勾股定理逆定理八种证明方法
勾股定理的逆证明过程
勾股定理的逆证明过程勾股定理大家都知道，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那它的逆定理呢？就是如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形就是直角三角形。
今天咱们就来好好唠唠这个逆定理的证明过程。
咱们先从一个三角形说起，假设有个三角形，它的三条边分别是a、b、c，而且呢，满足a² + b² = c²。
那咱们怎么证明这个三角形是直角三角形呢？咱们可以用一个很巧妙的方法。
咱们先构造一个直角三角形，让这个直角三角形的两条直角边分别等于a和b。
那根据勾股定理，这个构造出来的直角三角形的斜边就应该是根号下(a² + b²)，可咱们前面已经知道a² + b² = c²了，所以这个斜边就等于c。
这时候咱们就可以把原来的那个三角形和咱们构造出来的这个直角三角形放在一起比一比。
你看啊，这两个三角形，它们有两条边是完全相等的，就是a和b。
然后斜边也相等，都是c。
那根据三角形全等的判定方法，三边对应相等的两个三角形全等。
所以呀，原来的那个三角形和咱们构造出来的这个直角三角形就是全等的。
既然是全等的，那原来的那个三角形肯定也是直角三角形啊，因为咱们构造出来的那个就是直角三角形嘛。
这就好像是两个人，穿着一模一样的衣服，长得也一模一样，那其中一个是医生，另一个肯定也是医生呀，因为他们完全一样嘛。
再从另一个角度来看。
咱们可以把这个三角形放在坐标平面上。
假设这个三角形的三个顶点分别是A、B、C，坐标咱们可以随便设。
然后根据两点间距离公式，咱们可以算出AB²、BC²和AC²。
如果正好满足AB² + BC² = AC²，那咱们就可以通过向量的方法来证明角B是直角。
咱们可以把向量AB和向量BC表示出来，然后计算它们的点积。
如果点积等于0，那就说明这两个向量是垂直的，那角B就是直角了。
初二勾股定理逆定理证明方法
初二勾股定理逆定理证明方法
初二勾股定理逆定理是指在已知三角形三边长度的情况下，判断该三角形是否为直角三角形。
其逆定理为：若三边的长度满足勾股定理条件，即a+b=c，则该三角形为直角三角形。
为了证明初二勾股定理逆定理，我们可以采用以下方法：
方法一：通过计算
1. 已知三角形的三边边长为a、b、c，且满足a+b=c。
2. 计算a、b和c的值。
3. 判断a+b是否等于c。
- 若等于，说明三角形满足勾股定理，是直角三角形。
- 若不等于，说明三角形不满足勾股定理，不是直角三角形。
方法二：利用勾股定理的性质
1. 已知三角形的三边边长为a、b、c，且满足a+b=c。
2. 假设三角形不是直角三角形。
3. 根据假设，评估三角形的类型：锐角三角形或钝角三角形。
4. 假设三角形是锐角三角形，根据锐角三角形的特点，有a+b>c。
5. 假设三角形是钝角三角形，根据钝角三角形的特点，有a+b<c。
6. 可以看到，无论假设三角形是锐角三角形还是钝角三角形，都与已知条件（a+b=c）相矛盾。
7. 因此，根据反证法，假设不成立，说明三角形必定是直角三角形。
以上是初二勾股定理逆定理的证明方法。
通过计算三边长度或利用勾股定理的性质，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
这个逆定理的应用可以帮助我们在解决实际问题时，更准确地判断三角形的类型。
勾股定理的逆定理的证明方法
勾股定理的逆定理的证明方法勾股定理的逆定理是指：若在一个三角形中，边长满足a^2 + b^2 = c^2，则此三角形为直角三角形，其中c为斜边，a、b为两条其他边的长度。
这个定理的证明方法主要有几种，下面将分别进行介绍。
证明方法一：利用相似三角形的性质假设一个三角形ABC，其中∠C为直角，边长满足a^2 + b^2 = c^2。
我们需要证明∠A和∠B都为直角。
我们通过观察可以发现，三角形ABC和三角形ACB的三个角分别相等，即∠A = ∠ACB，∠B = ∠ABC。
由于∠C为直角，则∠A和∠B 的和必须为180°。
因此，若∠A或∠B不为直角，则另一个角必然为直角。
假设∠A不为直角，则∠B为直角。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：a/sinA = c/sinCb/sinB = c/sinC将等式两边进行平方，可以得到：(a/sinA)^2 = (c/sinC)^2(b/sinB)^2 = (c/sinC)^2由于a^2 + b^2 = c^2，我们可以将等式进行代入，得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = 1根据三角恒等式sin^2A + cos^2A = 1，我们可以得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = (cosA)^2 + (sinA)^2 = 1由此可见，当∠A不为直角时，∠B必然为直角。
同理，当∠B不为直角时，∠A必然为直角。
因此，根据勾股定理的逆定理，我们可以得出结论：若在一个三角形中，边长满足a^2 + b^2 = c^2，则此三角形为直角三角形。
证明方法二：利用三角函数的性质假设一个三角形ABC，其中∠C为直角，边长满足a^2 + b^2 = c^2。
我们需要证明∠A和∠B都为直角。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：a/sinA = c/sinCb/sinB = c/sinC将等式两边进行平方，可以得到：(a/sinA)^2 = (c/sinC)^2(b/sinB)^2 = (c/sinC)^2由于a^2 + b^2 = c^2，我们可以将等式进行代入，得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = 1根据三角恒等式sin^2A + cos^2A = 1，我们可以得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = (cosA)^2 + (sinA)^2 = 1由此可见，当∠A不为直角时，∠B必然为直角。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股逆定理的证明方法
勾股逆定理的证明方法一、引言勾股定理是初中数学中最基础的定理之一，指的是直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和。
而勾股逆定理则是指，如果一个三元组(a,b,c)满足a²+b²=c²，那么这个三元组就可以构成一个直角三角形。
本文将介绍证明勾股逆定理的几种方法。
二、几何证明法1. 图形法：画出一个以a,b,c为边长的三角形，在c边上作高h，则有：a²=h²+(c-b)²b²=h²+(c-a)²将两式相加得：a²+b²=2h²+2c²-2ac-2bc+2ab又因为a²+b²=c²，所以有：c²=2h²+2c²-2ac-2bc+2ab化简可得：h=(a+b-c)/2即可证明(a,b,c)可以构成一个直角三角形。
2. 面积法：假设以a,b,c为边长的三角形面积为S，则有：S=1/2 * a * h = 1/2 * b * h = 1/2 * c * h其中h为以c为底边的高。
将上式代入可得：S=1/4 * sqrt[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]又因为S=1/2 * ab/2 = 1/4 * c * sqrt(a²+b²)，所以有：c²=a²+b²即可证明(a,b,c)可以构成一个直角三角形。
三、代数证明法1. 平方差分法：将c²-a²-b²代入(a,b,c)的条件，得：c²-a²-b²+2ab-2ab=0移项整理可得：(c+a-b)(c-a+b)=2ab因为a,b,c都是正整数，所以(c+a-b)和(c-a+b)都是正整数。
而且它们的积等于2ab，因此它们中必有一个是偶数。
不妨设(c+a-b)为偶数，则有：c+a-b=2mc-a+b=2n其中m,n均为正整数，且mn=ab。
证明直角三角形的方法
证明直角三角形的方法直角三角形是指一个三角形的一个角度为90度的三角形。
证明直角三角形的方法有多种，以下列举几种常见的方法。
在证明前，我们先假设有一个三角形ABC，边长分别为a，b，c，且角A为直角。
方法一：勾股定理证明勾股定理是其中一个最常用的证明直角三角形的方法。
勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边边长。
在证明时，我们可以通过验证这个等式是否成立来证明三角形ABC为直角三角形。
证明步骤如下：1. 将三角形ABC的三边长度分别记为a，b，c。
2. 根据直角三角形的定义，假设角A为直角角度。
3. 根据三角形的定义，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2。
4. 证明c^2 = a^2 + b^2的方法有多种，其中一种常用的方法是通过代入角度的正弦、余弦或正切关系来证明。
- 使用正弦关系证明：由正弦定理，我们可以得到a/sin(A) = c/sin(C)和b/sin(B) = c/sin(C)，其中C为角C的角度。
如果角A为90度，那么sin(A) = 1，由此可得a = c*sin(C)。
同理，由角B为90度可得出b = c*sin(C)。
将a 和b的表达式代入c^2 = a^2 + b^2，我们有c^2 = (c*sin(C))^2 +(c*sin(C))^2 = c^2*sin^2(C) + c^2*sin^2(C) = 2c^2*sin^2(C)。
可得出sin^2(C) = 1/2，即sin(C) = 1/sqrt(2)。
由此可得C的度数为45度，即角C为45度。
- 使用余弦关系证明：由余弦定理，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cos(C)。
如果角A为90度，那么cos(A) = 0，由此可得c^2 = a^2 + b^2。
同理，由角B为90度可得出c^2 = a^2 + b^2。
因此，c^2 = a^2 + b^2的等式成立。
- 使用正切关系证明：由正切定理，我们可以得到tan(A) = a/b和tan(B) = b/a。
勾股定理的逆定理与推论
勾股定理的逆定理与推论勾股定理是数学中的重要定理，描述了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
但是，定理的逆定理和推论同样具有重要的意义，它们在解决实际问题以及深入理解勾股定理的应用中起着重要的作用。
本文将介绍勾股定理的逆定理和若干重要的推论。
逆定理：勾股定理的逆定理又称为勾股定理的逆命题，它陈述了与勾股定理相反的情况，即如果一个三角形的三边满足平方和的关系，那么它一定是直角三角形。
这一逆定理可以表示为：若一个三角形的三边a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么该三角形一定是直角三角形。
证明：为了证明勾股定理的逆定理，我们可以采用反证法。
假设存在一个三角形ABC，它的三边a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，但是该三角形不是直角三角形。
那么我们可以假设∠ABC为锐角或钝角。
情况一：假设∠ABC为锐角。
根据余弦定理，我们有c^2 = a^2 +b^2 - 2abcos∠C。
由于∠C为锐角，cos∠C大于0，所以c^2 小于 a^2+ b^2，与已知条件矛盾。
情况二：假设∠ABC为钝角。
同样根据余弦定理，我们有c^2 =a^2 + b^2 - 2abcos∠C。
在钝角情况下，cos∠C小于0，所以c^2 大于a^2 + b^2，与已知条件矛盾。
综上所述，无论∠ABC为锐角还是钝角，假设都产生了矛盾，所以该三角形一定是直角三角形。
证毕。
推论一：基于勾股定理，我们可以推出一个重要的推论：在一个直角三角形中，斜边的长度大于任何一个直角边的长度。
这可以表示为：设三角形ABC为直角三角形，∠C为直角，那么c > a，c > b。
推论二：我们还可以推导出勾股定理的推论：如果一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，那么该三角形必定是等腰直角三角形。
设三角形ABC为直角三角形，∠C为直角，那么若a^2 + b^2 = c^2，那么a = b。
推论三：勾股定理也可以应用在求解数学问题中。
勾股定理逆定理八种证明方法
勾股定理逆定理八种证明方法本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。
过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。
斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴ ∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC =180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴ .【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股逆定理的证明方法
勾股定理是数学中一个经典且重要的定理，它被广泛应用于几何学和物理学等领域。
而勾股定理的逆定理，即勾股逆定理，同样具有重要的意义和应用。
本文将从数学推导和几何解释两个方面，探讨勾股逆定理的证明方法。
一、数学推导勾股逆定理是勾股定理的逆命题，即对于给定的三条边长a、b、c，若满足a² + b² = c²，则这三条边构成一个直角三角形。
下面将介绍两种常见的证明方法。
1.代入法通过代入法，可以证明勾股逆定理。
假设a、b、c分别是一个三角形的三条边长，若满足a² + b² = c²，则需要证明这三条边构成直角三角形。
令a、b、c满足a² + b² = c²，假设c为最长边。
若c² = a² + b²，则有c² =a² + b² ≥ 2ab（根据算术平均与几何平均不等式）。
根据三角形的性质得知，两边之和大于第三边，即a + b > c。
结合前面的不等式可得：c² ≥ 2ab > (a + b)²，展开计算可得：c² > a² + 2ab + b² = (a + b)²。
a +b > c，而c又是三角形的最长边，所以a、b、c构成一个直角三角形。
2.几何法勾股逆定理的证明还可以通过几何法来进行。
假设三边a、b、c可以构成一个直角三角形，那么需要证明它们满足a² + b² = c²。
假设a、b、c的平方分别代表了三个小正方形的面积，且这些小正方形分别位于三角形的三边上。
根据几何知识可得，通过将两个小正方形放置在直角边上，可以拼成一个较大的正方形，其面积等于斜边上的小正方形的面积。
根据上述推理，可以通过图形来证明。
假设我们有一个边长为c的正方形，将其四个顶点命名为A、B、C和D，如图所示：C ┌------┐ D| || || |A └------┘ B可以将这个正方形逆时针旋转90度，使得边AB与边AC重叠，如图所示：C ┌------┐| || |B ─-------A此时，可以发现A、B和C形成了一个直角三角形。
直角三角形勾股定理以及与它的逆定理的证明
利用相似三角形的性质证明
总结词
通过证明两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质来证明勾股定理的逆定理。
详细描述
首先，根据勾股定理，直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方。如果一个三角形的三边满足 这个条件，那么这个三角形必定是直角三角形。因此，如果一个三角形的一边满足勾股定理的条件， 那么这个三角形必定是直角三角形。
毕达哥拉斯证明法
毕达哥拉斯学派给出了勾股定理的一个证明方法，主要利用了三角形的面积和勾 股定理的关系。
毕达哥拉斯学派首先证明了直角三角形的面积等于两个直角边长的乘积的一半， 然后利用勾股定理证明了直角三角形的斜边长等于两个直角边长的平方和的平方 根。
勾股定理的代数证明法
代数证明法是利用代数方法来证明勾 股定理的一种方法。
物理学
在研究地球或其他天体的运动时，可以利用勾股 定理来计算距离和角度。
三角函数
在计算三角函数时，可以利用勾股定理来求解一 些未知数。
02
勾股定理的证明
欧几里得证明法
欧几里得在《几何原本》中给出了勾 股定理的证明，主要利用了相似三角 形的性质和等腰直角三角形的性质。
欧几里得首先构造了两个直角三角形 ，一个直角在直角顶点，另一个直角 在斜边的中点。然后利用相似三角形 的性质证明了勾股定理。
首先，代数证明法通过构造一个方程 来表达勾股定理，然后通过解方程来 证明勾股定理。这种方法比较抽象， 但是可以适用于任何形式的勾股定理， 包括非直角的三角形。
03定理逆定理定义
如果一个三角形的三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形。
直角三角形勾股定理以及与 它的逆定理的证明
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的证明 • 勾股定理逆定理的介绍 • 勾股定理逆定理的证明 • 勾股定理与逆定理的扩展
勾股定理逆定理推导过程
勾股定理逆定理推导过程勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中直角边与斜边之间的关系。
而勾股定理的逆定理则描述了一个三边长能够构成直角三角形的条件。
本文将从勾股定理的逆定理出发，推导其推导过程。
勾股定理逆定理的表述如下：如果一个三角形的三边长满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，其中c为斜边，a和b为直角边。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b和c。
根据逆定理的表述，我们可以得知如果a² + b² = c²成立，则三角形ABC是直角三角形。
为了证明这一结论，我们可以利用反证法。
假设三角形ABC不是直角三角形，即不存在直角。
那么根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即a + b > c、a + c > b和b + c > a。
我们首先假设 a + b = c，即两条直角边之和等于斜边。
根据勾股定理，我们可以得到a² + b² = c²。
然而根据逆定理的假设，a² + b² = c²，因此这与假设矛盾。
所以假设a + b = c是不成立的。
然后我们假设 a + b > c，即两条直角边之和大于斜边。
根据勾股定理，我们可以得到a² + b²< c²。
然而根据逆定理的假设，a² + b² = c²，因此这与假设矛盾。
所以假设a + b > c是不成立的。
同理，我们可以证明假设a + c > b和b + c > a也是不成立的。
假设三角形ABC不是直角三角形的假设是错误的。
因此，如果一个三角形的三边长满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形。
通过上述推导过程，我们可以得出勾股定理的逆定理的结论：如果一个三角形的三边长满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形。
勾股定理逆定理的内容及证明方法
勾股定理逆定理的内容及证明方法如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角。
本文整理了勾股定理逆定理的内容及其证明方法。
勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。
若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。
如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。
如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理逆定理的证明方法如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a²+b²=c²。
求证∠ACB=90°证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。
∵∠B=∠B,∠A=∠HCB∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)∴AB/BC=BC/BH，即BH=a²/c而AH=AB-BH=c-a²/c=(c²-a²)/c=b²/c∴AH/AC=(b²/c)/b=b/c=AC/AB∵∠A=∠A∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)∴∠AHC=∠CHB∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°∴∠AHC=∠CHB=90°∴∠ACB=∠AHC=90°勾股定理的证明方法做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。
发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为(a+b)的正方形;四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为(a+b)的正方形。
所以可以看出以上两个大正方形面积相等。
勾股定理逆定理的证明过程
勾股定理逆定理的证明过程1. 前言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个古老又有趣的数学话题——勾股定理的逆定理。
说到勾股定理，大家肯定不会陌生吧？就是那条关于直角三角形的经典法则：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
哎呀，这玩意儿可是从小就教我们，一直听到耳朵起茧。
不过，今天咱们要讲的逆定理，可能让你觉得有点意想不到哦！2. 勾股定理的逆定理是什么？2.1 逆定理的概念好啦，先给大家科普一下，勾股定理的逆定理到底是个啥。
简单来说，逆定理就是如果你有一个三角形，它的三条边满足a² + b²= c²，那这个三角形肯定是直角三角形。
哇塞，这不是在说“我只要看你边长，就能知道你是不是直角”的意思吗？是的，这个逆定理简直是数学界的“透视眼”啊。
2.2 生活中的应用说到这里，很多朋友可能会想，咱们生活中用得着这个吗？其实，真有用！比如说，你在公园里放风筝，看到一棵树，想知道风筝线与地面的夹角，嘿，运用这个逆定理，你就能轻松判断出三角形的性质，别说我教你坏了哦。
更别提建筑、设计等行业，逆定理可是个好帮手！3. 证明过程3.1 准备工作说到证明，这可不是随便说说就行的，咱们得有点准备工作。
首先，咱们设想一个三角形，边长分别是 a、b 和 c，其中 c 是最长的边。
按照我们的逆定理，假如a² + b² = c²，那我们就能得出这个三角形是直角三角形。
3.2 证明步骤现在，咱们来一步步走这个证明的路。
首先，假设三角形ABC 的边长分别是a、b、c，其中 c 是斜边。
按照勾股定理，我们要验证a² + b² = c²。
为了好理解，我给大家举个例子：假设 a = 3，b = 4，c = 5。
你把这几个数字代进去试试，3² + 4² = 9 + 16 = 25，而5² = 25，哇，果然成立！接下来，如果a² + b² 成立，那么就可以通过作辅助线的方法来证明这个三角形是直角三角形。
勾股定理20种证明方法
勾股定理20种证明方法勾股定理是中国古代数学中的一个重要定理，也被称为勾股三角形定理，它是指直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理的发现和证明有很多方法，下面我们来看看20种不同的证明方法。
1. 几何方法：这是最常见的证明方法，可以通过绘制直角三角形，然后运用几何知识来证明。
2. 代数方法：可以通过代数运算来证明，将直角三角形的三边长度表示为变量，然后通过代数运算得出结论。
3. 物理方法：可以利用物理学知识，比如平面几何法，来证明勾股定理。
4. 数学归纳法：可以运用数学归纳法来证明勾股定理，将直角三角形的边长依次递增，然后证明其中一个等式成立，推导出其他情况。
5. 解析几何法：可以通过解析几何的方法，利用坐标系和直线方程来证明勾股定理。
6. 函数法：可以通过函数图像和函数性质来证明勾股定理。
7. 同余定理方法：可以通过同余定理来证明勾股定理。
8. 三角函数方法：可以运用三角函数的性质和公式来证明勾股定理。
9. 相似三角形方法：可以通过相似三角形的性质来证明勾股定理。
10. 斜率方法：可以运用直线的斜率来证明勾股定理。
11. 反证法：可以通过反证法来证明勾股定理，假设直角三角形的三边不符合勾股定理，然后推导出矛盾。
12. 三角形面积法：可以通过计算直角三角形的面积来证明勾股定理。
13. 欧拉定理法：可以通过欧拉定理来证明勾股定理。
14. 空间几何法：可以将直角三角形的顶点放置在空间中，运用空间几何知识来证明勾股定理。
15. 弦与切线相交定理：可以利用弦与切线相交的性质来证明勾股定理。
16. 数列方法：可以通过构造数列，运用数列的性质来证明勾股定理。
17. 微积分方法：可以通过微积分的知识来证明勾股定理。
18. 统计方法：可以通过统计实验来证明勾股定理，比如通过大量的直角三角形数据验证勾股定理成立。
19. 推广方法：可以通过勾股定理的推广形式来证明勾股定理，比如勾股定理的逆定理。
20. 全等三角形法：可以通过全等三角形的性质来证明勾股定理。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
初中数学 如何证明勾股定理的逆定理
初中数学如何证明勾股定理的逆定理。
要证明勾股定理的逆定理，也就是证明如果一个三角形的三边满足边长关系a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
证明勾股定理的逆定理可以采用逆向的思路，即从边长关系出发，通过推导和推理，最终得到结论。
以下是一种可能的证明方法：假设我们有一个三角形ABC，其中边长满足a² + b² = c²。
步骤1：假设∠C不是直角假设∠C不是直角，即∠C < 90°或∠C > 90°。
步骤2：考虑∠C < 90°的情况如果∠C < 90°，那么根据三角形的性质，边c是∠C的对边，边a和边b是∠C的两条直角边。
根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠A + ∠B + ∠C = 180°。
将其代入上述假设中，得到∠A + ∠B + ∠C < 180°，进一步推导可得∠A + ∠B < 90°。
然而，根据三角形内角和为180°，∠A + ∠B = 90°，这与假设不符，因此假设∠C < 90°的情况不成立。
步骤3：考虑∠C > 90°的情况如果∠C > 90°，那么边c是∠C的对边，边a和边b是∠C的两条直角边。
根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠A + ∠B + ∠C = 180°。
将其代入上述假设中，得到∠A + ∠B + ∠C > 180°，进一步推导可得∠A + ∠B > 90°。
然而，根据三角形内角和为180°，∠A + ∠B = 90°，这与假设不符，因此假设∠C > 90°的情况不成立。
步骤4：得出结论由于假设∠C不是直角的两种情况都不成立，所以只能得出结论：当一个三角形的三边满足边长关系a² + b² = c²时，这个三角形一定是直角三角形。
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勾股定理逆定理八种证明方法集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]证法1作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。
过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF =90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。
斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。
把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ，∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，∴∠ABG +∠CBJ= 90°，∵∠ABC= 90°，∴G,B,I,J在同一直线上，。
证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE 于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即证法5《几何原本》中的证明在欧几里得的一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。
设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。
从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二，其面别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。
（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。
其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的。
此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
分别CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是对应的，同理可证B、A和H。
∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。
因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。
因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²；。
同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。
把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。
由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的证法6（欧几里得（Euclid）射影定理证法）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高通过证明三角形相似则有射影定理如下：⑴（BD）2;=AD·DC，⑵（AB）2;=AD·AC ，⑶（BC）2;=CD·AC。
由公式⑵+⑶得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；，图1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。
图1证法6在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。
于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2;=c2；化简后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的别名勾股定理，是中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在和其他学科中也有着极为广泛的应用。
正因为这样，世界上几个都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为，另一直角边称为，斜边称为，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。
还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年，希腊的着名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。
为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．前任美国第二十届总统证明了勾股定理（1876年4月1日）。
1 周髀算经，文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。
2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与的关系。
刊於《汉学研究》， 1989年第7卷第1期，255-281页。
3. 李国伟：论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。
刊於《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月， 227-234页。
4. 李继闵：商高定理辨证。
刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。
5. 曲安京：商高、赵爽与关於勾股定理的证明。
刊於《数学传播》20卷，台湾，1996年9月第3期， 20-27页证法7达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的都有这么个共同点。
观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。
然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。
证明：第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S 正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF2+OE2=E'F'2因为E'F'=EF所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。
证法8从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直角三角形。
（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2; - b2;+ a2;= c2; a2; + b2;= c2; 注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。