概率论第9讲
概率论悖论(9)：钱包游戏的初步解释
概率论悖论（9）：钱包游戏
我的理解
假如参加游戏的两人为甲和乙，甲钱包里的钱数为x ，乙钱包里的钱数为y ，为了公平，我们不妨理想化的认为x 和y 都是0到无穷大的实数。
那么每一次实验的结果都对应着平面直角坐标系内第一象限的一个点。
如果该点位于直线y=x 的上方，也就是x<y ，那么对于甲来说，他将收获y 元，我们把他收获的这些钱堆放在点（x ，y ）处；
如果该点位于直线y=x 的下方，也就是x>y ，那么对于甲来说，他将失去x 元，我们把他失去的这些钱堆放在点（x ，y ）处；
那么他收获的总钱数为00y ydxdy ∞⎰⎰ ,而失去的最钱数为00x xdydx ∞⎰⎰，虽然从积分的意
义上上面两个式子都没有结果，但我们发现如果假设甲和乙的钱数都不超过某个常数a ，则上式的两个积分值是相同的，也就是说对于甲来说，他在这个试验中获得的和失去的是一样多的。
后面附上这个悖论的原文：
M ：史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。
教授：我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱。
乔：呣……，如果我的钱比吉尔的多，她就会赢掉我的钱，可是，如果她的多，我就会赢多于我的钱，所以我赢的要比输的多。
因此这个游戏对我有利。
吉尔：如果我的钱比乔多，他就会赢掉我的钱。
可是，如果他的钱比我的多，我就可以赢，而我赢的比输的多，所以游戏对我有利。
M：一个游戏怎么会对双方都有利呢？这是不可能的。
是不是因为两个参与者都错误地设想他赢和输的机会是相等的，因而产生了这个谬论呢？。
0310概率论9
1
dx a
ac ba
上式说明：在[a,b] 上服从均匀分布的随
机变量，其取值在 [a,b]内长度相等的小
区间上的概率是相等的（即所谓等可能
性），因而它描述的是一维情形的几何概
率问题。
例１：公共汽车站每隔５分钟有一辆 汽车通过，乘客在５分钟内任一时刻到 达汽车站是等可能的。若设 表示乘客到 达汽车站后的候车时间，求 的分布密度 与乘客候车时间不超过3分钟的概率。
亦可推得：
P(a b) P(a b) P(a b) P(a b)
例:设随机变量 的分布密度为
A
x
1 x2
0
x 1 x 1
试求（1）系数A ；（2） 落在
1 , 1 2 2
内的概率；（3） 的分布函数F(x) 。
解：（1）1＝
x
dx
1
A dx A，解得A 1 .
于其密度函数 p(x) 与 x=a , x=b 及 x 轴所围成
的曲边梯形的面积。
结论 连续型随机变量取个别值的概率为0。
因为
故
P(
c)
Pc
c
h
ch
c
pxdx, h
0,
0 P c lim ch pxdx 0. h0 c
即
于是P有：概c率 0为. 0的事件并不一定是不可能事件；
同样，概率为1的事件不一定是必然事件。
解：由题意，～U 0,5,故
f
x
1 5
0
0 x5 其他
P
3
3
f
xdx
3 1dx
05
3. 5
故乘客候车时间不超过3分钟的概率为3。 5
(2)、指数分布
高一数学第九章概率知识点
高一数学第九章概率知识点概率在我们日常生活中无处不在，在每个人的决策过程中也扮演着重要角色。
高中数学的第九章——概率，是一门涉及不确定性的数学学科。
在本篇文章中，我们将探讨高一数学第九章中的一些重要知识点。
一、随机事件和样本空间首先，让我们了解什么是随机事件和样本空间。
随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，而样本空间则是指随机事件可能的所有结果的集合。
例如，抛一枚硬币的结果只能是正面或反面，那么样本空间就包含了{正面，反面}。
二、概率的定义和性质概率是一个事件发生的可能性的度量。
在数学中，概率可以用分数、小数或百分数表示。
例如，一个事件发生的概率为1/2可以写作0.5或50%。
概率的性质包括以下几点：1. 概率的取值范围在0和1之间，即0 ≤ P(E) ≤ 1。
2. 样本空间的概率为1，即P(S) = 1。
3. 如果事件A和事件B互斥（即不可能同时发生），则它们的概率相加等于发生A或B的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
三、频率和概率的关系频率是指在大量试验中，某一事件发生的次数与总试验次数的比值。
频率越接近概率，说明事件发生的可能性越高。
随着试验次数的增加，频率将趋于稳定，逼近概率值。
四、基本概率公式在概率计算中，基本概率公式是一个重要的工具，在计算一些复杂事件的概率时非常有用。
基本概率公式为 P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率可以通过公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 计算得出。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
六、独立事件和互斥事件独立事件指的是两个事件相互之间的发生没有影响；而互斥事件是指两个事件不能同时发生。
在独立事件中，P(A∩B) = P(A) * P(B)，而在互斥事件中，P(A∪B) = P(A) + P(B)。
概率论第9讲
由此可以形象地把全概率公式看成为 由原因推结果” “由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用” 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 性与各种原因的“ 作用” 大小有关 全概 率公式表达了它们之间的关系 . A3 A1 B A4 A2 A7 A5 A6 A8 诸Ai是原因 B是结果 是结果
i i=1 n
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
i=1
n
称满足上述条件的A 完备事件组. 称满足上述条件的 1,A2,…,An为完备事件组
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
i=1
n
全概率公式的来由, 不难由上式看出: 全概率公式的来由 不难由上式看出 “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和 全 部概率 被分解成了许多部分之和. 被分解成了许多部分之和 它的理论和实用意义在于: 它的理论和实用意义在于 在较复杂情况下直接计算P(B)不易 但B总是 不易,但 总是 在较复杂情况下直接计算 不易 伴随着某个A 出现，适当地去构造这一组A 伴随着某个 i出现，适当地去构造这一组 i 往往可以简化计算. 往往可以简化计算
贝叶斯公式在实际中有很多应用， 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（ 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 ） 的最可能原因. 的最可能原因
某一地区患有癌症的人占0.005，患者 例 3 某一地区患有癌症的人占 ， 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 对一种试验反应是阳性的概率为 ， 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 人对这种试验反应是阳性的概率为 ， 抽查了一个人，试验反应是阳性， 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 癌症患者的概率有多大 抽查的人患有癌症}， 抽查的人患有癌症 求解如下: 求解如下 设 C={抽查的人患有癌症 ， A={试验结果是阳性 ， 试验结果是阳性}， 试验结果是阳性 表示“抽查的人不患癌症” 则 C 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( C)=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| C)=0.04 求P(C|A).
精品课程《概率论》ppt课件(全)
第一章 概率论的基本概念
前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出 不确定性,在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
§1.随机试验
举例: E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.
E2: 将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.
成 为 数学 分支
1713年<<猜 度术>> 2
棣莫佛(1667-1754): <<分析杂论>>
中心极限定理(CLT)(1901 年), 乘法原理，正态分布等。
蒲丰(1707-1788)：蒲丰问题
几何概率
拉普拉斯(1749-1827)：1812《概率分析理论》
概率的古典定义
泊松(1781-1840)：推广了大数定理，提出了Poisson分布等.
A的对立事件A记 ,A也 为称A 为不发.生
若A与B互为对立事件，A则 B记 ,或为
BA.
B
A
BA
S
(1)若A, B二事件互为对立事件, 则A,B必互不相容, 但反之不真.
(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，
S或S.
(3)ABABAAB
7.事件的运算律:
交换律: A B B A ； A B B A
P(B| A
)nnA ABnnA AB nn
P(AB P(A)
)
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB ) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件,即
高考数学一轮复习课件：选修第9课独立性与二项分布
• 问题1：如何理解“甲以4比1获胜 ”？
甲最后一局必须赢 问题2：“乙获胜且比赛局数多于5局” 如何理解？ 包括几种情况？
乙以4比2获胜 +乙以4比3获胜
教学反思
• 1、求复杂事件的概率，可以把它分解为若 干个互不相容的简单事件，然后利用条件 概率和乘法公式，求出这些简单事件的概 率，最后利用概率的可加性得到最终结果；
第二问
,
“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括几种情 况？这几种情况在各射击一次时是否可能同时发生 ？
范例导析
例3、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7 局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛 中获胜的可能性相同. (1)求甲以4比1获胜的概率； (2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的概率分布.
独立重复试验与二项分布
二项分布
诊断练习
• 1、已知P(AB)=0.3,P(A)=0.6，则P(B︱A)= 0＿.5
温馨提示：公式切勿记错.一轮复习时应 着重基础，强化基础知识如公式定义的记 忆与简单应用，切勿搞题海战或难题战术。
诊断练习
第2题已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们
发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率___(_3_)_.
(填序号) ①事件A，B同时发生；②事件A，B至少有一个发生；③事件A， B至多有一个发生；④事件A，B都不发生.
诊断练习
3、随机变量 X 的分布列如下： X －1 0 1
Pa b c 其中 a，b，c 成等差数列，若 E(X)＝13，则方差 V(X) 的值是________．
(Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12，将 A、B 中的球装在一起后，
张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲
阅读感受
《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》是一本备受推崇的数学考研辅 导书籍，它的作者张宇教授以其独特的授课风格和深入浅出的讲解方式赢得了广 大考生的信赖和喜爱。这本书是张宇教授根据多年的教学经验与研究成果精心编 写的，对于备考研究生数学考试的学生来说，它无疑是一本极为宝贵的参考书籍。
在内容方面，《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》包含了概率论与 数理统计两个部分，每个部分都包含了基础概念、解题方法、经典例题以及练习 题等多个方面的内容。作者通过生动的语言和详细的解释，使得复杂的概念和解 题方法变得易于理解。书中还提供了大量的例题和练习题，这些题目既有针对性 又有代表性，可以帮助学生在实践中加深对概念和解题方法的理解和应用。
张宇考研数学概率论与数理统计强 化9讲
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
关键字分析思维导图
知识
作者
张宇
数学
内容
部分
掌握
强化
考研
概率论 学生
提高
数学
帮助
强化
讲解
辅导
考研
分布
内容摘要
《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》是一本专门针对考研数学中概率论与数理统计部分 的辅导书籍，由著名考研数学辅导专家张宇老师编写。本书以强化和提高概率论与数理统计部分 的知识水平为目标，通过9个主题的讲解，帮助学生更好地理解和掌握这一部分的知识点。
本书的内容分为两个部分，分别是概率论和数理统计。
在概率论部分，作者首先对随机事件和概率的概念进行了详细的解释，然后深入讲解了离散型随 机变量和连续型随机变量的概念及其分布，以及大数定律和中心极限定理等重要的概率论原理。 这些知识点都是概率论的基础，对于理解和掌握概率论的知识点至关重要。
概率论与数理统计_浙大四版_习题解_第9章_方差分析
概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。
【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。
为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。
三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 383043（1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。
（2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。
〖解（1）〗设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析）01::,,不全相等A B CA B C H H μμμμμμ==设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。
样本数据预处理表A B C 预处理结果40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=338 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ijx∑913745409970R=23647112221121158558522815152364723430.6jjj n aij j i n aijj i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑计算平方和及自由度如下23647228158321151142364723430.6216.41531223430.622815615.61312T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-= 方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F 值()0.052,12F因素A 615.6 2 307.8 17.07 3.89 误差 216.4 12 18.0333总和83214因17.07 3.89值F =>在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定各厂生产的电池寿命有显著的差异。
概率论第9讲
在 X =1 条件下，
P{Y 0, X 1} 7 / 30 7 P{Y 0 | X 1} , P{ X 1} 3 / 10 9
P{Y 1, X 1} 1/ 15 2 P{Y 1 | X 1} . P{ X 1} 3 / 10 9
例 3.5.2 求例3.2.2中被调查者吸烟条件下 得肺癌的概率和不吸烟条件下得肺癌的概率。
当 | x| ＞ 1 时 ,
f X ( x) f ( x, y)dy 0dy 0；
当-1≤x≤1时, ( 注意积分限的确定方法 )
f X ( x)
2
f ( x, y ) dy 0 dy 1
1 x 2
1 x 2 1 x 2
dy
1 x
2
0dy
1 x2 .
熟练时，被积函数为零的部分可以不写。
故
2 f X ( x) 0,
1 x2 ,
x [ 1,1], x [ 1,1];
由X 和Y 在问题中地位的对称性, 将上式中 的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度
2 2 1 y , fY ( y ) 0, y [1,1], y [1,1].
Y X 0 1
2
0 7/15 7/30
1 7/30 1/15
7 7 7 第一列概率 p1 P{Y y1} pi1 , 分布之和 15 30 10 i 1 p2 P{Y y 2 } pi 2
i 1 2
7 1 3 第二列概率 . 分布之和 30 15 10
f X ( x) f ( x, y ) d y
高中数学 3.1.1随机事件的概率(9)课件 新人教A版必修3
④在标准大气压下，且温度低于0℃时，雪融化。
条件：标准大气压下且温度低于0oC； 结果：冰融化 一定不能
例如:⑤抛一枚硬币,正面朝上。条件：抛一枚硬币；结果：正面朝上
⑥王义夫射击一次,中十环。条件：射击一次； 结果：中十环
不一定能
是（ B ）
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ C ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
（3）“取出的是白球或者是黑球”是什 么事件？概率是多少？
是必然事件，概率是1
例2、某射击手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 9 19 45 92 178 455
击中靶心的频率 0.90 0.95 0.90 0.92 0.89 0.91
定义1：在条件S下，一定会发生的事件，叫 做相对条件S的必然事件.
定义2：在条件S下，一定不会发生的事件,叫
做相对条件S的不可能事件.
定义3：必然事件与不可能事件统称为相对于 条件S的确定事件
定义4：在条件S下，可能发生也可能不发生的
事件叫做相对条件S的随机事件.
注 意！
事件的结果是相应于“一定条件”而 言的.因此，要弄清某一随机事件，必须明 确何为事件发生的条件，何为在此条件下 产生的结果.
帕斯卡是17世纪著名的数学家，但这个问题却让他苦苦思 索了三年，三年后，也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯 企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书， 这就是概率论最早的一部著作。
概率论与数理统计课件第9章
x为线性相关关系：y a bx
5 21.0 37.4 6 22.8 38.1 7 15.8 44.6 8 17.8 40.7 316. 84 1656 .49 724. 46 9 19.1 39.8 364. 81 1584 .04 760. 18 168. 3 364. 5 3192 .75 1481 3.2 6775 .02
回归方程有效性的F检验法
（2）当 F F 时，接受 H 0，即可认为变量 y 与 x 没有线性相关关系； 此时，可能有以下几种情况： （1 ） x 对
y 没有显著影响，应丢弃自变量 x ；
（2） x 对 y 有显著影响，但这种影响不能用线性关系 表示，应作非线性回归；
（3）除 x 之外，还有其它变量对 y 也有显著影响，从 而削弱了 x 对 y 的影响，应考虑多元回归。
H0 : 1 0, H1 : 1 0,
如果 H 成立，则不能认为 y 与 0
x 有线性相关关系。
三种检验方法：F检验法、t-检验法、r检验法。
回归方程有效性的F检验法
记
SST ( yi y ) Lyy
2 i 1
n
——总离差平方和，反映观测值与平均值的偏差程度。 经恒等变形，将
2
——回归平方和，反映回归值与平均值的偏差，揭示 变量 y 与 x 的线性关系所引起的数据波动。
SS E ( yi yi ) Lyy 1Lxy Q 0 , 1
2 i 1
n
——剩余平方和，反映观测值与回归值的偏差，揭示 试验误差和非线性关系对试验结果所引起的数据波动。
R 越大，变量 y 与 x 之间的线性相关程度越强。
回归方程有效性的r检验法
第1章 概率论9-11节
k1
院
CY
u
N
ki
C
X
u；
2. EX n jn d nC X u u 0；
du n
3. C X u在原点的台劳级数展开式
CX
u
d nCX u du n
n0
un
u0 n! n0 E
Xn
( ju )n n!
性质3表明：不但C( u )与f ( x )可唯一确定，而且f ( x )与EX n
学
则称 E( X k ) 为X的 k 阶原点矩。
通 若 E X E( X )k , k 1,2,... 存在，则称其为X的
信
k 阶中心矩。
学 院
若 E( X kY l ),k, l 1,2,... 存在，则称其为X和Y的 k+l 阶混合矩。
若 E X E( X )k Y E(Y )l 存在，则称其为X和Y的
院 C11 C12 ...C1n
都存在，则称
C
C C.
21
.
n1
C22 ..
Cn2
. . .
. . .
.C1n . .. .C nn
为n维随机变量的协
方差矩阵。因为 Cij C ji ，故C为对称阵。
上 海
§10 特征函数* （自学参考内容）
大 学
定义: 随机变量X的特征函数定义为
通 信 学
绝对收敛，则称此积分为X的数学期
望。记为
E[
X
]
xf
(
x)dx
上
海
例1.甲乙两人打靶问题,设
大 学
X1 0 1 2
X2 0 1 2
通
Pk 0 0.2 0.8
2018年大一轮数学文高考复习人教课件：第九章 概率9-2
(7)掷两枚硬币，其结果为：两正，两反，一正一反，属于古典概 1 型，其概率都是3.(×) (8)设 A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从 A，B 中各任取一个数，其基本事 件数为 5.(×) (9)一个口袋内装有 2 个白球和 3 个黑球，先摸出 1 个白球后放回 袋中，再摸球，则不属于古典概型．(×) (10)甲、乙、丙三人随机站成一排，甲、乙两人相邻而站的概率为 2 3.(√)
3 1 所以 P(A)＝27＝9. 1 因此，“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为9.
(2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则 事件 B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种． 3 8 所以 P(B)＝1－P( B )＝1－ ＝ . 27 9 8 因此，“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为9.
基础知识导航
考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练
第2课时
古典概型
1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型， 简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ； (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
解：(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)， (1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)， (2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)， (3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)， (3,3,3)，共 27 种． 设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种．
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在实际问题中，我们常常对某些随机变量的函数 感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量 不能由直接测量得到，而它却是某个能够直接 测量 的随机变量的函数。如，考察一批圆轴的截面面积 Y， 我们能够直接 测量的是直径 X，且当直径 X 取 x 值 时，截面面积Y 的取值为
例3 假设随机变量X具有概率密度 fX(x)，-<x<+ , 求Y=X2的概率密度。
解：法一：分布函数法
设X 和Y的分布函数分别为 FX ( x) 和 FY ( y) 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， FY(y)=0 当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X 2 y )
y 8 ( )0 2
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
1. 当 y =g(x) 是单调函数
定理 若连续型随机变量 X 只在(a, b)上取值，它 的概率密度为 fX(x)，又 y = g(x) 是严格单调的可 导函数，则Y =g (X)是连续型随机变量，其概率 密度为
Notes：只有当Y是X的单调可导函数时，才可用 以上公式推求Y的密度函数。
例2 假设随机变量 X 服从参数为1/2的指数分布， 试求Y=1-e-2X 的分布。
解：
2e 2 x X ~ f X ( x) 0
x0 x0
当x>0时，对于 有
y 1 e
2 x
2 x 2 x y e (2) 2e 0
设X~
x / 8, 0 x 4 f X ( x) 0, 其它
求 Y=2X+8 的概率密度. 解：设X，Y 的分布函数为 FY ( y )，FX(x) FY (y)=P{Y y } = P {2X+8 y } y 8 =P{ X } = FX( y 8 ) 2 2 于是Y 的密度函数
P ( y X y )
FX ( y ) FX ( y )
求导可得
1 f X ( y ) f X ( y ) , y 0 dFY ( y ) f Y ( y) 2 y dy y0 0, 法二：用公式
当x 0时，y x 单调减函数，反函数为x y
当0 x 2时，
y sin x单调增函数，反函数为x arcsin y
当
2
x 时，
y sin x单调减函数，反函数为x arcsin y
（3） y>1
FY ( y) P(Y y) 1
故Y的分布函数为
0 2 arcsin y FY ( y ) 1
求导数得Y的密度函数为
y0 0 y 1 y 1
2 f Y ( y ) 1 y 2 0
法二：用公式
0 y 1 其他
dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) dy 2 2
f ( 0)28
X
y
f ( )28 16
X
y y 8
当 8 < y < 16 时，
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x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它
y8 y8 fX ( ) 2 16
当 y 8 或 y 16 时， f X 故
f [h( y)] | h' ( y) |, y fY ( y ) 其他 0
其中 x = h(y) 是 y =g(x) 的反函数，(， )是 y =g(x), a < x < b 的值域。
若X～ f(x), xR, y = g(x)是单调可导函数，则 f [ h( y )] | h( y ) |, y Y＝g(X) ~ fY( y )＝ 0, 其它 其中h( y )为y＝g(x)的反函数， ＝min{g(-),g(+)}，＝max{g(-),g(+)}.
2
当x 0时，y x 单调增函数，反函数为x y y>0时 Y ~ fY ( y ) f ( y ) | y | f ( y ) | y |
2
1 2 y
[ f ( y ) f ( y )]
例4
已知随机变量 X U [0, ], 求Y = sinX
的概率密度 fY ( y)
且
y 1 e
2 x
, x 0 为x的单调增函数
1 xy 2(1 y )
ln( 1 y ) x , y (0,1) 2
所以
ln( 1 y ) f X ( ) | xy | y (0,1) fY ( y ) 2 0 其他
2( ln(12 y ) ) 1 2e 2(1 y ) 0 y (0,1) 其他
解： （1）y<0时， FY ( y) P(Y y) P(sin X y) 0
(2)0 y 1时
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y ) P(0 X arcsin y ) P( arcsin y X ) arcsin y arcsin y 2 arcsin y
1 0
即Y~U(0,1)
y (0,1) 其他
2. 当y=g(x)是非单调函数 法一：用基本方法（从分布函数出发）
(1)Y ~ FY ( y) P{Y y} P{X D}
(2)Y ~ fY ( y) FY ( y)
法二：变成几个单调区间，在每个单调区间 上用公式结果在求和
1 2 y x 4
一般地，设X, Y 是两个随机变量，y=g(x)是
一个已知函数，如果当X 取值 x 时，Y取值为
g(x)，则称Y 是随机变量X 的函数。记为Y=g(X)
问题是：如何由已知的随机变量X 的概率分布 去求得它的函数Y=g(X)的概率分布
一.
例1
一维连续型随机变量函数的密度函数