近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-4

近世代数课后习题参考答案

第四章 整环里的因子分解

1 素元、唯一分解

1. 证明：0不是任何元的真因子。

证 当0≠a 时

若b a 0=则0=a 故矛盾

当0=a 时，有00ε= （ε 是单位）

就是说0是它自己的相伴元

2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 m m n (2是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？

证 １）I 的单位

总可以把m 表为

p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说

1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然

２）I 的素元

依然是k p p m k ,(2=的限制同上）

我们要求

ⅰ）0≠p

ⅱ）1±≠p

ⅲ）p k 2只有平凡因子

满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数

故p m k 2=而p 是奇素数是

n

m 2是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？

证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12=ε

时， 事实上，若bi a +=ε是单位

则11-=εε 2'221ε

ε= 即2'21εε=

但222b a +=ε是一正整数，同样2'ε

也是正整数， 因此，只有12=ε

反之，若1222=+=b a ε，则0,1=±=b a

或1,0±==b a 这些显然均是单位 此外，再没有一对整数b a ,满足122=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。

（２）适合条件52=α的I 的元α一定是素元。 事实上，若52=α则0≠α

又由α)1(也不是单位 若2225,λβαβλα=== 则12=β或52=β

ββ⇒=12是单位λαβλ⇒=⇒-12是α的相伴元

λλβ⇒=⇒=1522是单位βαλβ⇒=⇒-1是α的相伴元

不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。

（３）I 的元5不是素元。

若βα=5则2225λβ= 这样，2β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当1522=⇒=λβ由)1(λ是单位

此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52=β的情形

5,222

=+=+=b a bi a ββ可能的情形是

⎩⎨⎧==21b a ⎩⎨⎧=-=21b a ⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧

-=-=21b a

⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧-=1b a ⎩⎨⎧=-=12b a ⎩⎨

⎧-=1b a

显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52=β的β是素元，故知５是素元之积

（４）５的单一分解

)21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-=

)21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-=

i ±±,1均为单位

２ 唯一分解环

１．证明本节的推论

证 本节的推论是；

一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子 ，

n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。

用数学归纳法证

当2=n 时，由本节定理３知结论正确。

假定对1-n 个元素来说结论正确。

看n 的情形

设 121,,-n a a a 有最大公因子为1-n d 。

1-n d ，n a 的最大公因子为d 即1-n d d 而a d n 1- i a d n i ⇒-=)1,,2,1( )1,,2,1(-=n i 又n a d

故d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的公因子 假定i a d - n n i ,1,,2,1-=

1--⇒n d d 又n a d - d d -

⇒

这就是说，d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的最大公因子

若'd 是n n a a a ,11- 的最大公因子 那么d d ' 且'd d 'ud d =⇒ vd d =' uvd d =⇒

若 0=d 则o d ='

0≠d 则1=uv 即u 是单位ε

故d d ε=

２． 假定在一个唯一分解环里n n db a db a db a ===,,,2211

证明 当而且只当d 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子的时候，n b b b ,,,21 互素

证 ""⇒假定d 是n a a ,,1 的一个最大公因子

若 n b b b ,,21不互素

则有 n n c d b c d b '1'1,,== 而'd 不是单位 那么),,1(,'

n i c dd a i i ==

这就是说'dd 是n a a ,1的公因子 所以d dd '即 '''d dd d = 故1'''=d d 'd 是单位 矛盾

''''⇐假定n b b ,,1 互素

令'd 是n a a ,1的最大公因子

则有'd d 即d d '

i i c d a '=i c dd 1= ),,2,1(n i = i i c d b 1= 1d ⇒是n b b ,,1 的公因子

于是1d 是单位

d d ε='

那么d 是n a a ,,1 的最大公因子

3． 假定I 是一个整环，)(a 和)(b 是I 的两个主理想

证明 )()(b a =当而且只当b 是I 的相伴元的时候

证 ''''⇒假定)()(b a = a c b cb a ',== a cc a '= 1'=cc

',c c 是单位

所以b 是a 的相伴元

''''⇐假定a b ε= （ε 单位）),(a b ∈ )()(a b ⊂

)()(,1

a a

b a ⊂=-ε

故 （)()b a =

３ 主理想

１．假定I 是一个主理想环，并且d b a =),(

证明 d 是a 和b 的一个最大公因子，因此a 和b 的何最大公因子'

d

都可写成以下形式：tb sa d +=' ),(I t s ∈

证 由于)(),(d b a =

有d a a d a 1),(=∈ d b b d b 1),(=∈ d 是a b ,的公因子 仍由)(),(d b a =

知),(b a d ∈

故有 b t a s d ''+=

设1d 是b a , 的 任一公因子

由)(A 知d d 1即d 是b a ,的最大公因子

又d d ε='

（ε单位 ）

),(,)()()(''''I t s tb sa b t a s b t a s ∈+=+=+=εεε

２． 一个主理想环的每一个最大理想都是由一个元素所生成的。

证 设)(p 是主理想环I 的最大理想，

并设0)(≠p 若p 是单位，则1)(=p

若p 不是素元

则bc p =， c b ,是p 的真因子 )()(b p ⊂