勾股定理逆定理八种证明方法

勾股定理逆定理八种证

明方法

集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

证法1

作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF =90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

证法2

作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90°，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90°，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

∴ ∠，

又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即

证法3

作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ，

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，

∴∠ABG +∠CBJ= 90°，

∵∠ABC= 90°，

∴G,B,I,J在同一直线上，

。

证法4

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE 于点L.

∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ 即

证法5

《几何原本》中的证明在欧几里得的一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于

△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

证法6（欧几里得（Euclid）射影定理证法）

如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高通过证明三角形相似则有射影定理如下：

⑴（BD）2;=AD·DC，

⑵（AB）2;=AD·AC ，

⑶（BC）2;=CD·AC。由公式⑵+⑶得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；，图1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。图1

证法6

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2;=c2；化简后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：

c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的别名勾股定理，是中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为，另一直角边称为，斜边称为，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后一二百年，希腊的着名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．前任美国第二十届总统证明了勾股定理（1876年4月1日）。

1 周髀算经，文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。

2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与的关系。刊於《汉学研究》， 1989年第7卷第1期，255-281页。

3. 李国伟：论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月， 227-234页。

4. 李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。

5. 曲安京：商高、赵爽与关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷，

台湾，1996年9月第3期， 20-27页

证法7

达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式