不确定性原理的前世今生

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不确定性原理与波函数

不确定性原理与波函数

不确定性原理与波函数引言:量子力学是描述微观粒子行为的一种理论。

在量子力学中,无法精确地同时确定粒子的位置和动量,这就是著名的不确定性原理。

不确定性原理的提出,深刻地影响了我们对物质世界的理解,而波函数则是描述量子体系的关键工具。

本文将介绍不确定性原理的基本概念和物理意义,并讨论波函数的基本性质及其在不确定性原理中的应用。

一、不确定性原理的概念与物理意义1.1 不确定性原理的提出不确定性原理最早由维尔纳·海森堡于1927年提出。

他认为,对于微观粒子,无论是位置还是动量的测量都不可能完全精确。

具体而言,在测量位置时,粒子的动量将变得不确定;而在测量动量时,粒子的位置也将变得模糊。

这种不确定性是存在于自然界的基本定律,与我们对宏观世界的感觉不同。

1.2 不确定性原理的物理意义不确定性原理揭示了粒子在微观尺度下的行为本质。

传统物理学中,我们习惯于认为粒子具有确定的位置和动量,但在量子力学中,这种观念不再适用。

不确定性原理告诉我们,粒子的属性在测量前是不确定的,只有在进行测量时,才能得到确定的结果。

这与我们对宏观物体的认知有了本质的不同。

二、波函数的基本性质2.1 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述粒子状态的函数。

波函数的平方表示了在某个时刻,粒子处于不同位置的概率分布。

具体而言,波函数是一个关于空间坐标和时间的函数,记作Ψ(x,t)。

其中,x表示位置,t表示时间。

2.2 波函数的归一化波函数必须满足归一化条件,即波函数在所有可能位置上的概率积分为1。

归一化条件可以表示为∫|Ψ(x,t)|^2dx = 1。

这意味着,粒子一定处于某个位置上,概率为1。

2.3 波函数的解释根据波粒二象性,波函数既可以被解释为波,也可以被解释为粒子。

当我们对波函数进行测量时,它会坍缩成一个确定的位置。

在位置空间,波函数表示了粒子的位置概率分布;而在动量空间,波函数表示了粒子的动量分布。

三、不确定性原理与波函数的关系在波函数的基础上,我们可以更好地理解不确定性原理。

【教育资料】不确定性原理的前世今生 · 数学篇(三)学习专用

【教育资料】不确定性原理的前世今生 · 数学篇(三)学习专用

不确定性原理的前世今生· 数学篇(三)不确定性原理事实上不是一个单独的定理,而是一组定理的统称。

基本上,凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理,由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述,也就对应着不同的数学定理。

但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中,最著名的当然是海森堡(W.Heisenberg)在1927年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。

它精确的数学描述是:假定一个信号的总能量为1,则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于1/16π2。

换言之,两者各自的能量都可能很集中,但是不能同时很集中。

如果时空域中能量的方差很小(亦即集中在一起),那么频域上能量的方差就不会太小(亦即必然会弥散开),反之亦然。

对这个定理在量子物理中的意义的详细讨论超出了本文的话题范围,坊间相关的著作已有不少。

不过,下面简单胪列了一些相关的历史事实:海森堡在1927年的那篇文章标题为UeberdenanschaulichenInhaltderquantentheoretischenK inematikundMechanik(《量子理论运动学和力学的直观内容》)。

这篇文章很大程度上是对薛定谔(E.Schrdinger)在1926年所提出的薛定谔波动方程的回应。

相较于海森堡的矩阵力学而言,薛定谔的方程很快由于它物理上的直观明晰而吸引了越来越多物理学家的赞赏。

海森堡对此极为失落。

在1926年6月8日海森堡写给泡利(W.Pauli)的信中他说:「我对薛定谔的理论想得越多我就越觉得恶心。

」因此,他迫切需要给他自己的理论配上一幅更直观的图象。

海森堡的这篇文章提出了后来被人们所熟悉的关于为什么无法同时测量一个电子的位置和动量的解释,但是并未给出任何严格的数学证明。

他把他的结论笼统地表达为ΔxΔp≥,其中x是位置,p是动量,是普朗克常数。

但他并没有详细说明Δx和Δp的严格意思,只针对若干具体情形做了一些直观的讨论。

不确定性原理和测不准性

不确定性原理和测不准性

不确定性原理和测不准性不确定性原理和测不准性是量子物理学中的两个基本概念。

不确定性原理指的是,在某些情况下,我们无法同时准确地测量一个粒子的位置和动量。

测不准性是指,无论我们如何精密地测量一个粒子的位置或速度,我们都会存在一定的测量误差。

这些概念为量子力学的基本思想提供了重要的支持。

不确定性原理最初是由德国著名物理学家海森堡在1927年提出的。

他认为,在对一个粒子的位置和动量进行测量时,它们之间存在固有的不确定性。

具体来说,如果我们精确地测量了一个粒子的位置,那么它的动量就会变得不确定,反之亦然。

其背后的原因是,在量子力学中,测量本身会对待测系统产生干扰,这个干扰的大小与测量的精度成正比。

因此,在测量的过程中,测量设备和待测系统之间无可避免地会发生相互作用,导致求解粒子位置和动量的过程变得复杂。

实际上,不确定性原理已经被实验证实。

例如,我们可以通过强制粒子到一个非常小的区域内,并观察它的位置和速度的变化。

这个过程中,我们就会发现,当我们测量位置时,速度变得不确定,否则测量速度,位置就变得不确定。

因此,不确定性原理无疑是量子力学中最基础的原理之一。

它告诉我们,世界上并不存在完全可预测的物体。

这就是说,即使我们了解了粒子的所有属性,我们仍旧无法完全预测它在某一时刻的状态。

不确定性原理的含义是什么?我们可以从物理意义上解读这个原理。

首先,不确定性原理阐述了量子物理学中物理量的局部性质,这意味着测量一个粒子的属性并不能反映出整个系统的性质。

其次,不确定性原理还告诉我们,粒子的位置和动量测量值不是独立的。

这是因为,在测量位置时,我们使系统的状态发生了变化,从而影响了测量动量的程序。

因此,如果我们任何一个物理量变得越精确,它就会对其他物理量的测量产生更大的影响。

不确定性原理是量子力学的基础之一,它揭示了自然界中的局限性。

但是,实验界越来越关注的是测不准性问题,即我们是否可以准确地测量一个量子系统的位置或动量。

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?海森堡的父亲是一位古典学家(研究古希腊/罗马时期的经典著作),从这个角度海森堡在古典哲学方面是颇有家传的。

海森堡(右)与其兄送他们的父亲上一战战场。

那么海森堡提出量子力学和他的哲学素养有什么关系吗?读海森堡的早期著作以及他后来的回忆,我们发现海森堡提出量子力学还真和他的哲学倾向有关。

据海森堡自己回忆,他在德国一战后“内战”期间“从军”的空闲时间,曾阅读柏拉图的蒂迈欧篇,他发现自己极其厌恶柏拉图的那种把原子想象为具体的几何实体的思路,他认为这些都是不切实际的空想。

柏拉图的原子:五种正多面体,海森堡对这种具象原子模型的反感代表着他对机械原子模型的否定。

海森堡自己后来构建量子力学的思路就是不从粒子的位置和动量出发,转而从原子光谱实验里的跃迁法则及跃迁强度出发,由实验可以观测到的量出发构建量子力学。

这就是后来的矩阵力学。

类似地,海森堡也习惯用一种操作主义的语言来描述自己发现的海森堡不确定原理(或测不准关系)。

测不准关系论证示意图。

海森堡的原始论证是这样的:考虑电子双缝干涉,两个缝之间的距离是l,为了测量电子的位置(或电子是从哪个缝出射),光源P发出的测量光子必须具备至少l的分辨本领,即光波波长要小于等于l。

这意味着光子的动量大于等于h/l。

光子在测量电子位置的同时,会把动量转移给电子,这样电子动量测量的不确定度就是大于等于h/l。

小结一下:电子位置测量的不确定度是l,而电子动量测量的不确定度是大于等于h/l,因此位置测量不确定度乘以动量测量不确定度的乘积就必须大于等于h。

这里h是普朗克常数,需要说明的是以上给出的是海森堡初始的证明思路,现在我们讲解(论证)不确定原理时并不强调测量,换句话说不确定原理是量子力学本身的内在属性,和是否测量、怎么测量没有关系。

这(不确定原理)很客观。

《时间简史》第四章不确定性原理

《时间简史》第四章不确定性原理

《时间简史》第四章不确定性原理第四章不确定性原理科学理论,特别是⽜顿引⼒论的成功,使得法国科学家拉普拉斯侯爵在19世纪初论断,宇宙是完全被决定的。

他认为存在⼀组科学定律,只要我们完全知道宇宙在某⼀时刻的状态,我们便能依此预⾔宇宙中将会发⽣的任⼀事件。

例如,假定我们知道某⼀个时刻的太阳和⾏星的位置和速度,则可⽤⽜顿定律计算出在任何其他时刻的太阳系的状态。

这种情形下的宿命论是显⽽易见的,但拉普拉斯进⼀步假定存在着某些定律,它们类似地制约其他每⼀件东西,包括⼈类的⾏为。

很多⼈强烈地抵制这种科学宿命论的教义,他们感到这侵犯了上帝⼲涉世界的⾃由。

但直到本世纪初,这种观念仍被认为是科学的标准假定。

这种信念必须被抛弃的⼀个最初的征兆,是由英国科学家瑞利勋爵和詹姆斯·⾦斯爵⼠所做的计算,他们指出⼀个热的物体——例如恒星——必须以⽆限⼤的速率辐射出能量。

按照当时我们所相信的定律,⼀个热体必须在所有的频段同等地发出电磁波(诸如⽆线电波、可见光或X射线)。

例如,⼀个热体在1万亿赫兹到2万亿赫兹频率之间发出和在2万亿赫兹到3万亿赫兹频率之间同样能量的波。

⽽既然波的频谱是⽆限的,这意味着辐射出的总能量必须是⽆限的。

为了避免这显然荒谬的结果,德国科学家马克斯·普郎克在1900年提出,光波、X射线和其他波不能以任意的速率辐射,⽽必须以某种称为量⼦的形式发射。

并且,每个量⼦具有确定的能量,波的频率越⾼,其能量越⼤。

这样,在⾜够⾼的频率下,辐射单独量⼦所需要的能量⽐所能得到的还要多。

因此,在⾼频下辐射被减少了,物体丧失能量的速率变成有限的了。

量⼦假设可以⾮常好地解释所观测到的热体的发射率,但直到1926年另⼀个德国科学家威纳·海森堡提出著名的不确定性原理之后,它对宿命论的含义才被意识到。

为了预⾔⼀个粒⼦未来的位置和速度,⼈们必须能准确地测量它现在的位置和速度。

显⽽易见的办法是将光照到这粒⼦上,⼀部分光波被此粒⼦散射开来,由此指明它的位置。

量子力学中的不确定性原理

量子力学中的不确定性原理

量子力学中的不确定性原理量子力学是描述微观领域中粒子行为的物理学理论,它主要研究微观粒子在微观尺度上的运动和相互作用。

在量子力学中,存在着一种基本的原理,即不确定性原理。

本文将详细介绍量子力学中的不确定性原理以及其对物理学和科学哲学的影响。

一、不确定性原理的提出不确定性原理最早由德国物理学家海森堡在1927年提出,并被称为“海森堡不确定性原理”。

不确定性原理表明,在粒子的位置和动量之间存在一种不可避免的不确定性关系,即无法同时精确地测量一个粒子的位置和动量。

具体而言,如果我们想要精确地测量一个粒子的位置,那么我们必须使用较小的探测器,但这样做会导致对粒子的动量测量结果的不确定性增大。

反之亦然,如果我们试图精确地测量粒子的动量,那么我们必须使用较大的动量传感器,这又会导致对粒子位置的测量结果不确定性增大。

二、海森堡不确定性原理的数学表达海森堡不确定性原理可以通过下面的数学表达式来描述:ΔX · ΔP ≥ ℏ/2其中,ΔX表示位置的不确定度,ΔP表示动量的不确定度,ℏ为普朗克常数。

这个表达式说明了位置的不确定度和动量的不确定度的乘积不小于普朗克常数的一半。

也就是说,我们无法将位置和动量的不确定度同时减小到任意小的值。

三、不确定性原理的解释和意义不确定性原理的提出打破了传统物理观念中关于物理量确定性的认识。

在经典物理学中,我们可以同时准确地确定一个粒子的位置和动量,而在量子力学中却不再成立。

不确定性原理的解释可以借助波粒二象性来理解。

根据量子力学的波粒二象性,粒子既可以表现出波动性质,又可以表现出粒子性质。

位置和动量就是波动性质和粒子性质的对应关系,因此无法同时准确确定。

不确定性原理对于科学哲学也有重要的意义。

它揭示了人类对于微观世界认识的局限性,展示了自然界中的一些基本限制。

在量子力学的视野下,我们必须接受一种不完全确定性的观念,摒弃了绝对可知的观点,这对于哲学的发展和科学方法论的建设有深远的影响。

不确定性原理的推导

不确定性原理的推导

不确定性原理的推导一、(普遍的)不确定性原理推导:对于任意一个可观测量A ,有(见(12)式):2ˆˆ()()A AA ΨA A Ψf f σ=--= (1) 式中:ˆ()f AA ψ≡- 同样地,对于另外一个可观测量B ,有:2B g g σ=式中:ˆ(g BB ψ≡- 由施瓦茨不等式(见(16)式),有:222A B f fg g f gσσ=≥ (2)对于一个复数z (见(17)式):222221[Re()][Im()][Im()][()]2z z z z z z i*=+≥=- (3)令z f g =,(2)式:2221[]2ABf g g f i σσ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭(4)又ˆˆ()()f g AA B B ψψ=-- ˆˆ()(ΨAA B B ψ=-- ˆˆˆˆ()ΨABA B B A A B ψ=--+ ˆˆˆˆΨABΨB ΨA ΨA ΨB ΨA B ΨΨ=-++ ˆˆABB A A B A B =--+ ˆˆABA B =- 类似有:ˆˆf g BAA B =-所以ˆˆˆˆˆˆ,f g g f AB BA A B ⎡⎤-=-=⎣⎦(5)式中对易式:ˆˆˆˆˆˆ,AB AB BA ⎡⎤≡-⎣⎦把(5)代入(4),得(普遍的)不确定性原理:2221ˆˆ,2A B A B i σσ⎛⎫⎡⎤≥ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)二、位置与动量的不确定性设测试函数f (x ),有(见(23)式):[]d d ,()()()d d x p f x xf xf i x i x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦d d d d d d f x f x i i x i x i x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()i f x = (7)去掉测试函数,则:[],=x p i(8)令ˆˆ,A x B p ==,把(8)代入(6):2222x p σσ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭由于标准差是正值,所以位置与动量的不确定性:2x p σσ≥(9)三、时间与能量的不确定性由(见(24)式):j σ (10)可得:x p σσ===t E σσ=所以时间与能量的不确定性:2t E σσ≥(11)附:1、数学符号及常量x : x 的平均值αβ: 矢量(函数)α和β的点积(内积)j σ: j 的不确定程度,即j 的标准差:2hπ=,其中h =6.6260693(11)×10-34 J·s 为普朗克常量 i : 21i =-2、有关公式推导(1)式:()22ˆQQQ σ=-()2ˆΨQQ Ψ=-()()ˆˆQ Q ΨQ Q Ψ=-- (12)(2)式: 对于2αβ和ααββ设123(,,,)n x x x x α=…,,123(,,,)n y y y y β=…, 则22112233()n n x y x y x y x y αβ=++++ (13)2222123=n x x x x αα++++(…) (14) 2222123=n y y y y ββ++++(…)(15)2222112233()()()()0n n tx y tx y tx y tx y -+-+-++-=…其中t 为未知数显然,该方程最多仅有一个对t 的解 该方程可写为:222222222123112233123()2()(n n n n x x x x t x y x y x y x y t y y y y ++++⋅-++++⋅+++++………)=0因为其解只有0或1个,所以0∆≤:2222222221122331231234()4()0n n n n x y x y x y x y x x x x y y y y ++++-++++++++≤……)(…把(12)、(13)、(14)式代入,得:2αβααββ≤ (16)(3)式: 设z a ib =+ 则2222111[()][()()](2)244z z a ib a ib ib b i *+=-+--=-= 22[Im()]=z b所以221[Im()][()]2z z z i*=+ (17)(6)式: 薛定谔方程:2222ΨΨi V Ψt m x ∂∂=-+∂∂ (18) 可以写做:222Ψi Ψi V Ψt m x ∂∂=-∂∂222Ψi Ψi V Ψt m x***∂∂=-+∂∂ 所以2()ΨΨΨt t*∂∂=∂∂ 22222i ΨΨΨΨm x x **⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭2i ΨΨΨΨx m x x **⎡⎤⎛⎫∂∂∂=-⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦(19) 又2d x x Ψx +∞-∞=⎰(20)由(13)、(14)式,有:2d d d x x Ψx t t∂=∂⎰ d 2i ΨΨx ΨΨx m t x x **⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭⎰ (21) 利用分部积分公式:d d d d d d bb ba aa g f fx g x fg xx =-+⎰⎰ (22)(15)式可以写为d d d 2xiΨΨΨΨx t m x x **⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰ 对第二项再分部积分,消去边界项(在±∞处Ψ趋于0),得:d d d x i Ψv Ψx t m x*∂==-∂⎰ 所以:dd xp m v mt== d ΨΨx i x *∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎰又()d x Ψx Ψx *=⎰则有(6)式中的(x 、p 为算符):x xp i x =⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩(23)(9)式:()()2222()()()j j j P j j j P j σ=∆=∆=-∑∑()222()j j j j P j =-+∑22()2()()j P j j jP j jP j =-+∑∑∑222j j j j =--22j j =-所以,标准差:σ=(24)参考文献:《Introduction to quantum mechanics 》——David J Griffiths。

海森伯不确定原理及其它的数学推导

海森伯不确定原理及其它的数学推导

海森堡的不确定原理及其它的数学推导 今年12日5日是德国著名物理学家沃纳·海森伯(W.Heisenbery1901--1976)诞辰100周年纪念日;1901年12月5日, 海森伯出生于维尔茨堡古希腊语教师的家庭,19岁时成为慕尼里大学著名理论物理学家索末菲(Sommerfeld) 的弟子,1924年取得博士学位.1925年率先从修改经典分析力学的途径为创立量子力学矩阵形式作出了开拓性的工作,1927年提出了著名的“不确定原理”;这便成为20世纪物理学发展的一个重要里程碑。

同时,他对原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子等概念的理解作出了重大的改进,并于1932年获得诺贝尔物理学奖金,他被公认为20世纪最具创新能力的思想家之一;本文重在对海森伯在量子力学的矩阵形式和“不确定原理”这两项重要贡献作简单的历史性回顾,以示对这位伟人最真挚的纪念。

不确定原理海森伯非常注重量子力学的物理图象和原理,他早就认识到,把经典的电子坐标换成量子的跃迁振幅,相当于要从量子理论来重新解释运动学,亦即要从量子论的图象来重新描述电子的运动.1926年薛定谔(Schrodinger )创立了波动力学,随后又证明了波动力学与量子力学完全等价.实际上,海森伯的量子力学选择了力学量随时间改变而态不随时间改变的物理图象,薛定谔的波动力学则选择了态随时间改变而力学量不随时间改变的物理图象.电子运动的量子特征在海森伯图象中表现得很突出,而电子运动的波动特征在薛定谔图象中表现得十分清楚,电子运动的量子性和波动性已经被纳入了一个自洽和完整的理论体系.紧接着薛定谔的工作,玻恩用薛定谔波动方程研究量子力学的散射过程,提出了波函数的统计诠释,指出薛定谔波函数是一种几率振幅,它的绝对值的平方对应于测量到电子的几率分布.认识到了量子力学规律的统计性质,这就为海森伯提出量子力学的不确定原理在观念上奠定了基础.使海森伯疑惑不解的是:既然在量子力学中不需要电子轨道的概念,那又怎么解释威尔逊(C.Wilson )云室里观察到的粒子径迹呢?经过几个月的思索,1927年初海森伯忽然想起,年前在一次讨论中,当他向爱因斯坦(Einstein )表示“一个完善的理论必须以直接可观测量作依据”时,爱因斯坦说道:“在原则上,试图单靠可观测量去建立理论那是完全错误的.实际上正好相反,是理论决定我们能够观测到什么东西”[7].在这一回忆的启发下,海森伯仿效爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的定义方法,马上领悟到:云室里的径迹不可能精确地表示出经典意义下的电子路径或轨道,它原则上至多给出电子坐标和动量的一种近似的、模糊的描写.在这种想法指导下,他用高斯型波函数来研究量子力学对于经典图象的限制,立即导出了同时测量粒子的坐标和动量所受到的限制:海森伯引用狄拉克—约尔丹变换理论如下.对于位置坐标q 的一个高斯型波函数(或海森堡所称的“几率振幅”)由下式给出:[8]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=22)(2exp )(q q q δψ常数 (11) 其中δq 是高斯凸包的半宽度,根据玻恩的几率诠释,它表示一个距离的范围.粒子几乎肯定处于此范围中,因而表示位置的测不准量(δq =q q ∆∆,2为标准偏差)。

海森堡不确定性原理

海森堡不确定性原理

海森堡不确定性原理
关于不确定性究竟是测量的不确定还是本质的不确定,有一个判决性的实验的,那就是EPR悖论以及后来的贝尔不等式.EPR悖论就是爱因斯坦提出来的反对本质不确定性的思想实验,按照哥本哈根解释的话这个实验将是荒谬的.后来贝尔提出一个不等式,如果不确定是测量造成的,那么比如说某个统计值一定是小于2的,然而量子理论却预言说这个值将可能突破2,甚至达到2倍根号2.这个实验是可以实际操作的,量子理论的荒谬预言已经在八十年代得到了证实.在现在的情况下,物理学家不得不承认,如果要继续反对本质的不确定性,势必要以牺牲定域性为代价,也就是说必须允许某种瞬时的超距作用.然而玻姆他们据此建立的隐变量解释也并不如哥本哈根解释成功.
有公式如下:
△x△p≥h/4π
△t△E≥h/4π
其中△x为位置的不确定性,△p为动量的不确定性,△t为时间的不确定性,△E为能量的不确定性,h为普朗克常数.。

浅谈不确定性原理

浅谈不确定性原理

历史
1925 年 6 月,维尔纳·海森 堡发表了论文《QuantumTheoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations》,从而创立了矩阵力 学。现代量子力学正式开启。
矩阵力学大胆地假设,粒 子的量子运动并不明确。在原子 里的电子并不是移动于明确的轨 道,而是模糊不清,无法直接观 察的轨域。
道。因此,在量子力学中,一个电子只能以一定的不确定性处于某 一位置,同时也只能以一定的不确定性具有某一速度。可以把这
些不确定性限制在最小的范围内,但不能等于零。这就是海森伯对不确定性 最初的思考。
云室中水滴串形成的雾迹
观察者效应的显示
不确定性原理时常会被解 释为:粒子位置的测量必然地扰 乱了粒子的动量;反过来说也对, 粒子动量的测量必然地扰乱了粒 子的位置。换句话说,不确定性 原理是一种观察者效应的显示。
这解释时常会导致一种错误的想法,在 概念上,似乎这扰乱是可以避免的;粒子的量 子态可以同时拥有明确的位置和明确的动量, 问题是我们所设计的最尖端实验仪器仍旧无法 制备出这些量子态。但是,在量子力学里,明 确位置与明确动量的量子态并不存在。我们不 能怪罪于实验仪器。
海森堡显微镜实验
为了辩解不确定性原理,海森堡设计了一个想像的 伽马射线显微镜实验。在这实验里,一个测量者朝着电子 射出一粒光子,想要测量一个电子的位置和动量。
……
布是基础的,是无
波函数不能够完全
法约化的。一个粒 子只能拥有明确的
鱼与熊掌 位置或动量,不能 不可兼得! 同时拥有两者。
地描述一个粒子的
上帝量不子会行为掷;波函数 骰只的子能粒!子描概述率一个性的系量综
子行为。

§16.3不确定性原理PPT课件

§16.3不确定性原理PPT课件

x , 则Px0 例如,一维自由运动粒子,其动量确定,但其坐 标完全不确定。
严格的理论给出不确定性关系:
xpx /2 一般写为: Δ qΔ p2
ypy /2
zpz /2
h 2
h为普朗克常数
太原理工大学大学物理
讨论 1)不确定关系使微观粒子运动失去了“轨道”概 念。不确定关系说明微观粒子的坐标和动量不能同 时确定。
太原理工大学大学物理
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2021/4/8
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要准确地确定粒子在穿过狭缝时的坐标x,就要
尽可能地将缝宽Δx缩小. 粒子穿过狭缝时具有波动性,会发生衍射现象,
缝宽越小,粒子衍射性越明显, px 越不容易确定! 电子的位置和动量不能同时确定。
现在讨论电子衍射花样中两个一级极小.
一级极小值位置和缝宽Δx之间的关系为:
xsin
太原理工大学大学物理
电子落在衍射第一极小处的 p x
1927年海森伯提出了不确定关系。反映微观粒 子的基本规律,是物理学中的重要关系。
太原理工大学大学物理
海森伯(1901-1976),德国物 理学家,为了解释微观粒子 通过云室具有确定的径迹的 实验事实,而又不与玻恩的 几率波解释相矛盾,提出微 观粒子的“不确定性原理 ”. 由于对建立量子力学有 重要贡献,在1932年获诺贝 尔物理学奖.
激发态能量有一定的范围。
E 108eV 2t
当粒子具有确定的能量时,粒子在该状态停 留的时间为无限长。
太原理工大学大学物理
例1 一颗质量为10 g 的子弹,具有 20m 0s1的速
率.若其动量的不确定范围为动量的 0.0(1这%在宏
观范围是十分精确的 ),则该子弹位置的不确定量范 围为多大?

试述不确定性原理与不确定性

试述不确定性原理与不确定性

试述不确定性原理与不确定性不确定性原理是物理学中一个重要的定理,也被称为海森堡不确定性原理。

它指出,在量子力学的世界中,无法同时精确测量一个粒子的位置和动量,或者是时间和能量。

这种不确定性,并不是由于测量工具的不准确,而是本质上存在的、普遍的物理限制,它揭示了自然界本来就存在的深刻秩序。

不确定性原理最早由德国物理学家海森堡于1927年提出。

他认为,基于粒子的波粒二象性,当我们观测一粒子的运动过程时,我们无法同时测量它的位置和动量,因为它们之间存在一种微妙的关系,也就是不确定性原理。

这种不确定性原理的表述可以用数学公式来表示,即∆x*∆p≥h/4π,其中∆x和∆p分别代表位置和动量的测量误差,h为普朗克常量。

这个公式告诉我们,如果我们想精确测量粒子的位置,那么它的动量就会变得更加不确定;反之亦然。

这个限制并非由于我们的仪器不够好,而是因为我们不可能知道粒子的位置和动量,它们之间的关系是不可分割的。

这就是不确定性原理的基本思想。

不确定性原理的内容涉及到量子力学的核心概念,是量子力学理论体系中不可或缺的一部分。

在日常生活中,我们所经历的世界看起来是很确定的,许多物理规律都遵循经典力学的模式。

但在微观领域,粒子的运动行为由于量子性质而变得复杂和不确定。

不确定性原理揭示了量子力学中的物理规律,为我们解释和理解量子行为提供了一个极其重要的基础。

不确定性原理不仅对物理学产生了深远的影响,还被广泛应用于其他领域。

例如,在化学和生物学中,不确定性原理用于解释分子运动和化学反应的本质。

在经济学和社会科学领域,不确定性原理也被用于解释各种决策过程中的风险和概率以及彼此之间的相互作用。

总之,不确定性原理揭示了自然界的本质,为我们理解微观物理现象提供了一个基本框架。

它对于科学和技术的发展产生了重大影响,同时也为人类思考和决策提供了新的思路和方法。

海森堡不确定原理

海森堡不确定原理

海森堡不确定原理
海森堡不确定原理是现代物理学家史蒂芬·海森堡提出的一种量子力学原理,它提出了一个量子系统的不确定性,即在测量一个量子系统的属性时,我们无法精确地预测量子系统的行为。

海森堡不确定原理意味着,在量子力学中,属性的值只能用概率来表示,而不能精确地表示。

海森堡不确定原理的出现是为了解决量子力学中的矛盾。

在经典力学中,粒子的运动是可预测的,它可以用准确的数学方程给出粒子运动的轨迹。

但是,在量子力学中,粒子的运动不能用准确的数学方程表示,因此出现了海森堡不确定原理。

海森堡不确定原理的发现对科学的发展有着重要的意义。

它不仅破坏了传统经典力学的假设,而且为物理学提供了一种新的观点,使物理学家能够从另一个角度来理解和研究量子物理学。

此外,海森堡不确定原理也为实验物理学提供了新的发现和认识,促进了量子物理学的发展。

综上所述,海森堡不确定原理是一种量子力学原理,它提出了量子系统的不确定性,挑战了传统的经典力学,为实验物理学提供了新的发现和认识,为物理学的发展提供了新的观点和理解,具有重要的意义。

不确定性原理与海森堡测不准原理

不确定性原理与海森堡测不准原理

不确定性原理与海森堡测不准原理不确定性原理,又称海森堡测不准原理,是量子力学的基本原理之一,由德国物理学家维尔纳·海森堡在1927年提出。

该原理指出,对于某个粒子的位置和动量,我们无法同时进行精确测量,而只能获取它们的不确定性范围。

这一原理在量子力学中起到了重要的作用,对于我们理解微观世界的规律具有深远影响。

海森堡测不准原理的核心思想是,对于一对共享相同状态的共振子(如粒子),无论是在位置上的测量还是在动量上的测量,都无法同时获得精确的数值。

换句话说,我们无法准确地得知粒子的具体位置和具体动量,只能通过测量获得它们的概率分布。

这一原理对于我们理解微观世界的运动规律有着重要的意义。

首先,它反驳了经典物理学中的“确定性”原理,即相信通过准确的测量可以确定粒子的位置和动量。

海森堡测不准原理告诉我们,微观世界的运动是不确定的,粒子的位置和动量是无法同时确定的。

其次,海森堡测不准原理引发了对于测量过程的讨论。

根据该原理,测量过程本身会对粒子的状态产生影响,即我们的测量会扰乱粒子的位置和动量。

这意味着,我们无法完全独立地测量粒子的性质,而需要将测量的结果与测量过程中的扰动进行综合考虑。

最后,海森堡测不准原理也为量子力学的数学形式提供了一种解释。

该原理表明,位置和动量不是可同时确定的物理量,它们之间存在不确定性关系。

这一关系可以由数学不等式来表示,即著名的海森堡不确定性关系。

该关系通过量子态的波函数描述了量子力学中的不确定性现象。

总结起来,不确定性原理与海森堡测不准原理在量子力学中起到了重要的作用,揭示了微观世界运动规律的不确定性特征。

它们对于我们认识世界的方式提出了挑战,推动了量子力学的发展,为我们理解微观粒子的自然行为提供了重要的指导。

通过进一步研究和理解这一原理,我们可以更好地认识宇宙的奥秘,并不断推动科学的发展。

海森堡不确定性原理的描述和应用

海森堡不确定性原理的描述和应用

海森堡不确定性原理的描述和应用引言:海森堡不确定性原理是量子力学的基本原理之一,它揭示了观测和测量的局限性。

在本文中,我们将探讨海森堡不确定性原理的描述以及它在科学研究和实际应用中的重要性。

一、海森堡不确定性原理的描述海森堡不确定性原理是由德国物理学家维尔纳·海森堡于1927年提出的。

它表明,在量子世界中,存在着一种基本的测量局限性,即无法同时准确测量某粒子的位置和动量。

按照海森堡的表述,我们可以写成数学形式:∆x∆p ≥ ħ/2,其中∆x代表位置的不确定度,∆p代表动量的不确定度,而ħ则是普朗克常数。

这意味着我们无法得知某粒子的位置和动量的确切数值,只能得到它们的不确定度。

二、海森堡不确定性原理的实验验证为了证明海森堡不确定性原理,科学家们设计了一系列的实验。

其中最著名的是用来测量粒子位置和动量的双缝实验。

在双缝实验中,粒子通过两个狭缝后形成干涉图样,如果我们想要同时测量到粒子的位置和动量,那么我们必须改变实验设置,例如增加光源的强度。

然而,这样一来,干涉图样就会被破坏,从而无法准确测量到粒子的位置和动量。

这个实验的结果验证了海森堡不确定性原理的正确性。

三、海森堡不确定性原理在科学研究中的应用1. 该原理在原子物理学领域具有重要作用。

在原子尺度下,粒子的位置和动量的测量是非常困难的。

由于海森堡不确定性原理的存在,我们不需要过多关注测量过程的细节,只需要关注测量结果的不确定度,这为我们的研究提供了便利。

2. 该原理在量子计算领域也具有重要意义。

量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式,需要对量子比特进行测量和操作。

由于海森堡不确定性原理的限制,我们无法完全准确地测量和操作量子比特,这对量子计算的可靠性和稳定性提出了挑战,同时也激发了人们对量子力学的研究和探索。

结论:海森堡不确定性原理是量子力学中的重要原理,揭示了观测和测量的局限性。

通过实验验证和科学研究的应用,我们深化了对这一原理的理解,并且它对于科学研究和技术发展具有重要意义。

不确定性原理

不确定性原理

不确定性原理不确定性原理是量子力学中的一个基本原理,由德国物理学家海森堡于1927年提出。

它指出,对于微观粒子,无论是位置还是动量,我们都无法同时知道它们的精确数值。

也就是说,我们无法同时确定一个微观粒子的位置和动量,这种不确定性是固有的,不是由于我们的测量方法不够精确所导致的。

这一原理的提出颠覆了经典物理学中对于微观粒子运动的认识,揭示了微观世界的奇妙之处。

不确定性原理的重要性在于,它限制了我们对微观世界的认识和理解。

在日常生活中,我们习惯于通过测量来获取物体的位置和动量,然而在微观世界中,这种测量是不可行的。

不确定性原理的数学表达形式为ΔxΔp≥ℏ/2,其中Δx代表位置不确定度,Δp代表动量不确定度,ℏ代表普朗克常数。

这个不等式告诉我们,位置和动量的不确定度乘积不会小于普朗克常数的一半。

这意味着,当我们试图减小对粒子位置的测量不确定度时,粒子的动量测量不确定度会增大;反之亦然。

这种相互制约的关系揭示了微观世界的本质。

不确定性原理的提出对量子力学的发展产生了深远影响。

它揭示了自然界中的一种固有规律,也挑战了人们对于物理世界的直观认识。

在科学研究和技术应用中,不确定性原理的影响也是不可忽视的。

例如,在核物理实验中,科学家们必须考虑到不确定性原理的限制,以避免误解实验结果。

除了在物理学领域,不确定性原理的思想也深刻影响了哲学和认识论。

它提醒人们,我们对于自然界的认识总是有限的,存在着无法逾越的局限。

这种谦卑的态度也让人更加谨慎地对待对于世界的认识和理解。

总之,不确定性原理是量子力学中的一个基本原理,揭示了微观世界的奇妙之处。

它限制了我们对微观粒子的位置和动量的认识,也深刻影响了科学、哲学和认识论。

不确定性原理的提出开启了人们对于自然界本质的探索之旅,也提醒我们,对于世界的认识永远是有限的。

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?1924年,德布罗意提出了物质波,1925年1月,泡利提出了不相容原理,这是一个星光灿烂的年代,论文如雨后春笋般冒出来,稍微晚一步就会被人抢先,海森堡当然不会落后。

1925年,海森堡、波恩、约当提出了矩阵方程,这还不是测不准原理,不过这已经是量子力学的第一个数学表达形式了,不过好玩的是当初海森堡并不知道矩阵这种数学形式,都打算自己定义了,后来被提醒这东西早就有了,这说明海森堡数学水平一般,这一点很重要,后面会提到。

虐猫狂人薛定谔表示不服,矩阵那东西看不太明白,还是用爵爷创造的微积分吧,1926年,薛定谔用微积分推导出来了波动方程,大家一阵欢呼,因为大家都对微积分比较熟悉,可是这是不是说明海森堡错了呢?当然不是,薛定谔证明矩阵方程和波动方程是等价的。

不过,海森堡感到很郁闷,明明是自己先提出了矩阵的思想,可是因为数学不行,被弄成了和波恩约当合作,薛定谔还证明了波动方程和矩阵方程等价,这该咋办啊。

1927年,海森堡提出了测不准原理,这次别人可抢不了了。

测不准原理是说不可能同时准确测出粒子的位置和速度,这个说法有点太玄妙了,已经有点不象物理学了,有点哲学意味了,没错,海森堡确实是一个哲学家。

这个原理一提出就引起了轩然大波,爱因斯坦那句“上帝不掷骰子”就是从这开始的,后来爱因斯坦提出EPR,就是俗称的量子纠缠,就是为了反对测不准原理,泡利第一个要海森堡做出解释,泡利啊,你这不是趁火打劫吗?虽然你自认为是爱神的马仔,也不能这样吧,毕竟你也是量子力学的一员大将不是,海森堡想了想没说话,薛定谔干脆扔出一只不死不活的猫来恶心量子学派,薛定谔你这是干嘛呢?你也是量子学派的一颗星星好不好?扯远了,继续说测不准原理,虽然说测不准原理充满了哲学思辨,但也是计算出来的,海森堡虽然数学不咋地,但加上哲学家的思维就无往不利了。

对于量子力学和经典力学有一个比喻,是这么说的,经典力学的科学家是看看一场歌剧,无论观众如何叫好,都不会影响故事的情节,而量子力学就好比看一场足球比赛,观众的呐喊助威是会影响比赛的结果的。

不确定性原理

不确定性原理

不确定性原理不确定性原理,也被称为海森堡测不准关系,是量子力学的基本原理之一,由德国物理学家海森堡于1927年提出。

该原理表明,在测量某一粒子的位置和动量时,无法同时确定它们的精确数值,存在一定程度上的不确定性。

本文将从不确定性原理的提出背景、内容和意义等方面进行阐述。

1. 背景不确定性原理的提出,源于对物质的微观性质的探索。

早在19世纪末的实验中,科学家们发现在对微小粒子进行测量时,出现了不确定的现象。

海森堡在这个基础上进行了深入研究,提出了不确定性原理,为量子力学的发展奠定了重要基石。

2. 内容不确定性原理的核心内容是指在同一时间,无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。

位置和动量是粒子的两个基本性质,它们之间存在一种相互关系。

不确定性原理指出,当我们对一个粒子的位置进行测量时,结果会给出一个确定的值,但与此同时,动量的测量结果将变得不确定;同样,当我们对粒子的动量进行测量时,位置的测量结果也将变得不确定。

不确定性原理提出了这种不确定性的上限,即位置和动量的不确定度满足一个不等式关系。

3. 意义不确定性原理的提出对于量子力学的发展具有重要的意义。

首先,它揭示了微观世界的本质,认为在微观尺度下,粒子的性质是模糊不清的,无法同时准确测量位置和动量。

其次,不确定性原理使我们重新思考了物理学中的因果关系,其挑战了经典物理学中的确定性原理,为新的观察和解释提供了理论基础。

最后,不确定性原理在技术应用上也具有广泛的意义,如在量子力学领域的计算机、通信和测量等方面的应用。

4. 发展与争议不确定性原理的提出引起了学术界的广泛讨论和研究。

随着量子力学的进一步发展,人们对不确定性原理的理解逐渐深入。

一些学者提出了新的不确定性原理形式和推广,从不同角度解释了不确定性原理。

同时,也有人提出质疑,认为不确定性原理只是一种测量误差,不具备普适性。

5. 总结不确定性原理是量子力学中的基本原理之一,说明了微观尺度下粒子性质的不确定性。

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不确定性原理的前世今生 · 数学篇(一)在现代数学中有一个很容易被外行误解的词汇:信号 (signal)。

当数学家们说起「一个信号」的时候,他们脑海中想到的并不是交通指示灯所发出的闪烁光芒或者手机屏幕顶部的天线图案,而是一段可以具体数字化的信息,可以是声音,可以是图像,也可是遥感测量数据。

简单地说,它是一个函数,定义在通常的一维或者多维空间之上。

譬如一段声音就是一个定义在一维空间上的函数,自变量是时间,因变量是声音的强度,一幅图像是定义在二维空间上的函数,自变量是横轴和纵轴坐标,因变量是图像像素的色彩和明暗,如此等等。

在数学上,关于一个信号最基本的问题在于如何将它表示和描述出来。

按照上面所说的办法,把一个信号理解成一个定义在时间或空间上的函数是一种自然而然的表示方式,但是它对理解这一信号的内容来说常常不够。

例如一段声音,如果单纯按照定义在时间上的函数来表示,它画出来是这个样子的:这通常被称为波形图。

毫无疑问,它包含了关于这段声音的全部信息。

但是同样毫无疑问的是,这些信息几乎没法从上面这个「函数」中直接看出来,事实上,它只不过是巴赫的小提琴无伴奏 Partita No.3 的序曲开头几个小节。

下面是巴赫的手稿,从某种意义上说来,它也构成了对上面那段声音的一个「描述」:这两种描述之间的关系是怎样的呢?第一种描述刻划的是具体的信号数值,第二种描述刻划的是声音的高低(即声音震动的频率)。

人们直到十九世纪才渐渐意识到,在这两种描述之间,事实上存在着一种对偶的关系,而这一点并不显然。

1807 年,法国数学家傅立叶 (J. Fourier) 在一篇向巴黎科学院递交的革命性的论文 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (《固体中的热传播》)中,提出了一个崭新的观念:任何一个函数都可以表达为一系列不同频率的简谐振动(即简单的三角函数)的叠加。

有趣的是,这结论是他研究热传导问题的一个副产品。

这篇论文经拉格朗日 (J. Lagrange)、拉普拉斯 (P-S. Laplace) 和勒让德 (A-M. Legendre) 等人审阅后被拒绝了,原因是他的思想过于粗糙且极不严密。

1811 年傅立叶递交了修改后的论文,这一次论文获得了科学院的奖金,但是仍然因为缺乏严密性而被拒绝刊载在科学院的《报告》中。

傅立叶对此耿耿于怀,直到 1824 年他本人成为了科学院的秘书,才得以把他 1811 年的论文原封不动地发表在《报告》里。

用今天的语言来描述,傅立叶的发现实际上是在说:任何一个信号都可以用两种方式来表达,一种就是通常意义上的表达,自变量是时间或者空间的坐标,因变量是信号在该处的强度,另一种则是把一个信号「展开」成不同频率的简单三角函数(简谐振动)的叠加,于是这就相当于把它看作是定义在所有频率所组成的空间(称为频域空间)上的另一个函数,自变量是不同的频率,因变量是该频率所对应的简谐振动的幅度。

这两个函数一个定义在时域(或空域)上,一个定义在频域上,看起来的样子通常截然不同,但是它们是在以完全不同的方式殊途同归地描述着同一个信号。

它们就象是两种不同的语言,乍一听完全不相干,但是其实可以精确地互相翻译。

在数学上,这种翻译的过程被称为「傅立叶变换」。

傅立叶变换是一个数学上极为精美的对象:•它是完全可逆的,任何能量有限的时域或空域信号都存在唯一的频域表达,反之亦然。

•它完全不损伤信号的内在结构:任何两个信号之间有多少相关程度(即内积),它们的频域表达之间也一定有同样多的相关程度。

•它不改变信号之间的关联性:一组信号收敛到一个特定的极限,它们的频域表达也一定收敛到那个极限函数的频域表达。

傅立叶变换就象是把信号彻底打乱之后以最面目全非的方式复述出来,而一切信息都还原封不动的存在着。

要是科幻小说作家了解这一点,他们本来可以多出多少有趣的素材啊。

在傅立叶变换的所有这些数学性质中,最不寻常的是这样一种特性:一个在时域或空域上看起来很复杂的信号(譬如一段声音或者一幅图像)通常在频域上的表达会很简单。

这里「简单」的意思是说作为频域上的函数,它只集中在很小一块区域内,而很大一部分数值都接近于零。

例如下图是一张人脸和它对应的傅立叶变换,可以看出,所有的频域信号差不多都分布在中心周围,而大部分周边区域都是黑色的(即零)。

这是一个意味深长的事实,它说明一个在空域中看起来占满全空间的信号,从频域中看起来很可能只不过占用了极小一块区域,而大部分频率是被浪费了的。

这就导出了一个极为有用的结论:一个看起来信息量很大的信号,其实可以只用少得多的数据来加以描述。

只要对它先做傅立叶变换,然后只记录那些不接近零的频域信息就可以了,这样数据量就可以大大减少。

基本上,这正是今天大多数数据压缩方法的基础思想。

在互联网时代,大量的多媒体信息需要在尽量节省带宽和时间的前提下被传输,所以数据压缩从来都是最核心的问题之一。

而今天几乎所有流行的数据压缩格式,无论是声音的 mp3 格式还是图像的 jpg 格式,都是利用傅立叶变换才得以发明的。

从这个意义上说来,几乎全部现代信息社会都建立在傅立叶的理论的基础之上。

这当然是傅立叶本人也始料未及的。

不确定性原理的前世今生 · 数学篇(二)傅立叶变换这种对偶关系的本质,是把一块信息用彻底打乱的方式重新叙述一遍。

正如前面所提到的那样,一个信号可能在空域上显得内容丰富,但是当它在频域上被重新表达出来的时候,往往就在大多数区域接近于零。

反过来这个关系也是对称的:一个空域上大多数区域接近于零的信号,在频域上通常都会占据绝大多数频率。

有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢?有的,最简单的例子就是噪声信号。

一段纯粹的白噪声,其傅立叶变换也仍然是噪声,所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。

如果用信号处理的语言来说,这就说明「噪声本身是不可压缩的」。

这并不违反直觉,因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述,而噪声,顾名思义,就是没有结构和规律的信号,自然也就无从得以压缩。

另一方面,有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢?换句话说,存不存在一个函数,它在空间上只分布在很少的几个区域内,并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢?(零函数当然满足这个条件,所以下面讨论的都是非零函数。

)答案是不存在。

这就是所谓的 uncertainty principle(不确定性原理)。

这一事实有极为重要的内涵,但是其重要性并不容易被立刻注意到。

它甚至都不是很直观:大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起,看起来并没有什么道理啊。

这个原理可以被尽量直观地解释如下:所谓的频率,本质上反应的是一种长期的全局的趋势,所以任何一个单一的频率,一定对应于一个在时空中大范围存在的信号。

反过来,任何只在很少一块时空的局部里存在的信号,都存在很多种不同的长期发展的可能性,从而无法精确推断其频率。

让我们仍然用音乐来作例子。

声音可以在时间上被限制在一个很小的区间内,譬如一个声音只延续了一刹那。

声音也可以只具有极单一的频率,譬如一个音叉发出的声音(如果你拿起手边的固定电话,里面的拨号音就是一个 440Hz 的纯音加上一个 350Hz 的纯音,相当于音乐中的 A-F 和弦)。

但是不确定性原理告诉我们,这两件事情不能同时成立,一段声音不可能既只占据极短的时间又具有极纯的音频。

当声音区间短促到一定程度的时候,频率就变得不确定了,而频率纯粹的声音,在时间上延续的区间就不能太短。

因此,说「某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音」是没有意义的。

这看起来像是一个技术性的困难,而它实际上反映出却是大自然的某种本质规律:任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。

一种波动在频率上被我们辨认得越精确,在空间中的位置就显得越模糊,反之亦然。

这一规律对于任何熟悉现代多媒体技术的人来说都是熟知的,因为它为信号处理建立了牢不可破的边界,也在某种程度上指明了它发展的方向。

既然时空分辨率和频率分辨率不能同时无限小,那人们总可以去研究那些在时空分布和频率分布都尽量集中的信号,它们在某种意义上构成了信号的「原子」,它们本身有不确定性原理所允许的最好的分辨率,而一切其他信号都可以在时空和频率上分解为这些原子的叠加。

这一思路在四十年代被 D. Gabor (他后来因为发明全息摄影而获得了 1971 年的诺贝尔物理奖)所提出,成为整个现代数字信号处理的奠基性思想,一直影响到今天。

但是众所周知,不确定性原理本身并不是数学家的发明,而是来自于量子物理学家的洞察力。

同样一条数学结论可以在两个截然不相干的学科分支中都产生历史性的影响,这大概是相当罕见的例子了。

不确定性原理的前世今生 · 数学篇(三)不确定性原理事实上不是一个单独的定理,而是一组定理的统称。

基本上,凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理,由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述,也就对应着不同的数学定理。

但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中,最著名的当然是海森堡 (W. Heisenberg) 在 1927 年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。

它精确的数学描述是:假定一个信号的总能量为 1,则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于 。

换言之,两者各自的能量都可能很集中,但是不能同时很集中。

如果时空域中能量的方差很小(亦即集中在一起),那么频域上能量的方差就不会太小(亦即必然会弥散开),反之亦然。

对这个定理在量子物理中的意义的详细讨论超出了本文的话题范围,坊间相关的著作已有不少。

不过,下面简单胪列了一些相关的历史事实:1.海森堡在 1927 年的那篇文章标题为Ueber den anschaulichen Inhalt derquantentheoretischen Kinematik und Mechanik(《量子理论运动学和力学的直观内容》)。

这篇文章很大程度上是对薛定谔 (E. Schrödinger) 在 1926 年所提出的薛定谔波动方程的回应。

相较于海森堡的矩阵力学而言,薛定谔的方程很快由于它物理上的直观明晰而吸引了越来越多物理学家的赞赏。

海森堡对此极为失落。

在 1926 年6 月 8 日海森堡写给泡利 (W. Pauli) 的信中他说:「我对薛定谔的理论想得越多我就越觉得恶心。

」因此,他迫切需要给他自己的理论配上一幅更直观的图象。

2.海森堡的这篇文章提出了后来被人们所熟悉的关于为什么无法同时测量一个电子的位置和动量的解释,但是并未给出任何严格的数学证明。

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