第三节 隐函数及由参数方程

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第 二 章
Calculus
用隐函数求导方法证明反函数的求导法则
设x = ϕ ( y )为直接函数， y = f ( x )为其反函数
y = f ( x )可视为由方程 x − ϕ ( y ) = 0确定的一个 隐函数
由隐函数的求导法则
⇒ y 1 1 1 1 y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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Calculus
(1 − x )( 2 − x ) 两边取对数得 若 x<1 y= ( 3 − x )(4 − x ) 1 ln y = [ln(1 − x ) + ln( 2 − x ) − ln( 3 − x ) − ln( 4 − x )] 2 两边对 x 求导得 −1 −1 1 1 −1 −1 ⋅ y′ = [ + − − ] y 2 1− x 2− x 3− x 4− x ⇒ y 1 1 1 1 y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
x =0
.
注意 y = y(x),
解 方程两边对 x 求导,
dy x y dy y+ x −e +e =0 dx dx dy e x − y y ( x + e ≠ 0) = , 解得 y dx x + e
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(二)隐函数的定义
一般地, 如果变量 x 和 y 满足一个方程 F(x,y)=0, 在 一定条件下当 x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满 足这方程的唯一的 y 值存在, 那么就说方程 F(x,y)=0 在 该区间内确定了一个隐函数.
y = f ( x ) 隐函数的显化 F ( x, y) = 0 3 3 y = 1− x 例如, x − y − 1 = 0 可确定显函数
方程x = ϕ ( y )两边对 x求导得 dy 1 = ϕ ′( y ) ⋅ dx ⇒ dy 1 = dx ϕ ′( y )
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y dy 2 2 . 例3 设 arctan = ln x + y , 求 x dx
d ∴ f ′( x ) = f ( x ) ⋅ ln f ( x ) dx
∴ f ′( x ) = u( x )
v( x)
v ( x )u′( x ) [v ′( x ) ⋅ ln u( x ) + ] u( x )
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一般地
f ( x ) = u( x )v ( x ) ( u( x ) > 0)
Q ln f ( x ) = v ( x ) ⋅ ln u( x )
d 1 d 又Q ln f ( x ) = ⋅ f ( x) dx f ( x ) dx
x0 y + y0 x =
⇒
= x 0 y0 ( x 0 + x y + =1 a y0 a x0
故在两坐标轴上的截距之和为
a x 0 + a y0 = a ( x 0 + y0 ) = a
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(三)对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显 函数但直接求导有困难或很麻烦。 ( x + 1)3 x − 1 sin x 观察函数 y = = , y x . 2 x ( x + 4) e 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化 求导运算。 --------对数求导法 适用范围:
同理 若 2 < x < 3 y 1 1 1 1 ⇒ y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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dy 例7 设 x = y 求 dx 解 两边取对数得 y ln x = x ln y 两边对 x 求导得 1 1 y′ ln x + y ⋅ = ln y + x ⋅ ⋅ y′ x y 2 xy ln y − y ⇒ y′ = xy ln x − x 2 dy an a1 a2 例8 设 y = ( x − a1 ) ( x − a2 ) L( x − an ) 求 dx 解 两边取对数得 ln y = a1 ln( x − a1 ) + a2 ln( x − a2 ) + L + an ln( x − an )
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v( x) f ( x ) = u ( x ) ( u( x ) > 0) 也可表 幂指函数
示成
f ( x ) = e v ( x ) ln u( x )
这样,便可直接求得
f ′( x ) = e
v ( x ) ln u ( x )
⇒
记 z = f ( y)
dz dz dy dy = ⋅ = f ′( y ) ⋅ dx dy dx dx
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du 将求出的这些导数代入 =0 dx dy 得到关于 的代数方程， dx dy = g ( x , y )即为所求 解得 dx 至于隐函数求二阶导数，与上同理 dy 在 = g ( x , y )两边再对 x求导 dx dy d2y ′ 再将 = g ( x , y )代入 ⇒ 2 = G( x, y, y ) dx dx
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Calculus
第三节 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
(1)函数的表示法
1.直接表示 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数 2.间接表示 (1)由一个方程 F(x,y)=0 所确定的函数
y 5 + 2 y − x − 3 x 7 = 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
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y0 =− x = x0 x0
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切线方程为
⇒ ⇒ x0 y +
y0 ( x − x0 ) y − y0 = − x0
y0 x = x 0 y0 + x 0 y0 + y0 x 0 y0 ) = a x 0 y0 y0 x 0
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例4 求证抛物线
x+
y = a 上任一点的切线
在两坐标轴上的截距之和等于a 证
方程 x + y = a两边对 x求导得
1 dy + =0 2 x 2 y dx 1
dy y ⇒ =− x dx 故曲线上任一点 ( x0 , y0 ) 处切线的斜率为 dy k= dx
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( x − 1)( x − 2) 例6 求 y = 的导数 ( x − 3)( x − 4) 解 这函数的定义域 x > 4, 2 < x < 3, x < 1
Calculus
若 x > 4 两边取对数得 1 ln y = [ln( x − 1) + ln( x − 2) − ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2 两边对 x 求导得 1 1 1 1 1 1 ⋅ y′ = [ + − − ] y 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
解
方程两边对 x求导得 ′ 1 1 ⎛ y⎞ 2 2 ⋅ ( x + y )′ ⎟ = 2 ⋅⎜ 2 2 x +y ⎛ y⎞ ⎝ x⎠ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ x2 y′x − y 1 2 x + 2 yy′ ⇒ = ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 2 x +y x x + y 2 x2 + y2
⇒
y′x − y = x + yy′ dy x + y ⇒ = dx x − y
上式两边对 x求导得
1 1 2 y′ = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 ∴ y′ = [ + − − 1] 2 x x + 1 3( x − 1) x + 4 ( x + 4) e
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多个函数相乘、乘方、 开方和幂指函数
u( x )v ( x )的情形 .
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3 ( x + 1 ) x − 1 例5 设 y = , 求y′. 2 x ( x + 4) e
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解
等式两边取对数得
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3
由原方程知 x = 0, y = 0,
dy ∴ dx
x=0
ex − y = x+ey
x=0 y=0
= 1.
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例2 设曲线 C 的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过 C 上
3 3 点( , )的切线方程 , 并证明曲线 C 在该点的法 2 2 线通过原点 .
2 2 解 方程两边对 x求导, 3 x + 3 y y′ = 3 y + 3 xy′
∴ y′
33 ( , ) 22
y − x2 = 2 y −x
3 3 ( , ) 2 2
= −1.
3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点. 2 2
设F ( x , y ) = 0确定了一元隐函数
y = y( x )
将 y = y( x )代入F ( x , y ) = 0得 u = F [ x , y( x )] ≡ 0 du 则 =0 dx
两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时
d 要求的是 [ f ( y )] dx z→ y→ x
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例9
解
设 y = x sin x ( x > 0), 求y′.
等式两边取对数得
ln y = sin x ⋅ ln x
上式两边对 x求导得
1 1 y ′ = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ y x 1 ∴ y ′ = y(cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ ) x sin x sin x = x (cos x ⋅ ln x + ) x
y x
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两边对 x 求导得
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1 a1 a2 an ⋅ y′ = + +L+ x − a1 x − a2 x − an y a1 a2 an ] y′ = y[ + +L+ x − a1 x − a2 x − an
3 2 例 x + y 3 − 1 = 0 可确定函数 y = 1 − x
,
(2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:
⎧ x = x(t ) ⎨ t是参数 y = y ( t ) ⎩
方法(1)表示的函数称为隐函数. 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.
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