物理竞赛1-35届真题分类08电磁学(无答案)

真题分类----电磁学（26届初赛）13．（18分）近代的材料生长和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子射散的影响．这种特点可望有新的应用价值．图l 所示为四端十字形．二维电子气半导体，当电流从l端进人时，通过控制磁场的作用，可使电流从2, 3，或4端流出．对下面摸拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动．在图2 中，a、b、c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸里．以B表示磁感应强度的大小．一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内以速度v0沿与a、b都相切的方向由缝1射人磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用．试求B为何值时，该粒子能从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出．（26届初赛）14．（20分）如图所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m0．导轨的两条轨道间的距离为l，PQ是质量为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计．初始时，杆PQ于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B．现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F 作用于PQ上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动．已知经过时间t , PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I0，导轨向右移动的距离为x0（导轨的N1N2部分尚未进人磁场区域）．求在此过程中电阻所消耗的能量．不考虑回路的自感．（25届初赛）21．（16分）设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E 的匀强电场，磁感应强度为B 的匀强磁场和重力加速度为g 的重力场一质量为m 、电荷量为q 的带正电的质点在此空间运动，己知在运动过程中，质点速度的大小恒定不变．(i )试通过论证，说明此质点作何种运动（不必求出运动的轨迹方程）(ii)若在某一时刻，电场和磁场突然全部消失，己知此后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能（即电场和磁场刚要消失时的动能）的一半，试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量．（17届初赛）四、（20分）某些非电磁量的测量是可以通过一些相应的装置转化为电磁量来测量的。

一平板电容器的两个极扳竖直放置在光滑的水平平台上，极板的面积为S ，极板间的距离为d 。

极板1固定不动，与周围绝缘；极板2接地，且可在水平平台上滑动并始终与极板1保持平行。

极板2的两个侧边与劲度系数为k 、自然长度为L 的两个完全相同的弹簧相连，两弹簧的另一端固定．图预17-4-1是这一装置的俯视图．先将电容器充电至电压U 后即与电源断开，再在极板2的右侧的整个表面上施以均匀的向左的待测压强p ；使两极板之间的距离发生微小的变化，如图预17-4-2所示。

测得此时电容器的电压改变量为U 。

设作用在电容器极板2上的静电作用力不致引起弹簧的可测量到的形变，试求待测压强p 。

（14届初赛）九、（20分）如图10，电源的电动势为U ，电容器的电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同一水平面内的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为L,导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向，1l 和2l 是两根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，质量分别为1m 和2m ，且1m ＜2m ，开始时两根小棒均静止在导轨上，现将开关S 先合向1，然后合向2，求：1、两根小棒最终的速度的大小；2、在整个过程中的焦耳热损耗。

（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可以忽略不计）（15届复赛）三（24分）PQQ n P n 是由若干正方形导线方格PQQ 1P 1，P 1Q 1Q 2P 2,P 2Q 2 Q 3P 3,…，P 1-n Q 1-n P n 构成的网格，如图3所示。

方格每边长度l=10.0cm.边QQ 1，Q 1Q 2，Q 2Q 3，…与边P P 1，P 1P 2，P 2P 3，…的电阻都等于r ，边PQ ，P 1Q 1，P 2Q 2…的电阻都等于都2r ，已知PQ 两点间的总电阻为Cr ，C 是一已知数，在x>0的半空间分布时间t 均匀增加的匀强磁场，磁场方向垂直于Oxy 平面并指向纸里，如图4所示。

今令导线网络PQQ n P n 以恒定的速度v=5.0cm/s 沿x 方向运动并进入磁场区域，在运动过程中方格的边PQ 始终与y 轴平等。

若取PQ 与y 轴重合的时刻为t=0，在以后任一时刻t 磁场的磁感应强度为B= B 0+bt ，式中t 的单位为s ，B 0为已知恒量，b=0.10 B 0.求t=2.5s 时刻，通过导线PQ 的电流（余力导线网络的自感）。

（16届复赛）三、（25分）用直径为1mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为5cm 的圆环。

圆环处于超导状态，环内电流为100A 。

经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于610A －。

试估算该超导材料电阻率数量级的上限。

提示：半径为r 的圆环中通以电流I 后,圆环中心的磁感应强度为02I B rμ= ,式中B 、I 、r 各量均用国际单位，720410N A μπ=⨯⋅－－。

（16届复赛）六、（25分）如图复16-6所示，z 轴竖直向上，xy 平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。

在0(,0,0)A x 处放一带电量为(0)q q ->的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B 穿过位于坐标原点O 的光滑小孔，可通过它牵引小物块。

现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直与x 轴，与z 轴夹角为θ（如图复16-6所示）。

设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为tan μθ=,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。

不计重力作用。

现通过细线来牵引小物块，使之移动。

在牵引过程中，我们约定：细线的B 端只准沿z 轴向下缓慢移动，不得沿z 轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态。

若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。

（17届复赛）五、（25分）在真空中建立一坐标系，以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，z 轴垂直纸面向里（图复17-5）．在0y L ≤≤的区域内有匀强磁场，0.80m L =，磁场的磁感强度的方向沿z 轴的正方向，其大小0.10T B =．今把一荷质比1/50C kg q m =⋅－的带正电质点在0x =，0.20m y =-，0z =处静止释放，将带电质点过原点的时刻定为0t =时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t 的位置坐标．并求它刚离开磁场时的位置和速度．取重力加速度210m s g =⋅－。

（19届复赛）二、（18分）在图复19-2中，半径为R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直图面指向纸外，磁感强度B 随时间均匀变化，变化率ΔB/Δt = K （K 为一正值常数）。

圆柱形区域外空间中没有磁场。

沿图中AC 弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC 与半径OA 的夹角α= π/4 。

直线上有一任意点，设该点与A 点的距离为x ，求从A 沿直线到该点的电动势大小。

（21届复赛）七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l ，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m 的两金属杆ab 和cd 放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻， 金属杆ab 和cd 分别位于x = x 0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L ．今对金属杆ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速0v ．设导轨足够长，0x 也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距0x ，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L 是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置x ab 和x cd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i 三者各自随时间t 的变化关系．五、（22届复赛）（25分）一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为a 1、a 2，厚度可以忽略。

两个表面都带有电荷，电荷面密度σ随离开环心距离r 变化的规律均为20)(r r σσ=，0σ为已知常量。

薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度β减速转动，t = 0时刻的角速度为0ω。

将一半径为a 0 (a 0<<a 1)、电阻为R 并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置。

试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力F 与时间t 的关系。

提示：半径为r 、通有电流I 的圆线圈（环形电流），在圆心处产生的磁感应强度为rI kB =（k 为已知常量）五、（23届复赛）（25分）磁悬浮列车是一种高速运载的工具，它具有两个重要系统，一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触，另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。

为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。

设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B 随时间t 和空间位置x 变化规律为)cos(),(0kx t B t x B -=ω式中B 0、ω、k 均为已知常量，坐标轴x 与轨道平行，在任一时刻t ，轨道平面上磁场沿x 方向分布是不均匀的，如图所示，图中Oxy 平面代表轨道平面，“X ”表示磁场方向垂直Oxy 平面指向纸里，“.” 表示磁场方向垂直Oxy 平面指向纸外，规定指向纸外时B 取正值，“X ”和 “.”的疏密程度表示沿x 轴B 的大小分布。

一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形MNPQ 处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN 的长度为L 。

与轨道平行的金属框边MQ 的长度为d ，金属框的电阻为R ，不计金属框的电感。

（1）试求在时刻t ，当金属框的MN 边位于x 处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x 轴正方向移动的速度为V（2）试讨论安培力的大小与金属框的几何尺寸的关系。

四、（24届复赛）（25分）图中oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在0>x 的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于oxy 平面向里，磁感应强度的大小为B 。