2011高一数学学案：2.1.1《变量与函数的概念》(新人教B版必修一)
高中数学人教B版必修一学案：2.1.1变量与函数的概念(映射)
高一数学第二章第四课时学案2.1.1函数-------变量与函数的概念一．学习目标1.了解映射的概念基表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否为映射，感受对应关系在函数概念中的作用，挺高对数学应用性的认识。
二．自主学习1、映射的定义：设A、B是两个___________，如果按照某种_____________f,对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中有_______________元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的___________，记作:______________________. 称y是x在映射f的作用下的__________，记作y=f(x),x称作y的____________。
其中A叫做映射f的________,由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的___________。
2.一一映射定义：设A，B是两个非空集合，映射f是集合A到集合B的________，并且对于集合B中的_________元素，在集合A中都__________一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在_______________关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B上的_________。
3.映射与函数有怎样的关系？三．典例分析例1：如下图所示的对应中，哪些是A到B的映射？例2、下列对应是不是A到B的映射？（1）A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}，f:乘2加1（2）A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数（3）A=R+，B=R，f:求平方根（4）A={x|0≤x<1}，B={y|y≥1} ，f:取倒数四．快乐体验1、在下列集合E 到集合F 的对应中，不．能构成E 到F 的映射是（ ）A B C D2、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A → B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n+4，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A 、6B 、7C 、8D 、93、设f:A →B 是集合A 到集合B 的映射，下列命题中是真命题的是（ ） A. A 中不同元素，必有不同的象； B. B 中每一个元素，在A 中必有原象； C. A 中每一个元素在B 中必有象； D. B 中每一个元素在A 中的原象唯一.4、已知映射f:A →B 的对应法则是f:(x,y)→（x+y,x-y ）(x,y ∈R),那么与B 中元素（2,1）对应的A 中元素是（ ）A. (3,1)B. (31,22)C. (31,-22) D. (1,3)5、已知集合A={a,b},B={1,2,3},则从A 到B 的不同映射有几个？从B 到A 的不同映射有几个？A 到B 上的一一映射有几个？五．今天我们学到了什么？xy x f 21:=→x y x f 61:=→xy x f 31:=→xy x f =→:AC BD 例4已知M= }{60≤≤x x {}30≤≤=y y P 下列对应中，不能看成是M 到P 的映射的是（ )例 3下面的对应，不是从M 到N 的映射的是（ ）A{}7,6,4,3,1=M {}1,1-=N ()xy x f 1:-=→Z M =R N =B xy x f =→:{}4,3,2=M {}8,6,4=N x y x f 2:=→C D 2:xy x f =→{}0≥=x x M {}0≥=y y N。
高中数学第二章函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法学习导航学案新人教B版必修1
函数-2.1.2 函数表示方法自主整理设集合A是一个非空数集,对A内任意数x,按照确定法那么f,都有唯一确定数值y与它对应,那么这种对应关系叫做集合A上一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,自变量取值范围A叫做函数定义域;如果自变量取值a,那么由法那么f确定值y称作函数在a处函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数值域.函数定义含有三个要素,即定义域A、值域C与对应法那么f.当且仅当两个函数定义域与对应法那么都分别一样时,这两个函数才是同一个函数.(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间［a,b］{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间［a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b］(2)无穷区间概念:关于-∞,+∞作为区间一端或两端区间称为无穷区间,它定义与符号如下表:{x|x≥a}［a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a］{x|x<a}(-∞,a)R(-∞,+∞)取遍数轴上所有值设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法那么f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,那么称f是集合A 到集合B映射.这时,称y是x在映射f作用下象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y原象,映射f也可记为f:A→B,x→f(x).其中A叫做映射f定义域(函数定义域推广),由所有象f(x)构成集合叫做映射f值域,通常记作f(A).(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值表来表达函数关系方法;(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达,那么这种表达函数方法叫做解析法(也称公式法).在函数定义域内,对于自变量x不同取值区间,有着不同对应法那么,这样函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)〞中“f〞是函数符号,可以用任意字母表示,如“y=g(x)〞;(2)函数符号“y=f(x)〞中f(x)表示与x对应函数值,是一个数,而不是f 乘x.2.对应法那么可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法与图象法,不管是哪种形式,都必须是确定,且使集合A中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间一种对应,假设将其中条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞,按照某种法那么可以建立起更为普通元素之间对应关系,这种对应就叫映射.A到B映射与B到A映射是截然不同.4.区间与数轴是严密联系在一起,在识别与使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值取舍是很容易出错地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点与空心点区别.对于某些不能用区间表示集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数画法要领是根据各段上函数解析式,分段画出各段图象.6.假设y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它取值范围是g(x)值域与(m,n)交集.名师解惑1.如何理解构成函数三要素:定义域、对应关系与值域求值域有几种常用方法剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数定义域,函数定义域包含三种形式:①自然型:指函数解析式有意义自变量x取值范围(如:分式函数分母不为零,偶次根式函数被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题条件或人为对自变量x限制,这是函数学习重点,往往也是难点,因为有时这种限制比拟隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x实际意义.(2)求函数值域是比拟困难数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式各种性质);④函数法(运用根本函数性质或抓住函数单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点与缺乏？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间函数关系就是用列表法表示;房地产公司出售商品房,总价格与面积之间函数关系就是用解析式来表示;工厂每月产量与月份之间函数关系是用图表来表示.(2)表示函数三种方法优点与缺乏,分别说明如下.①用解析式表示函数优点是简明扼要、标准准确.可以利用函数解析式求自变量x=a时对应函数值,还可利用函数解析式列表、描点、画函数图象,进而研究函数性质,又可利用函数解析式构造特点,分析与发现自变量与函数间依存关系,猜测或推导函数性质(如对称性、增减性等),探求函数应用等.缺乏之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y对应值需要逐个计算、有时比拟繁杂.②列表法优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系计价表,方便收款.列表法缺点是只能列出局部自变量与函数对应值,难以反映函数变化全貌.③用图象表示函数优点是形象直观,清晰呈现函数增减变化、点对称、最大(或小)值等性质.图象法缺乏之处是所画出图象是近似、局部,观察或由图象确定函数值往往不够准确.由于以上表示函数三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊对应剖析:(1)理解映射概念,必须注意以下几点:①方向性,“集合A到集合B映射〞与“集合B到集合A映射〞往往不是同一个映射;②非空性,集合A、B必须是非空集合;③唯一性,对于集合A中任何一个元素,集合B中都是唯一确定元素与之对应,这是映射唯一性,也可以说“在集合B中〞,A中任一元素象必在集合B中,也叫映射封闭性.④存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素与它对应,这是映射存在性.(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在某种对应关系.说其是一种特殊映射,就是因为它只允许存在“一对一〞与“多对一〞这两种对应,而不允许存在“一对多〞对应.映射中对应法那么f是有方向,一般来说从集合A到集合B映射与从集合B到集合A映射是不同.讲练互动【例题1】以下各组中两个函数表示同一个函数是…( )A.f(x)=x,g(x)=n n x22B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z)C.f(x)=x-2,g(t)=t-2D.f(x)=,g(x)=1+x解析：两个函数一样必须有一样定义域、值域与对应法那么.A中两函数值域不同;B中虽然定义域与值域都一样,但对应法那么不同;C 中尽管表示自变量两个字母不同,但两个函数三个要素是一致,因此它们是同一函数;D中两函数定义域不同.答案：C绿色通道给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否一样;二看对应法那么是否一致.只有当两函数定义域一样且对应法那么完全一致时,两函数才可称为同一函数.只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比方上面对A判断即属此.变式训练1.判断以下各组中两个函数是否为同一函数,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; (2)y=42-x 与y=22+•-x x ; (3)y=1+x 1与u=1+v1;(4)y=x 2与y=x 2x ;(5)y=2|x|与y=分析：判断两个函数是否为同一函数,应着眼于两个函数定义域与对应法那么比拟,而求定义域时应让原始解析式有意义,而不能进展任何非等价变换,对应法那么判断需判断它本质是否一样而不是从外表形式上下结论.解：(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者定义域是x≥2或x≤-2,后者定义域是x≥2.(3)一样,定义域均为非零实数,对应法那么都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是一样,但对应法那么不同.(5)一样,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=【例题2】设f,g 都是由A 到A 映射,其对应法那么(从上到下)如下表:表1 映射f 对应法那么原象1 2 3 象 2 3 1 表2 映射g 对应法那么原象123象213试求f［g(1)］,g［f(2)］,f{g［f(3)］}.分析：此题是将映射概念与复合函数求值相结合一道典型例题,解答此题首先要弄清f［g(x)］含义与映射中原象与象关系,然后再按照有关定义解题.解：∵g(1)=2,f(2)=3,∴f［g(1)］=f(2)=3.又∵g(3)=3,∴g［f(2)］=g(3)=3.∵f(3)=1,g(1)=2,∴f{g［f(3)］}=f［g(1)］=f(2)=3.绿色通道读懂对应法那么f与g含义是解题关键,要弄清在法那么f与g作用下,集合A中元素在集合A中象是什么,要掌握象与原象定义.变式训练2.以下各图中表示对应,其中能构成映射个数是…( )图2-1-1A.4B.3C.2解析：所谓映射,是指多对一或一对一对应且A中每一个元素都必须参与对应.只有图(3)所表示对应符合映射定义,即A中每一个元素在对应法那么下,B中都有唯一元素与之对应.图(1)不是映射,因A中元素c没有参与对应,即违背A中任一元素都必须参与对应原那么.图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应原那么.综上,可知能构成映射个数为1.答案：D3.(2007山东济宁二模,理10)A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么这样函数f(x)有( )解析：对f(a),f(b),f(c)值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个.综上所得,满足条件函数共有2+3+2=7(个).应选C.答案：C【例题3】求以下函数值域:(1)y=x2-2x-1,x∈［0,3］;(2)y=3x;-2+(3)y=;(4)y=|x-1|+|x-2|.分析：求二次函数值域一般要数形结合,先配方找出对称轴,再考察给定区间与对称轴关系,利用二次函数在对称轴两侧单调性,求出给定区间上最大值与最小值,即可得到函数值域.除数形结合之外,求函数值域方法还有逐步求解法、判别式法、别离常数法与利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解：(1)将原式变形,得y=(x-1)2-2,此函数对称轴为x=1,由于x∈［0,3］,∴当x=1时,y 有最小值-2.根据函数对称性知,x=3比x=0时值要大,∴当x=3时,y 有最大值2.∴这个函数值域为［-2,2］.(2)易知x≥2,∴2-x ≥0. ∴y=2-x +3≥3.∴这个函数值域为［3,+∞).(逐步求解法)(3)先别离常数,y=1311311222222+-=+-+=+-x x x x x .① 解法一(逐步求解法):∵x 2+1≥1,∴0<≤1.∴1>1≥-2.∴y∈［-2,1).解法二(判别式法):两边同乘x 2+1并移项,得(y-1)x 2+y+2=0. 又由①可知y<1,∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2,1).解法三(利用有界性):∵y≠1,易得x 2=.又∵x 2≥0,∴≥0.∴y∈［-2,1).(4)原函数可化为y=由图2-1-2可知y∈［1,+∞).图2-1-2绿色通道求值域一定要注意定义域限制,一定要在定义域范围内求函数值域.当然,求值域一定要根据函数对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题关键,求这类问题就能得心应手.变式训练4.函数y=-x2+4x+5(1≤x≤4)值域是…( )A.［5,8］B.［1,8］C.［5,9］D.［8,9］解析：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9(x∈［1,4］).∴当x=2时,y最大=9;当x=4时,y最小=5.∴函数值域为{y|5≤x≤9}.答案：C【例题4】图2-1-3是一个电子元件在处理数据时流程图:图2-1-3(1)试确定y与x函数关系式;(2)求f(-3)、f(1)值;(3)假设f(x)=16,求x值.分析：此题是一个分段函数问题,当输入值x≥1时,先将输入值x加2再平方得输出值y;当输入值x<1时,那么先将输入值x平方再加2得输出值y.解：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)假设x≥1,那么(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).假设x<1,那么x2+2=16,解得x=14(舍去)或x=14-.综上,可得x=2或x=14-.绿色通道通过实例,了解简单分段函数并能简单应用是新课程标准根本要求.对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在范围利用相应解析式直接求值;假设给定函数值求自变量,应根据函数每一段解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变量取值范围内.变式训练5.(2007山东蓬莱一模,理13)设函数f(n)=k(k∈N*),k是π小数点后第n位数字,π=3.141 592 653 5…,那么等于____________.解析：由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,那么有=1.答案：1【例题5】函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)表达式.分析：函数是一类特殊对应,函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1象是x2-1,求出x象,即是f(x)表达式.求解f(x)表达式此题可用“配凑法〞或“换元法〞.解法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.解法二(换元法):令x+1=t,那么x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.绿色通道函数f［g(x)］表达式,求f(x)表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑方法,一种是用换元方法.所谓“配凑法〞即把f［g(x)］配凑成关于g(x)表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求f(x)表达式;所谓“换元法〞即令f［g(x)］中g(x)=t,由此解出x,即用t表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.需要注意是,无论是用“配凑法〞还是用“换元法〞,在求出f(x)表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)定义域即x取值范围应与条件f ［g(x)］中g(x)范围一致,所以说求f(x)定义域就是求函数g(x)值域.变式训练6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(5)=-5,那么f ［f(1)］=___________.解析：∵f(x+2)=,∴f(x)=.∴f(1)===f(5)=-5.∴f(1)=-5.∴f［f(1)］=f(-5).又f(-5)=)23(11)3(1)25(1+---=--=+--f f f =f(-1)=51)1(1)21(1--=-=+--f f =51, ∴f［f(1)］=51. 答案：51 7.f(x)=x +11(x∈R 且x≠-1),g(x)=x 2+2(x∈R ), (1)求f(2)、g(2)值.(2)求f ［g(2)］值.(3)求f ［g(x)］解析式.分析：在解此题时,要理解对应法那么“f〞与“g〞含义,在求f ［g(x)］时,一般遵循先里后外原那么.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.(2)f ［g(2)］=f(6)=.(3)f ［g(x)］=f(x 2+2)=.教材链接［思考与讨论］如何检验一个图形是否是一个函数图象写出你检验法那么,图2-1-4所示各图形都是函数图象吗哪些是,哪些不是,为什么图2-1-42-1-4所示各图形中因为(1)、(3)、(4)符合“一对一〞或“多对一〞原那么,所以(1)、(3)、(4)是函数图象,而(2)中有一个x 值对应两个y 值,不满足函数“多对一〞或“一对一〞条件,所以(2)不是函数图象.。
人教B版高中数学必修一学案：2.1.1 第1课时 变量与函数的概念
2.1.函.数 2.1.1.函.数第1课时.变量与函数的概念[学习目标].1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y ＝kx (k ≠0)，y ＝kx (k ≠0)，y ＝ax ＋b (a ≠0)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).2.反比例函数y ＝kx (k ≠0)在x ＝0时无意义.[预习导引] 1.函数(1)函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域. 2.区间设a ，b ∈R ，且a ＜b .3.要点一.函数概念的应用例1.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(..)A.0个B.1个C.2个D.3个答案.B解析A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.跟踪演练1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是(..)A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案.B解析.对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B 项，符合函数的定义.对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 要点二.求函数的定义域 例2.求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.解.(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1. 所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义， 必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}.规律方法.1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 跟踪演练2.函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是(..) A.[2,3)B.(3，＋∞)C.[2,3)∪(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)答案.C解析.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，即x ≥2且x ≠3. 要点三.求函数值或值域例3.已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解.(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.规律方法.求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪演练3.求下列函数的值域. (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1； (3)y ＝x x ＋1.解.(1)(直接法)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)(观察法)∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0， ∴x ＋1≥1.∴函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞). (3)(分离常数法)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1， 且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1.∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}.1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是(..)答案.B解析.根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确. 2.函数f (x )＝x －1x －2的定义域为(..) A.[1,2)∪(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1,2) D.[1，＋∞)答案.A解析.由题意可知，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2. 3.已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是(..) A.11 B.12 C.13 D.10答案.C解析.f [f (1)]＝f (3)＝9＋3＋1＝13.4.下列各组函数中，表示同一个函数的是(..) A.y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B.y ＝x 0和y ＝1C.f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D.f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2答案.D解析.A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.5.集合{x |－1≤x ＜0，或1＜x ≤2}用区间表示为________. 答案.[－1,0)∪(1,2]解析.结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2].1.对函数相等的概念的理解：(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数.2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描述法的变式.。
数学必修Ⅰ人教新课标B版2-1-1-1变量与函数的概课件(43张)
2.特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
(－∞，
符号
[a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
＋∞)
填空： (1)集合{x|1<x≤3}用区间可表示为________； (2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________； (3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________. 【答案】 (1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2]
(3)①是函数.对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应. ②不是函数.如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数. ③不是函数.如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应. ④是函数.当x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}.
阶
阶
段
段
1
3
2.1 函数
2.1.1 函数
第1课时 变量与函数的概念
学
阶 段
业 分 层
2
测
评
1.理解函数的概念，了解函数构成的三要素.(难点) 2.会求一些简单函数的定义域、值域.(重点、易错点) 3.能正确使用区间表示数集.(重点)
[基础·初探] 教材整理 1 变量与函数的概念 阅读教材 P29～P31“倒数第 11 行”以上部分，完成下列问题. 1.函数的定义 设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的 任意数x ，按照确定的法则 f，都 有 唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记 作 y＝f(x)，x∈A .也经常写作 函数f或函数f(x) .
2.函数的定义域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做 自变量 ，自变量取值的范围(数集 A)叫做这 个函数的 定义域 .
高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.1.1 变量与函数的
2.1.1.1 变量与函数的概念预习导航一、函数的相关概念1．函数的定义，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一(1)函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．(2)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作f(a)或y|x .所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．＝a思考1函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如，y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如，一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28，是一个常数．思考2同一函数的判断标准是什么？提示：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一个函数．因此判断时应注意以下四点：(1)定义域不同，两个函数也就不同．如，y＝x2(x∈R)与y＝x2(x＞0)不是同一个函数；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如，y＝x与y＝x2不是同一个函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．如，函数f(x)＝x2与f(x)＝2x2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一个函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的．如，f(x)＝2 015x＋2 014，f(t)＝2 015t＋2 014，g(x)＝2 015x＋2 014都表示同一个函数．二、区间的概念特别提醒(1)区间表示了一个数集，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a＜b.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心圆圈表示．(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．(5)用＋∞，－∞表示区间的端点时不能写成闭区间的形式．思考3区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算．。
高中数学 第二章 函数 2.1.1 第1课时 变量与函数的概念课件 新人教B版必修1.pptx
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
(3)判断下列对应是否为函数： ①x→y，y＝2x，x≠0，x∈R，y∈R； ②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R； ③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； ④x→y，y＝16x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．
【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于 y 轴的直线最多只 能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．
1．判断一个对应关系是否为函数的步骤 (1)判断 A，B 是否是非空数集； (2)判断 A 中任一元素在 B 中是否有元素与之对应； (3)判断 A 中任一元素在 B 中是否有唯一确定的元素与之对应． 2．判断函数是否相同的步骤 (1)看定义域是否相同； (2)看对应关系是否相同； (3)下结论．
【答案】 (1)B (2)C (3)①是函数．对 x≠0，x∈R 的每一个 x 的值，有唯一的 y∈R 与之对应． ②不是函数．如当 x＝4 时，y＝2 或－2，有两个值与之对应，因此不是函数． ③不是函数．如当 x＝4 时，在{y|0≤y≤3}内没有值与 x 对应． ④是函数．当 x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．
2．函数的定义域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做__自__变__量___，自变量取值的范围(数集 A)叫做 这个函数的__定__义__域___． 3．函数的值域 如果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的__函__数__值___，记 作__y_＝__f_(a_)_或__y_|x_＝_a__.所有函数值构成的集合_{_y_|y_＝__f(_x_)_，__x_∈__A_}_叫做这个函数的值 域．
高中数学 2.1.1第1课时变量与函数的概念课件 新人教B版必修1
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2.下列关于函数与区间的说法正确的是
(D)
A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
解析 函数的值域不可能为空集，故 A 错； 当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则
定义的？
答 设 a，b∈R，且 a<b, (1)满足 a≤x≤b 的全体实数 x 的集合，叫做闭区间，记作[a，b]． (2)满足 a<x<b 的全体实数 x 的集合，叫做开区间，记作(a，b)． (3)满足 a≤x<b 或 a<x≤b 的全体实数 x 的集合，叫做半开半闭 区间，分别记作[a，b)或(a，b]． 问题 2 实数集 R 及 x≥a，x>a，x≤b，x<b 如何用区间表示？ 答 实数集 R 可以用区间(－∞，＋∞)表示； x≥a，x>a，x≤b，x<b 分别用区间表示为： [a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．
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探究点一 变量与函数的概念 问题 1 阅读教材 29－30 页中的(1)，(2)，(3)，(4)四个函数关
系的例子，指出这四个例子的共同特点是什么？变量之间的 对应关系采用什么形式表达的？ 答 在上面的每个例子中，都指出了自变量的变化范围、由 自变量确定因变量的对应法则，以及由此确定的因变量的取 值范围． 例子(1)和(2)中的两变量关系通过图象的形式表达的，例子(3) 中的变量间的关系通过列表的形式表达的，例子(4)中的变量 间的关系通过关系式表达的．
可以不同，故 B 错；
由于整数集没法用区间表示，故 C 错．所以选 D. 3.已知函数 f(11－＋xx)＝x，求 f(2)的值．
数学人教B版必修1学案课堂导学 2.1.1函数第1课时变量与函数的概念 Word版含解析
课堂导学三点剖析一、函数定义域的求法【例】求下列函数的定义域，并用区间表示.()();()();()();()().思路分析：本题考查函数定义域的求法及区间表示法，当函数解析式给出时，定义域就是使其解析式有意义的自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和\,差\,积\,商的形式构成时(如()()),定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合.解：()要使()有意义,必须≠,所以≠.故函数的定义域是{≠},区间表示为(∞)∪(∞).()要使()有意义,必须≥,所以≥,故函数的定义域是{≥},区间表示为［∞). ()由于没有意义,所以≠.①又分式的分母不可为零,开偶次方根被开方数非负,所以≠,即<.②由①②可得函数的定义域为{<且≠},区间表示为(∞)∪().()要使函数()有意义,必须所以≤<且≠,故函数的定义域为{≤<且≠},区间表示为［)∪().二、求复合函数的定义域【例】若函数()的定义域是［］,求()、()的定义域.思路分析：本题考查函数有意义的等价转换.要使()有意义,不妨把看作一个整体变量,它应适合()的定义域,转化成已知变量求解.解：∵()的定义域为［］,∴使()有意义的条件为≤≤,即≤≤,则()的定义域是［］.同理,由≤≤,即≤≤或≤≤,则()的定义域为［］∪［］.温馨提示由()的定义域求复合函数［()］的定义域类型,一般方法是,若()的定义域为,则［()］的定义域是使()∈的的集合.本题易误解为:由≤≤,∴≤≤.∴()的定义域为［］.忽视了()有意义的条件,习惯性地代换是错因.三、判断两个函数是否为同一函数【例】下列所给四组函数表示同一函数的是( )()()()()()()()()思路分析：函数三要素中当定义域,对应法则确定后,值域也就被确定了.所以判断两个函数是否为同一函数,关键是看两个函数的定义域与对应法则是否相同.解：对于()的定义域为()的定义域为［∞),不是同一函数.对于()、()的定义域为(),是同一函数.对于()的定义域为()的定义域为(∞)∪(∞),虽对应法则相同但定义域不同,不是同一函数.对于()的定义域为()的定义域为(∞)∪(∞),不是同一函数.选.答案：温馨提示本题容易出现思维片面性,只看到解析式化简以后的形式相同,而误判为同一函数,实质上定义域要以条件所给形式有意义为原则,然后再化简看对应法则,两者要兼顾,缺一不可.各个击破类题演练求函数()的定义域.解析：要使函数有意义，必须∴函数()的定义域是{≥且≠}.变式提升()已知函数()的定义域为，则实数的取值范围是( )>.－＜<<≤≤解析：当时，()有意义;当≠时，由≠,得Δ<,即<<,综合得<≤.答案：()若()的定义域为，()＝的定义域为，当时，求的取值范围.解析：由≥，得≥.∴<,或≥,即(∞)∪［∞).由()()>,得()()<.。
高中数学 2.1.1《函数》 教案三 新人教B版必修1
［师］在研究函数时，除用符号f(x）表示函数外，还常用g(x) 、F（x)、G（x)等符号来表示
二、例题讲解
例1：设 ，给出下列4个图形，其中能表示集合M到集合N的函数关系的有个
1
11 222
例题2、判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
附记
一、知识讲解
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y＝f(x)，x∈A
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f(x)）值叫做函数值，函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫函数的值域.
一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)＝ax＋b(a≠0)和它对应.
反比例函数f(x)＝ (k≠0)的定义域是A＝{x|x≠0}，值域是B＝{f(x)|f(x)≠0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)＝ (k≠0)和它对应.
理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“f:A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）的定义域是R，值域是当a＞0时B＝{f(x)|f(x)≥ }；当a＜0时，B＝{f(x)|f(x)≤ }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应.
【B版】人教课标版高中数学必修一《函数(第二课时)》教学教案-新版
2.1.1 函数（第二课时）映射与函数知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．过程与方法：（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．教学目标（1）了解映射的概念及表示方法（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念(4) 会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(5) 能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图像法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(6) 求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．教学重难点（1）对映射、函数概念的理解、函数概念的理解。
（2）函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．教学过程一、创设情景，揭示课题问题情境：每个学生都有一个学号，这样管理比较方便；同学们在中考中，每一个人都有唯一的考号，也就是说在现实生活中，不仅是数集之间存在着某种对应关系，很多集合之间也存在着某种对应关系，为了研究集合之间的对应关系，我们引入映射的概念（板书课题）．二、复习提问、研探新知提问：函数的概念教师：我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种特殊的对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，这种对应就叫映射．学生：分组讨论、归纳映射的概念。
（一）映射的定义：映射定义：设A,B是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A ．．．．元素，在集合B中都有唯一到．集合B的映射，记作：B:(注：A中元素必须取完，B中元素可以取完，Af→也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B:中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应Af→的B中元素y叫x的象，记作：)fy=，x叫做y的原象。
高中新课程数学新课标人教B版必修一2.1.1函数学案22
2．1．1 函数 学案（2）【预习要点及要求】1．映射的概念，映射与函数的关系．2．了解映射，一一映射的概念，初步了解映射与函数间的关系．以判定一些简单的映射． 【知识再现】1、函数的定义:___________________________________2、函数的定义域、值域：___________________________________3、区间的概念：___________________________________ 【概念探究】1、映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 内任意一个元素x ，在B 中 一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到B 的 ．这时称y 是x 在映射f 的作用下的 ，记作f(x )．于是y=f(x)中x 称做y 的 ．2、集合A 到B 的映射f 可记为f ：A →B 或x →f(x)．其中A 叫做映射f 的 （函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的 ，通常记作f(A)．3、如果映射f 是集合A 到B 的映射，并且对于B 中的任何一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合之间存在 ，并称这个映射为集合A 到集合B 的 ．4、由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广， 是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是 ．完成课本P34-35，例4、例5、例6、例7． 【总结点拨】从集合A 到集合B 的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素． 【例题讲解】例1、判断下列对应哪些是由A 到B 的映射？为什么？（1）A=R ，||11:},0|{x y x f y y B +=→>=； （2）A=R ，2:},0|{x y x f y y B =→≥=；（3）x y x f y y B x x A =→≥=≥=:},0|{},3|{ （4）A=Z ，B=Q ，xy x f 1:=→例2、已知集合A=R ，},|),{(R y x y x B ∈=，B A f →:是从A 到B 的映射，)1,1(:2++→x x x f ，求A 中元素2的象和B 中元素)45,23(的原象．例3、已知q px y x f N n n n n B m A +=→∈+==+:,},3,,7,4{},,3,2,1{24且是从A 到B 的一个一一映射，已知1的象是4，7的原象是2，求p, q, m, n 的值．【当堂达标】1、在给定的映射R y x xy y x y x f ∈+→,),,2(),(:的条件下，点)61,61(-的原象是（ ）A 、)361,61( B 、)32,41()21,31(--或 C 、)61,361(-D 、)41,32()31,21(-或 2、区间[0，m]在映射f:x →2x+m 所得的象集区间为[a, b]，若区间[a, b]的长度比区间[0, m]的长度大5，则m 等于（ ）A 、5B 、10C 、2．5D 、13、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b, 2b+c, 2c+3d, 4d ，例如，明文1, 2, 3,4对应密文5, 7, 18, 16．当接收方收到密文14, 9, 23, 28时，则解密得到的明文为（ ）A 、4, 6, 1, 7B 、7, 6, 1, 4C 、6, 4, 1, 7D 、1, 6, 4, 74、设集合A={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 9, 25, 49, 81, 100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是（ ）A 、2)12(:-→x x f B 、2)32(:-→x x f C 、12:2--→x x x fD 、2)1(:-→x x f 答案【例题讲解】例1、（1）不是由A 到B 的映射，因为A 中元素O 在B 中无象． （2）是由A 到B 的映射 （3）是由A 到B 的映射（4）不是由A 到B 的映射，因为A 中元素O 在B 中无象例2、解：A 中元素2在B 中的象为)3,12+由214512312=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x x 得 ∴B 中元素)45,23(的原象是21。
人教B版数学高一版必修1学案 函数
数学人教B 必修1第二章2.1.1 函数1．会用集合与对应语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法，并能正确地使用区间表示数集． 3．了解映射的概念，能判定一些简单的对应是不是映射，并用映射概念加深对函数概念的理解．1(1)在近代定义中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的______； 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的____，记作______； 所有函数值构成的集合______叫做这个函数的值域． (2)确定一个函数只需两个要素：____和______．要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①____和____是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的____值，是否都能确定____的函数值y .(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域为R ，值域是R ；(2)反比例函数f (x )＝kx (k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，值域是{y |y ≠0}；(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ；当a ＞0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ，当a ＜0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . 【做一做1－1】下列四组函数中，f (x )，g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝4x 4B ．f (x )＝1，g (x )＝xxC ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2【做一做1－2】函数f (x )＝ 2 011－x ＋1x －2 010的定义域为__________．2．区间(1)在数轴上，区间可以用一条以a ，b 为端点的线来表示(如下表)．用实心点表示端点包括在区间内，用空心点表示端点不包括在区间内．__________无穷区间的概念：－∞或＋∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．数轴表示__________取遍数轴上所有值(1)区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合．这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号、圆括号等符号来表示数集；(2)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开；(3)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势；(4)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大．如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，并不是所有数集都能用区间表示，如自然数集N，整数集Z等；(5)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，应用时注意区分，不能混淆．【做一做2】用区间表示下列数集：(1){x|5＜x≤8}＝__________；(2){x|x＜3，且x≠0}＝__________；(3)R＝__________.3．映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的______，在B中______元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的____．这时，称y是x在映射f的作用下的____，记作______．于是y＝f(x)，x称作y的__________．映射f也可记为______．其中A叫做映射f的________(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的________，通常记作______．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的____一个元素，在集合A 中都______原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______．理解映射的概念必须注意如下几点：(1)方向性，“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”往往不是同一个映射；(2)非空性，集合A，B必须是非空集合；(3)唯一性，对于集合A中的任何一个元素，集合B中都有唯一确定的元素与之对应，这是映射的唯一性，也可以说A中任一元素的象必在集合B中；(4)存在性，就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；(5)映射可以看成函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射，在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许“一对多”的对应．【做一做3－1】有下列各图中表示的对应：其中能构成映射的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1【做一做3－2】已知(x，y)在映射f下的象是(x＋y，x－y)，则(4,6)在f下的原象是()．A．(5，－1) B．(－1,5)C．(10，－2) D．(－2,10)一、函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个随x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．二、同一函数的判定剖析：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数，注意以下四点： (1)定义域不同，两个函数也就不同．如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)不是同一函数； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如y ＝x 与y ＝x 2不是同一函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则，如函数f (x )＝x 2与f (x )＝2x 2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f (x )＝2 012x ＋2 011，f (t )＝2 012t ＋2 011，g (x )＝2 012x ＋2 011都表示同一函数．题型一 求函数的定义域【例1】求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．分析：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．反思：(1)已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：①如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .②如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．③如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．④如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．⑤对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． (2)本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．题型二 简单函数值域的求法 【例2】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1.分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．反思：在求函数的值域时，常用的方法有：(1)观察法．通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法．(2)配方法．对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法．(3)换元法．通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型三 求函数解析式【例3】已知f (x －1)＝x 2－2x ＋7. (1)求f (2)和f (a )的值；(2)求f (x )和f (x ＋1)的解析式．分析：利用代入法或换元法．对(1)可令x ＝3和x ＝a ＋1即可求得；对(2)可用“x ＋1”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x )，用“x ＋2”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x ＋1)．反思：已知类型为f [g (x )]＝h (x )的函数，求f (x )的解析式时，常常使用配凑法和换元法．在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f 到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而使问题得以解决．题型四 有关映射的问题【例4】判断下列对应法则是否是从A 到B 的映射和一一映射． (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |.(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x .(3)A ＝{x |x ≥2，x ∈Z }，B ＝{y |y ≥0，y ∈N }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2.分析：判断某一映射是否是一一映射，应抓住两点：①原象不同，象不同；②每个象都必须有原象．反思：由上面例题我们可以总结出：(1)按照映射的定义可知，映射应满足：①存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；②唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的对应元素．(2)一一映射的两个特点：①对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象；②集合B 中的每一个元素都有原象，即对应形式为“一对一”，集合A ，B 中均没有剩余元素． 【例5】已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象．分析：本题考查映射的知识，把x ＝2代入即可求得2的象，⎝⎛⎭⎫32，54的原象可通过列方程组解出．反思：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．一般已知原象求象时，常采用代入法．已知象求原象时，通常由列方程组法求解．求解过程中要注意象与原象的区别和联系．题型五 易错辨析【例6】已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x )． 错解：令x ＋4＝t ，则x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16，∴f (x )＝x 2－16.反思：在利用换元法求函数解析式时，一定要及时求出新自变量的取值范围，否则将导致所求函数定义域错误，进而引起一系列错误，如求值域、画图象等．1函数f (x )＝1x －1＋(x －2)0的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(1,2)∪(2，＋∞) 2(2011·河北邯郸高一期末)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 C ．f (x )＝(x )2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2x3已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,1}，则A 到B 的一一映射有__________个．4函数y ＝1x 2＋x ＋1的值域为__________．5已知函数f (x ＋1)＝x 2－1，x ∈[－1,3]，求f (x )的解析式． 答案： 基础知识·梳理1．唯一的一个y 值 自变量 因变量 任意数x 唯一 y ＝f (x )，x ∈A 函数f 或函数f (x ) (1)定义域 函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A } (2)定义域 对应法则 ①定义域 对应法则 ②每一个 唯一【做一做1－1】D 若两个函数表示同一函数，则需其定义域、对应法则都相同，缺一不可．选项A 中对应法则不同，选项B 中定义域不同，选项C 中定义域不同，仅有选项D 表示同一函数．【做一做1－2】{x |x ≤2 011，且x ≠2 010} 要使f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧2 011－x ≥0，x －2 010≠0，解得x ≤2 011且x ≠2 010.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2 011，且x ≠2 010}．2．(1)[a ，b ] {x |a ＜x ＜b }半开半闭区间 (2)[a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，＋∞)【做一做2】(1)(5,8] (2)(－∞，0)∪(0,3) (3)(－∞，＋∞)3．任意一个元素x 有一个且仅有一个 映射 象 f (x ) 原象 f ：A →B ，x →f (x ) 定义域 值域 f (A ) 任意有且只有一个 一一映射【做一做3－1】D 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A 中每一个元素都必须参与对应．只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A 中的每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应．图(1)不是映射，因A 中的元素c 没有参与对应，即违背A 中的任一元素都必须参与对应的原则．图(2)、图(4)不是映射，这两个图中集合A 中的元素在集合B 中有多个元素与之对应，不满足集合A 中的任一元素在集合B 中有且仅有唯一元素与之对应的原则．综上，可知能构成映射的个数为1.【做一做3－2】A 由题意，根据对应关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1，故原象为(5，－1)．典型例题·领悟【例1】解：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1且x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．【例2】解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3.因为x ≠3，所以7x －3≠0，所以y ≠2.故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. 因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}．(3)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝211548t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为t ≥0，所以158y ≥．故函数2y x -＝158y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．【例3】解：(1)f (2)＝f (3－1)＝9－2×3＋7＝10，f (a )＝f [(a ＋1)－1]＝(a ＋1)2－2(a ＋1)＋7＝a 2＋6. (2)解法一(配凑法)：f (x )＝f [(x ＋1)－1] ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)＋7＝x 2＋6，f (x ＋1) ＝f [(x ＋2)－1]＝(x ＋2)2－2(x ＋2)＋7＝x 2＋2x ＋7.解法二：f (x －1)＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6， ∴f (x )＝x 2＋6，f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7. 解法三(换元法)：设t ＝x －1，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋7＝t 2＋6，,故f (x )＝x 2＋6. f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7.【例4】解：(1)因为0∈A ，在f 作用下0→|0|＝0∉B ，,所以不是映射，更不是一一映射． (2)对于任意x ∈A ，都有x ∈B ，故是映射．又因为对B 中任一元素，在A 中有且仅有一个原象，所以为一一映射． (3)对任意的x ∈A ，依对应法则f 有x →y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为x ≥2，x ∈Z ，所以y ≥2，y ∈N ，即y ∈B ，所以是映射．因为0∈B ，且(x －1)2＋1＝0无解，所以集合B 中的元素0在A 中无原象，所以不是一一映射．【例5】解：把x ＝2代入f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，得其象为(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54的原象为12. 【例6】错因分析：在换元时，未标明t 的取值范围，而使f (x )缺少定义域． 正解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．解法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4， 即x ＝(t －4)2，∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16. ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． 随堂练习·巩固1．D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －2≠0，解得x ＞1且x ≠2.∴函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．2．B 根据同一函数的判断标准，即定义域相同，对应法则也相同判断． 3．2 根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射：故共2个．4．⎝⎛⎦⎤0，43 ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴0＜1x 2＋x ＋1≤43，∴值域为⎝⎛⎦⎤0，43. 5．分析：本题可用“配凑法”或“换元法”求f (x )的解析式．解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－1＝(x ＋1)2－2(x ＋1)， ∴f (x )＝x 2－2x .又x ∈[－1,3]时，(x ＋1)∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．解法二(换元法)：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， 且由x ∈[－1,3]知t ∈[0,4]，∴由f (x ＋1)＝x 2－1，得f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t ，t ∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．。
高一数学教案：变量与函数的概念
高一数学教案：变量与函数的概念
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本文题目：高一数学教案：变量与函数的概念
学习目标：(1)理解函数的概念
(2)会用集合与对应语言来刻画函数，
(3)了解构成函数的要素。
重点：函数概念的理解
难点：函数符号y=f(x)的理解
知识梳理：自学课本P29P31，填充以下空格。
1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内，按照确定的对应法则f，都有与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作。
2、对函数，其中x 叫做，x 的取值范围(数集A)叫做这个函数的，所有。
高中数学 第二章 函数 2.1.1 第1课时 变量与函数的概念学案 新人教B版必修1
2．1.1 第1课时变量与函数的概念学习目标 1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念思考1 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么变量x、y分别称为什么量？思考2 初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？梳理函数的概念(1)函数的定义设集合A是一个________的数集，对A中的__________，按照确定的法则f，都有__________的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作________．(2)函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，____叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的______，记作________________．所有函数值构成的集合________________叫做这个函数的值域．知识点二函数相等思考函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？梳理一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的________相同，并且____________完全一致，我们就称这两个函数相等．特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.无穷大区间的表示：3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．类型一 函数关系的判断 例1 (1)给出下列四个图形：其中，能表示函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x； ④r ：把x 对应到x .反思与感悟 检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法 (1)定义域和对应法则是否给出；(2)根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y .跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？ ①f ：把x 对应到x ＋1；②g ：把x 对应到1x 2＋1；③h ：把x 对应到常数1.类型二 已知函数的解析式，求其定义域 例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝x ＋0x ＋2；(4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.反思与感悟 求函数定义域的常用依据 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练2 函数f (x )＝xx －1的定义域为________．类型三 求函数的值域 例3 求下列函数的值域．(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝2x －x －1.反思与感悟 求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法． 跟踪训练3 求下列函数的值域． (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x 21＋x2.类型四 对于f (x )，f (a )的理解例4 (1)已知函数f (x )＝x ＋2，若f (a )＝4，则实数a ＝________. (2)已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． ①求f (2)，g (2)的值； ②求f (g (2))的值； ③求f (a ＋1)，g (a －1)．反思与感悟 f (x )中的x 可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x 都换成对应的数或式子即可． 跟踪训练4 已知f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1)．(1)求f (0)及f (f (12))的值；(2)求f (1－x )及f (f (x ))．1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1} D ．{x |0≤x ≤1}3．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0)4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则ff12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－355．下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B．①③ C．③④ D．①④1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应法则．由于函数的定义域和对应法则一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应法则分别相同即可．2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x 没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x 的集合．3．在y ＝f (x )中，x 是自变量，f 代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x 表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x 只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t 等表示自变量．关于对应法则f ，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f ( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f (x )＝3x ＋5，f 表示“自变量的3倍加上5”，如f (4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f ”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x 的一个值后，经过“数值加工器f ”的“加工”就得到一个对应值．答案精析问题导学 知识点一思考1 x 是自变量、y 是因变量．思考2 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念． 梳理(1)非空 任意数x 唯一确定 y ＝f (x )，x ∈A (2)x 函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A }知识点二思考 两个函数都是描述的同一集合R 中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B 中唯一确定的元素，故是同一个函数． 梳理定义域 对应法则 题型探究 例1 (1)D(2)解 ①②是实数集R 上的一个函数，因为给定一个x 值都有唯一确定的值与之对应．③④不是，对于③，当x ＝0时，没有值与之对应，对于④当x ＜0时，没有值与之对应． 跟踪训练1 (1)①③④(2)解 ①是函数关系，定义域为{x |x ≥－1}． ②是函数关系，定义域为R . ③是函数关系，定义域为R . 例2 解 (1)定义域为R . (2)定义域为[0，17]．(3)定义域为{x |x >－2且x ≠－1}． (4)定义域为{x |－32≤x ＜2，且x ≠0}．跟踪训练2 {x |x ≥0且x ≠1}例3 解 (1)∵y ＝x ＋1的定义域为R ， ∴y ＝x ＋1的值域为R .(2)∵y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又x ∈[0,3)，∴2≤y ＜6，∴y ＝x 2－2x ＋3的值域为[2,6)． (3)∵y ＝3x －1x ＋1＝x ＋－4x ＋1＝3－4x ＋1， 又∵4x ＋1≠0， ∴y ≠3，∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．(4)y ＝2x －x －1的定义域为[1，＋∞)． 令x －1＝t ，则x ＝t 2＋1且t ≥0， ∴y ＝2t 2－t ＋2＝2(t －14)2＋158≥158，∴y ＝2x －x －1的值域为[158，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1， 所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]． 例4 (1)14(2)解 ①因为f (x )＝11＋x ，所以f (2)＝11＋2＝13.又因为g (x )＝x 2＋2， 所以g (2)＝22＋2＝6. ②f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.③f (a ＋1)＝11＋a ＋＝1a ＋2. g (a －1)＝(a －1)2＋2＝a 2－2a ＋3.跟踪训练4 解 (1)f (0)＝1－01＋0＝1. ∵f (12)＝1－121＋12＝13， ∴f (f (12))＝f (13)＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－－x 1＋－x ＝x 2－x(x ≠2)． f (f (x ))＝f (1－x 1＋x )＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x＝x (x ≠－1)．当堂训练1．B 2.C 3.C 4.B 5.C。
高中数学 变量与函数的概念学案 新人教B版必修1
2014年高中数学 变量与函数的概念学案 新人教B 版必修1一、三维目标：1.理解函数的概念，明确函数的两要素，即定义域和对应法则；2.能正确使用区间表示数集；3.会求一些简单函数的定义域，复合函数的定义域； 二、学习重、难点：重点：函数的概念，定义域的概念和求法；难点：抽象函数的定义域的求法；1、函数的定义：设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内 ，按照确定的对应法则f ，都有 ______________与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作 。
2、函数的定义域、值域：函数的定义域对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做 ，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的 . 3、函数的值域：如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 成为函数在a 处的__________,记做_____,所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 . 3、函数的两要素：_______________________； 。
4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ； ② ；5、区间的概念：设a, b 是两个实数，且a<b（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记作 。
（2）满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，记作 。
（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 和 ；分别满足x ≥a,x>a,x ≤a,x<a 的全体实数的集合，都叫半开半闭区间，记作 x ≥a ：______________ x>a:________________ x ≤a:_______________x<a:________________其中实数a, b 表示区间的两端点。
题型一.函数概念例1．给出四个命题中正确的是_________________； ① 函数就是定义域到值域的对应关系。
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2．1．1函数（第一课时）
【知识梳理】
自学课本P 29—P 31，填充以下空格。
1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内 ，按照确定的对应法则f ，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作 。
2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做 ，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的 ，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。
3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要 。
4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ；② 。
【例题解析】
题型一：函数的概念
例1：下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是（ ）
题型二：相同函数的判断问题 例2：已知下列四组函数：①x y x
=
与y=1
②y =y=x ③y =y =④2
1y x =+与2
1y t =+其中表示同一函数的是（ ） A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④
题型三：函数的定义域和函数值问题
例3：求下列函数的定义域
1、 （1）1
()1f x x =+ （2）、0()f x x =+ （3）
、()f x =2、
例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】
1、下列图形哪些是函数的图象，哪些不是，为什么？
2、已知下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A. ()1f x x =-和21()1
x f x x -=+ B. 0
()f x x =和()1f x =
C. 2
()f x x =和2
()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x =
3、求下列函数的定义域 （1）、1
()2
f x x =- （2）()f x =
（3）、0
(x
)(1)f x =+ （4）1
()2f x x
=
+-
4、已知21()1f x x =
+，21
()1
x g x x +=+ （1）求(2),g(2)f 的值
（2）求(g(2))f 的值
A B C
D。