2009-2010第一学期数理统计与随机过程(研)试题(解答)
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六、（15分）设是一个齐次马尔可夫链，其状态空间，一步转 移概率矩阵为 （1）求； （2）求； （3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
七、设X(t)是平稳随机过程，若，其中是在上服从均匀分布的 随机变量且与X(t)独立，问是否是平稳随机过程？
标准答案（仅供参考） 一．这是单个正态总体
A<-gl(3, 1, 15) lm.sol<-lm(X~A) anova(lm.sol)
tapply(X,A, mean) pairwise.t.test(X, A, p.adjust.method="none")
plot(X~A)
五、某大型设备在任何长度为的时间区间内发生故障的次数是 强度的Poisson过程，记设备无故障运行时间为。 （1）求； （2）求自相关函数，写出推导过程； （3）求的概率分布函数；（4）已知设备已经无故障运行了10 小时，求再无故障运行8小时的概率。
x<-1:10 y<-c(1.89, 2.19, 2.06, 2.31, 2.26, 2.39, 2.61, 2.58, 2.82, 2.9) lm.sol<-lm(y~1+x) summary(lm.sol) > summary(lm.sol)
Call: lm(formula = y ~ 1 + x)
北京工业大学2009-2010学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号
姓名
成绩
注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》
浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。 可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资 料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日
p[i]<-q[i]-q[i-1] #### 作检验 chisq.test(Y,p=p)
#### 重新分组 Z<-c(8, 16, 17, 10, 9) #### 重新计算理论分布 n<-length(Z); p<-p[1:n-1]; p[n]<-1-q[n-1] #### 作检验 chisq.test(Z,p=p)
Pairwise comparisons using t tests with pooled SD data: X and A
12 2 0.01044 3 0.00011 1.7e-06
P value adjustΒιβλιοθήκη Baiduent method: none
plot(X~A)
#### 附: 全部程序
#1. s<-8; n<-28 T<-(80-85)/(s/sqrt(n)); T qt(1-0.05/2, n-1) P_value(pt, T, n-1)
> predict(lm.sol, newdata=data.frame(x=11),
interval="prediction")
fit
lwr
upr
[1,] 2.972 2.727564 3.216436
plot(x,y, pch=21, cex=1.2, col="red", bg="orange")
#3. 线性回归 x<-1:10 y<-c(1.89, 2.19, 2.06, 2.31, 2.26, 2.39, 2.61, 2.58, 2.82, 2.9) lm.sol<-lm(y~1+x) summary(lm.sol) predict(lm.sol, newdata=data.frame(x=11), interval="prediction")
abline(lm.sol, lwd=2, col="blue")
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：
玻璃 6.678 6.671 6.675 6.672 6.674
金 6.683 6.681 6.676 6.678 6.679
铂 6.661 6.661 6.667 6.667 6.664
期：2009年12月31日
一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数 为
分，样本标准差
分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85 分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均 成绩有显著差异（取显著性水平）？
s<-8; n<-28
T<-(80-85)/(s/sqrt(n)); T
三、某公司在为期10年内的年利润表如下：
年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9
(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进 行显著性检验：（取）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第 11年利润的预测区间（取）。
Multiple R-Squared: 0.9355,
Adjusted R-squared:
0.9275
F-statistic: 116.1 on 1 and 8 DF, p-value: 4.854e-
06
predict(lm.sol, newdata=data.frame(x=11), interval="prediction")
Residuals:
Min
1Q Median
3Q
Max
-0.08909 -0.07614 -0.00600 0.05505 0.15236
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.830000 0.059792 30.61 1.41e-09 ***
试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性
水平）
#2. #### 输入数据 X<-0:7; Y<-c(8, 16, 17, 10, 6, 2, 1, 0) #### 计算理论分布, 其中mean(rep(X,Y))为样本均值 q<-ppois(X, mean(rep(X,Y))); n<-length(Y) p<-numeric(n); p[1]<-q[1]; p[n]<-1-q[n-1] for (i in 2:(n-1))
plot(x,y, pch=21, cex=1.2, col="red", bg="orange") abline(lm.sol, lwd=2, col="blue")
#4. 方差分析 X<-scan() 6.678 6.683 6.661 6.671 6.681 6.661 6.675 6.676 6.667 6.672 6.678 6.667 6.674 6.679 6.664
***
Residuals 12 0.00009520 0.00000793
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'
0.1 ' ' 1
tapply(X,A, mean)
1
2
3
6.6740 6.6794 6.6640
pairwise.t.test(X, A, p.adjust.method="none")
[1] -3.307189 ### T 值
qt(1-0.05/2, n-1)
2.051831
### 查表值
P_value(pt, T, n-1)
0.002671662 ### P-值
二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:
借出图书数 0
12
3 4 5 6 ≥7
k
频数 f 8 16 17
10 6 2 1 0
x
0.103818 0.009636 10.77 4.85e-06 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'
0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.08753 on 8 degrees of
freedom
mean(rep(X,Y)) [1] 2 #### 样本均值 > p #### 理论概率 [1] 0.1353353 0.2706706 0.2706706 0.1804470 0.1428765 > chisq.test(Z,p=p)
Chi-squared test for given probabilities data: Z X-squared = 0.1253, df = 4, p-value = 0.9981
#2. #### 输入数据 X<-0:7; Y<-c(8, 16, 17, 10, 6, 2, 1, 0) #### 计算理论分布, 其中mean(rep(X,Y))为样本均值 q<-ppois(X, mean(rep(X,Y))); n<-length(Y) p<-numeric(n); p[1]<-q[1]; p[n]<-1-q[n-1]
，方差
未知时关于均值
的假设检验问题，用T检验法.
解 ，
选统计量 已知 ， ，n＝28， ， 计算得
查t分布表， ，自由度27，临界值.
由于，故拒绝 ，即在显著水平 下不能认为该班的英语成绩为85分.
七．解：设，
所以，是平稳随机过程
五 解： （=1/8。
。
解得平稳分布为 解：（1）
在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是 否有显著影响？取显著性水平, 计算结果保留三位小数。
#4. 方差分析 X<-scan() 6.678 6.683 6.661 6.671 6.681 6.661 6.675 6.676 6.667 6.672 6.678 6.667 6.674 6.679 6.664
A<-gl(3, 1, 15) lm.sol<-lm(X~A) anova(lm.sol)
Analysis of Variance Table
Response: X
Df
Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A
2 0.00061053 0.00030527 38.479 6.025e-06
for (i in 2:(n-1)) p[i]<-q[i]-q[i-1]
#### 作检验 chisq.test(Y,p=p)
#### 重新分组 Z<-c(8, 16, 17, 10, 9) #### 重新计算理论分布 n<-length(Z); p<-p[1:n-1]; p[n]<-1-q[n-1] #### 作检验 chisq.test(Z,p=p)
七、设X(t)是平稳随机过程，若，其中是在上服从均匀分布的 随机变量且与X(t)独立，问是否是平稳随机过程？
标准答案（仅供参考） 一．这是单个正态总体
A<-gl(3, 1, 15) lm.sol<-lm(X~A) anova(lm.sol)
tapply(X,A, mean) pairwise.t.test(X, A, p.adjust.method="none")
plot(X~A)
五、某大型设备在任何长度为的时间区间内发生故障的次数是 强度的Poisson过程，记设备无故障运行时间为。 （1）求； （2）求自相关函数，写出推导过程； （3）求的概率分布函数；（4）已知设备已经无故障运行了10 小时，求再无故障运行8小时的概率。
x<-1:10 y<-c(1.89, 2.19, 2.06, 2.31, 2.26, 2.39, 2.61, 2.58, 2.82, 2.9) lm.sol<-lm(y~1+x) summary(lm.sol) > summary(lm.sol)
Call: lm(formula = y ~ 1 + x)
北京工业大学2009-2010学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号
姓名
成绩
注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》
浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。 可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资 料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日
p[i]<-q[i]-q[i-1] #### 作检验 chisq.test(Y,p=p)
#### 重新分组 Z<-c(8, 16, 17, 10, 9) #### 重新计算理论分布 n<-length(Z); p<-p[1:n-1]; p[n]<-1-q[n-1] #### 作检验 chisq.test(Z,p=p)
Pairwise comparisons using t tests with pooled SD data: X and A
12 2 0.01044 3 0.00011 1.7e-06
P value adjustΒιβλιοθήκη Baiduent method: none
plot(X~A)
#### 附: 全部程序
#1. s<-8; n<-28 T<-(80-85)/(s/sqrt(n)); T qt(1-0.05/2, n-1) P_value(pt, T, n-1)
> predict(lm.sol, newdata=data.frame(x=11),
interval="prediction")
fit
lwr
upr
[1,] 2.972 2.727564 3.216436
plot(x,y, pch=21, cex=1.2, col="red", bg="orange")
#3. 线性回归 x<-1:10 y<-c(1.89, 2.19, 2.06, 2.31, 2.26, 2.39, 2.61, 2.58, 2.82, 2.9) lm.sol<-lm(y~1+x) summary(lm.sol) predict(lm.sol, newdata=data.frame(x=11), interval="prediction")
abline(lm.sol, lwd=2, col="blue")
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：
玻璃 6.678 6.671 6.675 6.672 6.674
金 6.683 6.681 6.676 6.678 6.679
铂 6.661 6.661 6.667 6.667 6.664
期：2009年12月31日
一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数 为
分，样本标准差
分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85 分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均 成绩有显著差异（取显著性水平）？
s<-8; n<-28
T<-(80-85)/(s/sqrt(n)); T
三、某公司在为期10年内的年利润表如下：
年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9
(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进 行显著性检验：（取）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第 11年利润的预测区间（取）。
Multiple R-Squared: 0.9355,
Adjusted R-squared:
0.9275
F-statistic: 116.1 on 1 and 8 DF, p-value: 4.854e-
06
predict(lm.sol, newdata=data.frame(x=11), interval="prediction")
Residuals:
Min
1Q Median
3Q
Max
-0.08909 -0.07614 -0.00600 0.05505 0.15236
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.830000 0.059792 30.61 1.41e-09 ***
试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性
水平）
#2. #### 输入数据 X<-0:7; Y<-c(8, 16, 17, 10, 6, 2, 1, 0) #### 计算理论分布, 其中mean(rep(X,Y))为样本均值 q<-ppois(X, mean(rep(X,Y))); n<-length(Y) p<-numeric(n); p[1]<-q[1]; p[n]<-1-q[n-1] for (i in 2:(n-1))
plot(x,y, pch=21, cex=1.2, col="red", bg="orange") abline(lm.sol, lwd=2, col="blue")
#4. 方差分析 X<-scan() 6.678 6.683 6.661 6.671 6.681 6.661 6.675 6.676 6.667 6.672 6.678 6.667 6.674 6.679 6.664
***
Residuals 12 0.00009520 0.00000793
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'
0.1 ' ' 1
tapply(X,A, mean)
1
2
3
6.6740 6.6794 6.6640
pairwise.t.test(X, A, p.adjust.method="none")
[1] -3.307189 ### T 值
qt(1-0.05/2, n-1)
2.051831
### 查表值
P_value(pt, T, n-1)
0.002671662 ### P-值
二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:
借出图书数 0
12
3 4 5 6 ≥7
k
频数 f 8 16 17
10 6 2 1 0
x
0.103818 0.009636 10.77 4.85e-06 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'
0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.08753 on 8 degrees of
freedom
mean(rep(X,Y)) [1] 2 #### 样本均值 > p #### 理论概率 [1] 0.1353353 0.2706706 0.2706706 0.1804470 0.1428765 > chisq.test(Z,p=p)
Chi-squared test for given probabilities data: Z X-squared = 0.1253, df = 4, p-value = 0.9981
#2. #### 输入数据 X<-0:7; Y<-c(8, 16, 17, 10, 6, 2, 1, 0) #### 计算理论分布, 其中mean(rep(X,Y))为样本均值 q<-ppois(X, mean(rep(X,Y))); n<-length(Y) p<-numeric(n); p[1]<-q[1]; p[n]<-1-q[n-1]
，方差
未知时关于均值
的假设检验问题，用T检验法.
解 ，
选统计量 已知 ， ，n＝28， ， 计算得
查t分布表， ，自由度27，临界值.
由于，故拒绝 ，即在显著水平 下不能认为该班的英语成绩为85分.
七．解：设，
所以，是平稳随机过程
五 解： （=1/8。
。
解得平稳分布为 解：（1）
在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是 否有显著影响？取显著性水平, 计算结果保留三位小数。
#4. 方差分析 X<-scan() 6.678 6.683 6.661 6.671 6.681 6.661 6.675 6.676 6.667 6.672 6.678 6.667 6.674 6.679 6.664
A<-gl(3, 1, 15) lm.sol<-lm(X~A) anova(lm.sol)
Analysis of Variance Table
Response: X
Df
Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A
2 0.00061053 0.00030527 38.479 6.025e-06
for (i in 2:(n-1)) p[i]<-q[i]-q[i-1]
#### 作检验 chisq.test(Y,p=p)
#### 重新分组 Z<-c(8, 16, 17, 10, 9) #### 重新计算理论分布 n<-length(Z); p<-p[1:n-1]; p[n]<-1-q[n-1] #### 作检验 chisq.test(Z,p=p)