)，∴g(x)为偶函数．又log24.1∈(2, 3)，20.2∈(1, 2)，∴1<20.2<log24.1<π，而b＝g(−20.2)＝g(20.2)，∴b<a<c，10. 公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则m＝（）A.7 8B.85C.1D.95【答案】D【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】设{a n }的公比为q(q ≠0且q ≠1)，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q ，再由等比数列的求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得m ． 【解答】设{a n }的公比为q(q ≠0且q ≠1)，根据a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 3＝a 1+a 2，即2a 1q 2=a 1+a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2−q −1＝0，即(q −1)(2q +1)＝0．因为q ≠1，所以q =−12， 则S 2=a 1(1−q 2)1−q=34⋅a11−q ，S 3=a 1(1−q 3)1−q=98⋅a11−q ，S 4=a 1(1−q 4)1−q=1516⋅a11−q ．因为mS 2，S 3，S 4成等比数列，所以S 32=mS 2⋅S 4，即(98⋅a 11−q )2=m ⋅34⋅a 11−q ⋅1516⋅a 11−q ，得m =95．11. 若x >0，y >−1且满足2x +y ＝1，则2x 2+1x+y 2y+1的最小值是（ ）A.3B.32+√2C.2√2D.12+√2【答案】 B【考点】基本不等式及其应用 【解析】对式子进行变形，再结合基本不等式求出最值． 【解答】2x 2+1x+y 2y+1=2x +1x+y +1y+1−1=1x+1y+1，因为2x +y +1＝2，所以1x +1y+1=12(2x +y +1)(1x +1y+1)=12(3+y+1x+2x y+1)≥12(3+2√2)，当且仅当y+1x=2xy+1，2x +y ＝1时取等号，即x =2−√2,y =2√2−3时取得最小值32+√2．12. 已知函数f(x)={−13x 3+x 2,x ≤mx −m,x >m，若存在实数a ，使得函数g(x)＝f(x)−a 恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.(0, 2) B.(2, +∞) C.(0, 3) D.(3, +∞) 【答案】 B【考点】函数与方程的综合运用 【解析】函数g(x)＝f(x)−a 恰好有4个零点，即函数y ＝f(x)的图象与y ＝m 的图象有4个交点；当x ≤m 时，利用导数求出函数f(x)的单调区间，讨论m 的范围作出函数f(x)的大致图象，根据图象分析交点的个数，从而得出答案； 【解答】g(x)＝f(x)−a 的零点个数等价于直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点个数． 令y =−13x 3+x 2,y ′=−x 2+2x ，当x <0时，y ′<0，当0<x <2时，y ′>0； 当x >2时，y ′<0；所以函数y =−13x 3+x 2在(−∞, 0)上单调递减，(0, 2)上单调递增，(2, +∞)上单调递减；画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知当m >2时，存在直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点为4个； 当0<m ≤2时，直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点至多为3个； 当m ≤0时，直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点至多为2个； 所以m 的取值范围为(2, +∞)．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）已知函数f(x)={2x ,x ≤4f(x −1),x >4 ，则f(5+log 26)的值为________．【答案】 12【考点】分段函数的应用 【解析】根据题意，因为2<log 26<3，由函数的解析式计算可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)={2x ,x ≤4f(x −1),x >4， 因为2<log 26<3，所以f(5+log 26)＝f(4+log 26)＝…＝f(1+log 26)=21+log 26=2×6=12．已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，若a 2+a 5＝24，S 3＝S 9，则S n 的最大值为________． 【答案】 72【考点】等差数列的前n 项和 【解析】法一：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0．又a 2+a 5＝24，设数列{a n }的公差为d ，利用通项公式求和公式即可得出．法二：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0，又a 2+a 5＝24>0，可得数列{a n }的前6项为正，即可得出当n ＝6时，S n 有最大值．【解答】法一：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0．又a 2+a 5＝24， 设数列{a n }的公差为d ，可得{a 1+5d +a 1+6d =0a 1+d +a 1+4d =24 ， 解得{a 1=22d =−4， 所以S n =−2n 2+24n ，故当n ＝6时，S n 有最大值，为72．法二：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0，又a 2+a 5＝24>0， 以数列{a n }的前6项为正， 所以当n ＝6时，S n 有最大值，且S 6＝3(a 1+a 6)＝3(a 2+a 5)＝72．已知△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60∘，BD ＝2DC ，AE ＝2EC ，则AD →⋅BE →=________．【答案】43【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据所给数量关系可得AD →=23BC →−BA →,BE →=23BC →+13BA →，则将AD →⋅BE →进行化简即可．【解答】∵ AD →=23BC →−BA →,BE →=23BC →+13BA →，∴ AD →⋅BE →=(23BC →−BA →)⋅(23BC →+13BA →)=49|BC →|2−13|BA →|2−49BC →⋅BA →=49×9−13×4−49×3×2×cos60=4−43−43=43．函数f(x)=sinx +12sin2x 的最大值为________． 【答案】 3√34【考点】三角函数的最值 【解析】对函数求导，分类讨论确定函数的单调性，求得函数的极大值点即可得解．【解答】由题意可得：f′(x)＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx−1＝(2cosx−1)(cosx+1)，∵cosx+1≥0，∴当cosx>12时，f′(x)>0，当−1<cosx<12时，f′(x)<0，即当2kπ−π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z时，f(x)单调递增，当2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z时，f(x)单调递减，故f(x)在x=2kπ+π3,k∈Z处取得极大值即最大值，且f(x)max=sinπ3+12sin(2×π3)=√32+12×√32=3√34．三、解答题（共6小题，满分0分）已知函数f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1．（1）求a的值及f(x)的最小正周期；（2）若f(α)=−13，α∈(0,π2)，求sin2α．【答案】由f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1，得2a×12×12=1，解得a＝2．∴f(x)=4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1．∴f(x)=2sin(2x−π6)−1的最小正周期为π；由f(α)=−13，得2sin(2α−π6)−1=−13,sin(2α−π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2α−π6)=13<12，∴2α−π6∈(0,π6)．∴cos(2α−π6)=2√23．则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)cosπ6+cos(2α−π6)sinπ6=13×√32+2√23×12=√3+2√26．【考点】二倍角的三角函数三角函数的周期性及其求法【解析】（1）由已知结合f(π3)=1求得a值，再由诱导公式及两角差的余弦变形，利用辅助角公式化积，则周期可求；（2）由f(α)=−13，求得2α−π6的正弦值，进一步求出余弦值，再由sin2α＝sin[(2α−π6)+π6]，展开两角和的正弦求解．【解答】由f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1，得2a×12×12=1，解得a＝2．∴f(x)=4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1．∴f(x)=2sin(2x−π6)−1的最小正周期为π；由f(α)=−13，得2sin(2α−π6)−1=−13,sin(2α−π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2α−π6)=13<12，∴2α−π6∈(0,π6)．∴cos(2α−π6)=2√23．则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)cosπ6+cos(2α−π6)sinπ6=13×√32+2√23×12=√3+2√26．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足a n=b12+1+b222+1+⋯+b n2+1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n4−n，求数列{c n}的前n项和T n．【答案】因为S n=n2+n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时,a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，又a1＝2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)；又b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1=a n=2n，所以b12+1+b222+1+⋯+b n−12n−1+1=2n−2(n≥2,n∈N∗)，两式作差得，b n2n+1=2，所以b n=2n+1+2(n≥2,n∈N∗)，当n＝1时,b13=2,b1=6，又b1＝6满足上式，所以b n=2n+1+2(n∈N∗)；因为c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)×2n+n⋅2n+1，两式相减，得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，即−T n=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)⋅2n+1+2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）由数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1，化简可得数列{a n}的通项公式；将a n=b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1中的n换为n−1，相减可得{b n}的通项公式；（2）求得c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】因为S n=n2+n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时,a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，又a1＝2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)；又b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1=a n=2n，所以b12+1+b222+1+⋯+b n−12n−1+1=2n−2(n≥2,n∈N∗)，两式作差得，b n2n+1=2，所以b n=2n+1+2(n≥2,n∈N∗)，当n＝1时,b13=2,b1=6，又b1＝6满足上式，所以b n=2n+1+2(n∈N∗)；因为c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)×2n+n⋅2n+1，两式相减，得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，即−T n=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)⋅2n+1+2．如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC＝60∘，AD为∠BAC的平分线，AD=√3．（1）若DC＝2BD，求c；（2）求△ABC面积的最小值．【答案】因为DC＝2BD，∠BAD＝∠CAD，所以S△ABDS△ADC =BDDC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD12AC⋅AD⋅sin∠CAD=ABAC，所以AC＝2AB．在△ABD，△ACD中，由余弦定理，得cos30=222√3c =√32,cos30=224√3c=√32，解得c=32．设BD＝x，则由（1）可知BDDC =ABAC，所以DC=bcx，在△ABD，△ACD中，由余弦定理可知222√3c =b2+3−(bxc)22√3b=√32，所以x2＝c2+3−3c，b2x2c2=b2+3−3b，消去x，得b2(c2+3−3c)＝c2(b2+3−3b)，化简，得(b−c)(bc−b−c)＝0．当b＝c时，△ABC为等边三角形，此时b=c=2,S△ABC=√3；当bc＝b+c时，由基本不等式可得bc=b+c≥2√bc,bc≥4，当b＝c＝2时取等号，此时S△ABC=12bcsin60=√34bc≥√3．综上可得，△ABC面积的最小值为√3．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）由已知利用三角形的面积之比可求AC＝2AB，在△ABD，△ACD中分别应用余弦定理即可求解c的值．（2）设BD＝x，则由（1）可知BDDC =ABAC，可求DC=bcx，在△ABD，△ACD中，分别应用余弦定理，化简可求得(b−c)(bc−b−c)＝0，分类讨论可求三角形的面积．【解答】因为DC ＝2BD ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以S △ABDS△ADC=BD DC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD 12AC⋅AD⋅sin∠CAD =AB AC，所以AC ＝2AB ．在△ABD ，△ACD 中， 由余弦定理，得cos30=222√3c=√32,cos30=224√3c=√32， 解得c =32．设BD ＝x ，则由（1）可知BDDC =ABAC ，所以DC =bc x ， 在△ABD ，△ACD 中，由余弦定理可知222√3c=b 2+3−(bx c)22√3b=√32， 所以x 2＝c 2+3−3c ，b 2x 2c 2=b 2+3−3b ，消去x ，得b 2(c 2+3−3c)＝c 2(b 2+3−3b)，化简，得(b −c)(bc −b −c)＝0．当b ＝c 时，△ABC 为等边三角形，此时b =c =2,S △ABC =√3； 当bc ＝b +c 时，由基本不等式可得bc =b +c ≥2√bc,bc ≥4， 当b ＝c ＝2时取等号，此时S △ABC =12bcsin60=√34bc ≥√3．综上可得，△ABC 面积的最小值为√3．已知函数f(x)＝a x +b(a >0，且a ≠1)，满足f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，其中n ∈N ∗．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求证：1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<49． 【答案】解法一：因为f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3， 所以f(2)＝4f(1)+3＝15，即{a +b =3a 2+b =15，所以{a =4b =−1 或{a =−3b =6 （舍去），∴ f(x)＝4x −1．解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4， 即f(n+1)+1f(n)+1=4，∴ 数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列， 则f(n)+1＝4n ，∴ f(n)＝4n −1， ∴ f(x)＝4x −1．证明：由（1）得f(n)＝4n −1(n ∈N ∗)．由于4n−1≥1，即4×4n−1−3×4n−1≥1，∴ 4n −1≥3×4n−1， 即f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，∴ 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1) =13×1−(14)n 1−14=13×1−(14)n34 =49×(1−14n )<49．【考点】不等式的证明 【解析】（1）解法一：根据f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，可得f(2)＝15，再由{a +b =3a 2+b =15求出a ，b 的值即可得到f(x)的解析式； 解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4，则数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列，从而得到f(n)＝4n −1，进一步得到f(x)的解析式；（2）由（1）知f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，从而得到1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1)，进一步证明1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<49．【解答】解法一：因为f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3， 所以f(2)＝4f(1)+3＝15，即{a +b =3a 2+b =15，所以{a =4b =−1 或{a =−3b =6 （舍去），∴ f(x)＝4x −1．解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4， 即f(n+1)+1f(n)+1=4，∴ 数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列， 则f(n)+1＝4n ，∴ f(n)＝4n −1， ∴ f(x)＝4x −1．证明：由（1）得f(n)＝4n −1(n ∈N ∗)．由于4n−1≥1，即4×4n−1−3×4n−1≥1，∴ 4n −1≥3×4n−1， 即f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，∴ 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1) =13×1−(14)n 1−14=13×1−(14)n34 =49×(1−14n )<49．已知函数f(x)=lnx+ax+x(a∈R)．（1）当a＝0时，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；（2）若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，求实数a的取值范围．【答案】当a＝0时，f(x)=lnxx +x，f′(x)=1−lnxx2+1，则f(1)＝1，f′(1)＝2，故曲线f(x)在x＝1处的切线方程为：y−1＝2(x−1)，即2x−y−1＝0．f(x)=lnx+ax +x(x>1)，f′(x)=1−lnxx2+1−ax2=x2−lnx−a+1x2，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，当x∈(1, +∞)时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，又F(1)＝2−a，故①当a≤2时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，无极值；②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，则G′(x)=2x−1x −1=2x2−x−1x，当x>2时，G′(x)>0，函数G(x)在(2, +∞)上单调递增，G(2)＝3−ln2>0，所以在(2, +∞)上，G(x)>0恒成立，所以F(a)＝a2−lna−a+1>0，所以函数F(x)在(1, a)上存在唯一零点x＝x0，所以f(x)在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，此时函数f(x)存在极小值．综上，若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，则a>2．故实数a的取值范围为(2, +∞)．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）求出导函数化简，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，利用函数的单调性，通过①当a≤2时，②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，利用导函数判断函数的单调性，求解函数的极值，转化求解实数a的取值范围．【解答】当a＝0时，f(x)=lnxx +x，f′(x)=1−lnxx2+1，则f(1)＝1，f′(1)＝2，故曲线f(x)在x＝1处的切线方程为：y−1＝2(x−1)，即2x−y−1＝0．f(x)=lnx+ax +x(x>1)，f′(x)=1−lnxx2+1−ax2=x2−lnx−a+1x2，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，当x∈(1, +∞)时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，又F(1)＝2−a，故①当a≤2时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，无极值；②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，则G′(x)=2x−1x −1=2x2−x−1x，当x>2时，G′(x)>0，函数G(x)在(2, +∞)上单调递增，G(2)＝3−ln2>0，所以在(2, +∞)上，G(x)>0恒成立，所以F(a)＝a2−lna−a+1>0，所以函数F(x)在(1, a)上存在唯一零点x＝x0，所以f(x)在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，此时函数f(x)存在极小值．综上，若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，则a>2．故实数a的取值范围为(2, +∞)．已知函数f(x)=12x2+lnx−2mx(m>0)．（1）判断函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有极大值点x＝t，求证：tlnt>mt2−1．【答案】由题意，知f′(x)=x2−2mx+1x(x>0)，对于方程x2−2mx+1＝0，△＝4(m2−1)，①当0<m≤1时，△＝4(m2−1)≤0，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增．②当m>1时，令f′(x)＝0，则x1=m−√m2−1，x2=m+√m2−1，当0<x<m−√m2−1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当m−√m2−1<x<m+√m2−1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>m+√m2−1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述，当0<m≤1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当m>1时，f(x)在(0,m−√m2−1)，(m+√m2−1,+∞)上单调递增，在(m−√m2−1,m+√m2−1)上单调递减．由（1）可知当m>1时，在x=m−√m2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x=m−√m2−1，则t=m−√m2−1=2∈(0,1)．由f′(t)=t2−2mt+1t =0，得m=t2+12t，要证tlnt>mt2−1，只需证tlnt−mt2+1>0，只需证tlnt−t2+12t⋅t2+1>0，即2tlnt−t3−t+2>0，t∈(0, 1)，令ℎ(x)＝2xlnx−x3−x+2，x>0，则ℎ′(x)＝2lnx−3x2+1，令φ(x)＝2lnx−3x2+1，x>0，则φ′(x)=2x −6x=2−6x2x，当0<x<√33时，φ′(x)>0，ℎ′(x)单调递增；ℎ(x)max =ℎ(√33)=21n√33<0，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)＝0， 故x ∈(0, 1)时，2xlnx −x 3−x +2>0， 又t ∈(0, 1)，则2tlnt −t 3−t +2>0， 即tlnt >mt 2−1． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 （1）f ′(x)=x 2−2mx+1x(x >0)，对于方程x 2−2mx +1＝0，△＝4(m 2−1)，分类讨论得f(x)的单调性．（2）由（1）可知当m >1时，在x =m −√m 2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x =m −√m 2−1，则t =m −√m 2−1=m+√m 2−1∈(0,1)．由f ′(t)=t 2−2mt+1t=0，得m =t 2+12t，要证tlnt >mt 2−1，只需证tlnt −mt 2+1>0，【解答】由题意，知f ′(x)=x 2−2mx+1x(x >0)，对于方程x 2−2mx +1＝0，△＝4(m 2−1)，①当0<m ≤1时，△＝4(m 2−1)≤0，f ′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增． ②当m >1时，令f ′(x)＝0，则x 1=m −√m 2−1，x 2=m +√m 2−1， 当0<x <m −√m 2−1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；当m −√m 2−1<x <m +√m 2−1时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x >m +√m 2−1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增． 综上所述，当0<m ≤1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当m >1时，f(x)在(0,m −√m 2−1)，(m +√m 2−1,+∞)上单调递增，在(m −√m 2−1,m +√m 2−1)上单调递减．由（1）可知当m >1时，在x =m −√m 2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x =m −√m 2−1，则t =m −√m 2−1=m+√m 2−1∈(0,1)． 由f ′(t)=t 2−2mt+1t=0，得m =t 2+12t，要证tlnt >mt 2−1，只需证tlnt −mt 2+1>0， 只需证tlnt −t 2+12t⋅t 2+1>0，即2tlnt −t 3−t +2>0，t ∈(0, 1)，令ℎ(x)＝2xlnx −x 3−x +2，x >0， 则ℎ′(x)＝2lnx −3x 2+1，令φ(x)＝2lnx −3x 2+1，x >0， 则φ′(x)=2x−6x =2−6x 2x，当0<x <√33时，φ′(x)>0，ℎ′(x)单调递增；ℎ(x)max =ℎ(√33)=21n√33<0，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)＝0， 故x ∈(0, 1)时，2xlnx −x 3−x +2>0， 又t ∈(0, 1)，则2tlnt −t 3−t +2>0， 即tlnt >mt 2−1．。
江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题 数学【含解析】
江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题数学【含解析】一、选择题1.设全集U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =≤，则A B =（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|01}x x <≤C. {|0}x x <D. {|1}x x >【答案】B 【解析】全集U R =，{}0A x x =，{}|1B x x =≤，{|01}A B x x ⋂=<≤.故选B.2.若指数函数(13)x y a =-在R 上递减，则实数a 的取值范围是( ) A. 1(0,)3B. (1,)+∞C. RD. (,0)-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：由题意得：0131a <-< ， 解得：103a <<， 故选：A ．【点睛】本题考查指数函数单调性，是一道基础题．3.已知1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1746f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）． A. 16- B. 16C.56D. 56-【答案】A【解析】1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1711111211214646266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-++=+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．4.下列函数中,在其定义域内与函数5y x =有相同的奇偶性和单调性的是( ) A. 1y x=-B. 3x y =C. ln y x =D. 122xx y =-【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性判断即可． 【详解】解：函数5y x =在R 上递增，是奇函数， 对于A ，在定义域无单调性，是奇函数，不符合题意； 对于B ，是非奇非偶函数，不符合题意； 对于C ，是偶函数，不符合题意；对于D ，在定义域R 上递增，是奇函数，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．5.在映射:f A B →中，}{(,)|,A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与B 中的元素(2,1)--对应的A 中的元素为( )A. 31(,)22-- B. 31(,)22-C. 31(,)22-D. 31(,)22【答案】C 【解析】 【分析】由题意，令21x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，解出即可．【详解】解：由题意，21x y x y -=-⎧⎨+=-⎩解得：31,22x y =-=， 故选：C ．【点睛】本题考查了映射的定义，属于基础题． 6.已知函数()f x 对任意不相等的实数12,x x 都满1212()()0f x f x x x ->-，若 1.5(2)a f =，0.61[()]2b f -=，(ln 2)c f =，则,,a b c 的大小关系( )A. b a c <<B. b c a <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用1212()()0f x f x x x ->-可得函数的单调性，进而分析0.61.512,,ln 22-⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小，借助()f x 单调性，可得答案． 【详解】解：1212()()0f x f x x x ->-∴当120x x ->时，有12())0(f x f x ->，即对任意12x x >，有12()()f x f x >， 所以函数()f x 在其定义域内为增函数，0.60.6 1.51122,ln 2ln 12e -⎛⎫<=<<= ⎪⎝⎭，1.5(2)f ∴>0.61[()]2f ->(ln 2)f ，∴c b a <<， 故选：D ．【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用，关键是应用1212()()0f x f x x x ->-判定函数的单调性，是基础题．7.已知函数23x y a -=+(0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则3log (3)f =( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象与性质，求出定点P 的坐标，再利用待定系数法求出幂函数()f x ，从而求出3log (3)f 的值．【详解】解：函数23x y a -=+中，令20x -=，解得2x =， 此时134y =+=，所以定点(2,4)P ； 设幂函数()a yf x x ，则24a =，解得2a =； 所以2()f x x =， 所以()()2339f ==，()333log l 9og 2f ∴==．故选：D ．【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题． 8.根据表中的数据,可以断定方程20x e x --=的一个根所在的区间是( )x1-0 1 2 3x e0.3712.72 7.39 20.09A. (1,0)B. (1,0)-C. (2,3)D. (1,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2x f x e x =--，求出选项中的端点函数值，从而由零点的存在性定理判断根的位置． 【详解】解：令()2x f x e x =--， 由上表可知，则(1)0.37120f -≈+-<，(0)10210f =--=-<，(1) 2.72120f ≈--<， (2)7.39220f ≈-->， (3)20.09320f ≈-->．故(1)(2)0f f <， 故选：D ．【点睛】本题考查零点存在性定理，若连续函数在某区间端点上对应的函数值异号，则在该区间上必有零点，属于基础题．9.函数2()46f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为[10,6]--，则m 的取值范围是 A. [0，4] B. [4，6] C. [2，6] D. [2，4]【答案】D 【解析】 【分析】因为函数()246f x x x =--的图象开口朝上，由 ()()()046,210f f f ==-=-，结合二次函数的图象和性质可得m 的取值范围.【详解】函数()246f x x x =--的图象是开口朝上，且以直线2x =为对称轴的抛物线， 故()()()046,210f f f ==-=-，函数()246f x x x =--的定义域为[]0,m ,值域为[]10,6--，所以24m ≤≤，即m 的取值范围是[]2,4,故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.10.关于x 的不等式92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 2a <- B. 1a ≤-C. 2a ≤-D. 1a <-【答案】B 【解析】 【分析】分离参数a 后，构造函数求出值域可得． 【详解】解：92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立22231112(3)(3)3x x x xa -⋅+∴<=-⋅，令1(0,1)3x t =∈ 所以92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立等价于22a t t <-对任意(0,1)t ∈恒成立，()221112t t t =--->-，∴1a ≤-． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，可以通过分离参数转化最值问题，而且还可以避免分类讨论，属中档题．11.已知函数()4f x x x =-，若直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点,,A B C ，它们的横坐标分别为12,3,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( )A. (6,622)+B. [8,622)+C. [6,622)+D. (8,622)+【答案】D 【解析】 【分析】将()4f x x x =-去掉绝对值，写为分段函数的形式，做出()y f x =的图像，同时做出直线y a =的图像，当直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点的时候，利用()y f x =图像的对称性可得结果．【详解】解：22(2)4,(4)()4(2)4,(4)x x f x x x x x ⎧--≥=-=⎨--+<⎩， 其图像如图：设函数()y f x =的图象与直线y a =的交点对应横坐标分别为12,3,x x x ， 则124x x +=，34222x <<+， 所以1238622x x x <++<+ 故选：D ．【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质的应用，属中档题． 12.函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（）A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的.所以22log log m a naa t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m mn n a t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题. 二.填空题13.函数2()ln(1)1xf x x x =++-的定义域为________。
江西省抚州市临川区第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
江西省抚州市临川区第一中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故答案选2. 已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故答案选3. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，即函数的定义域为故答案选4. 在映射中，，且，则元素在作用下的原像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得在作用下的原像是故答案选5. 下列函数中在定义域上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故为增函数；，当时，为减函数；为减函数；为减函数故答案选6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】对于，函数与的定义域不同，不是相同函数；对于, ，函数的定义域为，的定义域均为，所以，函数与是同一函数；对于，函数与的定义域不同，不是相同函数；对于，由得，，，，故函数与的定义域不同，不是相同函数；故答案选7. 函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数是偶函数，所以选项不正确；当时，函数是增函数，所以不正确，正确。
故答案选8. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于分段函数：一次函数单调递增，则指数函数单调递增，则且当时，应满足结合可得实数的取值范围是故答案选9. 若函数为奇函数且在上为减函数，又，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是奇函数，且在上为减函数在内是减函数又，当时，当时，的解集是故答案选点睛：本题综合性较强，涉及抽象函数的单调性、奇偶性、零点问题，最后解决不等式，各知识点联系密切，由奇偶性结合已知条件能判定本题的单调区间和零点，在解不等式时进行分类讨论10. 函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，当时，当时，零点在区间内故答案选11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则的值域必须包含区间当时，则当时，符合题意；当时，不符合题意；当时，，解得，即实数的取值范围是故答案选点睛：语句的转化，当函数的值域为时转化为真数位置的函数的值域必须包含区间，只要讨论函数的值域即可，当参量作为最高次项的系数是要分类讨论是否为012. 定义域为的函数满足.当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，当时，当时，则故当时，解得当时，解得故实数的取值范围是故答案选..................第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 幂函数经过，则__________．【答案】3解得14. 若，则__________．【答案】2【解析】，故答案为15. 函数的单调递减区间为__________．【答案】【解析】的对称轴为解得函数的单调递减区间为16. 给出下列五个命题：①若函数为奇函数，则；②函数的图象与函数的图象关于对称；③函数只有2个零点；④函数（且）的图象恒过定点；⑤函数与函数互为反函数；其中真命题是（把你认为正确的命题序号都填上）__________．【答案】④⑤【解析】函数为奇函数，则必成立，但时，函数为奇函数，故错误；函数的图象与函数的图象关于轴对称，故错误；函数有3个零点,和是其两个根，当时也存在一个零点，所以共3个零点，故错误而④⑤正确故答案为④⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知，集合，（1）若，求集合（用区间表示）；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：代入，解一元二次不等式，分解因式，求两根，写成区间形式；若，表示不等式恒成立，所以分成和两种情况讨论，求解不等式，即可得到实数的取值范围。
江西省抚州市临川一中2019_2020届高三数学上学期第一次联合考试试题文(含解析)
江西省抚州市临川一中2019-2020届高三数学上学期第一次联合考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1.设集合{}26A x x =-<<，{}24B x x =>，则A B =I （） A. {}26x x <<B. {}26x x -<<C. {}22x x -<<D.{}6x x >【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B ，再利用交集的运算即可求出。
【详解】因为{}{242B x x x x =>=>或}2x <-，{}26A x x =-<<，所以{}26A B x x ⋂=<<，故选A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算.2.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
3.若a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a ＜b ＜c B. c ＜a ＜b C. b ＜c ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】根据y ＝23x (x >0)是增函数和y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x是减函数可求得结果. 【详解】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23. ∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c . 故本题答案为D.【点睛】本题考查幂函数和指数函数的性质，考查学生利用函数单调性进行比较大小，掌握幂函数和指数函数的基本知识是重点，属基础题.4.若复数z 满足342z i +-=，则z z ⋅的最大值为（） A. 9 B. 81C. 7D. 49【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知，复数z 对应的点的轨迹是以（-3,4）为圆心，半径为2的圆，z z ⋅表示圆上的点到原点的距离的平方，由几何知识即可求出。
临川一中高三上第一次月考数学(文)试卷及
2019 年临川一中高三数学（文科）月考试卷第Ⅰ卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项吻合题目要求的，在答题卷相应题目的答题地域内作答． 1．设 A { x | y1 x}, B { y | yln(1 x)} ，则 AB（ ）A ． { x | x 1}B ． { x | x 1}C ． { x | 1 x 1}D ．2．已知函数 yf ( x 1) 定义域是 [ 2， 3] ，则 yf (2x1) 的定义域（）A ．[ 3，7]B ．[ 1，4]C ． [ 5，5]D ． [0， 5]23．命题 “存在 x R , 使 x 2ax 4a0 ，为假命题 ”是命题 “ 16 a 0 ”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不用要条件D ．既不充分也不用要条件4．若幂函数 f ( x)mx a 的图像经过点 A( 1 , 1 ) ，则它在点 A 处的 切线方程是（）4 2A ． 2 x y 0B ． 2 x y 0C ． 4 x 4 y 1 0D ． 4x 4 y 1 0[本源 学 科 网]5．将函数 ysin(4 x) 图象上各点的横坐标伸长到原的 2 倍，再向左平移个单位，64纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A xB. x6C x3Dx12126．函数 ycos 4x的图象大体是（）2xyyyyOxOxOx O xABCD7．已知定义在 R 上的偶函数， f x 在 x 0 时， f ( x) e xln( x 1) ，若 f a f a 1 ，则 a 的取值范围是（）A ．,1B ． (, 1)28．以下四个命题：○ 1 x ＜ (1 x ； x ∈ (0, ＋∞ ), ())23○ 1 x ＞ log x ∈ (0,＋∞),()1 x ；322C ．(1,1)D ． 1,2○x ∈ (0, 1), logx ＞ log 1 x ；2123○ 11 x＜ logx ∈ (0, ), ()1x.4233其中真命题是（）A ．○1○3B ．○2○3C ．○2○4D ． ○3○4第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）二、填空题： 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．在答题卷相应题目的答题地域内作答．13. 若函数 f xk 2 x 在其定义域上为奇函数，则实数k．1 k 2x14．定义在 R 上的奇函数f (x) 满足 f ( x)f (x3), f (2014)2, 则 f ( 1) =．215. 已知命题 p :2x 1 ，命题 q : x 2 2 x 1 m 0( m 0) ，若非 p 是非 q 的必要不充2x 1分条件，那么实数 m 的取值范围是 .sin x,x 0,216．关于函数 f (x)1f ( x 2), x (2,)，有以下 4 个命题：2①任取 x 1、x 2 0,，都有f ( x 1) f (x 2 ) 2 恒成立；② f ( x) 2kf (x 2k ) ( k N * ) ，关于所有 x0,恒成立；③函数 y f ( x) ln( x 1) 有 3 个零点；④对任意 x0，不等式 f ( x)2恒成立．x则其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题地域内作答．17．（本小题满分10 分）已知会集A{ x | 33x27}， B{ x | log 2x1}．（ 1）分别求A B ，C R B A ；（ 2）已知会集C x1x a，若C A，求实数 a 的取值会集．y 18．（本小题满分12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(x1，y1)B A在单位圆 O 上，xOA，且，． D O C x62（ 1）若cos()11x1的值；，求313（ 2）若B(x2，y2)也是单位圆O上的点，且AOB．过点A、B分别做x轴的垂线，垂3足为 C、D ，记AOC 的面积为 S1， BOD 的面积为 S2．设 f S1 S2，求函数 f 的最大值．19．（本小题满分 12 分）已知函数f x x a（ a 、b为常数）．x b （ 1）若b1，解不等式 f ( x1)0；（ 2）若a 1 ，当x1,2时，f ( x)1恒成立，求 b 的取值范围．( x b) 220．（本小题满分12分）如图甲，⊙O的直径AB2，圆上两点 C , D在直径AB的两侧，使CAB，DAB．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂43直（如图乙）， F 为BC的中点， E为AO的中点． P为AC上的动点，依照图乙解答以下各题：（ 1）求点 D 到平面 ABC 的距离；（ 2）在 BD 弧上可否存在一点 G ，使得 FG ∥平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的地址；若不存在，请说明原由．21．（本题满分 12 分）如图， O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C 1： x 22 py ( p 0) 的焦点，且抛物线 C 1 上点 P 处的切线与圆C 2： x 2y 2 1 相切于点 Q ．y（Ⅰ）当直线 PQ 的方程为 x y20 时，求抛物线 C 1 的方程；FP（Ⅱ）当正数 p 变化时，记 S 1 ，S 2 分别为 △ FPQ ，△ FOQ 的面积，求S 1的最小值．OxS 2Q22．（本小题满分12 分）设 f (x)是定义在[1,1]上的奇函数， 函数g ( x)与f (x) 的图象关于 y 轴对称，且当x(0,1] 时，g ( x)ln x ax 2 ．（ 1）求函数 f ( x) 的剖析式；（ 2）若关于区间 0,1 上任意的 x ，都有 | f ( x) | 1 成立，求实数 a 的取值范围．高三数学（文科）月考试卷参照答案一、 选择题（每题 5 分，共 60 分）题号 12 345678910 11 12答案BDACAABCBDAB二、 填空题（每题 5 分，共 20 分）13.114． 215.m 416． ○1○3 ○4三、解答题（共 70 分）17.（1） 3 3x27即31 3x 33 ， 1 x3 ， Ax1 x 3 ，log 2 x 1 ，即 log 2 x log 2 2 ， x 2Bx x2 ，A Bx |2 x 3；C R B x x 2，C R B A x | x 3（ 2）由（ 1）知 A x1 x 3 ，当 C A当 C 为空集时， a 1当 C 为非空会集时，可得1 a3综上所述 a318. （ ）由三角函数的定义有 x cos ，∵ cos() 11 ，( ， ) ，111336 2∴ sin(3) 4 3， ∴ x 1coscos (3) 313cos(3)cos sin()sin311 14 3 3 1 ．3 313 213 2 26（ 2）由 y 1sin ，得 S 11x 1 y 11cos sin1sin 2 ．224由定义得 x 2cos(3 ) ， y 2 sin()，又由( ， )，得 3 ( ，5) ，于是，3 6 2 2 6S 21x 2 y 2 1 cos( )sin( ) 1 sin(2 2 ) 2 23 34 3f ( )S 1 S 21 12 ) 1 sin 2 1cos 2 cos2 sin 2 ∴sin 2 sin(23 = (sin 2 3 )4 4 4 4 3= 3sin 23cos2 = 3 ( 3 sin 2 1 cos2 ) = 3sin(2 6) ， 88 4 2 2 4由(， )，可得 2 6( ，5) ，于是当 2 6，即时， f ( )max 3 ．6 26 623419. （ 1）∵ f xxa， b 1，∴ f xxa，∴ f (x 1)x 1 a x 1 a ，x1 1x bx 1x∵ f ( x1)0 ，∴x1 a 0 ，等价于 x x1a0 ，x① 1 a0 ，即 a1 ，不等式的解集 ： (0,1 a) ，②当1a 0 ，即 a1 ，不等式的解集 ：，③当 1 a0，即 a 1，不等式的解集 ：(1 a,0) ，（ 2）∵ a1 ， f ( x)( x 1 ， ∴ x1( x 1( x b)( x1)1 （※）b) 2 x bb)2然 x b ，易知当 x 1 ，不等式（※） 然成立；由 x1,2 不等式恒成立，当1x2 ， b1 x1 ( 1x 1) ，x 1x 1∵ x 1 0 ，∴1x 1 2 1 x 1 2 ，1 1xx故 b1b1． 上所述， ．20. （ 1）ADO 中， AODO ，且OAD3，∴ AODOAD ．又E 是AO 的中点，∴DEAO ．又∵面ABC 面A ， 且面A B C 面A= ODDE 面AOA ，O∴ DE面 ABC ．∴ DE 即 点 D 到 面 ABC 的距离．又 DE3 AO 31AB 3 ．∴点 D 到 面 ABC 的距离 3 ．22 222（ 2）BD 弧上存在一点 G ， 足 DGGB ，使得 FG ∥ 面ACD ．8原由以下：OF , FG,OG ， ABC 中， F,O BC, AB 的中点．∴ FO ∥ AC ．又∵ FO面ACD ， AC 面ACD ，∴ FO ∥面ACD∵BAD，且 G BD 弧的中点，∴ BOG．∴ AD ∥ OG ．33又 OG 面ACD ， AD 面ACD ,∴ OG ∥ 面ACD ．且 FOOG O ， FO,OG面FOG ．∴ 面 FOG ∥ 面ACD ．又FG面FOG∴FG∥面ACD．21. （Ⅰ） 点 P(x 0 ,x 02，由 x 22 py ( p 0) 得， yx 2 x )，求 y '， ⋯⋯2分2 p2 pp因为直线 PQ的斜率为1，所以x01且 x0x0220 ，解得 p 2 2，p 2 p所以抛物线 C1的方程为 x 24 2 y ．（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：y x02x0( x x0 ) ，即 2x0 x 2 py x020，2 p p依照切线又与圆相切，得d r ，即x021 ，化简得 x044x02 4 p 2，24 p24x0由 4 p 2x044x020，得 x022x x 2 py x2 0 4 x2，由方程组0y210，解得 Q(2,0 ) ，x2x0 2 p所以PQ 1 k2x P x Qx022p2x02x02 2 | x0 |22) ，1 2 x0x0p x0=( x0 p 2 pp222点 F (0, p) 到切线 PQ的距离是d x01x02p2x0，4x02 4 p2224所以 S11PQ d| x3|( x022)，S21OF x Q p ，216 p2 2 x0所以S1x04 ( x022)x04 ( x022)x02 ( x022) x0244322 3 ，S28p22(x04 4 x02 )2( x024)2x024当且仅当x0244时取“＝”号，即242 2 ，此时， p222 ，2x02x04所以S1的最小值为 32 2 ．S222.（ 1）∵ g ( x) 的图象与f ( x)的图象关于 y 轴对称，∴ f (x) 的图象上任意一点P( x, y) 关于y轴对称的对称点Q( x, y) 在 g (x) 的图象上．当 x [1,0)时，x(0,1]，则 f ( x)g(x)ln( x)ax2∵ f (x) 为[1,1]上的奇函数，则 f (0)0 ．当 x (0,1] 时，x [1,0) ， f ( x) f (x)ln x2 axln(x)ax2( 1 ≤ x0),∴f (x)0( x0),ln x2ax (0 x ≤ 1).（ 1）由已知， f ( x)12ax．x①若 f ( x) ≤ 0 在0,1 恒成立，则 12ax ≤ 0a ≤1．x2x 2此时， a ≤ 1， f (x) 在 (0,1] 上单调递减， f ( x)minf (1) a ，2∴ f (x) 的值域为 [ a, ) 与 | f (x) | 1 矛盾．②当 a1时，令 f ( x)1 2ax 0x1 (0,1] ，x2a2∴ 当 x1) 时， f ( x) 0 ， f (x) 单调递减，(0,2a当 x(10 ， f (x) 单调递加，,1] 时， f ( x)2a∴ f (x) min f (1 )ln(1 ) a( 1 ) 21ln(2 a) 1 ．2a2 a 2a 22 由 | f ( x) |≥ 1 ，得 1ln(2 a)1≥ 1 a ≥ e．2 22综上所述，实数a 的取值范围为 a ≥e2。
江西省抚州市临川区第一中学2019_2020学年高一数学上学期入学考试试题
江西省抚州市临川区第一中学2019-2020学年高一数学上学期入学考试试题第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．3的相反数是（ ）A ． 3-B ． +3C ． 13-D ．132．2018年我国大学生毕业人数预计将达到8210000人，这个数据用科学记数法表示为( ) A ．8.21×107B ．82.1×106C ． 8.21×106D ． 0.821×1073. 若一组数据2、3、4、x 、5的众数是2，则这组数据的中位数是（ ） A.2 B.3 C. 4 D.54. 当R x ∈时，一元二次不等式012>+-kx kx 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A.04k << B. 4k < C. 04k ≤< D.04k k <>或5. 在四边形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ,则添加下列条件组合中，①AC BD ⊥②AB BC =③AC BD =④,OA OC OB OD ==一定能判定四边形ABCD 为菱形的是( )A.①②B.①③C.②③D.①④ 6. 对于二次函数2(1)(1)2y m x m x m =-++-下列说法错误的是（ ） A. 当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8） B. 当m ＞1时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3 C. 当m ＜0时，函数在14x >时，y 随x 的增大而减小 D. 不论m 取何值，函数图象经过两个定点二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，把等边△AOB 绕点O 逆时针旋转到△COD 的位置，若旋转角是40°，则∠AOD 的度数为____________．8．如图，在平面直角坐标系中，函数2y x =-与y kx b =+的图象交于点,2)P m （则不等式2kx b x +>-的解为__________________________．9．《九章算术》有一题，”今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各 几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长为1丈，那么门的高和宽是多少？（提示：1丈=10尺=100寸）设门宽为x 尺，列方程为__________________________.10. 已知一元二次方程2210x x --=的两根分别为12,x x 则2111224(1)(1)=x x x x -+++__________.11．已知关于x 的不等式组的整数解共有3个，则b 的取值范围是_______________．12．在四边形ABCD 中,//,90,3,11,6AB DC B AB BC DC ︒∠====.点P 在BC 上，连接,AP DP .若ABP ∆与PCD ∆相似，则BP 的长是___________. 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）解方程：125332x x +--= （2）解不等式：2615641x x x --+>-14．如图，ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在AD 边的延长线上，且:1:4DF AD =EF 与CD 的交于点G .（1）若:1:3BE EC =，求证：BD EF =； （2）若2,63DG BE GC ==求AD 的长.15．解关于x 的不等式：2(1)(21)20a x a x -+-+>16．布袋中放有x 个白球、y 个黄球、2个红球，它们除颜色外其它都相同，如果从布袋中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是13.（1）请问摸到黑球是________事件；摸到红球是________事件.（填“不可能”、“必然”或“随机”）（2）当x =2时，随机地摸出2个球，试用画树状图或列表的方法表示摸球的所有结果，并求出摸到一个黄球一个白球的概率．17．如图1，是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若坐板CD 平行于地面，前支撑架AB 与后支撑架OF 分别与CD 交于点E ，D ，ED=25cm ，OD=20cm ，DF=40cm ，∠ODC=60°，∠AED=50°． （1）求两支架着地点B ，F 之间的距离；（2）若A 、D 两点所在的直线正好与地面垂直，求椅子的高度．（参数数据：sin60°=0.87，cos60°=0.5，tan60°=1.73，sin50°=0.77，cos50°=0.64，tan50°=1.19）四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18． 2018年12月4日是我国第五个国家宪法日.12月3日，由省委宣传部、省司法厅和省普法办共同举办的江西省首个“宪法宣传周”活动在南昌市法治广场正式启动。
2019-2020江西临川一中上学期第一次联合考试文科数学试题及评分标准
2019-2020江西临川一中上学期第一次联合考试文科数学试题数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1.设集合{}26A x x =-<<，{}24B x x =>，则AB =（ ）A. {}26x x <<B. {}26x x -<<C. {}22x x -<<D. {}6x x > 2.设,a b R ∈，则“()20a b a ->”是“a b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．若2312a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2315b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. b a c <<4．若复数z 满足342z i +-=，则z z ⋅的最大值为（ ）A.9B. 81C.7D.495．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ，若()544k k S a k N *+-=∈，则k 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 7或86．已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数（ ）A. 6B. 5C. 4D. 37．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用样本估计总体，年龄在(),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是（其中x 是平均数，s 为标准差，结果精确到1%） A. 14% B. 25% C. 56% D. 67%8．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上(包含端点)，且2AC =，则PB PD PA→→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭有（ ）A. 最大值为12，没有最小值 B. 最小值为12-，没有最大值 C. 最小值为12-，最大值为4 D. 最小值为4-，最大值为12x y 、121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩z x y =-m =9．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（ ） A. 230x y -+=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 20x y ++=10．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）A.1 C.2D.1211．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]2,2-.则上述结论中，正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312．已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，O 为 坐标原点，若M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围为（ ）A. (]0,3B. (C. ()0,3D. (0,第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷相应题目的答题区域内作答． 13.函数()()()23ln 2x f x x =-⋅-的零点个数为_______． 14．若1tan 4tan x x+=，则66sin cos x x +=_______． 15.当(],1x ∈-∞-时，不等式()2420x x m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围为 _______． 16．在三棱锥P ABC -中，3,4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足112n n a a +=，且112a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .18．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是边长为1的正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若点E 为BD 的中点，求点B 到平面ACE 的距离.19．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线3232y x x x =-+和2y x a =+都相切，求a 的值. .20．抚州市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登军峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组，其频率分布直方图如下图所示．已知)40,35[之间的参加者有4人．（1）求N 和之间的参加者人数1N ；（2）组织者从[)40,55之间的参加者（其中共有4名女教师包括甲女，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，求在甲女必须入选的条件下，选出的女教师的人数为2人的概率. （3）已知和)40,35[之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?21．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. )35,30[)35,30[)35,30[A(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.请考生在第22，23题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1313x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (2)已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求11MP MQ+的值.23. （本小题满分10分）已知函数2()4f x x =-，()2g x a x =-. (1)若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13、1 14、1316 15、()1,2- 16、1265π 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (1)由112n n a a +=，则112n n a a +=，故数列{}n a 为等比数列，首项为12，公比为12所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.......6分(2)由12n nn n a +=+，则 ()()()()223121212222123221222n nn n n n n n S n +-++=+++++++++=+=-+-.......12分18.(1)取AC 的中点O ，连接,DO BO ，由ABD CBD ∠=∠，AB BC =，BD BD =故ABDBCD AD CD ∆≅∆⇒=，又ACD ∆为Rt ∆，故AD CD ⊥，而1AC =，即2AD CD ==，12DO =，又ABC ∆是边长为1的正三角形，则,BO AC BO ⊥=，222BODO BD BO DO +=⇒⊥，而BO ACBO BO DO⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩面ACD ，故平面ACD ⊥平面ABC .......6分(2)由1114ADB +-∠==，则2111122422422AE AE =+-⨯⨯=⇒=故2CE =，则112224ACE S ∆=⨯=，由E ABC B ACE V V --=故1144B B h h ⨯=⇒= .......12分 19.由题可知()0,0O 在曲线3232y x x x =-+上，所以有以下两种情况：01当()0,0O 为切点时，由2362y x x '=-+，得02x y ='=，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为2y x =，由22y xy x a=⎧⎨=+⎩，得220x x a -+=，依题意，4401a a ∆=-=⇒=.......4分 02当()0,0O 不是切点时，设直线l 与曲线3232y x x x =-+相切于点()00,P x y则032200000032362x x y x x x k y x x ='=-+==-+①又2000032y k x x x ==-+②，则联立①②得032x =，所以14k =-，故直线l 的方程为14y x =-，由214y x y x a⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得2104x x a ++=，依题意得，14016a ∆=-=，得164a =， 综上，1a =或164a =.......12分 20. （1）由题可知，[)35,400.0450.2P =⨯=，故4200.2N ==， 而[)30,3510.050.150.20.150.10.050.3P =------=，则1200.36N =⨯= ......4分 （2）由题可知[)40,55200.36N =⨯=，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A ，B ，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A ）（乙B ）（丙丁）（丙A ）（丙B ）（丁A ）（丁B ）（AB ），其中恰有2女教师的有（乙A ）（乙B ）（丙A ）（丙B ）（丁A ）（丁B ）共6种情况，故63105P ==......8分（3）由题可知，[)30,356N =，[)35,404N =，所以[)11224230,352693155C C C P C ⨯+=== [)11222235,402456C C C P C ⨯+==，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故351562P =⨯=......12分 21. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+ 故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= ......5分 （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k kx x k x --+++=⇒=故0x 的值为32.......12分 22. （1）由2222139x m m =++，2222139y m m=-+，故22224331344x y x y -=⇒-= 又直线l：11cos 1122x y ϕθθ⎛⎫=⇒=⎪ ⎪⎝⎭，故20x -=......5分 (2)由1tan cos 2k θθθ==⇒==， 故直线l 的标准参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C 中，得1221218016233t t t t t ⎧+=-⎪++=⇒⎨=⎪⎩，故12121211114t t MP MQ t t t t ++=+==......10分 23. (1)由()2()42220f x g x x a x x x a =⇒-=-⇒-⎡+-⎤=⎣⎦，则2x =必是该方程的根，所以20x a +-=在()(),22,-∞+∞上无解，即y a =与2y x =+在()(),22,-∞+∞上无交点，而20x +≥，故(),0a ∈-∞......5分(2) 由()()f x g x ≥对x R ∀∈恒成立，而min ()4f x =-，故0a <，则在[)2,+∞上()()f x g x ≥恒成立，故只需在(),2-∞上面()()f x g x ≥对x R∀∈恒成立即可，又()()()()()()()2220220f x g x x x a x x x a ≥⇒+-+-≥⇒-++≥，则只需20x a ++≤对(),2x ∀∈-∞恒成立，则()24a x a ≤-+⇒≤-，故(],4a ∈-∞-.....10分。
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(2 x)2 2 x 2 x2 3x
设 x2 3x t ，得 y 1 ， t
t x2 3x 在 ( 3 ,3) 上单调递减， y 1 单调递减，
A
，则所有满足条件的集
合 C 的个数为 ( )
A．8
B．16
C．15
D．32
6．已知函数 f (x) 的定义域为 [2 ， 3] ，则函数 g(x) f (3 x2 ) 的定义域为 (
)
x2 x 2
A． ( ， 1) (2 ， )
B．[6 ， 1) (2 ， 3]
3 15．已知函数 f (x) x2 4x 10(x [m, n]) 的值域为 [3m ， 3n] ，则 2m n ．
16．设函数
f
(x)
2x2 , 2 x 2
x 0 , 不等式 f (3 x) 3 f ( 3 x) 的解集为
x0
3
．
三、解答题（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分） 17．已知集合 A {x | x2 3x 10 0} ，集合 B {x | 2x 3 0} ，则
二、填空题.（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分） 13．已知映射 f : (x ，y) (x 2 y ，2x y) ，则在映射 f 的作用下元素 (3, 2) 的原像为 ．
14．已知函数 f (x) 是定义域为 R ，且函数 f (x 1) 的图象关于 x 1 对称且在 (, 1) 上是 单调递增的，则不等式 f (2x 1) f (1) 的解集为 ．
当 a 6 时， 12 3 ，合题意，a 6 ； a2
当 a 7 时， 12 12 ，不合题意，舍去； a2 5
当
a
8
时，
12 a2
2
，合题意，
a
8
；
D．32
当
a
14
时，
12 a2
1
，合题意，
a
14
；
A {3 ，4，5，6，8，14} ，
B C A ， B {3 ， 4} ，
故选： C ．
7．已知函数 f (x) A． (1 , ) 2
1
，则 f (2 x) 的单调递增区间为 (
x2 x 2
B． (1 , 2) 2
C． (1, 1 ) 2
) D． ( Leabharlann ,3)2【解答】解： f (2 x)
1
1
，解 x2 3x 0 得， 0 x 3 ，
D． 13 a 6
12．设函数 f (x) 2x (x R) ，区间 M [a ， b](a b) ，集合 N {y | y f (x) ， x M } ， 1 | x |
则使 M N 成立的实数对 (a,b) 有 ( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．无数多个
33
联立①②解可得： f （3） 29 ； 9
D． 1 3
故选： B ．
5．已知集合 A {a N | 12 N}, B {3, 4}，集合 C 满足 B C A ，则所有满足条件的集 a2
合 C 的个数为 ( )
A．8
B．16
C．15
【解答】解：集合
A
{a
N
|
12 a2
N}
，
当
a
0
时，
12 a2
6
，不合题意，舍去；
当
a
1
时，
12 a2
12
，不合题意，舍去；
当
a
2
时，
12 a2
无意义，不合题意，舍去；
当
a
3
时，
12 a2
12
，合题意，
a
3
；
当 a 4 时， 12 6 ，合题意，a 4 ； a2
当 a 5 时， 12 4 ，合题意， a 5 ； a2
x 1
（1）求 A B ；
（2）求 (ðR B) A ．
-2-
18．已知函数 f ( x 2) 3x 1 2 ，函数 g(x) 1 2x x 2 x
（1）求函数 f (x) 的解析式，并写出其定义域． （2）求函数 g(x) 的值域．
19．已知集合 A {x | 1 x 3} ，集合 B {x | x2 (a 1)x 6a2 2a0 ， a R} ，则
或{3 ，4，5，6，8，14} ．
故满足条件的 C 有 16 个，
故选： B ．
6．已知函数 f (x) 的定义域为 [2 ， 3] ，则函数 g(x) f (3 x2 ) 的定义域为 (
)
x2 x 2
A． ( ， 1) (2 ， )
B．[6 ， 1) (2 ， 3]
)
xx
-5-
A．3
B． 29 9
C． 23 9
【解答】解：根据题意，函数 f (x) 满足 2 f (x) xf (1 ) 1 ， xx
当 x 3 时，有 2 f （3） 3 f (1) 1 ，①， 33
当 x 1 时，有 2 f (1) 1 f （3） 3 ，②，
3
2019-2020 学年江西省抚州市临川一中高一（上）第一次月考数
学试卷
一、选择题.（每一题只有一个答案符合，每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）
1．已知全集 U {1 ，2，3，4，5，6} ，集合 A {1 ，3，4} ，集合 B {1 ，3，5} ，则 (ðU A) B ( )
C． [ 5, 1) (2, 5]
D． [2 ， 1) (2 ， 3]
7．已知函数 f (x) A． (1 , ) 2
1
，则 f (2 x) 的单调递增区间为 (
x2 x 2
B． (1 , 2) 2
C． (1, 1 ) 2
) D． ( 3 ,3)
2
8．已知函数 f (x) 与 g(x) 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且 f (x) g(x) x2 1 2 ， x 1
（1）若 a 1 时，求 ( R A) ( R B) （2）若 A B B ，求实数 a 的取值范围．
20．已知函数 f (x) x2 2ax 1， x [1，1] （1）若 a 1 时，求函数 f (x) 的最值．
2 （2）若 a R ，记函数 f (x) 的最小值为 g （a），求 g （a）关于 a 的解析式． 21．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿场售 价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的 抛物线段表示． （1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p f (t) ；写出图二表示的种植成本与 时间的函数关系式 Q g(t) ； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场 售价各种植成本的单位：元 /102 kg ，时间单位：天）．
x
2
2x
2,
x1 ，则 f ( 1 ) 的值为 (
x 1
f (2)
A． 71 36
B．6
C． 7 4
【解答】解：根据题意，函数
f
(x)
2 x2,
x
2
2x
2,
x1 ， x 1
) D． 11 9
则 f （2） 22 2 2 2 6 ，
则 f ( 1 ) f (1) 2 (1)2 71 ；
C． [ 5, 1) (2, 5]
D． [2 ， 1) (2 ， 3]
【解答】解： f (x) 的定义域为[2 ， 3] ，
要使
g
(
x)
有意义，则
23 x2 x
x23 20
，解得
5x 1 ，或 2 x
5，
g(x) 的定义域为[ 5, 1) (2, 5] ．
A． {5}
B．{1 ， 3}
C．{1 ，3，4， 5} D．
2．已知函数
f
(x)
2 x2,
x
2
2x
2,
x1 ，则 f ( 1 ) 的值为 (
x 1
f (2)
)
A． 71 36
B．6
C． 7 4
D． 11 9
3．设集合 A {x | x k 1 , k Z}, B {x | x k 5 , k Z} ，则集合 A 和集合 B 的关系为 ( )
-4-
2019-2020 学年江西省抚州市临川一中高一（上）
第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（每一题只有一个答案符合，每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）
1．已知全集 U {1 ，2，3，4，5，6} ，集合 A {1 ，3，4} ，集合 B {1 ，3，5} ，则 (ðU A) B ( )
B．3
C．4
D．5
10．已知关于
x
的方程
x2
(2m
8)x
m2
16
0
的两个实根为
x1
，