现代测量平差与半参数估计
测量平差期末总结
测量平差期末总结一、引言测量平差是地理信息系统(GIS)和工程测量领域非常重要的一部分，它涉及到对测量数据进行处理、分析和计算。
测量平差能够提高测量数据的准确性和精确度，使得测量结果更加可靠和可信。
本文将对测量平差的一些基本概念、方法和步骤进行总结和分析，以期加深对测量平差的理解和应用。
二、测量平差的基本概念1. 测量平差的定义测量平差是指通过一系列的数学模型和计算方法，对原始的测量数据进行处理和分析，以获取更加准确和精确的测量结果的过程。
测量平差的目的是消除测量误差，提高测量数据的可靠性和精度。
2. 测量平差的分类根据测量数据的性质和采集方式的不同，测量平差可以分为直接平差和间接平差。
直接平差是指对直接测量数据进行处理和分析，如经纬度测量、高程测量等；间接平差是指对间接测量数据进行处理和分析，如距离测量、角度测量等。
3. 测量平差的基本原理测量平差的基本原理是基于观测量的合理模型和模型的参数估计。
通过观测量的数学模型，利用最小二乘法或加权最小二乘法等方法，求解模型的未知参数，从而得到测量结果的最优估计。
三、测量平差的方法和步骤1. 校正平差校正平差是指对原始的测量数据进行检验和修正的过程。
校正平差的目的是通过剔除异常观测值和消除系统误差，得到更加准确和可靠的测量数据。
2. 数学模型的建立数学模型是测量平差的基础，它是通过观测量的几何关系和误差模型建立的。
数学模型可以根据测量任务的不同而定，常见的数学模型有三角形测量模型、高程测量模型等。
3. 参数估计参数估计是指根据观测量和数学模型，利用最小二乘法或其他的数学方法，求解模型的未知参数。
参数估计的目的是最小化观测量和模型的差异，得到最优估计。
4. 平差计算平差计算是指根据参数估计的结果，利用平差公式和计算方法，对测量数据进行处理和分析。
平差计算的目的是消除观测量和模型之间的差异，得到平差结果。
四、测量平差的应用1. 地理信息系统(GIS)测量平差在GIS中有广泛的应用。
现代测量平差原理及其模型误差分析
现代测量平差原理及其模型误差分析一、现代测量平差原理（一）最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化测量残差的平方和来求取最优结果的方法。
其基本原理是，对于一个测量系统的观测数据，通过建立数学模型来描述测量关系，并在该模型中引入未知参数，然后通过最小化预测值与观测值之差的平方和来求取最优的未知参数估计值。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，其具有合理性、稳定性和统计优良性的特点。
在实际测量中，最小二乘法可以用于网络平差、方位角平差、高程平差等各种测量平差。
（二）加权最小二乘法加权最小二乘法是在最小二乘法的基础上引入权重因子，用于修正观测数据的精度不均匀性。
在实际测量中，不同的观测数据具有不同的可信度和精度水平，因此需要对其进行加权处理。
通过引入权重因子，可以对精度较高的数据赋予较大的权重，从而有效地提高整体平差结果的精度。
在测量平差中，模型误差是指由于建立的数学模型无法完全精确地描述实际测量系统而产生的误差。
为了提高平差的准确性，需要对模型误差进行分析和控制。
（一）理论误差与观测误差在测量平差中，模型误差可以分为理论误差和观测误差两部分。
理论误差是指由于数学模型的简化、近似或假设所引入的误差，通常在建立模型时可以通过数学推导和模型检验来评估。
观测误差是指由于测量仪器、观测操作和环境等因素所引起的误差，具有随机性和系统性两种特征，通常通过实际观测和数据处理来估计。
（二）误差分析与控制误差控制是指通过优化观测设计、改进仪器设备、改进观测方法和提高数据处理等手段，减小观测误差和理论误差，并降低其对最终平差结果的影响。
常用的误差控制方法包括增加观测次数、提高观测仪器的精度和敏感度、加强仪器校准和检查、改进观测方法和数据处理算法等。
测量平差的基础理论与实用运算技巧介绍
测量平差的基础理论与实用运算技巧介绍引言：测量平差是测绘学中一项重要的技术，它通过一系列的测量观测与计算，使得测量结果更加准确和可靠。
本文将介绍测量平差的基础理论和实用运算技巧，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、测量平差的基础理论1.1 测量误差与精度测量平差的基础理论包括测量误差与精度。
测量误差是测量结果与真实值之间的差异，而精度则是描述测量结果的可靠程度。
了解并控制测量误差是进行测量平差的基础。
1.2 测量观测与定位测量观测是对待测对象进行测量的过程，它是测量平差的基础数据。
而定位则是将观测结果转化为坐标或位置信息的过程，常用的方法包括全站仪测量和GPS 定位等。
1.3 测量平差方法测量平差的方法有很多种，如最小二乘法、参数平差法等。
最小二乘法是一种常用的平差方法，它通过将观测误差最小化，来确定最优的平差结果。
二、实用运算技巧2.1 观测数据处理观测数据处理是进行测量平差的关键步骤，它包括读数转换、数据检查和数据平差等。
在进行数据处理时，需要注意数据的完整性和准确性。
2.2 参数平差法运算参数平差法是一种广泛应用的平差方法，它通过建立参数模型和观测方程，来求解未知量的值。
在进行参数平差法运算时，需要掌握矩阵运算和方程组求解的技巧。
2.3 网平差运算网平差是一种多个点同时进行平差的方法，它适用于有大量观测数据和未知量的情况。
在进行网平差运算时，需要注意观测数据的合理性和平差结果的可靠性。
三、实例分析本节将通过一个实例来展示测量平差的应用。
假设有一个工程项目，需要对地面标志点进行定位测量和平差。
首先进行全站仪观测，并记录观测数据。
然后，将观测数据进行处理和平差计算，得到标志点的实际位置坐标。
最后，根据平差结果进行误差分析和可靠性评估。
四、应用展望随着测绘技术的不断发展，测量平差在各个领域的应用越来越广泛。
未来，随着传感器和数据处理技术的进步，测量平差的精度和效率将进一步提高。
同时，测量平差也将深入到更多新兴领域，如智能交通和环境监测等。
现代平差理论与测量平差
现代测量与现代平差技术摘要:本文首先简述了现代测量平差中的各种理论与经典测量平差之间的关系,指出现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法,并以图描述了经典测量与现代测量数据处理中各种理论之间的关系。
然后分别阐述了现代测量数据处理中粗差理论、系统误差的处理、病态问题的处理、非线性问题的处理、不等式约束的平差等的发展,最后综述了其他数据处理理论的一些发展情况。
最后讲了整体平差法是一个严格而又有效的平差方法,其应用与现代计算机技术密切相关。
具体介绍了整体平差法的基本原理,并以实测GPS控制网的布设为例,探讨了它在现代测量控制网建立中的具体应用及其技术优势。
关键词:经典测量平差;现代测量平差;高斯-马尔柯夫误差模型;误差模型扩展整体平差分级平差GPS控制网Abstract: This paper described the relationship between the theories in modern surveying adjustment and the traditional surveying adjustment. It pointed out that the theories of modern surveying adjustment and the data processing should be still based on Gauss-Markov error model. Through enlargement and development in different aspects of the model, new theories and methods are worked out. A figure showing such relationship is given.Meanwhile, the theories on blunder detection, systematic error processing, ill-pose problem, nonlinear model,inequality constraints are elaborated. At the last the progresses of other theories on data processing are summarized.Key words: traditional surveying adjustment; modern surveying adjustment; Gauss-Markov error model;extension of error model1、现代测量平差与数据处理理论发展概述经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫模型为核心[1]:L=AX+Δ(1a)E(Δ) = 0,D(Δ) =σ20Q=σ20P-1(1b)Rnk(A) =n,R(Q) =R(P) =n(1c)这里L为观测向量,Δ为误差向量,X为未知参数向量,A为X的系数矩阵,E(·)为数学期望,σ2为单位权方差,P为观测权矩阵,Q为协因素矩阵,n为观测个数。
模型误差的诊断及半参数补偿方法
模型误差的诊断及半参数补偿方法建模过程中的各种近似求解以至于线性参数模型中不可避免地含有模型误差。
为提高解算结果的精度，先采用线性参数模型的常用假设检验法进行统计检验，检验结果不同时，再利用半参数补偿最小二乘估计法对模型误差进行补偿，并利用模拟算例进行验证，结果表明，半参数模型可以有效地处理线性参数模型中存在的模型误差。
标签：平差系统；模型误差；假设检验；半参数模型0 前言平差系统的线性模型一般可归结为高斯-马尔可夫（G-M）模型，即：，，式中，，误差方程为：。
最小二乘平差参数的估值具有最优无偏性，具有无偏性和渐进最优性，这些良好的统计性质都是基于模型中不存在模型误差[1-4]，但在实际平差系统中，由于种种原因产生的模型误差，尤其建模近似在平差模型中的表现更为突出[4]。
因此，研究模型误差诊断的识别与补偿方法，是平差系统建模最优化和参数估计最优化的前提，具有重大的理论和现实意义。
1 参数模型检验流程图2 算例分析应用文献[1]的数据进行计算，并将模拟的系统误差引入，误差方程式为：3 结论经典G-M模型在平差系统的函数模型存在模型误差时很难发现和识别模型误差；若模型误差忽略不计，将会给参数估值带来不利影响；本文采用半参数模型补偿最小二乘估计解算，同时考虑了参数与非参数因素，对数据精度的提高起到了很好的作用。
由此说明半参数方法补偿模型误差相对来讲是处理平差模型存在的模型误差的一种较好的方法。
本文的研究还是初步涉足，尚且存在问题需进一步深入探讨。
参考文献：[1]武漢大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2003：83-85.[2]陶本藻.测量数据处理的统计理论和方法[M].北京：测绘出版社，2007.[3]张朝玉，陶本藻.平差系统模型误差及其设计方法研究[J].武汉大学学报（信息科学版），2005，30（10）：897-899.[4]张朝玉，陶本藻.平差系统的模型误差及其识别方法研究[J].武漢大学学报（信息科学版），2005，30（10）：897-899.[5]丁士俊. 测量数据的建模与半参数估计[D]. ：武汉大学，2005.作者简介：贾宁（1996-），女，安徽宿州人，在读研究生，研究方向：地理信息系统开发与应用。
测量平差的基本原理和计算方法
测量平差的基本原理和计算方法测量平差是测量学中一个重要的概念，它用于消除测量误差，提高测量精度。
本文将介绍测量平差的基本原理和计算方法。
一、测量平差的基本原理测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，消除不可避免的误差，得到更为准确的结果。
在实际的测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往不是完全准确的。
而通过平差可以将这些误差分布在测量要素上，使得整个测量结果更为合理。
平差的基本原理包括以下几个方面：1. 观测误差的性质：观测误差是服从一定的概率分布的，一般满足正态分布或其近似分布。
2. 绘图、观测和计算误差的连接性：测量平差将绘图误差、观测误差和计算误差联系在一起，通过适当的方法进行计算处理。
3. 误差的耦合性：测量过程中的各个要素之间存在着一定的关系，其误差也会相互影响。
通过平差可以将这些误差合理地分配和补偿。
二、测量平差的计算方法测量平差的计算方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本思想是将误差的平方和最小化。
通过对误差进行建模和优化，可以得到一组最优解。
2. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种基于统计原理的测量平差方法。
它根据观测数据的概率分布，选择出最具可能性的结果。
通过最大化似然函数，可以得到一组最优解。
3. 权值平差法：权值平差法是一种根据观测精度的大小，给予不同权值的平差方法。
通过给观测数据引入权值，可以使得精度高的数据在计算过程中起到更大的作用，从而提高整体的测量精度。
4. 卡尔曼滤波法：卡尔曼滤波法是一种基于状态估计的测量平差方法。
它通过建立状态模型和测量模型，利用观测数据进行误差修正，从而得到更加准确的结果。
三、测量平差的应用测量平差在实际应用中有着广泛的应用。
以下通过几个领域的案例来说明。
1. 地理测量：在地理测量中，测量平差常用于大地测量和地图制图。
通过平差可以消除地球曲率、大地水准面等因素的影响，得到更加准确的测量结果，提高地图的精度和真实度。
测量平差的基本概念
n×1
l = BX + d 0 L
o
内容小结
必要元素数的概念 必要元素数的性质 必要观测数的定义 平差问题存在的条件 间接平差模型
�
n×1
~ ~ L = B X + d0
n×t t ×1
n×1
水准网间接平差示例
必要观测数: 必要观测数:3
~ ~ ~ ~ 设参数: X = X 1 X 2 X 3
~ h1 ~ h2 ~ h3 ~ h4 ~ h5 ~ h6
[
] [
T
~ ~ ~ = H B HC HD
]
T
~ = X1
=
= = ~ = + X1 ~ = X1
A
c
hb hc
b
ha
C
B
a
必要元素数的概念
确定一个几何模型,需确定其中的部分"量"
(1) 形状 任意两个内角 (2个元素) (2) 形状与大小 2内角+1边长,1内角+2边长,3边长 (3个元素) (3) 形状,大小与位置 2点坐标+(1) 1点坐标+ 1边方位角+(2) 3点坐标 (6个元素)
必要元素数的概念
平差问题存在的前提条件.
必要元素数的概念
几何模型中包含多种"量"(真值) 以平面三角形为例: (1) 角度:三个内角∠A,∠B,∠C (2) 边长:三条边长a,b,c a b c (3) 高:三边上的高ha,hb,hc (4) 坐标:三点的平面坐标 Xa,Ya; Xb,Yb; Xc,Yc; (5) 方位角:TAB ;TBC ;TCA (6) 坐标差:XAB ,YAB ;…… (7) 面积,周长……
测量平差技术入门指南
测量平差技术入门指南一、引言测量平差技术是现代测量学中的一门重要技术，它通过利用数学模型和数据处理方法，对测量结果进行精确的分析和修正，以达到更为准确的测量成果。
本文将为初学者提供一份测量平差技术的入门指南，介绍测量平差的基本原理、方法和应用。
二、测量平差的基本原理1.1 精确性和可靠性测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，从而提高测量结果的精确性和可靠性。
精确性是指测量结果与真实值之间的接近程度，而可靠性则是指测量结果的稳定性和可信度。
通过测量平差技术，我们可以减小测量误差、消除随机误差和系统误差，提高测量精度和可靠性。
1.2 测量数据的模型化测量平差技术的另一个重要原理是将测量数据进行模型化。
对于不同类型的测量数据，我们可以通过建立相应的数学模型来描述它们的特征和关系。
基于这些模型，我们可以使用统计方法对测量数据进行分析和处理。
三、测量平差的基本方法2.1 最小二乘法最小二乘法是测量平差中最常用的方法之一。
其基本思想是最小化残差平方和，即寻找使得测量数据与模型之间的残差最小的解。
通过最小二乘法，我们可以消除一部分误差，并提高测量结果的精确性。
2.2 条件方程法条件方程法是另一种常用的测量平差方法。
它通过建立由观测数据和未知参数构成的条件方程组，使用数值方法求解该方程组，获得未知参数的估计值。
条件方程法适用于各种类型的测量问题，具有较好的通用性。
四、测量平差的应用领域3.1 地形测量测量平差技术在地形测量中具有广泛的应用。
通过对地形测量数据进行处理，我们可以绘制出精确的地形图和等高线图，为地质勘探、土地规划和交通规划等工作提供准确的基础数据。
3.2 工程测量在工程测量中，测量平差技术被广泛应用于土建工程、水利工程和交通工程等领域。
通过对测量数据进行精确处理，我们可以制定合理的工程设计方案，提高工程质量和效率。
3.3 大地测量大地测量是测量平差技术的重要应用领域之一。
通过对大地测量数据进行平差处理，可以获得准确的大地坐标和大地线网的形状、尺度和形变等信息，为地球物理研究、地震监测和测绘工作提供重要支持。
现代测量平差简介
最或然值 Lˆ1 、Lˆ2 、Lˆ3 分别为
协方差
L1 L2 L3 180;
Lˆ
Li
1 3
(i 1,2,3)传播律
Lˆ1
2 3
L1
1 3
L2
1 3
L3
60
Lˆ2
1 3
L1
2 3
L2
1 3
L3
60
Lˆ3
1 3
L1
1 3
L2
2 3
L3
60
平差值向量的精 度如何？？？
最后写成: S 11.7 0.1m
例[1-3]L1、L2、L3为独立观测值，已知其中误差，
1 3mm , 2 2mm , 3 1mm
X
1 7
L1
2 7
L2
4 7
L3
x ?
例[1-4]在测站A上，∠BAC=α ，观测角β 1和β 2的中误差和
它们的协方差分别为
DYZ
r ,t
F
r,n
DXX
n,n
KT n,t
DZY DT YZDZYt,rK
t,n
DXX
n,n
FT
n,r
协方差传播律
Z W
KX FX
K0 F0
DZZ DWW
KDXX K T FDXX F T
DZW
KDXX
F
T
DWZ
FDXX K T
测量平差概念
测量平差概念由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。
为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。
有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。
测量平差采用的原理就是“最小二乘法”。
测量平差是德国数学家高斯于1821～1823年在汉诺威弧度测量的三角网平差中首次应用，以后经过许多科学家的不断完善，得到发展，测量平差已成为测绘学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术之一测量误差基本知识测量工作的实践表明，观测值中存在测量误差，或者说，测量误差是不可避免的。
产生测量误差的原因，概括起来有以下三个方面：(1)人的原因。
由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局限性，所以，对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误差。
另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不同程度的影响。
(2)仪器的原因。
每一种测量仪器只具有一定的精确度，因此，使测量结果受到一定的影响。
(3)外界环境的影响。
测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误差。
人、仪器和环境是测量工作得以进行的必要条件，但是，这些观测条件都有其本身的局限性和对测量的不利因素。
因此，测量成果中的误差是不可避免的。
(二)测量误差的分类与处理原则测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可以分为粗差、系统误差和偶然误差三类。
1．粗差由于观测者的粗心或各种干扰造成的特别大的误差称为粗差。
如瞄错目标、读错大数等，粗差有时也称错误。
2．系统误差在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”，系统误差具有积累性。
系统误差对观测值的影响具有一定的数学或物理上的规律性。
半参数模型估计方法概述
半参数模型估计方法概述半参数回归模型,是由Engle etal(1986)在研究天气变化与供电需求之间的关系时引入的,是20世纪80年代以来发展起来的一种重要的统计模型。
主要介绍了两类半参数回归模型:线性半参数回归模型和非线性半参数回归模型。
概述了目前两类半参数回归模型常见的估计方法,这其中主要包括补偿最小二乘估计、核光滑估计,虚拟观测法等。
标签：线性半参数回归模型;非线性半参数回归模型;补偿最小二乘估计;正则核估计;虚拟观测法1 线性半参数模型的估计方法概述线性半参数模型的一般向量形式为:Y=Xβ+S+ε(1)其中Y表示为n维观测向量,Y=(Y1,Y2,…,Y n)T;X为n×p维列满秩设计矩阵,X=(X1,X2,…,X n)T,rank(X)=p;β为p维参数向量,β=(β1,β2,…,βp)T;ε为n维偶然误差向量,εN(0,∑),ε=(ε1,ε2,…,εn);S表示描述系统误差的n维非参数向量,S=(S1,S2,…,S n)T。
1.1 补偿最小二乘估计法对于线性半参数回归模型,将上式改写成观测方程:Y+V=Xβ+S(2)得出V=Xβ+S-Y,将此带入V TPV+αJ(S)=min化简整理为(Xβ+S-Y)TP(Xβ+S-Y)+αS TRS=min(3)由此可以按照求极值方法求解,即满足:(X,I)βS-Y TP(X,I)βS-Y+αβT,S T000R(β,S)=min(4)则法方程为:X TPXX TP PXP+αRβS=X TPX PY(5)从而有X TPXβ+X TPS=X TPY,PXβ+(P+αR)S=PY,由此可以得到=(X TPX)-1X TPY-(X TPX)-1X TPS(6)=(P+αR-PX(X TPX)-1X TP)-1(PY-PX(X TPX)-1X TPY)(7)补偿最小二乘法的关键是如何确定光滑因子α和正则矩阵R,对于α的选择方法可由交叉核实法CV以及L-曲线法等方法确定。
现代测量平差简介
那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除 闭合差的目的呢？ 首先要由观测值和未知量间组成函数模型； 然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。
2 函数模型
函数模型：是描述观测量与观测量之间、观 测量与未知量间的数学函数关系的模型。
建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法： 1、条件平差； 2、间接平差；
3、附有参数的条件平差；
4、附有限制条件的间接平差。
一、条件平差的函数模型
n<t，则无法确定模型 n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。 n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。 有一个多余观测，观测值间就会产生一个函数关系， 平差中称这种函数关系为条件方程。观测值的数学期望之 间的函数关系式。
条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
列立附有参数的条件 平差的函数模型：
ｎ=4，t=2，r=4-2=2
选ｕ=1个参数： H P
1
X
列立ｃ=r+ｕ=3个条件方程：
h2 h3 0 H A h1 h2 h4 H B 0 H A h1 X 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 L 0 X H H 0 B A 1 0 0 0 1 HA
第六讲 平差数学模型
内 容 安 排
一、四大经典平差的函数模型
二、函数模型的线性化
三、测量平差的数学模型
第六讲 几个概念
平差数学模型
必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素， 简称必要元素。（用t表示）
多余观测数：为了发现粗差和错误，并提高精度，需 要进行多余观测。(用r表示）
测量平差理论及在检测中的应用
测量平差理论及在检测中的应用
测量平差理论是测量学中的重要理论体系，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍测量平差理论的基本原理以及其在检测中的应用。
测量平差是一种通过多次测量数据的处理和分析，消除误差和提高测量精度的方法。
它的基本原理是通过对测量数据进行加权处理，使之满足最小二乘原则，从而得到最优的测量结果。
在测量平差中，常用的方法有最小二乘法、最小二乘平差法、最小二乘递推平差法等。
测量平差理论在检测中有着广泛的应用。
首先，在工程测量中，测量平差可以用于调整测量仪器的误差，提高测量结果的准确性。
例如，在建筑工程中，通过对多次测量数据进行平差处理，可以得到更加精确的地面高程、坐标等信息，为工程施工提供准确的数据基础。
其次，在科学研究中，测量平差也是不可或缺的工具。
科学实验中，测量数据往往受到多种误差的影响，通过测量平差可以有效地减小误差，并提高实验结果的可靠性。
例如，地质学家在进行地质勘探时，通过对多次测量数据进行平差处理，可以得到更加准确的地层厚度、地下水位等信息，为地质研究提供有力的支持。
此外，在制造业中，测量平差也被广泛应用于质量控制和品质检测。
通过对产品尺寸、形状等特征进行测量，并对测量数据进行平差处理，可以及时发现产品的偏差和缺陷，从而保证产品质量和制造精度。
总之，测量平差理论在检测中具有重要的应用价值。
它不仅可以提高测量结果的准确性和可靠性，还可以为工程建设、科学研究和制造业提供有效的技术支持。
因此，学习和掌握测量平差理论，对于提高测量技术水平和推动相关领域的发展具有重要意义。
半参数估计
（4-6）、
1 (hi 1 hi ); i j; j 2,3, , n 1 3 1 h ; i j 1; j 2,3, , n 1 i 1 gij 6 1 hi ; i j 1; j 2,3, , n 1 6 0; others
(2-9) (2-10) （2-11） （2-12） （2-13）
将（2-12）代入（2-8）中得：
S M ( I BH )l
由(2-1)计算得：
l l v Bx S ( BH M ( I BH ))l
点 击 幻 灯 片 2
（2-14）
3、半参数的数学期望和方差
1、
概 述
2、
半参数估计的补偿最小二乘原理
3、
半参数的数学期望和方差
4、
半参数估计的自然样条函数法
测量平差中最常用的模型：高斯-马尔科夫模型； 函数模型如下：
L 0;
D 0Q 02 P1
在这个模型中，观测值表达为若干参数的线性函数，观测值中的误差数学期 望为零，即只含有偶然误差。上述数学模型假设观测值中不含有系统误差。但是
i
补偿最小二乘原理的补偿项可以表达为：
( s(t ))2 dt S T FG 1F T S
t1
tn
（4-5）
h 1 , i j j 1 1 (h j h j 1 ), i j 1 fij 1 h 1 , i j 2 j 0, others
n
（4-1）
（4-2）
可以找到唯一满足上述条件的自然样条插值函数，因此可以把观测方程改写为：
（4-3）
现代平差技术及其应用
现代平差技术及其应用摘要：現代平差的方法与理论有很多种，但彼此均不相同。
本文基于高斯一马尔柯夫模型，介绍了現代平差模型。
同时阐述了現代平差技术的发展与其相关应用。
关键词：高斯一马尔柯夫模型；現代平差；平差模型；航天遥感1 测量平差的任务近四十年来，随着测绘科技和相关学科的迅速发展，该学科在理论上有突出进展，其研究范围也由线性模型的经典平差向相关平差、滤波推估、秩亏平差、动态平差等方向扩展，从单纯地研究随机误差理论扩展至包括系统误差和粗差的全误差系统。
系统误差和偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差就呈現出系统的性质；反之，则呈現出偶然的性质。
当观测列中已经消除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比已处于次要地位，则该观测列中主要存在着偶然误差，这是比较普遍的情形。
如何处理这些带有偶然误差的观测值，是测量平差所要研究的基础内容，一船认为属于经典测量平差的范畴。
为了得到一个量的大小，仅测量一次就够了，也就不需要进行平差处理。
但这样做是很危险的，因为不知道误差有多大，甚至有无粗差也未知。
因此实际工作中，为了及时检查和发現有无粗差存在，同时也为提高成果的质量，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测。
如对一条导线边，实际上总要丈量两次或多次，取它们的平均值作为最后长度。
此时偶然误差的影响得到消除或减弱，既提高了精度，又防止了粗差。
取平均值就是一种最简单的数据处理方法。
再如一个平面三角形，尽管观测其中两个内角即可决定它的形状，但是通常却仍观测三个内角，由于其和一般不等于180度，产生不符值，因而暴露了误差的大小。
总之，通过多余观测必然会发現观测结果之间的不一致，或不符合应有关系而产生的不符值。
如何对这些带有偶然误差的观测值进行处理，得到观测量的最可靠的估值，是测量平差的一项基本任务。
测量平差的另一项任务就是评定观测值及其函数值的最可靠结果的精度，也就是考核测量成果的质量，人们把这一数据处理的整个过程叫做“测量平差”。
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3
2
1
1 0 0
R 21
0
1 2
1 2
0
0
0
1
5、半参数估计的自然样条函数法
5.1半参数回归模型中的自然样条插值函数
L Bx S
S [s1, s2 ,, sn ]T (Green,Silverman 1987)
( R PS )
V T PV VST PSVS min
V A I X l
VS
0
I
S
lS
(lS 0)
P
V AX l
P
PS
(1)
X ( AT PA)1 AT Pl V T PV
BT BX BT HR BTl
H T BX H T HR RTl X (BT B)1 BT (l HR) HR H (H T H )1 H 1(l BX )
核估计（偏核光滑估计）
V BX S l
V T (I S)V min V TV V T SV min
i i1 ei
ei ~ N (0, 2 ) E(ei , ej ) 0 i j
i ei ei1 2ei2
ik eik
kei
e k1 i 1
1
E
2
(i
)
0 1
1
E(2 i )
2(1 2 3
R是一个适当给定的矩阵，称为正规化矩阵； 是一个给定的纯量因子，在极小化过程中对 V 和 Sˆ起平衡作用，称为平滑因子 。
4.2、正规化矩阵正定时半参数模型的估计
V Bˆx Sˆ L
V T PV SˆT RSˆ min
由拉格朗日乘数法，构造函数
V T PV Sˆ T RSˆ 2K T (Bxˆ Sˆ L V )
V T PV
V
T X
PX
V
X
min
Xˆ
X
1
APL
1
QXX N
Xˆ
Xˆ
Yˆ
N
A
T P GT
A PX P A
A G
T T
P P
G G
P
P
PX
L
L L X
ˆ
2 0
V T PV VXT PX VX nu
4、测量中的半参数回归模型及估计方法
4.1、测量中的半参数回归模型和平差估计准则 （补偿最小二乘原理）
半参数回归模型：
L B X S
n1 nt t1 n1 n1
S [s1 , s2 ,, sn ]T
V Bˆx Sˆ L
平差估计准则：
V T PV SˆT RSˆ min
D DX
2 0
Q
2 0
Q
XX
2 0
P1
2 0
PX1
D L ADX AT D
广义测量平差原理
L AX GY
(E() 0)
LX X X
(LX X )
D
2 0
P1
D(
x
)
2 0
PX1
D( x ) 0
参数估计： xˆ N 1BT PL N 1BT PSˆ
N BT PB
非参数估计：
Sˆ M 1 (P PBN 1BT P)L
M P PBN1BT P R
4.3、最小二乘核估计与附加系统参数平差
附加系统参数估计
V BX HR l V TV min
计 Lˆi , Sˆ i 。通过三次样条函数，可以内插出 ti 时刻的系统误 差估计，记为sˆ(i) (ti ; ) ，从而得到 ti 时刻的观测值估计Lˆi (ti ,) 如果平滑参数选取的比较合适的话，那么
n
CV ( ) n1 Pi (Li Lˆi (ti , ))2 i 1
得到法方程为 ：
BT PB BT P xˆ BT PL
PB
P
K
Sˆ
PL
法方程系数阵满足：rank(F T B) t 时可逆。
xˆ (BT P(I M )B)1 (BT P(I M )L)
Sˆ (P K )1 (PL PBxˆ)
n1 nu u 1 n1
D
2 0
Q
2 0
P
1
R（A）=U R（Q）=n X为非随机参数
V T PV ( AXˆ L)T P( AXˆ L) min
经典平差公式
Xˆ (AT PA)1 AT P N 1AT P
V AXˆ ( L - AXo )
i1
t1
tn
(s(t))2dt S T FG1F T S (Fessler,1991)
t1
F
n( n 2 )
(
fij
)
G
( n 2 )( n 2 )
( gij
)
(i 1,, n 1)
hi ti1 ti
(i 1,, n 1)
f ij
Lˆ L V
QXˆ Xˆ N 1
ˆ
2 0
V T PV nu
DXˆ
Q2
0 XˆXˆ
秩亏自由网平差
R（A）=t<u
d=u-t R(Q)=n X非随机
V T PV min
XT X min
Xˆ
N
m
AT
P
V AXˆ
ˆ
2 0
V T PV n R( A)
V T PV nt
Q Xˆ Xˆ N
D Xˆ
2 0
Q
Xˆ Xˆ
具有奇异协方差的平差模型
R（Q）=g<n R(A)=u X非随机
V T PV min
P Q-
V T Q V min
Xˆ N 1 AT P
(N ATQ-A或N ATQ A)
2、广义高斯—马尔柯夫模型，最小二乘统一理论
L AX
n1
u1
D
2 0
Q
R（A）=t R(D)=g n≥g>t u≥t X非随机
最小二乘统一理论
Rao在文中提出的最小二小乘准则是
V T (Q AUA T ) V min
陶本藻、刘大杰[5]（[5]1990）从奇异正态分布的密度函数
现代测量平差与半参数估计
陶本藻教授
武汉大学测绘学院 地球空间环境与大地测量教育部重点实验室
1、测量平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的
数学函数关系的模型，是确定客观实际的本 质或特征的模型。
随机模型是描述平差问题中的随机量
（如观测量）及其相互间统计相关性质的模 型。
经典平差模型
L AX
假设检验
H0 :
S 0
HX (0
I
)
X S
0
(2)
（1）、（2）联合平差
H R R (HX )T (HN 1H T )1 HX
ST QSS1S
F R fR f
拒绝域
F F ( fR , f )
7、时间序列分析与残差分析
• 7.1、AR（P）模型
设 s(t)为区间 [t1,tn ] 上的自然样条插值函数，ti (i 1,2,n) 为节点，且 t1 tn ，s(t) 满足插值条件：
s(ti ) si
i 1,, n
满足上述条件的插值函数中，自然样条函数是最光滑的。
5.2补偿最小二乘原理及其解
in
tn
sum (Li Bx s(ti ))2 (s(t))2 dt min
其他
G矩阵为严格的对角占优矩阵，即正定矩阵 。
设：K FG1F T，是半正定矩阵 补偿最小二乘准则项表示为：
V T PV SˆT KSˆ min
按照求条件极值的拉格朗日乘数法，构造函数
V T PV Sˆ T KSˆ 2K rT (Bxˆ Sˆ L V )
M (P K )1 P
Lˆ Bxˆ Sˆ {M (I M )B(BT P(I M )B)1 BT P(I M )}L
Lˆ J ( )L
5.3平滑参数 的确定（交叉核实法）
去除 ti 时刻的观测值 Li，也就是 (L1,Li1, Li1,Ln ) 以作为观 测值，对于给定的平滑参数 得到观测值估计和系统误差估
f
(l,
x)
(2
g
)2
(1, 2
g
1
)2
exp
1 2