运筹学课件 第三章运输问题
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运筹08(第三章运输问题)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)
3
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
3
0
A2 A3
销量
3
1 7
4 9
1 3
0 0 20
6
6 0
4
3
6 3 0
5
3 0
5 4 0
20
12
2012-8-18
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应
的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。 （或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为
m+n-1个。
2012-8-18
13
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价 产地
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2
B4
10 8
产量 （吨） 7 4
A1 A2
A3
销量（吨）
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7
3
4
6
10
5
5
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
3
0
A2 A3
销量
3
1 7
4 9
1 3
0 0 20
6
6 0
4
3
6 3 0
5
3 0
5 4 0
20
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表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应
的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。 （或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为
m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价 产地
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2
B4
10 8
产量 （吨） 7 4
A1 A2
A3
销量（吨）
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10
5
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运筹学教学课件-第三章 运输问题
2021/8/17
2
1.运输问题模型及有关概念
例4.1:某公司从两个产地A1、A2将物 品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、
各销地的销量和各产地运往各销地每件物 品的运费如下表所示，问：应如何调运可 使总运输费用最小？
A1
A2 销 量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
充分必要条件是这个变量组中不包含闭回路。
推论 产销平衡运输问题的 m + n -1 个变量
构成基变量的充分必要条件是它不含闭回路。
这个推论给出了运输问题基本解的重要性质， 也为寻求基本可行解提供了依据。
这个推论告诉了一个求基变量的简单方法，同时也 可以判断一组变量是否可以作为某个运输问题的基 变量。这种方法是直接在运价表中进行的，不需要 在系数矩阵A中去寻找，从而给运输问题求初始基 可行解带来极大的方便。
C x i 1 j 1 ,x i 1 j2 , ,x is j 1 ，则B中
【证】由线性代数知，向量组中部分向量组线性相关则该向量组线
性相关，显然，将C中列向量分别乘以正负号线性组合后等于零，
即
P i 1 j 1 P i 1 j2 P i2 j2 － p isj 1 0
因而C中的列向量线性相关，所以B中列向量线性相关。
（1）有时目标函数求最大，如求利润最 大或营业额最大等；
（2）当某些运输线路上的能力有限制时， 模型中可直接加入（等式或不等式）约束；
2021/8/17
13
1.运输问题模型及有关概念
(3)产销不平衡的情况。当销量大于产 量时可加入一个虚设的产地去生产不足的 物资，这相当于在式（4-2）每一式中加上
A3
运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
运筹学运输问题-图文
❖ 建模：设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1， …m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
运筹学课件 第三章 运输问题----数学模型及其解法
例3.2.1
销地 1 运费 产地 1 2 3 销量 bj 产量 2 3 4
ai
20 11 3 6 5 5 9 10 2 10 18 7 4 1 15 3 3 12 12
4
例3.2.1 西北角法
销地 运量
产量 1 2 3 4
ai
产地 1 2 3 销量 b j
mn 7
3
3Байду номын сангаас
x2 5 12 x1 x9 10 22 23 x3 x 33 15 33 12 3 12 12
©管理与人文学院
1999，4
忻展红
第三章 运输问题 — 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。 假舆马者，非利足也，而致千里；假舟 楫者，非能水也，而绝江河。君子生非 异也，善假于物也。 荀子《劝学》
3.1 运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销 地的销量，ai=bj 称为产销平衡 • 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单 位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
2 1 2
0/6
2 0 1
ui
分配表{x ij }
5 3 3 4+ 3 x 32 7 8 3 12 12
分配表{x ij }
5 10 15
OBJ=101
运费表{ z ij / w ij }
3 / 20 6 / 11
5
4 / 18
8 / 9 5 / 10
4
7 7
2 1 1
1 1 0
5 3 3 3 3 7 7 5 12 12
销地 1 运费 产地 1 2 3 销量 bj 产量 2 3 4
ai
20 11 3 6 5 5 9 10 2 10 18 7 4 1 15 3 3 12 12
4
例3.2.1 西北角法
销地 运量
产量 1 2 3 4
ai
产地 1 2 3 销量 b j
mn 7
3
3Байду номын сангаас
x2 5 12 x1 x9 10 22 23 x3 x 33 15 33 12 3 12 12
©管理与人文学院
1999，4
忻展红
第三章 运输问题 — 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。 假舆马者，非利足也，而致千里；假舟 楫者，非能水也，而绝江河。君子生非 异也，善假于物也。 荀子《劝学》
3.1 运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销 地的销量，ai=bj 称为产销平衡 • 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单 位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
2 1 2
0/6
2 0 1
ui
分配表{x ij }
5 3 3 4+ 3 x 32 7 8 3 12 12
分配表{x ij }
5 10 15
OBJ=101
运费表{ z ij / w ij }
3 / 20 6 / 11
5
4 / 18
8 / 9 5 / 10
4
7 7
2 1 1
1 1 0
5 3 3 3 3 7 7 5 12 12
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
运筹学课件运输问题
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、约 束条件和目标函数组成，用于描述问 题的数学关系。
VS
数学模型的一般形式为： $text{maximize} quad f(x)$$text{subject to} quad a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或$a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$，其中$x_1, x_2, ldots, x_n$是决策变量，$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b$是常数，$f(x)$是目标函 数。
运输问题的分类
按产地和目的地数量
单对多、多对单、多对多运 输问题。
按运输方式
陆运、空运、水运等运输问 题。
按优化目标
最小化运输成本、最小化运 输时间、最小化运输量等运 输问题。
运输问题的应用场景
物流配送
如何将货物从多个仓库运送到 多个零售店，以最小化总运输
成本。
车辆路径规划
如何规划车辆行驶路径，以最 小化总行驶时间和成本。
详细描述
在实际的货物运输过程中，可能会遇到各种不确定性和 风险，如天气变化、交通拥堵、意外事故等。这些因素 可能会对运输计划产生影响，甚至导致运输计划的失败 。因此，在制定运输计划时，需要考虑这些不确定性和 风险，并制定相应的应对措施。
实际案例二：城市物流配送优化
总结词
优化城市物流配送路径和策略
VS
运筹学课件运输问题
目录
• 运输问题概述 • 线性规划与运输问题 • 运输问题的解决方案 • 运输问题的扩展与优化 • 案例分析
01
运输问题概述
第三章 运输问题 运筹学 PPT课件
定理： 若变量组 x ,x , i1j1 i2j2 ,xisjs
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
苏州大学运筹学课件第三章运输问题ppt-第三章运输问题
12
13
z31-c31=(c21-c23+ c33)-c31=(8-2+10)-5=+11
第三章 运输问题
闭回路法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
-5
-5
8
4
2
2
8
13
6
5
9
10
3
+11
+3
6
22
13
12
z32-c32=(c22-c23+ c33)-c32=(4-2+10)-9=+3
第三章 运输问题
4
3
-7 14
34
利用西北角法给出初始解
1
2
3
4
8
5
6
0
1
15
10
5
-2
-5
7
10
9
0
2
+6
25
5
10
10
10
10
10
10
第三章 运输问题
35
X21进基，x22离基
1
2
3
4
8
5
6
0
1
15
5
10
+4
+1
7
10
9
0
2
5
25
-6
10
10
10
10
10
10
第三章 运输问题
36
X13进基，x11离基
1
2
3
4
8
1
-4
5
6
运筹学课件第三章运输问题
运筹学课件第三章运输问题第三章运输问题一、学习目的与要求1、掌握表上作业法及其在产销平衡运输问题求解中的应用2、掌握产销不平衡运输问题求解方法二、课时 6学时第一节运输问题及其数学模型一、运输问题的数学模型单一品种运输问题的典型情况：设某种物品有m 个产地A 1,A 2,…,A m ，各产地的产量分别是a 1,a 2,…,a m ；有N 个销地B 1,B 2,…,B n ，各销地地销量分别为b 1,b 2,…,b n 。
假定从产地A i (i =1,2, …,m )向销地B j (j =1,2,…,n )运输单位物品的运价是c ij ，问怎样调运这些物品才能使总运费最小？表中x ij i j ij i j如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===nj jm i i ba 11则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型如下：≥=====∑∑∑∑===+=0,...,2,1,...,2,1..min 11111ij m i jij nj iij m i n j ijij x nj b x mi a x t s x c z这就是运输问题的数学模型，它包含m ×n 个变量，(n 十m)个约束方程．其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
二、运输问题数学模型的特点1、运输问题有有限最优解，即必有最优基本可行解2、运输问题约束条件的系数矩阵A 的秩为(m+n-1)该系数矩陈中对应于变量x ij 的系数向量p ij ，其分量中除第i 个和第m 十j 个为1以外，其余的都为零．即 A ij ＝(0…1…1…0)’=e i +e m+j对产销平衡的运输问题具有以下特点：(1)约束条件系数矩阵的元素等于0或1(2)约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于每一个变量在前m 个约束方程中出现一次，在后n 个约束方程中也出现一次。
此外，对于产销平衡问题，还有以下特点(3)所有结构约束条件都是等式约束 (4)各产地产量之和等于各销地销量之和第二节用表上作业法求解运输问题解题步骤第1步：确定初始基本可行解。
运筹学课件 第三章 运输问题
2、确定初始方案的步骤： （1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
a 第 i 个产地的产量全部运到 i b 满足第 j 个销地需求 j 第 j 个销地
将具体数值填入xij在表中的位置；
运筹学教程
（2）调整产销剩余数量：从ai 和bj 中分别减去xij 的值， 若ai-xij=0，则划去产地Ai 所在的行，即该产地产量已 全部运出无剩余，而销地Bj尚有需求缺口bj-ai；若bj-xij =0，则划去销地Bj 所在的列，说明该销地需求已得到 满足，而产地Ai尚有存余量ai-bj； （3）当作业表中所有的行或列均被划去，说明所有的 产量均已运到各个销地，需求全部满足，xij 的取值构 成初始方案。否则，在作业表剩余的格子中选择下一 个决策变量，返回步骤（2）。
作业3的截止日期：第9周
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是零向量，说明m+n 个行向量线性相关，因此
的秩小于m+n； ？
由 的第二至m+n行和前n列及 x 21 , x 31 , , x m对 A 1 应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
作业2的截止日期：第8周
运筹学教程
作业3:将作业2做成ppt，数量不小于15幅，将形成的文件以附 件形式发到下列邮箱： 1+0501：yunchouxue1_0501@ 1+0502： yunchouxue1_0502@
要求： 1、数学模型用数学公式编辑器写。 2、主题：学号姓名3（052820528刘学菊3） 3、附件文件名称：学号姓名3 （052820528刘学菊3）
运筹学课件：第三章 运输问题[1]
![运筹学课件：第三章 运输问题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2704103ce009581b6ad9eb1f.png)
实例
某公司下属两个工厂，生产同一种产品。产品均可运往三个中心 仓库去销售。已知每个工厂的产量，各仓库的销量及各工厂到每 个仓库的运输单价如下表所示。问如何组织调运可使生产与运输 的总费用最少?
Operation Research
运输问题的数学模型（2）
建立模型
第七讲
Operation Research
运输问题检验数的计算公式
第七讲
求解检验数的关键在于如何确定ui和vj
Operation Research 求解ui和vj
第七讲
Operation Research
表上作业法（8）
第七讲
运输问题解的讨论
有无穷多最优解
空格（非基变量）的检验数全部大于等于0，并且某个空格（非基变量） 的检验数为0。
Operation Research
运输问题的数学模型（4）
建立模型
第七讲
Operation Research
第七讲
运输问题的数学模型（5）
Operation Research
运输问题的特征（1）
产销平衡的运输问题必有可行解也必有最优解 运输问题的约束条件矩阵属于大型稀疏矩阵
第七讲
Operation Research
Operation Research
表上作业法（4）
第七讲
确定初始基可行解——伏格尔（Vogel)法
基本思路：元素差额法，在一行（或一列）中，算出最小元素和 次小元素的差额，如果差额很大，则优先用最小元素所对应的供 应关系供应。
方法：
（1）分别计算各行和各列的最小运费和次小运费差额，并填入表中；
在整个运输系统内部，各类点之间的运输关系为：
Q
某公司下属两个工厂，生产同一种产品。产品均可运往三个中心 仓库去销售。已知每个工厂的产量，各仓库的销量及各工厂到每 个仓库的运输单价如下表所示。问如何组织调运可使生产与运输 的总费用最少?
Operation Research
运输问题的数学模型（2）
建立模型
第七讲
Operation Research
运输问题检验数的计算公式
第七讲
求解检验数的关键在于如何确定ui和vj
Operation Research 求解ui和vj
第七讲
Operation Research
表上作业法（8）
第七讲
运输问题解的讨论
有无穷多最优解
空格（非基变量）的检验数全部大于等于0，并且某个空格（非基变量） 的检验数为0。
Operation Research
运输问题的数学模型（4）
建立模型
第七讲
Operation Research
第七讲
运输问题的数学模型（5）
Operation Research
运输问题的特征（1）
产销平衡的运输问题必有可行解也必有最优解 运输问题的约束条件矩阵属于大型稀疏矩阵
第七讲
Operation Research
Operation Research
表上作业法（4）
第七讲
确定初始基可行解——伏格尔（Vogel)法
基本思路：元素差额法，在一行（或一列）中，算出最小元素和 次小元素的差额，如果差额很大，则优先用最小元素所对应的供 应关系供应。
方法：
（1）分别计算各行和各列的最小运费和次小运费差额，并填入表中；
在整个运输系统内部，各类点之间的运输关系为：
Q
运筹学ch3运输问题ppt课件
第三章 运输问题
Transportation Problem
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、位势法 确定进基变量，调整运量，确定离基变量
08.10.2020
1
一.运输问题的一般提法
人们在从事生产活动中，不可避免地要进行物资调运工作。如 某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到 需要这些物资的地区，根据各地的生产量和需要量及各地之间 的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。
n
供过于求：即产量大于销量时有ai bj
1
1
这两种情形都 a可 i 以 bj的 化形 为式来
求解
08.10.2020
8
二.运输问题的模型
产销平衡问题模型
m
n
M i n z a i j x i j
1
1
n
x ij a i
i 1,......m
j1
m
x ij b j j 1 , . . . . . . n
1.变量多（mn
1 1
个），但结构
简单。
11
技术系数矩阵
A
=
1
1
1 1 1
08.10.2020
11
1 11
系数矩阵的特点: (1)约束条件的系数矩阵的元素只有两个:0,1. (2)元素 xij 对应于每一个变量在前m个约束方程中(第i个 方程中)出现一次,在后n个约束方程中(第m+j 个方程中) 也出现一次. (3)产销平衡问题为等式约束. (4)产销平衡问题中各产地产量之和与各销售地点的销量 之和相等.
i1
j 1
Transportation Problem
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、位势法 确定进基变量，调整运量，确定离基变量
08.10.2020
1
一.运输问题的一般提法
人们在从事生产活动中，不可避免地要进行物资调运工作。如 某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到 需要这些物资的地区，根据各地的生产量和需要量及各地之间 的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。
n
供过于求：即产量大于销量时有ai bj
1
1
这两种情形都 a可 i 以 bj的 化形 为式来
求解
08.10.2020
8
二.运输问题的模型
产销平衡问题模型
m
n
M i n z a i j x i j
1
1
n
x ij a i
i 1,......m
j1
m
x ij b j j 1 , . . . . . . n
1.变量多（mn
1 1
个），但结构
简单。
11
技术系数矩阵
A
=
1
1
1 1 1
08.10.2020
11
1 11
系数矩阵的特点: (1)约束条件的系数矩阵的元素只有两个:0,1. (2)元素 xij 对应于每一个变量在前m个约束方程中(第i个 方程中)出现一次,在后n个约束方程中(第m+j 个方程中) 也出现一次. (3)产销平衡问题为等式约束. (4)产销平衡问题中各产地产量之和与各销售地点的销量 之和相等.
i1
j 1
运筹学第三章运输问题课件分解
销平衡的运输问题
2018年10月27日星期六
7
当销大于产时，即
i 1
ai
m
<
j 1
b j
n
可以在产销平衡表中增加一虚拟行，表示增加一 个假想的产地i=m+1，该地产量为
bj - a j
j 1 i 1
n
m
在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价， cm'1, j 0 ，同样可以转化为一个产销平衡的运输问题.。
30
20
70
30
10
50
需求地区 化工厂
Ⅰ’ 16 14 19 M
Ⅰ’’ 16 14 19 0
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ’ 17 15 M M
Ⅳ’’ 17 15 M 0
12
A B C D
2018年10月27日星期六
第二步见表3-6，3-7
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ’’
A B C D 销量(万吨)
cij xij
i 1 j 1
2018年10月27日星期六
5
满足：
n 1 xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
m n n 1 j 1
由于这个模型中
i 1
ai b j bn 1 b j
j 1
所以这是一个产销平衡的运输问题。
2018年10月27日星期六 6
若当产大于销时， 只要增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储存)， 该销地总需要量为
i 1
ai - b j
运筹学课件 3-运输问题
2020/4/6
运输• 规例3划.1 某问公题司从的两个数产学地A模1、型A2将物品运往三个销 地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问： 应如何调运可使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
• 其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零。即 P对ij产=(销0,平…衡,的1,运0,输…问,0题,1，,0由,…于,有0)以T=下ei+关em系+j 式存在：
n
bj
j 1
m
i 1
n
xij
j 1
n
m
xij
j1 i1
m
ai
i 1
2020/4/6
第1节 运输问题的数学模型
n
bj
表上作业法 方法一：闭回路法 闭回路的概念 为了求某个空格(非基变量)的检验数，先要找出它在 运输表上的闭回路，这个闭回路的顶点，除这个空格外， 其它均为填有数字的格(基变量格)，它是由水平线段和竖 直线段依次联接这些顶点构成的一封闭多边形。每个空格 都唯一存在这样的一条闭回路。
2020/4/6
表上作业法 • 例下表中闭回路的变量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31}共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连 接起来，组成一条封闭的回路。
2020/4/6
运输规划问题的数学模型
2020/4/6
• 解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 • 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
运输• 规例3划.1 某问公题司从的两个数产学地A模1、型A2将物品运往三个销 地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问： 应如何调运可使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
• 其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零。即 P对ij产=(销0,平…衡,的1,运0,输…问,0题,1，,0由,…于,有0)以T=下ei+关em系+j 式存在：
n
bj
j 1
m
i 1
n
xij
j 1
n
m
xij
j1 i1
m
ai
i 1
2020/4/6
第1节 运输问题的数学模型
n
bj
表上作业法 方法一：闭回路法 闭回路的概念 为了求某个空格(非基变量)的检验数，先要找出它在 运输表上的闭回路，这个闭回路的顶点，除这个空格外， 其它均为填有数字的格(基变量格)，它是由水平线段和竖 直线段依次联接这些顶点构成的一封闭多边形。每个空格 都唯一存在这样的一条闭回路。
2020/4/6
表上作业法 • 例下表中闭回路的变量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31}共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连 接起来，组成一条封闭的回路。
2020/4/6
运输规划问题的数学模型
2020/4/6
• 解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 • 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
运筹学第三章运输问题课件
30
20
70
30
10
50
需求地区 化工厂
Ⅰ’ 16 14 19 M
Ⅰ’’ 16 14 19 0
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ’ 17 15 M M
Ⅳ’’ 17 15 M 0
12
A B C D
2015年6月10日星期三
第二步见表3-6，3-7
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
cij xij
i 1 j 1
2015年6月10日星期三
5
满足：
n 1 xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
m n n 1 j 1
由于这个模型中
i 1
ai b j bn 1 b j
0
0
5
-18
2015年6月10日星期三
20
3.表中还有负检验数。说明未得最优解，利用闭回路调 整法，见表3-21
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ’’
A B C D 销量(万吨)
(-10) 30 10 10 (+10)
50 20 30 (-10) 0 (+10) 70 30 10 10
30
20
' cij cij,
' cij 0,
当 i=1,…，m，j=1,…，n时 当 i=1,„，m，j=n+1时
将其分别代入，得到
' ' min z ' cij xij cij xij ci' , n 1 i 1 j 1 m n i 1 j 1 i 1 m n 1 m n m
运筹学(第三章)PPT课件
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
6
5
14
B3
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
-
14
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
10
5
14
14
B3
i =1
xij 0
-
31
此时增加一个假想的产地m+1，该产地的产量
为n
bj
m
ai，而假想产地到各销地的单位运价定为
j =1
i =1
0，就转化成产销平衡的运输问题。
销地 产地 A1
A2
B1
C 11 x 11
C 21 x 21
Am
A m+1 (虚产地)
销量
x m1
x m+1，1 b1
C m1 0
B2
-
37
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 2 1 3
10
B2 4 5 2
4
B3 3 6 4
6
产量 6≤a1≤11
a2=7 a3≥4
A3最多可能送出的产品数量：(10+4+6)-(6+7)=7
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2013-11-30 4
三、初始基本可行解的确定
1、最低费用法 最低费用法是就近供应，即对单位运价最小的变 量分配运输量。
2013-11-30
5
2、运费差额法
初看起来，最小元素法十分合理。但是，有时 按某一最小单位运价优先安排物品调运时，却可能 导致其他的地方多花几倍的费用，从而使整个运输 费用增加。 对每一个供应地或销售地，均可由它到各销售 地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和 次小单位运价，并称这两个单位运价之差为该供应 地或销售地的罚数。若罚数的值不大，当不能按最 小单位运价安排运输时造成的运费损失不大，
4
3 3
8
最小运输费用为150
2013-11-30
24
2、
产地 销地
B1 10 20 30 25
B2 15 40 35 115
B3 20 15 40 60
B4 20 30 55 30
B5 40 30 25 70
产量 50 100 150
A1 A2 A3 销量
2013-11-30
25
产地 销地
1 5 2 3 9
2 1 4 6 10
3 8 1 7 11
产量 12 14 4
12
运用最小元素法，得到上例的初始基本可行解如 下：
A1 A2 A3
B1 2 3 4
B2 10
B3 11
2013-11-30
13
运用运费差额法，得到上例的初始基本可行解
如下：
A1 A2 A3
B1 2 3 4
B2 10
2013-11-30 10
2、当迭代到运输问题的最优解时，如果有 某非基变量的检验数等于零，则说明该运输问题 有多重（无穷多）最优解。 3、当运输问题某部分产地的产量和，与某 一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中有可 能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的 一行和一列，这时就出现了退化。在运输问题中， 退化解是时常发生的。为了使表上作业法的迭代 工作进行下去，退化时应在同时划去的一行或一 列中的某个格中填入数字0，表示这个格中的变 量是取值为0的基变量，使迭代过程中基可行解 的分量恰好为m+n-1个。
2013-11-30
6
反之，如果罚数的值很大，则不按最小运价组织 运输就会造成很大损失。故应尽量按最小单位运 价安排运输。运费差额法就是基于这种考虑提出 来的。
运费差额法的计算方法和步骤：
2013-11-30
7
例、
2013-11-30
8
四、最优解的判别 运用运费差额法，得到上例的初始基本可行 解如下：
其运价：c=0，i=1,2, …，m，
销量： ai b j
i 1 j 1 m n
2013-11-30
27
a b
i 1 i j 1
m
n
j
； 增加产地A
其运价：c=0,j=1,2, …,n,
产量： b j ai
j 1 i 1 n m
2013-11-30
2013-11-30 17
首先选取某检验数为负数的空格为调入格， 即以它对应的非基变量为入基变量。从调入格出 发找一条闭回路 ，闭回路的确定方法为:以调入 格为起点，用水平或垂直线向前划，遇到适当数 字格则转 90。后继续前进，直到回到起始空格 为止。
2013-11-30
18
2、解的改进 解改进的具体步骤为： （1）以 为换入变量，找出它在运输表 中的闭回路； （2）以空格 为第一个奇数顶点，沿 闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上 的顶点依次编号； （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出 运输量最小 的顶点（格子），以该格中 的变量为换出变量；
2013-11-30 19
（4）以 为调整量，将该闭回路上所 有奇数顶点处的运输量都增加这一数值，所有偶 数顶点处的运输量都减去这一数值，从而得出一 新的运输方案，该运输方案的总运费比原运输方 案减少，改变量等于 然后，再对得到的新解进行最优性检验，如 不是最优解，就重复以上步骤继续进行调整，一 直到得出最优解为止。
Min f = cij xij
m n
s.t.
xij = si xij = dj
i=1 j=1 m
i=1 n
j=1
i = 1,2,…,m j = 1,2,…,n
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
2013-11-30
3
二、运输问题的表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。 运输问题都存在最优解。 计算过程（假设产销平衡）：
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0-300吨，二区必须满足需求量，三区供应量不少于 1500吨，试求总费用为最低的调运方案。
2013-11-30 29
山西盂县 河北临城 需要量
一区 1.80 1.60 3000
二区 1.70 1.50 1000
三区 1.55 1.75 2000
产量 4000 1500
2013-11-30
20
对初始基本可行解迭代寻优得到最优解为：
产地 销地
B1 35 25
B2 15 25
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
2013-11-30
21
运用运费差额法，得到该问题的初始基本可 行解如下：
产地 销地
B1 10 25 25
B2 40
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
B1 15 10 25
B2 35
B3 60
B4 30 30
B5
产量 50 100
A1 A2 A3 销量
80 115
60
70 70
150
无穷多最优解,最小运输成本为7225.
2013-11-30
26
六、产销不平衡问题的讨论 m n ai b j ；增加销地B
i 1 j 1
15
产地 销地
A1 A2 A3 销量
2013-11-30
运用最小元素法，得到上例的初始基本可行解如 下：
产地 销地
B1 10 25 25
B2 40
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
对初始基本可行解进行最优判断 <0
22
2013-11-30 16
五、解的改进 对运输问题的一个解来说，若最优性检验时 某非基变量 的检验数 为负，说明将这个非基变量变为基变量时运费会 更小。因而这个解不是最优解，还可以进一步改 进。改进的方法是在运输表中找出这个空格对应 的闭回路 ，在满足所有约束条件的前提下， 使 尽量增大并相应调整此闭回路上其它顶点 的运输量，以得到另一个更好的基可行解。 1、闭回路的确定方法
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3） 2013-11-30
B1 A1 A2 A3 8
B2
B3 12
14
B4 4 2 8
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现用位势法求这个解各非基变量的检验数。 由于所有非基变量的检验数全非负，故这个解为 最优解。对这个解来说，因 若以 为 换入变量可再得一解，它与上面最优解的目标函 数值相等，故它也是一个最优解，即该运输问题 有无穷多最优解。 五、需要说明的几个问题 1、若运输问题的某一基可行解有几个非基 变量的检验数均为负。在继续进行迭代时，取它 们中的任一变量为换入变量均可使目标函数值得 到改善，但通常取 中最小者对应的变量 为换入变量。
第三章
运输问题
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一 运输问题及其数学模型
例、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
B3 11
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例：某企业有 3个生产同类产品的工厂 （产地），生产的产品由 4个销售点（销地）出 售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定 单位均为吨）各工厂到各销售点的单位运价（元 /吨）示于下表中。要求研究产品如何调运才能 使总运费最小。
B1 3 7 2 60 B2 2 5 5 40 B3 7 2 4 20 B4 6 3 5 15 产量 50 60 25
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。
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例、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别 需要用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西 盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力 分别为1500、4000吨，运价为：
三、初始基本可行解的确定
1、最低费用法 最低费用法是就近供应，即对单位运价最小的变 量分配运输量。
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2、运费差额法
初看起来，最小元素法十分合理。但是，有时 按某一最小单位运价优先安排物品调运时，却可能 导致其他的地方多花几倍的费用，从而使整个运输 费用增加。 对每一个供应地或销售地，均可由它到各销售 地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和 次小单位运价，并称这两个单位运价之差为该供应 地或销售地的罚数。若罚数的值不大，当不能按最 小单位运价安排运输时造成的运费损失不大，
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3 3
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最小运输费用为150
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2、
产地 销地
B1 10 20 30 25
B2 15 40 35 115
B3 20 15 40 60
B4 20 30 55 30
B5 40 30 25 70
产量 50 100 150
A1 A2 A3 销量
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产地 销地
1 5 2 3 9
2 1 4 6 10
3 8 1 7 11
产量 12 14 4
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运用最小元素法，得到上例的初始基本可行解如 下：
A1 A2 A3
B1 2 3 4
B2 10
B3 11
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运用运费差额法，得到上例的初始基本可行解
如下：
A1 A2 A3
B1 2 3 4
B2 10
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2、当迭代到运输问题的最优解时，如果有 某非基变量的检验数等于零，则说明该运输问题 有多重（无穷多）最优解。 3、当运输问题某部分产地的产量和，与某 一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中有可 能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的 一行和一列，这时就出现了退化。在运输问题中， 退化解是时常发生的。为了使表上作业法的迭代 工作进行下去，退化时应在同时划去的一行或一 列中的某个格中填入数字0，表示这个格中的变 量是取值为0的基变量，使迭代过程中基可行解 的分量恰好为m+n-1个。
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反之，如果罚数的值很大，则不按最小运价组织 运输就会造成很大损失。故应尽量按最小单位运 价安排运输。运费差额法就是基于这种考虑提出 来的。
运费差额法的计算方法和步骤：
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例、
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四、最优解的判别 运用运费差额法，得到上例的初始基本可行 解如下：
其运价：c=0，i=1,2, …，m，
销量： ai b j
i 1 j 1 m n
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a b
i 1 i j 1
m
n
j
； 增加产地A
其运价：c=0,j=1,2, …,n,
产量： b j ai
j 1 i 1 n m
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首先选取某检验数为负数的空格为调入格， 即以它对应的非基变量为入基变量。从调入格出 发找一条闭回路 ，闭回路的确定方法为:以调入 格为起点，用水平或垂直线向前划，遇到适当数 字格则转 90。后继续前进，直到回到起始空格 为止。
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2、解的改进 解改进的具体步骤为： （1）以 为换入变量，找出它在运输表 中的闭回路； （2）以空格 为第一个奇数顶点，沿 闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上 的顶点依次编号； （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出 运输量最小 的顶点（格子），以该格中 的变量为换出变量；
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（4）以 为调整量，将该闭回路上所 有奇数顶点处的运输量都增加这一数值，所有偶 数顶点处的运输量都减去这一数值，从而得出一 新的运输方案，该运输方案的总运费比原运输方 案减少，改变量等于 然后，再对得到的新解进行最优性检验，如 不是最优解，就重复以上步骤继续进行调整，一 直到得出最优解为止。
Min f = cij xij
m n
s.t.
xij = si xij = dj
i=1 j=1 m
i=1 n
j=1
i = 1,2,…,m j = 1,2,…,n
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
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二、运输问题的表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。 运输问题都存在最优解。 计算过程（假设产销平衡）：
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0-300吨，二区必须满足需求量，三区供应量不少于 1500吨，试求总费用为最低的调运方案。
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山西盂县 河北临城 需要量
一区 1.80 1.60 3000
二区 1.70 1.50 1000
三区 1.55 1.75 2000
产量 4000 1500
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对初始基本可行解迭代寻优得到最优解为：
产地 销地
B1 35 25
B2 15 25
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
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运用运费差额法，得到该问题的初始基本可 行解如下：
产地 销地
B1 10 25 25
B2 40
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
B1 15 10 25
B2 35
B3 60
B4 30 30
B5
产量 50 100
A1 A2 A3 销量
80 115
60
70 70
150
无穷多最优解,最小运输成本为7225.
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六、产销不平衡问题的讨论 m n ai b j ；增加销地B
i 1 j 1
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产地 销地
A1 A2 A3 销量
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运用最小元素法，得到上例的初始基本可行解如 下：
产地 销地
B1 10 25 25
B2 40
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
对初始基本可行解进行最优判断 <0
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五、解的改进 对运输问题的一个解来说，若最优性检验时 某非基变量 的检验数 为负，说明将这个非基变量变为基变量时运费会 更小。因而这个解不是最优解，还可以进一步改 进。改进的方法是在运输表中找出这个空格对应 的闭回路 ，在满足所有约束条件的前提下， 使 尽量增大并相应调整此闭回路上其它顶点 的运输量，以得到另一个更好的基可行解。 1、闭回路的确定方法
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3） 2013-11-30
B1 A1 A2 A3 8
B2
B3 12
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B4 4 2 8
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现用位势法求这个解各非基变量的检验数。 由于所有非基变量的检验数全非负，故这个解为 最优解。对这个解来说，因 若以 为 换入变量可再得一解，它与上面最优解的目标函 数值相等，故它也是一个最优解，即该运输问题 有无穷多最优解。 五、需要说明的几个问题 1、若运输问题的某一基可行解有几个非基 变量的检验数均为负。在继续进行迭代时，取它 们中的任一变量为换入变量均可使目标函数值得 到改善，但通常取 中最小者对应的变量 为换入变量。
第三章
运输问题
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一 运输问题及其数学模型
例、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
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例：某企业有 3个生产同类产品的工厂 （产地），生产的产品由 4个销售点（销地）出 售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定 单位均为吨）各工厂到各销售点的单位运价（元 /吨）示于下表中。要求研究产品如何调运才能 使总运费最小。
B1 3 7 2 60 B2 2 5 5 40 B3 7 2 4 20 B4 6 3 5 15 产量 50 60 25
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。
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例、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别 需要用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西 盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力 分别为1500、4000吨，运价为：