2013年高考湖南卷理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（湖南卷）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】 B
【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B
2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
A ．抽签法
B ．随机数法
C ．系统抽样法
D ．分层抽样法
【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

选D
3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .
若2sin ,a B A 则角等于 A ．
12π B ．6π C ．4π D ．3
π 【答案】 D
【解析】 3
=A 223
=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由π
π⇒<⇒⋅⋅A ， 选D
4.若变量,x y 满足约束条件211y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是
A ．5-2
B ．0
C ．53
D ．52
【答案】 C
【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，3
5
)32,31(=u 选C
5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】 B
【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，
g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2
选B
6. 已知,a b 是单位向量，0a b =
.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是
A ．⎤⎦
B ．⎤⎦
C ．1⎡⎤⎣⎦
D ．1⎡⎤⎣⎦
【答案】 A 【解析】
的向量与即一个模为单位2.1|-)(||-|,2||向量，是,=+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。

选A
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于
A ．1
B
C ．
2 D ．2
【答案】 C
【解析】 由题知，正方体的棱长为1，
12
1
-2.]2,1[]2,1[1<而
上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。

选C
8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一
点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等 A ．2 B ．1
C ．83
D ．43
【答案】 D
【解析】 使用解析法。

).3
4
,34(32).2,2(),0,(O O ABC D BC x P ∴∆处，在中线的的重心的中点设
)
)
1(3)
12(4,)1(3)2(4()),1(34,0(34)34(,++++-⇒+-=k k k k Q k R x k y k RQ 则其方程为的斜率为设直线。

0)1)(12(1,0,)
1(3)2(4)
12(4,3)1(4=--⇒=⋅=++-++=-=
k k k k k k k x k k k k k QP RP QP RP 由题知
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
=
=⎩⎨⎧==⇒3
421
(01x k x k ，舍） 选D
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨
=-=⎩⎩为参数过椭圆 ()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 3 .
【答案】 3 【解析】
303)0,3(14
9,:2
2=⇒-=-⇒-=+-=a a y x C a x y l 的右顶点程：椭圆方方程直线
10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .
【答案】 12
【解析】 .考察柯西不等式
12943631211))3()2(()111(2222
222222≥++⇒=⋅+⋅+⋅≥++⋅++c b a c b a c b a ）（
时，取最小值且当3
2
,1,2===c b a .
11.如图2
O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点
1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .
【答案】 2
3
【解析】
2
3)2(
5,422=-===⇒⋅=⋅PC r d CD DC PC PC DP PB AP 的距离，圆心到由相交弦定理得
（一） 必做题（12-16题） 12.若209,T
x dx T =⎰则常数的值为 3 .
【答案】 3
【解析】
393
3
30
30
2
=⇒===
⎰
T T x dx x T
T
13.执行如图3所示的程序框图，如果输入
1,2,a b a ==则输出的的值为 9 .
【答案】 9
【解析】 922221=++++=a
14．设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若
216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。

【答案】
3
【解析】 设P 点在右支上，a n a m a
n m a
n m PF n PF m 2,426|,||,|21==⇒⎩⎨
⎧=-=+==则
2
3
)3(4182441630cos :.302222
121=+=⋅-+=︒︒=∠∆a c c a ac a c a F PF F PF 由余弦定理得中，由题知，
3==
⇒a
c
e
15．设n S 为数列{}
n a 的前n 项和，1
(1),,2
n
n n n S a n N *=--
∈则 （1）3a =_____；
（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________。

【答案】
3
【解析】 设P 点在右支上，a n a m a n m a
n m PF n PF m 2,426|,||,|21==⇒⎩
⎨⎧=-=+==则
16．设函数(),0,0.x x x f x a b c c a c b =+->>>>其中
（1）记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，且=b ，则
(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为__]10(，__。

【答案】 ]10(，
【解析】
a
c x a c c a c c a x f a b a c a c x x x x x ln 2ln 2)(0]1)(2[2)(2,=
⇒=⇒=-=-==+≥>，令由题知
]10(ln 2ln ,0ln 2ln 2ln 2ln 02ln ln .2，又∈=∴>≥⇒>≥≥⇒a
x a a c a c 。

所以f(x)的零点集合为]10(，
（2）若,,a b c ABC ∆是的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ .（写出所
有正确结论的序号） ①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>
②,,,x x x x R xa b c ∃∈使不能构成一个三角形的三条边长；
③若()()1,2,0.ABC x f x ∆∃∈=为钝角三角形，则使
【答案】 ①②③ 【解析】
1)()(1)()(),1,(,1,1],1)()[()(11>-+=-+>-+-∞∈∀∴<<-+=c
c
b a
c b c a c b c a x c b c a c b c a c x f x x x x x 1
所以①正确。

.2,1,1,2,1,1边长不能构成三角形的三条则令=======x x x c b a c b a x 所以②正确。

0-)2(,0)1(;0-222222<+=>-+=<+c b a f c b a f c b a ，则令若三角形为钝角三角形
0)(),2,1(=∈⇒x f x 使。

所以③正确。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos().()2sin 632
x
f x x x
g x π
π=-
+-=。

（I ）若α是第一象限角，且()f α=
()g α的值； （II ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合。

【答案】 （I ）5
1 （II ）Z k k k ∈+
],3
22,2[π
ππ 【解析】 （I ）
5
3
3sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(=
=⇒=++-=
ααf x x x x x x f . 5
1
cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且
（II ）2
1
)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒
-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒+
+
∈+
⇒],3
22,2[]652,6
2[6
π
πππππ
ππ
.(完)
18．（本小题满分12分）
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角
形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。

根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量
（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

【答案】 （Ⅰ） 9
2
=
p （Ⅱ）46)(=Y E 【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.
从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近”。

所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率
9
2
3128=⋅=
P
（Ⅱ）三角形共有15个格点。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。

15
4
)51(==Y P 所以
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0),
(1,3), (2,2),(3,1)。

15
4
)48(==Y P 所以
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0),
(2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。

15
6
)45(==Y P 所以
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，
1), (1,2), (2,1)。

15
3
)42(==Y P 所以
如下表所示：
4615
6901512627019210215342156451544815251)(==+++=⋅+⋅+⋅+⋅
=Y E 46)(=∴Y E .
(完)
19．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱1111//ABCD A BC D AD BC -中，，
190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===
（I ）证明：1AC B D ⊥；
（II ）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值。

【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）7
21
【解析】 (Ⅰ)
AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱 D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11
111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。

面且又 . (证毕)
（Ⅱ）。

的夹角与平面的夹角即直线与平面直线θ111111,////ACD AD ACD C B AD BC C B ∴ 轴正半轴。

为轴正半轴，为点，量解题。

设原点在建立直角坐标系，用向X AD Y AB A
()y y y C y B D D A ⊥-== ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设
).
3,0,3(),0,3,1(.30,003012==∴=⇒>=+-⇒=⋅AD AC y y y BD AC ）
，，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.0
,111==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅AD n ACD AC n n ACD
721
3
733|,cos |sin 003,313-1=⋅=
><=⇒==∴AD n AD n ACD θ），，（），，（的一个法向量平面
7
2111夹角的正弦值为
与平面所以ACD BD 。

20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”。

如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”。

某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处。

现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心。

（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。

【答案】 （Ⅰ）d= |x – 3| + |y – 20|，.,0R x y ∈≥
（Ⅱ）当点P(x,y)满足P(3,1)时, 其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小为45
【解析】 .0),,(≥y y x P 且设点
(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,
|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离，其中.,0R x y ∈≥
（Ⅱ）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。

点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v 。

且h 和v 互不影响。

显然当y=1时，v = 20+1=21；时显然当]14,10[-∈x ，水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45.
所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45. 21．（本小题满分13分） 过抛物线2
:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且
122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D 。

以AB ，CD 为直径的圆M ，
圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l 。

（I ）若120,0k k >>，证明；2
2FM FN P < ；
（II ）若点M 到直线l 的距离的最小值为
5
，求抛物线E 的方程。

【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）y x 162= 【解析】 (Ⅰ) ，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2
,
0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A p
F 02,2
21211=++-+=p x pk x E p
x k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线
)
,(2
,20,22
11211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2
,2,2
22223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理.
)1(2121222
221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k
2
22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以，22p <⋅成立. (证毕)
（Ⅱ）
,
)]2
(2[21)]2()2[(21,2
12121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆
,2同理,2
21211p p k r p p k r +=+=⇒
.,21r r N M 的半径分别为、设圆则2
1212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、，
的方程为：
，直线l r y y x x 2
2234234)()(=-+- 0-)(2)(22
22123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .
))(-())(())(()(2)(2121234123412341234122
12212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p
2))((1))(()(2)(2)(22
22
12
12
222
22
12
22
122122
12
212=++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(22
22
12
22
1=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x
55758751)41()41(2|512||52|),(212
112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为 .
22．（本小题满分13分）
已知0a >，函数()2x a f x x a
-=+。

（I ）；记[]()0,4f x a 在区间上的最大值为g(),求a g()的表达式；
（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

【答案】 （Ⅰ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈∈+=时当时当),1(,2
1]1,0(,243-1g(a)a a a a （Ⅱ）)21,0( 【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-++=++-≥-<+=+-=>时，是单调递减的。

当时，是单调递增的。

或当a x a a x a a
x a x a x a x a x a a x a x x f a 2,231-2,2,23-12)(,0
(Ⅰ)
2
1231-)0(]4,0[)(4=+
=∈>a a f x x f a 为上单调递减，其最大值在时，由上知，当 上单调递增。

上单调递减，在在时，当]4,[],0[)(4a a x f a ≤ );0()(]4,1(],4,1(,2
1)0(243-
1)4(f a g a a f a a f 的最大值为时，即当解得：令∈∈=<+= )4()(]1,0(f a g a 的最大值为时，当∈
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈∈+=时当时当),1(,2
1]1,0(,243-1综上，g(a)a a a a
（II ）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。

因此，若在图像上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求，则P,Q 分别在两个图像上，且1)(')('21-=⋅x f x f 。

⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<<<-+-≥-<+=402,)
2(3,2,)2(3)('22a a x a a x a a x a x a x a x f 时当时
或当 不妨设)2)(2(3]8,(),,0(,1)
2(3)2(321212221a x a x a a x a x a x a a x a ++=⇒∈∈-=+-⋅+ ⎪⎩
⎪⎨⎧<<<+--<⇒+--=⇒-+++=⇒824230242334)(202222222122121x a a a x a ax a a x a ax a x a a x x a x x )21,0(40311642432434216222424328214230222222∈⇒<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--<-<-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧<<<--<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<+<--<⇒a a a a a a a a x a x a a x x a a x a x ，且 所以，当)21,0(∈a 时，函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直.。