数学建模淋雨量与跑步速度

淋雨量与跑步速度关系探究

摘要当大雨来临时，人们总是习惯于拔腿就跑。摆脱困境的本能迫使我们加快速度，与此同时，日常经验又让我们很多人对跑得越快淋雨就越少这一点深信不疑。事实是否正如大多数人所想的呢？本文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况出发对不同条件下速度和淋雨量关系做出分析探究。

在问题一中，因为已经假设雨淋遍全身，且速度为最大，所以由题目的已知条件，直接列方程求解。

在问题二中，我们利用最优化原理，建立出一个动态规划模型。并将该问题分为两部分解答，即：（1）雨从迎面吹来；（2）雨从背面吹来。同时绘制出第二部分的“淋雨量—速度”图像，方便于快速直观地得到两者关系。解决该问题的过程中，本文利用了几何中的面积公式及物理中速度的分解等知识，结合题目中的已知条件，列出方程求解。

问题三是问题二的深入，将简单的平面问题升华为空间问题，但处理方法和问题二基本相同，只是增加了空间角，本质没有区别。

本文的特点是在建立模型的基础上层层深入，配合图形，简单明了。同时，基于本文是建立在严谨的计算之上的，具有一定的可靠性，在很大程度上具有参考价值。

关键词最优化原理动态模型速度选择淋雨量

1.问题的重述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5米（颈部以下），宽b=0.5米，厚c=0.2

v=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量ω=2cm/h,米。设跑步距离d=1000米，跑步最大速度

m

记跑步速度为v，讨论以下问题：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度奔跑，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,ω,θ之

间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算θ=0︒，30︒时

的总淋雨量；雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，

且与人体的夹角是α，如图2。建立总淋雨量与速度 v及参数

a,b,c,d,u,ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，

计算α=30︒时的总淋雨量。

以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对第二中情况作图，并解释结果的实

际意义。

（3） 若雨线的方向与跑步方向不在同以平面内，模型会有什么变化？

2. 问题的分析

总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积，

单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为

总路程与人前行速度的比值。

再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方

程，根据各变量关系，得出最优解。

当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述

方法将其分解，同样可以解决问题。

3. 模型的假设和符号说明

3.1模型的假设：

（1）雨速为常数且方向不变；

（2）人体为一个长，宽，高都确定的长方体；

（3）人体跑步速度不受其他因素影响；

（4）降雨量在一定时期内为定值。

3.2符号说明：

a 人体身高

b 人体宽度

c 人体厚度

d 跑步距离

m v 跑步最大速度

u 雨速

ω 降雨量

v 跑步速度

θ 同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角

α 同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角

t 全过程所花费的时间

s 面积

Q 淋雨量

δ 不同平面内，雨线与跑步方向的夹角

β 雨线在人体正面所在平面内的分量与铅垂线的夹角

4. 模型的建立与求解

4.1问题一：

全身面积 2

2() 2.2s ab bc ac m =++=

淋雨时间 t=d/v=1000/5=200s

降 雨 量 ω=2cm/h=4

1810-m/s

∴淋雨量 Q=st ω=2.2*200*410-/18≈2.44升

4.2问题二：

4.2.1雨从迎面吹来：

顶部淋雨量 1

Q =bcd ω/1cos v θ- 雨速水平分量 u/1sin θ-(方向与v 相反)

合 速 度 u/1sin θ-+v 单位面积时间的淋雨量 ω

（u/1sin θ-+v ）/u 迎面淋雨量2

Q =abd ω(u/1sin θ-+v)/uv ∴总淋雨量 12

Q Q Q =+= bcdw/1cos θ-v+abdw(u/1sin θ-+v)/uv. 在此式子中，只有v 是变量，所以当v 最大，即v=m v 时Q 最小，淋雨量

最少。

0, 1.15Q θ=≈升，, 1.5530Q θ︒

==升。 4.2.2雨从背面吹来

合速度 sin u v α- bdw[cucos α+a(usin α-v)]/uv,v ≤usin α

总淋雨量 Q =

Bdw[cucos α+a(v-usin α)]/uv,v>usin α

若ccos α-asin α<0,即：tan α>c/a,则v=usin α时，Q 最小。

否则，V=m v 时，Q 最小。（如下图）

usin usin α

当30α︒

=，tan α>0.2/1.5,v=2m/s,Q ≈0.24升最小，可与

v=m v ,Q ≈0.93升相比。