2020-2021学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷(解析版)

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江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期阶段性质量检测数学试题 PDF版含答案

abc 0； B． a R ， x R ，使得 ax 2 ；
C．函数 y x2 x 1没有零点；
D．方程 log x (2x) 4 的解为 x 2 ．
11．若关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集为 (, 2) (3, ) ，则（ ▲ ）
A． a 0 ；
B．不等式 bx c 0 的解集是x | x 6 ；
间 (m, m 6) ，则实数 c 的值为 ( ▲ )
A． 9 ；
B． 6 ；
C． 3 ；
1
D．．
3
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．）
分别为 m 分米， n 分米．（1）求证： 2 1 1；
mn （2）为使剩下木板 MBCDN 的面积最大，试确定 m ， n 的值；
（3）求剩下木板 MBCDN 的外边框长度（ MB ， BC ， CD ， DN 的长度之和）的最大值及取
得最大值时 m ， n 的值．
D
C
N
P F
A
E M 12Βιβλιοθήκη 分米21．（本题满分 6+6 分）
已知 y a2x c2 （ a ， b ， c 为常数，且 a 0 ， c 0 ）． xb
（1）当 a 1， b 0 时，求证：| y | 2c ；（2）当 b 1时，如果对任意的 x 1 都有 y a 恒成立．求证： a 2c 1．
22．（本题满分 4+4+4 分）
只有一项是符合题目要求的．）

江苏省南通市某中学2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷

2020~2021学年度第一学期期中考试高一数学试题考试时间120分钟，总分150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)1 .已知全集。

={0,1,2,3,4},集合4 = {0,1,3},集合8 = {2,3}MJAn(Q8)= 0A. {3}B.{0,l}C. {0.1,3,4}D.{03,2,3,4)2 .函数f(x) = ^/^彳+—匚的定义域是0 x-4A.[l,+oo)B.[l,4)U(4,+<x))C.[1,4)D.[1,4]3 .己知 Ip ： —<0, q ：xy<09 则〃是夕的() yA .充分条件B.必要条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件4 .已知a>b>0,则下列不等式中正确的是()A.i>S?<^2C —<-ah a h a-\ h-\5 .已知命题“WxeR.V+6 + i>o”为真命题则实数。

的取值范围是oA. (-x,-2]B. (-2,2)C. (-X -2]U[2,-K»)D.[Z-K »)6 .若a > 0,且a w 1则下列说法正确的是()A.若 M =N ，则 log. M = log“ NB.若log a M = log u N ，则 M = NC.若 log., M 2 = log“ N 2，则"=ND.若 M = N ，则 log“ M 2 = log,, N 27 .无字证明是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命 a b题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证/ 一~T/C 明更为优雅与有条理，如图，请指出该图验证的不等式是()卜士\ b a 8 .我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()A.t/ +b >a + bB.4ab>a 2 +b~C.a 2 +h 2 > 2abD.n + /?> 2y/abMM诒 D/、)*二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的.全部选对得5分，有错选的得。

江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中数学试题及答案解析

江苏省南通市2020-2021学年度第一学期期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．若集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∩B 为()A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{x |0≤x ≤3}2．已知复数z 满足(2－i)z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为()A ．1B ．－1C ．0D ．i3．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝23log (72),0,23(3),,2x x f x x ⎧--<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩ 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)等于()A ．log 25B ．2log 5-C ．2-D ．04．两正数a ，b 的等差中项为52，等比中项为，且a >b ，则双曲线22221x y a b-=的离心率e 为()A.13 B.53C.3D.35．设函数11()sin ||222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象关于原点对称，则θ的值为()A ．6π- B.6πC ．3π- D.3π6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的最小值为()A ．8B ．16C ．32D ．647．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2019的值为()A ．1008B ．1009C ．1010D ．10118．设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为()A.232e 3 B.233e 2 C.322e 3 D.323e 2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知0<b <a <1，c >1，则下列各式中不成立的是()A ．a b <b a B ．c b >c aC ．log a c >log b cD ．b log c a >a log c b10．下列四个命题中正确的是()A ．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域相同B ．函数y y ＝3x 的值域相同C ．函数y ＝|x ＋1|与函数y ＝2x ＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数D ．1lg 1x y x+=-是奇函数11．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是()A ．若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥αB ．若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥αC ．若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥nD ．若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m12．把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移4π个单位长度得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是()A ．g (x )在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增B ．g (x )的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．g (x )的最小正周期为4πD ．g (x )的图象关于y 轴对称第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝1y，P (B )＝4x ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．14．已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+ 的最小值为________．15．将数列{a n }中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列．a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6，a 7a 8，a 9，a 10，a 11，a 12，a 13，a 14，a 15……记数阵中的第1列a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，T n 为数列{b n }的前n 项和，T n ＝5n 2＋3n ，则b n ＝________，a 1025＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知函数f (x )＝|ln |,0e,2ln ,e,x x x x <≤⎧⎨->⎩若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d (a 1∈Z ，d ∈Z )，前n 项的和为S n ，且S 7＝49,24<S 5<26.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项的和为T n ，求T n .18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A＋3a ＝c .(1)求cos B ；(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝6，求AB的长．19.(12分)如图，四棱锥S－ABCD2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－S的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SC∶SE的值；若不存在，试说明理由．20.(12分)在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的概率分布及均值．21.(12分)设椭圆22221x ya b+=(a>b>0)的离心率e＝12，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－a(其中e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意x∈(0,2]，不等式f(x)>x－a恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：123ee1 n n nn nn n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案精析1．B2.A3.B4.D5.D6.C 7．C [当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，①故a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，②由②－①得，a n ＋1－a n ＋2(S n －S n －1)＝1，即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)，所以S 2019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2018＋a 2019)＝1010.]8．B [设P (x 0，y 0)，由于点P 为切点，则1022032ln 02x ax a x b +=+，又点P 的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即x 0＋2a ＝23a x ，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0，又a >0，x 0>0，∴x 0＝a ，于是，b ＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，设h (x )＝52x 2－3x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝2x (1－3ln x )(x >0)，所以h (x )在(0，13e )上单调递增，在(13e ，＋∞)上单调递减，b 的最大值为12333e e 2h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.9．ABC [由于0<b <a <1，c >1，根据指数函数与幂函数的图象与性质有a b >a a >b a ，故选项A 错误；根据指数函数的图象与性质有c b <c a ，故选项B 错误；根据对数函数的图象与性质有log a c <log b c ，故选项C 错误；因为a b >b a ，c >1，则log c a b >log c b a ，即b log c a >a log c b ，故选项D 正确．]10．ACD [A 项，函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域都是R ，故A 正确；B 项，函数y值域为[0，＋∞)，函数y ＝3x 的值域为(0，＋∞)，故B 错误；C ，当x ∈[0，＋∞)时，函数y ＝|x ＋1|＝x ＋1是增函数，函数y ＝2x ＋1是增函数，故C 正确；D 项，lg 11x y x+=-的定义域是(－1,1)，令()1lg 1x f x x +=-，1111()lg lg lg ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，故函数1lg1x y x +=-是奇函数，故D 正确．]11．AD [A 正确，B 中直线l 可能平行于α也可能在α内，故B 错；C 中直线l ，m ，n 可能平行也可能相交于一点，故C 错；D 正确．]12．BCD [把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短为原来的12得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象向右平移4π个单位长度得到函数()sin 2sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象．若,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2,626x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()g x ,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确；由1062g π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭知，g (x )的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；g (x )的最小正周期为π，故C 错误；∵1(0)12g =-≠±，∴g (x )的图象不关于y 轴对称，故D 错误．]13．9解析由事件A ，B 互为对立事件，其概率分别P (A )＝1y，P (B )＝4x ，且x >0，y >0，所以P (A )＋P (B )＝1y ＋4x＝1，所以144()5y x x y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭524y x 9x y ≥+⋅=，当且仅当x ＝6，y ＝3时取等号，所以x ＋y 的最小值为9.14．－4解析由题意，以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为2，所以可得A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，设P (x ，y )，则PA ＝(－x ，－y )，PB ＝(2－x ，－y )，PC ＝(2－x,2－y )，PD ＝(－x,2－y )，所以PA ＋PB ＝(2－2x ，－2y )，PC ＋PD ＝(2－2x,4－2y )，因此(PA ＋PB )·(PC ＋PD )＝4(1－x )2－4y (2－y )＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4，当且仅当x ＝y ＝1时，取得最小值－4.15．10n －2216解析T n 为数列{b n }的前n 项的和，T n ＝5n 2＋3n ，b n ＝T n －T n －1＝(5n 2＋3n )－[5(n －1)2＋3(n －1)]＝10n －2(n ≥2)，验证n ＝1时，b 1＝T 1＝8也符合，故b n ＝10n －2，a 1024＝b 11＝108，a 1025＝2a 1024＝216.16.212e ,e 2e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭解析画出函数f (x )＝|ln |,0e 2ln ,e x x x x <≤⎧⎨->⎩的图象(如图所示)．不妨令a <b <c ，则由已知和图象，得0<a <1<b <e<c <e 2，且－ln a ＝ln b ＝2－ln c ，则ab ＝1，bc ＝e 2，则a ＋b ＋c ＝221e 1e b b bb b +++=+，令21e ()g x x x+=+，因为221e ()10g x x+'=-<在x ∈(1，e)时恒成立，所以g (x )在(1，e)上单调递减，所以2211e 2e 2e eb b ++<+<+.17．解(1)由题意得1176749,25424526,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪<+<⎪⎩∵a 1∈Z ，d ∈Z ，解得11,2,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 21n n =+.18．解(1)在△ABC 中，由正弦定理得sin B cos A ＋33sin A ＝sin C ，又C ＝π－(A ＋B )，所以sin B cos A ＋3sin A ＝sin (A ＋B )，故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝33sin A ，又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝33.(2)因为D ＝2B ，所以cos D ＝2cos 2B －1＝13-，又在△ACD 中，AD ＝1，CD ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×13⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12，所以AC ＝，在△ABC 中，BC ，AC ＝cos B ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即12＝AB 2＋6－2·AB ×33，化简得AB 2－AB －6＝0，解得AB ＝.故AB 的长为19．(1)证明连结BD 交AC 于O ，连结SO ，由题意得，SO ⊥AC .在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又SO ∩BD ＝O ，SO ，BD ⊂平面SBD ，6所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SD .(2)解由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz如图所示．设底面边长为a ，则高SO ＝62a .则S 0,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 0,,02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ,0,02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又SD ⊥平面PAC ，则平面PAC 的一个法向量26,0,22DS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面SAC 的一个法向量2,0,02OD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1cos ,2||||DS OD DS OD DS OD ⋅==- ，又二面角P －AC －S 为锐二面角，则二面角P －AC －S 为60°.(3)解在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .由(2)知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,22DS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,22CS a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .设CE tCS = ，t ∈[0,1]，则BE =BC +CE =BC +tCS ＝226,(1),222a a t at ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，又BE ∥平面PAC ，所以BE ·DS ＝0，解得t ＝13.即当SC ∶SE ＝3∶2时，BE ⊥DS ，而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC .所以侧棱SC 上存在点E ，当SC ∶CE ＝3∶2时，有BE ∥平面PAC .20．解(1)因为A ，B ，C 三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则C 镇应选取80×40200＝16(人)，所以这40人中有16人来自C 镇，因为x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户．(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35，显然X 可取0,1,2,3，且X ～B 33,5⎛⎫⎪⎝⎭，则28(0)35125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，12133236(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21233254(2)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3327(3)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的概率分布为X0123P 8125361255412527125所以均值E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝95.21．解(1)由题设条件可得c a ＝12，a ＋c ＝3，解得a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)当矩形ABCD 的一组对边所在直线的斜率不存在时，得矩形ABCD 的面积S＝，当矩形ABCD 四边所在直线的斜率都存在时，不防设AB ，CD 所在直线的斜率为k ，则BC ，AD 所在直线的斜率为1k-，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝(8km )2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，得m 2＝4k 2＋3，显然直线CD 的直线方程为y ＝kx －m ，直线AB ，CD间的距离1d ===同理可求得BC ，AD间的距离为2d ==所以四边形ABCD 的面积为S ABCD ＝d 1d 2＝=14=≤.(当且仅当k ＝±1时等号成立)，又SABCD >＝综上可得外切矩形面积的取值范围是[14]．22．(1)解因为f (x )＝e x －ax －a ，所以f ′(x )＝e x －a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间R 上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )>0，x >ln a ，令f ′(x )<0，x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)解因为对任意的x ∈(0,2]，不等式f (x )>x －a 恒成立，即不等式(a ＋1)x <e x 恒成立．即当x ∈(0,2]时，a <e x x －1恒成立．令g (x )＝e xx －1(x ∈(0,2])，则g ′(x )＝22(1)e x x -.令g ′(x )>0,1<x ≤2，g ′(x )<0，，0<x <1，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增．∴x ＝1时，g (x )取最小值e －1.所以实数a 的取值范围是(－∞，e －1)．(3)证明在(1)中，令a ＝1可知对任意实数x 都有e x －x －1≥0，即x ＋1≤e x (当且仅当x ＝0时等号成立)．令x ＋1＝k n(k ＝1,2,3，…，n )，则k n <1e k n -，即e e e k k n n k n n -⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故()()123e e 11231e e e e e e (e 1)e (e 1)n n n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++=< ⎪ ⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .。

江苏省南通市某中学2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷

2020～2021学年度第一学期期中考试高一数学试题考试时间120分钟,总分150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．) 1.已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}0,1,3A =,集合{}2,3B =,则()U AC B =()A. {}3B.{}0,1C ．{}0,1,3,4 D.{}0,1,2,3,4 2.函数()114f x x x =-+-的定义域是() A.[)1,+∞ B.[)()1,44,+∞ C.[)1,4D.[]1,43.已知:0xp y<，:0q xy <，则p 是q 的（） A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知0>>b a ，则下列不等式中正确的是()A.b c a c > B.2b ab < C.1111-<-b a D.2a ab -<- 5.已知命题“2R,10x x ax ∀∈++>”为真命题,则实数a 的取值范围是()A.(],2-∞-B.()2,2-C.(][),22,-∞-+∞ D.[)2,+∞6.若0a >,且1a ≠则下列说法正确的是()A.若M N =,则log log a a M N =B.若log log a a M N =,则M N =C.若22log log a a M N =,则M N =D.若M N =,则22log log a a M N = 7.无字证明是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理，如图，请指出该图验证的不等式是()A.22a b a b +≥+B.224ab a b ≥+C.222a b ab +≥D.2a b ab +≥第7题8. 我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A. ()211f x x =+ B.()211f x x =- C.()11f x x =- D.()11f x x =-二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的.全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 9.“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（） 01a ≤≤ C.01a << D.102a <<A.a ≥ B.10.下列选项中正确的是()A. ,R a b ∀∈,2a b ab +≥1R,2a a a ∃∈+≤ C.若,a b 为正实数,则2a bb a +≥ D.若正实数,x y 满足21x y +=,则128x y +≥11.对于定义在R 上的函数()f x ，下列判断正确的是() A.若()()21f f >，则函数()f x 在R 上不是单调减函数；B.若函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间()0,+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数；C.若()()22f f =--，则函数()f x 是奇函数；D.若()()22f f ≠-，则函数()f x 不是偶函数.12. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合11,1,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}21,0B x ax a ==≥，若A 与B 构成“全食”或“偏食”，则实数a 的取值可以是（） A.0B.1C.2D.4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第16题共有2空，第一空3分，第二空2分，其余题均为一空，每空5分.请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．）13. 命题“{}5,4,3,2,1∈∀x ，x x<1”的否定是. 14. 不等式2114x x -≤+的解集是. 15.《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产，是中国古代数学发展史上的里程碑，其中的方程思想对现代数学具有重要的指导意义.现有一问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何?其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?请问羊价为钱. 16. 符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]1.62-=-，定义函数：()[][]2f x x x =+，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f .若集合(){},01M y y f x x ==≤≤,则M 中所有元素的和为.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知集合{}42≤-=x x A ，{}0,01222>≤-+-=m m x x x B . （1）求集合B A ,；（2）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件，三个条件中任选一个，补充在下列横线中，若“A x ∈”是“B x ∈”成立的条件，判断实数m 是否存在，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.18. （本小题满分12分）（1）计算：()21-131log 3-201218--0.5--log 82327π-+⎛⎫⎛⎫⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知53=a ，32=b ，用b a ,表示30log 3. 19. （本小题满分12分）已知集合{}042≤-=x x x A ，集合()(){}02<-+-=a x a x x B . (1) 若3=a ，求()R C AB ；(2) 若A B A = ，求实数a 的取值范围. 20. （本小题满分12分）已知函数()12++=x n mx x f 是定义在()1,1-上的奇函数，且5421=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .(1) 求实数n m ,的值；(2) 用定义法证明函数()x f 在()11-，上是增函数； (3) 解关于x 的不等式()()01<+-x f x f . 21.（本小题满分12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某村施行了“封村”行动，村卫生室为了更好的服务于村民，每天对村民进行检测和提供消毒物品，需建造两间底面积共为482m 的背面靠墙的长方形小房作临时的供给检测站.两小房中间用隔墙隔开，隔墙造价为4002m 元（隔墙厚度不计）.由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过10m ，房屋正面的造价为2002m 元，房屋侧面的造价为1002m 元，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高位4m ，且不计房屋背面的费用.（1）把房子的造价y 表示成房子侧面的长度x （2）当侧面的长度x 为多少时，总造价y 最低x22.（本小题满分12分）已知函数()n mx x x f ++=22的图象过点()1-0，，且满足()()21f f =-. (1) 求函数()x f 的解析式；(2) 求函数()x f 在[]2,+a a 上的最小值；(3) 若0x 满足()00x x f =，则称0x 为函数()x f y =的不动点.函数()()t tx x f x g +-=有两个不相等的不动点21,x x ，且0,021>>x x ，求1221x x x x +的最小值. 参考答案与评分标准二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分)1~5.B B C D B 6~8.B C C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 9.AB 10.BCD 11.AD 12.ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13.{}11,2,3,4,5,x x x∃∈≥14.(]4,5-（注：集合形式也对）15.15016.2-；4四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17.（本小题满分10分）已知集合{}42≤-=x x A ，{}0,01222>≤-+-=m m x x x B . （1）求集合B A ,；（2）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件，三个条件中任选一个，补充在下列横线中，若“A x ∈”是“B x ∈”成立的条件，判断实数m 是否存在，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）. 解：（1）[]2,6A =-；[]1,1B m m =-+.…4分(2) 选①存在5m ≥满足题意，理由如下：因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A B ，…6分所以12160m m m -≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，即5m ≥.…9分所以存在实数m 满足题意，其范围是5m ≥.…10分选②存在03m <≤满足题意，理由如下：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B A ，…6分所以12160m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，即03m <≤.…9分所以存在实数m 满足题意，其范围是03m <≤.…10分选③不存在实数m 满足题意，理由如下：因为x A ∈是x B ∈的充要条件，所以A B =，…6分所以12160m m m -=-⎧⎪+=⎨⎪>⎩，即m ∈∅.…9分所以不存在实数m 满足题意.…10分18.（本小题满分12分）（1）计算：()21-131log 3-201218--0.5--log 82327π-+⎛⎫⎛⎫⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知53=a ，32=b ，用b a ,表示30log 3.解：（1）原式()2log 321313413223222=---⨯++⨯=-+=-.…6分（2）由53=a ，32=b 得3log 5a =，2log 3b =，所以31log 2b=.…10分又()()33331111log log 532log 5log 211222a b ⎛⎫⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭.…12分19.（本小题满分12分）已知集合{}042≤-=x x x A ，集合()(){}02<-+-=a x a x x B . （1）若3=a ，求()B A C R ；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围. 解：（1）由题意得[]0,4A =，()1,3B =-，…2分则[)0,3AB =，…3分所以()()[)R ,03,C A B =-∞+∞.…4分（2）由A B A = ，得B A ⊆.…5分①当2a a =-，即1a =时，B A =∅⊆，符合题意.…7分 ②当2a a >-，即1a >时，{}2B x a x a =-<<，因为B A ⊆，所以2041a a a -≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩即12a <≤.…9分③当2a a <-，即1a <时，{}2B x a x a =<<-，因为B A ⊆，所以2401a a a -≤⎧⎪≥⎨⎪<⎩即01a ≤<.…11分综上，02a ≤≤.…12分20.（本小题满分12分）已知函数()12++=x nmx x f 是定义在()11-，上的奇函数，且5421=⎪⎭⎫ ⎝⎛f . （1）求实数n m ,的值；（2）用定义法证明函数()x f 在()11-，上是增函数；（3）解关于x 的不等式()()01<+-x f x f . 解：(1)因为函数()12++=x nmx x f 是定义在()11-，上的奇函数，所以()()f x f x =--，即2211mx n mx nx x +-+=-++，化简得：0n =.又5421=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，所以2m =.所以2,0m n ==.…4分 (2)由(1)知2,0m n ==,所以()221xf x x =+. 证明:任取12x x <，()12,1,1x x ∈-. ()()()()()()121212122222121212221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为1211x x -<<<，所以2110x +>，2210x +>，120x x -<，1210x x ->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()x f 在()11-，上是增函数.…8分 (3)由()()01<+-x f x f ，得()()1f x f x -<-，因为函数()12++=x nmx x f 是定义在()11-，上的奇函数，所以()()()1f x f x f x -<-=-.又函数()x f 在()11-，上是增函数，所以111111x x x x -<⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，即102x <<. 所以原不等式的解集为：102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.…12分21.（本小题满分12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某村施行了“封村”行动，村卫生室为了更好的服务于村民，每天对村民进行检测和提供消毒物品，需建造两间底面积共为482m 的背面靠墙的长方形小房作临时的供给检测站.两小房中间用隔墙隔开，隔墙造价为4002m 元（隔墙厚度不计）.由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过10m ，房屋正面的造价为2002m 元，房屋侧面的造价为1002m 元，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高位4m ，且不计房屋背面的费用.（1）把房子的造价y 表示成房子侧面的长度x（2）当侧面的长度x 为多少时，总造价y 最低x解：（1）48164002002004580024005800y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中010x <≤）.…4分（2）因为010x <≤，所以18x x x x+≥=，当且仅当16x x=，即(]40,10x =∈时取“=”. 所以24008580025000y ≥⨯+=，所以，当4x m =时，y 取取最小值.…10分答：（1）1624005800y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中010x <≤）（2）当侧面长度4x m =时，总造价最低.…12分 22.（本小题满分12分）已知函数()n mx x x f ++=22的图象过点()1-0，，且满足()()21f f =-. （1）求函数()x f 的解析式；（2）求函数()x f 在[]2,+a a 上的最小值；（3）若0x 满足()00x x f =，则称0x 为函数()x f y =的不动点.函数()()t tx x f x g +-=有两个不相等的不动点21,x x ，且0,021>>x x ，求1221x x x x +的最小值. 解：（1）因为函数()22f x x mx n =++的图象过点()0-1，，所以1n =-. 又()()12f f -=，所以2m =-.所以函数()f x 的解析式为：()2221f x x x =--.…2分（2）()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+，当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以()()2min 2263f x f a a a =+=++⎡⎤⎣⎦；当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()min1322f x f ⎛⎫==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；当12a ≥，时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增，所以()()2min 221f x f a a a ==--⎡⎤⎣⎦.综上：()2min23263,,2331,,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩…6分（3）因为函数()()t tx x f x g +-=有两个不相等的不动点21,x x ，且0,021>>x x ，所以()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根12,x x . 所以()()212123810,30,210.2t t t x x t x x ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩即R,3,1.t t t ∈⎧⎪>-⎨⎪>⎩所以1t >.…8分 ()()222212121212122112121222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+++===-()23184221212t t t t +-=-=++--…10分因为1t >，所以102t ->，801t >-所以1821t t -+≥- 当且仅当1821t t -=-，即5t =时，取“=”. 所以1221426x xx x +≥+=，所以1221x x x x +的最小值为6.…12分。

江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)

解得，且；所以函数的定义域是．故选：C．
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A，的定义域为，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为，定义域相同，，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取，则，
因为函数为奇函数，则，即，
整理可得，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数，若＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由，令，则 .
因为，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设，则当时，单调，且 ≥0恒成立，因为的对称轴方程为，则或，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知是偶函数，且其定义域为，则的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为、、、、、、、、，共个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]

2020-2021学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷1. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(12)的x 的取值范围是( )A. (−∞,34)B. (14,34) C. (−∞,14)∪(34,+∞)D. [0,34)2. 物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，则60dB 声音的声波强度I 1是40dB 声音的声波强度I 2的( )A. 32倍B. 1032倍C. 100倍D. lg 32倍3. 已知集合M ={(x,y)|2x +y =2}，集合N ={(x,y)|x −y =4}，则M ∩N 是( )A. x =2，y =−2B. (2,−2)C. {2,−2}D. {(2,−2)}4. 如图，已知全集U =R ，集合A ={x|x <−2或x >6}，B ={x|−4≤x ≤5}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. {x|−2≤x <6}B. {x|x ≤−4或x ≥6}C. {x|−2≤x ≤6}D. {x|−2≤x ≤5}5. 函数f(x)=√2x +1+√2x −1的定义域是( )A. [−12,+∞)B. [12,+∞)C. [−12,12]D. (12,+∞)6. 正数a ，b 满足9a +1b =2，若a +b ≥x 2+2x 对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的取值范围是( )A. [−4,2]B. [−2,4]C. (−∞,−4]∪[2,+∞)D. (−∞,−2]∪[4,+∞)7.如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2−x−a的解集中有且仅有1个整数，那么实数a的取值范围是()A. {a|−2<a<−1}B. {a|−2≤a<−1}C. {a|−2≤a<2}D. {a|a≥−2}8.函数f(x)=−4x2+12x4的大致图象是()A. B.C. D.9.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹⋅布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A. f(x)=1√x+x B. g(x)=x2−x−3C. f(x)={2x 2−1,x≤1|2−x|,x>1D. f(x)=1x−x10.已知x∈R，条件p：x2<x，条件q：1x≥a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有()A. −1B. 0C. 1D. 211.已知集合M={−2,3x2+3x−4,x2+x−4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为()A. 2B. −2C. −3D. 112.下列说法中正确的有()A. 不等式a+b≥2√ab恒成立B. 不等式a+b≤√2(a2+b2)恒成立C. 若a，b∈(0,+∞)，则ba +ab≥2D. 存在a，使得不等式a+1a≤2成立13.若命题“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是．14.已知a>0，b>0，且2ab=a+b+4，则a+b的最小值为．15.设f(x)=x2−2ax+1，x∈[0,2]，当a=3时，f(x)的最小值是，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围为．16.已知f(2x+1)=x2−2x，则f(7)=．17.已知函数f(x)=x2−(a+b)x+a．(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值；(2)当b=1时，解关于x的不等式f(x)>0．18.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−km+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品12+24xx元．(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19.化简下列各式：(1)(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5；(2)(1−log63)2+log62⋅log618log64．20.已知全集为R，集合A={x∈R|x−5x+3>0}，B={x∈R|2x2−(a+10)x+5a≤0}．(1)若B⊆∁R A，求实数a的取值范围；(2)从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B⊆∁R A的什么条件(充分必要性)．①a∈[−7,10)；②a∈(−7,10]；③a∈(6,10]．21.已知f(x)=xx2+4，x∈(−2,2)．(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；(2)求证：函数f(x)在(−2,2)上是增函数；(3)若不等式f(x)<(a−2)t+5对任意x∈(−2,2)和a∈[−3,0]都恒成立，求t的取值范围．22.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，而y=f(x)在区间I上是减函数，x则称函数y=f(x)在区间I上是“弱增函数”．)x+b(m、b是常数)在区间(0,1]上是“弱增函数”，(1)若函数ℎ(x)=x2+(m−12求m、b应满足的条件；(2)已知f(x)=|x−1|+|x−2|+|x−3|+k|x−4|(k是常数且k≠0)，若存在区间I使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】由f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)=f(|x|)，于是f(2x−1)<f(12)⇔f(|2x−1|)<f(12)，再结合偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，脱掉函数符号计算即可．本题考查奇偶性与单调性的综合，关键在于对偶函数概念的理解与灵活应用，属于中档题．【解答】解：∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)=f(|x|)，∵f(2x−1)<f(12)，∴f(|2x−1|)<f(12)，又函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，∴|2x−1|<12，即−12<2x−1<12，∴14<x<34．故选：B．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了对数函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质求解．【解答】解：∵η=10lg I I，∴60dB声音的声波强度I1=106⋅I0，40dB声音的声波强度I2=104⋅I0，∴I 1I 2=106⋅I 0104⋅I 0=102=100，故选：C ．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了描述法和列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．解方程组{2x +y =2x −y =4即可得出x ，y 的值，即可得出M ∩N ．【解答】解：联立方程组{2x +y =2x −y =4，解得{x =2y =−2，∴M ∩N ={(2,−2)}．故选：D ．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查补集、交集的求法，考查交集、补集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B ，由此能求出结果．【解答】解：∵全集U =R ，集合A ={x|x <−2或x >6}，B ={x|−4≤x ≤5}， ∴图中阴影部分表示的集合为：(∁U A)∩B ={x|−2≤x ≤6}∩{x|−4≤x ≤5}={x|−2≤x ≤5}．故选：D ．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了求函数的定义域，考查二次根式的性质，是一道基础题．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：{2x +1≥02x −1≥0，解得：x ≥12，故函数的定义域是[12,+∞)，故选：B ．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查基本不等式求最值的方法，一元二次不等式的解法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．首先由基本不等式求得a +b 的最小值，然后求解一元二次不等式即可确定实数x 的取值范围．【解答】解：由题意可得：a +b =12(a +b)(9a +1b )=12(10+9b a+a b)≥12(10+2√9)=8，当且仅当{9ba=ab9a+1b=2，即{a =6b =2时等号成立，则a +b 的最小值为8，若a +b ≥x 2+2x 对任意正数a ，b 恒成立，由恒成立的结论可得：x 2+2x ≤8，解得：−4≤x ≤2．故选：A ．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数的图象，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题．求得f(x)的分段函数式，由条件可得a ≥x 2−x −f(x)，令g(x)=x 2−x −f(x)，画出g(x)的图象，结合图象可得a 的范围．【解答】解：根据题意可知f(x)={2x +2,x ≤0−x +2,x >0，不等式f(x)≥x 2−x −a 等价于a ≥x 2−x −f(x)，令g(x)=x 2−x −f(x) ={x 2−3x −2,x ≤0x 2−2,x >0，可得g(x)的大致图象，如图所示，又g(0)=−2，g(1)=−1，g(−1)=2， ∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数必为0，则−2≤a <−1，即a 取值范围是{a|−2≤a <−1}．故选：B ．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象的判断，以及函数的奇偶性．利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．【解答】解：函数f(x)=−4x 2+12x 4是偶函数，排除选项B ，C ，当x =2时，f(2)=−1532<0，对应点在第四象限，排除A ；故选：D ．9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查了简单函数的新定义问题，考查了解方程，同时考查了学生的计算能力．逐个分析选项，解方程f(x 0)=x 0，若方程有解，则函数f(x)为“不动点”函数，否则函数f(x)不是“不动点”函数，【解答】解：对于选项A ：当√x +x 0=x 0时，√x =0，方程无解，所以函数f(x)=√x x 不是“不动点”函数，对于选项B ：当x 02−x 0−3=x 0时，解得x 0=3或−1，所以函数g(x)=x 2−x −3是“不动点”函数，对于选项C ：当x 0≤1时，2x 02−1=x 0，解得x 0=1或−12；当x 0>1时，|2−x 0|=x 0，方程无解，所以函数f(x)={2x 2−1,x ≤1|2−x|,x >1是“不动点”函数，对于选项D ：当1x 0−x 0=x 0时，解得x 0=±√22，所以函数f(x)=1x −x 是“不动点”函数，故选：BCD ．10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的应用，涉及一元二次不等式的求解．属于中档题．根据条件p 得到x 的范围，进而得到1x 的范围，再根据p 是q 的充分不必要条件判断a 的取值范围即可．【解答】解：因为x∈R，条件p：x2<x，所以p：x∈(0,1)；>1，当x∈(0,1)时，1x若p是q的充分不必要条件，则由p⇒q，反之不成立．∴a≤1．实数a的取值可能有−1，0，1，故选：ABC．11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系及元素的互异性，要注意检验，属于中档题．根据集合元素的互异性，2∈M必有2=3x2+3x−4或2=x2+x−4，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，2=3x2+3x−4或2=x2+x−4，若2=3x2+3x−4，即x2+x−2=0，∴x=−2或x=1，检验：当x=−2时，x2+x−4=−2，与元素互异性矛盾，舍去；当x=1时，x2+x−4=−2，与元素互异性矛盾，舍去．若2=x2+x−4，即x2+x−6=0，∴x=2或x=−3，经验证x=2或x=−3为满足条件的实数x．故选：AC．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于基础题．由已知结合基本不等式的成立条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：当a<0，b<0时A显然不成立;当a+b≤0时B显然成立，当a+b>0时，(a+b)2−2(a2+b2)=−(a−b)2≤0，故a+b≤√2(a2+b2)，B一定成立;由a>0，b>0可得ba >0,ab>0，∴ba +ab≥2√ab⋅ba=2，当且仅当ba =ab即a=b时取等号，C正确；当a<0时，a+1a≤2成立，D正确．故选：BCD．13.【答案】(−∞,−1)∪(3,+∞)【解析】【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0”，则相应二次方程有不等的实根．本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0”是真命题，∴x2+(a−1)x+1=0有两个不等实根∴Δ=(a−1)2−4>0∴a<−1或a>3故答案为：(−∞,−1)∪(3,+∞)14.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用．由已知结合ab≤(a+b2)2，然后解不等式即可求解a+b的范围，进而可求a+b的最小值．【解答】解：因为a>0，b>0，且2ab=a+b+4，又2ab≤2×(a+b2)2=(a+b)22，当且仅当a=b时取等号，所以a+b+4≤(a+b)22，即(a+b)2−2(a+b)−8⩾0，解得，a+b≥4或a+b≤−2(舍)，则a+b的最小值为4．故答案为：415.【答案】−7(−∞,0]【解析】【分析】本题考查由函数的最值求参，二次函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力．当a=3时，f(x)=x2−6x+1在x∈[0,2]上单调递减，故f(x)的最小值是f(2)；若f(0)是f(x)的最小值，则f(x)在x∈[0,2]上单调递增，再考虑对称轴x=a所在的位置即可．【解答】解：当a=3时，f(x)=x2−6x+1在x∈[0,2]上单调递减，∴f(x)的最小值是f(2)=−7；若f(x)的最小值为1，则f(x)在x∈[0,2]上单调递增，而f(x)=x2−2ax+1的开口向上，对称轴为x=a，∴a≤0，即a的取值范围是(−∞,0]．故答案为：−7；(−∞,0]．16.【答案】3【解析】【分析】因为f(7)=f(2×3+1)，由此利用f(2x +1)=x 2−2x ，能求出f(7)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：∵f(2x +1)=x 2−2x ，∴f(7)=f(2×3+1)=32−2×3=3．故答案为：3．17.【答案】解：(1)由题意可得：1，2是x 2−(a +b)x +a =0的两根，所以{a +b =3a =2，所以a =2，b =1，(2)当b =1时，f(x)=x 2−(a +1)x +a >0，可得(x −a)(x −1)>0，当a <1时，解可得：x <a 或x >1，当a =1时，解可得：x ≠1，当a >1时，解可得：x <1或x >a 综上可得，当a <1时，{x|x <a 或x >1}，当a =1时，{x|x ≠1}，当a >1时，{x|x <1或x >a}．【解析】(1)由题意可得：1，2是x 2−(a +b)x +a =0的两根，然后结合方程的根与系数关系可求；(2)当b =1时，由已知可得(x −a)(x −1)>0，然后对a 与1的大小进行讨论即可求解．本题主要考查了一元二次不等式与相应方程的关系，一元二次不等式的解法，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．18.【答案】解：(1)∵不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即m =0时，x =2， ∴2=4−k0+1，解得k =2，∴x =4−2m+1>0，得y =12+24xx ⋅x −(8+16x)−m =36−16m+1−m(m ≥0)；(2)y =36−16m +1−m =37−16m +1−(m +1) ≤37−2√16m+1⋅(m +1)=29，当且仅当16m+1=m +1，即m =3时，等号成立，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．【解析】(1)根据年利润=年销售量×销售价格−成本−年促销费用即可列出y 与m 的函数关系；(2)结合(1)中所得的函数关系和均值不等式即可得解．本题考查函数的实际应用，训练了利用均值不等式求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5；=1+(12)2⋅(94)−12−[(0.1)2]0.5=1+14×23−110=1615；(2)因为：1−log 63=log 66−log 63=log 62；所以：(1−log 63)2+log 62⋅log 618log 64=(log 62)2+log 62⋅log 618log 622=log 62(log 62+log 618)2log 62=log 6362=1．【解析】直接根据指数幂以及对数的运算性质求解即可．本题考查了指数幂以及对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)集合A ={x ∈R|x−5x+3>0}，即A =(−∞,−3)∪(5,+∞)，所以∁R A =[−3,5]，集合B ={x ∈R|2x 2−(a +10)x +5a ≤0}={x ∈R|(2x −a)(x −5)≤0}，若B ⊆∁R A ，且5∈∁R A =[−3,5]，只需−3≤a2≤5，所以−6≤a ≤10．(2)由(1)可知B ⊆∁R A 的充要条件是a ∈[−6,10]，选择①，则它是B ⊆∁R A 的不充分不必要条件；选择②，则它是B ⊆∁R A 的必要不充分条件；选择③，则它是B ⊆∁R A 的充分不必要条件．【解析】本题主要考查了集合与集合之间的关系，充分条件、必要条件的判断． (1)首先要对A 、B 两个集合进行化简分析，再求出集合A 的补集，再根据B ⊆∁R A ，求出a 的取值范围；(2)结合(1)的结论，根据充分条件、必要条件的概念即可得解．21.【答案】解：(1)f(x)在(−2,2)为奇函数，证明如下：f(x)的定义域(−2,2)关于原点对称， f(−x)=−x (−x)2+4=−x x 2+4=−f(x)，即f(x)为(−2,2)内为奇函数； (2)证明：设−2<x 1<x 2<2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=x 1x 2(x 2−x 1)+4(x 1−x 2)(x 12+4)(x 22+4)=(x 1−x 2)(4−x 1x 2)(x 12+4)(x 22+4)，由−2<x 1<x 2<2，可得x 1−x 2<0，x 1x 2<4，即4−x 1x 2>0，x 12+4>0，x 22+4>0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(−2,2)上是增函数；(3)不等式f(x)<(a −2)t +5对任意x ∈(−2,2)恒成立，由函数f(x)在(−2,2)上是增函数，可得f(x)<f(2)=14，则(a −2)t +5≥14，即(a −2)t ≥−194，再由(a −2)t ≥−194对a ∈[−3,0]恒成立，设g(a)=at −2t +194，可得g(−3)≥0，且g(0)≥0，由{−3t −2t +194≥0−2t +194≥0，可得t ≤1920，则t 的取值范围是(−∞,1920].【解析】(1)运用函数的奇偶性的定义，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f(−x)，与f(x)比较可得结论；(2)运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤； (3)先运用f(x)的单调性，可得(a −2)t ≥−194，再由(a −2)t ≥−194对a ∈[−3,0]恒成立，设g(a)=at −2t +194，由一次函数的单调性可得t 的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力．22.【答案】解：(1)由题意，ℎ(x)=x 2+(m −12)x +b(m,b 是常数)在(0,1]上是增函数， ℎ(x)x=x +b x +(m −12)在(0,1]上是减函数，∴−m−122≤0，b ≥1，∴m ≥12，b ≥1；(2)∵f(x)=|x −1|+|x −2|+|x −3|+k|x −4|，当x <1时，f(x)=−(k +3)x +(6+4k)，f(x)x=−(k +3)+6+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{−(k +3)>06+4k >0，无解;当1≤x <2时，f(x)=−(k +1)x +(4+4k)，f(x)x=−(k +1)+4+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{−(k +1)>04+4k >0，无解;当2≤x <3时，f(x)=(1−k)x +4k ，f(x)x=(1−k)+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{1−k >04k >0，解得：0<k <1;当3≤x <4时，f(x)=(3−k)x +(4k −6)，f(x)x=(3−k)+4k−6x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{3−k >04k −6>0，解得：32<k <3;当x ≥4时，f(x)=(3+k)x +(−4k −6)，f(x)x=(3+k)+−4k−6x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{3+k >0−4k −6>0，解得：−3<k <−32，综上，k 的取值范围是(−3,−32)∪(0,1)∪(32,3)．【解析】本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性，考查分类讨论思想，转化思想，属于较难题．(1)由于ℎ(x)在(0,1]上是“弱增函数”，所以ℎ(x)在(0,1]上单调递增，y =ℎ(x)x在(0,1]上单调递减，由此可求出m 及b 满足的条件； (2)通过讨论x 的范围，求出f(x)x的解析式，根据“弱增函数”的定义，得到关于k 的不等式组，解出即可．。

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣1＜0}，N＝{x|}，则M∩N＝（）A．（﹣1，3）B．[0，1）C．（0，1）D．（﹣1，0）2．（5分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）•x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为（）A．﹣3B．1C．2D．1或23．（5分）若x≥y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x2+y2≥2xy B．C．2x≤2y D．x2≥y24．（5分）设A＝[﹣3，3]，B＝{y|y＝﹣x2+m，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣3]C．（3，+∞）D．[3，+∞）5．（5分）设a，b∈R，则“ab+4≠2a+2b”的充要条件是（）A．a，b不都为2B．a，b都不为2C．a，b中至多有一个是2D．a，b不都为06．（5分）设a∈R，已知函数y＝f（x）是定义在[﹣4，4]上的减函数，且f（a+1）＞f（2a），则a的取值范围是（）A．[﹣4，1）B．（1，4]C．（1，2]D．[﹣5，2]7．（5分）若一个函数的解析式为f（x）＝2|x﹣1|+1，它的值域为[1，3]，这样的函数有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个8．（5分）已知函数y＝f（x），x∈R，下列说法不正确的是（）A．若对于∀x∈R，都有f（a﹣x）﹣f（b+x）＝0（a，b为常数），则f（x）的图象关于直线对称B．若对于∀x∈R，都有f（a﹣x）+f（b+x）＝0（a，b为常数），则f（x）的图象关于点对称C．若对于∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），则f（x）是奇函数D．若对于∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）•f（y），且f（x）≠0，则f（x）是奇函数二、多项选择题（共4小题）9．（5分）下列命题中正确的是（）A．当x≥1时，B．当x＜0时，C．当0＜x＜1时，D．当x＞2时，10．（5分）已知函数，则下列判断正确的有（）A．f（x ）的最小值为B．f（x）在区间[0，1]上是增函数C．f（x）的最大值为1D．f（x）无最大值11．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[a，b]，a＜c＜b．下列说法中错误的是（）A．若f（x）在[a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）B．若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）C．若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）D．若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b）上是减函数，则f（x）max＝f（c）12．（5分）任何一个正整数x可以表示成x＝a×10n，（1≤a＜10，n∈N），此时，lgx＝n+lga．真数23456780.3010.4770.6020.6990.7780.8450.903常用对数（近似值）下列结论正确的是（）A．x是n+1位数B．x是n位数C．3100是48位数D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题“∃x0∈R，x02＞0”的否定是．14．（5分）＝．15．（5分）已知函数，则f（x）的定义域为，值域为．16．（5分）地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级M与所释放的能量E的关系如下：E＝104.8+1.5M（焦耳）．那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（10分）设．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣m•2x+1﹣8．（1）若m＝1，求方程f（x）＝0的解；（2）若对于∀x∈[0，2]，f（x）≥﹣2恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2bx+1，x∈[1，3]（a，b∈R且a，b为常数）．（1）若a＝1，求f（x）的最大值；（2）若a＞0，b＝﹣1，且f（x）的最小值为﹣4，求a的值．20．（12分）已知函数．（1）证明：f（x）是奇函数；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在区间[0，+∞）上减函数．21．（12分）已知函数（a为非零常数）．（1）若a＞0，且方程f（x）＝0在区间[0，2]上有两个不等实根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式：．22．（12分）若函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）＝f（log2x﹣2）+m，x∈[1，16]，对于∀x1，x2，x3∈[1，16]，且g（x1）≤g（x2）≤g（x3），都有g（x1）+g（x2）≥g（x3），求实数m的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣1＜0}，N＝{x|}，则M∩N＝（）A．（﹣1，3）B．[0，1）C．（0，1）D．（﹣1，0）解：集合M＝{x|x2﹣1＜0}＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|}＝{x|0＜x＜3}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1}，故选：C．2．（5分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）•x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为（）A．﹣3B．1C．2D．1或2解：幂函数f（x）＝（n2+2n﹣3）•（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，所以，解得；所以n的值为1．故选：B．3．（5分）若x≥y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x2+y2≥2xy B．C．2x≤2y D．x2≥y2解：由x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2≥0，故A正确；当＜0时，选项B不成立，由y＝2x为增函数，∵x≥y，∴2x≥2y，故C错误；当x＝0，y＝﹣1时，选项D不正确，故选：A．4．（5分）设A＝[﹣3，3]，B＝{y|y＝﹣x2+m，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣3]C．（3，+∞）D．[3，+∞）解：B＝{y|y＝﹣x2+m，x∈R}＝{y|y≤m}，∵A∩B＝∅，∴m＜﹣3，即实数m的取值范围是：（﹣∞，﹣3）．故选：A．5．（5分）设a，b∈R，则“ab+4≠2a+2b”的充要条件是（）A．a，b不都为2B．a，b都不为2C．a，b中至多有一个是2D．a，b不都为0解：由ab+4≠2a+2b，得ab﹣2a﹣2b+4≠0，则（a﹣2）（b﹣2）≠0，故a≠2且b≠2，反之，a≠2且b≠2时，（a﹣2）（b﹣2）≠0，则ab﹣2a﹣2b+4≠0，则ab+4≠2a+2b，故“ab+4≠2a+2b”的充要条件是“a≠2且b≠2“，故选：B．6．（5分）设a∈R，已知函数y＝f（x）是定义在[﹣4，4]上的减函数，且f（a+1）＞f（2a），则a的取值范围是（）A．[﹣4，1）B．（1，4]C．（1，2]D．[﹣5，2]解：因为函数y＝f（x）是定义在[﹣4，4]上的减函数，且f（a+1）＞f（2a），所以﹣4≤a+1＜2a≤4，解得，1＜a≤2．故选：C．7．（5分）若一个函数的解析式为f（x）＝2|x﹣1|+1，它的值域为[1，3]，这样的函数有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个解：∵满足题意的一个函数f（x）＝2|x﹣1|+1的值域为[1，3]即1≤2|x﹣1|+1≤3，∴0≤x≤2，∴函数的定义域为[0，2]，∴根据函数的定义在[0，2]内，可以画无数个函数图象使得值域为[1，3]∴满足题意的函数有无数个故选：D．8．（5分）已知函数y＝f（x），x∈R，下列说法不正确的是（）A．若对于∀x∈R，都有f（a﹣x）﹣f（b+x）＝0（a，b为常数），则f（x）的图象关于直线对称B．若对于∀x∈R，都有f（a﹣x）+f（b+x）＝0（a，b为常数），则f（x）的图象关于点对称C．若对于∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），则f（x）是奇函数D．若对于∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）•f（y），且f（x）≠0，则f（x）是奇函数解：根据题意，依次分析选项：对于A，若对于∀x∈R，都有f（a﹣x）﹣f（b+x）＝0，即f（a﹣x）＝f（b+x），变形可得f（﹣x）＝f（+x），则函数f（x）的图象关于直线对称，A正确，对于B，若对于∀x∈R，都有f（a﹣x）+f（b+x）＝0，即f（a﹣x）＝﹣f（b+x），变形可得f（﹣x）＝﹣f（+x），则函数f（x）的图象关于点（，0）对称，B 正确，对于C，若对于∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0可得，f（0）＝2f （0），即f（0）＝0，再令y＝﹣x可得，f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即函数f（x）是奇函数，C正确，对于D，若对于∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）•f（y），如函数y＝2x，满足f（x+y）＝f（x）•f（y），但不是奇函数，D错误，故选：D．二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2020-2021学年江苏省南通市启东中学高一上学期期初数学试题(解析版)

（3）拆项分组后利用立方差公式分解因式，再提公因式可得结果.
【详解】
（1）a7－ab6＝a(a6－b6)＝a(a3＋b3)(a3－b3)＝a(a＋b)(a2－ab＋b2)(a－b)(a2＋ab＋b2)；
（2）(x2＋x)2－5(x2＋x)＋6＝(x2＋x－2)(x2＋x－3)＝(x＋2)(x－1)(x＋ )(x＋ )；
【点睛】
本题考查射影定理，是基础题.
四、双空题
16．设a＝，则a是一元二次方程____________的一个实数根，据此得a4＋a2＋4a－3＝________．
【答案】x2＋x－1=00
【解析】a是的根，则有，然后代入可求得的值.
【详解】
易得a是的根，则有，
所以
故答案为：；0.
【点睛】
【点睛】
本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a的正负决定抛物线开口的方向，c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．
6．若集合中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（）
当时，为零，故正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了配方法，属于基础题.
4．若x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则常数k的值为（）
A．4B．－4C．±4D．无法确定
【答案】C
【解析】根据可得结果.
【详解】
因为x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，
所以，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了完全平方式，属于基础题.
【答案】CD
【解析】由方程，得到或，结合，即可求解.

江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年度高一第一学期期中质量调研试题数学【含答案】

江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年度高一第一学期期中质量调研试题数学【含答案】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|1<x<4},B={1,2,3,4,5},则A ∩B=( ).A.{1,2,3}B.{2,3}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4}2. 函数1341y x x =+-+的定义域为( ).3.[1,]4A - 3.(,]4B -∞ .(,1]C -∞- 3.(,1)1,]4(D -∞-⋃-3.下列命题中正确的是( ).A.若a>b,则ac>bcB.若,,a b c d >>则a-c>b-dC.若ab>0,a>b,则11a b < D.若a>b,c>d,则abc d >4.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ).3.A y x = B.y=|x|+1 2.|1|C y x =- .2x D y -=5.已知4213532,4,25,a b c ===则( ).A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b6.函数241xy x =+的图象大致为( ).7. 若函数22(3)8,1(),1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数,则实数a的取值范围是( )..[4,5]A -- .[5,4]B C. [-3,4] .5]D8.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( ).A. B.C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

9.以下说法中正确的有( ).A.“f(x)是定义在R 上的偶函数”的含义是“存在x ∈R,使得f(-x)=f(x)”B.“f(x)是定义在R 上的增函数”的含义是“12,,x x ∀∈R 当12x x <时,有12()()f x f x <”C.设M,P 是两个非空集合,则M ⊆P 的含义是“对于∀x ∈M,x ∈P”D.设f(x)是定义在R 上的函数,则“f(0)=0”是“f(x)是奇函数”的必要条件10.下列四个命题是真命题的是( ).A.函数y=|x|与函数2()y x =表示同一个函数B.奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点C.函数23(1)y x =-的图像可由23y x =的图像向右平移1个单位得到D.若函数(1)2,f x x x =+则2()1(1)f x x x =-≥11.下列说法正确的是( ).A.若x>0,则函数2y x x =+有最小值22B.若,0,2,x y x y >+=则22x y +的最大值为4C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy 的最大值为1D.若a>0,b>0,a+b=1,则11a b+的最小值为4 12.对于定义域为D 的函数y=f(x),若f(x)同时满足下列条件:①在D 内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].那么把y=f(x)(x ∈D)称为闭函数.下列函数是闭函数的是( ).2.1A y x =+3.B y x =- .22C y x =+ .3x D y =三、填空题。

江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

（2）将函数解析式变形为，然后利用均值不等式来求解即可.
【详解】
（1）根据题意得
（2）
当且仅当，即时，．
故宿舍应建在离厂5km处可使总费用最小为70万元．
21．4.
【分析】
先利用对数的定义得到，把转化为，
由构造基本不等式求出最大值.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以；
又，所以，所以，当且仅当时等号成立.
B．函数的单调递减区间是；
C．已知函数是定义域上减函数，若，则；
D．两个函数，表示的是同一函数.
12．已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．如果函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围是________.
14．已知函数，且，那么的值为_________.
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
已知函数 .
（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；
（2）写出函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围.
20．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和．
【分析】
根据交集定义直接进行交集运算即可.
【详解】
集合，，则 .

2020-2021学年江苏省南通市海门中学高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市海门中学高一（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.5分）已知集合A={-1.2}.B={x∈Z|0≤x≤2}.则A∩B等于（）A.{0}B.{2}C.{0.1.2}D.φ2.（单选题.5分）已知命题p：∃x0∈R.x02+2x0+1≤0.则￢p为（）A.∃x0∈R.x02+2x0+1＞0B.∀x∈R.x2+2x+1≤0C.∀x∈R.x2+2x+1≥0D.∀x∈R.x2+2x+1＞03.（单选题.5分）若a＞0.b＞0.则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题.5分）计算log23log34+（√3）log34的值为（）A.1B.2C.3D.45.（单选题.5分）已知a＞0.b＞0.且2a+b=ab-1.则a+2b的最小值为（）A. 5+2√6B. 8√2C.5D.96.（单选题.5分）已知函数f（x）=|x2-2x-3|在[-1.m]上的最大值为f（m）.则m的取值范围是（）A.（-1.1]B.（-1.1+2 √2 ]C.[1+2 √2 .+∞）D.（-1.1]∪[1+2 √2 .+∞）7.（单选题.5分）设max{a，b}={a，(a≥b)b，(a＜b).则函数f（x）=max{x2-x.1-x2}的单调增区间为（）A. [−1，0]，[12，+∞)B. (−∞，−1]，[0，12]C. (−∞，−12]，[0，1]D. [−12，0]，[1，+∞)8.（单选题.5分）已知定义在R上的奇函数y=f（x）.当x≥0时.f（x）=|x-a2|-a2.若对任意实数x有f（x-a）≤f（x）成立.则正数a的取值范围为（）A. [14 ， +∞)B. [12 ， +∞)C. (0 ， 14]D. (0 ， 12]9.（多选题.5分）已知函数f（x）=2ax2+4（a-3）x+5.下列关于函数f（x）的单调性说法正确的是（）A.函数f（x）在R上不具有单调性B.当a=1时.f（x）在（-∞.0）上递减C.若f（x）的单调递减区间是（-∞.-4].则a的值为-1D.若f（x）在区间（-∞.3）上是减函数.则a的取值范围是[0，34]10.（多选题.5分）下列各小题中.最大值是12的是（）A. y=x2+116x2B. y=x√1−x2，x∈[0，1]C. y=x2x4+1D. y=x+4x+2，(x＞−2)11.（多选题.5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）.当x＜0时.f（x）＞0.则函数f（x）满足（）A.f（0）=0B.y=f（x）是奇函数C.f（x）在[m.n]上有最大值f（n）D.f（x-1）＞0的解集为（-∞.1）12.（多选题.5分）对于定义域为D的函数y=f（x）.若同时满足下条件：① f（x）在D内单调递增或单调递减；② 存在区间[a.b]⊆D.使f（x）在[a.b]上的值域为[a.b].那么把y=f（x）（x∈D）称为闭函数．下列结论正确的是（）A.函数y=x是闭函数B.函数y=x2+1是闭函数C.函数y=-x2（x≤0）是闭函数D.函数f（x）= xx+1.（x＞-1）是闭函数13.（填空题.5分）已知p：x2-2x-3＜0.q：m＜x＜m+1.若p是q的必要不充分条件.则实数m 的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）设a＞0.b＞1.若a+b=2.则9a +1b−1的最小值为___ ．15.（填空题.5分）已知实数a.b.c.d满足2a=3.3b=5.5c=7.7d=16.则abcd=___ ．16.（填空题.5分）设函数f（x）= {−(x−a)2+a2，x≤0−x2+2x+1−a，x＞0.若f（0）是f（x）的最大值.则a的取值范围为___ ．17.（问答题.0分）（1）求值：2lg5+ 23lg8+lg5•lg20+lg22；（2）已知x+x-1=4.求x 32+x−32．18.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-4x-12≤0}.B={x|x2-4x-m2+4≤0}.m＞0．（1）求集合A、B；（2）若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件.求实数m的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）= ax+b1+x2是定义在（-1.1）上的奇函数.且f（12）= 25．（1）确定函数f（x）的解析式．（2）用定义证明f（x）在（-1.1）上是增函数．（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．20.（问答题.0分）设f（x）=ax2+（1-a）x+a-2．（1）若不等式f（x）≥-2对于一切实数x恒成立.求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a-1（a∈R）．21.（问答题.0分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革.发展混合所有制经济.培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向.提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革.从单一产品转为生产A、B两种产品.根据市场调查与市场预测.A产品的利润与投资成正比.其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比.其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额.单位为万元）（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金.并全部投入A、B两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金.才能使企业获得最大利润.最大利润是多少？22.（问答题.0分）已知函数f(x)=|1x −1|+12(x＞0)．（1）若m＞n＞0时.f（m）=f（n）.求1m +1n的值；（2）若m＞n＞0时.函数f（x）的定义域与值域均为[n.m].求所有m.n值．2020-2021学年江苏省南通市海门中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.5分）已知集合A={-1.2}.B={x∈Z|0≤x≤2}.则A∩B等于（）A.{0}B.{2}C.{0.1.2}D.φ【正确答案】：B【解析】：找出集合B中范围中的整数解.确定出集合B.再由集合A.找出两集合的公共元素.即可确定出两集合的交集．【解答】：解：由集合B中的0≤x≤2.得到范围中的整数有0.1.2.共3个.∴集合B={0.1.2}.又A={-1.2}.则A∩B={2}．故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算.是一道基本题型.其中根据题意确定出集合B是解本题的关键．2.（单选题.5分）已知命题p：∃x0∈R.x02+2x0+1≤0.则￢p为（）A.∃x0∈R.x02+2x0+1＞0B.∀x∈R.x2+2x+1≤0C.∀x∈R.x2+2x+1≥0D.∀x∈R.x2+2x+1＞0【正确答案】：D【解析】：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】：解：因为特称命题的否定是全称命题.所以.命题p：∃x0∈R.x02+2x0+1≤0.则￢p为：∀x∈R.x2+2x+1＞0．故选：D．【点评】：本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用.基本知识的考查．3.（单选题.5分）若a＞0.b＞0.则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果【解答】：解：∵a＞0.b＞0.∴4≥a+b≥2 √ab .∴2≥ √ab .∴ab≤4.即a+b≤4⇒ab≤4.若a=4.b= 14.则ab=1≤4.但a+b=4+ 14＞4.即ab≤4推不出a+b≤4.∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.均值不等式.考查了推理能力与计算能力．4.（单选题.5分）计算log23log34+（√3）log34的值为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：利用对数的运算性质求解．【解答】：解：log23log34+（√3）log34 =log24+ 312log34 = 2+3log32 =2+2=4.故选：D．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质.是基础题．5.（单选题.5分）已知a＞0.b＞0.且2a+b=ab-1.则a+2b的最小值为（）A. 5+2√6B. 8√2C.5D.9【正确答案】：A【解析】：根据条件将a 用b 表示后代入a+2b 中.得到a+2b= b+1b−2+2b = 2(b −2)+3b−2+5 .然后利用基本不等式求出最小值．【解答】：解：∵a ＞0.b ＞0.且2a+b=ab-1.则b≠2.∴a= b+1b−2＞0 .∴b ＞2.∴a+2b= b+1b−2+2b = 2(b −2)+3b−2+5≥5+ 2√2(b −2)•3b−2 = 5+2√6 .当且仅当 2(b −2)=3b−2 .即b= 2+√62 时取等号． ∴a+2b 的最小值为 5+2√6 ．故选：A ．【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.考查了转化思想和计算能力.属中档题．6.（单选题.5分）已知函数f （x ）=|x 2-2x-3|在[-1.m]上的最大值为f （m ）.则m 的取值范围是（）A.（-1.1]B.（-1.1+2 √2 ]C.[1+2 √2 .+∞）D.（-1.1]∪[1+2 √2 .+∞）【正确答案】：D【解析】：本题先画出函数f （x ）大致图象.然后根据图象对m 进行分类谈论.即可得到m 的取值范围．【解答】：解：由题意.函数f （x ）大致图象如下：根据题意及图.可知当-1＜m≤1时.f （x ）max =f （m ）．令x 2-2x-3=4.解得x=1±2 √2 .则当1＜m＜1+2 √2时.f（x）max=f（1）≠f（m）．．当m≥1+2 √2时.f（x）max=f（m）．∴满足题意的m的取值范围为：（-1.1]∪[1+2 √2 .+∞）．故选：D．【点评】：本题主要考查函数最值的问题.考查了数形结合法和分类讨论思想的应用．本题属中档题．7.（单选题.5分）设max{a，b}={a，(a≥b)b，(a＜b).则函数f（x）=max{x2-x.1-x2}的单调增区间为（）A. [−1，0]，[12，+∞)B. (−∞，−1]，[0，12]C. (−∞，−12]，[0，1]D. [−12，0]，[1，+∞)【正确答案】：D【解析】：根据题意得到函数解析式.作出两个函数的图象.利用数形结合即可得到结论．【解答】：解：由x2-x=1-x2得2x2-x-1=0.解得x=1或x=- 12.当x≥1或x≤- 12.f（x）=max{x2-x.1-x2}=x2-x.此时函数的递增区间为[1.+∞）.当- 12＜x＜1.f（x）=max{x2-x.1-x2}=1-x2.此时函数的递增区间为[- 12.0].综上函数的递增区间为[- 12.0].[1.+∞）. 故选：D．【点评】：本题主要考查函数单调性和单调区间的求解.求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键.属于中档题8.（单选题.5分）已知定义在R上的奇函数y=f（x）.当x≥0时.f（x）=|x-a2|-a2.若对任意实数x有f（x-a）≤f（x）成立.则正数a的取值范围为（）， +∞)A. [14B. [1 ， +∞)2]C. (0 ， 14]D. (0 ， 12【正确答案】：C【解析】：此题是一道选择题.因此可以采用数形结合的方法解决.“对任意的x∈R.恒有f（x-a）≤f（x）”也就相当于在实数集R上.f（x-a）的图象恒在f（x）的图象下方.据此列出关于a的不等式解出来即可【解答】：解：当x＞0时.做出函数f（x）=|x-a2|-a2的图象.因为a2≥0.且该函数图象过原点.关于x=a2对称.顶点为（a2.-a2）.结合该函数还是奇函数.作出图象如下：而函数y=f（x-a）的图象是将y=f（x）像右平移|a|个单位得到的.要使任意的x∈R.恒有f（x-a）≤f（x）.只需f（x-a）的图象恒在f（x）的图象下方或部分重合.所以只需y=f（x-a）与x轴最右边的交点在A在y=f（x）与x轴最右边交点B的右边或重合”．因此应该有2a2-a≤-2a2.即4a2-a≤0.解得0＜a≤14．故选：C．【点评】：这道题是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.因为问题相对复杂.因此借助于数形结合.使得问题变得简单明了.注意此法适合于选择、填空题．9.（多选题.5分）已知函数f（x）=2ax2+4（a-3）x+5.下列关于函数f（x）的单调性说法正确的是（）A.函数f（x）在R上不具有单调性B.当a=1时.f（x）在（-∞.0）上递减C.若f（x）的单调递减区间是（-∞.-4].则a的值为-1D.若f（x）在区间（-∞.3）上是减函数.则a的取值范围是[0，34]【正确答案】：BD【解析】：取a=0.即可判断选项A；当a=1时.求出函数的单调递减区间即可判断选项B；由题意可得- 4(a−3)4a=-4.且a＞0.即可判断选项C；由题意分a=0和a≠0两种情况讨论.列出关于a 的不等式.求得a的取值范围.即可判断选项D．【解答】：解：对于A.当a=0时.f（x）=-12x+5在R上单调递减.故A错误；对于B.当a=1时.f（x）=2x2-8x+5.对称轴为x=2.单调递减区间为（-∞.2）.故B正确；对于C.若f（x）的单调递减区间是（-∞.-4].则- 4(a−3)4a=-4.且a＞0.无解.故C错误；对于D.当a=0时.满足f（x）在区间（-∞.3）上是减函数；当a≠0.若f（x）在区间（-∞.3）上是减函数.则a＞0且- 4(a−3)4a ≥3.解得0＜a≤ 34.所以若f（x）在区间（-∞.3）上是减函数.则a的取值范围是[0，34] .故D正确．故选：BD．【点评】：本题主要考查函数的单调性的性质和判断.属于中档题．10.（多选题.5分）下列各小题中.最大值是12的是（）A. y=x2+116x2B. y =x√1−x 2，x ∈[0，1]C. y =x 2x 4+1D. y =x +4x+2，(x ＞−2) 【正确答案】：BC【解析】：利用基本不等式的性质即可判断出结论．【解答】：解：A ．y 没有最大值；B ．y 2=x 2（1-x 2）≤ (x 2+1−x 22)2 = 14 .y≥0.∴y≤ 12 .当且仅当x= √22 时取等号．C ．x=0时.y=0．x≠0时.y=1x 2+1x2≤ 12 .当且仅当x=±1时取等号．D ．y=x+2+ 4x+2 -2≥2 √(x +2)•4x+2 -2=2.x ＞-2.当且仅当x=0时取等号．故选：BC ．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题． 11.（多选题.5分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+y ）=f （x ）+f （y ）.当x ＜0时.f （x ）＞0.则函数f （x ）满足（） A.f （0）=0 B.y=f （x ）是奇函数C.f （x ）在[m.n]上有最大值f （n ）D.f （x-1）＞0的解集为（-∞.1）【正确答案】：ABD【解析】：令x=y=0.则可得f （0）=0；令y=-x.可得f （x ）=-f （-x ）.故函数f （x ）为奇函数；运用定义法及结合已知条件.可得函数f （x ）为R 上的减函数.则（x ）在[m.n]上的最大值为f （m ）.f （x-1）＞0等价于x-1＜0.由此得出正确选项．【解答】：解：令x=y=0.则f （0）=2f （0）.故f （0）=0.选项A 正确；令y=-x.则f （0）=f （x ）+f （-x ）.则f （x ）+f （-x ）=0.即f （x ）=-f （-x ）.故函数f （x ）为奇函数.选项B 正确；设x 1＜x 2.则x 1-x 2＜0.由题意可得.f （x 1-x 2）＞0.即f （x 1）+f （-x 2）=f （x 1）-f （x 2）＞0. 即f （x 1）＞f （x 2）.故函数f （x ）为R 上的减函数. ∴f （x ）在[m.n]上的最大值为f （m ）.选项C 错误；f （x-1）＞0等价于f （x-1）＞f （0）.又f （x ）为R 上的减函数.故x-1＜0.解得x ＜1.选项D正确．故选：ABD ．【点评】：本题考查抽象函数的单调性及奇偶性.考查赋值法的运用及转化能力.是常规题目． 12.（多选题.5分）对于定义域为D 的函数y=f （x ）.若同时满足下条件： ① f （x ）在D 内单调递增或单调递减； ② 存在区间[a.b]⊆D .使f （x ）在[a.b]上的值域为[a.b].那么把y=f （x ）（x∈D ）称为闭函数．下列结论正确的是（） A.函数y=x 是闭函数 B.函数y=x 2+1是闭函数 C.函数y=-x 2（x≤0）是闭函数 D.函数f （x ）= xx+1 .（x ＞-1）是闭函数【正确答案】：AC【解析】：对于A.函数是在R 上单调递增的一次函数.对于B.函数在R 上不单调.所以错误.对于C.函数是在（-∞.0]上单调递增的函数.再根据新定义求区间.对于D.函数是单调递减函数.再根据新定义求区间是否存在即可．【解答】：解：选项A ：因为y=x 是R 上的单调递增的一次函数.且在R 上任意子区间都满足新定义.所以A 正确；选项B ：若函数是闭函数.则可设x∈[a .b].y∈[a .b].假设函数递增.则 {a =a 2+1b =a 2+1 .显然无解. 若递减.则 {a =b 2+1b =a 2+1.解得a=b 显然不成立.所以B 错误；选项C ：函数是开口向下的二次函数.且在区间（-∞.0]上是单调递增的函数.令f （x ）=-x 2.若是闭函数.则一定有 {f (a )=af (b )=b .即 {−a 2=a −b 2=b.解得满足新定义的闭区间是[-1.0].此时a=-1.b=0.所以C 正确；选项D ：函数在（-1.+∞）上单调递减.若满足新定义则有 {f (a )=b f (b )=a .即 {aa+1=b b b+1=a.解得a=b.又a＜b.所以不存在区间满足新定义.所以D 错误. 故选：AC ．【点评】：本题考查了函数的单调性以及闭区间求值域问题.考查了学生对新定义的理解能力.属于基础题．13.（填空题.5分）已知p：x2-2x-3＜0.q：m＜x＜m+1.若p是q的必要不充分条件.则实数m 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-1.2]【解析】：解出不等式x2-2x-3＜0.设其解集为A．q：m＜x＜m+1.设B=（m.m+1）．根据p 是q的必要不充分条件.可得B⫋A．即可得出．【解答】：解：p：x2-2x-3＜0.解得：-1＜x＜3.设A=（-1.3）．q：m＜x＜m+1.设B=（m.m+1）．若p是q的必要不充分条件.∴B⫋A．∴ {−1≤mm+1≤3.且等号不能同时成立．解得：-1≤m≤2．则实数m的取值范围是[-1.2]．故答案为：[-1.2]．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合之间的关系.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（填空题.5分）设a＞0.b＞1.若a+b=2.则9a +1b−1的最小值为___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：由已知可得9a +1b−1=（9a+1b−1）[（a+（b-1）]=10+ 9(b−1)a+ab−1.然后利用基本不等式可求．【解答】：解：因为a＞0.b＞1.a+b=2.则9a +1b−1=（9a+1b−1）[（a+（b-1）]=10+ 9(b−1)a+ab−1≥10+2√9(b−1)a•ab−1=16.当且仅当9(b−1)a =ab−1且a+b=2即a= 34.b= 54时取等号.故答案为：16．【点评】：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质.属于基础题．15.（填空题.5分）已知实数a.b.c.d满足2a=3.3b=5.5c=7.7d=16.则abcd=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：把指数式化为对数式求得a、b、c、d的值.再利用对数换底公式.求得abcd的值．【解答】：解：实数a.b.c.d 满足2a =3.3b =5.5c =7.7d =16. ∴a=log 23= lg3lg2 .b=log 35= lg5lg3 .c=log 57= lg7lg5 .d=log 716= lg16lg7. ∴abcd=lg3lg2 • lg5lg3 • lg7lg5 • lg16lg7 = lg16lg2 = 4lg2lg2=4. 故答案为：4．【点评】：本题主要考查对数的定义、对数换底公式的应用.属于基础题． 16.（填空题.5分）设函数f （x ）= {−(x −a )2+a 2，x ≤0−x 2+2x +1−a ，x ＞0.若f （0）是f （x ）的最大值.则a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][2.+∞）【解析】：先由题意可得a ＞0.则可画出函数满足题意的图象.利用数形结合即可求解．【解答】：解：由题意可得a ＞0.则符合题意的函数f （x ）的图象如图所示：由数形结合可得：△=4+4（1-a ）≤0. 解得a≥2.故答案为：[2.+∞）．【点评】：本题考查了函数的最值问题.考查了数形结合思想.属于基础题． 17.（问答题.0分）（1）求值：2lg5+ 23 lg8+lg5•lg20+lg 22；（2）已知x+x -1=4.求 x 32+x −32．【正确答案】：【解析】：（1）利用对数的运算性质求解．（2）利用完全平方公式由已知条件求出 x 12+x −12 的值.再利用立方和公式即可求出结果．【解答】：解：（1）原式=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+lg 22=2（lg5+lg2）+2lg2•lg5+lg 25+lg 22=2+（lg2+lg5）2=2+1=3．（2）∵x+x -1=4.∴ (x 12+x −12)2=x +2+x −1=6 . 又 x 12+x −12＞0 .所以 x 12+x −12=√6 .∴ x 32+x −32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)=3√6 ．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质.考查了数学公式的应用.是基础题． 18.（问答题.0分）已知集合A={x|x 2-4x-12≤0}.B={x|x 2-4x-m 2+4≤0}.m ＞0．（1）求集合A 、B ；（2）若x∈A 是x∈B 成立的充分不必要条件.求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由x 2-4x-12≤0.利用一元二次不等式的解法即可得出集合A ．由x 2-4x-m 2+4=0.得x 1=2+m.x 2=2-m ．根据m ＞0时.2-m ＜2+m.即可得出x 2-4x-m 2+4≤0解集.可得集合B ．（2）由x∈A 是x∈B 成立的充分不必要条件.可得[-2.6]是[2-m.2+m]的真子集.进而得出实数m 的取值范围．【解答】：解（1）由x 2-4x-12≤0.得-2≤x≤6．故集合A={x|-2≤x≤6} 由x 2-4x-m 2+4=0.得x 1=2+m.x 2=2-m ．当m ＞0时.2-m ＜2+m.由x 2-4x-m 2+4≤0得2-m≤x≤2+m . 故集合B={x|2-m≤x≤2+m}．（2）∵x∈A 是x∈B 成立的充分不必要条件.所以[-2.6]是[2-m.2+m]的真子集.则有 {2−m ＜2+m 2−m ≤−22+m ≥6 .解得m≥4.又当m=4时.[2-m.2+m]=[-2.6].不合题意.所以实数m 的取值范围为（4.+∞）．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合与元素之间的关系.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．19.（问答题.0分）已知函数f （x ）= ax+b 1+x 2 是定义在（-1.1）上的奇函数.且f （ 12 ）= 25 ．（1）确定函数f （x ）的解析式．（2）用定义证明f （x ）在（-1.1）上是增函数．（3）解不等式f （t-1）+f （t ）＜0．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数得f （0）=0.求得b.再由已知.得到方程.解出a.即可得到解析式；（2）运用单调性的定义.注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）运用奇偶性和单调性.得到不等式f （t-1）+f （t ）＜0即为f （t-1）＜-f （t ）=f （-t ）. 得到不等式组.解出即可．【解答】：（1）解：函数f （x ）= ax+b1+x 2 是定义在（-1.1）上的奇函数. 则f （0）=0.即有b=0. 且f （ 12 ）= 25 .则 12a 1+14=25 .解得.a=1.则函数f （x ）的解析式：f （x ）= x1+x 2 （-1＜x ＜1）；（2）证明：设-1＜m ＜n ＜1.则f （m ）-f （n ）= m1+m 2−n1+n 2 = (m−n )(1−mn )(1+m 2)(1+n 2).由于-1＜m ＜n ＜1.则m-n ＜0.mn ＜1.即1-mn ＞0.（1+m 2）（1+n 2）＞0.则有f （m ）-f （n ）＜0. 则f （x ）在（-1.1）上是增函数；（3）解：由于奇函数f （x ）在（-1.1）上是增函数.则不等式f （t-1）+f （t ）＜0即为f （t-1）＜-f （t ）=f （-t ）.即有 {−1＜t −1＜1−1＜t ＜1t −1＜−t .解得 { 0＜t ＜2−1＜t ＜1t ＜12.则有0＜t ＜ 12 . 即解集为（0. 12 ）．【点评】：本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式.考查运算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）设f （x ）=ax 2+（1-a ）x+a-2．（1）若不等式f （x ）≥-2对于一切实数x 恒成立.求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式f （x ）＜a-1（a∈R ）．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得.ax 2+（1-a ）x+a-2≥0对于一切实数x 恒成立.结合二次函数的性质.分类讨论进行求解（2）由已知可得.ax 2+（1-a ）x-1＜0.结合二次不等式的求解可求．【解答】：解：（1）f （x ）≥-2对于一切实数x 恒成立等价于ax 2+（1-a ）x+a≥0对于一切实数x 恒成立.当a=0时.不等式可化为x≥0.不满足题意；当a≠0时. {a ＞0△≤0 即 {a ＞0(1−a )2−4a 2≤0 . 解得：a ≥13 ；（2）不等式f （x ）＜a-1等价于ax 2+（1-a ）x-1＜0 当a=0时.不等式可化为x ＜1.所以不等式的解集为{x|x ＜1}；当a ＞0时.不等式可化为（ax+1）（x-1）＜0.此时 −1a ＜1 . 所以不等式的解集为{x|- 1a ＜x ＜1 }；当a ＜0时.不等式可化为（ax+1）（x-1）＜0. ① 当a=-1时.- 1a=1 .不等式的解集为{x|x≠1}；② 当-1＜a＜0时. −1a ＞1 .不等式的解集为{x|x ＞−1a或x＜1}；③ 当a＜-1时.- 1a ＜1 .不等式的解集为{x|x＞1或x＜- 1a}．【点评】：本题主要考查了二次不等式与二次函数性质的相互转化.及二次不等式的恒成立问题.体现了分类讨论思想的应用．21.（问答题.0分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革.发展混合所有制经济.培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向.提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革.从单一产品转为生产A、B两种产品.根据市场调查与市场预测.A产品的利润与投资成正比.其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比.其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额.单位为万元）（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金.并全部投入A、B两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金.才能使企业获得最大利润.最大利润是多少？【正确答案】：【解析】：（1）设投资为x万元.A产品的利润为f（x）万元.B产品的利润为g（x）万元.由题设f（x）=k1x.g（x）=k2• √x .代入已知点的坐标分别求得k1.k2的值.则函数解析式可求；（2）设A产品投入x万元.则B产品投入10-x万元.设企业利润为y万元.则y=f（x）+g（10-x）.整理后再由换元法及配方法求最值．【解答】：解：（1）设投资为x万元.A产品的利润为f（x）万元.B产品的利润为g（x）万元.由题设f（x）=k1x.g（x）=k2• √x .由图知f （2）=1.∴1=2k 1.故 k 1=12 . 又g （4）=4.∴4=2k 2.故k 2=2．从而 f (x )=12x (x ≥0) . g (x )=2√x (x ≥0) ；（2）设A 产品投入x 万元.则B 产品投入10-x 万元.设企业利润为y 万元. 则 y =f (x )+g (10−x )=12x +2√10−x (0≤x ≤10) .令 t =√10−x .则y= 12(10−t 2)+2t =−12(t −2)2+7 （0 ≤t ≤√10 ）．当t=2时.y max =7.此时x=6．故A 产品投入6万元.则B 产品投入4万元时.企业获得最大利润.最大利润是7万元．【点评】：本题考查函数模型的选择及应用.考查利用待定系数法求函数解析式.训练了利用换元法及配方法求最值.是中档题．22.（问答题.0分）已知函数 f (x )=|1x −1|+12(x ＞0) ．（1）若m ＞n ＞0时.f （m ）=f （n ）.求 1m +1n 的值；（2）若m ＞n ＞0时.函数f （x ）的定义域与值域均为[n.m].求所有m.n 值．【正确答案】：【解析】：（1）∵m ＞n ＞0时.f （m ）=f （n ）.∴ {m ＞n ＞0|1m −1|=|1n −1| .∴（ 1m −1 ）+（ 1n −1 ）=0.进而求解；（2）由题意f （x ）= {1x −12，0＜x ≤132−1x ，x ＞1 .∴f （x ）在（0.1]上单调递减.在[1.+∞）单调递增.继而分类讨论.进而求解．【解答】：解：（1）∵m ＞n ＞0时.f （m ）=f （n ）. ∴ {m ＞n ＞0|1m −1|=|1n −1| .∴（ 1m −1 ）+（ 1n −1 ）=0 ∴ 1m + 1n =2；（2）由题意f（x）= {1x−12，0＜x≤132−1x，x＞1.∴f（x）在（0.1]上单调递减.在[1.+∞）单调递增.① 0＜n＜m≤1.则f（n）=m.f（m）=n.∴ {1n−12=m1m−12=n解得m=n= √17−14（舍）② n＜1＜m.则f（x）min=f（1）= 12 =n.f（x）max=m=max{f（n）.f（m）}=max{ 32.f（m）}.∴m= 32.③ 1≤n＜m.则f（n）=n.f（m）=m.无解．综上. {m=32n=12．【点评】：考查含有绝对值等式的理解.分段函数的处理.分类讨论的思想.函数的最值．。

江苏省南通市2020-2021学年高一(上)期中试题汇编(新高考)：函数的概念与性质(原卷版)

解析式是（）
A.
=
20− 2
C.
=
20− 2
(5 <
< 10)
B. = 20 − 2 D. = 20 − 2 (5 < < 10)
1 为有理数
（2021·南通海安·上期中）12. 函数 =
，则下列结论正确的是（）
0 为无理数
A. 是偶函数
B. 的值域是 0,1
C. 方程
= 的解只有 = 1
D. 方程
= 的解只有 = 1
（2021·南通海安·上期中）8. 已知函数
数的取值范围是（）
= 4 − 2 − 2 − 3，若 − 1 >− 2，则实
A. −1,3
B. −2,2
C. −∞, 0 ∪ 2, + ∞ D. 0,2
（2021·南通海安·上期中）7. 已知函数
(
)=
(2 −
) +1 < 2 −1 ≥ 2
B. (1) < ( − 2) < (3)
C. (3) < ( − 2) < (1)
D. (3) < (1) < ( − 2)
（2021·南通通州·上期中）5. 已知函数 = 5 + 3 + − 8，且 −2 = 10，则 f 2
（）
A. −26
B. 26
C. −10
D. 18
（2021·南通通州·上期中）3. 已知一个等腰三角形的周长为 20，底边长关于腰长的函数
在(－∞， + ∞)上对任
意的 1 ≠
2都有
(
1)− 1−
(
2
2)
>

2020年江苏省南通一中高一(上)期中数学试卷

高一（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.若集合M={x|−1<2−x≤1}，N={x|x2−6x+8<0}，则M∪N=()A. (2,3]B. (2,3)C. [1,4)D. (1,4)2.扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其圆心角的弧度数是()A. 1或5B. 1或2C. 2或4D. 1或43.函数f(x)=√3−3−x+ln|x|的定义域为()A. [−1,+∞)B. [−1,0)∪(0,+∞)C. (−∞,−1]D. (−1,0)∪(0,+∞)4.已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2+2m−3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m=()A. −1B. 2C. 3D. 2或−15.在同一直角坐标系中，函数f(x)=xα(x≥0)，g(x)=−logαx的图象可能是()A. B. C. D.6.已知关于x的方程x2−(2m−8)x+m2−16=0的两个实根为x1，x2满足x1<32< x2，则实数m的取值范围为()A. m<4B. −12<m<4 C. 72<m<4 D. −12<m<727.设集合M={α|α=45°+k⋅90°,k∈Z}，N={α|α=90°+k⋅45°,k∈z}，则集合M与N的关系是()A. M∩N=⌀B. M⊋NC. N⊋MD. M=N8.已知函数f(x)=8×4x−a2x(a∈R)是奇函数，g(x)=ln(e x+1)−bx(b∈R)是偶函数，则log b a=()A. −3B. −13C. 13D. 39. 设函数f(x)对x ≠0的一切实数均有f(x)+2f(2019x)=6x ，则f(2019)=( )A. −4034B. 2017C. 2018D. 403610. 已知P(−√3,y)为角β的终边上的一点，且sinβ=√1313，则2sin 2βsin 2β−cos 2β=( )A. ±12B. −211C. √36D. ±211. 已知单调函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对于定义域内任意x ，f[f(x)−log 2x]=3，则函数g(x)=f(x)+x −9的零点所在的区间为( )A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)12. 已知函数f(x)=lg(4x −13x −m).若对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≥0成立，则实数m 的取值范围为( )A. (−∞,−113)B. (−∞,−83)C. (−∞,−114)D. (−∞,−154]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=log 12(−x 2+3x −2)的单调递增区间是______． 14. 已知y =4x −3⋅2x +3，当x ∈[0,2]时，其值域是______．15. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且函数f(x)在(−∞,0)上是减函数，若a =f(2cos 23π)，b =f(log 124.1),c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为______． 16. 设函数f(x)=|log a x|(a >0且a ≠1)的定义域为[m,n](m <n)，值域为[0,1]，若n −m 的最小值为13，则实数a 的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分） 17. 计算(1)(127)13−(614)12+25634+(2√2)23−3−1+π0；(2)计算：log 23−log 1283−(116)−34；(3)已知x +x −1=3，求x −x −1．18.已知函数y=√x+2+√5−x的定义域是集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+3}，R是实数集．(1)若a=3，求(∁R P)∪(∁R Q)；(2)若P∪Q=Q，求实数a的取值范围．19.已知tanα是关于x的方程2x2−x−1=0的一个实根，且α是第三象限角．(1)求2sinα−cosα的值；sinα+cosα(2)求3sin2α−sinαcosα+2cos2α的值．20.某公司生产甲、乙两种产品所得利润分别为f1(x)和f2(x)(万元)，它们与投入资金(x+10，f2(x)=2√x+35.今将120万元资金投入万元)的关系有经验公式f1(x)=16生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额都不低于20万元．(1)设对乙产品投入资金x万元，求总利润W(x)(万元)关于x的函数关系式及其定义域；(2)如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？21.已知函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0，且a≠1)．(1)证明：当a变化，函数f(x)的图象恒经过定点；(2)当a=10时，设g(x)=f(x)−1，且g(3)=m，g(4)=n，求log645(用m，n表示)；(3)在(2)的条件下，是否存在正整数k，使得不等式2g(x+1)>lg(kx2)在区间[3,5]上有解，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．−5|，22.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=|x+4x(1)判定函数g(x)=x+4在[2,+∞)的单调性，并用定义证明；x(2)设方程f(x)=m有四个不相等的实根x1x2x3x4．①证明：x1x2x3x4=16；②在[1,4]是否存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a,b]单调，且f(x)的取值范围为[ma,mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：M ={x|1≤x <3}，N ={x|2<x <4} ∴M ∪N =[1,4)．故选：C ．可以求出集合M ，N ，然后进行并集的运算．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查扇形的面积公式，涉及圆心角和弧长半径的关系，属基础题．设扇形的半径为r ，弧长为l ，由题意可得r 和l 的方程组，解方程组代入α=lr 计算可得．【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由题意可得{2r +l =612lr =2，解得{l =4r =1，或{l =2r =2，当{l =4r =1，时，其中心角的弧度数α=l r =4；当{l =2r =2时，其中心角的弧度数α=l r =1 故选D ．3.【答案】B【解析】解：函数f(x)=√3−3−x +ln|x|，则{3−3−x ≥0|x|>0，解得x ≥−1且x ≠0，则f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,+∞)．故选：B ．根据题意列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题．根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可．【解答】解：∵函数f(x)=(m2−m−1)x m2+2m−3是幂函数，∴m2−m−1=1，解得：m=2或m=−1，m=2时，f(x)=x，有交点不合题意，m=−1时，f(x)=1，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，x4故m=−1，故选A．5.【答案】D【解析】解：当0<a<1时，函数f(x)=x a(x≥0)为增函数，且图象变化越来越平缓，g(x)=−log a x的图象为增函数，当1<a时，函数f(x)=x a(x≥0)为增函数，且图象变化越来越快，g(x)=−log a x的图象为减函数，综上：只有D符合故选：D．结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0<a<1时和当a>1时两种情况，讨论函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象，比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．6.【答案】D【解析】解：由题意，△=(2m−8)2−4(m2−16)=32(4−m)>0，∴4−m>0，m<4．方程可转化为x2−2(m−4)x+(m−4)2+m2−16=(m−4)2．整理，得[x −(m −4)]2=8(4−m)．∴x 1=−(4−m)−2√2(4−m)，x 2=−(4−m)+2√2(4−m)．可令√2(4−m)=t ，则4−m =12t 2，m =4−12t 2．故x 1=−12t 2−2t ，x 2=−12t 2+2t ．∵x 1<32<x 2，即−12t 2−2t <32<−12t 2+2t ．整理，得{t 2+4t +3>0t 2−4t +3<0，解得1<t <3． ∴1<√2(4−m)<3， ∴1<2(4−m)<9， ∴−12<m <72．故选：D ．本题可根据题意解出x 1，x 2关于m 的表达式，然后根据条件x 1<32<x 2，对于根式利用换元法计算出实数m 的取值范围．本题主要考查含参一元二次方程的求解，根式换元法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题．7.【答案】C【解析】解：对于集合N ，k =2n ，或k =2n +1，n ∈Z ；k =2n +1时，x =n ⋅90°+45°+90°=(n +1)⋅90°+45°，n +1∈Z ；又M 的元素x =k ⋅90°+45°，k ∈Z ； ∴M 的元素都是N 的元素；而k =2n 时，x =k ⋅90°+90°； ∴N 中存在元素x ∉M ； ∴M ⊊N ．故选：C ．在集合N 中，k =2n ，或k =2n +1，n ∈Z ，能过说明M 的元素都是集合N 的元素，而集合N 中存在元素不在集合M 中，从而便得出M ⊊N考查整数可以分成奇数和偶数，描述法表示集合，知道x =k ⋅90°+45°，k ∈Z ，和x =(n +1)⋅90°+45°，n ∈Z ，表示的元素相同，真子集的概念及判断过程．8.【答案】A【解析】解：由f(x)=8×4x −a 2x(a ∈R)是奇函数，可得f(0)=0，∴8−a =0， ∴a =8，∵g(x)=ln(e x +1)−bx(b ∈R)是偶函数，则g(−x)=ln(e −x +1)+bx =ln(e x +1)−bx ， ∴lne −x +1e x +1=−2bx ，∴lne −x =−2bx ，即−x =−2bx ， ∴b =12，则log b a =log 128=−3．故选：A ．由奇函数的性质可得f(0)=0，可求a ，由g(−x)=g(x)，代入可求b ，然后根据对数的运算可求．本题主要考查了利用奇偶性的定义求解函数解析式，还考查了对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．9.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)对x ≠0的一切实数均有f(x)+2f(2019x)=6x ，∴{f(1)+2f(2019)=6f(2019)+2f(1)=12114，解得f(1)=8074，f(2019)=−4034．故选：A ．由函数f(x)对x ≠0的一切实数均有f(x)+2f(2019x)=6x ，分别取x =1和x =2019，列出方程组，能求出f(2019)．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵P(−√3,y)，∴r =|OP|=√3+y 2，由sinβ=√1313，得2=√1313，即y =12．则tanβ=yx =−√36．∴2sin2βsin2β−cos2β=2tan2βtan2β−1=2×(−√36)2(−√36)=−211．故选：B．由已知结合正弦函数的定义求得y，进一步得到tanβ，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−log2x]=3，又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，则f(x)−log2x为定值，设t=f(x)−log2x，则f(x)=log2x+t，又由f(t)=3，∴f(t)=log2t+t=3，得t=2，∴f(x)=log2x+2，则g(x)=log2x+x−7，∵g(1)<0，g(2)<0，g(3)<0，g(4)<0，g(5)>0，∴g(4)g(5)<0，∴零点所在的区间为(4,5)．故选：D．通过函数的单调性以及函数的零点判定定理，转化求解即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，函数与方程的应用，是中档题．12.【答案】D【解析】解：对任意的x∈[−1,1]使得f(x)≥0成立，即对任意的x∈[−1,1]使得m+1≤4x−13x恒成立，令ℎ(x)=4x−13x，x∈[−1,1]，显然ℎ(x)在[−1,1]递增，故ℎ(x)min=ℎ(−1)=−114，故m+1≤−114，m≤−154，故选：D．问题转化为对任意的x∈[−1,1]使得m+1≤4x−13x 恒成立，令ℎ(x)=4x−13x，x∈[−1,1]，根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，是一道常规题．13.【答案】[32,2)【解析】解：令t =−x 2+3x −2>0，求得1<x <2，故函数的定义域为(1,2)，f(x)=log 0.5t ，本题即求函数t 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为[32,2)，函数f(x)=log 12(−x 2+3x −2)的单调递增区间是[32,2)．故答案为：[32,2)．令t =−x 2+3x −2>0，求得函数的定义域，f(x)=log 0.5t ，本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．14.【答案】[34,7]【解析】解：y =4x −3⋅2x +3=(2x )2−3⋅2x +3，当x ∈[0,2]时，设t =2x ∈[1,4]， ∴g(t)=t 2−3t +3，开口向上的抛物线，对称轴t =32∈[1,4]， ∴最小值g(32)=34，4−1>32−1，所以最大值g(4)=7，所以原函数的值域：[34,7]；故答案为：[34,7]．换元得二次函数，注意换的字母的取值范围，根据二次函数的性质得值域．考查求二次函数的值域，属于简单题．15.【答案】a <c <b【解析】解：∵f(−x)=f(x)， ∴f(x)是偶函数， ∴f(−20.8)=f(20.8)，∵2cos 23π=−1，log 124.1<log 124=−2，20<20.8<21，1<20.8<2，−2<−20.8<−1， ∴log 124.1<−20.8<2cos 23π<0，又因为f(x)在(−∞,0)上递减，∴f(log 124.1)>f(−20.8)>f(2cos 23π)，∴f(log 124.1)>f(20.8)>f(2cos 23π)，所以b >c >a ，即a <c <b ，故答案为：a <c <b ．先判断函数的奇偶性，再分析得到log 124.1<−20.8<2cos 23π<0，由函数单调性得到f(log 124.1)>f(−20.8)>f(2cos 23π)，即得解．本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查指数函数对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．16.【答案】32或23【解析】解：①a >1时，f(x)的图象如下：∵f(1)=0，f(1a )=f(a)=1，∴使值域为[0,1]的定义域为[1a ,1]或[1,a]或[1a ,a]， ∵1−1a <a −1<a −1a ，∴1−1a =13，∴a =32； ②0<a <1时，f(x)的图象如下：∵f(1)=0，f(1a )=f(a)=1，∴使值域为[0,1]的定义域为[1,1a ]或[a,1]或[a,1a ]， ∵1a −a >1a −1>1−a ，∴1−a =13，∴a =23；故答案为32或23．本题利用分类讨论思想和数形结合思想，画出f(x)的图象，通过图象分析求解．本题考查了分类讨论思想和数形结合思想，需要学生结合图象进行逻辑分析，难度较大，属于中档题．17.【答案】解：(1)(127)13−(614)12+(256)34+(2√2)23−3−1+π0，=[(13)3]13−[(52)2]12+(44)34+(√23)23−13+1，=13−52+64+2−13+1=6412=1292；(2)log 23−log 1283−(116)−34， =log 23+(log 28−log 23)−1634， =3−8=−5． (3)∵x +x −1=3，∴(x +x −1)2=x 2+x −2+2=9， ∴x 2+x −2=7．则(x −x −1)2=x 2+x −2−2=5， ∴x −x −1=±√5．【解析】(1)根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案； (2)根据对数的运算性质及分数指数幂即可求解．(3)由x +x −1=3，可得(x +x −1)2=9，即x 2+x −2=7，将所求平方，代入即可得答案．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．18.【答案】解：(1)∵函数y =√x +2+√5−x 的定义域是集合Q ，∴Q ={x|{x +2≥05−x ≥0}={x|−2≤x ≤5}，当a =3时，P ={x|4≤x ≤9}， ∴P ∩Q ={x|4≤x ≤5}．∴(∁R P)∪(∁R Q)=∁R (P ∩Q)={x|x <4或x >5}． (2)∵P ∪Q =Q ，∴P ⊆Q ，当P =⌀时，a +1>2a +3，解得a <−2，成立；当P ≠⌀时，{a +1≤2a +3a ≥−2−2≤a +12a +3≤5，解得−2≤a <1，综上，实数a 的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)当a =3时，分别求出集合Q ，P ，由此能求出P ∩Q ，再由(∁R P)∪(∁R Q)=∁R (P ∩Q)，能求出结果．(2)由P ∪Q =Q ，得P ⊆Q ，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、并集、子集的定义的合理运用．19.【答案】解：(1)∵tanα是关于x 的方程2x 2−x −1=0的一个实根，且α是第三象限角，∴tanα=1，或tanα=−12(舍去)，∴2sinα−cosαsinα+cosα=2tanα−1tanα+1=12．(2)3sin 2α−sinαcosα+2cos 2α=3sin 2α−sinαcosα+2cos 2αsin 2α+cos 2α=3tan 2α−tanα+2tan 2α+1=3−1+22=2．【解析】(1)解方程求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得2sinα−cosαsinα+cosα的值．(2)根据tanα=1，利用同角三角函数的基本关系，求得3sin 2α−sinαcosα+2cos 2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)对乙产品投入资金x 万元，则对甲产品投入资120−x 万元；所以，W(x)=f 1(120−x)+f 2(x)=16(120−x)+10+2√x +35，即W(x)=−16x +2√x +65，由{20≤120−x ≤12020≤x ≤120，解得20≤x ≤100，所以其定义域为[20,100]． (Ⅱ)令t =√x ，则t ∈[2√5,10]，则原函数化为关于的函数t ：y =−16t 2+2t +65,t ∈[2√5,10]， ∴y =−16t 2+2t +65=−16(t −6)2+71，所以当t =6，即x =36时，y max =71(万元)，答：当对甲产品投入资金84万元，对乙产品投入资金36万元时，所得总利润最大，最大利润为71万元．【解析】(Ⅰ)由题得：W(x)=−16x +2√x +65，再求函数的定义域；(Ⅱ)令t =√x ，则t ∈[2√5,10]，则原函数化为关于的函数t ：y =−16t 2+2t +65,t ∈[2√5,10]，再利用二次函数求最大利润．本题主要考查函数解析式的求法和定义域的求法，考查函数最值的计算和函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．21.【答案】解：(1)证明：当x =2时，不论a 取何值，都有f(2)=log a (2×2−3)+1=log a 1+1=1，故函数f(x)的图象恒经过定点(2,1)；(2)当a =10时，g(x)=f(x)−1=lg(2x −3)， ∴m =g(3)=lg3，n =g(4)=lg5， ∴log 645=lg45lg6=lg9+lg5lg3+lg2=2m+nm−n+1．(3)不等式2g(x +1)>lg(kx 2)化为lg(2x −1)2>lg(kx 2) 即k <(2x−1)2x 2在区间[3,5]上有解；令ℎ(x)=(2x−1)2x 2,x ∈[3,5]，则k <ℎ(x)max ，∵ℎ(x)=(2x−1)2x 2=(1x −2)2，1x ∈[15,13]，∴k <ℎ(x)max =ℎ(5)=8125=3625，又k 是正整数，故k 的最大值为3．【解析】本题(1)利用对数函数的性质log a 1=0求解， (2)利用对数函数的运算公式求解； (3)利用转化思想，转化为k <(2x−1)2x 2在区间[3,5]上有解，再求函数的最值．本题考查了对数函数的性质和运算法则以及转化思想和函数最值．属于中档题．22.【答案】(1)g(x)在[2,+∞)上单调递增，证明：任取，x 1，x 2∈[2,+∞)，且x 1<x 2．∵g(x 1)−g(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2)=(x 1−x 2)+4(x 2−x1x 1x2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，其中x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2−4>0，g(x 1)−g(x 2)<0，∴g(x 1)<g(x 2)∴g(x)在[2,+∞)上单调递增，(2)①|(x +4x )−5|=m ⇒(x +4x )−5=m 或(x +4x )−5=−m 即x 2−(m +5)x +4=0或m 2+(m −5)x +4=0 ∵x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)=m 的四个不相等的实根 ∴由根与系数的关系得x 1x 2x 3x 4=4×4=16，②如图，可知0<m <1，f(x)在区间(1,2)、(2,4)上均为单调函数，(i)当[a,b]⊆[1,2]时，f(x)在[a,b]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb ，即f(x)=mx ，m =−4x 2+5x −1在x ∈[1,2]有两个不等实根，而令1x =t ∈[12,1]，则−4x 2+5x −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <916， (ii)当[a,b]⊆[2,4]时，f(x)在[a,b]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma ，两式相除整理得(a −b)(a +b −5)=0， ∴a +b =5，∴b =5−a >a ， ∴2≤a ≤52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a5−a=1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254，∴m∈[13,925)；综上，m的取值范围为[13,925)∪[12,916)．【解析】(1)由题意得：g(x)在[2,+∞)上单调递增，再由函数的单调性的定义证明．(2)有函数图象，数形结合，根据函数的性质即可求出答案．本题主要考查对数函数、指数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．。

【试卷解析】南通中学2020~2021高一上学期期中考试数学试卷

5
20.（本题满分 12 分）如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN ，
要求 B 点在 AM 上， D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知 AB 3 米， AD 4 米．
x
2 x 1
，当且仅当
x
2
取等，解得
x 1
x
1或2
，又由
x
1，
所以取
x
2
，故
x
1 时，
x
2 x 1
的最小值为
2
2 2 1
4
C.由于
x2
9 x2
4
x2
4
9 x2
4
4
2
x2
4
9 x2 4
4
2 ，故
x2
9 x2
4
的最
小值是 2 D.当 x, y 0 ，且 x 4 y 2 时，由于 2 x 4 y 2 x 4 y 4 xy ， xy 1 ，又
2
11 2 xy
11 xy
2 xy
2 1
4 ，故当 x,
y
0 ，且
x 4y
2 时，
1 x
1 y
的最小值为 4
2
【答案】BCD
3
1, x 0
12. 已知符号函数 sgnx 0, x 0 ，下列说法正确的是（
）
1, x 0
A. 函数 y sgnx是奇函数
B. 对任意的 x R ， sgn ex 1
D. x R, 2x2 1 0 【答案】D
2.设集合 f (x)
(x-2) 1 的定义域（） x3
A. [2, )
B（. 3, )

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