组合数学第二章

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组合数学课件第二章第四节整数的拆分

2.8：整数的拆分
定理2.8.1 正整数r拆分成不同正整数和的拆分数，等于拆分成奇正整数的拆分数？
对比7拆分成不同正整数之和的拆分数和拆分成奇数和的拆分数。
解：7拆分成不同正整数和的所有形式如下：
7，6+1，5+2，4+3，4+2+1共5种
解：7拆分成奇数和的所有形式如下： 7，5+1+1， 3+3+1， 3+1+1+1+1，
任何一个奇数都可表示成 2n+1这种形式。
每一个奇数都及右图这样的自共轭费勒斯图像一一对应。
n拆分成若干奇数和可以如下表示： n=(2n1+1)+(2n2+1)+…+(2nk+1)
第三十一页，共35页。
2.9 费勒斯（Ferrers)图像
例如：17=9+5+3，求所对应的自共轭费勒斯图像。
首先将9写成2×4+1,按此构造自共轭费勒斯图像。
第二行，第二列各n2+2格，对应于 2n2+1。
以此类推。由此得到的Ferres图像是自共轭的。
第三十三页，共35页。源自2.8：整数的拆分例1 若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出几种可能的重量。
允许空盒，因此常数项为零，单独第一盒的母函数可构造为：x+x2+ …+xn+…
其它盒也有同样的情况，共m个盒子。
G (x)(xx2...x)x (2...)x .x .2. (...) 第一第盒二第盒 m 盒
第二十二页，共35页。
2.8：整数的拆分
xm (1 x ) m

组合数学第二章鸽巢原理

令m,n互素, 0 a m-1, 0 b n-1, 则方程组 x a mod m x b mod n
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.

应用组合数学第二章答案

7! 2!(7−2)!
=
7! 2!5!
and C (7, 5) =
7! 5!(7−5)!
=
7! 5!2! ;
8 7(b). C (6, 4) =
6! 4!(6−4)!
Answers to Selected Exercises =
6! 4!2!
and C (6, 2) =
6! 2!(6−2)!
=
6! 2!4! ;
n+1 2
× 3 × 10−9 . × 3 × 10−11 .
8(a). n × 3 × 10−11 . 8(b).
n+1 2
Section 2.5 . 1(a). 3 · 2; 1(b). 5 · 4 · 3; 1(c). 8 · 7 · 6 · 5 · 4; 1(d). 0; 2(a). 63 ; 2(b). 6 · 5 · 4; 2(c). 1 · 6 · 6; 2(d). 1 · 5 · 4; 3(a). 84 ; 3(b). 8 · 7 · 6 · 5; 3(c). 1 · 8 · 8 · 8;
8. 1 7 21 35 35 21 7 1; 9. C (5, 3) =
5! 3!2!
= 10, C (4, 2) =
4! 2!2!
= 6, C (4, 3) =
4! 3!1!
= 4, and 10 = 6 + 4; = 6, and 21 = 15 + 6;
10. C (7, 5) =
7! 5!2!
4
Answers to Selected Exercises
Applied Combinatorics
by Fred S. Roberts and Barry Tesman

组合数学第二章二章六节

应用举例：斐波那契数列求解
• 斐波那契数列定义：$F_0 = 0, F_1 = 1, Fn = F{n-1} + F_{n-2} (n \geq 2)$
应用举例：斐波那契数列求解
生成函数求解
设斐波那契数列的生成函数为$F(x) = sum_{n=0}^{infty} F_n x^n$
根据递推关系和初始条件，得到$F(x) = x + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + cdots$
05
生成函数与递推关系
生成函数定义及性质
乘积性质
两个生成函数的乘积对应于序列的卷积。
线性性质
生成函数的线性组合对应于序列的线性组合。
微分性质
生成函数的微分对应于序列的差分。
定义
生成函数是一种将离散数学中的序列通过幂级数形式表示出来的函数，常用于组合数学中的计数
问题。
积分性质
生成函数的积分对应于序列的部分和。
04
容斥原理与错排问题
容斥原理表述与证明
容斥原理的表述
对于两个集合A和B，它们的并集元素个数等于各自元素个数之和减去它们的交集元素个数，即∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
容斥原理的证明
通过分类讨论和数学归纳法可以证明容斥原理的正确性。
应用举例：错排问题求解
错排问题的定义
在n个元素的全排列中，不是其自然排列（即每个元素都不在其原来的位置上）的排列称为错排。
递推关系建立与求解方法
02
01
03
建立递推关系通过组合问题的具体背景，分析问题的递推结构。利用已知的初始条件和边界条件，建 Nhomakorabea递推关系式。

组合数学第二章课后习题答案

2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。

解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。

卢开澄组合数学--组合数学第二章

_)____xA_(_x_) __a_1_x __a2_x_2 ____
(1 9x)B(x) xA(x) 1
故得关于母函数 A(x) 和 B(x) 得连立方程组：
{ (1 9x) A(x) xB(x) 8 xA(x) (1 9x)B(x) 1
§2.2 递推关系
C(n,0)C(m,0)
(2 -1- 3)
正法如下：
(1 x)n (11/ x)m xm (1 x)mn
§2.1 母函数
[C(n,0) C(n,1)x C(n, n)xn ] [C(m,0) C(m,1)x1 C(m, m)xm]
xm[C(m n,0) C(m n,1)x C(m n,2)x2 C(m n, m n)xmn
C(n,0),C(n,1),,C(n, n)
的关系时所起的作用。对其他序列也有同样的结果。现引进母函数概念如下：
定义：对于序列 a0, a1, a2,, 构造一
函数：
G(x) a0 a1x a2x2 ,
称函数G(x)是序列a0, a1, a2,的母函数
§2.1 母函数
(1 x)n
例如
C(n,0),C(n,1),,C(n, n)
如若已知序列 a0 , a1, a2,,则对应的母函
数G(x)便可根据定义给出。反之，如若以求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。
序列 a0, a1, a2,, 可记为{an}。
§2.2 递推关系
利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中经常用到，举例说明如下：

A
B
C
§2.2 递推关系
上述算法是递归的运用。n=2时已给出算法；n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到柱C上。N=4，5，…以此类推。

组合数学第二章习题解答

1 1 2 2 n 1 G(x) = +2 x +...(n +1) x +... 1− x 1− x 1− x
1+ x G(x) = (1− x)4
2.13已知
an = ∑k ,
3 k =1
n+1
1+ 4x + x2 ∞ = ∑(n +1)3 xn (1− x)4 n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+ (1+ 23)x + (1+ 23 + 33)x2 +... + (1+ 23 +... + (n +1)3)xn +... G(x) = (1+ x + x2 +...) + 23 x(1+ x + x2 +...) +...(n +1)3 xn (1+ x + x2 +...) +...
227求下列递推关系的一般解4an1特解为两端同除以代入得特解为因此一般解为特解为两端同除以代入得特解为227求下列递推关系的一般解4an1一般解为代入替推关系的特解为hnhn一般解为代入替推关系的特解为hnhn一般解为代入替推关系的特解为按叠加原理228lnlnlnln10lnlnlnlnln代入特征根为两边求对数230lnlnlnlnln12ln代入特征根为两边求对数231是常数因此233f0f1f2是费卜拉契序列求解
第二章习题
2.3 已知序列{C(3,3),C(4,3),...,C(n+3,3),...},求母函数。
G(x) =1+ 4x +10x2 +... + C(n + 3,3)xn +... =1+ 4x +10x2 +... + C(4 + n −1 n)xn +... , = 1 (1− x)4

组合数学第四版 (Richard A[1].Brualdi 著) 机械工业出版社作业答案

解法 1 因此，
对任意非负整数 n 和 k， (k 1) 即，， (n 1) k k k 1 k 1 k 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 (1) n 2 1 3 2 4 3 n 1 n
k 1 k 1 k n 1 k 1 n 1 (1) k 0 n
w.

k 0
da
(1) k n 1 1
n 1 k 1
课
后
2n (3 (1)) n
n n nk n nk k 3 ( 1 ) k (1)k k 3 k 0 k 0
a1 , a 2 , , a 37 和 a1 13, a 2 13,, a 37 13 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间
co
m
③ 考虑 6 位整数。最高位不能为 0，因此 8 位整数有 7 P(7, 5) 个。 ④ 考虑 5 位整数。最高位不能为 0，因此 8 位整数有 7 P (7, 4) 个。 ⑤ 考虑 4 位整数。若千位数字大于 5，有 3 P(7, 3) 个。若千位数字等于 5，则百位数字必须大于等于 4，有 4 P(6, 2) 个。
至少已拿出 12 个相同种类的水果。因此，需要 45 分钟。 17. 证明：在一群 n 1 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
w.
证明因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从 0 到 n 1 的整数。若有两个人的熟人的数目分别是 0 和 n 1 ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。因此，这 n 个人的熟人的数目是 n 1 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。

卢开澄《组合数学》习题答案第二章

2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。

解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。

解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B AG （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。

解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。

组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数

1080x 4 7380x 5 x 20
2.1母函数
2.1母函数
例甲、乙、丙3人把n（n≥3）本相同的书搬到办公室，要求甲和乙搬的本数一样多，问共有多少种分配的方法？解： ( x) 1 x 2 x 4 x 2k 1 x x 2 x k G
= (1+x2+x4)2(1+x)2x15 = (1 +x +x2 +x3 +x4 +x5)2x15 只需要多项式(1 +x +x2 +x3 +x4 +x5)2展开式中x5的系数就等于x20 的系数，由多项式定理：C20=6.
2.1母函数
例求不定方程3k1+4k2+2k3+5k4=n的非负整数解的个数。
2.3指数型母函数
例、求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数（每个数字可重复出现），要求其中3，7出现的次数为偶数，1， 5，9出现的次数不加限制。
2.3指数型母函数
例、求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数（每个数字可重复出现），要求1、3、7出现的次数一样多，5和9 出现的次数不加限制。求这样的n位数的个数。
2.1母函数
5 5 i 6 6 i 9 9 i G ( x ) x x x i i i i 1 i 1 i 2
2.2母函数的性质
2.2母函数的性质
2.2母函数的性质
2.2母函数的性质
2.2母函数的性质
2.2母函数的性质
2.2母函数的性质
2.2母函数的性质

卢开澄组合数学--组合数学第二章习题解答精品文档35页

（b）求序列an与bn的母函数。
（c）用Fibonacci数来表示 a n 与 b n 。
解：...
28. 设 F 1 F 2 1 ,F 1 F n 1 F n 2
（a）证明
F n F k F n k 1 F k 1 F n k , n k 1 （b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
解：...
9.利用 11221231262 ，
改善 §4(2) 的 p n估计式。
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位的分配量不超过3台，第2单位的分配量不超过4台，第3个单位不超过5台，问共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不同的且不相邻的Fibonacci数之和。即
（c）证明
FmFn Fmn2 Fmn6 Fmn10
FFmmnn21
当n是奇数，当n是偶数。
mn2.
（d）证明(F m ,F n ) F (m ,n ),(m ,n )为m,n
的最大公约数。
解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不
相邻的数，设此选取的方案为 f(n,k)。（a）求 f(n,k)的递推关系。
解：...
22. 求矩阵 3 1100 . 0 2
解：...
23. 求
n
n
Sn k(k1), Sn k(k2),
k0
k0
n
Sn k(k1)(k2).
k0
解：...
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条一条地画n条与圆相交的直线。当r是大于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如果无3条直线在圆内共点，这n条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？

组合数学第二章鸽巢原理课件

组合数学
利用鸽巢原理解决组合数学中的计数问题，如排列、组合等。
概率论
在概率论中，利用鸽巢原理研究随机事件的独立性和概率计算。
离散数学
离散数学中的图论、离散概率等分支也广泛应用鸽巢原理。
鸽巢原理在其他领域的应用
计算机科学
在计算机科学中，鸽巢原理被广泛应用于算法设计和数据结构分析。
信息理论
在过去的几十年里，鸽巢原理在数学、计算机科学和其他领域得到了广泛的应用和发展。它已经成为组合数学和离散概率论的一个重要组成部分。
鸽巢原理的应用场景
计算机科学
在算法设计和数据结构中，鸽巢原理可以用于解决各种问题，如数组和列表的操作、图的
着色等。
离散概率论
在离散概率论中，鸽巢原理可以用于研究随机事件的独立性和相互排斥性，以及概率分布的性质。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，尤其适用于证明否定形式的命题。在证明鸽巢原理时，可以先假设存在不符合鸽巢原理的情况，然后推导出矛盾，从而证明原命题。这种方法的关键在于找到合适的反证假设，并从中推导出矛盾。
构造证明法
总结词
通过构造具体的实例或反例来证明命题。
详细描述
构造证明法是一种直观、具体的证明方法。在证明鸽巢原理时，可以通过构造具体的实例或反例来证明命题。例如，可以构造一个具体的鸽巢和物品的例子，通过实例来证明鸽巢原理的正确性。这种方法可以直观地展示命题的正确性，但需要注意构造的实例或反例是否具有一般性。
直接证明法
总结词
通过直接逻辑推理，从已知条件出发，逐步推导结论。
详细描述
直接证明法是数学中最常用的证明方法之一。它基于已知条件和数学公理、定理等，通过逻辑推理逐步推导出结论。在证明鸽巢原理时，可以从已知条件出发，按照逻辑顺序推导出结论，无需引入其他假设或反证。

组合数学_第2章

xi
1i n
ln xi e exp( ln xi ) 1i n
第二章基本计数原理即积式可转化为和式来处理。条件xi＞0并无实质性的限制，因若某个 xi=0 ，则整个积式为 0 ，又恰有 k 项取负时，可先对（2.1.8）式两边乘(-1)k，以确保xi＞0，最后再将其恢复过来。
第二章基本计数原理 2.2.2 乘法原理(Multiplication Principle) 设 A， B为二不同类事件，若事件A有m种产生方式，事件B 有n种产生方式，则“事件A与事件B”有mn种产生方式用集合论的术语，乘法原理也可描述如下：设S，T为二集，若S为m元集，T为n元集，则S与T的叉积之集合S×T为mn元集。推广的乘法原理是：如果Ti为ni元集(i=1, 2, …, r)，则
0i k
a a
2i j 0
k
2j
第二章基本计数原理 3. 双下标
( a11 a12 a1n ) ( a21 a22 a2 n ) ( am1 am 2 amn )
1 j n
a
1j
a2 j
iN n
a
i
第二章基本计数原理命题 1 用和号∑表示的和式中，通项下标的改变不影响和式。例如
0i n
a , a 及 a
i 0 j n j 0 k n
k
都表示同一和式。当通项下标不取连续整数时，也希望能寻找一些规律，以便于用和式写出简单的表示式，下面给出一些特殊和式的例子。
第二章基本计数原理 · 对（2.1.9）式的算法 №1 输入N №2 M 1；（累乘器M置1） №3 对k=2, N, 做

组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理(2)

定理推广（2）将T 划分成E1, E2, … , Ek
设r,k≥1, qi≥r, i=1, 2, … , k, 是给定正整数，则存在一个最小的正整数R(q1, q2, … , qk; r)，使得当 n≥R(q1,q2,…,qk;r) 时, 当n元集S 的所有r 元子集划分成k 个子集族T1, T2, … , Tk，那么存在S 的q1 元子集A1, 其所有的r元子集属于T1, 或者存在S 的 q2元子集A2，A2的所有r 元子集属于T2, … ,或者存在S 的qk 元子集Ak, 其所有的r元子集属于Tk .
2013年7月9日第二章鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒子。则至少有一个盒子里含有r个或者更多的物品。推论2.2.2 若设有n个正整数m1 , m2 , … , mn 满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n > r－1, 则 m1,…, mn中至少有一个数≥ r 推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体
8 28 56 84 101 216 127 495 216 1031 282 1870
9 36 69 115 121 316 169 780 232 1713 317 3583 565 6588
10 40 43 92 149 141 442 178 1171 2826
6090
580 12677 798 23556
2013年7月9日
第二章鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体

组合数学习题答案.

第一章答案第二章答案第三章答案第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。