第三节 隐函数及由参数方程
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
d y ψ ′( t ) ψ ′( t ) dx , 即 , = 所以 dy = ϕ ′( t ) d x ϕ ′( t ) dy dy dt 或者 = . 参数方程的求导公式. 参数方程的求导公式. dx dx dt
14
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 . 例 求摆线 2 y = a (1 − cos t ) dy dy dt a sin t = = 解 dx a − a cos t y dx a a dt sin t a a , = 2πa x πa O 1 − cos t π sin dy 2 = 1. 当 t = π 时, x = a ( π − 1), 所以 π = 2 dx t = 2 1 − cos π y = a. 2 2 π 所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a ( 2 − ). 2 15
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
隐函数求导法则
利用函数的微分法则 将方程两边求微分. 利用函数的微分法则, 将方程两边求微分 函数的微分法则
求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 例
隐函数及参数方程确定函数求导法则
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
2-3隐函数及参数方程确定的函数求导
练习题答案
4 一 、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解. 求导法求解.
练 习 题
填空： 填空： 1、 设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则 的函数， =________ dx (1,1) 在点（ 曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点 （ 1 ， 2 ） 处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、 曲线 在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、 设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
y2
x a x ,
[( x )ln x 1ln x x
x
x 1
] x
xx
x
ax
x a ). ( a x ln a ln x x
( x 1) 3 x 1 , 求 y . 6. 设 y ( x 4)2e x
( x 1) 3 x 1
( x 4)2 e x
, 求 y .
x 3 t t 3, dx 求 . 7. 设 dy 2 y 3 t , x t 2 2 t (0 1) 8. 设由方程 2 t y sin y 1 dy y y ( x ), . 确定函数 求 dx
v u y u ( v ln u ) u
v
按指数函数求导公式
（二）由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系: y (t )
y y( x), 则称此函数为由参数方 程所确定的函数 .
2 x x 故 y 1 x. y t 2 ( )2 4 2 2 问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何 求函数的导数?
四、同步练习解答
1.
x 2 x y (sin x )tan x ln x 3 , 求 y . 2 (2 x) x y1 y2 分别用对数求导法求 y1 , y2 . y y1 y2 (sin x)tan x (sec2 x lnsin x 1)
ln x 3
x x ln x 1
故
[( x )ln x 1ln x x y1
x
x 1
] x
xx
x a 1 x x y a ln a ln x , ln y2 a ln x , 2 x y2 x x a a x ( a x ln a ln x ) 所以 y 2 x y y1 y2
第二章第三节隐函数的导数参数方程导数
解: 曲线上与 t
3 对应的点为 M (2 2 , 2 ), 4
曲线在 M 处的切线的斜率为
dy dx
t 3 4
(2 sin t ) (4 cos t )
t
3 4
2 cos t 4 sin t
1 3 t 2 4
于是,所求的切线方程为 即
1 y 2 (x 2 2) 2
t ( , ),
所确定的函数y=y(x)的 sin t
则，
dy 2sin t d y dt 2cos t cot t . d x d x 2cos t 2sin t dt
例6
设参数方程 x arctan t 2 y ln(1 t )
y' 4x 4x3 2x 2 4 2 , y x 2 x 1 x 1
4x 4x3 2x 于是 y' y ( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1 ( x 2 2) 2 4x 4x3 2x 即 y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
三、由参数方程确定的函数的导数
若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的 函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参 数方程 x (t )
y (t ) t ( , ),
所确定的函数．
1 t ( x) x ( t ) 这个函数是由 的反函数
课堂练习：用对数求导法则求下列函数的导数：
1.
yx
y
x2
2.
x 2( 3 x ) 4 ( x 1) 5
解答： x2 1.ln y ln x x 2 ln x
高等数学同济大学版2.3隐函数的求导法则
若函数 x (t), y (t)都可导, 且 (t ) 0, 则
dy (t) dy / dt
.
dx (t) dx / dt
dy
分析： dy dy dt
dy
1
dt .
dx dt dx dt dx dx
dt dt
例1
求由参数方程
x
y
2t t2
所表示的函数
y
y( x)的导数.
dy
则称此函数为由参数方程所确定的函数.
例如,
x y
2t t2
t
x 2
,
y
t2
x 2
2
x2 4
,
y
x 2
.
又如,
x
y
a(t a(1
sin t) ,
cos t)
求
dy dx
.
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
参数方程求导法则：
设
x (t)
y
(t
)
tI
利用复合函数和 反函数求导法则 可证明该法则
解 等式两边取对数得
ln y sin x ln x
两边对 x 求导得
1 y
y'
cos
x
ln
x
sin
x
1 x
,
y'
ycos x ln x
sin
x
1 x
xsin x cos
x ln
x
sin x
x .
完
例2 设(cos y)x (sin x) y , 求 y'.
外导 •
内导
eln xsin x
cos
x
三节隐函数和参数方程
-1
0.5
1
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法
极坐标方程求导
4. 用Mathematica求两种函数的导数。
课后练习
P54
3．利用M athematica求由下列方程所确定的各
隐函数
y
y(x)
的导数
ey 故 y ' 1 xe y
注：求导后得到一个关于 x 的方程，解此方程则得
y 的' 表达式，在此表达式中允许含有 y 。
例2 求曲线 y3 x3 2xy上点 (1 , 1 ) 处的切线方程。
解 方程两端对 x 求导数，得
3y2y'3x22y2xy'
解出 y ' ，得 2y3x2
y' 3y22x
dy 。
dx
解 方程两边求导，得
从求导结果中解出隐函数的导数：
或者将两个步骤合并为
注意 在
中
一样的，都表示函数
意义是 的一阶导数。
例4 求方程 导数。
解
所确定的隐函数的
即
说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
dt
dx dy
(t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
例5 已知圆的参数方程为
求
解 d yd y/d x(asint)'aco stco st d x d t d t (aco st)' asint
经济数学微积分隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 1. π dx t π 2 1 cos 2
第三节 隐函数及参数方程确定的函数求导法则
第三节 隐函数及参数方程确定的函数求导法则（Rule of Finding Derivative for Implicit Function and Function Defined by Parametric Equations ）教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法内 容：1.隐函数的求导法则2.参数方程确定的函数的求导法则3.初等函数的导数教学重点：隐函数求导教学难点: 幂指函数的求导方法教 具：多媒体课件教学方法：精讲多练教学过程：1.引入新课：类如y e xy =的函数的导数如何来计算，本节介绍这类函数的求导法则2.教学内容：一、隐函数的求导法则定义: (,)0F x y =由方程所确定的函数()y y x =称为隐函数。
.)(形式称为显函数x f y =0),(=y x F )(x f y =⇒隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1 求由方程222x y R +=所确定的隐函数的导数dy dx解 将方程的两边同时对x 求导，根据复合函数求导法则得()()()222x y R '''+= 220dy x y dx +⋅= 解得 dy x dx y=- 例2 求由方程sin ln 1y x y +=所确定的隐函数的导数x y '解 将方程两边同时对x 求导，得 1sin cos 0x x y x y x y y''++⋅= 解得 2cos 1sin x y x y y x-'=+★对数求导法观察函数sin .x y y x ==方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围: .)()(的情形数多个函数相乘和幂指函x v x u例3求函数y = 解 将等式两边取对数得()()()1ln ln ln 1ln 2ln 34y x x x x =+-----⎡⎤⎣⎦ 两边对x 求导得 1111114123x y y x x x x ⎛⎫'⋅=+-- ⎪---⎝⎭所以111141*********x y y x x x x x x x x ⎛⎫'=+-- ⎪---⎝⎭⎫=+--⎪---⎭例4 .),0(sin y x x y x '>=求设解 等式两边取对数得x x y ln sin ln ⋅=求导得上式两边对x xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=' )1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅='∴)sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=一般地)0)(()()()(>=x u x u x f x v)(ln )()(ln x u x v x f ⋅=)()(1)(ln x f dxd x f x f dx d ⋅= 又 )(ln )()(x f dx d x f x f ⋅='∴ ])()()()(ln )([)()()(x u x u x v x u x v x u x f x v '+⋅'='∴例5 求指数函数()0,1x y a a a =>≠且的导数解 把x y a =改写成log a x y =，两边对x 求导得()()log a x y ''= 11ln x y y a'=⋅ ln ln x xy y a a a '== 即 ()ln x x a a a '=当a e =时，()x x e e '=例6 证明 ()arcsin x '=证明 设arcsin y x =，则sin x y =，两边对x 求导得1cos x y y '=⋅即1cos x y y '=== 类似可证明 ()arccos x '= ()21arctan 1x x'=+ ()21arc cot 1x x'=-+★ 可得反函数的求导法则：如果函数()x y ϕ=在某区间y I 内单调、可导且()0y ϕ'≠，那么它的反函数()y f x =在对应区间x I 内也可导，且有()()1f x y ϕ'='即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.二、参数方程确定的函数的求导法则.,)()(数由参数方程所确定的函称此为间的函数关系与确定若参数方程x y t y t x ⎩⎨⎧==ψϕ 例如⎩⎨⎧==,,22t y t x 2x t =⇒消去参数t 22)2(x t y ==∴42x =x y 21='∴ 问题: 消参困难或无法消参如何求导?,)()(中在方程⎩⎨⎧==t y t x ψϕ),()(1x t t x -==ϕϕ具有单调连续的反函数设函数 )]([1x y -=∴ϕψ,0)(,)(),(≠==t t y t x ϕψϕ且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dx dt dt dy dx dy ⋅=dtdx dt dy 1⋅=)()(t t ϕψ''=，dt dx dt dydxdy =即例7 求由参数方程cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩确定的函数的导数 解 sin ,cos dx dy a t b t dt dt=-=cos cot sin dydy b t b dt t dx dx a t adt ∴===-- 例8 求曲线2t t x e y e-⎧=⎪⎨=⎪⎩在点()2,1处的切线方程和法线方程。
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
隐函数及由参数方 程所确定的函数的
导数
一、 隐函数的导数
函数y=fx表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系 有不同的表达方式.例如，y=sin x,y=1+x等，其特点是因变 量y和含有自变量x的式子分别位于等号的两边，称此类函数 为显函数.而有些函数，因变量y与自变量x之间的关系以方程 F(x,y)=0的形式出现，这样的函数称为隐函数，如ex+y－ xy=0，2x－y+1=0等.
二、 由参数方程确定的函数的导数
(3-1) 确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程 (3-1)确定的函数. 在实际问题中，有时我们需要计算由参数方程(3-1)所确 定的函数的导数，然而从参数方程(3-1)中消去参数t有时会有 一定的困难.因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程算 出它所确定的函数的导数来.下面就来讨论由参数方程(3-1)所 确定的函数的求导方法.
而且φ′(t)≠0.于是根据复合函数求导法则，则
二、 由参数方程确定的函数的导数
(3-2)
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例42】
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例43】
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例44】
三、 相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,如果变量x 与y之间存在某种关系, 之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化 率称为相关变化率.
(1,2)
于
y=x+1.
y－2=x－1
一、 隐函数的导数
【例40】
求函数y=2xx 的导数.
【例41】
一、 隐函数的导数
一、 隐函数的导数
注
本例如果直接用复合函数求导法则求这个函数的 导数是很复杂的，而使用对数求导法可使运算级别降低， 从而比较方便.对数求导法适宜于多个函数的乘积、乘 方、开方及幂指函数的求导.
导数
一、 隐函数的导数
函数y=fx表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系 有不同的表达方式.例如，y=sin x,y=1+x等，其特点是因变 量y和含有自变量x的式子分别位于等号的两边，称此类函数 为显函数.而有些函数，因变量y与自变量x之间的关系以方程 F(x,y)=0的形式出现，这样的函数称为隐函数，如ex+y－ xy=0，2x－y+1=0等.
二、 由参数方程确定的函数的导数
(3-1) 确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程 (3-1)确定的函数. 在实际问题中，有时我们需要计算由参数方程(3-1)所确 定的函数的导数，然而从参数方程(3-1)中消去参数t有时会有 一定的困难.因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程算 出它所确定的函数的导数来.下面就来讨论由参数方程(3-1)所 确定的函数的求导方法.
而且φ′(t)≠0.于是根据复合函数求导法则，则
二、 由参数方程确定的函数的导数
(3-2)
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例42】
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例43】
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例44】
三、 相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,如果变量x 与y之间存在某种关系, 之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化 率称为相关变化率.
(1,2)
于
y=x+1.
y－2=x－1
一、 隐函数的导数
【例40】
求函数y=2xx 的导数.
【例41】
一、 隐函数的导数
一、 隐函数的导数
注
本例如果直接用复合函数求导法则求这个函数的 导数是很复杂的，而使用对数求导法可使运算级别降低， 从而比较方便.对数求导法适宜于多个函数的乘积、乘 方、开方及幂指函数的求导.
高等数学：第三节 隐函数、参数方程
5
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)
3(3)隐函数与参数方程的导数
求下列函数的导数.
x (1) y 2 1 x
(3) y sin x
tan x
sin x
(2) 设x y , 求y.
y x
cos x
2
cot x
x 1 (4) y 3 x 1 x 2
15
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
所确定的函数的导数. 例8 求旋轮线(摆线,速降线)
x a t sin t y a 1 cos t
0 t 2
y( x).
18
上斜率为1的切线方程. 并求
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
x (t ) 进一步,假设在参数方程 y (t ) 中, (t ), (t ) 二阶可导,则
2 x 4 y y 0, y ( 2,
2)
再对x 2 2 2 y两边关于 求导得: x
1 . 2
2 x 2 2 y, y ( 2,
2)
2. 即证.
8
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单. 适 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数. 用 ( 2)幂指函数u( x )v ( x ) . 于 ( x 1) 3 x 1 sin x 如y ,y x . 2 x ( x 4) e
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
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8
例5
设
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求dy.
解 等式两边取对数，得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
1 2
gt
2
,
求
(1)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
运
动
方
向;
(
2)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
速
度
大
小.
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13
解
(1)
在
t
时
0
刻
的
运
动
方
向
y
即 轨 迹 在t0时 刻 的 切 线 v0 vy v
方 向, 可 由 切 线 的 斜 率 来
vx
反映 .
o
x
dy
(v0t sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
对 方 程
x y
(t (t
)两 )
边
求
微
分, 得
dx (t)dt
dy (t)dt
则
dy (t)dt dx (t)dt
消去dt，得
dy (t) , dx (t)
即
yx
(t) (t )
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8
例5
设
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求dy.
解 等式两边取对数，得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
1 2
gt
2
,
求
(1)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
运
动
方
向;
(
2)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
速
度
大
小.
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解
(1)
在
t
时
0
刻
的
运
动
方
向
y
即 轨 迹 在t0时 刻 的 切 线 v0 vy v
方 向, 可 由 切 线 的 斜 率 来
vx
反映 .
o
x
dy
(v0t sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
对 方 程
x y
(t (t
)两 )
边
求
微
分, 得
dx (t)dt
dy (t)dt
则
dy (t)dt dx (t)dt
消去dt，得
dy (t) , dx (t)
即
yx
(t) (t )
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2_3隐函数及参数方程及高阶导数
2_3隐函数及参数方程及高阶导数隐函数的概念是在一些函数表达式难以直接给出的情况下，通过关联的多个变量之间的关系来隐式表示函数。
参数方程是一种用参数表示的函数表达方式，其中每个参数的取值都有助于确定函数的输出值。
高阶导数则是指函数的导数的导数，即对函数进行多次求导。
一、隐函数在一些情况下，给定的函数表达式无法直接通过解析方式表示出来，这时就需要使用隐函数来描述函数关系。
隐函数是通过关联的多个变量之间的关系来隐式表示函数。
在二元函数中，如f(x,y)=0，我们可以将y 表达为关于x的函数y(x)。
这里的y(x)即为隐函数。
当无法直接通过解析方式给出函数表达式时，可以通过求导来求解隐函数。
假设有一个同时关联了x和y的函数表达式，可以通过求导来推导出其中一个变量关于另一个变量的导函数，然后进行求解，得到隐函数的解析表达式。
二、参数方程参数方程是一种将函数表示为参数的函数表达方式，其中每个参数的取值决定了函数的输出值。
通常使用参数t来表示，参数t的取值范围以及对应的输出值可以描述出函数的图像。
以平面曲线为例，当我们使用参数方程来表示曲线时，我们可以将x 和y分别表示为关于参数t的函数。
例如，对于一条简单的曲线，可以表示为x=f(t)，y=g(t)。
这里的函数f(t)和g(t)分别给出了参数t取值时的x和y值。
参数方程的优势在于可以方便地描述出相对复杂的曲线，例如圆形、椭圆形等。
通过在参数方程中引入额外的参数，可以进行轨迹的变换与变形。
同时，参数方程还可以描述出三维空间中的曲面。
三、高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数，即对函数进行多次求导。
一阶导数表示函数的变化速率，而高阶导数则表示函数变化速率的变化速率。
对于一个实值函数f(x)来说，其n阶导数可以表示为f⁽ⁿ⁾(x)，其中n是一个非负整数。
一阶导数表示函数的变化趋势，二阶导数可以表示函数的凸凹性，三阶导数可以表示函数的图像特征以及曲线的弯曲情况。
高阶导数在数学和科学工程领域中有广泛的应用。
第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
练 习 题
一、 填空题： 1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0 确定了 y 是 x 的函 d2y dy 数，则 =________， 2 ________. dx (1,1) dx 2、 曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程是 ___________. x t cos t 3、 曲线 在 t 处的法线方程________. 2 y t sin t x e t cos t dy dy 4、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t y e sin t
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt ( t ) 即 dx dx ( t ) dt
例1
x a cos 3 t 求由方程 3 所确定的函数 y a sin t y y( x ) 的一阶导数 .
2 2 v v x v 2 v0 2v0 gt0 sin g 2 t02 y
四、相关变化率
设 x x ( t ) 及 y y( t ) 都是可导函数 , 而变量 x dx 与 y 之间存在某种关系, 从而它们的变化率 dt dy 与 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖 dt 的变化率称为 相关变化率 .
3
5、 设 xy e x y ,则
dy =________. dx
d2y 二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx 1、 y 1 xe y ； 2、 y tan( x y ) ； y 3、 x y x ( x 0， y 0) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y x ； x 2( 3 x ) 4 2、 y ； 5 ( x 1)
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第 二 章
( x − 1)( x − 2) 例6 求 y = 的导数 ( x − 3)( x − 4) 解 这函数的定义域 x > 4, 2 < x < 3, x < 1
Calculus
若 x > 4 两边取对数得 1 ln y = [ln( x − 1) + ln( x − 2) − ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2 两边对 x 求导得 1 1 1 1 1 1 ⋅ y′ = [ + − − ] y 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
同理 若 2 < x < 3 y 1 1 1 1 ⇒ y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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第 二 章
dy 例7 设 x = y 求 dx 解 两边取对数得 y ln x = x ln y 两边对 x 求导得 1 1 y′ ln x + y ⋅ = ln y + x ⋅ ⋅ y′ x y 2 xy ln y − y ⇒ y′ = xy ln x − x 2 dy an a1 a2 例8 设 y = ( x − a1 ) ( x − a2 ) L( x − an ) 求 dx 解 两边取对数得 ln y = a1 ln( x − a1 ) + a2 ln( x − a2 ) + L + an ln( x − an )
y x
Calculus
两边对 x 求导得
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第 二 章
1 a1 a2 an ⋅ y′ = + +L+ x − a1 x − a2 x − an y a1 a2 an ] y′ = y[ + +L+ x − a1 x − a2 x − an
多个函数相乘、乘方、 开方和幂指函数
u( x )v ( x )的情形 .
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第 二 章
3 ( x + 1 ) x − 1 例5 设 y = , 求y′. 2 x ( x + 4) e
Calculus
解
等式两边取对数得
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3
由原方程知 x = 0, y = 0,
dy ∴ dx
x=0
ex − y = x+ey
x=0 y=0
= 1.
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第 二 章
Calculus
例2 设曲线 C 的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过 C 上
3 3 点( , )的切线方程 , 并证明曲线 C 在该点的法 2 2 线通过原点 .
y0 =− x = x0 x0
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Calculus
切线方程为
⇒ ⇒ x0 y +
y0 ( x − x0 ) y − y0 = − x0
y0 x = x 0 y0 + x 0 y0 + y0 x 0 y0 ) = a x 0 y0 y0 x 0
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Calculus
一般地
f ( x ) = u( x )v ( x ) ( u( x ) > 0)
Q ln f ( x ) = v ( x ) ⋅ ln u( x )
d 1 d 又Q ln f ( x ) = ⋅ f ( x) dx f ( x ) dx
上式两边对 x求导得
1 1 2 y′ = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 ∴ y′ = [ + − − 1] 2 x x + 1 3( x − 1) x + 4 ( x + 4) e
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⇒ y 1 1 1 1 y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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(1 − x )( 2 − x ) 两边取对数得 若 x<1 y= ( 3 − x )(4 − x ) 1 ln y = [ln(1 − x ) + ln( 2 − x ) − ln( 3 − x ) − ln( 4 − x )] 2 两边对 x 求导得 −1 −1 1 1 −1 −1 ⋅ y′ = [ + − − ] y 2 1− x 2− x 3− x 4− x ⇒ y 1 1 1 1 y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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第三节 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
(1)函数的表示法
1.直接表示 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数 2.间接表示 (1)由一个方程 F(x,y)=0 所确定的函数
d ∴ f ′( x ) = f ( x ) ⋅ ln f ( x ) dx
∴ f ′( x ) = u( x )
v( x)
v ( x )u′( x ) [v ′( x ) ⋅ ln u( x ) + ] u( x )
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⇒
记 z = f ( y)
dz dz dy dy = ⋅ = f ′( y ) ⋅ dx dy dx dx
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du 将求出的这些导数代入 =0 dx dy 得到关于 的代数方程， dx dy = g ( x , y )即为所求 解得 dx 至于隐函数求二阶导数，与上同理 dy 在 = g ( x , y )两边再对 x求导 dx dy d2y ′ 再将 = g ( x , y )代入 ⇒ 2 = G( x, y, y ) dx dx
Calculus
例9
解
设 y = x sin x ( x > 0), 求y′.
等式两边取对数得
ln y = sin x ⋅ ln x
上式两边对 x求导得
1 1 y ′ = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ y x 1 ∴ y ′ = y(cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ ) x sin x sin x = x (cos x ⋅ ln x + ) x
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例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
x =0
.
注意 y = y(x),
解 方程两边对 x 求导,
dy x y dy y+ x −e +e =0 dx dx dy e x − y y ( x + e ≠ 0) = , 解得 y dx x + e
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第 二 章
Calculus
用隐函数求导方法证明反函数的求导法则
设x = ϕ ( y )为直接函数， y = f ( x )为其反函数
y = f ( x )可视为由方程 x − ϕ ( y ) = 0确定的一个 隐函数
由隐函数的求导法则
Calculus
v( x) f ( x ) = u ( x ) ( u( x ) > 0) 也可表 幂指函数
示成
f ( x ) = e v ( x ) ln u( x )
这样,便可直接求得
f ′( x ) = e
v ( x ) ln u ( x )
解
方程两边对 x求导得 ′ 1 1 ⎛ y⎞ 2 2 ⋅ ( x + y )′ ⎟ = 2 ⋅⎜ 2 2 x +y ⎛ y⎞ ⎝ x⎠ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ x2 y′x − y 1 2 x + 2 yy′ ⇒ = ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 2 x +y x x + y 2 x2 + y2
⇒
y′x − y = x + yy′ dy x + y ⇒ = dx x − y
方程x = ϕ ( y )两边对 x求导得 dy 1 = ϕ ′( y ) ⋅ dx ⇒ dy 1 = dx ϕ ′( y )
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第 二 章
Calculus
y dy 2 2 . 例3 设 arctan = ln x + y , 求 x dx