排队论方法
排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
排队论方法讲解
排
队 论 方 法
1. 基本概念
1.排队过程的一般模型 顾客服务过程分为四个步骤：
进入排队系统（输入） 等候服务 接受服务 离开系统（输出）
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出 过程可以不用考虑，则
讲
解
输入过程 排队系统排队规则 服务机构
排
队 论
①输入过程： I.顾客总体 （顾客源）
排
队 论
1.5.2 指数分布
当顾客流为泊松流时,用T表示两顾客相 继到达的时间间隔,则T是一个随机变量, 其分布函数为
FT (t ) P{T t} 1 P(T t ) 1 P0 (t )
t t 又P ( t ) e , 则 F ( t ) 1 e , 0 T
k 0 n
讲
解
(全概公式、独立性 ) Pn k (t ) Pk (t , t t )
k 0 n
Pn (t )(1 t ) Pn 1 (t )t o(t )
排 队 论
Pn (t , t t ) Pn (t ) o(t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) t t
讲
解
排
队 论
(1) 无后效性：在不相交的时间区 间内,顾客到达数相互独立，即在 [t,t+△t]时段内到达的顾客数，与 时刻t之前到达的顾客数无关； (2)平稳性：对于充分小的△t，在 [t,t+△t]内有１个顾客到达的概率， 只与△t有关，而与ｔ无关，且 P1 (t , t t ) t o(t ),
t
实际中，多数问题都属于稳态情 况，且通常在经过某一时段后即可 到达稳态，而不需要t→∞
排
队 论
物流合理化名词解释
物流合理化名词解释概述物流合理化是指通过科学、系统的方法，对物流流程进行优化和改进，以提高物流效率、降低物流成本，从而提高企业的竞争力和经济效益的管理活动。
物流合理化的意义物流合理化的实施，可以带来多方面的好处。
首先，物流合理化能够降低企业的物流成本，提高物流效率，这对于企业的运营和发展至关重要。
其次，物流合理化可以减少物流风险，提高物流安全性，确保货物的安全和完整。
同时，物流合理化还可以提高企业的服务水平，使客户满意度得到提升。
此外，物流合理化还可以提升企业的竞争力，使企业在市场上获得更多的机会和优势。
实施物流合理化的步骤要实施物流合理化，需要经过一系列的步骤和方法。
下面是实施物流合理化的常见步骤：1. 分析当前物流情况首先，需要对企业的物流情况进行全面的分析和评估。
这包括物流流程、物流设备、物流人员等方面的情况。
通过对当前物流情况的了解，可以找出存在的问题和瓶颈，并为后续的改进提供依据。
2. 设定物流目标在分析当前物流情况的基础上，需要制定合理的物流目标。
物流目标应该与企业的整体目标相一致，并具有明确的指标和时间要求。
例如，可以设定降低物流成本、提高物流效率、提高客户满意度等目标。
3. 制定物流改进方案根据分析和目标设定的结果，制定具体的物流改进方案。
这个过程包括对物流流程的优化、物流设备的改造和更新、物流人员的培训和调整等。
同时，还需要对物流信息系统进行升级和改造，以提升物流管理水平和效率。
4. 实施物流改进方案在制定改进方案之后，需要开始实施这些方案。
实施过程中，需要注意对物流改进的效果进行跟踪和评估，并根据情况进行调整和改进。
同时，还需要做好各项改进措施的执行和落实，确保改进方案的顺利进行。
5. 监控和评估物流改进效果在物流改进方案实施一段时间后，需要对改进效果进行监控和评估。
这包括物流成本的降低情况、物流效率的提升情况、客户满意度的改善等方面的评估。
通过及时的监控和评估，可以及时发现问题，并采取相应的改进措施。
排队论里的排队规则
排队论里的排队规则
在生活中，排队是一种常见的行为，无论是在购物中心、餐厅、公共交通工具等场所，都需要遵守一定的排队规则。
排队论里的排
队规则不仅仅是一种行为准则，更是一种社会文明的体现。
首先，排队的基本原则是“先来后到”。
这意味着先到达排队
地点的人应该先进行排队，后到达的人应该在后面等待。
这样的规
则可以有效地避免混乱和纠纷，确保公平和秩序。
其次，排队时应该保持秩序和安静。
在排队的过程中，人们应
该保持安静，不要大声喧哗，以免影响他人。
同时，要保持队伍整齐，不要插队或者挤占他人的位置，以免引起冲突和不愉快的情绪。
另外，排队时要尊重他人。
无论是年长者、残障者还是孕妇，
都应该得到他人的尊重和关爱。
在排队时，应该主动让出位置给有
需要的人，这是一种社会责任和爱心的体现。
最后，排队的过程中要耐心等待。
有时候排队可能会花费较长
的时间，但是我们应该保持耐心，不要因为等待而产生不满情绪。
排队是一种社会文明的表现，只有大家都遵守规则，才能保持良好
的社会秩序。
总之，排队论里的排队规则是一种社会文明的体现，它不仅仅是一种行为准则，更是一种社会责任和爱心的表现。
只有大家都遵守规则，才能保持良好的社会秩序，让生活更加和谐美好。
数学排队问题的题型
数学排队问题的题型在我们的日常生活中，排队是一件常见的事情。
你有没有想过，在排队的时候，我们能够利用数学知识帮助我们更加高效地排队呢？今天我们就来讲一讲数学排队问题的题型。
数学排队问题主要涉及到概率论和统计学知识，通常可以分为两种类型：单队列问题和多队列问题。
一、单队列问题单队列问题是指只有一个排队通道的情况。
在这种情况下，我们最想知道的就是队列的平均长度和队列的平均等待时间。
那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以用排队论中的公式来计算，它的公式如下：Lq = λWq其中，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间。
同样地，如何计算队列的平均等待时间呢？我们可以利用排队论中的另一个公式来计算，它的公式如下：Wq = Lq / λ其中，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数。
二、多队列问题多队列问题是指有多个排队通道的情况。
在这种情况下，我们需要考虑如何将人员分配到不同的队列中，以及如何计算队列的平均长度和队列的平均等待时间。
在多队列问题中，人员的分配可以有多种方法。
最常见的方法是随机分配，即每个人有相同的几率被分配到任何一个队列中。
那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以使用排队论中的Kendall’s notation，它由三个参数组成：A/B/C。
其中，A 表示到达队列的时间间隔分布，常见的有常数间隔（M）、泊松分布（P）等；B 表示服务时间的分布，常见的有常数服务时间（M）和指数分布（E）等；C 表示队列的数量，常见的有 FIFO（先进先出）和 LIFO（后进先出）等。
例如，M/M/2 表示到达队列的时间间隔和服务时间都是常数，队列的数量为两个。
那么我们可以利用排队论的公式来计算队列的平均长度和等待时间。
对于多队列问题，计算队列的平均长度和等待时间相对更加复杂，需要更多的排队论知识和模型分析。
交通流理论—排队论
组成
排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到 达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
组成
排队系统的组成
(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 • 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，
离去 1
到达
离去 2
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
(组1)成单通道服务系统
到达
离去
服务台的排列方式1
服务台
单通道单服务台系统
(2)多通道服务系统
(2) 多通道服务系统
离去
1
到达
离去 2
3
离去
可通的多通道系统
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
2
到达
M/M/1系统及其应用
其他参数
平均非零排队长度：
qw
1
1
(qw q ) （辆）
即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度， 即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。
M/M/1系统及其应用
其他参数
系统中顾客数超过k的概率：
P(n k) 1 P(n k)
k
1- Pi 1 (1 (1 ) ... k (1 )) i 0
运筹学-排队论
定长分布（D）：每个顾客接受的 服务时间是一个确定的常数。
负指数分布（M）：每个顾客接受
的服务时间相互独立，具有相同
的负指数分布：
b(t)=
e- t
t0
0
t<0
其中>0为一常数。
K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
M/M/1 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ： 顾客相继到达时间服从参数为的负 指数分布；服务台数为1；服务时间 服从参数为的负指数分布；系统的 空间为无限，允许永远排队。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队 长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1， 有Pn= (1-)n n=0,1,2….
排队系统类型：
顾客到达
服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
顾客（单个或成批）相继到达的时
间间隔分布：这是刻划输入过程的
最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾
客到达的时刻，则有T0T1 T2…..
Tn ……
记Xn= Tn –Tn-1
n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾
客到达的时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并 记分布函数为A(t)。
迪士尼是如何运用排队论的
迪士尼是如何运用排队论的？寒假时，妈妈带我到上海迪士尼游乐园玩，那里童话般的城堡，惊险刺激的游乐项目，精彩纷呈的花车游行，梦幻的烟火表演，无不让我如醉如痴。
但给我留下最深刻印象的，却是排队。
不过，迪士尼乐园让我最惊讶的地方就是，动辄几小时的长时间排队，却从没有人不耐烦，而且感觉不那么难熬，这究竟是为什么呢我回家后，针对排队问题，查询了许多资料，终于揭开了迷雾的一角。
排队论在大约100 年前的丹麦兴起，还是得益于电话的需要。
在1909 年，通话线路是由接线员通过交换机来安排的。
为了将利润最大化，电话公司需要精确知晓控制一定的呼叫量需要多少接线员和交换设备：人员和设备少了，通话就会“堵车”，惹恼被迫等待的顾客；多了，就会造成资产浪费。
于是，丹麦工程师厄朗（Agner Krarup Erlang）被指派来解决这一问题。
厄朗设计的公式在今天仍然适用：当项目经理计算项目执行过程中形成队列的可能，他就会用到这些公式。
而现代，迪士尼就运用了基于数学模型建立的高科技快速排队系统—FastPass系统。
只要你在这个系统的机器上扫描门票上的二维码，就可以拿到一张快速通行证，计算出你需要什么时间段到哪个项目可以不用排队，快速通行，以提高排队的效率。
但其实你知道吗，对于排队的人来说，排队心理学比排队数学论更重要。
从20 世纪中叶开始，排队论研究的重心开始从“公式” 向“感受” 转移。
20 世纪50 年代，纽约写字楼的大厅里出现了“拥堵危机”：人员出入高峰期，电梯运力不足，引发了大量的抱怨投诉。
“解决办法之一是将大楼推倒，重建时配建更多的电梯，” ，“但是人们发现，真正的问题不在于拥堵的时长，而在于人在等候的这段时间里有何感受。
” 有些写字楼在电梯旁边安装了落地镜，人们在等电梯时可以照照镜、调调情，抱怨量就此大降。
排队心理学需要关注人的三种心理特征：1、人在排队等候时会无聊；2、人非常讨厌以为只等一会儿但却等了很长时间；3、人非常非常讨厌后来的人先得到服务。
排队论详解及案例
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。
排队论公式推导过程
排队论公式推导过程排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法。
在咱们生活中，排队的现象随处可见，比如在超市结账、银行办业务、餐厅等座位等等。
咱们先来说说排队论中的一些基本概念。
想象一下，你去一家热门的奶茶店买奶茶，顾客就是“输入”，奶茶店的服务员就是“服务台”，制作奶茶的过程就是“服务时间”，而排队等待的队伍就是“队列”。
排队论中的一个重要公式就是 M/M/1 排队模型的平均排队长度公式。
咱们来一步步推导一下。
假设平均到达率为λ，平均服务率为μ。
如果λ < μ，系统是稳定的，也就是队伍不会无限长下去。
首先，咱们来求一下系统中的空闲概率P₀。
因为没有顾客的概率，就等于服务台空闲的概率。
P₀ = 1 - λ/μ接下来，咱们算一下系统中的平均顾客数 L。
L = λ/(μ - λ)那平均排队长度 Lq 怎么算呢？这就要稍微动点脑筋啦。
Lq = λ²/(μ(μ - λ))推导过程是这样的：咱们先考虑一个时间段 t 内新到达的顾客数 N(t)，它服从参数为λt的泊松分布。
在这个时间段内完成服务离开的顾客数 M(t) 服从参数为μt 的泊松分布。
假设在时刻 0 系统为空，经过时间 t 后系统中的顾客数为 n 的概率Pn(t) 满足一个微分方程。
对这个微分方程求解，就能得到上面的那些公式啦。
我记得有一次，我去一家新开的面包店，人特别多，大家都在排队。
我站在那里，心里就琢磨着这排队的情况，不就和咱们学的排队论很像嘛。
我看着前面的人，计算着大概的到达率，再瞅瞅店员的动作，估计着服务率。
那时候我就在想，要是店家能根据这些数据合理安排人手，大家等待的时间就能大大缩短啦。
总之，排队论的公式推导虽然有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，就能搞明白其中的道理。
而且这些公式在实际生活中的应用可广泛啦，能帮助我们优化各种服务系统，让大家的生活更加便捷高效！。
生灭过程及排队论
1
0 0
λ 0w0 μ 1w1 λn1wn1 (λn
μ
n)wn
μn1 wn1
2 稳态的“概率流”平衡：
μn1wn1 λnwn
解得
wn
λ n1L λ 1λ 0 μ nL μ 2μ 1
排队系统中普适性的定律，统计量服从的公式 对到达过程、服务时间分布、服务规则无特殊要求 描述长时间平稳后的系统
W 形式为：L = λ·W
L ： 系统中的平均顾客数 λ： 平均(有效)到达率 W： 顾客在系统中所消耗的平均时间
M/M/1 或 M/M/1/∞排队模型
λ
λ
λ
λ
λ
0
1
2
3
4
μ
μ
μ
μ
μ
到达系统的顾客数服从泊松分布，参数 λ
负载因子ρ= λ/μ<1 的条件下，具有稳态分布：
wn
λ n1L λ 的概率
λ μ
n
wn
w0 (1
ρn
ρ)ρn
w0
1
λ μ
λ μ
n
系统平均用户数：
L n wn
n0
1ρ
ρd
ρn
dρ n0 ρ λ
μ
用户数的方差：
一定间隔内到达的顾客数服从泊松分布，到达率 λ 到达的时间间隔服从负指数分布，平均到达时间 1 / λ
排队系统的服务时间
缓冲区
服务者
服务时间
服务时间：服务器处理每个顾客业务所需的时间
是与服务器对具体业务的处理能力有关的随机量 一般用处理业务所需的时间的分布来表征 典型的服务时间：负指数分布
服务时间服从负指数分布，平均服务时间 1 / μ 顾客离开率： μ
排队论的基本原理
排队论的基本原理：
排队论（Queuing Theory）是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，其基本原理主要包括以下几个方面：
1.排队系统的组成：排队系统通常由输入过程、排队规则和服务机构三个部分组成。
输入过程是指顾客到达服务系统的随机方式，排队规则是指顾客到达后按照怎样的规则排队等待服务，服务机构则是指服务的提供方式。
2.概率论和随机过程：排队论中需要用到概率论和随机过程的数学知识，如概率分布、
期望、方差等。
这些知识用于描述顾客到达和服务时间的统计规律。
3.状态分析：排队论中的状态分析主要是指对排队系统的状态进行描述和分类，如空
闲状态、忙状态等。
通过对状态的分析，可以确定系统的各种性能指标，如等待时间、队长等。
4.最优化原理：排队论中的最优化原理是指通过调整系统参数，如服务时间、服务速
率等，使得系统的性能指标达到最优。
最优化原理的目的是在满足一定约束条件下，使系统的某种性能指标达到最优。
5.可靠性理论：可靠性理论是排队论中的一个重要组成部分，它研究的是系统可靠性
的概念、指标和计算方法。
可靠性理论可以帮助我们分析系统的可靠性、故障率和可用性等方面的问题，为系统的设计和优化提供依据。
排队论在服务系统优化中的运筹学方法研究
排队论在服务系统优化中的运筹学方法研究服务系统是现代社会中不可或缺的组成部分，如银行、医院、机场等各类场所的服务流程都需要进行优化，以提高效率和用户体验。
排队论作为运筹学的一个重要分支，研究如何合理组织和管理服务系统中的排队现象，对于服务系统优化具有重要意义。
本文将探讨排队论在服务系统优化中的运筹学方法。
一、排队论基本模型排队论是研究排队现象的一门学科，其基本模型由顾客到达过程、顾客排队等待过程和顾客接受服务过程组成。
下面我们将介绍三个基本模型。
1. M/M/1模型M/M/1模型是最简单的排队论模型，代表顾客到达过程和服务过程都符合随机过程。
其中的M表示到达过程和服务过程都满足泊松过程，/表示到达过程和服务过程是独立的，1表示只有一个服务台。
该模型可以通过计算平均等待时间、平均队长等指标，来评估系统的运行效果。
2. M/M/c模型M/M/c模型是多通道排队系统的模型，代表顾客到达过程和服务过程都符合随机过程，但服务台的数量有多个。
该模型可以用于评估多个服务台的效率分配问题，提高服务系统的整体服务水平。
3. M/G/1模型M/G/1模型是顾客到达过程满足泊松分布，而服务过程满足一般分布的排队系统模型。
该模型相比于前两个模型更加复杂，但也更加接近现实服务系统的情况。
通过研究和优化M/G/1模型，可以为实际服务系统提供更准确的优化方案。
二、排队论方法在服务系统中的应用排队论方法在服务系统中的应用十分广泛，涉及到客户流量预测、服务水平评估、服务台数量决策等多个方面。
1. 客户流量预测客户流量预测是排队论方法在服务系统优化中的重要应用之一。
通过对历史数据的分析和建模，可以预测未来客户到达的概率分布，进而确定合理的服务台数量和服务水平指标。
例如，某银行可以通过排队论方法预测未来客户到达和离开的概率，从而优化柜员人数和窗口开放时间，提高客户满意度。
2. 服务水平评估排队论方法可以用于评估服务系统的服务水平，比如平均等待时间、平均队长等指标。
【精品】通用版2022年六年级奥数精品讲义易错专项高频计算题-排队论问题(含答案)
通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计数问题-排队论问题【知识点归纳】1．排队论问题解决方法：要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起．2．举例说明：四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？【常考题型】例1：小朋友排队做早操，无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，这排小朋友有（）人．A、8B、9C、10D、11分析：无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，说明笑笑的左右各有4个人，再加上她自己一共有4×2+1=9人，据此解答．解：（5-1）×2+1，=4×2+1，=9（人）；答：这排小朋友有9人．故选：B点评：本题关键是理解“笑笑都排在第5位”的意思是：她的左右各有4个人，注意：求这一排的总人数时不要忘了加上她自己．一．选择题1．同学们排队领书，小明前面有3人，后面有4人．一共有几人排队？() A．7人B．9人C．8人2．小朋友排队，从前数，小小是第4个人，从后数，她是第3个人，这一队共有() A．5人B．6人C．7人D．8人3．40个小朋友排队，笑笑前面有7人，后边有()人。
A．32B．23C．334．同学们排队做操从前面数小明是第5个，从后面数小明是第8个，这一列共有()人．A．12B．13C．145．24个小朋友站在一起，从左数笑笑排第10，从右数淘气排第8，笑笑和淘气中间有( )人．A．5B．7C．66．小朋友排队，从前往后数，红红排在第8个，从后往前数，红红排在第10个，这队共有( )人．A．18B．17C．197．一排小动物共有20只，从左往右数大象排第16，从右往左数小猫排第18，大象和小猫之间相隔()只动物．A．1B．2C．11D．128．小芳排队去大食堂打饭，她发现从前往后数，自己排第7，倒数也是第7，这个队伍一共有()A．14人B．15人C．13人二．填空题9．小朋友们排队做操，小明前面有6个人，后面有5个人，这一排一共有人10．28位小朋友排成一行，从左边开始数第10位是小雨，从右边开始数他是第位。
运筹学中的排队论分析方法
运筹学中的排队论分析方法运筹学是应用数学的一个分支，被广泛应用于优化、决策、规划等实践问题中。
排队论是运筹学的一个重要分支，它研究客户与服务设施之间的运作规律，以及对这些规律进行优化。
排队论可以应用于许多领域，例如生产线、银行、医院、交通、电信等。
排队模型从大量的数据中挑选出有用的信息，解释客户等待时间、服务设施利用率、系统吞吐量等指标。
运营商们也通过排队论找到了减少服务时间，减少成本和增加收益的方法。
排队论模型通常包括五个元素：客户、服务设施、等待行列、受服务的规则，以及长度测量方法。
客户需求量呈随机分布，服务设施数量有限且运营时间有限，等待时间呈指数分布。
排队论可以预测某个服务系统的运作状态以及在不同服务政策下的结果变化。
排队论中最著名的模型是M/M/1模型，其中M表示到达时间和服务时间都是随机的指数分布，1表示只有一个服务设施的存在。
此模型的解答涉及到稳态等长队和队列中的平均客户数和等待时间，以及服务器的平均利用率等基本指标。
除此之外，排队论中还有其他经典模型，例如M/M/c模型，其中c表示有多个服务器可供选择。
排队论也适用于某些特殊情况的研究。
例如，当服务时间为几何分布时，M/G/1模型就成为了一种理想的情况。
在这个模型中，客户需求量和服务时间具有不同的分布。
G表示这些服务时间的分布可以是任意的。
另外，排队论也可以应用于网络中的传输分配模型，以确定网络在任何负载下的可靠性和运作状态。
排队论模型可以被用于分析较小的网络，或者对于哪些带有网络化延迟的系统。
在实际应用中，排队论分析可以帮助我们寻找优化服务设备的方法。
通过排队论可以确定提高服务速度、增加系统容量或提高等待质量等措施，以提高客户的体验和收益。
在医院中，排队论可以帮助诊所和医院合理分配资源、优化服务流程，减少等待时间、减少节约成本、节约时间等指标。
总之，排队论是运筹学的重要分支，解决了客户与服务设施之间的运作规律和优化。
它在很多领域的帮助下，解决了大量的实践问题。
排队论在交通优化中的使用方法与实践分析
排队论在交通优化中的使用方法与实践分析摘要：交通优化是一个涉及城市发展和公共资源分配的重要领域。
排队论作为一种数学模型和统计方法，被广泛应用于交通系统的设计和优化中。
本文将介绍排队论在交通优化中的使用方法和实践，并分析其在不同交通场景中的应用情况。
第一节：排队论简介排队论是研究排队现象的数学理论，它可以分析排队长度、平均等待时间和服务水平等指标。
在交通优化中，排队论可以帮助我们理解交通流量和拥堵状况，并提供有效的优化策略。
第二节：排队论在交通信号优化中的应用在城市交通中，交通信号的优化是提高交通效率的关键。
排队论可以帮助我们分析交通信号的调度策略，并通过优化信号配时方案来减少交通拥堵。
通过收集车辆的到达时间和通过时间数据，我们可以建立交通信号优化模型，并通过排队论分析确定最佳的信号周期和绿灯时长。
第三节：排队论在交通流量预测中的应用交通流量预测是交通规划和管理中的重要环节。
排队论可以通过建立排队模型，分析车辆进入和离开队列的速率，预测交通流量的变化。
同时，排队论还可以帮助我们确定最佳的道路容量和交通设施规划，以应对不同交通流量的挑战。
第四节：排队论在公共交通优化中的应用公共交通系统的优化是提高城市交通效率和改善居民出行体验的重要手段。
排队论可以帮助我们分析公共交通线路的运行规律和乘客需求，优化车辆的发车间隔和乘车时间。
通过排队论的应用，我们可以提高公共交通系统的利用率，减少乘客的等待时间和拥挤程度。
第五节：排队论在停车场优化中的应用停车场的规划和管理对交通系统的流畅和停车用户的便利至关重要。
排队论可以帮助我们确定最佳的停车位容量和停车策略，减少停车场的排队长度和等待时间。
通过排队论的应用，我们可以提供更好的停车服务，优化城市停车资源的分配。
第六节：排队论在交通事故处理中的应用交通事故的处理对于交通安全和畅通具有重要影响。
排队论可以帮助我们分析事故发生和处理的时间分布，优化事故处理的调度和资源分配。
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
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Probability
三 多服务台排队模型
M/M/c
所有服务台是空的概率P0,和所有服务台都在忙 的概率 P,需要下面比较复杂的公式。
, c
(c ) (c ) P0 c !(1 ) n 0 n !
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一 排队论的基本概念
1.排队系统
排队 服务窗
顾客源
排队规则
服务规则
排队系统 1.顾客是怎 样到达的 2.顾客是怎 样排队的 3.顾客是怎 样接受服务
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2. 排队系统的三个基本要素
输入过程 排队规则 服务窗
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2.排队系统的三个基本要素 一、输入过程 顾客到达时间间隔可分确定型（如定期航班） 和随机型（看病的病人） 顾客源可以有限或无限 顾客到达系统的方式可以逐个或成批 顾客到达系统可以是独立的或者相关的，输 入过程可以是平稳、马氏、齐次的等
1 (c ) n P0 ,0 n c n! Pn c c nP , c n N 0 c!
Lq Wq
n c 1
(n c) P , L L
n
N
q
c (1 PN ) 1
Lq
(1 PN )
,W Wq
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排队系统的最优化问题
1.模型M/M/1中的最优服务率μ 设目标函数：z=csμ+cWL 即 z=csμ+cW 令 dz =0 ￣ dμ λ μ-λ
cw ，可得最优解μ*= cs
￣
即最优服务率。
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2.模型M/M/c中的最优服务台数
在稳态时，单位时间内每服务台的成本费为cs,每个顾客在
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2 学习排队论的目的
1.求出各种排队系统的规律性，使设计人员掌 握这种规律，设计出最优化的排队系统； 2.使管理人员掌握这种规律，调整与控制排队 系统使它处于最佳运营状态
design & analysis
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主要内容
一 排队论的基本概念
三 单服务台的排队模型 四 多服务台的排队模型 五 案例分析
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2.排队系统的三个基本要素 服务规则 先到先服务 后到先服务 随机选择服务 优先级服务（特快专递）
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2.排队系统的三个基本要素 三、服务窗 窗口个数可一个或多个 多个服务窗时，顾客可以平行多队排列，串 列或者串并同时存在的混合排队 一个服务窗可以为单个顾客或成批顾客进行 服务 各窗口的服务时间可为确定型或随机型。服 务时间往往是平稳的
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2.排队系统的三个基本要素 二、排队规则 损失制－ 顾客到达系统时，如果系统中所有 服务窗均被占用，则到达的顾客随即离去 等待制－ 顾客到达系统时，如果所有服务窗 均被占用，则系统能够提供足够的排队空间让 顾客排队等待 混合制－ 是损失制与等待制混合组成的排队 系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其 余顾客被拒绝
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14
♂
Probability
16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM
26
28
30
32
34
36
38
40
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M/M/c/N/∞ (系统容量有限的服务系统)
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负指数分布
随机变量 T 密度函数 分布函数 均值 方差
et for t 0 fT (t ) for t 0 0 P(T t ) 1 et fT(t)
2 1 Var(T )
E (T )
1
E (T )
先到先服务；
★服务时间为相互独立的参数为μ的负指数分布。
♂ ※
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1. M/M/1 模型 （Ls, Ws, Lq, Wq）
: 服务强度（单位时间内被服务完的顾客数与
请求服务的顾客数之比值）
P0 1 系统的稳态概率： Pn (1 ) n , n 1
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
数学建模之
---排队论方法
（Queueing Theory）
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1 排队现象
有形的队伍 超市出口处排队付款 餐厅排队买饭 银行排队等待服务 …… 无形的队伍 114查号台等待服务 网络中数据包传输 …… 某些系统也可能根本不允许排队 交换机处理呼叫 …
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M/M/1/N/ 举例
M/M/s ith Finite Queue
Arrival rate 5 Service rate 6 Number of servers 1 Maximum queue length 4 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system Probability that a customer waits Probability that a customer balks
(1 ) n , 1, n 0,1,2,.., N N 1 1 Pn 1 , 1, n 0,1,2,...,N N 1
( N 1) N 1 L , 1 N 1 1 1
Lq L (1 P0 ) L W (1 P0 ) Wq W 1
c 1 n c 1
(c )c P0 P c !(1 ) P P Lq , L c 1 1 L 1 W , Wq W
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M/M/c 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 10 6 2 83.33% 0.0909 3.7879 5.4545 0.3788 0.5455
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排队系统的三大要素 就是排队系统的已知条件
输入过程 顾客到达间隔时间的分布 排队规则 队列允许的最大长度 (以便确定系统最大容量n） 服务窗 服务窗个数 m 顾客占用服务窗时间的分布
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3. 排队模型的分类与记号
通常用3~5个字母X/Y/Z/m/N/C来表示排队模型 X 顾客相继到达系统的间隔时间 t 的概率分布类型 Y 为服务窗口所耗费的服务时间 的概率分布类型 Z 并行工作的服务机构内服务窗的个数 m 系统内最大排队容量或顾客在系统中排队所允许的 最大长度（包括正在服务和排队等待的顾客） N 顾客的最大数量，如果不写则表示顾客源为 C此排队模型的服务规则
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(Kleinrock) "We study the phenomena of standing, waiting, and serving, and we call this study Queueing Theory." "Any system in which arrivals place demands upon a finite capacity resource may be termed a queueing system."
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队长：L= ρ = λ 1-ρ μ-λ ￣ ￣ 排队长： q=ρλ L μ-λ
￣
1 逗留时间：W= μ-λ ρ 等待时间： q= W μ-λ
￣ ￣
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Little’s formula
L W
Lq Wq
W Wq 1
L Lq
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M/M/1 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 5 6 1 83.33% 0.1667 4.1667 5.0000 0.8333 1.0000
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
0.2
Probability
0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40