模糊模式识别

5
X Y上的模糊关系 R
x1
y1 y2
R（ x1 , R（ x1 ,
y1 ) y2 )
y3 y4
R（ R（
x1 x1
, ,
y3 ) y4 )
x2
R（ x 2 , y1 ) R（ x 2 , y2 ) R（ x 2 , y3 ) R（ x 2 , y4 )
x3
R（ x3 , y1 ) R（ x3 , y2 ) R（ x3 , y3 ) R（ x3 , y4 )
设 U＝{x},V={y}为两个集合，则它们的笛卡儿乘积集为： U×V={(x,y)|x∈U,y∈V},
4
(x,y)是 U,V 元素间的有序对。
(x,y)是一种无约束有顺序的组合， 笛卡尔乘积的运算不满足交换律， 特殊的笛卡尔乘积：A＝{x}，A×A＝{(xi,xj)| xi,xj ∈A} （2）关系及其表示 设 U＝{x},V={y}为两个集合， R 为笛卡尔乘积 U×V 的一个子集，则称其为 U ×V 中的一个关系。 关系 R 代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束。 关系的表示： 集合表示法：R＝{(x1,y2),(x2,y1),(x3,y3)} 描述表示法：R＝{(x,y)| x>y} 图形表示法：关系图
例：设 U 为 5 种空中飞行目标的集合，U＝{直升飞机，大型飞机，战斗机，飞 鸟，气球} ，根据对一个飞行物体的运动特征检测，得到其模糊子集表达为： A＝0.7/直升飞机+0.3 / 大型飞机 + 0.1/ 战斗机 + 0.4/ 飞鸟 + 0.8/ 气球 根据最大隶属度原则，可判断该飞行物体为“气球”。
d c
0
xa a xb bxc cxd dx
c) 高斯形：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
a
b
μA (x)
1
0.8
A
(x)
exp(
1 2
(
x
c
)2
)
0.6
0.4
0.2
c
d) 柯西形：
b
c
x
c
d
x
x
2
μA (x)
1
0.8
A
(x)
1
(
1 x
c
)b
0.6
a
0.4
0.2
c
x
模糊数学的本质 模糊数学不是把精确的概念模糊化，而是把模糊的概念精确化、定量化，从 而可以用严格的运算方式和严密的逻辑体系来进行处理。 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。 隶属度和概率的区别 尽管隶属度和概率都是用一个 0～1 之间的实数来表达，但是二者有本质区 别。 隶属度表达的是某个命题具有某个概念的程度，这种程度是确定的，不包含 任何的随机性，例如“今天天气热的程度是 0.8”，表达的是一个确切的气温值， 而这个温度值在 0.8 的程度上可以算作“热”。 概率表达的是某个命题具有某个概念的可能性，命题对这个概念的取值仍旧 是二值的，“属于”或者“不属于”，只是是否“属于”具有随机性，例如“今天 天气热的概率是 0.8”，表达的是“热”或者“不热”这两个明确的概念，而“热” 的情形发生的概率为 0.8。
二、 模糊模式识别方法
1、最大隶属度识别法 （1）形式一：
设 A1, A2,…. ,An 是 U 中的 n 个模糊子集， 且对每一 Ai 均有隶属度函数μ
6
i(x) ，x0 为 U 中的任一元素，若有隶属度函数
μi(xo) =max[μ1(xo), μ2(xo),….. μn(xo)]
则
xo∈Ai
0,
当 x A
隶属度函数一般来源于对概念模糊程度的统计调查和专家经验总结，常见的 隶属度函数形式有：
a) 三角形：
1
μA (x)
0
x
a
A
(
x
)
b c
a x
c b
0
xa a xb
bxc cx
b) 梯形：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
a
μA (x)
0
x
a
A (x) 1b a
d
x
许多概念集合具有模糊性，例如：
成绩：好、差
身高：高、矮
年龄：年轻、年老
头发：秃、不秃
（2） 隶属度函数： 如果一个集合的特征函数μA(x)不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中
取值，则μA(x)是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函数，称为隶属度函数。
1,
当 x A
A x 0 A x 1, 当x在一定程度上属于 A
例 2：样本集 X 中各样本之间的相似关系可表示为：
x1 x2 x3 x4
x1 1 0.6 0.2 0.8 x2 0.6 1 0.3 0.9
x3
0.2
0.3
1 0.1
x4 0.8 0.9 0.1 1
模糊矩阵的乘积（合成运算）： C A B, cij (x, y) (aik (x) bkj (x)) ；
近度定义为：
7
A ( x) B ( x)
( A, B)
xU
A ( x) B ( x)
xU
符号“”表示求最大，“”表示求最小。
（2）择近原则识别法： 设 U 上有 n 个模糊子集 A1, A2,…. ,An 及另一模糊子集 B。若贴近度
(
B,
Ai
)＝
max(
1 jn
B,
A
j
)
则称B与Ai最贴近.则 B Ai类.
设 A 是 U 中的 1 个模糊子集， x1～xn 为 U 中的 n 个元素，若 A 的隶属度 函数中，
μ(xk) =max[μ(x1), μ(x2),….. μ(xn)] 则 A 属于 xk 对应的类别
U 中的每一个元素对应了一个类别 A 代表一个样本，其隶属度函数代表了这个样本属于不同类别的程度 此法不仅能得到样本的分类结果，还可以得到样本与各个类间的相似程 度排序
补集： A A ( x) 1 A ( x)
3、模糊集合的α水平截集
设 A 为U {x}的模糊子集，则对任意 [0,1]，
A {x A ( x) }称为模糊子集 A的水平截集
模糊子集本身没有ຫໍສະໝຸດ Baidu定边界，其水平截集有确定边界，并且不再是模糊 集合，而是一个确定集合。 例：年龄的取值集合为
U={50 岁,45 岁, 40 岁 ,35 岁,30 岁, 25 岁} 模糊集“年青”可表示为： A=0/ 50 岁+0.1 / 45 岁 + 0.3/40 岁 + 0.5/ 35 岁 + 0.9/ 30 岁 +1/ 25 岁 A 的不同的水平截集为： α =0 ， A0 ={50 岁，45 岁, 40 岁 ,35 岁,30 岁, 25 岁} α =0.1， A0.1 ={45 岁, 40 岁 ,35 岁,30 岁, 25 岁} α =0.2， A0.2 ={40 岁 ,35 岁,30 岁, 25 岁} α =0.3， A0.3 ={40 岁 ,35 岁,30 岁, 25 岁} α =0.5， A0.5 ={35 岁,30 岁, 25 岁} α =0.7， A0.7 ={30 岁, 25 岁} α =0.9， A0.9 ={30 岁, 25 岁} α =1 ， A1 ={25 岁} 4、模糊关系及模糊矩阵 （1）集合的笛卡儿乘积
矩阵表示法：
对有限集合上的关系，可以用矩阵表示：
X Y上的关系 R
X X上的关系 R（相似）
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
y1 1 0 1 0 y 2 0 1 0 1
y3
1
1
0
1
y 4 1 0 0 1
x1 1 0 1 0 x2 0 1 0 1
x3
1
0
1
0
x4 0 1 0 1
第九讲 模糊模式识别
一、 模糊数学的基础知识
模糊数学又称为“模糊集理论”，是在康托尔(Georg Cantor)的经典集合理论 基础上发展起来的。
1、集合及其特征函数： （1）集合：
在经典集合理论中，集合可以用来说明概念，它是具有某种共同属性
的事物的全体，即论域 E 中具有性质 P 的元素组成的总体称为集合。 （2）集合的运算：
0.9
0.2
可以晨练
0.5
0.6
0.6
不适宜晨练
0.4
0.5
0.8
某天的气象条件用模糊集合来表达为：
B=0.8/标准气温+0.7/标准风力+0.5/有污染 请问：该天的晨练指数应该预报为哪一级？
x4
R（ x 4 , R（ x 4 ,
y1 y2
) )
R（ x 4 R（ x 4
, ,
y3 y4
) )
该矩阵称为模糊矩阵
例 1： x 为身高， y 为体重；
x=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位 m）
y = (40,50,60,70,80) （单位 kg）
模糊关系“合乎标准”表示为：
集合的常用运算包括：交（∩）、并（∪）、补
（3）特征函数： 对于论域 E 上的集合 A 和元素 x，如有以下函数：
A
x
1, 0,
当 x A 当 x A
则称 A x 为集合A的特征函数
特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度
可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和各种事物的性质
2、模糊集合 （1）概念的模糊性：
若有了隶属度函数μ (x)，我们把隶属度函数作为判别函数使用即可。 此法的关键是求隶属度函数
U 中的每一个元素，代表了样本的一种取值情况，而 Ai 代表了不同的类 别
例：体型判断这一分类问题中，设样本仅有一维特征，为体型指标，分别有 6 种取值，取值域为 U＝{5,10,15,20,25,30} ， 三种体型类别用模糊子集可以定义为： “偏胖”＝0/ 5+0.2 / 10 + 0.4/15 + 0.6/20 + 0.8/25+ 1/30 “标准”＝0.4/ 5+0.6 / 10 + 0.8/15 +1/20 + 0.6/25+ 0.4/30 “偏瘦”＝1/ 5+0.8 / 10 + 0.6/15 + 0.4/20 + 0.2/25+ 0/30 如果某人的体型指标为 15,则根据最大隶属度原则，可分到“标准”这一类。 （2）形式二：
40
50
60
70
80
1.4
1
0.8
0.2
0
0
1.5
0.8
1
0.8
0.2
0
1.6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
1.7
0
0.2
0.8
1
0.8
1.8
0
0
0.2
0.8
1
也可记为：
1 0.8 0.2 0 0
0.8
1
0.8 0.2
0
R 0.2 0.8 1 0.8 0.2
0
0.2 0.8
1
0.8
0 0 0.2 0.8 1
A
～
A x1
x1
Ax2
x2
Axn
xn
或
A
～
A
xi x
xi
xi
x1,x2,…,xn 称为模糊子集 A 的支持点。
当 U 为连续域时，模糊子集可以表示为： A ～
x
A
x
x
（4）模糊集合的基本运算：
交集： C A B C ( x) minA ( x), B ( x)
并集： C A B C ( x) max A ( x), B ( x)
3
（3）模糊子集：
设集合 A 是集合 U 的一个子集，如对于任意 U 中的元素 x，用隶属度函数
μA(x)来表示 x 对 A 的隶属程度，则称 A 是 U 的一个模糊子集，记为：
A={μA(xi), xi}
模糊子集也可以看作是论域 U 到区间[0,1]上的一个映射，映射规则为μA(x)。
当 U 为离散集时，模糊子集可以用下式表示：
样本和类都用模糊子集来表示 取值范围 U 中的每个元素代表了一个特征维度
例：某气象台对于当日气象条件的晨练指数预报分为三级，是用模糊集的方式，
依据气温、风力、污染程度三个指标来决定的，具体隶属度关系见下表：
晨练指数级别 对“标准气温”的 对“标准风力”的 对“有污染”的
隶属度
隶属度
隶属度
适宜晨练
0.7
例：U＝{张三，李四，王五}，V＝{数学，英语，政治} 则关系 R（选课）可表示为：
张三 李四 王五
数学 1
0
1
英语 1
1
0
政治 0
1
1
（3）模糊关系 如关系 R 是 U×V 的一个模糊子集，则称 R 为 U×V 的一个模糊关系，其
隶属度函数为μR(x,y)
隶属度函数μR(x,y)表示 x,y 具有关系 R 的程度
2、择近原则识别法 （1）贴近度：
贴近度是两个模糊子集间互相靠近的程度，理想的贴近度应当具有以下性 质： （1） (A, A) 1;
（2） (A, B) (B, A) 0;
（3）若对任意 x U有 A ( x) B ( x) C ( x) 或 A ( x) B ( x) C ( x)则有 ( A,C ) (B,C ) 贴近度定义很多， 设 A，B 为 U 上的两个模糊子集，可以将它们之间的贴
扎德 L. A. Zadeh(1921～) 美国控制论专家，美国工程科学院院
士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程 与计算机科学系教授。因发展模糊集理论 的先驱性工作而获电气与电子工程师学会 (IEEE)的教育勋章。
1965 年，扎德在《信息与控制》杂志第 8 期上发表《模糊集》的论文, 开创了以精 确数学方法研究模糊概念的模糊数学领域。