量子力学讲义 第二章(1)
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
量子力学_第二章_线性谐振子
其中 2
2E
此式是变系数 二阶常微分方程
（2）求解
d 2 [ 2 ] ( x ) 0 2 d
1. 渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
d 2 0 2 d
为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 (k 1)(k 2) bk k
k
2 2 k
exp[ 2 ] 1
1 !
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k 2
( 1)!
考察幂级数exp[ξ 2}的 展开式的收敛性
§2.7 线性谐振子
（一）引言
l
（1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子
l
l
l
（二）线性谐振子
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式
l
l
l
（一）引言
（1）何谓谐振子
d2x 2 kx dt
其解为 x = 简谐振动，
在经典力学中，当质量为 的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为：
2
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
2 d d 2 / 2 e / 2 e d d
其解为：ψ∞ =exp[±ξ2/2]
ξ2 >> ± 1
d d 2 d [ 2 1] 2 [ ] 2 d d d
量子力学第二章算符理论
量⼦⼒学第⼆章算符理论第⼆章（⼀维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算⼦出发，建⽴算符理论统⼀它们来处理「观测⾏为」，引⼊观测公设。
接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄⽶矩阵来描述⼒学量，引⼊算符公设。
之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易⼦、哈密顿算符等。
最后，作为对上述内容的综合应⽤，讨论了不确定性原理。
1.算符：每⼀个可观测量，在态空间中被抽象成算符。
在态空间中，观测⾏为被抽象为，某可测量对应的算符「作⽤」在态⽮量上①线性变换：线性代数告诉我们，⼀个线性变换「作⽤」到n 维向量上会获得⼀个新的n 维向量，这等价于⼀个n 阶⽅阵「作⽤」在n ⾏1列矩阵上得到新的n ⾏1列矩阵，⽤数学语⾔可表⽰为()Ta b T =?=αβ。
总之，⽅阵与线性变换⼀⼀对应。
由于⽅阵性质⽐矩阵更丰富，我们将只研究⽅阵。
②微分算⼦：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df 也可简写成f f f D Df 22,,,??。
前两种在解欧拉⽅程和⾼阶⽅程式时常⽤，后两种则经常出现在⽮量分析中。
简写法可看作是微分算⼦「作⽤」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是⼀种线性运算③本征值和本征⽮：在矩阵⽅程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征⽮④本征值和本征函数：在微分⽅程f f D mixµ=中，把µ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统⼀为线性算符理论。
考虑⼀个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征⽅程是ψ=ψλQ或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」，ψ称为算符的「本征态」（或本征⽮），ψ称为算符的「本征函数」（注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后⾯将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量⼦系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作⽤于系统粒⼦的态⽮量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值iλ。
量子力学第二章
ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数
1 2
1
2
2、连续解
ˆ F
3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分
d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin
a
2 a
y sin
a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin
a
y sin
a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
量子力学讲义：第二章-例题讲解
1.耦合谐振子的Hamilton量为工；）+ AXjX2 H= y-（+ P；）+ ^fna>2（x： +其中- '四=_谕白，P，=_滴白（2）OX A- dx2X|、Pl和名、P2分属于不同的自由度，设/t<〃Z©2,试求这耦合谐振子的能级。
解：如没有耦合项石内，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton量为H0 = H l+H2=^-pf + m（o2xf + 土°；+?"1况¥；⑶用分离变量法即可化成两个独立的-•维谐振子问题，能级和本征函数为E* 如=（弓+%+1）上。
（4）% （心易）=%,（而肱（工2）⑸%,仇=°，1，2, ........其中％（》）为一维谐振子的能量本征函数。
对于耦合振子，可以用坐标变换的办法将问题化成两个独立的一维谐振子问题。
令也=±°""）' "=去（凶一）‘2）（6）即"士（…）（&）蚌+云=弁+犬 工内=!（井一乂） a 2 a 2 a 2 伊 --- + --- = -- + ---dxf dx^ dyf dy}因此，Hamilton 量可以表示成容易证明当苴*生+_ 2m[dy ； + oy ； )+ ：〃以2（），《+）'；） + 务2一£）(8)其中+ }网将 +!，g ；y ；=^2 + —,CO ； = CD 1 -—tn」(9)式（8）正是两个独立谐振子（频率田，例）能量算符之和。
因此，能量本征值和本征函数为=（可+?力使膈2(10)on W N、形（凹，v2）=w*（乂）w/ y2）MM=0,l,2,…2. 利用Hermite 多项式的递推关系式和求导公式，证明d"!2-TV W 〃 (x) = %「(x) -(2〃 + \)甲〃(X)+ J(〃 + l)(〃 + 2)“ 心 2 (x)]ax^2 1-J" = 2〃…T （X ）+j 号板，Md （X ）xV ?J (x )= —!- 2aJn(n - l )w"_2(X )4- (2〃 + l)"〃(x) + yj(n +1)(/14- 2)^/J +2(x)]AdU ）- J 旦（X ）々*）=（—1）%尸") = !知“(x)= N“eYS 号H,0)=5* 加")+ 2电再)]=|N*FH Z (g) + (S)=g N n+l后罚…乩其)+ N“_\总次(£) =UP NZf (S) + 也N/S2H.T (§)=，捋(X)+ 由"妇(x)_____ ___________生Wn （X ）=-切"（X ）+ 乂 岑宾… d& d&=- （X ）+ J 号X H（X ）+ N,K"nHi （&）=_（*）+（X ）］ + N“_i y^~e ' 2 2〃H,,_i （S ） =（x ）+（X ）］ + 2*乂（§）必）=5（如牛g 〃（§）d 号皿（，）一 2g, （§） + 2儿％t （Q = OH 〃（号）=（一1）腿必d<S n_I3.求在一维常数虚势一iV(V«E)中运动的粒子的波函数。
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
2020/7/31
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
2020/7/31
2020/7/31
2020/7/31
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一维方势阱偶宇称能谱图
2020/7/31
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一维方势阱奇宇称能谱图
2020/7/31
2020/7/31
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
1/2 n!
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
2020/7/31
§2.5 一维谐振子
2020/7/31
§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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张永德教授量子力学讲义第二章（ＰＤＦ）
第二章dinger oSchr &&方程§2.1dinger oSchr &&方程dinger oSchr &&方程是非相对论量子力学的基本方程，是公设，其正确性只能由它导出的结论和实验是否符合来检验。
下面只是去理解它。
无外场的自由粒子波函数为())Et r p i Ce t r −⋅=rr hr ,ψ由于22p E m=v，这个()t r ,r ψ表达式显然满足下面形式的波动方程()()t r mptt r i ,2ˆ,2r r r hψψ=∂∂这就是自由微观粒子的dinger oSchr &&方程。
我们可以用一种简明的公设性程式，即“一次量子化”的方法直接“得到”这个方程：将经典物理学关于自由粒子能量的等式mp E 22r=，按以下对应替换为量子算符（2.1a ） 并将所得的量子算符方程作用到系统的状态波函数()t r ,rψ上即可。
对于有外场()r V r的情况，按经典物理学，系统的总能量为()r V mp E r r+=22。
为了转换到对应的量子系统，仍采用上述“一次量子化”的程式：（2.1b ） 再将所得到的算符方程作用到波函数()t r ,rψ上，就得到与此经典系统对应的量子系统的dinger oSchr &&方程：(2.2)这里用了方程()()()()t r r V t r r V ,,ˆˆr r r r ψψ=。
通常记()()Hr V mr V m p ˆ2222=+Δ−=+r h r ，称为这个量子系统的哈密顿量算符，简称为系统的哈密顿量。
于是非相对论量子系统dinger oSchr &&方程可写为(2.3) 其中()()r f r vv =0,ψ为给定的初始条件，如果需要再配以适当的边界条件，便是一个完整的非相对论量子力学问题。
这里应当指出三点： 第一， 这里“一次量子化”程式只是一种理解，不是严肃的逻辑论证。
量子力学第二章知识点
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
量子力学第2章-周世勋
必须注意
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设 （基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。
这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新 的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理 中截然不同的物理图像。
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (r,t)来描述，函数 (r,t) — 称为波函数。
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
i(PrEt)
P(r,t)Ae
de Broglie 波
p (r ) r ,td r cp ,tp p d p cp ,t
因此
C (P ,t) 1 (r,t)eiP ,rd3r
(2 )3/2
(r ,t) C (P )P (r ,t)d 3 P
即
(r,t)(21)3/2
C (P ,t)eiP rd3P
显然,二式互为Fourer变换式,所以
做替换：
E i t
即得Schrödinger方程
p i
i (tr ,t) 2 2 2 U (r ,t) (r ,t)
（6）
i (tr ,t) 2 2 2 U (r ,t) (r ,t)
一（、1微）观含粒有波子函运数动对方时程间应的具一阶有导的数特点(r,t)
t
（2）方程必为线性的
（3）质量为 的非相对性粒子(即低速运动的粒
子), 其总能为
EP2
U(r,t)
2
二、自由粒子的运动方程 P (r,t)(21 )3/2e i(P ,rE)t
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
量子力学课件第二章
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第二章
RETURN
16
三、 波函数的统计解释
1.粒子和波关系
两种错误观点： ①电子波是电子的某种实际结构，即电子是三
维空间连续分布的某种物质的波包。 ②波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的
疏密波。
电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念 中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波 动性中最本质的东西——波的“叠加性”。电 子是具有波粒二象性的物质客体。
13
电子的双缝衍射实验
P
s1
dq
q
S
电子源 s2 Q
D
B
以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S2到达P点的 电子波振幅
E1 E0 cost,
E2
E0
cos(t
2πd
sinq )
上图中光程差S2 Q=d sinq ,在P 点电子波振幅为
E
E1
E2
2E0
cos( πd
sinq ) cos(t
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
q Bh mc
(n 0,1, 2,L )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年）
电子枪
探测器
q
q
↕d
2d sinq k
11
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
量子力学-第二章-定态薛定谔方程
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt / * nm
nm
n
m
cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
（三）求解定态问题的步骤
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
n
(r ,
t
)
nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]
n
n
(erx)p(inE(rn)t
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x
量子力学第二章
i ( r , t ) A exp ( p r Et )
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是 相同的，这里的C是常数。因为在 t 时刻，空 间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之 2 2 比是： C ( r1 , t ) ( r1 , t )
波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 1 d 2 d 2 k k0 k k0 2 k k0 dk k 2 dk k
电子衍射实验
1、戴维逊-革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释， 从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获 得Nobel物理学奖。
实验装置：
入射电子注
θ
法拉第园 筒
镍单晶
实验现象：实验发现，单
( r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) (2) 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
(3)
描写的是什么样的波呢？
经典概念中
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
经典概念中 波意味着
我们再看一下电子的衍射实验
第二章 第一节 电子的轨道磁矩和自旋磁矩
பைடு நூலகம்
第一节 电子的轨道磁矩和自旋磁矩
所以
s
H
B
e 2m
e m2
自旋角动量： ps ss 1
在外场方向分量：
ps
H
ms
2
自旋磁量子数： ms = ±1/2
所以自旋磁矩与自旋角动量的关系为：
磁矩的绝对值等于 3B
2、计算原子总自旋角动量时，只考虑未填满次壳层中的电子。
3、电子总磁矩可写为： -g
e
p
p
2m
g称为磁力比因子。g=1， μ来源于轨道运动；g=2， μ来源于自
旋；1<g<2， μ来源于二者；
The end
令
B
e 2m
B 是玻尔磁子，大小为9.273×10-24A.m2，电子磁矩的基本单位。
所以
l ll 1B
➢ l＝0，即s态，pl＝0，μl ＝ 0（特殊统计分布状态） ➢ 如有外场，则pl 在磁场方向分量为：
pl H ml (不连续。ml 是磁量子数)
所以
l H
l cos
l
pl H
pl
l
s
H
e m
ps
H
因为方向相反，所以
s
e m
ps
s
ps
第一节 电子的轨道磁矩和自旋磁矩
其中： s
e m
为自旋磁力比，且： s
2 l
s
e m
ps
s
ps
ps ss 1
所以μs的绝对值：
s
ss 1 e 2
量子力学第二章波函数
第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。
这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。
例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。
我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。
量子力学第二章波函数和薛定谔方程 山东大学期末考试知识点复习
量子力学第二章波函数和薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习量子力学第二章波函数和薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习山东大学期末考试知识点述评第二章波函数和薛定谔方程1.微粒运动状态描述（1）波函数波函数ψ(r，t)是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性，实际体系的波函数满足平方可积条件，即（2）波函数的意义波函数的模平方给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。
因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件非标准化波函数可以通过乘以标准化因子进行标准化。
（3）波函数的性质波函数ψ(r，t)满足叠加原理，如果ψi(r，t)，i=1，2，…为微观粒子的可能状态，则这也是一种可能的状态。
山东大学期末考试知识点复习2.微态演化（1）薛定谔方程状态ψ(r，t)随时间演化满足薛定谔方程在…之间称为哈密顿算符，u(r，t)是势能，若已知初始状态ψ(r，0)，由薛定谔方程可求出任意时刻t的状态ψ(r，t)。
（2）连续性方程由薛定谔方程可以推出连续性方程在…之间称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率，连续性方程是概率守恒定律的定域表现。
(3)定态薛定谔方成若体系的哈密顿不显含时间，即势场u不含t时，薛定谔方程可以分离变量，得到定态波函数解其中e是能量本征值，ψe（R）是相应的本征函数，满足稳态薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习3.一维束缚稳态问题的描述（1）一维束缚定态问题由下面的方程和边界条件组成束缚态能量满足条件e<U（±∞). （2）束缚定态解的性质束缚定态中的能量取值不连续，形成能级，同一能级只对应一个本征函数，无简并现象，第n个能级en，n∈n对应的本征函数ψn(x)有n个内部零点(不包括边界)。
束缚态本征函数ψN（x）可以归一化，且归一化本征函数满足正交归一化本征函数集合具有完备性，任何平方可积函数ψ(x)都可以展开为归一化本征函数的线性组合，即其中膨胀系数为(3)典型实例：一维简谐振子一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势，其标准形式为在上述势场中，粒子作束缚运动，能级为山东大学期末考试知识点复习相应的本征函数为简谐振子的本征函数满足递推关系4.一维散射问题（1）问题描述以能量e>u(±∞)自左边向势场u(x)入射的粒子满足下面的方程和边界条件（2）问题的重要性(3)典型实例：粒子对方势垒的透射山东大学期末考试知识点述评能量为e的粒子入射到一个宽度为a，高度为u0的方形势垒反射系数和透射系数分别为。
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§2.1 波函数的统计解释
§2.1 波函数的统计解释
所以，我们假如换一个方式来做衍射实验，不 是 让许多电子同时穿过圆孔，而是将它们 一个一 个地射向圆孔 ( 如果阵低入射波强度，使通过实 验装置里的能量不超过 肿 ， 从粒子性角度 ，这 就意味着是一个一个地通过实验装置的 ) ，这时 情况如何呢 ?
2、波和它所描写的粒子之间的关 系
由上面的实验就可以看出，实验所显示出电子的波 动性是许多电子在同一实验中的统计结果，或是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的，而玻 恩正是基于此提出了波函数的统计解释。
根据对波函数的统计解释再看衍射实验： 粒子被晶 体反射后，描写粒子的波发生衍射，在 衍射图样中有许多衍射极大和衍射极小： ----- 在衍射极大的地方，波的强度大，每个粒子投 射到这里的概率也大，因而投射到这里的粒子多；
目 录
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 §2.9
波函数的统计解释 态叠加原理 薛定 谔方程 粒子流密度和粒子数守恒定律 定态薛定谔方程 一维无限深 方势阱 线性谐振子 势垒贯穿 例题
§2.1
波函数的统计解释
§2.1 波函数的统计解释
在上一章中我们已经看到，为了建 立新的描写微观粒子的理论，需要从由 实验揭示出的微观粒子的波粒二象性入 手。所以，我们首先需要对微观粒子的 运动有一个新的物理图像，既容许粒子 表现出波动的特性，又容许它们表现出 粒子的特性。
பைடு நூலகம்
4、波函数的性 质
量子力学中波函数的这种性质是其他波动过程（声 波、光波等等）所没有的。 对于声波、光波等，体系的状态随振幅的大小而改 变，如果把各处振幅同时加大为二倍，那么声或光 的强度到处都加大为四倍，这就完全是另一个状态 了。
§2.1 波函数的统计解释
• 5、波函数性质的数学表达
①概率密度 设波函数 x, y, z, t 描写粒子的状态，则在空间一 点
2
(2.1.1)
式中C是比例常数。
5、波函数性质的数学表达
• 以体积 d 除以概率 dW ，得到在时刻t 、在 x, y,
z
• 点附近单位体积内找到粒子的概率，称其为概
x ,,y ,,z ,t 2 率密 度，并以 dW w x , y z t 表示： w x, y , z , t = =C x, y, z , t d
2、波和它所描写的粒子之间的关 系
----- 在衍射极小的地方，波的强度很小或等于零， 粒子投射到这里的概率也很小或等于零，因而投射 到这里的粒子很少或者没有。
下围是一挺枪从远处不停向靶子扫射。枪和靶 子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条 键。 当只开辑 1 时，靶子上子弹的密度分布为 Pl 向 当 只开缝1 时，靶子上子弹的密度分布为 P2 例 。 当 双缝齐开时，经过缝 1和缝2 的子弹不相干的一粒 一 粒地打到靶子上，子弹的 密度分布简单的为
C=
d
2
(2.1.4)
5、波函数性质的数学表达
根据性质二，波函数乘上一个常数后并不改变在空 间各点找到粒子的概率，即不改变波函数所描写的 状态。现将(2.1.4)所确定的C开方后乘 ，并以 表示所得出的函数：
x, y , z , t C x, y , z , t 则波函数 和 所描写的是同一个状态。于是， 由(2.1.1)式，在时刻t 、在x, y, z 点附近体积元d
§2.1 波函数的统计解释
• 3、波函数描写微观体系的量子状态
已知描写微观体系的波函数后，由波函数振幅绝对 值的平方，就可以得出粒子在空间任意一点出现的 概率，而且由波函数还可以得出体系的各种性质， 因此，我们说波函数（也称概率幅）描写体系的量 子状态（简称状态或态）。 这种描写状态的方式和经典力学中描写质点（宏观 粒子）状态的方式完全不一样。
• 1、什么是波函数
① 自由粒子与平面波 可以用平面波来描写自由粒子以表示微观粒子（简
• 称粒子）的波粒二象性 平面波：频率和波矢不随 时间或位置改变 自由粒子：能量和动量不随时间 或位置改变 平面波的频率和波长与自由粒子的能量和动量由下 面的德布罗意关系式联系起来：
E hv
p
h
n k
§2.1 波函数的统计解释
• 对于一个微观粒子，怎样来描写它在某一个时刻的 运动状态呢？ • 在经典力学中，使用指明某时刻粒子的位置和动量 的办法来描写，但在量子力学中，这显然不行。因 为： a.粒子的波动性不能反映。 b.粒子轨道的概念这 里不能用（因粒子的位置和动 量不可能同时有确 定值）。
§2.1 波函数的统计解释
应对相
② 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波 来描写，而必须用较复杂的波来描写。
1、什么是波函 数 受到随时间或位置变化的力场的作用的粒子，其
③ 波函数：一般情况下，用一个函数来描写粒子的 波，该函数被称为波函数。 • 波函数是一个复数。 • 描写自由粒子的德布罗意平面波是波函数的一个 特例。
量子力学与统计物理
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第二章 波函数和薛定谔方程
本章目的
• 以实验所揭示出的微观粒子的波粒二象性为根据 引进描述微观粒子状态的波函数
• 讨论波函数的性质 • 建立非相对论量子力学的基本方程——薛定谔（ Schrö dinger）方程
• 把薛定谔方程应用到几个比较简单的力学体系中 ，求出方程的解和阐明这些解的物理意义
• y到y+dy、z到z+dz的无限小区域内找到粒子的概率 ， 则 • dW ∝这个区域的体积 d dxdydz 按照波函数的统计解释，在这个区域内一点找到粒 • ∝在这个区域内每一点找到粒子的概率 2 子的概率与 x, y, z, t 成比例，所以
dW x, y, z, t =C x, y, z, t d
(2.1.2)
5、波函数性质的数学表达
② 归一化 根据性质一，粒子在空间中各点出现的概率总和等 于1，将(2.1.1)式对整个空间积分，得到粒子在整个 空间中出现的概率，所以有：
C x, y, z , t d =1
1
2
(2.1.3)
式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分， 由(2.1.3)式有：
§2.1 波函数的统计解释
•• 2、波和它所描写的粒子之间的关系
• ① 一种观点：波是由它所描写的粒子组成的。
• 这种观点是否正确？ 按照这种观点，如果波真是 由它所描写的粒子所组 成，同时，衍射现象是由 波的干涉而产生的，则粒 子流的衍射现象应当是 由组成波的这些粒子相互作 用而形成的。 但是 ，该结论与粒子流衍射实验不符。
x, y, z, t 和时刻 t，波的强度为 =
*
2
。
*
表示
的共轭复数。
由于波函数有一定的空间延伸，因此不能把一个微 观粒子归结为一个严格的位置上；当人们进行位置 测量时，人们只能确定在空间一给定区域找到粒子 的概率。
5、波函数性质的数学表达
以
dW x, y, z, t 表示在时刻t 、在坐标x到x +dx、
由玻恩首先提出了波函数的统计解释，即： 波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值 的平方）和在该点找到粒子的概率成比例， 即描写粒子的波是概率波。 该解释被人们广泛接受。
2、波和它所描写的粒子之间的关 系 我们通过粒子流衍射实验来理解玻恩的解释：
----- 如果入射电子流的强度很大，即单位时间内有 许多电子被晶体反射，则照片上很快就出现衍射图 样； -----如果入射电子流强度很小，电子一个一个地从 晶体表面上反射，这时照片上就出点一个一个的点 子，显示出电子的粒子性。 开始时，看来是毫无规则地散布着； 随着时间延长，点子数目逐渐增多，在照片上 的分布就形成了衍射图样，这就显示了电子的波动 性。
在第三章将看到，当粒子处于某一量子状态时，它 的力学量（如坐标、动量等）一般有许多可能值， 这些可能值各自以一定的概率出现，这些概率都可 以由波函数得出。
§2.1 波函数的统计解释
• 4、波函数的性质
① 由于粒子必定要在空间的某一点出现，所以粒子 在空间中各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空 间中各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的 相对强度，而不决定于强度的绝对大小。 ② 如果把波函数在空间各点的振幅同时加大一倍， 并不 影响粒子在空间各点的概率，即：将波函数乘 上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
1
1
在底板上 豆 附近衍射花样的强度 也 在 r 附近感光点的数目 忧 电子出现在点 r 附近的几率
l
因此，电子呈现出来的波动性反映了微观客体运动的 「
海森堡首先注意到上述实验，井在他的 测不准原 理中作了解释。归纳起来，测不准原理就这个问题 的解释可以陈述为 ( 海森堡的 测不准原理 的一般性 讨论在后面介绍 ) : 一个过程如有两个以上的效果可供选择，那么， 一旦决定了采用其中某个选择，就破坏了各个可能 选择之间的 干涉。
3、波函数描写微观体系的量子状 态
在经典力学中，通常是用质点的坐标和动量（或速 度）的值来描写质点的状态。质点的其他力学量， 如能量，是坐标和动量的函数，当坐标和动量确定 后，其他力学量也就随之确定了。
3、波函数描写微观体系的量子状 态 量子力学中，不可能同时用粒子坐标和动量的确定
值来描写粒子的量子状态，因为微观粒子具有波粒 二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
2
满足(2.1.7)式的波函数称为归一化波函数， (2.1.7) 式称为归一化条件，把 换成 的步骤称为归一 化，使 换成 的常数 C 称为归一化因子。
5、波函数性质的数学表达
几点注意： ① 波函数在归一化后也还不是确定的； 用一个常 数 ei ( 是实常数)去乘波函数，这样既不 影响空间各点找到粒子的概率，也不影响波函数的 归一化 因为 则