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2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)

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2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题(解析版)

故答案为:10. 第1页共21页2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1.已知集合 A 1,0,3 , B {1,2,3},则 Al B ________________ 【答案】{3}【解析】由交集的定义AB ⑶，应填答案⑶.【答案】姮2【解析】由已知得 Z 2 1 i ,将其整理成 i1 Z -2 3. -i 2,即可求出模【详解】解:由题意知，Z 2 i2 i 1 i 1 3i 1 3. 1 i1 i 1 i22i 2所以：Z h 23 2尿V 222故答案为：.2【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模•本题的易错点在于化简时，错把i2计算• 3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为 12, 8, 10, 11, 的平均数为 ________【答案】10【解析】代入求解平均数的公式计算即可 【详解】解:平均数-12 8 10 11 9 10.5【点睛】 2 .已知复数Z 满足1 i Z2 i ,则复数Z 的模为当成了 1来9•则这组数• 2,0【解析】根据流程框图进行循环计算，跳出循环时b 的值即为所求 【详解】解:第一次循环:b 2,a 2；第二次循环:b 4,a 3•此时a 3不成立故答案为:4. 【点睛】本题考查了程序框图•对于循环结构是常考的题型，一般做法为根据框图，计算每次循环 的结果，注意,临界即跳出循环时的计算结果 •通常循环框图常和数列求和综合到一块 • 5 •在平面直角坐标系 XOy 中，已知双曲线χ2y 21的右焦点与抛物线2y 2px p 0的焦点重合，则 P 的值为 ______________ .【答案】2 2【解析】求出双曲线的右焦点2,0 ,令P\ 2即可求出P 的值•2【详解】 解双曲线c21 1 2,即右焦点为^2,0 .即抛物线y2 2px P 0的焦点为本题考查了平均数的计算•易错点为计算出错b 的值为所以^2'2 ,解得P 2丿2 .故答案为：2 2. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了抛物线的方程•易错点是误把P 当做了抛物线焦 点的横坐标•6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为 ________ . 【答案】0.4【解析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数 n 和这2只球颜色相同包含的基本 事件数m,由古典概型概率公式计算即可. 【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球.从中一次随机摸出2只球，基本事件总数 n= C I = 10, 这2只球颜色相同包含的基本事件个数m= C l C 2 = 4,m 4•••这2只球颜色相同的概率为 P= =0.4.n 10故答案为：0.4. 【点睛】本题考查古典概型概率的求法 ，考查运算求解能力，是基础题. 7 .现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为 1 ,高为4.若将它制作成一个总体积不变 的球，则该球的表面积为 ________ . 【答案】44 3 4【解析】 求出圆锥的体积，则由题意，设球的半径为r ,可得一r 3—,求出球的半径，进33而可求球的表面积. 【详解】4 3 4 2则4 r3 ,解得r「所以表面积为4 r 4故答案为：4 【点睛】本题考查了圆锥的体积，考查了球的体积，考查了球的表面积.结合方程的思想，根据题意 第3解:由题意知，圆锥的体积为-3I 2 4 ..设球的半径为r3页共21页求出球的半径•对于球的问题，一般都要首先明确半径的大小8.已知等比数列a n的前n项的和为S n ,aι 16 9®,则a3的值为__________________ .【答案】43【解析】由S6 9S3可得S3 q 1 9S3,进而可求出公比的值，即可求a s的值•【详解】解：S6 a1a2 a3 a°a§a6 d a? a? ^q3 a2q3a3q3S3 q3 1Q S6 9S3S3q3 1 9S3解得,q = 2 .所以a3 a^24.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和.等比数列问题，一般可采用基本量法进行求解，但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题，一般首先考虑利用性质简化计算.UiX r IrIJDr IJrill9.已知e ，∈2是夹角为60°的两个单位向量，a 3e∣2e? ， b 2e∣ ke? k R ，r r r且a (a b) 8则k的值为___________ .【答案】67【解析】由题意知；；b 3e1 2e23∈r1 2ee2 2e r1 ke r28 ,进而可求k的值.【详解】r r r r r r r r r r r r r解：a a b 3e 2e23e12e22e1ke23e12e2e1 2 k e23e⅛2 3k 8 6 & 2 2+k e2 3 3k 8 cos60o 2 2k 7k 11 8.2解得k 6.7故答案为：6.7【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题若题目中无向量的坐标，则在求数量积时，一般套用定义求解；若题目中已知了向量的坐标，求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系XOy中，已知圆C : x2y22x 8 0 ,直线6BC 【解析】由tan BADBC tanDACBAC ,可得BC613 15d 6 BC 1 - 13 15,进而l : y k X 1 ,k R 过定点A ,与圆C 交于点B, D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC 的周长为 ____________ . 【答案】5【解析】由题意得A(1,0),圆心为C 1,0 ,半径为r 3,由平行可知-EA ED ,化简后CB CD可得EA CE r ,进而可求三角形的周长• 【详解】解:当 X 1 时,y 0 与 k 无关则 A(1,0)∙圆 C :x2y 22x 8 x 1y 29所以，圆的圆心为C 1,0 ,半径为r 3.则由题意知,ED r CE故答案为:5. 【点睛】,考查了圆的标准方程•本题的关键在于，由平行得比例关 系•若联立直线与圆的方程，求解各点的坐标，这种思路也可以求出最后答案 ，但计算量太大•11.如图，已知两座建筑物 AB,CD 的高度分别为15m 和9m,且AB BC CD ,从 建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为 CAD ,测得tan CAD —,则B,C 间13可求B,C 间的距离.Q EA 与CB 平行EA ED 即EA 』 CB CD r r EA CE r则 AEC 的周长AC AE CEAC r 2 3 5.本题考查了直线过定点的问题 白勺距离 _____ m.【答案】12【详解】BC 解:由题意知tan BAD -AB CDBC~6^tan DAC BACBC 6tan DAC tan BAC 1 tan DAC tan BAC2BC239BC 180 0 ,解得BCBC6 j⅛,整理得1 -13 151512 或BC .Q BC CD 9， BC 122故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用•难点在于已知正切值的使用•有的同学可能由正切值求出正弦和余弦，结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解•由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大，因此这种思路计算量较大，效率不高而且容易做错•m12 •设曲线yx+1m 0在X t,t 1处的切线为I ,则点P 2t, 1 到I的最大距离为【答案】、.2【解析】求出切线方程为mx 2t 1 y 2mt m 0 ,从而则P 2t, 1 到I的距离可用t表示出来，结合基本不等式即可求解【详解】解:y'整理得mxd2 d22mt2mt2mt2则切线方程为0•则P2t,2m2 m2m41的距离2m,当且仅当1 2 即d 2.2m2t 1 2- 2t 1时等号成立【答案】{3,5} 第7页共21页【点睛】本题考查了切线的求解，考查了点到直线的距离，考查了基本不等式•求最值常见的思路 有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法 •本题的难点是对距离进行变形 整理•的取值范围是3【答案】三2【详解】5r ,t的情况•本题的难点是分界点能否取得的判断f k (x) InX 恰有3个不同的零点，贝U k 的取值集合为13.已知函数y c0s(3X) , Xt 5既有最小值也有最大值，则实数t【解析】由诱导公式可知3y cosSin X ,令 mX ,结合函数图像，讨论最大值为1和1两种情况2,进而求出 t的取值范围•解：y 3cos — 2Sin X 令m X •则由X -I t6可得Sin m, m•要使其既有最小值又有最大值若最大值为 13若最大值为 1,则t 2 ,解得t5•综上所述:-2 2故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式 ,考查了三角函数最值问题•本题的易错点是漏解,只考虑了最大值14. 已知函数f 1(x)X 1 , f k 1 (X) f 1(f k (X)) , k 5, k N•若函数【解析】由题意写出fι(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x)的解析式，根据图像的平移变换分别画出它们的图像，判断哪个函数图像与y In X图像有三个交点，即为所求.【详解】解:由题意知f1(x) X 1 , f2(x) IlX 1 I,f3(x) IIX 111,f4(χ) IIIlX 1 1 1 1,f5(χ) IIIlX 1111 1 •则其函数图像为∖r1*. 'I J. * I I i I . I I I I I 鼻⅛ n d I J i 2 ]■⅜ J < β 1 1 ]e4r/fL由图像可知，当k 3或5时,函数y f k(x) InX恰有3个不同的零点•故答案为：{3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换考查了函数的零点•若函数f(x) g(x) h(x),则函数f(x)的零点个数就等同于函数g(x), h(x)图像的交点个数•本题的难点是画含绝对值的函数图像•对于y f (x),首先画出y f(x)的图像,然后将X轴下方的图像向上翻折即可；对于y f(x)的图像,首先画出y f (x)的图像，然后将y轴右侧向左翻折、解答题15.在平面直角坐标系XOy中，设向量∖ 3sin x,sin X , cosx,sin X , X 0,(1)若a b ,求X的值；(2)求a b的最大值及取得最大值时X的值•5 3【答案】(1)或；(2)最大值一，X .6 6 2 3r r r r 1【解析】⑴求出∣a∣,∣b∣,由IalIbl可得ISi nx∣ ?,结合X [0,]可求出所求•r r 1⑵a b Sin 2x ,结合X [0,]和正弦函数的图像，即可分析出最值及取得6 2最大值时X的值•【详解】解：(1)因为a ( .3 sin x,sin x), b (cosx,sin x)所以∣a∣ 3sin2x sin2x 2∣si nx∣,∣b∣ . CQS X Si nx2 1r r 1因为∣a ∣ ∣b ∣,所以∣ Sinx∣ .因为X [0,],所以SinX 2（2）ab.3sin xcosxSin X Sin2x1 cos2x 1 Sin 2x 12 2 2 6 2因为X [0,],所以2x11, ,于；曰 1 . Sin 2x1 36 6 6 2 6 2 2所以当π π2x ,即X时，a b取最人值 36 2 3 2【点睛】本题考查了向量的模，考查了向量的数量积，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的最值•对于y ASin ωxφ型的函数，在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时，一般（2）平面EDB i ⊥平面B I BD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】⑴取B l D的中点F ,连OF l EF通过证明AC//EF从而证明线面平行.⑵通过AC BD ,B i B AC推出EF BB i, EF BD ,从而证明EF 平面B i BD , 进而可证面面垂直 . 【详解】证明：（1）在正方体ABCD A i B i C i D i中,设AC与BD相交于点0 ,则Q为BD的中点1取B i D 的中点F ,连OF, EF 所以QF∕∕BB i,QF -BB v2在正方体ABCD A i B i C i D i中，AA i∕∕BB i, AA i BB i.又点E是A i A的中点所以AE∕∕0F, AE OF .于是四边形AEFO是平行四边形从而AC//EF .又因为AC 平面EDB i ,EF 平面EDB i,所以AC//平面EDB i .A IB lC lD I中，E是棱A l A的中点.求证:都是采取整体的思想进行计算•⑵在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1B 平面ABCD ,而AC 平面ABCD ,所以B I B AC.又在正方体ABCD A I B I C I D I中，四边形ABCD为正方形所以AC BD.由⑴知，EF//AC ,于是EF BB-EF BD .又B1B 平面B l BD , BD 平面B1BD, B j B BD B ,所以EF 平面B1BD .又因为EF 平面EDB1 ,所以平面EDB1 平面B1BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了面面垂直的判定•线面平行或者面面平行的判定，一般都归结为证明线线平行；线面垂直或者面面垂直的判定，一般都归结为证明线线垂直•此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明，有时也可以建立空间直角坐标系，运用空间向量证明平行和垂直•2 217 .如图，在平面直角坐标系XOy中，已知代B两点分别为椭圆笃当1,a b 0a b的右顶点和上顶点，且AB , 7 ,右准线I的方程为X 4.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P ,交I于点Q若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程.2 2 _ _ _ _【答案】⑴仝y1;(2)、.3X y 2 3 0或3x y 2、、3 0.4 3【解析】(1)由右准线I 的方程为X 4以及AB 、、7可列出方程组2—4 Ca 2b 2 C 2解.a 2b 2得即可求出椭圆的方程 ⑵设PQ 的方程为y k(x 2),与椭圆方程联立，求出P 8k 264k 23 12k24k 2 3;联立y k(x 2) UUU 可得Q(4,2k),由OP OQ 可知OP X 4 IujOQ 0 ,从而可求出k,3 ,进而可求直线的方程• 【详解】 解:(1)设椭圆的焦距为 2c(c 0) •由题意得2-4 C2 ,2a b 2 2,解得a 4,b ■, a 2b 2■, 7C 2所以椭圆的标准方程为 (2)由题意得直线 PQ 不垂直于X 轴,设PQ 的方程为y k(x 2) y 联立x 2 4 k(x 2 y 3 2), 2 2 ,消y 得4k 3 X 1, 2 2 16k X 16k 12 0.又直线PQ 过点 A(2,0),则方程必有一根为 2则X P 8k 26 4k 23代入直线y k(x 2),得点 P 8k 26 4k 23 12k 产.联立 y k(xX 42),所以 Q(4,2k).又以PQ 为直径的圆过原点 ,所以OP OQ . IlJU UUir 8k 2 6 则OPOQ 4汁28k 2 24 4k 230 ,解得k 2所以直线PQ 的方程为.3x y 2-、3【点睛】本题考查了椭圆的准线方程，考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆相交问题，考查了向量的数量积•本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用 •一般若题目中已知圆过某 点,则一般等量关系为：圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直 18 •下图是一块平行四边形园地 ABCD ,经测量，EB 2.5m , FC 7.5m 时,EF 最短,其长度为 5. 3 .(3)当0 X 10,由二次函数的性质可求最值 ；当10≤x≤20时,由基本不等式可求最值【详解】1解:⑴当点F 与点C 重合时，由题设知，s BEC - S YABCD .41 1于是一EB h AB h ,其中h 为平行四边形AB 边上的高.2 41得EB -AB ,即点E 是AB 的中点.2⑵因为点E 在线段AB 上,所以0 X 20.当10≤ x≤20时,由(1)知点F 在线段BC 上.因为AB20m, BC 10m, ABC 120 所以 S Y ABCD AB BC SinABC 20 10 —100、3. 2AB 20m,BC 10m, ABC 120o•拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF (点将该园地分为面积之比为 3:1的左,X, EF y (单位：m).(2) 求y 关于X 的函数关系式; (3) 试确定点E,F 的位置，使直路EF 的长度最短.2 X 25x 25【答案】(1) E 是AB 的中点；(2)yχ2 10θ∞ 10010 X10;(3)当201【解析】(I)由S BE C S YABCD 41 1可知-EB h 4AB h,从而证明E 是AB 的中点. ⑵求出平行四边形的面积为 S YABCD100,3,进而可求S EBF 25 3 ,从而用X 可将BF 表示出来，利用余弦定理即可得到y 关于X 的函数关系式.当点F 与点C 重合时，试确定点 E 的位置; (1) F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度)，1由S EBF X BF sin1202 25 3得,BF .所以EBF中,由余弦定理得X得 CF 10 X .当 BE CF 时,EF .. 102 (2x 10)22 10 (2x 10) cos120当 BE CF 时,EF X 102(10 2x)22 10 (10 2x) cos60本题考查了函数模型的应用 ，考查了余弦定理，考查了基本不等式•本题的易错点是没有 讨论自变量的取值，从而造成了漏解•求最值时，常用的方法有：导数法、函数图像法、函数 单调性法、基本不等式法• 19.已知函数y f (X)的定义域为D ,若满足 X D,x f(x) f(x),则称函数f(χ)为’L 型函数”.(1)判断函数y e x 和y InX 是否为(L 型函数”，并说明理由；(2)设函数 f(x) (X 1)lnx (X 1)lna,a 0 ,记 g(x)为函数 f (x)的导函数• ①若函数 g(x)的最小值为1,求a 的值；②若函数 f(x)为“L 型函数 ”，求a 的取值范围.【答案】 (1) y e x不是,yIn X 是,理由见解析；(2)①a e ；②02a e . 【解析】(1)分别求出两个函数的定义域 ，判断 X D,xf(x) f (x)即可综上： 当E 距点B2.5m , F 距点C7.5m 时，EF 最短，其长度为5、. 3 .2X当且仅当X 2= 10000即X 10时，取等号 【点睛】y EFx 2100 X100.当0 X 10时,点F 在线段CD 上,由S 四边形EBCF-(X CF) 10 Sin60 2 25 3化简均为y EF 2 ∖ X 2 5x25.综上，y⑶当0 曰、【/是当X2 X 25x 2510χ210000100 X 210 X20X 10 时,y2 X 25x 2525 752 时,y min155、3,此时 CF 10 X当 10≤ x ≤20 时,y χ2 10000100 2,.'X 2X 210000100 10、3 X 22x 100 cos12010000所以由零点存在性定理得X 0 (1,a)使g X 00,又g(x)在(1,)上为增函数1⑵①求出g(x) f (x) InX 1 In a, x (O,),再求g (x),通过导数探究当 XX 取何值时，g(χ)取最小值，令最小值为1,即可求出a 的值•②由题意X (0, ),(X 1)f (X) (X 1)[(x 1)lnx (X 1)ln a] 0恒成立，分别讨论当0 a e 2和a e 2时,通过探究f(x)的单调性判断是否使得不等式恒成立，从而求出a 的取值范围.【详解】解:⑴对于函数y e x,定义域为R ,显然0 ee 0不成立，所以y e x 不是’L 型函数 对于函数y Inx ,定义域为(0,).当 0 X Hdlnx 0,所以(X 1)l nx 0,即 xlnx In X ; 当 X 1 时，Inx 0,所以(X 1)l nx 0,即 xl nx ln x . 所以 X (0,),都有xl nx Inx .所以函数y Inx 是型函数”.X 11⑵①因为 g(x) f (x) In XInaInX 1 Ina, x (0,)XX1 1 X 1所以g (x)22.当X (0,1)时，g(χ) 0所以g(x)在(0,1)上为减函数X X X当X (1,)时,g (x) 0,所以g(x)在(1,)上为增函数. 所以 g(x)min g(1) 2 In a .所以 2 In a 1,故 a e . ②因为函数f (x) (X 1)l nx (X 1)l na 为(L 型函数所以 X (0,),(x 1)f (x) (X 1)[(x 1)l nx (X 1)l n a] 0().(i)当 2 In a 0 ,即 0 a e 2时，由①得 g(x) 0,即 f (x) 0.所以f (X)在(0,)上为增函数,又 f (1) 0,当X (0,1)时,f (X) 0所以(X 1)f (X) 0；当 X [1,)时,f (x) 0,所以(X 1)f (X) 0.所以X (0,),适合()式.2 1(ii) 当 2 In a 0,即 a e 2时，g(1) 0,g(a) - 10.第15页共21页所以由零点存在性定理得X0 (1,a)使g X0 0,又g(x)在(1,)上为增函数所以当X 1,X o 时，g(x) 0,所以f (X)在1,X o 上为减函数又f(1) 0,所以当X 1,X o 时,f(x) 0,所以(X 1)f(x) 0,不适合()式. 综上得，实数a 的取值范围为0 a e 2∙ 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了函数的最值，考查了不等式恒成立问题.本题的难点在 于最后一问，学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题 20 .已知数列 a n 的首项为1,各项均为正数，其前n 项和为S n ,1设数列 b n 满足 b 1 1 , b n 1b n a n ,求证：- 2.、a n 1 i 1 b【解析】⑴令n 1,n2即可求出a 2 ,a 3的值;1当n 1时,-b 11•从而可证.【详解】【答案】(1)a 22,a 3 3;(2)证明见解析;(3)证明见解析.a n 1 a n ⑵由2 Sn —1 n an 1得2Sm a n a na n an —(n 2)两式相减进行整理可得 an 1 a n 1 a n a n a n 1(n ≥ 2),即可证明 a n 为等差数列. ⑶由⑵可知b n 1b n n , b n b n 1 n1(n 2)两式相减整理得 丄 b n 1 b n 1 (n 2),则b n1 丄丄丄b i b 1 b 2 b 3 1 丄 bib nbl b 2 b n b n 1 ,通过放缩即可证明；解:⑴令n 1得,2S∣a ? a 〔 a 2 a 1,又a 11,解得a 2 2；令n 2得,2S 2a 〔a 2,即 2a 1a 3 a 2a 22a 1a 32 ,从而a3 3.2S na n QnOW n N •(1) 求a 2,a 3的值;(2) 求证：数列 a n 为等差数列;(3)1a ∏ 1a ∏⑵因为2S ∏ a ∏ 1 a∏ ①;所以2S ∏ 1 Jn 2)② a∏ 1 a ∏①-②得,2a ∏ a ∏ 1a∏ a ∏ 1 a∏ a ∏a∏ 1 a ∏ a ∏ .因为数列 a ∏的各项均为正数，所以a ∏ 0.a ∏ 1 a ∏从而2 口 ∏ a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ 1去分母得,2 a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ a ∏ 1 a ∏ a ∏ 1 a ∏ 1 a∏ 1 a n 化简并整理得，a ∏a ∏1 2a ； a ∏a ∏ 0,即 2a ∏ a ∏ 1 a ∏1(∏ 2),所以 a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ι( n ≥ 2).所以数列 a n 为等差数列. (3)由(2)知,b ∏ 1b ∏ ∏ ③.当 ∏ 1 时,b 2b 1 1 ,又 b 1,所以 b 2 1.由③知,b ∏b ∏ 1 ∏ 1(∏ 2) ④.③-④得,b ∏1b ∏ b ∏b ∏ 1 1 (∏ 2)即b ∏b ∏ 1 b∏ 1 1(∏2),依题意,b ∏ 0 ,所以占b ∏ 1 b ∏ b ∏ 1(∏2).b 11 b2 b 3b∏1 b ib 3 b 1 b 4 b 2 b 5 b 3b ∏ b ∏ 2 b ∏ 1 b ∏1 b ibi b 2 b ∏ b ∏ 12.b ∏1b ∏12 a ∏ 1 ,当 ∏ 1时，11 ,原不等式也成立.b 1∏ 1综上得，- i 1 b 2云1 【点睛】 本题考查了由递推公式求项 ，考查了等差数列的定义，考查了放缩法，考查了数列求和.本 题难点在于整理出丄 b ∏ 1 b ∏1(∏ b ∏ 2),从而对所证式子进行化简.涉及到S n 和a ∏的递推公式时，一般代入公式a ∏S nT \进行求解. S n 1, n 2 21•已知 a，b R,若 M= ba3所对应的变换 TM 把直线2x-y=3变换成自身，试3求实数a, b.【答案】户■- J -- 【解析】【详解】 JC R = 十 αυ一 τ, = ⅛x + 3V.L*aμT 2x r-y f= l.∖2(-x+α})- (⅛x + 3y) = 3.即-一一 --_.■此直线即为-'-/ ■ .■- ■二—2 -口二 2.2C 7 — 3 二—1.则.-.22 •在极坐标系中，设P 为曲线C : 2上任意一点，求点P 到直线l : Si n-3的最大距离• 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程， 转化为求圆上的点到直线 I 距 离的最大值，求出圆心到直线 I 距离，即可求出结论. 【详解】 曲线C :2化直角坐标方程为 X 2 y 24表示圆,1 Sin— 3,- Sin 3 OCoS 3 ,322化为直角坐标方程为 ,3x y 6 0,6 圆C 上点P 到直线I 距离的最大值为 .【点睛】想，属于基础题本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值， 考查数形结合思设a b c 6 ,求证：.a bl ',厂2, 3 二.23 .设a, b, C为正实数,【答案】证明见解析2 2 2 2 2 2 2【解析】 根据柯西不等式 Xi% X 2y 2 X 3y 3 % X 2 X 3 y ι y 2 y 3 ,将原式进行配凑并结合已知条件 a b c 6加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a, b, C 为正实数，a b c 6，2 2所以,a . b 1 . c 2 .. a 1 ., b 11 . c 2 1a b 1 c 2 1 1 1 27于是λa ..尸 、、厂2, 3.3 ,当且仅当,a 、、L 、、厂2 ,即a 3，b 2，C 1时取等号，所以,a ..尸、、厂2, 3. 3 ,得证； 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题 24 •假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 P(O P 1).现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮 ,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰好用完3次投篮机会的概率是 -25(1)求P 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望E(X).3【答案】(1); (2)分布列见解析，期望为5【解析】 分析：(1)设事件A :恰用完3次投篮机会”则其对立事件 A ：前两次投篮均不应概率即可详解：(1)设事件A ：恰用完3次投篮机会”则其对立事件 A :前两次投篮均不中解得P 3.5(2)依题意，X 的所有可能值为0,1,2,3,213 125所以，PA 1 P A⑵X 的所有可能值为 250,1,2,3,计算其对依题意，PA 1 P A25，25所以m3 C k c ；k C ：k L点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现 关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算 25 •设 S 4k a 1 a 2 La 4k ( k N *),其中 ai 0,1( i 1,2,L ,4k ).当S 4k 除以4的余数是b ( b 0,1,2,3)时，数列a 1,a 2丄,a 4k 的个数记为m b .(1) 当k 2时，求m 1的值；(2) 求m3关于k 的表达式，并化简.2k 1【答案】(1) 64； (2)m 3 4【解析】(1) (1)根据定义，确定条件： 8个数的和除以4的余数是1,因此有1个1或5个1,其余为0,从而m C 8 C 564 ；(2)--:个数的和除以4的余数是3,因此有3个1,或7个1,或11个1,∙∙∙,或4k 1 个1 ,其余为0, m 3 C 43k CJ k Cr k L C4k 1,再根据组合数性质即可化简求值• 【详解】(1)当k 2时，数列a 1,a 2,a 3^L ,%中有1个1或5个1,其余为0, 所以 m C 8 C 8564 .(2)依题意，数列a 1, a 2,L ,a 4k 中有3个1,或7个1,或11个1,…， 或4k 1个1 ,其余为0,4k 1C4k第20页共21页X 的概率分布列为 数学期望E X24 ,125兰2竺3空空125 125 125 125至多”至少”等其他同理，得 m 1 C 41k C 45k C49kL C 44k k 3因为 C 4ik C 44k k ii 3,7,11,L ,4k 1 ，所以 m 1 m 31 3 9 4k 3 4k 1 4k 1m 3 C 4kC 4k C 4k L C 4k C 4k 2点睛】 本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题所以 m 34k 224k 22k 14。

江苏省海安高级中学2020届高三阶段测试数学试题含答案

江苏省海安高级中学2020届高三阶段测试数学试题含答案

江苏省海安高级中学2020届高三阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若UA ={1，2，5}，则集合A = ▲ ．2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ．4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．（第4题）10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为18AC AB CB ，向量(tan tan sin 2)A B C ,m 和(1cos cos )A B ,n是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．C1（第12题）C（第16题）AOBPQMN （第17题）17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y abab 过点(1，其离心率．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】35 6. 【答案】y ＝±3x 7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】7910. 【答案】1 24011. 【答案112. 【答案】913．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)AB C ，m和(1cos cos )A B ，n 是共线向量， 所以cos cos tan tan sin 20A B ABC， ……2分即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC ，所以sin C >0，从而1cos 2C，π.3C……6分 （2）218AC AB CB AC BCBAAC ，于是AC 32. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ，即1π32sin 23CB ，解得6 2.CB …… 11分在△ABC 中，由余弦定理得2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C所以3 6.AB…… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，故EF //平面P A D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面P A C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y ； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y 得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()02020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02y y x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+，所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x(0，1)1(1，＋∞)故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分（3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分。

江苏省海安中学2020届高三阶段测试三数学试题含附加题解析版

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海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1UA =，2，4}，则集合A = ．解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1UA =，2，4}，则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+-213i i =+-=-，||z ∴=，3．已知一组数据123,,,n a a a a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c b a a =+=，所以3ba =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A==，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x+-+=，∴22221212(1)401010x x x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩， 解得21x+．因此实数x1．1．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， ∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A ADV V SAB --==111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c 的值为 ．解：可设ABa =，BCb =，CAc =，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =，可得sin B =同理可得sin C =由正弦定理可得2sin1355==︒ 即有210||5c =，25||5a =， 则2102524||||cos455525a c c a =︒==．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ． 解：对于①()22x g x =-，当1x <时，()0g x <，又①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x mx m ∴=-++<在1x 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x < ∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为，且()18AC AB CB -=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ． 解：（1）//m n ，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=，sin 2sin cos C C C ∴= sin 0C ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈ ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=得：2()18AC AB BC AC +==，∴113sin 3293222b ab C a ====∴a =2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且AB =1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ． 又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQEQ Q =，所以平面//EQF 平面PAD ．因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为AB ，E 为AB 的中点．所以DA CDAE DA= 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km ．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为r a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以/h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >．=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y xx y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴AB ==即水上旅游线AB 的长为． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC =，102t，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+--，当且仅当1(0,]2t 时等号成立，所以，在048a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，其左、右焦点分别为1F 、2F，离心率为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．()i 求证：OP OM 为定值；()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得2213122a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y y MA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+，则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++为定值； ()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k-++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数， 则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． （2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -，则()0a f x lnx x '=-，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e -时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +． 又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x ．111()022x F x x x x -'=-=， 所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x ．1()10G x x'=-， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩ 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=．22．已知实数a ，b 满足||2a b +，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++． 证明：由||||||2b a a b -+，可得||||2b a +，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++，即证|2|2(||2)a b a -++， 由于|2|||||2a b a b -+++，即证||||22(||2)a b a +++， 即为||||2b a +，显然成立．故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=，且向量PC 与BD ． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=， 可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=，2，2)-，(1BD =-，2，0)，向量PC 与BD ．4814+=+，解得10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =，2，2)-，(0PD =，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =，y ，)z ． 则0n PC =且0n PD =，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =，1，1)．又(1PB =，0，2)．故cos ,||||n PB n PB n PB <>==-．直线PB 与平面PCD ．24．已知数列{}n a 的通项公式为]n nn a -，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()())222nn nn n C C C +++=++⋯+- 122151515(()())]222nn nn n C C C ---++⋯+(1]n n=+-+]n n =-， 即有151S ==；2353S ==；（2）]n nn S =-，222]]n n n n n S +++=-=-1]3n nn n S S +--=-， 即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。

2020届南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题

2020届南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题

15 .Q BC
CD
9，
BC 12
2
故答案为 :12.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换的应用 .难点在于已知正切值的使用 .有的同学可能由正切值求
出正弦和余弦 ,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解 .由于本题所给的正切值求出
的正弦余弦值数比较大 ,因此这种思路计算量较大 ,效率不高而且容易做错 .
m
2
kl
x1
m
m
t
2
1
则切线方程为
y
t
1
m 2x t
t1
2
整理得 mx t 1 y 2mt m 0 .则 P 2t, 1 到 l 的距离
2
2
2mt t 1 2mt m
d2
2
4
m t1
4
t1
m2
2m t
2
1
m2
4
t1
1
2m
2
t1
m2
2
t1
2
Qt 1
m2
2
t1
2
2m ,当且仅当 t 1
m2 2即t 1
t1
2,0
p
所以
2
2 ,解得 p 2 2 .
故答案为 : 2 2 .
【点睛】 本题考查了双曲线的标准方程 ,考查了抛物线的方程 .易错点是误把 p 当做了抛物线焦 点的横坐标 .
6．已知一个口袋中有形状、大小都相同的
5 只球，其中 3 只白球， 2 只红球．从
中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色相同的概率为 ____ ．
【解析】 (1)求出 | a |,| b | ,由 | a | | b | 可得 | sin x |

江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题含解析

江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题含解析

2020届高三阶段性检测试题数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚. 参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.球的体积公式343V R =π球，球的表面积公式24S R π=球，其中R 为球的半径. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =_________.【答案】{3} 【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}．2.已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.【答案】102【解析】 【分析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+所以223211022z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:102. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】代入求解平均数的公式计算即可. 【详解】解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错. 4.如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4【解析】 【分析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求.【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4.【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______.【答案】【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点),令2p=即可求出p 的值.【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为).即抛物线()220y px p =>的焦点为)所以2p=,解得p =.故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可．【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为0.4．【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π 【解析】 【分析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积244r ππ=.故答案为:4π.【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8.已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.9.已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且a ⋅()8ab -=则k 的值为_______.【答案】67- 【解析】 【分析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=,进而可求k 的值.【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=. 解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意得1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长.【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++=所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-= EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5.【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11.如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12 【解析】 【分析】由()tan tan 6BC BAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.【详解】解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BACBCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC =.9BC CD >=，12BC ∴=故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错. 12.设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______.【解析】 【分析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++ ()()222121m t m t ++≥+,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =± 时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理. 13.已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】 【分析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为:31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14.已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______. 【答案】{3,5} 【解析】 【分析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求.【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15.在平面直角坐标系xOy 中，设向量()()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）求a b ⋅的最大值及取得最大值时x 的值. 【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】 【分析】(1)求出||,||a b ,由||||a b =可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求. (2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值.【详解】解:(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x == 所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+=因为||||a b =,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π. (2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+311sin 2cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行.(2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直.【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =.在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程.【答案】(1)22143x y +=0y --=0y +-=.【解析】 【分析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及AB =可列出方程组22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,从而可求出k =进而可求直线的方程.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==.所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=.又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+. 代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k .又以PQ 为直径的圆过原点,所以OPOQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++,解得23k =,所以3k =±. 所以直线PQ 的方程为3230x y --=或3230x y +-=.【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.18.下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=.拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为53.【解析】 【分析】 (1)由14BEC ABCD S S ∆=可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点. (2)求出平行四边形的面积为1003ABCDS=,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCDS S ∆=.于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以sin 20102ABCDSAB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=.由1sin1202EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得y EF ===当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF =当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =,此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x ，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为.【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19.已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值； ②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤.【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可. (2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数xy e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数;当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(*). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x <所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合(*)式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数 所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合(*)式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20.已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i n b b b b b b b b b b +==++++=--++∑,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =. (2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n nb b n b +-=-≥.当2n ≥时,112311111ni inb b b b b ==++++∑ 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-12111n n b b b b b +=--++ 121n n b b +≥-21n a =-,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立.综上得,1121nn i ia b =≥-∑. 【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21～23题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.21.已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】【解析】 【详解】设则即此直线即为则..22.在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5 【解析】 【分析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论.【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，13sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 360x y -+=，圆C 上点P 到直线l 2225(3)1+=+.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23.设a,b,c 为正实数，6a b c ++=1233a b c ++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据柯西不等式()()()2222222112233123123x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑并结合已知条件6a b c ++=加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a,b,c 为正实数，6a b c ++=，所以)22111=+ ()()1211127a b c ≤++++++=33，当且仅当==，即3a =，2b =，1c =时取等号，33，得证；【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .【答案】（1）35；（2）分布列见解析，期望为213125． 【解析】分析：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 所以, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=(2) X 的所有可能值为0,1,2,3,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=， 解得35p =. (2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3,且()()240125P X p ==-=, ()()211P X p p ==- ()()2411125p p p +--=， ()3273125P X p ===， 故()()210P X P X ==-= ()()5413125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望()242125E X =+⨯ 54272133125125125+⨯=. 点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.25.设4124k k S a a a =+++（*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a 的个数记为()m b ． （1）当2k =时，求()1m 的值；（2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．【答案】（1）64；（2）()2134k m -=【解析】分析】 （1）（1）根据定义，确定条件：8个数的和除以4的余数是1，因此有1个1或5个1，其余为0，从而158864m C C =+=；（2）个数的和除以4的余数是3，因此有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，()37114144443k k k k k m C C C C -=++++，再根据组合数性质即可化简求值. 【详解】（1）当2k =时，数列123,,,,n a a a a 中有1个1或5个1，其余为0，所以158864m C C =+=． （2）依题意，数列124,,,k a a a 中有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，所以()37114144443k k k k k m C C C C -=++++．同理，得()1594344441k k k k km C C C C -=++++． 因为()4443,7,11,,41i k i k k C C i k -==-，所以()()13m m =．又()()13943414144444132k k k k k k k km m C C C C C ---+=+++++=， 所以()4221324k k m --==【点睛】本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题.。

江苏省海安中学2020届高三阶段测试三数学试题含附加题原卷版

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海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}，则集合A = ． 2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 3．已知一组数据123,,,n a a a a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，2+1n a 的方差为_____.4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ． 9．在锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ． 10．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若*3(1)()n n S na n n n N =--∈，且211a =，则20S 的值为 ． 11.设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．13．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c 的值为 ．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为，且()18AC AB CB -=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ．如图，四棱锥P ABCDBC=，E，F分别为AB，PC中-的底面为矩形，且AB=1点．（1）求证：//EF平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE．17．（本小题满分14分）如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan3=，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km．现MONOA km∠=-，6要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成th时的半径为r a=为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，其左、右焦点分别为1F 、2F． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM 为定值；()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．22．已知实数a ，b 满足||2a b +…，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++…．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若D C A B λ=，且向量PC 与BD ． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．24．已知数列{}n a 的通项公式为]n nn a -，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．。

2020届江苏省海安高级中学高三上学期阶段性测试(三)数学试题(解析版)

2020届江苏省海安高级中学高三上学期阶段性测试(三)数学试题(解析版)

绝密★启用前江苏省海安高级中学2020届高三年级上学期阶段性测试(三)数学试题(解析版)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =,2,3,4,5},若{1U A =ð,2,4},则集合A = ． 解：全集{1U =,2,3,4,5},若{1U A =ð,2,4},则集合{3A =,5}．故答案为：{3,5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位）,则z 的模为 ．解：Q 复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位）,21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+- 213i i =+-=-,||9110z ∴=+=,故答案为：10．3．已知一组数据123,,,n a a a a L 的平均数为a ,极差为d ,方差为2S ,则数据12+1a ,22+1a ,32+1a ,L 2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码,可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯． 故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0,则0不只能排在百位,从1、3、5中选两个数字之一排在百位,共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2,从1、3、5中选两个数字全排列,共有233318C A =种； 故共有121830+=种．故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中,若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为10则双曲线C 的渐近线方程为 ． 解：因为22()1()10c b a a=+=,所以3b a =,所以渐近线方程为3y x =±． 故答案为：3y x =±．7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象,则()4f π的值为 ． 解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象, 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象, 故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=,则()4sin 442f ππ==, 故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数,且2(3)f x x f -+（2）0>,。

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含附加题(解析版)

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含附加题(解析版)

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含附加题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知集合A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，则A ∩B 中元素的个数为 ．2．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为 ．3．从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b ，则a ≤b 的概率为 ．4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．6．若“|x ﹣1|＜3”是“（x +2）（x +a ）＜0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．7．已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）．8．函数f （x ）＝sin 2x +sin x cos x +1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，﹣1），B （﹣3，﹣4）两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||OC|=√10，则点C 的坐标是 ．9．【详解详析】由题意OA →=（0，﹣1），是一个单位向量，由于OB →=（﹣3，﹣4），故OB →方向上的单位向量e →=（−35，−45），∵点C 在∠AOB 的平分线上，∴存在实数λ使得OC =λ（OA →+e →）＝λ（−35，﹣1−45）＝λ（−35，−95）， ∵||OC|=√10，∴λ2×（925+8125）＝10，解得λ=53代入得得OC =（﹣1，﹣3）故答案为：（﹣1，﹣3）10．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为 ．11．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°．BC ＝2，则AB 的取值范围是 ．11．【详解详析】方法一：如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°，∴设AD =12x ，AE =√22x ，DE =√6+√24x ，CD ＝m ， ∵BC ＝2，∴（√6+√24x +m ）sin15°＝1， ∴√6+√24x +m =√6+√2，∴0＜x ＜4，而AB =√6+√24x +m −√22x =√6+√2−√22x ， ∴AB 的取值范围是（√6−√2，√6+√2）．故答案为：（√6−√2，√6+√2）．方法二：如下图，作出底边BC ＝2的等腰三角形EBC ，B ＝C ＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB 、EC 于A 、D ，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形； 当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为√6−√2；②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为√6+√2；故答案为：（√6−√2，√6+√2）．12．已知函数f （x ）={ x +2，x ＞−12，−x −12x ，−√22＜x ≤−12√2，x ≤−√22.，若f （t ）≥f （1t ），则实数t 的取值范围是 ． 12．【详解详析】根据函数f （x ）的解析式作出其图象，如图所示．①当x ＞−√22时，f （x ）是增函数， 若f(t)≥f(1t )，则{t ≥1t 1t ＞−√22，解得：﹣1≤t ＜0或t ≥1；②当x ≤−√22时，t （x ）=√2， 若f(t)≥f(1t )，则{a ≤−√221t ≤−√22，解得：−√2≤t ≤−√22； 综上①②所述，实数t 的取值范围是[−√2，0)∪[1，+∞)故答案为：[−√2，0)∪[1，+∞)．13．在平面直角坐标系中，点集A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，B ＝{（x ，y ）|x ≤4，y ≥0，3x ﹣4y ≥0}，则点集Q ＝{（x ，y ）|x ＝x 1+x 2，y ＝y 1+y 2，（x 1，y 1）∈A ，（x 2，y 2）∈B }所表示的区域的面积为 ．13．【详解详析】由x ＝x 1+x 2，y ＝y 1+y 2，得x 1＝x ﹣x 2，y 1＝y ﹣y 2，∵（x 1，y 1）∈A ，∴把x 1＝x ﹣x 2，y 1＝y ﹣y 2，代入x 2+y 2≤1，∴（x ﹣x 2）2+（y ﹣y 2）2≤1点集Q 所表示的区域是以集合B ＝{（x ，y ）|x ≤4，y ≥0，3x ﹣4y ≥0}，的区域的边界为圆心轨迹半径为1 的圆内部分，如图其面积为：5+6+4+3+π＝18+π故答案为：18+π．14．设函数f（x）＝（2x﹣1）e x﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f(x)=2cos x2(√3cos x2−sin x2)．（1）设θ∈[0，π]，且f（θ）=√3+1，求θ的值；（2）在△ABC中，AB＝1，f（C）=√3+1，且△ABC的面积为√32，求sin A+sin B的值．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF=12AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．17．（14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E＝cv n T，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一点P （m ，n ）的直线mx a 2+ny b 2=1与圆x 2+y 2＝a 2交于A ，B 两点，且OA =√2．（1）求PF 1+PF 2的值；（2）若AB →•F 1F 2→=83，求m ，n 的值． 19．（16分）已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ．（1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）；（2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N *）上恰有2015个零点，求k 的值．20．（16分）已知正整数λ，μ为常数，且λ≠1，无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，且S n ＝λa n ﹣μ．n ∈N *．记数列{a n }中任意不同两项的和构成的集合为A ．（1）求证：数列{a n }为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A ，求μ的值；（3）已知m ≥1，求集合{x |3μ•2n ﹣1＜x ＜3μ•2n ，x ∈A }的元素个数．【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵A =[cosθ−sinθsinθcosθ]（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B =[100k ]（0＜k ＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为[0−1120]，求k ，θ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知A （1，π3），B （9，π3），线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及△ABC 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a ，b 满足|a +b |≤2，求证：|a 2+2a ﹣b 2+2b |≤4（|a |+2）．24．（10分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO ．（1）若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．25．（10分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ；（2）求恰好得到n （n ∈N *）分的概率．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．【详解详析】∵A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，∴A ∩B ＝{﹣1}，∴A ∩B 中元素的个数为1．故答案为：1．2．【详解详析】∵z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i ，∴z 1•z 2＝（1﹣2i ）（a +2i ）＝a +4+（2﹣2a ）i ，又z 1•z 2是纯虚数，∴{a +4=02−2a ≠0，解得：a ＝﹣4． 故答案为：﹣4．3．【详解详析】从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，共有3×3＝9种，因为a ＞b 的取法只有一种：a ＝3，b ＝2，所以a ＞b 的概率是19， 所以a ≤b 的概率是1−19=89． 故答案为：89．4．【详解详析】根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400＝100（件）． 故答案为：1005．【详解详析】模拟执行伪代码，可得：S ＝0+11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故答案为：1011．6．【详解详析】根据题意，由于命题A ：|x ﹣1|＜3，得到﹣2＜x ＜4，命题B （x +2）（x +a ）＜0，A 是B 的充分而不必要条件则说明A 是B 的真子集，那么可知集合B ：﹣2＜x ＜﹣a ，则可知参数a ＜﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4）．7．【详解详析】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，高为h∵圆锥的母线长为l ＝5，侧面积为15π，∴π×l ×r ＝15π，解之得底面半径r ＝3因此，圆锥的高h =√l 2−r 2=4∴圆锥的体积为：V =13πr 2h =13×π×9×4＝12π故答案为：12π8．【详解详析】化简可得f （x ）＝sin 2x +sin x cos x +1=12（1﹣cos2x ）+12sin2x +1=√22sin （2x −π4）+32， ∴原函数的最小正周期为T =2π2=π， 由2k π+π2≤2x −π4≤2k π+3π2可得k π+3π8≤x ≤k π+7π8， ∴函数的单调递减区间为[k π+3π8，k π+7π8]（k ∈Z ） 故答案为：π；[k π+3π8，k π+7π8]（k ∈Z ） 9．【详解详析】由题意OA →=（0，﹣1），是一个单位向量，由于OB →=（﹣3，﹣4），故OB →方向上的单位向量e →=（−35，−45）， ∵点C 在∠AOB 的平分线上，∴存在实数λ使得OC =λ（OA →+e →）＝λ（−35，﹣1−45）＝λ（−35，−95）， ∵||OC|=√10，∴λ2×（925+8125）＝10，解得λ=53代入得得OC =（﹣1，﹣3）故答案为：（﹣1，﹣3）10．【详解详析】由S 2＝a 1+a 2＝2a 2﹣3×2（2﹣1），a 2＝11，可得a 1＝5．解法1：当n ≥2时，由a n ＝S n ﹣S n ﹣1，得a n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）﹣[（n ﹣1）a n ﹣1﹣3（n ﹣1）（n ﹣2）]， ∴（n ﹣1）a n ﹣（n ﹣1）a n ﹣1＝6（n ﹣1），即a n ﹣a n ﹣1＝6（n ≥2，n ∈N *），∴数列{a n }是首项a 1＝5，公差为6的等差数列，∴S 20＝20×5+20×192×6＝1240．解法2：当n ≥2时，由S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）＝n （S n ﹣S n ﹣1）﹣3n （n ﹣1），可得（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝3n （n ﹣1），∴S n n −S n−1n−1=3， ∴数列{S n n }是首项S 11=5，公差为3的等差数列，∴S 2020=5+3×19＝62，∴S 20＝1240．11．【详解详析】方法一：如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°，∴设AD =12x ，AE =√22x ，DE =√6+√24x ，CD ＝m ， ∵BC ＝2，∴（√6+√24x +m ）sin15°＝1， ∴√6+√24x +m =√6+√2，∴0＜x ＜4，而AB =√6+√24x +m −√22x =√6+√2−√22x ， ∴AB 的取值范围是（√6−√2，√6+√2）．故答案为：（√6−√2，√6+√2）．方法二：如下图，作出底边BC ＝2的等腰三角形EBC ，B ＝C ＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB 、EC 于A 、D ，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形； 当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为√6−√2；②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为√6+√2；故答案为：（√6−√2，√6+√2）．12．【详解详析】根据函数f （x ）的解析式作出其图象，如图所示．①当x ＞−√22时，f （x ）是增函数， 若f(t)≥f(1t )，则{t ≥1t 1t ＞−√22，解得：﹣1≤t ＜0或t ≥1；②当x ≤−√22时，t （x ）=√2， 若f(t)≥f(1t )，则{a ≤−√221t ≤−√22，解得：−√2≤t ≤−√22； 综上①②所述，实数t 的取值范围是[−√2，0)∪[1，+∞)故答案为：[−√2，0)∪[1，+∞)．13．【详解详析】由x ＝x 1+x 2，y ＝y 1+y 2，得x 1＝x ﹣x 2，y 1＝y ﹣y 2，∵（x 1，y 1）∈A ，∴把x 1＝x ﹣x 2，y 1＝y ﹣y 2，代入x 2+y 2≤1，∴（x ﹣x 2）2+（y ﹣y 2）2≤1点集Q 所表示的区域是以集合B ＝{（x ，y ）|x ≤4，y ≥0，3x ﹣4y ≥0}，的区域的边界为圆心轨迹半径为1 的圆内部分，如图其面积为：5+6+4+3+π＝18+π故答案为：18+π．14．【详解详析】令g （x ）＝（2x ﹣1）e x ，h （x ）＝a （x ﹣1），∵g '（x ）＝（2x ﹣1）e x +2e x ＝（2x +1）e x ，∴当x ＜−12时，g '（x ）＜0，则函数g （x ）在（﹣∞，−12）上单调递减；当x ＞−12时，g '（x ）＞0，则函数g （x ）在（−12，+∞）上单调递增；而g （﹣1）＝﹣3e ﹣1，g （0）＝﹣1；因为存在唯一的整数x 0使得f （x 0）＜0．即（2x 0﹣1）e x ＜a （x 0﹣1）．所以结合图形知：{a ＞0g(−1)≥ℎ(−1)−1＜ℎ(0)＜0或{ℎ(2)＞g(2)ℎ(3)＜g(3) 即：{a ＞0−3e −1≥−2a −1＜−a ＜0或{a ＞3e 22a ＜5e 3 解得32e ≤a ＜1或3e 2＜a ＜52e 3； 故答案为：[32e ，1）∪(3e 2，52e 3)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【详解详析】（1）f（x）=√3•2cos2x2−sin x=√3cos x﹣sin x+√3=2cos（x+π6）+√3，由f（θ）=√3+1，∴2cos（θ+π6）+√3=√3+1，∴cos（θ+π6）=12．∵θ∈[0，π]，∴（θ+π6）∈[π6，7π6]，∴θ=π6．（2）由f（C）=√3+1，C∈（0，π），由（1）可得：C=π6．由△ABC的面积为√32，∴√32=12ab sinπ6，∴ab＝2√3．由余弦定理可得：1＝a2+b2﹣2ab cosπ6，可得：a2+b2＝7，联立解得：a＝2，b=√3；或b＝2，a=√3．∴a+b＝2+√3．∴sinAa =sinBb=sinCc=12．∴sin A+sin B=12（a+b）＝1+√32．16．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴O是AC中点，∵G为BC的中点，∴OG∥AB，∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，O是AC中点，∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF=12AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面BDE ．17．【详解详析】（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小于4km /h ，即为v ﹣4， 则200T=v ﹣4，即T =200v−4，（v ＞4）；（2）①当能量次级数为2时，由（1）知，v ＞4， E ＝200c ⋅v 2v−4=200c ⋅[(v−4)+4]2v−4=200c •[（v ﹣4）+16v−4+8]≥200c [2√(v −4)⋅16v−4+8]＝3200c ，当且仅当v ﹣4=16v−4，即v ＝8km /h 时取等号， ②当能量次级数为3时，由（1）知，E ＝200c •v 3v−4，v ＞4，则E ′＝200c •2v 2(v−6)(v−4)2，由E ′＝0，解得v ＝6，即当v ＜6时，E ′＜0，当v ＞6时，E ′＞0，即当v ＝6时，函数E 取得最小值为E ＝21600C ． 18．【详解详析】（1）∵OA =√2，∴a =√2． ∵把点P （m ，n ）代入直线方程mx a 2+ny b 2=1，可得：m 2a 2+n 2b 2=1，∴点P 在椭圆上， ∴PF 1+PF 2＝2a ＝2√2．（2）由a =√2，c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立{x 2+y 2=2mx 2+ny =1，化为：（4n 2+m 2）x 2﹣4mx +4﹣8n 2＝0，∴x 1+x 2=4m4n 2+m 2，x 1x 2=4−8n 24n 2+m 2．∵AB →•F 1F 2→=83，∴（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）•（2，0）=83， 化为2（x 2﹣x 1）=83，即x 2﹣x 1=43，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=169，代入可得：16m 2(4n 2+m 2)2−4(4−8n 2)4n 2+m 2=169，化为：56n 4+10n 2m 2﹣36n 2﹣m 4＝0， 又m 22+n 2=1，把m 2＝2﹣2n 2代入化为8n 4﹣2n 2﹣1＝0， 联立解得m 2＝1，n 2=12．∵点P 在第二象限， ∴取m ＝﹣1，n =√22． 19．【详解详析】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ＝a √1+|sin2x|−sin2x ﹣1＝a √1+|sin2x|−（sin2x +1）， 令t =√1+|sin2x|，t ∈[0，√2]， ∴y ＝at ﹣t 2＝﹣（t −12a ）2+14a 2， ①12a ≤0时，在t ＝0处，y max ＝0， ②0＜12a ＜√2时，在t =12a 处，y max =14a 2，③12a ≥√2时，在t =√2处，y max =√2a ﹣2．（3）当a ＝1时，f （x ）=√1+|sin2x|−sin2x ﹣1， ∵当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为π2，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008．20．【解答】（1）证明：∵S n ＝λa n ﹣μ．当n ≥2时，S n ﹣1＝λa n ﹣1﹣μ， ∴a n ＝λa n ﹣λa n ﹣1，λ≠1，∴a na n−1=λλ−1，∴数列{a n }为等比数列，∵各项均为正整数，则公比λλ−1=1+1λ−1为正整数，λ为正整数， ∴λ＝2．（2）解：由（1）可得：S n ＝2a n ﹣μ，当n ＝1时，a 1＝μ，则a n ＝μ•2n ﹣1，∴A ＝{μ（2i ﹣1+2j ﹣1）|1≤i ＜j ，i ，j ∈N *}，∵2015∈A ，∴2015＝μ（2i ﹣1+2j ﹣1）＝μ•2i ﹣1（1+2j ﹣i ）＝5×13×31， ∵j ﹣i ＞0，则1+2j ﹣i 必为不小于3的奇数， ∵2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i ﹣1＝1，∴i ＝1，∴μ（1+2j ﹣1）＝5×13×31，只有j ＝3，μ＝403或j ＝7，μ＝31时，上式才成立， ∴μ＝31或403．（3）解：当n ≥1时，集合B n ＝{x |3μ•2n ﹣1＜x ＜3μ•2n ，x ∈A }， 即3μ•2n ﹣1＜μ（2i ﹣1+2j ﹣1）＜3μ•2n ，1≤i ＜j ，i ，j ∈N *．B n 中元素个数， 等价于满足3×2n ＜2i +2j ＜3×2n +1的不同解（i ，j ）， 若j ＞n +2，则2i +2j ≥2i +2n +3＝2i +4×2n +1＞3×2n +1，矛盾． 若j ＜n +2，则2i +2j ≤2i +2n +1≤2n +2n +1＝3×2n ，矛盾．∴j ＝n +2，又∵（21+2n +2）﹣3×2n ＝2+4×2n ﹣3×2n ＝2+2n ＞0， ∴3×2n ＜21+2n +2＜22+2n +2＜…＜2n +1+2n +2＝3×2n +1，即i ＝1，2，…，n 时，共有n 个不同的解（i ，j ），即共有n 个不同的x ∈B n ， ∴b n ＝n （n ∈N *）．【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换] 21．【详解详析】∵A =[cosθ−sinθsinθcosθ]（0＜θ＜2π），B =[100k ]（0＜k ＜1），∴由题意可得：BA =[100k ][cosθ−sinθsinθcosθ]=[0−1120]，∴[cosθ−sinθksinθkcosθ]=[0−1120]，解得：{−sinθ=−1cosθ=0kcosθ=0ksinθ=12， ∵0＜θ＜2π，0＜k ＜1， ∴解得：k =12，θ=π2． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】由题意，线段AB 的中点坐标为（5，π3）， 设点P （ρ，θ）为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos （θ−π3）＝5， 所以，l 的极坐标方程为ρcos （θ−π3）＝5，（6分）令θ＝0，得ρ＝10，即C （10，0）．（8分）所以，△ABC 的面积为：12×（9﹣1）×10×sin π3=20√3．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】证明：由|b |﹣|a |≤|a +b |≤2，可得|b |≤|a |+2， |a 2+2a ﹣b 2+2b |＝|（a +b ）（a ﹣b ）+2（a +b ）| ＝|a +b |•|a ﹣b +2|≤2|a ﹣b +2|， 要证|a 2+2a ﹣b 2+2b |≤4（|a |+2）， 即证|a ﹣b +2|≤2（|a |+2）， 由于|a ﹣b +2|≤|a |+|b |+2， 即证|a |+|b |+2≤2（|a |+2）， 即为|b |≤|a |+2，显然成立． 故原不等式成立．24．【解答】解（1）不妨设正方体的棱长为1，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ． 则A （1，0，0），O(12，12，0)，C （0，1，0），D 1（0，0，1）， E (14，14，12)，于是DE →=(14，14，12)，CD 1→=(0，−1，1)． 由cos 〈DE →，CD 1→＞=DE →⋅CD 1→|DE|→⋅|CD 1→|=√36． 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为√36．（2）设平面CD 1O 的向量为m →=（x 1，y 1，z 1），由m →•CO →=0，m →•CD 1→=0得{12x 1−12y 1=0−y 1+z 1=0取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m →=（1，1，1）．（7分） 由D 1E ＝λEO ，则E (λ2(1+λ)，λ2(1+λ)，11+λ)，DE →=(λ2(1+λ)，λ2(1+λ)，11+λ)． 又设平面CDE 的法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），由n →•CD →=0，n →•DE →=0． 得{y 2=0λx 22(1+λ)+λy 22(1+λ)+z 21+λ=0取x 2＝2，得z 2＝﹣λ，即n →=（﹣2，0，λ）．因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m →•n →=0，得λ＝2．（10分）25．【详解详析】（1）所抛5次得分ξ的概率为P （ξ＝i ）=C 5i−5(12)5（i ＝5，6，7，8，9，10），其分布列如下： ξ 567 8 9 10P132532516516532132E ξ=∑ 10i=5i ⋅C 5i−5(12)5=152（分）．（2）令p n 表示恰好得到n 分的概率．不出现n 分的唯一情况是得到n ﹣1分以后再掷出一次反面． 因为“不出现n 分”的概率是1﹣p n ，“恰好得到n ﹣1分”的概率是p n ﹣1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1﹣p n =12p n ﹣1， 即p n −23=−12(p n−1−23)．于是{p n −23}是以p 1−23=12−23=−16为首项，以−12为公比的等比数列．所以p n −23=−16(−12)n−1，即p n =13[2+(−12)n ]． 答：恰好得到n 分的概率是13[2+(−12)n ]．。

江苏省海安高级中学2020届高三阶段测试数学试题含答案讲课稿

江苏省海安高级中学2020届高三阶段测试数学试题含答案讲课稿

江苏省海安高级中学2020届高三阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ．4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．（第4题）10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u r u u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和 (1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．C1（第12题）C（第16题）AOBPQMN（第17题）17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其离心率．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】35 6. 【答案】y ＝±3x 7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】7910. 【答案】1 24011. 【答案112. 【答案】913．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC ABCB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，故EF //平面P A D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面P A C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()02020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =， 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+，所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x(0，1)1(1，＋∞)故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g’(x )＝ln x ＋1,令g’(x )＝0，x ＝1e，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分（3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分。

江苏省南通市海安高级中学2020届高三阶段测试三数学试题

江苏省南通市海安高级中学2020届高三阶段测试三数学试题

第1页，总27页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………江苏省南通市海安高级中学2020届高三阶段测试三数学试题题号 一 二 总分 得分评卷人 得分一、填空题 本大题共14道小题。

1.如图正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.答案及解析：1.9 【分析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】解：连接DE ，答案第2页，总27页∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=． 故答案为：9．【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题． 2.设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U C A =，则集合A =_________.答案及解析：2.{3,5}. 【分析】 直接求根据{1,2,4}UA =求出集合A 即可.【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}UA =，则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}.【点睛】本题考查补集的运算，是基础题. 3.已知S n 为数列{a n }的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________答案及解析：3.5 【分析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出．。

【精准解析】江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题

【精准解析】江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题

3
3
故答案为: 4 .
【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据
题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.
8.已知等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn , a1 1, S6 9S3 ,则 a3 的值为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由 S6 9S3 可得 S3 q3 1 9S3 ,进而可求出公比的值,即可求 a3 的值. 【详解】解: S6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a1 a2 a3 a1q 3 a2q 3 a3q 3 S3 q 3 1 S6 9S3 S3 q3 1 9S3 解得, q = 2 .所以 a3 a1q2 4 .
参考公式：锥体的体积公式 V锥体
1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为高.球的体积公式 3
V球
4 3
R3 ，球的表面积公式
S球
4
R2
，其中
R
为球的半径.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合 A 1, 0,3 ， B {1, 2,3}，则 A B _________.
【答案】 {3}
【解析】
由交集的定义 A B {3}，应填答案{3} ．
2.已知复数 z 满足 1 i z 2 i ,则复数 z 的模为_______.
【答案】 10 2
【解析】
【分析】
由已知得
z
2i 1i
,将其整理成
z
1 2
3 2
i
,即可求出模.
【详解】解:由题意知,
z

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}UA =，则集合A =_________.【答案】{3,5}. 【解析】直接求根据{1,2,4}UA =求出集合A 即可.【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}UA =，则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________．【解析】【详解】(2)1z i i -=+，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=，故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。

【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18．【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a=，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题.7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ． 【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的(π23x -()π4f =4sin 42π=.故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x 的取值范围是_________【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性．9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，4cos 5A ∴==， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯，3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxyx y，则实数x的最小值为______. 1.【解析】由正实数x ，y 满足x y xyx y，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足xy xyx y， 化为()2210xy x y x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩， 解得1x ≥．因此实数x 1．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19AAEFD V -=． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c 满足0a b c ++=且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c ⋅的值为___________. 【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===， 由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==，可得sin 5B =，同理可得sin C =，由正弦定理可得2sin135︒==，即有21025,55c a ==，则4||||cos 4525a c c a ︒⋅=⋅⋅==． 故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________. 【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220x g x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为()18AC AB CB ⋅-=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c . 【答案】(1) 3C π=(2) 【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=得：2()18AC AB BC AC ⋅+==，进而利用ABC ∆的面积为，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和(1,cos cos )n A B =是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >， 从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=，18()AC AB CB ∴=⋅-2||AC AC AC =⋅=则||18AC =AC =因为ABC 的面积为，所以1sin 2CA CB C ⋅=即1sin 23π⨯=解得CB =在ABC 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅22122=+-⨯54=，所以AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD． (7)分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD． (2)分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD． (5)分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC． (10)分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点6⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22. （1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P .（i ）求证：OP OM ⋅为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O . 【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得2231212a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，， 所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ，①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题．19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n ＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ；（2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n na a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（）可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+②①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===， 41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③，由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x =，列表分析min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e'=-=-，①若1a e ≤-则()ln 0af x x x'=-≥， 故()f x 在22(,)e e -内没有极值点； ②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； ③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->，因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点； 综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点； 当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-.因为当1x >时，1ln 1(*)x x >-， 所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为19((22A B线段AB 的中点为5(2A ，AB k =故线段AB 中垂线的斜率为1AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5)2y x =-化简得：100x -=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d == 线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=. 【点睛】 本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=（R λ∈），且向量PC 与BD .（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，写出,PC ，BD 的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，根据n PC n DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，进而得到00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n PC n DC ，从而求出n ，向量PB 的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos ,n PB <>，从而得PB 和平面PCD 所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-，则由15cos ,PC BD =，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =，则0⋅=n PC ，0⋅=n PD ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =，又易得(1,0,2)PB =-，故10cos ,=⋅=PB n PB n ，所以直线PB 与平面PCD 10考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a 的通项公式为15155n n n a ⎡⎤+-⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n N ∈，记1212n n n S C a C a =++…n n n C a +.（1）求1,S 2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除.【答案】(1) 11S =；23S =； (2) {}*|3,n n k k N =∈ 【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值；（2）通过化简得到213n n n S S S ++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+21215155n n C C ⎡⎛++⎢ =⋅+⎢⎝⎭⎝⎣…212151515222n n n n n C C C ⎫⎛⎛⎛⎪ +⋅-⋅+⋅+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦ 1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=+-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535225n n ⎡⎤⎛⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即有1S1==；2S33==；（2）3322nnS n⎡⎤⎛⎛⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2332222nS n n+⎡⎤⎛⎛+-=+-+⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n n ⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥-⋅--⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦13n nS S+=-，即213n n nS S S++=-，*n N∈，因此2nS+除以8的余数，完全由1,n nS S+除以8的余数确定，因为11,a=21a=，所以11111S C a==，12221223S C a C a=+=，3213918S S S=-=-=，432324321,S S S=-=-=543363855S S S=-=-=，654316521144,S S S=-=-=7535643255377S S=-=-=，87631131144987,S S S=-=-=987329613772584S S S=-=-=由以上计算及213n n nS S S++=-可知，数列{}n S各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而nS除以8的余数等价于n除以3的余数，所以3,n k=*k N∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

2020年江苏省南通海安市高三学年初学业质量检测数学试题(解析版)

2020年江苏省南通海安市高三学年初学业质量检测数学试题(解析版)

2020届高三学年初学业质量监测试题数学参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合{}0,2,6,8A =，{}2,4,6B =-，则A B =______.【答案】{}6 【解析】 【分析】利用集合交集的定义可求出集合AB .【详解】因为集合{}0,2,6,8A =，{}2,4,6B =-， 所以{}6A B =I ，故答案为：{}6.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数()12z i i =-⋅，其中i 为虚数单位，则z 的模为______.【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的求模公式可计算出复数z 的模.【详解】()21222z i i i i i =-⋅=-=+Q ，因此，复数z 的模为z ==【点睛】本题考查复数模的计算，对于复数问题，一般利用复数四则运算法则将复数表示为一般形式，再结合相关公式或知识求解，考查计算能力，属于基础题.3.某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有18件，则n 的值为_____. 【答案】90 【解析】 【分析】根据分层抽样总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等列等式求出n 的值. 【详解】由于在总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等，则有182235n =++，解得90n =， 故答案为：90.【点睛】本题考查分层抽样中的计算，解题时要根据分层抽样的特点列等式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.4.函数y 的定义域是_____________ 【答案】[]2,3 【解析】 【分析】根据偶次方根被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域.【详解】依题意2560x x -+-≥，即()()256320x x x x -+=--≤，解得[]2,3x ∈.【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为72，则三棱锥1A BCD -的体积为______. 【答案】12 【解析】 【分析】设长方体1111ABCD A B C D -的底面积为S ，高为h ，可得出72Sh =，则三棱锥1A BCD -的底面积为12S ，高为h ，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥1A BCD -的体积. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的底面积为S ，高为h ， 则长方体1111ABCD A B C D -的体积为72Sh =， 由题意可知，三棱锥1A BCD -的底面积为12S ，高为h ， 因此，三棱锥1A BCD -的体积为1111172123266A BCDV S h Sh -=⨯⨯==⨯=，故答案为：12. 【点睛】本题考查锥体体积的计算，解题的关键就是弄清楚锥体和长方体底面积以及高之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.6.如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为______.【答案】9 【解析】 【分析】根据框图列出算法步骤，可得出输出结果. 【详解】由题意可得1024n =为偶数，则10245122n ==，922log 512log 29n ===，输出n 的值为9，故答案为：9.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查条件结构框图的应用，一般根据算法框图列举出算法步骤，即可计算出输出结果，考查计算能力，属于中等题.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点的坐标为)，则该双曲线的两条渐近线方程为______.【答案】2y x =± 【解析】 【分析】根据题意求出a 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可得2212a =-=，则双曲线的方程为2212x y -=，因此，双曲线渐近线方程为y x x ==，故答案为：y x =.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是求出双曲线的方程，考查运算求解能力，属于基础题.8.某饮品店提供A 、B 两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量.甲、乙二人各随机点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲、乙所点饮料的口味相同的概率为______. 【答案】12【解析】 【分析】记A 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1A 、2A 、3A ，B 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1B 、2B 、3B ，用列举法列出所有的基本事件，并确定事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.的【详解】记A 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1A 、2A 、3A ，B 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1B 、2B 、3B ，事件“甲只点大杯，乙点中杯或小杯”所包含的基本事件有：()12,A A 、()13,A A 、()12,A B 、()13,AB 、()12,B A 、()13,B A 、()12,B B 、()13,B B ，共8个，其中事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件有：()12,A A 、()13,A A 、()12,B B 、()13,B B ，共4个，因此，所求事件的概率为4182=，故答案为：12. 【点睛】本题考查利用古典概型概率公式计算事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举出基本事件，并确定基本事件数目，考查计算能力，属于中等题.9.已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，则ϕ的值为______.【答案】6π【解析】 【分析】 由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，再结合ϕ的取值范围，可得出ϕ的值. 【详解】由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，02πϕ<<，0k ∴=且6π=ϕ，故答案为：6π.【点睛】本题考查利用正弦型函数对称轴方程求参数的值，解题时要结合正弦型函数的对称轴方程得出参数的表达式，并结合参数的取值范围得出参数的值，考查运算求解能力，属于中等题.10.设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，前n 项和为n S .若存在m N *∈，使得2152m m m a a a +++=，且29m m S S =，则正整数m 的值为______.【答案】3 【解析】分析】先利用条件2152m m m a a a +++=求出公比q 的值，然后利用等比数列求和公式以及29m m S S =可求出正整数m 的值.【详解】2152m m m a a a +++=Q ，252m m m a a q a q ∴+=，得25102q q -+=，1q >Q ，解得2q =. 由29m m S S =，可得()()211121291212m m a a --=⨯--，所以，()212912mm -=-，即()()()1212912mmm-+=-，m N*∈Q ，120m ∴-≠，129m ∴+=，解得3m =，故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比数列求和公式，对于等比数列问题，通常利用首项和公比将等比数列中相关量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，则当AQ CP +最小时，a 的值为______.【解析】 【分析】由题意得出直线AB 的方程为x a =，直线BC 的方程为y a =，求出点P 、Q 的坐标，可得出AQ 、CP 关于a 的表达式，然后利用基本不等式求出AQ CP +的最小值，并利用等号成立的条件求出对应的a 的值. 【详解】由题意得出直线AB 的方程为x a =，直线BC 的方程为y a =，【联立直线AB 的方程与函数12y x -=的解析式12x a y x -=⎧⎪⎨⎪=⎩，得x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以点Q的坐标为a ⎛ ⎝，则AQ =. 联立直线BC 的方程与函数23y x =的解析式()230y a y x x =⎧⎨=>⎩，得x y a⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以点P的坐标为a ⎛⎫⎪⎪⎭，则CP =.由基本不等式得AQ CP +=≥==，即当a =a =【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是结合条件建立关于a 的代数式，并结合基本不等式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.如图，在平面四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，CB CD =，2ADB BCD π∠=∠=，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为______.【答案】4- 【解析】 【分析】以点D 为坐标原点，DB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 四点的坐标，并求出向量AC 、BD 的坐标，利用坐标法来计算出AC BD ⋅uuu r uu u r的值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，3AB =，1AD =，2ADB π∠=，BD ∴==又CB CD =，且2BCD π∠=，BCD ∴∆是等腰直角三角形，则点()0,1A -、()B 、C、()0,0D ，)1AC =uuu r，()BD =-uu u r，因此，()104AC BD ⋅=-+⨯=-uuu r uu u r，故答案为：4-.【点睛】本题考查图形中向量数量积的计算，常利用基底向量法与坐标法来进行求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13.在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】 【分析】 先由1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，结合正弦定理与余弦定理，得到2222a b c +=，再由AB 边上的中线1CM =，()12CM CA CB =+，得到22224232c b a ab c ab=++⋅=，进而可求出结果. 【详解】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+， 所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解3c =.即AB .故答案为3【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的应用，熟记正弦定理与余弦定理，以及向量数量积的运算即可，属于常考题型.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:20l x y -+=与x 轴交于点A ，点B 在直线1l 上，直线2:310l x y +-=上有且仅有一点C 满足：AC BC ⊥（A 、B 、C 两两互不相同），则点B 的横坐标的所有可能值之积为______. 【答案】19 【解析】 【分析】设点B 的坐标为(),2t t +，设点(),C x y ，根据AC BC ⊥转化为0AC BC ⋅=，可得出点C 的轨迹为圆，由题意得出点C 的轨迹圆与直线2l 相切，将直线2l 的方程与点C 的轨迹方程联立，利用0∆=得出关于t 的二次方程，利用韦达定理求出两根之积12t t 可得出结果.【详解】设点B 的坐标为(),2t t +，直线1l 与x 轴的交点为点()2,0A -，设点(),C x y ，()2,AC x y =+uu u r ，(),2BC x t y t =---uu u r， AC BC ⊥Q ，()()()220AC BC x x t y y t ∴⋅=+-+--=uu u r uu u r，联立()()()310220x y x x t y y t +-=⎧⎨+-+--=⎩，消去x 得()210214330y t y t +-+-=，()()2214410330t t ∆=--⨯⨯-=，化简得216190t t ++=，由韦达定理得1219t t =.当点B 为直线1l 与2l 的交点时5434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，要使0AC BC ⋅=，点C 与点B 重合，不合题意.因此，点B 的横坐标的所有可能值之积为1219t t =，故答案为：19.【点睛】本题考查两直线垂直、直线与圆的位置关系的综合应用，解题的关键在于将点的个数问题转化为直线与圆的位置关系，并利用韦达定理进行求解，考查转化与化归思想以及方程思想，考查运算求解能力，属于难题.二、解答题：请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知3BC =，2AC AB -=，1cos 2B =-. （1）求AB 、AC 的值； （2）求()sin B C -的值.【答案】（1）5AB =，7AC =；（2）7. 【解析】 【分析】（1）设角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，由2b c -=，可得出2b c =+，利用余弦定理结合条件1cos 2B =-可解出c ，从而可得出AB 、AC 的值；（2）求出23B π=，利用余弦定理求出cos C 的值，再利用同角三角函数可求出sin C 的值，然后利用两角差的正弦公式可求出()sin B C -的值.【详解】（1）设角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，由余弦定理得222cos 2a c bB ac+-=，又因为1cos 2B =-，3a =，2b c -=，所以()222321232c c c +-+=-⨯，解得5c =. 因此，5AB =，7AC =；（2）在ABC ∆中，0B π<<，又1cos 2B =-，故23B π=. 由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，结合（1）知，22237511cos 23714C +-==⨯⨯，又0C π<<，故sin C ===，()222111sin sin sin cos cos sin 3332142147B C C C C πππ⎛⎫-=-=-=+⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，以及利用两角差的正弦公式求值，在求解三角形的问题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先证明出//AB 平面11A B D ，然后利用直线与平面平行的性质定理可得出//AB EF ；（2）由题意得出1111A B B C ⊥，由1BB ⊥平面111A B C ，可得出111A B BB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明出11A B ⊥平面11BB C C ，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面11A B D ⊥平面11B BCC . 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，又AB ⊄平面11A B D ，11A B ⊂平面11A B D ，所以//AB 平面11A B D . 又AB Ì平面1ABC ，平面11A B D平面1ABC EF =，所以//AB EF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥平面111A B C ， 又11A B ⊂平面111A B C ，故111B B A B ⊥ 又AB BC ⊥，故1111A B B C ⊥. 又因为1111B BB C B =，1B B ⊂平面11B BCC ，11B C ⊂平面11B BCC ，所以11A B ⊥平面11B BCC ，又11A B ⊂平面11A B D ，所以平面11A B D ⊥平面11B BCC .【点睛】本题考查直线与直线平行以及平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的性质定理以及平面与平面垂直判定定理的应用，考查推理能力，属于中等题.17.现有一张半径为1m 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为hm 的圆锥筒，如图2.（1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23rad π，求圆锥筒的容积；（2）当h 为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值.【答案】（1）381m ；（2）当h 时，圆锥筒的容积的最大值为327m . 【解析】 【分析】（1）计算出扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长可求出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理计算出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可计算出圆锥的容积；（201h <<，利用圆锥的体积公式计算出圆锥的容积V 关于h 的函数，再利用导数可求出V 的最大值，并求出对应的h 的值. 【详解】设圆锥筒的半径为r ，容积为V .（1）由223r ππ=，得13r =，从而3h ==，所以()23111333381V Sh m π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.答：圆锥筒的容积为381m ；（2）因为r =，01h <<. 所以()()223111113333V Sh r h h h h h πππ===-⋅=-，即()313V h h π=-，01h <<.因为()21133V h π'=-，令0V '=得，3h =±（舍负值），列表如下：所以，当h 时，V 取极大值即最大值，且V .答：当h 时，圆锥筒的容积的最大值为327m . 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，同时也考查利用导数求函数的最值，解题的关键就是要结合题意求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，连结2B F 并延长交椭圆于点P ，连结2PA ，12A B ，记椭圆C 的离心率为e .（1）若12e =，12A B =①求椭圆C 的标准方程；②求21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比. （2）若直线2PB 和直线2PA 斜率之积为92-，求e 的值.【答案】（1）①22143x y +=.②5 ；（2）12e =. 【解析】 【分析】（1）①设椭圆的焦距为2c ，根据题意列出有关a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，可得出椭圆的标准方程；②求出直线2B F 的方程，将该直线方程与椭圆C 的标准方程联立，求出点P 的坐标，再利用三角形的面积公式可求出21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比； （2）先利用截距式得出直线2PB 的方程为1x y c b+=-，将该直线方程与椭圆C 的方程联立，求出点P 的坐标，利用斜率公式计算出直线2PA 和2PB 的斜率，然后由这两条直线的斜率之积为92-，得出关于a 、c 的齐次方程，由此可解出椭圆C 的离心率e 的值.【详解】（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得22212c e a a b c ⎧==⎪==+⎪⎪⎩2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；②由①知，()12,0A -、()22,0A ，()1,0F，(20,B ， 所以直线2B F的方程为)1y x =-，将其代入椭圆的方程，得()22114x x +-=，即2580x x -=，所以0x =或85x =，所以点P的坐标为85⎛ ⎝⎭. 从而21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比：212135B A FPA F S S ∆∆⨯==； （2）因为2B 、F 在直线2PB 上，所以直线2PB 的方程为1x yc b +=-. 解方程组22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，得()2122221222a c x a c b a c y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩或220x y b =⎧⎨=-⎩， 所以点P 的坐标为()22222222,b a c a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.因为直线2PB 的斜率()200PB b bk c c--==-，直线2PA 的斜率()()()()()222222222222222PA b a c b a c b a c a c k a c a a c a c a a c a a c ---++===---+-+， 又因为直线2PB 和直线2PA 斜率之积为92-，所以()()()()()()()()222292a c a cb ac b a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -++++-⨯=-=-=-=----，即1922e e ++=，化简得22520e e -+=，01e <<Q ，解得12e =. 因此，椭圆C 的离心率为12e =.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值，以及椭圆离心率的求解，同时也考查了直线与椭圆交点坐标的求解，考查方程思想的应用，属于中等题.19.已知函数()2xx bx c f x e++=（e为自然对数的底数），()f x '为()f x 的导函数，且()10f '=. （1）求实数c 的值；（2）若函数()f x 在0x =处的切线经过点()1,0-，求函数()f x 的极值；（3）若关于x 的不等式()2f x ≤对于任意的[]0,2x ∈恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）函数()y f x =的极小值为0，极大值为4e；（3）(],22e -∞-. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由()10f '=，可求出实数c 的值；（2）利用导数求出函数()y f x =在0x =处的切线方程，将点()1,0-代入切线方程，可求出实数b 的值，然后利用导数求出函数()y f x =的极值点，并列表分析函数()y f x =的单调性，由此可得出函数()y f x =的极小值和极大值；的（3）方法1：由()2f x ≤，得()221xbx e x ≤-+，[]0,2x ∈，然后分0x =和02x <≤两种情况讨论，在0x =时可验证不等式成立，在(]0,2x ∈时，由参变量分离法得21x e b x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，并构造函数()21x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，并利用导数求出函数()y g x =在区间(]0,2上的最小值，由此可得出实数b 的取值范围；方法2：解导数方程()0f x '=，得出11x b =-，21x =，然后分11b -=，10b -≤，011b <-<，12b -≥和112b <-<五种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,2上的单调性，求出函数()y f x =的最大值()max f x ，再解不等式()max 2f x ≤可得出实数b 的取值范围.【详解】（1）因为()2x x bx cf x e ++=，所以()()22xx b x b c f x e-+-+-'=， 又因为()10f '=，所以()120b b ce-+-+-=，解得1c =.（2）因为()2xx bx cf x e ++=，所以()01f =. 因为()()22xx b x b cf x e-+-+-'=，所以()01f b '=-. 因为，函数()y f x =在0x =处的切线方程为()11y b x -=-且过点()1,0-， 即()11b -=--，解得2b =. 因为()()()11xx x f x e -+'=-，令()0f x '=，得1x =±，列表如下：所以当1x =-时，函数()y f x =取得极小值()10f -=， 当1x =时，函数()y f x =取得极大值为()41f e=； （3）方法1：因为()212xx bx f x e++=≤在[]0,2x ∈上恒成立， 所以()221xbx e x ≤-+在[]0,2x ∈上恒成立. 当0x =时，01≤成立；当(]0,2x ∈时，21x e b x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，记()21x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(]0,2x ∈， 则()()()()221212111xx x e x e x g x x x x ----⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭. 令()21x h x e x =--，(]0,2x ∈，则()0212110xh x e e '=->-=>，所以函数()y h x =在区间(]0,2上单调递增，所以()()0020110h x h e >=--=>，即210x e x -->在区间(]0,2上恒成立.当(]0,2x ∈，令()0g x '=，得1x =，所以，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增， 所以()()min 122g x g e ==-，所以，22b e ≤-， 因此，实数b 的取值范围是(],22e -∞-；方法2：由（1）知，()21xx bx f x e++=， 所以()()()()22111x xx b x b x x b f x e e -+-+--+-'==-.令()0f x '=，得11x b =-，21x =.①当11b =-时，即0b =时，函数()y f x =在区间[]0,2上单调递减， 由题意可知()012f =≤，满足条件；②当10b -≤时，即1b ≥时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递增，在区间[]1,2上单调递减， 由题意可知()212b f e+=≤，解得122b e ≤≤-； ③当011b <-<时，即01b <<时，函数()y f x =在[]0,1b -上单调递减，在[]1,1b -上单调递增，在[]1,2上单调递减， 由题意可知()212b f e+=≤，解得22b e ≤-，所以01b <<； ④当12b -≥时，即1b ≤-时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递减，在区间[]1,2上单调递增， 由题意可知()22522b f e +=≤，解得252b e ≤-. 又因为1b ≤-，所以1b ≤-； ⑤当112b <-<时，即10b -<<时，函数()y f x =在[]0,1上单调递减，[]1,1b -上单调递增，在[]1,2b -上单调递减， 由题意可知()1212bb f b e ---=≤，即()12110be b ---+≥. 令1t b =-，则12t <<，设()2121tty e t e t =-+=--，则210ty e '=->，所以，函数21ty e t =--在区间()1,2上单调递增，又因为1t =时，220y e =->，所以0y ≥在区间()1,2上恒成立，所以10b -<<. 综上，22b e ≤-，因此，实数b 的取值范围是(],22e -∞-.【点睛】本题考查导数的计算、导数的几何意义、利用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，也可以采用分类讨论法，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.20.若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =（p 、q N *∈），必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若数列{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比大于1的等比数列，15b c =，51b c =，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知()1sin n n n a b a n N *+=+∈，求证：“对任意的1a ，{}na 具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =；（2）不具有性质P ，证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件得出25a a =，结合性质P 可得出36a a =，47a a =，58a a =，再利用条件67821a a a ++=，可得出3a 的值；（2）假设数列{}n a 是具有性质P ，根据题中条件得出15a a =，根据性质P 得出26a a =，将两等式作差得出关于q 的方程，解出q 的值，不满足1q >，说明数列{}n a 不具备性质P ；（3）充分性：由数列{}n b 是常数列，可得1n b b =，通过11sin n n a b a +=+，证明11p q a a ++=，可得出数列{}n a 具有性质P ；必要性：对任意的1a ，{}n a 具有性质P ，得到211sin a b a =+，构造函数()1f x x b =-，()sin g x x =，证明出1n n b b +=，可证明出数列{}n b 是常数项. 【详解】（1）因为22a =，52a =，所以25a a =.因为数列{}n a 具有性质P ，所以36a a =，47a a =，58a a =，从而34567821a a a a a a ++=++=，又43a =，52a =，所以316a =； （2）假设{}n a 是具有性质P ，等比数列{}n c 的公比为()1q q >. 因为n n n a b c =+，所以111a b c =+，555a b c =+.因为15b c =，51b c =，所以1155b c b c +=+①，从而15a a =. 又因为{}n a 具有性质P ，所以26a a =，即2266b c b c +=+②. ②-①，得21216565b b c c b b c c -+-=-+-.因为{}n b 是等差数列，所以2165b b b b -=-，从而2165c c c c -=-.因为数列{}n c 是等比数列，所以10c ≠，从而541q q q -=-，而()()4110q q --=.因为1q >，所以不存在这样的q ，所以假设不成立. 所以{}n a 不具有性质P ；（3）1︒充分性：若{}n b 是常数列，则1n b b =，从而11sin sin n n n n a b a b a +=+=+. 若存在p 、q N *∈，使得p q a a =，则由11sin p p a b a +=+，11sin q q a b a +=+得，11p q a a ++=，所以对任意的1a ，{}n a 具有性质P ；2︒必要性：若对任意的1a ，{}n a 具有性质P .先证明：对于给定的1b ，存在t R ∈，使得1sin 0t t b --=. 证明：记函数()1sin f t t t b =--，则()()1122sin 20f b b +=-+>，()()1122sin 20f b b -=---<， 又函数()y f t =的图象不间断，所以存在()112,2t b b ∈-+，使得()0f t =. 取1a t =，则111sin 0a a b --=，即111sin a b a =+， 又由1sin n n n a b a +=+得，211sin a b a =+，所以12a a =. 由{}n a 具有性质P ，得23a a =，34a a =，，1n n a a +=，所以{}n a 为常数列，从而1sin n n n b a a +=-为常数，所以{}n b 是常数列.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，同时也考查了充分必要条件的证明，本题的难点在于构造新函数，利用函数的零点存在定理来证明常数列，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.21.已知矩阵32x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，且94A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求实数x 、y 的值； （2）求矩阵A 的特征值.【答案】（1）3x =，4y =；（2）特征值为1、6.【解析】 【分析】（1）根据题中矩阵运算列出关于x 、y 的方程组，可解出x 、y 的值； （2）求出矩阵A特征方程，解出该方程可得出矩阵A 的特征值.【详解】（1）因为32x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，94A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以349214x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.所以43984x y -=⎧⎨-=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的特征多项式()()()()()333461624fλλλλλλλ--==---=----，令()0f λ=，得1λ=，6λ=，因此，矩阵A 的特征值为1、6.【点睛】本题以矩阵计算以及矩阵特征值的计算，解题的关键在于写出矩阵的特征方程，并进行求和，考查方程思想的应用，属于中等题.22.在极坐标系中，O 为极点，点()00,M ρθ在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，若03πθ=，求0ρ及l 的极坐标方程.【答案】0ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】 将点0,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C 的极坐标方程可得出0ρ的值，求出直线OM 的斜率，根据l OM ⊥求出直线l 的斜率，利用点斜式写出直线l 的方程，再将直线l 的普通方程化为极坐标方程. 【详解】因为点()00,M ρθ在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin ρθ=.的又03πθ=，故04sin3πρ==OM 的斜率为tan3π=l OM ⊥Q ，设直线l 的斜率为k 1=-，解得3k =-.所以，直线l 的方程为)4y x =-，即40x +-=，所以，直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ+-=，即2sin 46πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因此，直线l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极径的计算以及直线的极坐标方程的求解，一般要结合题意先写出直线的普通方程，再转化为极坐标方程，考查运算求解能力，属于中等题.23.对于正实数x 、y 满足11x -≤，21y -≤，求证：12x y -+≤. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】将代数式表示为()()112x y x y -+=---，再利用绝对值三角不等式可证出所证不等式成立. 【详解】由绝对值三角不等式得()()112122x y x y x y -+=---≤-+-≤， 因此，原不等式成立.【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式证明不等式成立，证明的关键在于对代数式进行配凑，考查推理能力，属于中等题.24.如图，在空间之间坐标系O xyz -中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上，其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ，顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （2）设E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，求二面角F AE P --的正弦值. 【答案】（1）45；（2. 【解析】 【分析】（1）列出A 、B 、C 、D 、P 的坐标，计算出平面PCD 的一个法向量u r，利用空间向量法计算出直线PB与平面PCD 所成角的正弦值，即可得出直线PB 与平面PCD 所成角的大小；（2）求出点E 、F 的坐标，计算出平面AEF 和AEP 的法向量m 、n ，利用空间向量法求出二面角F AE P --的余弦值的绝对值，由此可得出二面角F AE P --的正弦值.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上， 其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ， 顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =， 所以()0,0,0A ，()2,1,0B -，()2,2,0C ，()0,2,0D，()002P ,,.（1）()2,1,2PB =--，()2,2,2PC =-，()0,2,2PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =r，则00u PC u PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1z =，则0x =，1y =，得()0,1,1u =r .所以cos ,2u PB u PB u PB ⋅===-⋅r uu rr uu r r uu r . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为45；（2）因为E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，所以()0,1,1E ，224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面AEF 的一个法向量为(),,m a b c =u r，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即02240333b c a b c +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1b =，则1a =，1c =-，得()1,1,1m =-. 又平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =r，所以cos ,m n m n m n⋅===⋅u r ru r r u r r . 所以二面角F AE P --. 【点睛】本题考查利用空间向量法求直线与平面所成的角和二面角，解题的关键就是要列出问题所涉及的点的坐标，并计算出平面的法向量，考查运算求解能力，属于中等题.25.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A 、B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】（1）X 的分布列见解析，数学期望为1；（2）无法确定是否有变化，理由见解析.【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据确定仅使用A 支付方法或B 支付方法中，金额不大于1000和大于1000的人所占的频率，由题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2，再利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在对应取值的概率，可列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式可求出其数学期望；（2）计算出事件“从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元”的概率，根据概率的意义得出结论.【详解】（1）仅使用A 支付方法的30名学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25， 仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 的所有可能值为0、1、2.则()32605525P X ==⨯=，()22321315525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，所以X 分布列为：数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=； （2）无法确定是否有变化，理由如下：记事件:E “从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.” 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月数据得，()3333014060C P E C ==. 我们知道“小概率事件”的概率虽小，但还是有可能发生的，因此无法确定是否有变化.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望，考查古典概型概率的计算以及概率的意义，解时要弄清事件的基本类型，结合相关公式计算事件的概率，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。

2020届江苏省南通市高三年级第三次高考数学试题(附答案解析)

2020届江苏省南通市高三年级第三次高考数学试题(附答案解析)
【答案】 ( ，0)
5. (本小题满分 5 分) 【答案】12
6. (本小题满分 5 分)
【答案】3
7. (本小题满分 5 分) 【答案】 x2 y2 1
5 20
8. (本小题满分 5 分)
【答案】 2 3 3
【解析】对于椭圆，显然 b 1, c a
3 2
，所以椭圆方程为
x2 4
y2
1 ，设
－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使 xn 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，…，m）取 得最高点，且 f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为 0≤x1 x2 xn ，且
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) A sin(x ) (A＞0，0＜ ＜ )的最小值是﹣2，其图象经过点 M( ， 3
1)．
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）已知 ， (0， )，且 f ( ) 8 ， f ( ) 24 ，求 f ( ) 的值．
2
5
13
16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，∠BAD＝90°，AD∥ BC，AD＝2BC，AB⊥PA． （1）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （2）若 E 为 PD 的中点，求证：CE //平面 PAB．
2
17．（本小题满分 14 分）
有一块以点 O 为圆心，半径为 2 百米的圆形草坪，草坪内距离 O 点 2 百米的 D 点有
2
(2
4
)
sin(2
) 4
1 3
。
解析二：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－12＝sin xcosx＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋c2os 2x－12＝12sin 2x＋12

江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试题(解析版)

江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试题(解析版)

江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，则A ∩B 中元素的个数为_____． 『答案』1『解析』∵A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }， ∴A ∩B ＝{﹣1}，∴A ∩B 中元素的个数为1． 故答案为：1．2.已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____． 『答案』-4『解析』∵z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i ，∴12(12)(2)4(22)z z i a i a a i ⋅=-+=++-， 又z 1•z 2是纯虚数，∴40220a a +=⎧⎨-≠⎩，解得：a ＝﹣4．故答案为：﹣4．3.从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为_______． 『答案』89『解析』从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则(,)a b 的事件数为9个，即为(1,2),(1,3),(1,4)，(2,2),(2,3),(2,4)，(3,2),(3,3),(3,4)， 其中满足a b ≤的有(1,2),(1,3),(1,4)，(2,2),(2,3),(2,4)，(3,3),(3,4)，共有8个， 故a b ≤的概率为89. 4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．『答案』100.『解析』由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,,20和[]35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=.5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．『答案』1011『解析』由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a )＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 『答案』(－∞,－4)『解析』对于命题A ：∵|x －1|＜3，∴-2<x <4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a <2,-a >4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4)7.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________. 『答案』12π『解析』设圆锥的半径为r ，则侧面积为15215,32r r ππ⨯⨯==，4=，所以圆锥的体积为2134123ππ⨯⨯⨯=． 故答案为12π8.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 『答案』，，.『解析』，故，由解得9.在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，﹣1），B （﹣3，﹣4）两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且10OC =C 的坐标是_____． 『答案』（﹣1，﹣3）『解析』由题意OA =（0，﹣1），是一个单位向量， 由于OB =（﹣3，﹣4），故OB 方向上的单位向量e =（35，45-），∵点C 在∠AOB 的平分线上，∴存在正实数λ使得OC = ()OA e λ+＝34,155λ⎛⎫--- ⎪⎝⎭）＝39,55λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵10OC =2981102525λ⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭，解得53λ=代入得得()1,3OC =-- 故答案为：()1,3--.10.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为_____． 『答案』1240『解析』由S 2＝a 1+a 2＝2a 2﹣3×2（2﹣1），a 2＝11，可得a 1＝5． 当n ≥2时，由S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）＝n （S n ﹣S n ﹣1）﹣3n （n ﹣1）， 可得（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝3n （n ﹣1），∴131n n S S n n --=-，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项151S =，公差为3的等差数列， ∴2020S =5+3×19＝62， ∴S 20＝1240. 故答案为：1240.11.如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．『答案』『解析』如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF 所以AB 的取值范围.12.已知函数f（x）12211222x xx xxx⎧+-⎪⎪⎪=---≤-⎨⎪≤-，＞，，，若f（t）≥f（1t），则实数t的取值范围是_____．『答案』)[)1⎡⋃+∞⎣，．『解析』根据函数f（x）的解析式作出其图象，如图所示．①当x>f（x）是增函数，若()1f t ft⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则112ttt⎧≥⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，解得：t≥1；②当x2≤-时，()f x=若()1f t ft⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则12t≤-，解得：0t≤<；综上①②所述，实数t的取值范围是)[)1⎡⋃+∞⎣，故答案为：)[)1⎡⋃+∞⎣，．13.在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为_____．『答案』18+π『解析』由x＝x1+x2，y＝y1+y2，得x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，∵（x1，y1）∈A，∴把x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，代入x2+y2≤1，∴（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1点集Q所表示的区域是以集合B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，如图，其面积为：5+6+4+3+π＝18+π故答案为：18+π．14.设函数f（x）＝（2x﹣1）e x﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是_____．『答案』『32e，1）∪23532e e⎛⎤⎥⎝⎦，『解析』令g （x ）＝（2x ﹣1）e x ，h （x ）＝a （x ﹣1），∵()(21)2(21)x x xg x x e e x e '=-+=+，∴当21x <-时，()0g x '<，则函数g （x ）在（﹣∞，12-）上单调递减； 当12x >-时，()0g x '>，则函数g （x ）在（12-，+∞）上单调递增； 而g （﹣1）＝﹣3e ﹣1，g （0）＝﹣1； 因为存在唯一的整数x 0使得f （x 0）＜0． 即（2x 0﹣1）e x ＜a （x 0﹣1）．所以结合图形知：()()()011100a g h h ⎧>⎪-≥-⎨⎪-<<⎩或()()()()2233h g h g ⎧>⎪⎨≤⎪⎩ 即：103210a e a a -⎧⎪-≥-⎨⎪--⎩＞＜＜或23325a e a e ⎧>⎨≤⎩解得32e ≤a ＜1或3e 2＜a 352e ≤； 故答案为：『32e ，1）∪23532e e ⎛⎤⎥⎝⎦，．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知函数()2222x x x f x cossin ⎫=-⎪⎭． （1）设θ∈『0，π』，且f （θ）=1，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB ＝1，f （C ）=1，且△ABC sin A +sin B 的值．解：（1）()2sin sin 2cos 26x f x x x x x π⎛⎫=-=-=++ ⎪⎝⎭由f （θ）1=，∴2cos 16πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ∴1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵θ∈『0，π』，∴（θ6π+）∈『6π，76π』，∴θ6π=．（2）由f （C ）=+1，C ∈（0，π），由（1）可得：C 6π=．由△ABC ，∴122=ab sin 6π，∴=ab由余弦定理可得：1＝a 2+b 2﹣2ab cos6π，可得：a 2+b 2＝7，联立解得：a ＝2，b =b ＝2，a =∴2+=a b ． ∴12sinA sinB sinC a b c ===．∴sin A +sin B 12=（a +b ）＝1+． 16.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC ，BD 相交于点O ，EF ∥AB ，EF 12=AB ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，G 为BC 的中点，求证：（1）OG ∥平面ABFE ；（2）AC⊥平面BDE．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴O是AC中点，∵G为BC的中点，∴OG∥AB，∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）连接FG、EO，∵四边形ABCD菱形，AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，O是AC中点，∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF12=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDE．17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗能量为E＝cv n T，其中v为行进时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h，即为v﹣4，则200T=v﹣4，即T2004v=-，（v＞4）；（2）①当能量次级数为2时，由（1）知2004Tv=-，v＞4，是的22004v E c v =⋅=-()2[44]2004v c v -+⋅=-()16200484c v v ⎡⎤-++⎢⎥-⎣⎦ ≥200c 『8』＝3200c ，当且仅当v ﹣4164v =-，即v ＝8km /h 时取等号， ②当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，v ＞4，则()2226200(4)v v E c v -'=⋅-，由0E '=，解得v ＝6，即当v ＜6时，0E '<，当v ＞6时，0E '>， 即当v ＝6时，函数E 取得最小值为E ＝21600c ．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一点P （m ，n ）的直线22mx nya b+=1与圆x 2+y 2＝a 2交于A ，B 两点，且OA = （1）求PF 1+PF 2的值； （2）若AB •1283F F =，求m ，n 的值．解：（1）∵OA=a =∵把点P （m ，n ）代入直线方程22mx ny a b +=1，可得：2222m n a b+=1，∴点P 在椭圆上， ∴PF 1+PF 2＝2a ＝．（2）由a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立22212x y mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，化为：（4n 2+m 2）x 2﹣4mx +4﹣8n 2＝0，∴x 1+x 22244m n m =+，x 1x 2222484n n m -=+．∵AB 1283F F ⋅=，∴（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）•（2，0）83=， 化为2（x 2﹣x 1）83=，即x 2﹣x 143=， ∴212()x x +-4x 1x 2169=， 代入可得：()22222224481616(4)49n m n m n m --=++， 化为：56n 4+10n 2m 2﹣36n 2﹣m 4＝0， 又222m n +=1， 把m 2＝2﹣2n 2代入化为8n 4﹣2n 2﹣1＝0，解得m 2＝1，n 212=． ∵点P 在第二象限，∴取m ＝﹣1，n 2=． 19.已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ．（1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）；（2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，kπ）（k ∈N *）上恰有2015个零点，求k 的值． 解：（1）函数 f （x ）的最小正周期为π．（2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =，t ∈『1』，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤， ∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v==，∵()11v a =-，v =，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >--()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x =-，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π』时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1，∴k ＝1008．20.已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，S n =λa n ﹣μ．记数列{a n }中任意两不同项的和构成的集合为A ． （1）证明：无穷数列{a n }为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A ，求μ的值；（3）对任意的n ∈N *，记集合B n ={x |3μ•2n ﹣1＜x ＜3μ•2n ，x ∈A }中元素的个数为b n ，求数列{b n }的通项公式．（1）证明：∵S n =λa n ﹣μ．当n ≥2时，S n ﹣1=λa n ﹣1﹣μ，∴a n =λa n ﹣λa n ﹣1，λ≠1，∴， ∴数列{a n }为等比数列，∵各项均为正整数，则公比=为正整数，λ为正整数，∴λ=2．（2）解：由（1）可得：S n =2a n ﹣μ，当n =1时，a 1=μ，则a n =μ•2n ﹣1，∴A ={μ（2i ﹣1+2j ﹣1）|1≤i ＜j ，i ，j ∈N *}， ∵2015∈A ，∴2015=μ（2i ﹣1+2j ﹣1）=μ•2i ﹣1（1+2j ﹣i ）=5×13×31，∵j ﹣i ＞0，则1+2j ﹣i 必为不小于3的奇数，∵2i ﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i ﹣1=1，∴i =1，∴μ（1+2j ﹣1）=5×13×31，只有j =3，μ=403或j =7，μ=31时，上式才成立，∴μ=31或403．（3）解：当n ≥1时，集合B n ={x |3μ•2n ﹣1＜x ＜3μ•2n ，x ∈A }，即3μ•2n ﹣1＜μ（2i ﹣1+2j ﹣1）＜3μ•2n ，1≤i ＜j ，i ，j ∈N *．B n 中元素个数，等价于满足3×2n ＜2i +2j ＜3×2n +1的不同解（i ，j ），若j ＞n +2，则2i +2j ≥2i +2n +3=2i +4×2n +1＞3×2n +1，矛盾．若j ＜n +2，则2i +2j ≤2i +2n +1≤2n +2n +1=3×2n ，矛盾．∴j =n +2，又∵（21+2n +2）﹣3×2n =2+4×2n ﹣3×2n =2+2n ＞0，∴3×2n ＜21+2n +2＜22+2n +2＜…＜2n +1+2n +2=3×2n +1，即i =1，2，…，n 时，共有n 个不同的解（i ，j ），即共有n 个不同的x ∈B n ，∴b n =n （n ∈N *）．『选做题』请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.『选修4-2：矩阵与变换』21.在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求,k θ的值． 解：先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换， 故得到连续实施两次变换所得到的变换矩阵为：10cos sin cos sin 0sin cos sin cos BA k k k θθθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以01cos sin 1sin cos 02k k θθθθ-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 根据矩阵相等定义得到，cos 0sin 11sin 2cos 0k k θθθθ=⎧⎪-=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，解得212k πθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 『选修4-4：坐标系与参数方程』22.在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的坐标为19(,(,)2222A B 线段AB的中点为5(2A，AB k =故线段AB中垂线的斜率为1AB k k -==， 所以AB的中垂线方程为：5)2y x -=-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d == 线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯= 『选修4-5：不等式选讲』23.已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+． 证明：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.24.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值;（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.解：(1)以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，11022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E 111442⎛⎫⎪⎝⎭，，， 于是111442DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||DECD DE CD ⋅⋅＝6.所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . ………8分 由D 1E ＝λEO ，则E ()()121211λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭，，，DE =()()121211λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭，，.10分又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0.得 ()()22220021211y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .12分 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得2λ＝ ．25.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ；（2）求恰好得到()*n n ∈N 分的概率.解：（1）所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===， 其分布列如下105555115()22i i E iC ξ-===∑ （2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面．因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n n P P --=， 即1212()323n n P P --=--． 于是23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列． 所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32n n P =+-． 恰好得到n 分的概率是11[2()]32n +-．。

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含附加题(解析版)

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含附加题(解析版)

再将所得曲线作矩阵 B= [10
0������（] 0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为[012
−1 0 ]，
求 k，θ 的值．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在极坐标系中，已知 A（1，������），B（9，������），线段 AB 的垂直平分线 l 与极轴交于点 C，求 l 的
．
{√2，������
≤
−
√2 2
.
13．在平面直角坐标系中，点集 A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集 Q＝
{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为
．
14．设函数 （f x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数 x0 使得 （f x0）＜0，则实数 a 的取值范围是
．
3．从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为 a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为 b，则 a≤b 的
概率为
．
4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 400，右图为检测结果的频率分布直方图，
根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，
平面 BCF⊥平面 ABCD，BF＝CF，G 为 BC 的中点，求证：
（1）OG∥平面 ABFE；
（2）AC⊥平面 BDE．
17．（14 分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 E＝cvnT，其中 v 为进行时相对于水的速度，
T 为行进时的时间（单位：h），c 为常数，n 为能量次级数，如果水的速度为 4km/h，该生物探测器在水

2020届江苏省海安高级中学高三年级上学期阶段测试(三)数学试题(解析版)

2020届江苏省海安高级中学高三年级上学期阶段测试(三)数学试题(解析版)

绝密★启用前江苏省海安高级中学2020届高三年级上学期阶段性测试(三)数学试题(解析版)一、填空题：（本大题共14题，每题5分，计70分）1.设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】【分析】直接求根据{1,2,4}U A =求出集合A 即可.【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =，则集合A ={3,5}.故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算,是基础题.2.已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位）,则复数z 的模是________．【答案】【解析】【详解】(2)1z i i -=+,11323,i i z i i i++∴=+==-z =.3.已知一组数据123,,a a a ,…,n a 的平均数为a ,极差为d ,方差为2S ,则数据121,a +221,a +321a +,…,21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】【分析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字,得到的新数据的方差是原来数据的平方倍,得到结果．【详解】解： ∵数据123,,a a a ,…,n a 的方差为2S ,∴数据121,a +221,a +321a +,…,21n a +的方差是22224S S ⨯=,故答案为：24S .【点睛】此题主要考查了方差,关键是掌握方差与数据的变化之间的关系．4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为_______．【答案】1011 【解析】 由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯,应填答案1011． 5. 从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______． 【答案】18 【解析】 试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2,则2排在十位或百位,由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0,则。

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2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =ð，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】直接求根据{1,2,4}U A =ð求出集合A 即可. 【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =ð， 则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 10 【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==- 10z =10.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=， 故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。

【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18． 【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b 的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，所以10ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a=，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题. 7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ．【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，即将函数()π4sin 23y x =-的图象向左平移π6个单位得y=4sin[2（x+π6）π3-]=4sin2x ，所以()π4f =4sin 42π=. 故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x的取值范围是_________ 【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性． 9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =， 24cos 1sin 5A A ∴=-=， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯， 3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______. 21.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y +=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩， 解得21x ≥．因此实数x 21．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r 的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r，由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==， 可得5sin 5B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510︒==r r，即有2102555c a ==r r ，则2102524||||cos 4525a c c a ︒⋅=⋅⋅==u u rr r r ．故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________.【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为3()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+u r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c .【答案】(1) 3C π=(2) 36【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 得：2()18AC AB BC AC ⋅+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而利用ABC ∆的面积为93，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r 和(1,cos cos )n A B =r是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r Q ，18()AC AB CB ∴=⋅-u u u r u u u r u u u r 2||AC AC AC =⋅=u u u r u u u r u u u r 则||1832AC ==u u u r32AC =因为ABC V 的面积为93， 所以1sin 932CA CB C ⋅= 即132sin 9323CB π⨯=解得62CB =在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅221(32)(62)232622=+-⨯54=，所以5436AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝2，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．……………7分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．……………………… 10分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时 ，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点61,2⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P . （i ）求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O .【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得22312122a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题． 19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ；（2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（） 可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+② ①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===，41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③， 由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数； 当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析x (0,1)1(1,)+∞()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x e=，列表分析 x(0,1e)1e(1,)e +∞()g x '− 0 +()g x单调递减 单调递增min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e '=-=-，①若1a e≤-则()ln 0af x x x '=-≥，故()f x 在22(,)e e -内没有极值点；②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点；③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->， 因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点；综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点；当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-. 因为当1x >时，1ln 1(*)x x>-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由x 0(1,)x0x0(,1)x a +()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单 22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,203ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为13993(),(22A B线段AB 的中点为553(2A ，3AB k =故线段AB 中垂线的斜率为133AB k k --==， 所以AB 的中垂线方程为：5335)2y x --=- 化简得：3100x +-=， 所以极坐标方程为cos 3sin 100ρθρθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：3y x =的距离为1035331d ==+ 线段8AB =，故ABC ∆的面积为15382032S =⨯=【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b=+-+()22a b a a b=+-++22a b a a b≤++++()22222244242a a a a≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD-中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC ABλ=u u u r u u u r （Rλ∈），且向量PCuuu r与BDu u u r夹角的余弦值为1515.（1）求λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210.【解析】试题分析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-，写出,PCu u u r，BDu u u r的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD的法向量为(),,n x y z=r，根据n PCn DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u rr u r，进而得到⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u rr u rn PCn DC，从而求出nr，向量PBu r的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos,n PB<>r u r，从而得PB和平面PCD所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P，因为DC ABλ=u u u r u u u r，所以(,2,0)Cλ，从而(,2,2)PCλ=-u u u r，则由15cos,15PC BD=u u u r u u u r，解得10λ=（舍去）或2λ=.（2）易得(2,2,2)PC=-u u u r，(0,2,2)PD=-u u u r，设平面PCD的法向量(,,)n x y z=r，则0⋅=r u u u rn PC，0⋅=r u u u rn PD，即0x y z+-=，且0y z-=，所以0x=，不妨取1y z==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n=r，又易得(1,0,2)PB=-u u u r，故10cos,5=⋅=-u u u r rPB n PB n，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为105.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a的通项公式为1515225n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎥=-⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n N∈，记1212n n nS C a C a=++…nn nC a+.（1）求1,S2S的值；（2）求所有正整数n，使得n S能被8整除.【答案】(1) 11S=；23S=；(2) {}*|3,n n k k N=∈【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值；（2）通过化简得到213n n nS S S++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+2121515225n n C C ⎡⎛⎛+ =⋅+⋅+ ⎝⎭⎝…212151515n n n n n C C C ⎫⎛+--⎪ +⋅-⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535225n n ⎡⎤⎛⎛+⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即有1S 515==； 2S 3535==； （2）35355n n S n ⎡⎤+-⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 23535225n S n n +⎡⎤+-=+-+⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535353535352222225n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+⎢⎥⎢⎥-⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦13n n S S +=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1,n n S S +除以8的余数确定，因为11,a =21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=，432324321,S S S =-=-=543363855S S S =-=-=，654316521144,S S S =-=-=7535643255377S S =-=-=，87631131144987,S S S =-=-=987329613772584S S S =-=-= 由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3,n k =*k N ∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．。

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