有限体积法

enum u e x / 2
(3.10)
在多维问题中， 如果流动方向和网格是斜交的， 截断误差会在垂直于流动方向以及流线方向 产生扩散，这是一种非常严重的误差，函数的峰值或函数值的快速变化会被抹平，为了得到 高精度结果需要采用非常精细的网格。
3.4.2 线性插值（CDS）
e E E (1 E ) P
a e u e a nb u nb Q ( p P p E ) Ae
3.4.1 迎风插值（UDS）
e 用上游计算节点的函数值近似相当于对一阶偏导数采用迎风格式，因此用 UDS 来表示这
种近似方法，在 UDS 中：
if v n e 0 e P E if v n e 0
(3.9)
UDS 是唯一无条件满足有界性要求的近似格式，在数值过程中不会产生数值振荡。UDS 存 在数值粘性。根据 Taylor 公式，该格式具有一阶精度，并具有数值粘性：
(3.11)
E
xe x P xE xP
3
(3.12)
线性插值具有二阶精度，线性插值相当于 FDM 中的 CDS 格式，因此用 CDS 表示。CDS 格 式会产生数值振荡。 对于扩散项
P E x e x E x P
(3.13)
3.4.3 三阶迎风格式（QUICK）
第 3 章 有限体积法
3.1 有限体积法基本原理
上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点， 并在网格节点上对微分 形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原 PDE 的近似。 在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。 首先， 有限体积法离散的是积 分形式的流体力学基本方程：
q ( x, y ) a 0 a1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 y 2 a 5 xy a 6 x 2 y a 7 xy 2 a8 x 2 y 2
(3.7) 可以得到四阶精度的积分公式：
Q qds
Se
16q P 4q s 4q w 4q n 4q s 4q se 4q sw 4q ne 4q nw 36
代数方程组中扩散项系数为：
d AE
(3.25)
y y d ； AW xE xP x P xW x x d ； AW xN xP xP xS
(3.26)
d AN
d d d d d AP ( AE AW AN AS )
对于任意控制体
若采用 x w
(3.33)
uu P uu E uu P uu W
2
简化后得：

2

u uW p P p E p P pW uE uP P x x 2 2
N vn W uw P vs ue E
S 主控制体为压力控制体（黑色实线网格） ，u 的控制体（红色虚线网格）的计算节点在 主控制体的 e 边，控制体的 e，w 边界通过主控制体的计算节点，v 控制体（蓝色双点划线 网格）的计算节点在主控制体的 n 边，该控制体的 n，s 面经过主控制体的计算节点。 在 u 的控制体中，采用有限体积法离散可得 u 的代数方程：
Fe fds f e S e f e S e
Se
(3.3)
上式中 f e 为边界中点出的函数值。近似为方格中心点的值乘以方格的面积。 三阶精度积分：
Fe fds
Se
f ne f se Se 2 f ne 4 f e f se Se 6
(3.4)
四阶精度积分：
Fe fds
v nds n ds
S S

q d
(3.1)
计算域用数值网格划分成若干小控制体。 和有限差分法不同的是， 有限体积法的网格定 义了控制体的边界，而不是计算节点。有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。一般有 限体积法的计算节点有两种定义方法， 一种是将网格节点定义在控制体的中心， 另一种方法 中， 相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。 第一种方法的优点在于用计算节点 的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度； 第二种方法的好处是在控制体边界上的 中心差分格式具有较高的精度。
(3.22)
根据连续性方程：
5
e m w m n m s 0 m
相邻 CV 之间的关系：
(3.23)
w, P m e ,W ； w, P 1 e ,W m
其余相邻 CV 有类似关系 扩散项采用 CDS 格式
(3.24)
y E P Fec ndS y Se xE xP x e
(3.8)
3.4 函数的插值
在上节讲到的积分的近似公式中用到了非计算节点上的函数值， 被积函数 f 中包含了多 个物理量及其偏微分，如对流项 f
c
v n ,扩散项 f
d
n ，在源项中也有类似情
况，这里假定流场和流体的物性参数是已知的，物理量 及其偏导数在控制面上的值需要通 过计算节点上物理量的插值得到。下面已 e 面为例进行讨论。
备注：本章为 2004 年新增内容，考虑到有限体积法在 CFD 学科中的迅速发展，尤其是大型 商用软件中的大量应用，为了反映学科发展的最新趋势，对原有教学大纲进行了局部修正， 将有限体积法纳入了教学内容。 由于在 《计算结构力学》 已有针对有限元法基本原理的介绍， 考虑到本课程的授课对象和授课的深度及学时的限制，取消了流体有限元的内容。
这里，W 点和 P 的 w 边中点重合。
(3.29)
南边和西边的梯度为零，以南边为例，由于梯度为零， P S ，代数方程变为：
AW W ( AS AP ) P AN N AE E QP
(3.30)
3.6 SIMPLE 方法
考虑定常不可压流动问题，控制方程为： 连续性方程：
(3.14)
g1
1
e ,W
e ,W
1 e , P e ,W
； g2
2
1 1
e, P e ,W
2
1 e , P e ,W
(3.15a)
g3
1 1
e, P
1 e , E e , P
2 e , E e , P ； g4 1 e , E e , P
和 UDS 类似，QUICK 格式也和流动方向有关
e
其中：
g1 E g 2W (1 g1 g 2 ) P if v n e 0 g 3 P g 4 EE (1 g 3 g 4 ) E if v n e 0
2 e, P
S S
(3.18)
边界条件：
4
0 ；北部入口边界
1 y ；西部壁面边界
对称条件；南部边界 梯度为 0；东部出口条件
u x x ， u y y ，流线方程 xy c
入口， ＝0 流线， xy=c (y) 出口
n 0
壁 面
对称边界 对流项： Fec

Se
e e v ndS m
(3.19)
e v ndS u x e y 为质量通量。 m
Se
e ,0) P min(m e ,0) E max(m Fec （ e 1 e ) P me E E m
c c e ,0) ； AW w ,0 ) AE min( m min( m c c s ,0 ) n ,0) ； AS AN min( m min( m c c c c c AP ( AE AW AN AS )
for UDS for CDS
(3.20)
若采用 UDS 格式，代数方程组中各项系数为：
(3.21)
若采用 CDS 格式，代数方程组中各项系数为
c c e e ； AW w w AE m m c c s s n n ； AS AN m m c c c c c AP ( AE AW AN AS )
AW W AS S AP P AN N AE E QP
Al Alc Ald ，l 为任意指标 P，E，W，S，N。
(3.27) (3.28)
边界条件的处理： 对于西部和北部边界，由于给定了函数值，对流项可直接代入函数值而无需插值，扩散 项则采用一侧差分
W P x W x P xW
(3.17)
3.5 边界的处理
对于对流项，在入口处一般给出了流量或函数值，在边界和对称面上流量为零，在出口 处假设和出口的法向坐标无关， 因此可采用迎风格式。 对于扩散项则可能需要采用偏心格式。
3.6 有限体积法应用举例
例：考虑一标量在已知流场中的输运过程（如图 4.4 所示） ，输运方程为：
v ndS ndS
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。 为了获得每一个控制体上的代 数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
3.2 面积分的近似
采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有 4 个面，二维情况，每一个控制体有 6 个表面。 计算节点用大写字母表示， 控制体边界和节点用小写字母表示。 为了保证守恒性， 控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。 控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：

SV
v ndS 0
(3.31)
动量方程：
6

SV
vv ndS n vdS pndS bd
SV SV CV
(3.32)
不可压缩问题求解的困难在于压力场的求解。主要原因在于压力 p 没有独立的方程组。 先考虑一维问题： 对于动量方程：