最新高中数学竞赛辅导试题
2023年高中数学竞赛试题
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2023年高中数学竞赛试题
2023年高中数学竞赛试题指的是由中国数学会等机构主办的全国性高中数学竞赛的考试题目。
这类竞赛通常是为了选拔数学成绩优异的学生,并为其提供更深入的数学学习机会。
以下是 2023年高中数学竞赛试题示例:
1、已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x = 1 和 x = -1 时取极值,且 f(-
2) = -4,求函数 f(x) 的解析式。
A. f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2
B. f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 4
C. f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2
D. f(x) = x^3 + 4x^2 - 2x - 4
2、一个四面体的所有棱长都为√2,则该四面体的体积为 ___.
A. 1/3
B. 1/4
C. 1/5
D. 1/6
最后总结:2023年高中数学竞赛试题是一套用于测试学生数学水平的试题,具有较高的难度和挑战性。
它通常包括选择题、填空题和解答题等多种题型,涵盖了代数、几何、数列、概率等多个数学领域的知识点。
通过参加这类竞赛,学生可以锻炼自己的数学思维和解题能力,同时也可以为未来的学术和职业发展打下坚实的基础。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题6 数列(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
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【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题6 数列 (50题竞赛真题强化训练)一、填空题1.(2020·江苏·高三竞赛)已知正实数a ,b ,c 满足16(3)ab bc ca a ++=≥,则2a b c ++的最小值为__________. 【答案】10 【解析】 【详解】解析:易知恒等式2()()a ab bc ca a b a c +++=++,而210a b c ++≥=,当且仅当3a =,2b c ==时,等号成立. 故答案为:10.2.(2021·全国·高三竞赛)已知22,,33x y x y ∈+=R ,则224x xy y ++的最大值为__________. 【答案】92【解析】 【分析】 【详解】222222944222x y x xy y x y ⎛⎫++≤+++= ⎪⎝⎭,当且仅当x y ==故答案为:92.3.(2021·全国·高三竞赛)已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++=,则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++的最小值为________. 【答案】12##0.5 【解析】 【详解】由柯西不等式知()()()22220201212232220112232021a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()2122201a a a ≥+++=,且()()()1223202012a a a a a a ++++++=,所以2222201212232020112a a a a a a a a a +++≥+++, 且当12202012020a a a ====时取到等号. 故答案为:12.4.(2021·全国·高三竞赛)实数a 、b 满足221a b +=,则max{,}ab a b +的最大值是___________. 【解析】 【详解】解析:不妨设0a b ≤≤,则:()22231(1)1(1)(33)3a b f abb f a a a a ≤⇒=+⇒=+-=+-413333342716a a ++-⎛⎫⋅⎪=≤ ⎝⎭, 当且仅当1,2a b ==故f5.(2021·全国·高三竞赛)已知圆22:1O x y +=与x 轴相交于A B 、两点,抛物线2:2C x py =与圆O 相交于C D 、两不同的点,则梯形ABCD 面积的最大值是___________. 【解析】 【详解】解析:设点()(),,0,1C x y x ∈,则梯形的面积为()1x y +, 而221x y +=消元,可得面积为(1S x =+故()()423311627(1)1(1)3333416S x x x x ⎛⎫=+-=+-≤⨯= ⎪⎝⎭,当且仅当12x =时等号成立,6.(2020·浙江·高三竞赛)设,0a b >,则22max min 2,b a b a b ⎛⎫⎧⎫+=⎨⎬ ⎪+⎩⎭⎝⎭__________.【解析】 【详解】设22min 2,b a b m a b ⎧⎫+=⎨⎬+⎩⎭,则222a b mb m a b +≥⎧⎪⎨≥⎪+⎩, 所以222(2)b m a b a b +⨯+≤.设给定的正实数λ,μ,令2211λμλμ=⎧⎨=+⎩,解得2λ=2μ=,所以2m ≤则()2222222222222222212a b ab b a b b m a b a b a b λμλμ+++++≤=+++≤当且仅当a,b =故m7.(2021·全国·高三竞赛)设,,0a b c >满足0a b c abc -++=,则222223111a b c -++++的最大值是___________. 【答案】103【解析】【详解】取ABC ,使1tan ,tan ,tan 222A B C a c b ===. 由于222222111cos ,sin ,sin 121212A B C a b c ===+++,所以2222cos2sin 3cos 222A B C-+ 2(1cos )(1cos )31sin 2C A B ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭22sin cos 31sin 222C A B C -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22113sin cos 3cos 23232C A B A B --⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭. 最大值为110333+=. 故答案为:103. 8.(2021·全国·高三竞赛)设n 是给定的正整数,12,,,n x x x 是非负实数,11ni i x ==∑,则1ni =___________.(1)n - 【解析】 【详解】1,① 事实上,两边平方后,化简可得上述不等式等价于2x +≥②由于()()12121211x x x x ++≥++,于是②式成立,所以①成立.1,最后可得1(1)(1)ni n n =--.③当1231,0n x x x x =====时,③中的“≥”即为“=”.(1)n -.(1)n -.9.(2021·浙江·高三竞赛)已知2221x y z ++=,则()()222332x x y z x -+的最小值为______. 【答案】1- 【解析】 【分析】 【详解】因为()22222333()()22M x x y z x x x z ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭2232x z ⎫=+⎪⎭()322222223332213x y x z x z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥≥-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 当1x =-,0y z ==时,取得最小值1-. 故答案为:1-.10.(2021·浙江·高三竞赛)使得()()223233a kab b k a b ++++a ,b 恒成立的k 最大实数为______. 【答案】9 【解析】 【分析】 【详解】 不妨设1ab =,则有()22321(3)()a b k k a b ++≥++,令,2t a b t =+≥,则有2222()22a b a b ab t +=+-=-.则有()2322(3)t k k t -+≥+,整理得23(3)260t k t k -++-≥. 即有(3(3))(2)0t k t ---≥,则33k t -≥恒成立,则有32,93k k -≤≥. 故答案为:9.11.(2021·浙江·高三竞赛)若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.【答案】【解析】 【分析】 【详解】令(sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭, ()222132112t t y t tt t-++===+≥当且仅当12t t =即2t =时取等号.故答案为:12.(2021·全国·高三竞赛)已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上,记PQR 、ABC 的面积分别为PQR S、ABCS,则PQR ABCS S的最小值为__________.【答案】15【解析】 【分析】 【详解】(1)当PQR 的直角顶点在ABC 的斜边上,如图1所示,则P ,C 、Q ,R 四点共圆,180APR CQR BQR ∠=∠=︒-∠,所以sin sin APR BQR ∠=∠.在APR △、BQR 中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==∠∠. 又45,A B PR QR ∠=∠=︒=,故AR BR =,即R 为AB 的中点. 过R 作RH AC ⊥于H ,则12PR RH BC ≥=, 所以22221124PQR ABCBC SPR SBC BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥=,此时PQR ABCS S 的最小值为14.(2)当PQR 的直角顶点在ABC 的直角边上,如图2所示.设1,(01),02BC CR x x BRQ παα⎛⎫==≤≤∠=<< ⎪⎝⎭,则90CPR PRC BRQ α∠=︒-∠=∠=. 在Rt CPR 中,sin sin CR xPR αα==,在BRQ 中, 31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=-, 由正弦定理,11sin 3sin sin sin cos 2sin sin sin 44x RQ RB x x B RQB απαααπα-=⇔=⇔=∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此222111122sin 2cos 2sin PQRx SPR ααα⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 这样,()()2222111cos 2sin 512cos sin PQR ABCS Sαααα⎛⎫=≥= ⎪+++⎝⎭, 当且仅当arctan 2α=时取等号,此时PQR ABCS S的最小值为15.故答案为:15.13.(2021·全国·高三竞赛)已知非负实数x 、y 、z 满足2224423x y z z +++=,则543x y z ++的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】 【详解】设22244(0)x y w w +=≥,则22(1)4w z ++=.又因为,0x y ≥,所以2222(22)448x y x y xy w +=++≥,54344323x y z x y z w z ++≥++≥+. 点(,)w z 在圆心为(0,1)-,半径为2的圆上运动,结合几何意义和w ,0z ≥知,当(,)(0,1)w z =时,23w z +有最小值3, 且当0,1x y z ===时等号成立. 故答案为:3.14.(2021·全国·高三竞赛)已知两个非零向量,m n 满足2,22m m n =+=,则2m n n ++的最大值是_____.【解析】 【分析】 【详解】设()()2,0,22cos ,2sin m m n x x =+=,则()cos 1,sin n x x =-.则:|2|||(cos m n n x ++===.当且仅当102cos 3(22cos )3x x +=-,即1cos 3x =.. 15.(2021·全国·高三竞赛)设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列,且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形,则a 的最小可能值为________. 【答案】10 【解析】 【分析】 【详解】设,a b k c b k =-=+为正整数,由于以555 a b c 、、为三边长可以构成一个三角形, 则55554235()()10202b k b b k b b k b k k -+>+⇔>++, 所以5410,10b b k b k >>,于是9a b k k =->,即有9110a k ≥+≥. 故答案为:10.16.(2021·全国·高三竞赛)设,0x y >,且满足x y -=,则x y +的最大值为_________. 【答案】12 【解析】 【分析】 【详解】注意到x y +=≤ 解得412x y -≤+≤,而7,5x y ==时取到最大值12. 故答案为:12.17.(2021·全国·高三竞赛)设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑,则120201min1iii k k a a ≤≤=+∑最大值为_________.【答案】1【解析】 【详解】解析:最大值为1-记01202011min,1,11ii i k ii k kk a S x a x a ≤≤====+=+∑∑,则1i i i a x x -=-,故111i i i i ix x xS x x ---≤=-,即11i ix S x --≥,对1,2,3,,2020i =,求和,并结合算术-几何平均不等式,有12020202010202012020202020202020(1)2020202022i i i x x S x x -=⎛⎫-≥≥⨯== ⎪⎝⎭∑,故2020112S ≤-,等号当120202020(2)(2)(1,2,3,,2020)i i i a i -=-=时取到.所以原式的最大值为2020112-.故答案为:2020112-.18.(2021·浙江·高三竞赛)一条直线上有三个数字1a ,2a ,3a ,数字2a 位于1a ,3a 之间,称数值1223a a a a -+-为该直线的邻差值.现将数字1~9填入33⨯的格子中,每个数字均出现,过横向三个格子、竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8条直线的邻差值之和的最小值为______,最大值为______. 【答案】 36 60 【解析】 【分析】 【详解】如图1,这8条直线的邻差值之和:9212387894147636951i i M a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==-+-+-+-+-+-+-+-+-∑,利用局部调整法,当(1,2,,9)i a i i ==⋯时,M 有最小值2226668436+++++++=. 当如图2排列时,M 有最大值8189(9823)224602i i =⨯++--⨯=+=∑. 故答案为:36,60.19.(2021·全国·高三竞赛)已知正整数n p 、,且2p ≥,设正实数12,,,n m m m 满足1111np i im==+∑,则12n m m m 的最小值为_______.【答案】(1)mp n - 【解析】 【分析】 【详解】令2tan ,0,,1,2,,2p i i i m x x i n π⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭.由题设可得22212cos cos cos 1n x x x +++=,于是:2222121cos cos cos sin n n x x x x -+++=,222221221cos cos cos cos sin n n n x x x x x --++++=,……2222231cos cos cos sin n x x x x +++=,将上述各式利用均值不等式得:2221(1)cos sin n n n x x --≤, 22221(1)cos sin n n n x x ---≤,……2231(1)cos sin n n x x -≤,再把上述n 个不等式相乘,得()2222221212(1)cos cos cos sin sin sin n n n n x x x x x x -≤,即22212tan tan tan (1)n n x x x n ≥-.由于2tan ,1,2,,p i i m x i n ==,故12(1)n pn m mm n ≥-,当且仅当1(1)p i m n =-时上式等号成立.故答案为:(1)mp n -. 二、解答题20.(2021·全国·高三竞赛)求所有的正实数a ,使得存在实数x 满足22sin cos22x x a a +≥.【答案】[1,)⎛⋃+∞ ⎝⎦【解析】 【详解】设22sin x t a =,则不等式化为20at t+-≥. 当01a <<时,2[,1]t a ∈;当1a =时,1t =;当1a >时,2[1,]t a ∈. 因此不等式可化为220t t a +≥-.设2()2f t t t a =-+,考虑()f t 在1和2a 之间恒小于零,则2(1)0,()0,0f f a a <<>, 故()()21110a a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩,1a <<.所以a的取值范围是[1,)⎛⋃+∞ ⎝⎦. 21.(2021·全国·高三竞赛)设m 为正整数,且21n m =+,求所有的实数组12,,,n x x x ,使得22221221i i nmx x x x x =++++,对所有1,2,,i n =成立.【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】第一步化简原式,第二步利用AM GM -不等式即可得到1k =或2m ,这两种情况是对称的,不妨证明1k =的时候成立,所以原式成立. 【详解】 由已知22121,1,2,,i i njj mx x i nx==+=⋅⋅⋅∑ ,得22121ni jj i mx x x ==-∑ ,故221i imx x -全相等.注意到若实数a b 满足2211a b a b =--,则ab a b =+,即1b a b =-.因此,1i b x b b ⎧⎫∈⎨⎬-⎩⎭,0,1,2,,b i n ≠=.设i x 中有1bb -,21n k m k -=+-个b ,则有201k m ≤≤+,且()2222221(1)1b mb k m k b b b ⋅++-=--, 即()21(1)21km k b m b ++--=-. 由AM GM -不等式,若201k m <<+, ()21(1)21km k b m b ++--≥≥-, 因此必取等,即1k =或2m ,这两种情况是对称的,不妨1k =,则 21(1)21m b m b +-=-, 知11b m -=,则1,1m b a m m+==+. 若0k =,则()21(1)2m b m +-=,即222(1)(1),12m m b a m m++==+. 若21k m =+,则2121m m b +=-,即222(1)(1),21m m b a m m ++==+. 综上可知,12,,,n x x x 要么1个21,+m m 个1m m +;要么全是22(1)1m m ++.22.(2021·全国·高三竞赛)求最大的正实数λ,使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ,均有010111.nnk k k kx x x x λ==≥+++∑∑.【答案】λ的最大值为3. 【解析】 【分析】先取101231,2,4,,2n n x x x x x -=====,通过对其求和可得λ的范围,再利用放缩法可得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++,最后求出最大的正实数λ的值.【详解】一方面,取101231,2,4,,2n n x x x x x -=====,得1111322nn k k λ-=-≥∑ 即 1113122n n λ-⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭. 令n →∞,得3λ≤.另一方面对正实数x ,y 有114x y x y+≥+,故0101114x x x x +≥+, 012012114x x x x x x +≥+++, 01230123114x x x x x x x x +≥+++++,……01101114n n nx x x x x x x -+≥++++++.以上各式相加,得 010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++.故3λ=时,原不等式恒成立.综上,λ的最大值为3. 23.(2021·全国·高三竞赛)已知01({0,1,,10})i x i <<∈证明:存在,{0,1,2,,10}i j ∈,使得()1030i j j i x x x x <-<. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 不妨1210x x x ≤≤≤,设()(,)i j j i f i j x x x x =-,当010i j ≤≤≤时,因为()()()22333i j j i i i j j j i j i x x x x x x x x x x x x -≤++-=-,即333(,)j i f i j x x ≤-,当且仅当i j =时,等号成立. 故()()10103311131,1i i i i f i i x x -==-<-<∑∑,所以存在{1,2,,10}i ∈,使得13(1,)10f i i -<,即1(1,)30f i i -<. 所以存在,{0,1,2,,10}i j ∈,使得()1030i j j ix x x x <-<. 24.(2020·浙江·高三竞赛)设非负实数x ,y ,z ,证明:113(1)(1)(1)x y z x y z -<++++++【答案】证明见解析 【解析】 【详解】证 设()111,1,11x a y b a b c z c +=⎧⎪+=≥≥≥⎨⎪+=⎩,问题等价于证明:11a b c abc -++,当a b c ++≥故即证:abc3a b c <++<而33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.设()3a b c x x ++=≥,探究327x3,⎡+⎣的大小, 即比较327x3,⎡+⎣的大小,227x =注意3211)2)22x x x x x =⋅⋅≤⋅=⎣⎦所以命题得证.25.(2021·全国·高三竞赛)已知正实数a 、b 、c ,满足333a b c +=,求证:2226()()a b c c a c b +->--.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】由于齐次,不妨令1c =,则()22()1a b a b ab ++-=.记3,,31,,01a b s ab t s st s t s +==-=>⇒> 22226()()867a b c c a c b s t s +----=-+-()32132418213s st s s s=-+-()3322113811821(85)(1)33s s s s s s s s ⎡⎤=--++-=--⎣⎦.又由基本不等式可得33311()4a b a b =+≥+,故85a b +,故85s <,所以21(85)(1)03s s s-->,因此2226()()a b c c a c b +->--.26.(2021·全国·高三竞赛)求所有实数p ,使得对任意实数a 、b 均有(a b p ++-【答案】p 的取值范围是[0,3]. 【解析】 【详解】 易见a 、b 同号.令0,0a b =>0≥,所以0p ≥.令1a b ==,则1p +,所以03p ≤≤. 下面说明当[0,3]p ∈时,原不等式成立.若[0,1]p ∈,(0a b p -≤,所以原不等式成立.若13p <≤,则||((1)2a b p p +-≤-⋅.|a b =+以及||||(||(1)(1)22a b a b a b p a b p p ++++-≤++-⋅=+⋅.又因为13p <≤,所以1|||2p a b a b ++≥⋅+. 于是原不等式也成立.综上所述,p 的取值范围是[0,3].27.(2021·全国·高三竞赛)求c 的最大值,使得对任意的正实数x 、y 、z ,均有()3222x xyc xy x y -≥-∑∑∑∑,其中“∑”表示轮换对称求和.12. 【解析】 【分析】 【详解】注意到22()()()xy x y x y y z z x -=---∑∑,由不等式的轮换对称性,不妨设x 最小,则,y x a z x b =+=+,其中,0a b ≥.所以,原式等价于:333222()()()()()()()x x a x b x x a x a x b x b x c b a ab ++++-+-++-+≥-,化简得()223322()x a ab b a b ab c b a ab -+++-≥-.由220a ab b -+≥,且x 可无限接近于0,得332()a b ab c b a ab +-≥-,对,0a b ∀≥成立. 又3320a b ab +-≥,为了求c 的最大值,可不妨设0b a >>. 令1bt a=>,321(1)t t c t t -+≥-, 设3211()(1)(1)(1)t t f t t t t t t t-+==+>--, 则()2232(21)(1)21()1,()0((1))((1))t t t t f t f t t t t t ----=-=>-''-', 所以()f t '在(1,)t ∈+∞上严格单调递增.而243211()02210210f t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=⇒-+-+=⇒+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭',解得t =()f t 在⎛ ⎝⎭上单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增.故min1()2f t f ==⎝⎭,所以,c 12. 28.(2021·全国·高三竞赛)求所有实数1,1,1x y z ≥≥≥满足:=【答案】22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭,其中0l >. 【解析】 【分析】 【详解】记2221,1,1x k y l z m =+=+=+,不妨0k l m ≤≤≤,k l m =++.平方整理得()2221(1)(1)0k lm kl km +-++-=,于是有11,ml m l k=+=, 所以210,,,1ll m k l l l ≠===+相应的222211,11y y yx k z m y y +-=+==+=-. 由x y ≤,即2321(1)(1)0y y y y y +-≤⇔-+≥,符合假设.由x z ≤,即()231(1)210y y y y y +--≤⇔-≥,又1y ≥,符合假设.综上,22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭,其中0l >. 29.(2021·全国·高三竞赛)已知(1,2,,)i x i n=是正实数,求证:1,1i ji j nx x n ≤≤≤+∑ 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】要证明原不等式,只要证明22221,114(1)nni j i ii j n i i n x x n x x≤≤==⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑,即证22222111114(1)2n nn i i j i i j i i i j n i i j n i n x x x n x x x x =≤<≤=≤<≤=⎛⎫⎛⎫+≤++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑,只需证明22111122211124(1)nnii ji i ji i j n i i j nnn i ii ji i i j nxx x xx x nn xxx x =≤<≤=≤<≤==≤<≤++≤++∑∑∑∑∑∑∑.记211ni i iji j nx t x x=≤<≤=∑∑,则只需证明21141(1)11n n t t ⎛⎫⎛⎫+≤++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,即证224(1)(1)(2)n t n t t +≤++,即证222(1)2(1)40n t n t n -+--≥ (*)注意到222111122n i ji ji i j ni j ni x x n x x x ≤<≤≤<≤=+-=∑∑∑,所以21t n ≥-, 所以22222222(1)2(1)4(1)2(1)4011n t n t n n n n n n ⎛⎫-+--≥-+--= ⎪--⎝⎭, 即(*)成立,所以原命题成立.30.(2021·全国·高三竞赛)已知[],,1,2a b c ∈-,求证:4abc ab bc ca +≥++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】构造一次函数()()[]4,1,2f x bc b c x bc x =---+∈-. 根据一次函数的单调性,只需证明()10f -≥和()20f ≥. 因为19(1)()4(21)(21)22f bc b c bc b c -=----+=---+,由题设,()[]21,2()13,3b c --∈-,所以()()21219b c --≤, 所以()10f -≥.又因为()()()()224220f bc b c bc b c =---+=--≥. 综上,原不等式成立.31.(2021·全国·高三竞赛)已知函数()()()[]221,1,1f x x x bx c x =-++∈-,记()f x 的最大值为(),M b c .当b 、c 变化时,求(),M b c 的最小值. 【答案】3-. 【解析】 【分析】 【详解】因为对任意的[]()()1,1,,x f x M b c ∈-≤,所以取0,1,x λ=±±,0,得:()()()()()()()()()()()()()()()()()22221,,1,,,,0,,1,,?,,1,.,,f M b c f M b c c M b c f M b c b c M b c f M b c b c M b c f M b c λλλλλλλλ⎧-≤⎪⎧⎪≤≤⎪⎪⎪⎪≤⇒-++≤⎨⎨⎪⎪-≤⎪⎪--+≤⎩⎪≤⎪⎩则()()()()()()2222212,1,c M b c c M b c λλλλ-+≤⇔-+≤, 故()()()()()()2222221112,c c M b c λλλλλλ-≤-++-≤-,则()()2221,2M b c λλλ-≥-,所以()()222max1,32M b c λλλ⎛⎫- ⎪≥=- ⎪-⎝⎭此时可取30,3M b c =-==, 此时()()(222213320x x x -+≤--≥.显然可以取到.综上,(),M b c的最小值为3-.32.(2021·全国·高三竞赛)在平面内画出(2)n n ≥条直线,把平面分成若干个小区域,其中一些区域涂了颜色,且任何两个涂色区域没有公共边界(可以有公共顶点).证明:涂色区域的个数不超过()213n n +. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】讨论这(2)n n ≥条直线的位置关系,当所画直线均两两平行,当所有的直线不全平行时,当只有两条线为边界的区域的区界是两条射线.对每种关系进行一一讨论,即可证明. 【详解】若所画直线均两两平行,则把平面分成(1)n +个区域,当n 为偶数时,涂色区域个数不超过112n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦;当n 为奇数时,涂色区域个数不超过12n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.且()211123n n n +⎡⎤+≤+⎢⎥⎣⎦. 当所有的直线不全平行时,此时每条直线都被与之相交的直线分成了线段或射线,故没有边界为直线的区域.设边界的线(线段或射线)的条数为i 的涂色区域有(2,3,,)i m i k =个,且边界上最多k 条线.只有两条线为边界的区域的区界是两条射线,每条射线只能作一次涂色区域的边界,n 条直线上只有2n 条射线,从而2m n ≤.又每条直线至多分成了n 段,n 条直线至多分成2n 段,且每段只能作一条涂色区域的边界,所以2234234k m m m km n ++++≤,于是涂色区域的个数()2232231111233333k k m m m m m m km n n +++≤++++≤+.33.(2021·全国·高三竞赛)设n 是一个大于等于3的正整数,当n 满足什么条件时,对任意实数(1,2,,)i a i n =总成立:()()()()()121312123n a a a a a a a a a a ---+--⋅⋅⋅()()()()21210n n n n n a a a a a a a a --++---≥.【答案】3n =或5n = 【解析】 【详解】当且仅当3n =或5n =时成立. 设()()()()()121312123n A a a a a a a a a a a =---+--⋅⋅⋅()()()()2121n n n n n a a a a a a a a --++---,首先给出反例:4n =时,12340,1a a a a ====,1A =-,不等式不成立.5n >时,1243210,2,1n n n n n a a a a a a a ----========,1A =-,不等式不成立.3n =或5n =时不等式成立,理由如下: 3n =时,设a 、b 、c 是实数,即证:222()()()()()()0a b a c b a b c c a c b a b c ab bc ca --+--+--⇔++++显然成立.5n =时,设a 、b 、c 、d 、c 是实数,即证:()()()()()()()()()()()()a b a c a d a e b a b c b d b e c a c b c d c e ----+----+----()()()()()()()()0d a d b d c d e e a e b e c e d +----+----≥式子是完全对称的,可设a b c d e ≥≥≥≥,那么()0,0a b b a a c b c -=--≥-≥-≥, 0,0a d b d a e b e -≥-≥-≥-≥.因此()()()()()()()()0a b a c a d a e b a b c b d b e ----+----≥,同理,()()()()()()()()0d a d b d c d e e a e b e c e d ----+----≥.又()()()()0c a c b c d c e ----≥,三个式子相加得证.34.(2021·全国·高三竞赛)设函数32()1f x ax x bx =-+-有三个正零点,求22532(,)()a ab g a b a b a -+=-的最小值.【答案】【解析】 【详解】 一方面,当a b ==方程3()0(0f x x =⇔=,故此函数()f x 有三个相等的零(,)g a b =. 设方程3210ax x bx -+-=的三个正实根分别为α、β、γ, 则由根与系数的关系可得11,,b a a aαβγαββγγααβγ++=++==. 故0,0a b >>.由2()3()αβγαββγγα++≥++知:213b a a ≥,可得13b a≤.①又由αββγγα++≥b a ≥b ≥从而有13b a≤,故13a,解得a ≤a b ≤,即0b a ->, 所以2210()3a b a a a a ⎛⎫<-≤- ⎪⎝⎭②由①②可得222232532511531()33a ab a a P a b a a a a a a -+++=≥=--⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中0a <≤, 设()231533a h a a a+-=,则()()()()22233151103a a a a h a '-+-=<,故()h a在⎛ ⎝⎦为减函数,故()min h a h ==⎝⎭故min (,)g a b =35.(2021·全国·高三竞赛)证明:对每个大于1的奇数n,1π是无理数. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】假设存在大于1的奇数1,n π是有理数.设()1arccos ,,,(,)1q p q p q p θπ+==∈=Z ,则,cos q p πθθ==2cos 2nnθ-=.下面证明:对任何正整数,cos m m θ=,且12(mod )m m a n -≡,① 12m =、时结论成立.设cos(1)k k θθ-==2112(mod ),2(mod )k k k k a n a n ---≡≡, 由1cos cos [cos(1)cos(1)]2k k k θθθθ=-++得:cos(1)2cos cos cos(1)k k k θθθθ+=--=.设112k k k a a na +-=-,则cos(1)k θ+=12(mod )kk a n +≡. 因此,①cos cos (1)q a p q θπ===-,故2pp a n =,因此2p n a ∣.12(mod )p p a n -≡,所以222,1p n n -=∣或2的方幂,这与n 是大于1的奇数矛盾. 36.(2021·全国·高三竞赛)已知121,,n n n a S a a a n n+==+++∈N .求证:21,4nkk ka n N S +=∀∈<∑. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】当n →∞时,n S →∞,并且2n >时,12n a <, 因此,对任意2,k k N ≥∈,存在唯一的k M ∈N ,使得1[,1),[,1)k k M M S k k S k k -∈+∉+.则有23123M M S S -≤≤<,所以()333222111222211111222M M i i M M i M i M ia a S S S ---=+=+<=-<∑∑.同理,11221(2,,)i j M i i M ia j k S j +-=<=∑,所以3124232222211111k k M M M M nk i i iik i i M i M i M k i i iia a a a a S S S S S +===+=+=+<++++∑∑∑∑∑(其中k 充分大使得k M n >) 22222211111234M i i i a S k =<+++++∑222211111111234234k <++++++++25111112122334(1)k k <+++++⨯⨯⨯-⨯ 2511412k=+-<. 37.(2021·全国·高三竞赛)已知正实数a 、b 、c 满足2223a b c ++≥.求证:(1)(2)(1)(2)(1)(2)3(1)(5)(1)(5)(1)(5)2a b b c c a b b c c a a ++++++++≥++++++.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】证明:由224(2)3(1)(5)(1)0x x x x +-++=-≥,得23(0)(1)(5)4(2)x x x x x +≥>+++.接下来只需要证明:1112222a b c b c a +++++≥+++, 其中,正实数a ,b ,c 满足2223a b c ++≥. 事实上,由柯西不等式,得:111[(1)(2)(1)(2)(1)(2)]222a b c a b b c c a b c a +++⎛⎫++++++++⋅++ ⎪+++⎝⎭2(3)a b c ≥+++.而(1)(2)(1)(2)(1)(2)a b b c c a ++++++++ 3()6ab bc ca a b c =++++++()22221(3)32a b c a b c ⎡⎤=+++-++-⎣⎦21(3)2a b c ≤+++. 所以1112222a b c b c a +++++≥+++. 故原不等式成立.38.(2021·全国·高三竞赛)若数列11n n k n a n k =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑,求证:存在无穷多个正整数n ,使得1n n a a +>,并确定是否存在无穷多个正整数n 使得1n n a a +<?(这里[]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】证明见解析,存在无穷多个n ,使1n n a a +<. 【解析】 【详解】用()d i 表示正整数i 的正因数个数,则1111(1)(1)n n n k n n n a na d n k k ++=⎛⎫+⎡⎤⎡⎤+-=-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑. 所以若取()21mn m +=-∈N ,则()()22122121m m m m ma a d m ---==+,所以2212122(1)m m m m ma a m a ---=+-.而2121112121mm m m k a k --=⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦∑21112121m m m k k -=-≤-∑2111mk k-==∑ 111111242242m m --<+⋅+⋅++⋅m =.所以221220m m m ma a -->,于是221m m a a ->,故存在无穷多个n 使1n n a a +>.若取1n p +=(p 为质数,11p ≥), 则1(1)2p p pa p a ---=,112p p p pa pa a ---=-.当11p ≥时,1111(1)p p k p p a k --=-⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑11(3)2p p p -⎡⎤≥-++-⎢⎥⎣⎦ 15(3)p p ≥-++-22p >-.所以12p a ->.所以10p p pa pa --<,于是1p p a a -<.故存在无穷多个n ,使1n n a a +<.39.(2021·全国·高三竞赛)已知椭圆22223:1(0)x y C a a a+=>,点P 、Q 在椭圆C 上,满足在椭圆C 上存在一点R 到直线OP 、OQ 的距离均为12a ,证明:223aOP OQ ⋅≤.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设cos R a θθ⎛⎫⎪⎝⎭,1:0OP k x y -=,2:0OQ k x y -=, 则根据题意,1k 、2k 是关于k12a =的两个实根,该方程即222111cos sin 0434k k θθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭, 于是2212221111sin sin 13434133cos sin 44k k θθθθ--⋅===---.OP OQ ⋅=2a =2a =2a =2a ≤223a =, 原命题得证.40.(2021·全国·高三竞赛)设x 、y 、z 均为非负实数,且满足:222(1)(1)(1)27x y y z z x +-++-++-=,求444S xy z =++的最大值与最小值.【答案】41);48. 【解析】 【详解】 由柯西不等式:2127[(1)(1)(1)]3x y y z z x ≥+-++-++-,从而得到6x y z ++≤,将条件改写为2222()4()24x y z x y z x y z +++++-++=, 利用6x y z ++≤,可知2222444()4()2()222x y z x y z x y z x y z +++++-++≤++≤++从而22222212242x y z x y z +++≤+++,得到22212x y z ++≥,进而()2222444483x y z x y z ++++≥≥,当2x y z ===时取到等号.另一方面,4x y z x y z ++≥++,得到()40x y z x y z +++++≥,故()()2240x y z x y z ++-+++≥-,从而2222()4()x y z x y z x y z ++-++≥++- 因为2222()4()24x y z x y z x y z +++++-++=, 进而()222242x y z ≥++-1,故得到()244422241)x y z x y z ++≤++≤,当1,0x y z ===时取到等号.41.(2021·全国·高三竞赛)对每一个正整数2n ≥,求最大的常数n c 使得不等式1nn i i j i i jc a a a =<≤-∑∑对任意满足10ni i a ==∑的实数12,,,n a a a 成立.【答案】2n【解析】 【分析】 【详解】首先,我们证明2n n c ≤; 若n 为偶数,设2n k =,取1121,1k k k a a a a a +=======-,此时21,2nii j i i jan a a k =<=-=∑∑.所以2122iji jn nii a ak n c k n a<=-≤===∑∑. 若n 为奇数,设21n k =+,取121221,11k k k ka a a a a k +++=======-+,此时1(1)121ni i k a k k k k ==++⋅=+∑,(1)1(21)1i j i j k a a k k k k k <⎡⎤⎛⎫-=++=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑. 所以1(21)21222iji jn nii a ak k k nc k a<=-++≤===∑∑,所以对n +∈Z 均有2n n c ≤. 下面我们证明2n nc =满足条件,即12ni i j i i jn a a a =<≤-∑∑.又()1112(1)n n ni j i j i j i j i ji j ii j ii j ia a a a a a n a a <=≠=≠=≠-=-≥-=--∑∑∑∑∑∑∑.因为10n i i a ==∑,所以0i j j ia a ≠+=∑.所以112(1)n ni j i i i i j i i a a n a a n a <==-≥-+=∑∑∑,得证.所以n c 的最大值为2n.42.(2021·全国·高三竞赛)已知正实数12,,,(2)n a a a n >满足121n a a a +++=.证明:23131212121222(1)n nn n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+--.【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】当4n ≥时,由平均值不等式知1111111n nn j i nj i jj j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏.又111i a n -<-,则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以 231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+-()()3311(1)2ni i i a n a n =-≤-+-∑ 33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑. 当3n =时,即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a .由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭,所以3112131111()(1)4(1)(1)=≤++--∑∑i i i a a a a a a ()()2131111411a a a a ⎛⎫=+⎪--⎝⎭∑ ()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑,所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a .命题得证.43.(2021·全国·高三竞赛)已知12,,,n a a a …为正实数(4)n ≥,且满足(1)j i ia ja i j i j n +≥+≤<≤,求证:()()()()12121n a a a n n +++≥+!.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】设ii a b i =,则有11(1)i j b b j i j i n +≤≥<≤+,命题即证1(1)(1)ni i b n =+≥+∏.(1)若对于所有(1)i i n ≤≤,有1i b i ≥,则11111(1)(1)1n n ni i i i i b n i i ===+⎛⎫+≥+==+ ⎪⎝⎭∏∏∏.(2)若存在某一个(1)i i n ≤≤,有1i b i<.设1i c b i=-,则有111111()j i b b i c j i j j +≥+-++≠=+,则11111(1)(1)11nni i i c i b c j c i==+-+≥⋅++++∏∏.注意到21111111111(1)111c c i i i c c c i i i+-+-+=⋅≥++++++, 故只需证211111(1)11(1)n ni i n c c j j ==⎛⎫⋅+++=+ ⎪⎝⎭≥+∏∏, 即2111(1)11n i c jc j =⎛⎫++ ⎪⎪≥+⎪+ ⎪⎝⎭∏. 又因为111111211cc c jj j++=+≥+++, 故()421244122111312121122212n i c c c c c c c j C C =⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪≥+≥++ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎭≥++⎝∏ 因此命题成立.44.(2021·全国·高三竞赛)设{}()1,2,3,,2,m M n m n +=⋅∈N 是连续2m n ⋅个正整数组成的集合,求最小的正整数k ,使得M 的任何k 元子集中都存在1m +个数121,,,m a a a +满足1(1,2,,)i i a a i m +=.【答案】21m n n ⋅-+. 【解析】 【分析】 【详解】 记{1,2,3,,}A n =,任何一个以i 为首项,2为公比的等比数列与A 的交集设为i A .一方面,由于M 中2m n n ⋅-个元的子集{}1,2,,2m n n n ++⋅中不存在题设的1m +个数,否则12112mm n a a a n ++≤<<<≤⋅,而1212m m nn a n ⋅+≤≤=,矛盾.故21m k n n ≥⋅-+.另一方面,21m k n n =⋅-+时,题设满足.若非如此,考虑以1212n i i -⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭为首项,以2为公比的等比数列.其与M 的交集的元素个数为21i A m ++个.设M 任何k 元子集为T ,则上述等比数列与M 的交集中至少有21i A +个元素不在T 中,而i j ≠时,2121i j A A ++=∅.注意到21112||,i n iA A +-=所以21112|\|||ii n M T A A n +-≥==,可得2m T M n n n ≤⋅=⋅-与21mT k n n ==⋅-+矛盾.综上,所求k 为21m n n ⋅-+. 45.(2021·全国·高三竞赛)设12,(,,2)n a a a n ≥为正实数,求证:12111111ia nn i i i i i a a a n +==⎛⎫⎛⎫+> ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∏∑.【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】根据伯努利不等式,有112211111iia a i i i i i a a a a a ++⎛⎫⎛⎫+=+>+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,故只需证明()2211111nn i i i i a a n ==⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭∏∑.因为22111111i i n n a a n n n -⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 从而()2211111111nnnii i i n n a a n n n ==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏. 不妨设2222212111,,,,,,11k k n a a a a a n n +<≥--,由伯努利不等式可得: 222111111111111111nk n i i i i i i k n n n a a a n n n n n n ===+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≥+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∑∑ 222111(1)(1)k ni i i i k n k n a k n a n ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑2211n i i n a n =-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑, 从而()222211111111nnn n ii i i i i n n a a a n n n ===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥≥ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∑∑. 46.(2021·全国·高三竞赛)已知12,,,0n a a a >,求证:()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++.【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】因为()()()2221232213132a a a a a a a a a ++=++++ ()222131324a a a a a a ≥+++()()221321222a a a a a a =+++ ()()122322a a a a =++,所以()()()()()()21232341212231n n a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭()()()()()()()()()1223233411222212231222222nn a a a aa a a aa a a a a a a a a a +++++≥++++, 当且仅当1324,a a a a ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅时等号成立. 以下配对柯西约分: 因为()()()22121212222a a a a a a ++≥=+,()()()22232323222a a a a a a ++≥=+,……,显然柯西不等式等号不成立.所以()()()()()()212323412122312n n n a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭>,即()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++.47.(2021·全国·高三竞赛)设正实数1299,,,a a a 满足对任意199i j ≤≤≤有i j ja ia i j +≥+,求证:()()()12991299100a a a +++≥!.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】 令(199)ii a b i i=≤≤,条件转化为对任意199i j ≤<≤有11i j b b i j +≥+.要证不等式即()()()1299111100b b b +++≥.若对任意199i ≤≤均有1i b i ≥,则左式99111100i i=⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭∏.否则恰存在一个i 使得1i b i <,记1i c b i=-,则对任意j i ≠,有1j b c j ≥+.于是左式9919911111111111j j j ic i c c c i j j c i≤≤=≠-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++∏∏. 即只需证:991121100111j c c j c i =⎛⎫ ⎪⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-+⎝⎭∏. ① 由Bernoulli 不等式知 ①式左端9999999911111110*********j j j j j j j j c c c j j j j ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+⋅≥+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏. 显然99122111j j j c i=>>+-+∑,因此①式成立,即证原不等式成立.48.(2021·全国·高三竞赛)已知12,,,n a a a R ∈,且满足222121n a a a +++=,求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-的最大值.【答案】当n 为偶数时,最大值为n 为奇数时,最大值为【解析】。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
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2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ,则32log (log )m 的值为 . 答案:4049.解:323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m .2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q .若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和,则2a 的取值范围是 .答案:1,0(0,2)4. 解:因为数列{}n a 的各项和为11a q,注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列,于是2{}n a 的各项和为2121a q. 由条件知211211a a q q,化简得11a q . 当(1,0)(0,1)q 时,22111(1),0(0,2)244a q q q . 3. 设实数,ab 满足:集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9],则a b 的值为 .答案:7.解:由于2210(5)25x x a x a ,故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间,而B 是至多有一个端点的区间,所以必有[1,9]A ,故9a .进一步可知B 只能为[4,) ,故0b 且34b b ,得2b .于是7a b .4. 在三棱锥P ABC 中,若PA 底面ABC ,且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4,则该三棱锥的体积为 .答案:34. 解:由条件知PA AB ,PA AC .因此PA AC .在ABC 中,22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ,故sin B .所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ,故其体积为1334ABC V S PA . 5. 一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次,所得的点数分别记为,a b .若事件“7a b ”发生的概率为17,则事件“a b ”发生的概率为 . 答案:421. 解:设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p .由于126,,,p p p 成等差数列,且1261p p p ,故16253413p p p p p p . 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p . 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p . 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p . 由于117P ,所以21143721P . 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数.若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25,则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 .答案:11.解:记2x t ,则当[0,5)x 时,[1,32)t ,且t 随x 增大而严格增大.因此,()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数.注意到()f t 有最小正周期5,设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点,则()f t 在[2,32)上有6m 个零点,又设()f t 在[1,2)上有n 个零点,则625m n ,且0n m ,因此4,1m n .从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数,即311m n .7. 设12,F F 为椭圆 的焦点,在 上取一点P (异于长轴端点),记O 为12PF F 的外心,若12122PO F F PF PF ,则 的离心率的最小值为 .答案 解:取12F F 的中点M ,有12MO F F ,故120MO F F . 记1212,,PF u PF v F F d ,则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u , 222121222cos PF PF uv F PF u v d ,故由条件知222222v u u v d ,即22232u v d . 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v (当3v u 时等号成立).所以 的离心率d e u v .当::u v d 时, 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8,且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8,则称(,,)a b c 为“幸运数组”,例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 .答案:591.解:对于幸运数组(,,)a b c ,当10a b c 时,分两类情形讨论. 情形1:a 是两位数,,b c 是三位数.暂不考虑,b c 的大小关系,先在,,a b c 的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置还未填,任选其中两个填2,最后三个位置填写4,8,9,这样的填法数为3255C C 3!600 .再考虑其中,b c 的大小关系,由于不可能有b c ,因此b c 与b c 的填法各占一半,故有300个满足要求的幸运数组.情形2:,a b 是两位数,c 是四位数.暂不考虑,a b 的大小关系,类似于情形1,先在,,a b c 的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置填2,2,4,8,9,这样的填法数为600.再考虑其中,a b 的大小关系.若a b ,则必有20a b ,c 的四个数字是0,4,8,9的排列,且0不在首位,有33!18 种填法,除这些填法外,a b 与a b 的填法各占一半,故有600182912个满足要求的幸运数组. 综上,所求幸运数组的个数为300291591 .二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. (本题满分16分) 在ABC 中,已知sin cos sin cos cos 22A AB B C,求cos C 的值.解:由条件知cos 44C A B. …………4分 假如44A B,则2C ,cos 0C ,但sin 04A ,矛盾. 所以只可能44A B .此时0,2A B ,2C A . …………8分注意到cos 04C A ,故2C ,所以,42A B ,结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ,又cos 0C ,化简得28(12cos )1C ,解得cos C…………16分 10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,双曲线22:1x y 的右顶点为A .将圆心在y 轴上,且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ,圆心距为d ,求d PA 的所有可能的值. 解:考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r .由0 与 的方程消去x ,得关于y 的二次方程2220002210y y y y r .根据条件,该方程的判别式22200048(1)0y y r ,因此220022y r .…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ,显然P 在y 轴上.设(0,)P h ,12, 的半径分别为12,r r ,不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ,则有2211()22h r r ,2222()22h r r .两式相减得2212122()h r r r r ,而120r r ,故化简得122r r h. …………10分 进而221211222r r r r ,整理得 221122680r r r r .① 由于12d r r ,(1,0)A ,22212()114r r PA h ,而①可等价地写为2212122()8()r r r r ,即228PA d ,所以d PA…………20分 11.(本题满分20分)设复数,z w 满足2z w ,求2222S z w w z 的最小可能值.解法1:设i (,)z a b a b R ,则2i w a b ,故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ,22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b . ①…………5分记1t a .对固定的b ,记255B b ,求22()(4)f t t B t B 的最小值.由()(4)f t f t ,不妨设2t .我们证明0()()f t f t ,其中0t . 当0[2,]t t 时,04[2,4]t t ,22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 (用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增). …………10分当0[,)t t 时,22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 (用到04t t ). …………15分所以200()(4)1616S f t B t .当0b (①取到等号),011a t 时,S 取到最小值16.…………20分解法2:设1i,1i (,)R z x y w x y x y ,不妨设其中0x . 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ,2222(41)(24)i w z x x y x y .所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y . …………5分利用a b a b ,可得8S x ,① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x . ②…………10分注意到方程282(1)x x 2.当2x 时,由①得816S x .当02x 时,由②得222(1)2(12))16S x .因此当2,0x y 时,S 取到最小值16. …………20分 解法3:因为2w z =−,所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−,33+的距离,所以把i z x y =+换成其实部x 时,都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<,因此我们有以下几种情况:1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+;2.若(13x∈−−,则()88f x x=−+,在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−,则2()24f x x x=−+,在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+;4.若13x∈− ,则()88f x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−+=−+;5.若3x≥+,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述,所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
高中数学竞赛试题及答案
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高中数学竞赛试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个数是无理数?A. 2B. πC. 0.5D. √4答案:B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案:A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7,求第四项的值。
A. 10B. 11C. 13D. 15答案:A4. 计算复数z = 1 + i的模。
A. √2B. 2C. 1D. √3答案:A二、填空题(每题5分,共20分)5. 已知等比数列的公比为2,首项为1,求第5项的值。
答案:326. 已知向量a = (3, -4),向量b = (-2, 3),求向量a与向量b的点积。
答案:-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。
答案:18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9,求圆心坐标。
答案:(2, 3)三、解答题(每题10分,共60分)9. 求证:对于任意正整数n,n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
证明:设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2,其中k为整数。
当n = 3k时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1),能被3整除。
当n = 3k + 1时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2),能被3整除。
当n = 3k + 2时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4),能被3整除。
因此,对于任意正整数n,n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x,求f(x)的单调区间。
解:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
高中数学竞赛试题及答案
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高中数学竞赛试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \),求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。
答案:首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \),令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。
计算 \( f(0) = 0 \),\( f(1) = 0 \),\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \),\( f(3) = 6 \)。
因此,最大值为 6,最小值为 0。
2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。
答案:使用洛必达法则,首先求导得到 \( \frac{e^x + \sinx}{2x} \),再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。
当 \( x \to 0 \) 时,极限为 \( \frac{1}{2} \)。
3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \) 成立。
答案:利用调和级数的性质,将不等式左边的和表示为\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。
通过放缩和积分估计,可以证明该不等式成立。
4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +C = \pi \),且 \( \sin A + \sin B + \sin C =\frac{3\sqrt{3}}{2} \),求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。
答案:利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 和\( \sin x \) 的和为 \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \),通过平方和展开,可以求得 \( \cos A + \cos B + \cos C = -\frac{3}{2} \)。
数学竞赛试题及答案高中生
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数学竞赛试题及答案高中生试题一:代数问题题目:已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根,求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答:根据韦达定理,对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \),其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此,对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \),我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根,我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二:几何问题题目:在一个直角三角形中,已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米,求斜边的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出,公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式,我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三:数列问题题目:一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \),公差 \( d = 2 \),求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答:等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \),其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式,我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四:组合问题题目:从 10 个不同的球中选取 5 个球,求不同的选取方式有多少种。
高等数学竞赛最新试题及答案
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高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是:A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \),求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是:A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是:A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的?A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是:A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数?A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \),求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是:A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程?A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数?A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \),那么\( f(x) \)是:A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题(每题4分,共20分)11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
竞赛数学高中试题及答案
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竞赛数学高中试题及答案试题一:多项式问题题目:已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \),求 \( P(2) \) 的值。
解答:将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中,得到:\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二:几何问题题目:在直角三角形 ABC 中,角 C 是直角,若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \),求斜边 BC 的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算:\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三:数列问题题目:给定数列 \( a_n = 2n - 3 \),求数列的前 5 项。
解答:根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \),我们可以计算出前 5 项:\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为:-1, 1, 3, 5, 7。
试题四:概率问题题目:一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球,随机抽取 2 个球,求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答:首先计算总的可能组合数,即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数:\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数:\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以,抽到一个红球和一个蓝球的概率为:\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五:函数问题题目:若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \),求 \( f(x) \) 的最小值。
高中数学竞赛模拟题(十六套)
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高中数学竞赛模拟题(十六套)高中数学竞赛模拟题(十六套)第一套:代数高中数学竞赛中,代数是一个重要的考察内容。
在这个模拟题的第一套中,我们将考察代数的基本概念和运算技巧。
请同学们认真阅读并解答以下题目。
1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + 3x + b$,且函数 $f(x)$ 的图像经过点 $(-2, -1)$ 和 $(1, 4)$。
求常数 $a$ 和 $b$ 的值。
2. 某数列的前3项依次为 $a_1 = 2$,$a_2 = 5$,$a_3 = 9$。
已知数列满足递推式 $a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1} + 1$,其中 $n \geq 2$。
求数列的第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
3. 解方程组:$\begin{cases}2x - 3y = 5 \\4x + 2y = 10\end{cases}$第二套:几何几何在高中数学竞赛中也占据重要的位置。
在这个模拟题的第二套中,我们将考察几何的基本概念和解题技巧。
请认真阅读并解答以下题目。
1. 在平面直角坐标系中,直线 $l$ 过点 $A(3, 2)$,且与直线 $x - 3y - 1 = 0$ 平行。
求直线 $l$ 方程。
2. 在三角形 $ABC$ 中,已知 $\angle BAC = 30^\circ$,点 $D$ 在边$AC$ 上,且 $\angle BDC = 90^\circ$。
若 $BD = 2$,$DC = 4$,求三角形 $ABC$ 的面积。
3. 已知四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD$,$BC = CD$,$AC$ 为对角线,且 $\angle ACB = 70^\circ$。
求 $\angle BAC$ 的度数。
第三套:数列与数表数列与数表也是高中数学竞赛的考察内容之一。
在这个模拟题的第三套中,我们将考察数列与数表的基本性质和求解能力。
请认真阅读并解答以下题目。
1. 求限制条件为 $a_n < 100$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项的表达式,已知数列的公差为 5。
高中数学趣味知识竞赛题库
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高中数学趣味知识竞赛题库一、选择题(1 - 10题)1. 设集合A={xx^2-3x + 2=0},B={xax - 2=0},若B⊆ A,则a所有可能的值构成的集合为()- A. {1,2}- B. {1,(2)/(3)}- C. {0,1,2}- D. {0,1,(2)/(3)}- 解析:- 先求解集合A,对于方程x^2-3x + 2 = 0,因式分解得(x - 1)(x - 2)=0,解得x = 1或x = 2,所以A={1,2}。
- 因为B⊆ A,当B=varnothing时,ax-2 = 0无解,此时a = 0;当B≠varnothing时,若x=(2)/(a)=1,则a = 2;若x=(2)/(a)=2,则a = 1。
所以a所有可能的值构成的集合为{0,1,2},答案是C。
2. 函数y=log_a(x + 3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny + 1 = 0上,其中mn>0,则(1)/(m)+(2)/(n)的最小值为()- A. 8- B. 6- C. 4- D. 10- 解析:- 对于函数y=log_a(x + 3)-1,令x+3 = 1,即x=-2,此时y=-1,所以定点A(-2,-1)。
- 因为点A在直线mx + ny+1 = 0上,所以-2m - n+1 = 0,即2m + n = 1。
- 又因为mn>0,所以m>0,n>0。
- 则(1)/(m)+(2)/(n)=(2m +n)((1)/(m)+(2)/(n))=2+(4m)/(n)+(n)/(m)+2=(4m)/(n)+(n)/(m)+4。
- 根据基本不等式(4m)/(n)+(n)/(m)≥slant2√(frac{4m){n}×(n)/(m)} = 4,当且仅当(4m)/(n)=(n)/(m)时等号成立。
- 所以(1)/(m)+(2)/(n)≥slant4 + 4=8,答案是A。
全国高中数学竞赛试题及答案
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全国高中数学竞赛试题及答案试题一:函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \),求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二:解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \),其中\( a > b > 0 \),求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程,已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三:数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \),公差\( d = 2 \),求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和,其中\( b_1 = 1 \),公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四:概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球,求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次,求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品,求从一批产品中随机抽取10个产品,至少有1个是次品的概率。
试题五:组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子,将球分配到盒子中,每个盒子至少有一个球,求不同的分配方法总数。
2. 证明:对于任意的正整数\( n \),\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
高一数学竞赛辅导
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高一数学竞赛10.141.已知集合**410x x M x N N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且,集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭,则( )A. M N =B. N M ⊆C. 20x M N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭D. *40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭2.(2021年全国高中数学联赛)设{}{}{}1,2,3=2,,,2,,A B x y x y A x y C x y x y A x y =+∈=+∈,<>,则B C ⋂的所有元素之和为_______________。
3.设集合{}{}222,,12A x xB y y x x =-≤==--≤≤,则A B⋂=_________________.4.设条件():0:14p x m m q x ≤-≤≤>,,若p 是q 的充分条件,则m 的最大值为_______,若p 是q 的必要条件,则m 的最小值为________。
5.若非空集合A,B,C 满足A B C ⋃=,且B 不是A 的子集,则""x C ∈是""x A ∈的___________________条件。
高一数学竞赛10.14-------基本不等式“1”的巧用1.若正数,a b 满足121a b +=,则2b a+的最小值为_________________。
2.若00x y >,>,且211x y+=,227x y m m ++>恒成立,则实数m 的取值范围是_________________________。
基本不等式的构造3.已知0a b >>,则412a a b a b+++-的最小值为_______________。
4.设a b >>c ,n N ∈,且218n a b b c a c +≥---恒成立,则n 的最大值是______________。
5.设010,x a b <<,>>0,,a b 为常数,则221a b x x +-的最小值是___________________.基本不等式的综合运用6.已知4a b ab =>0,>0,,则11a b b a+++的最小值为________________。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
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高中数学竞赛赛题精选一、选择题(共12题)1.定义在R 上的函数()y f x =的值域为[m,n ],则)1(-=x f y 的值域为( ) A .[m,n ]B .[m-1,n-1]C .[)1(),1(--n f m f ]D .无法确定解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选A.2.设等差数列{n a }满足13853a a =,且n S a ,01>为其前n 项之和,则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解:设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大,只须n a ≥0,即n ≤20.故应选C.3.方程log 2x=3cosx 共有( )组解.A .1B .2C .3D .4解:画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像,研究其交点情况可知共有3组解.应选C .4.已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大,另一个根比1小,则()A.11<<-a B.1-<a 或1>aC.12<<-aD.2-<a 或1>a解:令f(x)= ()2122-+-+a x a x ,其图像开口向上,由题意知f(1)<0,即 ()211122-+⨯-+a a <0,整理得022<-+a a ,解之得12<<-a ,应选C .5.已知βα,为锐角,,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α,则y 与x 的函数关系为( ) A .1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B .1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C .)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D .1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解: 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x , 得)1,53(∈x .故应选A. 6.函数sin y x =的定义域为[],a b ,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a-的最大值是( )A. πB. π2C.34πD. 35π解:如右图,要使函数sin y x =在定义域[],a b 上,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7.设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根,则的弧度数为 ( )A .6B .12或512C .6或512D .12解:由方程有重根,故14=4cos 2-cot =0,∵ 0<<2,2sin2=1,=12或512.选B . 8.已知M={(x ,y )|x 2+2y 2=3},N={(x ,y )|y=mx+b }.若对于所有的m ∈R ,均有M ∩N ,则b 的取值范围是 ( )A .[-62,62] B .(-62,62) C .(-233,233] D .[-233,233] 解:点(0,b )在椭圆内或椭圆上,2b 2≤3,b ∈[-62,62].选A .9.不等式log 2x -1+12log 12x 3+2>0的解集为A .[2,3)B .(2,3]C .[2,4)D .(2,4] 解:令log 2x=t ≥1时,t -1>32t -2.t ∈[1,2),x ∈[2,4),选C .10.设点O 在ABC 的内部,且有+2+3=,则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A .2B .32C .3D .53解:如图,设AOC=S ,则OC 1D=3S ,OB 1D=OB 1C 1=3S ,AOB=OBD=1.5S .OBC=0.5S ,ABC=3S .选C .11.设三位数n=,若以a ,b ,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( )A .45个B .81个C .165个D .216个 解:⑴等边三角形共9个;⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a ,b ),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b <a <2b .a=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值.共有236-20=52种方法,而每取一组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数.选C .12.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长为 ( )A .53 B .253 C .63 D .263解:AB ⊥OB ,PB ⊥AB ,AB ⊥面POB ,面PAB ⊥面POB .OH ⊥PB ,OH ⊥面PAB ,OH ⊥HC ,OH ⊥PC ,又,PC ⊥OC ,PC ⊥面OCH .PC 是三棱锥P -OCH 的高.PC=OC=2.而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形).当OH=2时,由PO=22,知∠OPB=30,OB=PO tan30=263.又解:连线如图,由C 为PA 中点,故V O -PBC =12V B -AOP ,S B 11OABCABPO H C而V O -PHC ∶V O -PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB ).记PO=OA=22=R ,∠AOB=,则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2,V B -PCO =124R 3sin2. PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2.V O -PHC =sin23+cos2112R 3. ∴ 令y=sin23+cos2,y=2cos2(3+cos2)-(-2sin2)sin2(3+cos2)2=0,得cos2=-13,cos =33, ∴ OB=263,选D .二、填空题(共10题)13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若510S =,105S =-,则公差为 解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+,,545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+,,1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21),,它的反函数的图象经过点(28),,则b a +等于 4 .解:由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩,, 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩,解之得 1131a b =⎧⎨=⎩,; 2224.a b =-⎧⎨=-⎩,(舍去). 故a b +等于4.15.已知函数()y f x =的图象如图,则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-, .解: 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>,所以()2lg 6200x x -+<. 于是,由图象可知,2111x x +≤-,即 201x x +≤-,解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-,.16.圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 .解:原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ,即=2|3|2+-y x .所以动点),(y x 到定点(31)-,的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2.故此动点轨迹为双曲线,离心率为2.17.在ABC ∆中,已知3tan =B ,322sin =C ,63=AC ,则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解:在ABC ∆中,由3tan =B 得︒=60B .由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==.因为︒>60322arcsin,所以角C 可取锐角或钝角,从而31cos ±=C .sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <,命题Q : 对任何x ∈R ,都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立,则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解:由a a <2得10<<a .由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立,得04162<-=∆a ,即2121<<-a .因为命题P 、Q 有且仅有一个成立,故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a .19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 . 解:22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =,且对任意的x R ∈,都有1()2f x '<,则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 . 解:令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚-x ,由f '(x ) <1/2得,2f '(x ) -1<0,即'g ﹙x ﹚<0,g(x)在R 上为减函数,且g(1)=2f(1)-1=3,不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3,即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得:log2X<1,解得,0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=,(1,0)A ,在圆O 上取一个动点B ,设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=.则P 点的轨迹方程为 .解:设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1),ky),(λ=k1)。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)
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2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)给定正整数r .求最大的实数C ,使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ,满足n a C 对所有正整数n 成立.(x 表示实数x 到与它最近整数的距离.)解:情形1:r 为奇数.对任意实数x ,显然有12x ,故满足要求的C 不超过12. 又取{}n a 的首项112a ,注意到对任意正整数n ,均有1n r 为奇数,因此1122n n r a .这意味着12C 满足要求.从而满足要求的C 的最大值为12. …………10分 情形2:r 为偶数.设*2()r m m N .对任意实数 ,我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ,从而21m C m . 事实上,设1a k ,其中k 是与1a 最近的整数(之一),且102. 注意到,对任意实数x 及任意整数k ,均有x k x ,以及x x .若021m m ,则121m a k m . 若1212m m ,则22221m m m m ,即21m m r m m ,此时 2121m a a r kr r r m . …………30分 另一方面,取121m a m ,则对任意正整数n ,有1(2)21n n m a m m ,由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ,其中K 为整数,故21n m a m .这意味着21m C m 满足要求. 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r .综上,当r 为奇数时,所求C 的最大值为12;当r 为偶数时,所求C 的最大值为2(1)r r . …………40分二.(本题满分40分)如图,在凸四边形ABCD 中,AC 平分BAD ,点,E F 分别在边,BC CD 上,满足||EF BD .分别延长,FA EA 至点,P Q ,使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切.证明:,,,B P Q D 四点共圆.(答题时请将图画在答卷纸上)证明:由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ,故,BP CA 的延长线相交,记交点为L .由||EF BD 知CE CF CB CD.在线段AC 上取点K ,使得CK CE CF CA CB CD ,则||,||KE AB KF AD . …………10分由ABL PAL KAF ,180180BAL BAC CAD AKF ,可知ABL KAF ∽,所以KF AB AL KA. …………20分 同理,记,DQ CA 的延长线交于点L ,则KE AD AL KA. 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD,即KE AD KF AB . 所以AL AL ,即L 与L 重合.由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ,所以,,,B P Q D 四点共圆.…………40分三.(本题满分50分)给定正整数n .在一个3n ×的方格表上,由一些方格构成的集合S 称为“连通的”,如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ,存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==,满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K :若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色,总存在一个连通的集合S ,使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解:所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ,记b S 是S 中的黑格个数,w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格,这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =,[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先,如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色,我们证明对任意连通的集合S ,均有||b w S S n −≤,这表明K n ≤.设[1,1]是黑格,并记{0,1}ε∈,满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格,这是因为若S 不包含所有黑格, 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小,这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =,取{}S S A ′=,则S 仍是连通的,且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =,则存在与A 相邻的白格C ,而C 与S 中某个方格B 相邻,取{,}S S A B ′= ,则S 仍是连通的,且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ,使得S 包含所有黑格,保持S 的连通性,且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=,3,5,,1k n ε++,每个k W 中至少有一个方格属于S ,否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+,而1(3)2b S n ε=+,故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上,可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−,每个k B 中至少有一个黑格属于S ,否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−,故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质,即对任意的染色方案,总存在连通的集合S , 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格,在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格,因而S 是连通的. 而b S X =,w S y =,b w S S X y n −=−≥.综上所述,max K n =. …………50分四.(本题满分50分)设,A B 为正整数,S 是一些正整数构成的一个集合,具有下述性质:(1) 对任意非负整数k ,有k A S ;(2) 若正整数n S ,则n 的每个正约数均属于S ;(3) 若,m n S ,且,m n 互素,则mn S ;(4) 若n S ,则An B S .证明:与B 互素的所有正整数均属于S .证明:先证明下述引理.引理:若n S ,则n B S .引理的证明:对n S ,设1n 是n 的与A 互素的最大约数,并设12n n n ,则2n 的素因子均整除A ,从而12(,)1n n .由条件(1)及(2)知,对任意素数|p A 及任意正整数k ,有k p S .因此,将11k A n 作标准分解,并利用(3)知11k A n S .又2|n n ,而n S ,故由(2)知2n S .因112(,)1k A n n ,故由(3)知112k A n n S ,即1k A n S .再由(4)知k A n B S (对任意正整数k ). ① …………10分 设n B C D ,这里正整数C 的所有素因子均整除A ,正整数D 与A 互素,从而(,)1C D .由(1)及(2)知C S (见上面1k A n S 的证明). 另一方面,因(,)1D A ,故由欧拉定理知()1D D A .因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ,但由①知()D A n B S ,故由(2)知D S .结合C S 及(,)1C D 知CD S ,即n B S .引理证毕. …………40分回到原问题.由(1),取0k 知1S ,故反复用引理知对任意正整数y ,有1By S .对任意*,(,)1n n B N ,存在正整数,x y 使得1nx By ,因此nx S ,因|n nx ,故n S .证毕. …………50分。
高一数学竞赛试题及答案
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高一数学竞赛试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个数是无理数?A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333(无限循环小数)答案:B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5,求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案:B3. 一个圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,如果d < r,那么该直线与圆的位置关系是:A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案:B4. 如果一个等差数列的前三项和为9,第四项为5,求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B二、填空题(每题4分,共12分)5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c,其体积的公式是______。
答案:abc6. 若sinθ = 1/3,且θ在第一象限,求cosθ的值。
答案:2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r),其中a1是首项,r是公比。
如果S_5 = 31,a1 = 1,求r的值。
答案:2三、解答题(每题18分,共54分)8. 证明:对于任意正整数n,n^5 - n 能被30整除。
证明:由题意,我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先,我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b,其中a和b是整数,且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到,除了最后两项,其他项都能被2整除。
对于最后两项,我们有2a - b = 2(a - b/2),当b为偶数时,2a - b能被2整除;当b为奇数时,a - b/2为整数,所以2a - b也能被2整除。
同理,b - 1能被3整除,因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
数学竞赛高中试题入门及答案
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数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个数不是整数?A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \),那么\( f(-1) \)的值是多少?A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3,圆心在原点,那么圆上任意一点到圆心的距离是多少?A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C,且A + B + C = 180°,如果角A = 60°,角B = 50°,那么角C是多少度?A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题(每题5分,共20分)5. 若\( a \),\( b \),\( c \)为三角形的三边,且\( a^2 + b^2 = c^2 \),则该三角形是________。
6. 一个数的平方根是4,那么这个数是________。
7. 一个圆的面积为28.26平方厘米,那么它的半径是________厘米。
8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \),第5项的值是________。
三、解答题(每题15分,共30分)9. 证明:如果\( a \),\( b \),\( c \)是正实数,且\( a + b +c = 1 \),那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。
10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米,求斜边的长度。
(使用勾股定理)四、证明题(每题15分,共15分)11. 证明:对于任意正整数\( n \),\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台,通过这些题目,学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。
高中数学竞赛模拟试题 1
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全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2kk e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O A B C 中,若点O 处的三条棱两两垂直,且长度均为,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由A B C ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将A B C ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以F A 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:F M F N F A +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a b b b b b b ++=++,且123m in{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123m ax{,,}a a a 123m ax{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形A B C D 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且A B C ∠与A D C ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在A C 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i A B C ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a b c =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数?若存在,求,,,p q r s 的值;若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.。
数学竞赛高中试题及答案
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数学竞赛高中试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1,那么f(2)的值是多少?A. 1B. 3C. 5D. 7答案:B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7,求该数列的第五项。
A. 10B. 13C. 16D. 19答案:A3. 一个圆的直径为10cm,那么它的半径是多少?A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案:A4. 在直角坐标系中,点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少?A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)5. 计算:\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。
答案:56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm,那么它的周长是_______cm。
答案:187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求g(2)的值。
答案:-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17,设这个数为n,则n的值为______。
答案:3或-4三、解答题(每题10分,共60分)9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6,求函数的零点。
答案:函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。
10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且a > b > c,求证:长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。
答案:证明略。
11. 已知数列{bn}满足:b1 = 2,bn+1 = 2bn + 1,求数列的前五项。
答案:2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上,且三角形的周长为12cm,求圆的半径。
答案:2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9,求函数的最小值。
答案:函数的最小值为0。