2010-第2周 密码学中的数学基础知识
密码学中常用数学知识
整除中的一个论断：
若gcd(a,b)=d，则存在m,n，使得d=ma+nb。
那么当gcd(a,b)=1时，有ma+nb=1， 即m是a模b的逆元，n是b模a的逆元。
Galois 域：
如果 n是素数 p ，则模运算modulo p 形成 Galois
Field modulo p
记为： GF(p)
4.1.2 素数和互素数
因子：
• 对整数 b!=0 及 a , 如果存在整数 m 使得 a=mb,称 b 整除 a, 也称b是a的因子。 • 记作 b|a • 例 1,2,3,4,6,8,12,24 整除 24
4.1.6 欧几里得算法
1. 求两个正整数的最大公因子
2. 两个正整数互素，可以求一个数关于另一个数的乘法逆 元 • 性质: 对任意非负整数a和正整数b, 有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) • 证明： a=kb+r≡r mod b a mod b=a-kb 设d是a，b的公因子，即d|a , d|b, 所以d|kb.
同余的性质：
• • • • 若n|(a-b)，则a≡b mod n (a mod n) ≡(b mod n),则a≡b mod n a≡b mod n，则b≡a mod n a≡b mod n， b≡c mod n，则a≡c mod n
求余运算a mod n将a映射到集合{0,1,…,n-1},求余运算称 为模运算。 模运算的性质 –[(a mod n)+(b mod n)] mod n=(a+b) mod n –[(a mod n)-(b mod n)] mod n=(a-b) mod n –[(a mod n)×(b mod n)] mod n=(a×b) mod n
大学安全工程之密码学2第二章 密码学的数学基础
第二章密码学的数学基础•数论－素数－模运算•代数结构•安全性基础－信息论－复杂性理论1为何讲素数？•为何讲数？－加（解）密：数字变换－信息：离散事件－例：A(0),B(1),…,Z(25)•为何讲素数？－素数是数的基础2素数与合数•定义：整数p是一个素数，如果它只能被+p, -p,+1,-1整除．－例：2,3,5,7,11,13,17,…,101,…•全体素数的集合记为P．•定义：如果整数n不是素数，则它是一个合数．－例：4,9,187,900,…4•Theorem:(Fundamental Theorem of Arithmetic)∀n∈N n= p1e1p2e2…pke k ( or Πp i∈Pp e i)where e p is the exponent of the prime factor p•Note:the result of factorization is unique •Example:84=22×3×7数的因子分解56素数•Theorem:There are infinitely many primes •Proof:(by contradiction)Assume , build a number N is There N is a new prime.maxP 1...max 21+=P P P N8Finding GCD•Theorem:•Example:•Complexity∏∏∏=⇒=∧=i b a ib i i a i i i i i i p b a p b p a ),min(),gcd(637*3),gcd(11*7*5*334657*3*28822322==⇒====b a b a )()()(n o c o n T band a the factoring Need =••10Euclidean Algorithm),gcd(:300...:2,:1111123221211010b a r step r and r until r r q r r r q r r r q r step br a r step n n n nn n n =≠=+=+=+===−−−−−16Congruence Relation （同余关系）•同余关系是一个等价关系－自反性－对称性－传递性•等价关系划分⇒ca cb b a ab b a aa ≡⇒≡∧≡≡⇒≡≡Modular Arithmetic（模运算）•We can define the modular arithmetic in the set of integers: Z n={0, 1, 2, …, n-1}•Under normal arithmetic (+,×)–[(a mod n) +(b mod n)] mod n = (a+b) mod n•Proof:Let a=q1n+r1, b=q2n+r2•(a+b) mod n = (q1n+r1+q2n+r2) mod n = (r1+r2) mod n–[(a mod n) ×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n •(+, ×)→(-,÷) ?1819模运算：举例１•(Z 8={0, 1, 2, …, 7}, +)What?模运算说明•Additive Inverse Always Exists–(a+(-a)) = 0 mod n ⇒-a = n-a–if (a+b) ≡(a+c) mod n then b≡c mod n•((-a)+a+b) ≡((-a)+a+c) mod n•Multiplicative Inverse NOT Always Exists –Example:6 in Z8–When?21模运算中的乘法逆•Definition:a-1mod n is the multiplicative inverse of a∈{1,2,…,n-1} when ax≡1mod n•Theorem: If and only if gcd(a,n)=1, then the a-1 mod n exists•Lemma:If gcd(a,n)=1, then a⋅i≠a⋅j mod n for all 0≤i<j<n (i ≠j)–Proof:assume a⋅i≡a⋅j mod n⇒n|a(i-j) ⇒n|i-j⇒i-j=022乘法逆定理•Proof:•⇒–gcd(a,n)=1 ⇒a·{1,…,n-1} mod n is the permutationof {1,…,n-1}–So there exists only an i that a⋅i≡1 mod n–Therefore i is a-1mod n•⇐–Suppose a-1exists, call it x–ax ≡1 (mod n) and ax + yn= 1 for some integer y–gcd(a, n)=1 (gcd(a,n)|ax+yn→gcd(a,n)|1)23如何找到a-1mod n？•在{1,…,n-1} 中寻找,直到找到一个a-1,使得a·a-1≡1 (mod n)–T(n)=O(n)•计算a-1= aϕ(n)-1mod n–寻找ϕ(n) ⇔分解n–T(n)=O(n a)•用Extended Euclidean Algorithm–T(n)=O(log a n)2426求a-1mod ngcd(n,a)•n=aq 1+r 1 r 1=n-aq 1= s 0n+t 0a •a= r 1q 2+r 2 r 2= a-r 1q 2 =s 1n+t 1a ……•r k-1 =s k-1n+t k-1a•r k-1=gcd(n, a)•若gcd(n, a) =1，则s k-1n+t k-1a =1 ⇒t k-1a ≡1 mod n ⇒t k-1≡a -1mod nGCD(1970,1066)1970=1*1066+904 gcd(1066,904)1066=1*904+162 gcd(904,162)904=5*162+94 gcd(162,94)162=1*94+68 gcd(94,68)94=1*68+26 gcd(68,26)68=2*26+16 gcd(26,16)26=1*16+10 gcd(16,10)16=1*10+6 gcd(10,6)10=1*6+4 gcd(6,4)6=1*4+2 gcd(4,2)4=2*2+0 gcd(2,0)如何找到t k-1 ?28Step 1:r 0 =n and r 1 =aStep 2:r 0 =q 1r 1+r 2 Ær 2 =r 0 -q 1r 1 =-q 1r 1 mod nlet x 2= -q 1then r 2 =x 2r 1 mod nr 1 =q 2r 2+r 3 Ær 3 =r 1 –q 2r 2 =(1-x 2q 2)r 1 mod nlet x 3= 1-x 2q 2then r 3 =x 3r 1 mod n ……r n-3 = q n-2r n-2+r n-1 Ær n-1 =r n-3 –q n-2r n-2 mod nlet x n-1= x n-3-x n-2q n-2then r n-1 =x n-1r 1 mod n Now r n-1=1Step 3:Result is x n-2 =a -1mod nExtended Euclidean Algorithm29例：求7-1mod 26r 4 = r 2 -2r 3= r 2-2(r 1-r 2)= -2r 1+3r 2= -2r 1+3(r 0-3r 1)= 3r 0-11r 1⇒t 4= -11⇒7-1mod 26 = 15r 0 q 1 r 1r 226=3*7+5r 1 q 2 r 2r 37 =1*5+2r 2 q 3 r 3r 45 =2*2+1例：求3-1mod 26=930Euler phi Function•是在比n 小的正整数中与n 互素的数的个数．•例如：•若n 是素数，则显然有φ(n)=n-1。
密码学中的数论基础课件
02
RSA算法的安全性基于大数分解的难度，使得 加密和解密过程更加复杂。
03
RSA算法广泛应用于数据传输和网络安全领域 。
ElGamal算法
ElGamal算法是一种基于离散对数问题的公钥加密算法。 该算法利用了数论中的离散对数问题，使得加密和解密过程更加高效。
ElGamal算法在数字签名和密钥协商等领域也有广泛应用。
展望：量子密码学与后量子密码学的未来发展
后量子密码学
后量子密码学是指那些在量子计算机时代仍然具有优 势的密码系统。随着量子计算机的发展，许多传统的 加密算法可能会被破解，而后量子密码学则能够提供 更为安全的加密方式。未来，后量子密码学会得到越 来越广泛的应用和发展。
THANKS
和窃听的风险。
复杂性
为了实现更高级别的 安全性，密码学需要 处理复杂的数学问题 和计算难题。这使得 密码学在实际应用中 面临一定的复杂性挑
战。
可用性
密码学需要保证信息 的可用性和完整性。 在现实生活中，由于 各种原因，如网络延 迟、系统故障等，可 能会出现信息不可用
或损坏的情况。
隐私保护
随着大数据和人工智 能的发展，个人隐私 保护成为一个重要的 问题。密码学需要在 保证信息传输安全的 同时，确保个人信息 不被泄露和滥用。
圆曲线等。
第四部分
04
介绍密码学中的一些现代协议，如密钥交换协 议、数字签名方案和零知识证明等，并介绍其
原理、实现和应用。
02
数论基本概念
整数的性质
整数的分类
正整数、负整数和零。
整数的性质
加法、减法、乘法和除法等运算的封闭性、交换 律、结合律等。
整数的基本运算
加法、减法、乘法和除法等。
数学知识点归纳数论与密码学的基础
数学知识点归纳数论与密码学的基础数学知识点归纳：数论与密码学的基础数论是数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
而密码学是应用数论的一个领域，研究的是信息保密和安全通信的方法。
本文将就数论和密码学的基础知识进行归纳和总结。
一、数论的基础知识1. 整数和整除性质：整数是自然数、0和负整数的集合。
整除是指一个数能够整除另一个数，也可以说是被整除的那个数是另一个数的倍数。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个数中最大的能够同时整除它们的数；最小公倍数是能够同时被两个数整除的最小的非零自然数。
3. 模运算：模运算是指将一个数对另一个数取余得到的结果，表示为a mod b。
常用于解决循环问题、计算机编程和密码学等领域。
4. 素数和合数：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的非素数称为合数。
二、RSA公钥密码体制RSA密码体制是一种基于数论的非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman共同发明。
它利用了大数分解的困难性来提供安全性。
1. 密钥生成：RSA算法需要生成一对公私密钥。
首先选择两个不同的素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
选择一个与(p-1)*(q-1)互质的整数e作为公钥，计算私钥d使e*d ≡ 1(mod (p-1)*(q-1))。
2. 加密过程：将明文M转换为整数m，然后使用公钥(e,n)对明文进行加密，得到密文C ≡ m^e(mod n)。
3. 解密过程：使用私钥(d,n)对密文进行解密，得到明文M ≡C^d(mod n)。
三、素性测试素性测试是判断一个大数是否为素数的方法，其中最著名的是费马素性测试和米勒-拉宾素性测试。
1. 费马素性测试：根据费马小定理，如果p是素数且a是p的一个互质整数，那么 a^p-1 ≡ 1(mod p)。
因此，对于一个给定的大数n，若不等式a^n-1 ≡ 1(mod n)成立，那么n一定是合数。
费马素性测试虽然简单，但在实际应用中效果较差。
密码学的数学基础及其应用
密码学的数学基础及其应用密码学是现代信息安全领域中的重要分支，它涵盖了加密、解密、数字签名、密钥管理等方面。
其基本目的是确保信息的安全性、可靠性和隐私性。
密钥是解密或解码所需的加密或编码过的文本，因此，密码学的基础是在数学和其他相关学科中找到可行的方法来创建和管理密钥。
一、密码学的数学基础密码学的数学基础主要包括大量的数学理论、算法和问题，这些是建立密码体系必不可少的基础。
其中，最基础也最重要的是数论、代数、离散数学和计算机科学。
1. 数论数论是密码学的基础。
在密码学中，一种常用的数论方法叫做模运算。
模运算是在某一范围内进行的算术运算，例如将100除以7得到的余数是2，即100 mod 7 = 2。
这个方法被用于创建密钥和密码。
2. 代数代数在密码学中的作用与数论一样重要。
这是因为密码的创建和破解过程中，有时需要用到代数方法。
例如，当使用基于公钥的密码体系时，常常需要使用解方程式的方法来计算密钥。
3. 离散数学离散数学是密码学的关键，特别是在数据结构、图论、组合数学等方面。
在密码学中，离散数学的一种应用是用于构建Diffie-Hellman密钥交换协议和ElGamal加密算法等。
4. 计算机科学计算机科学是密码学的另一个重要基础。
密码学中使用的大多数算法都需要计算机的支持。
因此，对于密码学的学习者，必须了解计算机科学的基础知识，例如数据结构、算法、计算机体系结构和操作系统等。
二、密码学的应用密码学的应用涵盖了众多领域。
在计算机网络安全领域，有四种常见的密码学应用。
1. 对称加密技术对称加密技术是一种常见的密码技术，使用相同的密钥加密和解密数据。
这种技术能够快速加密和解密数据，但有一个问题是，不安全地传输密钥会导致密钥泄漏的风险。
2. 公钥加密技术公钥加密技术也被称为非对称加密技术。
它使用两个密钥，一个用于加密数据，另一个用于解密数据，因此只有拥有私钥的人才能读取数据。
这种技术缺点是速度慢，因为加密和解密都需要昂贵的数学计算。
数学与密码学加密算法的数学基础
数学与密码学加密算法的数学基础密码学加密算法是现代通信和信息安全领域至关重要的技术之一。
而实现这些加密算法的核心就是数学。
在本文中，我们将探讨数学与密码学加密算法之间的密切关系，以及这些加密算法背后的数学基础。
一、对称加密算法对称加密算法是最早也是最简单的加密算法之一。
它使用相同的密钥进行加密和解密操作。
这些算法的核心基于数学方法，例如位运算、模运算和异或运算等。
位运算是一种对二进制数据进行操作的数学运算，广泛应用于密码学中。
通过对数据进行按位和异或运算，可以实现高效、快速的加密和解密过程。
例如，常见的对称加密算法DES（Data Encryption Standard）使用了复杂的置换和替换运算，利用二进制编码的数据处理方式实现数据保护。
这些操作背后依赖了离散数学中的置换群和线性代数等数学理论。
二、非对称加密算法与对称加密算法不同，非对称加密算法使用一对密钥，即公钥和私钥。
公钥可以公开给其他人使用，而私钥则保密。
非对称加密算法的数学基础是基于数论中的一些难题，例如大素数分解问题和离散对数问题。
RSA算法是最著名的非对称加密算法之一。
该算法是基于数论中的欧拉函数和模取幂运算等数学概念。
通过选择合适的大素数，并进行一系列数学运算，可以生成非常强大的加密算法。
三、哈希函数哈希函数是一种重要的密码学工具，用于将任意长度的输入数据转换为固定长度的输出数据。
哈希函数具有不可逆性和唯一性的特性，也就是说，无法通过输出数据反推出输入数据，并且不同的输入数据会产生不同的输出。
经典的哈希函数，例如MD5和SHA（Secure Hash Algorithm），都是基于数学原理设计的。
这些函数利用了位运算、模运算和异或运算等数学方法，以及数论中的散列函数定理和模取幂运算等概念。
通过这些数学基础，哈希函数可以提供高度的数据安全性和完整性。
四、椭圆曲线密码学（ECC）椭圆曲线密码学是近年来发展起来的一种密码学分支，它利用了椭圆曲线上的数学性质来实现加密算法。
密码学的数学基础
密码学的数学基础密码学是研究信息安全和通信保密的一门学科，它涉及到数据加密、解密、认证、签名以及密码系统的设计等领域。
密码学作为信息安全的基石，具备坚实的数学基础。
本文将探讨密码学中涉及的一些重要的数学原理和算法。
一、模运算在密码学中，模运算是一种关键的数学运算，它对于生成密码算法和破解密码算法都有着重要作用。
模运算是指对于给定的正整数n，将一个整数a除以n所得的余数。
模运算具有以下几个重要性质：1. 加法的封闭性。
对于任意的整数a和b，(a+b) mod n=(a mod n + b mod n) mod n。
2. 乘法的封闭性。
对于任意的整数a和b，(a×b) mod n=(a mod n × b mod n) mod n。
3. 乘法的分配律。
对于任意的整数a、b和c，(a+b) mod n=(a mod n + b mod n) mod n。
二、欧拉函数和费马小定理在密码学中，欧拉函数和费马小定理是密码算法设计的重要数学基础。
1. 欧拉函数欧拉函数φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。
对于任意正整数n，欧拉函数满足以下性质：- 如果p是一个质数，那么φ(p)=p-1。
- 如果a和b互质，那么φ(a×b)=φ(a)×φ(b)。
2. 费马小定理费马小定理是一个基本的数论定理，它指出如果p是一个质数，a是不可被p整除的整数，那么a^(p-1) mod p ≡ 1。
费马小定理在密码学中应用广泛，特别是在RSA算法中。
RSA算法是一种非对称加密算法，基于大数因子分解的困难性。
三、素数和大数因子分解密码学中的许多算法都依赖于素数和大数因子分解的困难性。
1. 素数素数是只能被1和自身整除的正整数。
在密码学中，素数的选取十分重要，因为对于一个大的合数，将其分解质因数是非常困难的。
2. 大数因子分解大数因子分解是指将一个大的合数分解成质因数的过程。
在密码学中，大数因子分解的困难性是许多加密算法的基础，如RSA算法。
第2章 密码学基础知识
密码学的数学基础
素数
如何判断一个数是否为素数？
本章授课提纲
（1）整除
（2）素数
（3）最大公约数 （4）欧几里德算法
最大公约数
最大公约数的定义 a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor ） 是能够同时整除a和b的最大正整数，记为gcd(a,b) 或者(a,b)。 例如：gcd(6,4)=2，gcd(5,7)=1，gcd(24,60)=12 互素的定义 如果gcd(a,b)=1，就称a和b互素
证明：记a-b=nk，b-c=nl，那么两式相减得ac=n(k-l)，所以a≡c(mod n)。
模运算和同余
模运算和同余的性质 性质五：如果m|(a-b)，则a≡b(mod m) 证明：由已知条件可得a-b=km，k为某一整数； 进而可得a=b+km，故a(mod m)=(b+km)除以m的余 数=b除以m的余数=b(mod m)，由同余的第二个定 义可以得证。
[11(mod 8)-15(mod 8)](mod 8)=(3-7)(mod 8)=4
=(11-15)(mod 8)=-4(mod 8)=4
模运算和同余
模运算的乘法的结合律 [a(mod n)〓b(mod n)](mod n)=(a〓b)(mod n) 举例： [11(mod 8)〓15(mod 8)](mod 8)=(3〓7)(mod 8)=21(mod 8)=5 =(11〓15)(mod 8)=165(mod 8)=5
欧几里德算法
欧几里德算法的精确描述 两个整数用a,b表示，商用q表示，余数用r表示 Step1 取a,b较大者为a，较小者为b Step2 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b) Step3 将原来的除数改做被除数，余数作为除数 a=b,b=r 重复Step1和Step2直到r=0，返回b
密码学中的数学原理
密码学中的数学原理密码学是研究如何在通信过程中保护信息安全的学科，它涉及到许多数学原理和算法。
在密码学中，数学原理起着至关重要的作用，它们为加密算法的设计和安全性提供了坚实的基础。
本文将介绍密码学中一些重要的数学原理，包括模运算、离散对数、椭圆曲线等内容。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学运算之一，它在加密算法中扮演着重要的角色。
在模运算中，我们需要计算一个数除以另一个数的余数。
例如，对于整数a和b，a mod b的结果就是a除以b的余数。
模运算在密码学中广泛应用于数据加密和密钥生成等过程中，能够保证数据的安全性和完整性。
二、离散对数离散对数是密码学中另一个重要的数学原理，它与模运算密切相关。
在离散对数问题中，给定一个底数、一个模数和一个结果，需要找到满足指定条件的指数。
离散对数问题的复杂性使得它成为许多公钥加密算法的基础，如RSA算法和Diffie-Hellman密钥交换算法。
三、椭圆曲线椭圆曲线是密码学中一种重要的数学结构，它具有许多优秀的性质，被广泛应用于公钥密码系统中。
椭圆曲线密码学利用椭圆曲线上的点运算来实现加密和签名等功能，具有高效性和安全性。
椭圆曲线密码学已成为当前密码学领域的研究热点，被广泛应用于数字货币、物联网等领域。
四、费马小定理费马小定理是密码学中常用的数论定理，它为RSA算法等公钥密码系统提供了理论基础。
费马小定理表明，对于任意素数p和整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
利用费马小定理，可以验证素数性、生成大素数、计算模逆元等操作，为密码学中的各种算法提供了支持。
五、素数检测素数检测是密码学中的一个重要问题，因为许多加密算法的安全性建立在大素数的基础上。
素数检测算法可以判断一个给定的数是否为素数，其中Miller-Rabin素数检测算法是一种常用且高效的算法。
通过素数检测，可以确保生成的大素数满足密码学算法的要求，提高系统的安全性。
六、RSA算法RSA算法是一种基于大整数因子分解的公钥加密算法，它利用费马小定理和欧拉定理等数学原理实现数据加密和数字签名等功能。
2密码学的数学基础
绝对语言率：每个字符编码的最大比特数，这里 假设每个字符序列出现的机会相等。
若语言中有L个字母，则绝对语言率为： R = log2L 为单个字母的最大熵。 英语的绝对语言率：log 26 4.7比特/字母 2
冗余度：语言的冗余度记为D，定义为： D=R-r 其中，R为绝对语言率，r为自然语言率。
P空间问题：可以在多项式空间内求解，但不能在多项 式时间内求解的问题。
P空间完全问题：与其他P空间问题同等困难。
指数时间问题：在指数时间内求解。
指数时间的 P空间完全的 P空间 NP完全的 NP
P
2.3 初等数论
2.3.1 模运算 2.3.2 素数 2.3.3 最大公因数 2.3.4 乘法逆元素 2.3.5 Fermat小定理及欧拉函数 2.3.6 中国剩余定理 2.3.7 二次剩余 2.3.8 Legendre（勒让得）符号 2.3.9 Jacobi（雅各比）符号 2.3.10 生成元 2.3.11 有限域中的计算
2.1.5 混乱与扩散
混乱：在加密变换中，让密钥与密文的关系尽可 能复杂的做法。 实现混乱的方法：代替（恺撒密码） 扩散：在加密过程中，尽可能将明文的统计特性 在密文中消除。 实现扩散的方法：换位（钥控序列加密法）
2.2 复杂性理论
2.2.1 算法复杂性 2.2.2 问题复杂性
2.2.1 算法复杂性
模运算（+、－、 ）满足交换律、结合律和分配律。 按模计算原理：对中间结果作模运算与做完了全部运算 后再做模运算结果相同。
按模指数运算：am mod n
将指数运算作为一系列乘法运算，每次做一次模运算。 8 2 2 2 例：a mod n = ((a mod n) mod n) mod n 当m不是2的乘方时，将m表示成2的乘方和的形式。 4 3 0 例如：25=(11001)2，即25=2 +2 +2 a25 mod n = (a16 a8 a) mod n = ((((a2)2)2)2 ((a2)2)2 a) mod n = ((((a2 a)2)2)2 a) mod n 适当存储中间结果，则只需6次乘法： (((((((a2mod n) a)mod n)2mod n)2mod n)2mod n) a)mod n
数学与计算机科学密码学的数学基础
数学与计算机科学密码学的数学基础密码学作为计算机科学的一个重要分支，其核心是研究如何保护信息的安全性和隐私性。
而要理解密码学的数学基础，就必须掌握数学与计算机科学密切相关的数学知识。
本文将简要介绍密码学的数学基础，包括数论、代数、离散数学和信息论等方面。
一、数论1. 整数与素数：在密码学中，整数和素数是非常重要的概念。
我们需要了解整数的性质，包括奇偶性、质因数分解等。
而素数则在密码学中用于生成密钥和构建加密算法。
2. 模运算：模运算在密码学中有着广泛的应用。
我们需要了解模运算的基本定义和性质，如同余定理、模逆元等，并掌握如何使用模运算进行加密和解密操作。
3. 欧拉函数与欧拉定理：欧拉函数是指小于某个正整数n且与n互质的正整数的个数。
欧拉定理则是指在模n的情况下，若a与n互质，那么a的欧拉指数一定是n的欧拉函数的倍数。
这些概念在密码学中用于生成RSA加密算法的密钥。
二、代数1. 群论与环论：密码学中的加密算法和解密算法可以视为群的运算过程。
我们需要了解群和环的基本定义，以及群论和环论的一些基本性质，如封闭性、结合律、单位元等。
2. 有限域与扩域：有限域是一种具有有限个元素的域，而扩域则是指通过扩展域中的元素来生成新的域。
在密码学中，有限域和扩域被广泛应用于椭圆曲线密码和有限域上的运算。
三、离散数学1. 图论与网络流：密码学中的一些加密算法可以利用图论和网络流的方法进行建模与分析。
我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径等，以及网络流的基本算法，如最大流最小割定理等。
2. 组合数学：组合数学是研究离散对象的组合与排列问题的数学分支。
在密码学中，我们需要掌握组合数学的基本概念和技巧，例如排列组合、二项式系数等。
四、信息论1. 熵与信息量：信息论是研究信息传输、压缩和保密性的数学分支。
在密码学中，我们需要了解熵的概念和计算方法，以及信息量的度量和编码技术。
2. 纠错码与检验码：为了确保信息传输的可靠性，我们需要借助纠错码和检验码来检测和纠正传输过程中的错误。
密码学的数学基础
密码学的数学基础密码学是研究加密和解密技术的学科，涉及保护通信、数据传输和信息安全的领域。
它建立在数学和计算机科学的基础之上，其中数学起到了至关重要的作用，为密码学提供了理论基础和加密算法的设计原理。
1.数论数论是密码学中的核心数学学科之一，尤其是在公钥密码学领域。
数论的重要概念和原理包括：•素数理论：素数是密码学中的关键概念，例如，RSA算法就是基于大素数分解的难解性。
•模运算：模运算（ 取模运算）在加密算法中有广泛的应用，例如在对称密码学和公钥密码学中都有用到。
2离散数学离散数学提供了密码学中许多重要概念和工具，例如：•布尔代数：对称密码学中的代换和置换操作可以用布尔代数进行描述。
•图论：在密码学中，图论用于描述和分析各种密码算法的结构。
3.线性代数线性代数在密码学中的应用主要涉及到向量、矩阵和线性空间：•矩阵运算：许多密码算法（ 比如AES）使用了矩阵运算来进行加密和解密。
•向量空间：在错误检测和纠正、密码系统设计中有广泛应用。
4.复杂性理论和算法复杂性•复杂性理论：对称密码学和公钥密码学中的许多算法都基于某些数学难题的困难性，如大素数分解、离散对数等。
•算法复杂性：设计有效的加密算法需要考虑到算法的复杂性，使其具有足够的安全性和效率。
5.概率论与信息论•概率论：在密码学中，概率论用于分析密码算法的安全性，并评估密码系统受到攻击的概率。
•信息论：信息论涉及信息的量度和传输，为密码学提供了一些加密和解密的基本原理。
这些数学学科为密码学提供了理论基础和设计加密算法的数学原理。
通过利用数学难题的困难性，结合算法设计和信息理论，密码学可以实现信息的安全传输和储存，保障信息的机密性和完整性。
密码学中的数学
密码学中的数学密码学，这门古老而神秘的学科，在数字化时代变得尤为重要。
它的核心在于利用数学原理来保护信息安全，确保数据在传输和存储过程中的隐私和完整性。
本文将简要介绍密码学中涉及的几个关键数学概念。
对称加密算法对称加密算法是密码学的基础之一，它使用相同的密钥进行数据的加密和解密。
这种算法的核心在于置换和替换过程，它们通常依赖于数论中的一些基本概念，如模运算、素数和最大公约数。
例如，经典的凯撒密码就是一种简单的替换密码，它将字母表中的每个字母按照固定数目进行偏移。
公钥加密算法与对称加密不同，公钥加密算法（也称为非对称加密）使用一对密钥：一个用于加密（公钥），另一个用于解密（私钥）。
这一机制的安全性基于某些数学问题的计算难度，最常见的是大数分解问题和离散对数问题。
RSA算法就是一个著名的例子，它的安全性建立在大素数乘积的难以因式分解上。
哈希函数哈希函数是密码学中的另一个重要工具，它能将任意长度的数据映射到固定长度的输出。
好的哈希函数具有抗碰撞性，意味着找到两个不同输入导致相同输出的情况极其困难。
常见的哈希算法包括MD5、SHA系列等，它们广泛应用于数字签名和数据完整性校验中。
随机数生成在密码学中，随机数的生成至关重要，因为它们用于密钥的产生和协议的安全运行。
真正的随机数是不可预测的，因此密码学应用中常使用伪随机数生成器（PRNGs）。
这些生成器基于复杂的数学算法来模拟真正的随机性。
椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学（ECC）是一种基于椭圆曲线数学的公钥加密技术。
相比传统的公钥加密方法，如RSA，ECC提供相同级别的安全性，但可以使用更小的密钥尺寸，这使得ECC 在移动设备和带宽受限的环境中特别有用。
总结而言，密码学中的数学是构建安全通信系统的基石。
通过深入了解和应用这些数学原理，我们可以更好地保护数据免受未授权访问和篡改。
随着技术的发展，密码学和其背后的数学将继续演化，以应对新的安全挑战。
数学教学中的密码学基础与应用探索
数学教学中的密码学基础与应用探索在当今数字化的时代，信息安全成为了至关重要的问题。
密码学作为保护信息安全的核心学科，不仅在军事、金融、通信等领域发挥着关键作用，也逐渐走进了数学教学的课堂。
密码学与数学的紧密结合，为学生提供了一个将理论知识应用于实际问题的绝佳机会，同时也能激发学生对数学的兴趣，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
一、密码学的基本概念密码学主要包括两个方面：加密和解密。
加密是将明文（原始的可理解的信息）通过特定的算法转换为密文（不可理解的形式），以防止未经授权的访问。
解密则是将密文恢复为明文的过程。
在密码学中，有几个关键的概念需要理解。
首先是密钥，它是加密和解密过程中使用的秘密参数。
根据密钥的使用方式，密码系统可以分为对称密钥密码系统和非对称密钥密码系统。
对称密钥密码系统中，加密和解密使用相同的密钥，常见的算法如 AES（高级加密标准）。
而非对称密钥密码系统则使用一对密钥，即公钥和私钥，公钥可以公开，用于加密，私钥必须保密，用于解密，RSA 算法就是一种常见的非对称加密算法。
其次是哈希函数，它将任意长度的输入映射为固定长度的输出，并且具有不可逆性，常用于验证数据的完整性和一致性。
二、密码学中的数学基础密码学的实现离不开坚实的数学基础。
数论是其中的重要组成部分，例如，模运算在 RSA 算法中起着关键作用。
质数的性质和分解在生成密钥以及确保密码系统的安全性方面也具有重要意义。
组合数学在密码学中也有广泛的应用。
比如，在生成一次性密码本时，需要考虑随机数的生成和排列组合。
概率论则用于评估密码系统的安全性和破解的难度。
线性代数在一些现代密码算法中，如椭圆曲线密码学，也扮演着重要角色。
通过利用椭圆曲线上点的运算来实现加密和解密，提高了密码系统的效率和安全性。
三、密码学在数学教学中的意义将密码学引入数学教学具有多方面的意义。
首先，它能够激发学生的学习兴趣。
密码学中的谜题和挑战往往能够吸引学生的注意力，让他们主动参与到学习中来。
密码学中的数论基础
模递归运算
➢模递归运算是“模除求余” ➢例.r = a mod n 计算 a = d.n + r ➢ 33 mod 7 = 4.7 + 5; 得数是 5 ➢一般, r 取正数 ➢例 -18 mod 7 = -3.7 + 3; 答案是3
➢a+/-b mod n = [a mod n +/- b mod n] mod n
模算术运算
▪ 加法 a+b mod n ▪ 减法 a-b mod n = a+(-b) mod n
乘法\除法
▪ 乘法 ▪ a.b mod n
➢ 反复加法
▪ 除法
➢ a/b mod n ➢ 乘以b旳逆元: a/b = a.b-1 mod n ➢ 假如n是素数, b-1 mod n 存在 s.t b.b-1 = 1 mod n ➢ 例. 2.3=1 mod 5 hence 4/2=4.3=2 mod 5
1.2 模运算
▪ 又由gcd(a，n)=1，得a是k1-k2旳一种因子，设k1k2=k3a，所以a(b-c)=k3an，即b-c=k3n，与 0<c<b<n矛盾。 所以|a×Zn|=|Zn|，又知a×Zn Zn，所以 a×Zn=Zn。所以对1∈Zn，存在x∈Zn，使得 a×x≡1 mod n，即x是a旳乘法逆元。记为x=a-1。 （证毕）
乘法逆元。本例可见 并非每一x都有乘法逆 元。
1.2 模运算
一般地，定义Zn为不大于n旳全部非负整 数集合，即Zn={0,1, …,n-1}，称Zn为模n旳 同余类集合。其上旳模运算有下列性质： ① 互换律 (w+x) mod n=(x+w) mod n
(w×x) mod n=(x×w) mod n ② 结合律 ::
密码学中的数学原理
密码学中的数学原理密码学是研究如何保护信息安全的学科，它涉及到许多数学原理和算法。
在密码学中，数学原理被广泛应用于加密和解密过程中，以确保信息的机密性、完整性和可用性。
本文将介绍密码学中的一些重要数学原理。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学运算之一。
它是指将一个数除以另一个数后所得的余数。
在密码学中，模运算常用于生成密钥、加密和解密算法中。
例如，在对称加密算法中，密钥的生成和加密过程都涉及到模运算。
二、欧拉函数和欧拉定理欧拉函数是指小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉定理是指对于任意正整数a和n，如果a和n互质，那么a的欧拉函数值与n的欧拉函数值的乘积加1后对n取模的结果等于1。
欧拉函数和欧拉定理在公钥密码学中起着重要的作用，例如RSA算法中的密钥生成和加密过程都依赖于欧拉函数和欧拉定理。
三、离散对数问题离散对数问题是指在一个有限域中，给定一个底数a和一个数b，求解满足a^x ≡ b (mod n)的x的值。
离散对数问题是密码学中的一个重要问题，许多公钥密码算法的安全性都基于离散对数问题的难解性，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
四、大素数的生成在密码学中，大素数的生成是非常重要的。
大素数的生成通常使用随机数生成算法和素性测试算法。
随机数生成算法用于生成一个大的随机数，然后使用素性测试算法判断该数是否为素数。
生成大素数的目的是为了保证密码算法的安全性，因为大素数的因子分解是一个非常困难的问题。
五、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学原理的密码学方法。
它利用椭圆曲线上的离散对数问题来实现加密和解密过程。
椭圆曲线密码学具有较高的安全性和较小的计算量，因此被广泛应用于公钥密码学中。
六、哈希函数哈希函数是一种将任意长度的输入数据映射为固定长度输出的函数。
在密码学中，哈希函数常用于生成消息摘要和数字签名。
哈希函数具有单向性、抗碰撞性和不可逆性等特性，能够保证数据的完整性和认证性。
2010-第2周 密码学中的数学基础知识
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
0 1 2
89 60 60 29 29 2
3
3
29=14·2+1
2=2·1+0
2
1
1
0 终止
28
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
x
244 117 10 7
y
117 10 7 3
gcd = ax+by
0 1 2 3
35
求逆元举例
gcd(244,117):
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7 10=7+3 7=2·3+1
x
244 117 10 7 3
y
117 10 7 3 1
gcd = ax+by
12
同余性质
2. 设m是一个正整数， ① ad≡bd(mod m), 如果(d, m)=1, 则a≡b(mod m) ② a≡b(mod m), k>0, 则ak≡bk(mod mk) ③ a≡b(mod m), 如果d是m的因子，则a≡ b(mod
d) 下面对①③进行证明。
13
同余性质
① 证 明 ： 若 ad≡bd(mod m), 则 m|(ad-bd), 即 m|d(a-b). 因(d, m)=1，故m|(a-b), 即a=b(mod m) ③ 证明：d是m的因子，故存在m’, 使得m=dm’. 因为a≡b(mod m), 存在k, 使得a=b+mk= b+ dm’k. 等式 两边模d, 可得a≡b(mod d).
密码学数学基础
( a b ) m n o (a m (d n ) o ( b m d n )m o )n d o
讲解：XX
• 例（7+9）mod11 • （7×9）mod11 • 计算 97 mod 13 • 证明 13200-1 是51的倍数
讲解：XX
• 例 说明 225 1是否被641整除。
•解： • 22 4，24 16，28 256，216 154，232
• 由于每个非零整数的因数的个数是有 限的，所以最大公因数是存在的，且是正 整数。
讲解：XX
最大公因数
• 若(a1, a2, , an) = 1， • 则称a1, a2, , an是互质的； • 若(ai, a j) = 1，1 i, j n，i j， • 则称a1, a2, , an是两两互质的。 • 显然，a1, a2, , an两两互质可以推出(a1,
讲解：XX
• 计算欧拉函数的公式
• 1. 若一个数m可以写成m= p1e1p2e2 ptet
• ( p i 为素数)，则
t
(m) piei1(pi 1)
i1
• 2.对任一正整数m，若其可写成，
•
则 p1e1p2e2 ptet
(m)m(1 1)Leabharlann 讲解Pi：XXpi
• 欧拉定理 • 对于任何互素的两个整数a和n，有
a(n) 1mond
• 当n为素数时，欧拉定理相当于费马定理
讲解：XX
• 求7803的后三位数字 • 求11803的后三位数字
讲解：XX
• 思考
• 1、如果今天是星期一，问从今天起再过
讲解：XX
• 任何大于1的整数a都可以分解成素数幂 之积，且唯一。
ap 1 a 1 p 2 a 2 p ta t
密码学数学基础
1附录 密码学的数学基础（翟起滨）1 数的整除性初等数论研究的基本对象是整数集合},3,2,1,0{K ±±±=Z和自然数集合(即正整数集合)},4,3,2,1{K =N在集合N 中可以进行加法和乘法运算，即两个自然数之和或乘积仍然是自然数，在集合Z 中除了加法和乘法之外还可以做减法运算，并且这些运算满足一些规律(即：加法和乘法的结合律和交换律，加法和乘法的分配律)，但是一般不能作除法，也就是说，设a 和b 是整数，0≠b ，则b a /不一定是整数。
即不一定存在整数c ，使得bc a =。
由此产生出数论中的第一个基本概念：数的整除性。
1.1除数(因子)和整除的概念：定义：设Z 为有全体整数而构成的集合，若 0b ≠且Z m b a ∈,,使得mb a =此时称b 整除a 。
记为a b |,还称b 为a 的除数(因子)。
如果不存在整数m 使得mb a =则称b 不整除a 。
例如：24的正因子是：1、2、3、4、6、8、12和24。
对于数的整除有以下规则成立：1. 如果1|a 则1±=a 。
22. 如果 b a |且a b |，则b a ±=。
3. 任何0≠b 能整除0。
4. 如果g b |而且h b |，则对任意整数m 和n 有)(|nh mg b +。
为明白最后一个规则，证明如下：如果g b |，则g 是b 的倍数，可以表示成：1g b g ×=，1g 为某一整数。
如果h b |，则h 是b 的倍数，可以表示成：1h b h ×=，1h 为某一整数。
故有：)(1111nh mg b nbh mbg nh mg +×=+=+所以b 能整除nh mg +。
1.2素数(质数)的概念:定义：整数1>p 被称为素数，是指p 的因子仅有p p −−,,1,1。
算术基本定理 ：任意大于1的整数a 都能被因式分解为如下的唯一形式：t t P P P a αααK 2121=其中11t t P P P −>>K f 都是素数而且每一个()K ,3,2,10=>i i α。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7
x
244 117 10 7 3 1
y
117 10 7 3 1 0
gcd = ax+by
0 1 2 3 4 5
1=-2·10+3·(117-11·10) = 3·117-35·10 1=7-2·(10-7) = -2·10+3·7 1=7-2·3
a
b
gcd = xa+yb
0 1 2
89 60 60 29 29 2
26
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
0 1 2
89 60 60 29 29 2
3
29=14·2+1
2
1
27
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7 10=7+3 7=2·3+1
x
244 117 10 7 3
y
117 10 7 3 1
gcd = ax+by
0 1 2 3 4
1=7-2·(10-7) = -2·10+3·7 1=7-2·3
5
3=3·1+0
1
0
终止
39
求逆元举例
12
同余性质
2. 设m是一个正整数， ① ad≡bd(mod m), 如果(d, m)=1, 则a≡b(mod m) ② a≡b(mod m), k>0, 则ak≡bk(mod mk) ③ a≡b(mod m), 如果d是m的因子，则a≡ b(mod
d) 下面对①③进行证明。
13
同余性质
① 证 明 ： 若 ad≡bd(mod m), 则 m|(ad-bd), 即 m|d(a-b). 因(d, m)=1，故m|(a-b), 即a=b(mod m) ③ 证明：d是m的因子，故存在m’, 使得m=dm’. 因为a≡b(mod m), 存在k, 使得a=b+mk= b+ dm’k. 等式 两边模d, 可得a≡b(mod d).
23
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
x = qy + r -
x
y
gcd = ax+by
0
89 60
24
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
a= qb + r 89=1·60+29
a
b
gcd = xa+yb
0 1
89 60 60 29
25
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
0 1 2 3 4
36
求逆元举例
gcd(244,117):
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7 10=7+3 7=2·3+1 3=3·1+0
x
244 117 10 7 3 1
y
117 10 7 3 1 0
gcd = ax+by
0 1 2 3 4 5
37
求逆元举例
gcd(244,117):
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7 10=7+3 7=2·3+1 3=3·1+0
x
244 117 10 7 3 1
y
117 10 7 3 1 0
gcd = ax+by
0 1 2 3 4 5
1=7-2·3
终止
38
求逆元举例
gcd(244,117):
Step
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
0 1 2
89 60 60 29 29 2
3
3
29=14·2+1
2=2·1+0
2
1
1
0 终止
28
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
0 1 2
89 60 60 29 29 2
3
3
29=14·2+1
2=2·1+0
2
1
1
0
1=29-14·2
终止
29
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
a= qb + r 89=1·60+29
a
b
gcd = xa+yb
0 1
89 60 60 29
2
3 3
60=2·29+2
29=14·2+1 2=2·1+0
17
辗转相除法 举例
例 求gcd(184, 136)。 184=1×136+48, gcd(184,136)= gcd(136,48) 136=2×48+40, gcd(136, 48)= gcd(48, 40) 48=1×40+8, gcd(48, 40)= gcd(40, 8) 40=5×8+0, gcd(40, 8)=8 因此gcd(184, 136)= gcd(136, 40) = gcd(48, 8) = 8。
x
244 117 10 7
y
117 10 7 3
gcd = ax+by
0 1 2 3
35
求逆元举例
gcd(244,117):
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7 10=7+3 7=2·3+1
x
244 117 10 7 3
y
117 10 7 3 1
gcd = ax+by
4
模运算
设n是正整数，a是整数，如果用n去除a，得商 为q，余数为r，则可以表示为： a=qn+r,0≤r<n, 用a mod n表示余数r，则r≡a mod n. 例如：令a=17, n=5,则17=3×5 +2, r =2≡17mod5
5
模运算典型实例
时钟模12的运算
6
同余
设n是正整数，a, b是整数，如果a mod n≡b mod n，则称整数a和b模n同余，记为a≡b mod n。 显然，a≡b mod n，则n|(a-b). 例如：a=17, b=-8, n=5, 因为17=3×5 +2, -8 =-2×5 +2, 则17 mod 5≡-8 mod 5，通常记为： 17≡-8 mod 5.
gcd(244,117):
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7
x
244 117 10
y
117 10 7
gcd = ax+by
0 1 2
34
求逆元举例
gcd(244,117):
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7 10=7+3
=2
=(11+15) mod 8=26 mod 8=2 ② [(11 mod 8)×(15 mod 8)]mod 8 =(3×7)mod 8 =21 mod 8=5 (11×15）mod 8＝165 mod 8＝5
11
同余性质
1. 若ab(mod m), cd(mod m), 则: ① ax+cy bx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数. ② ac bd(mod m). ③ an bn(mod m), 其中 n＞0. 上面的性质容易证明，以②为例： 设a=b+q1m,c=d+q2m ac=( b+q1m)( d+q2m)=bd+(bq2+dq1+q1q2)m, 等式 两边同时模m可证。
22
求逆元举例
等式两端同时mod89得：60×(-43) ≡1mod89
故60模89的逆元为-43，为方便记为最小非负 数，因为-43≡46 mod89，故一般说60模89的逆元 为46. 如何用程序实现求逆元？ 实际上，这里的逆元通常称为乘法逆元。从后 面的学习可以看到，定义不同的运算和单位元，就 可能有不同情况下的逆元。
14
最大公因数
设a, b是整数，则a, b的所有公因数中最大的一 个公因数叫做最大公因数，通常记为gcd(a,b)。 例如12和-18的最大公因数为6，记为gcd(12,-18) =6 gcd(513,614)=？ gcd(1024,888)=？ 如果两个整数的绝对值都比较小，求它们的最 大公因数是比较容易的。如果两个数都比较大，可 以用广义欧几里德除法，也称辗转相除法。
7
同余式实例
Q: 下面哪个是真的? 3 3 (mod 17) 3 -3 (mod 17) 172 177 (mod 5) -13 13 (mod 26)