普朗克黑体辐射公式推导

量子力学结课论文：

对普朗克黑体辐射公式的推证及总结

摘要：黑体辐射现象是指当黑体（空腔）与内部辐射处于平衡时，腔壁单位面积所发射出的辐射能量与它所吸收的辐射能量相等。实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状和组成物质无关。基于能量量子化的假设，普朗克提出了与实验结果相符的黑体辐射能量公式：

ρv dν=8πhν3

c3

∙

1

e hv kT−1

普朗克的理论很好地解释了黑体辐射现象，并且突破了经典物理学在微观领域内的束缚，打开了人类认识光的微粒性的途径［1］。本文主要介绍了普朗克公式的推导过程及其能量假设并将普朗克对黑体辐射的解释做了总结。

关键词：黑体辐射能量量子化普朗克公式麦克斯韦-玻尔兹曼分布

1.普朗克的量子化假设：

黑体以hν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的光子的能量.

且能量单位hν称为能量子，h为普朗克常量（h=6.62606896×10−34J∙S）

2.普朗克公式的推导过程：

2.1任意频率ν下的辐射能量：

假设有一处于平衡状态的黑体，其内有数量为N 的原子可吸收或发出频率为ν的光子，其中N g 为这些原子中处在基态的原子数，N e 为处在激发态（此处指可由基态原子受频率为ν的光子激发达到的能态）的原子数，n 为频率为ν的光子平均数。则由统计力学中的麦克斯韦-玻尔兹曼公式[2]知：

N e ∝N e

−E e kT N g ∝ N e −E g kT 由此可得 N e

N g =e −Ee−Eg kT =e −h νkT (2.1.1)

平衡状态下，体系内原子在两能级间相互转化的速率相等，且其速率正比于转化的概率和该状态下的原子数目。结合爱因斯坦系数关系［3］可得： N g n=N e (n+1)

(2.1.2) 结合(2.1.1)，可解得： n =1

e h νkT −1 (2.1.3)

则该状态下光子总能量为：

ε0= nhv =

hv e h νkT −1 (2.1.4) 2.2 v ~v +d v 频率段中可被体系接收的频率数目

设所求黑体为规整的立方体，其长，宽，高分别为L x ，L y ，L z 。体积为V 0。不妨先讨论一维情况：

体系线宽为L ，则L 必为光子半波长的整数倍，设其波数为K ，有

k j =jπ

L

（j为整数）(2.2.1)成立。

则两相邻可被体系接收的频率所对应的波数间隔为

δk=k j+1−k j=π

L

(2.2.2)

由此可得在∆k波数段内，可被体系接收的频率数目（或称波数数

目）为：∆N =∆k

δk

=L

π

∆k (2.2.3)

因空腔内光波为驻波（波数为K和-K的两列波合成），考虑K值的

正负，(2.2.3)式可修正为：∆N =L

2π

∆k (2.2.4) 由此可得，在三维情况下，有

∆N x =L x

2π

∆k x

∆N y=L y

2π

∆k y (2.2.5)

∆N z =L z

2π

∆k z

并由此得到

∆N(k)=∆Nx∙∆Ny∙∆Nz= L x L y L z

8π

∆k x∆k y∆k z (2.2.6)

因L x L y L z为黑体体积V0，∆k x∆k y∆k z为K体积元d3k ，考虑半径为K，厚度为dk的球壳，则(2.2.6)式可化为：

dN (k )=V 08πd 3k =V

08π4πk 2dk

即dN (k )

=V 0

2πk 2dk (2.2.7) 由 k =2πv c 代入(2.2.7)可得 dN (v )=4πν3

c V 0 dν (2.2.8)

因光为电磁波，对任意波矢K 可有两正交的偏振，其频率相互独立，所以(2.2.8)应修正为：

dN (v )=8πν3

c V 0 dν (2.2.9)

此即为v ~v +d v 频率段中可被体系接收的频率数目。

2.3 v ~v +d v 频率段内的黑体辐射能量

由(2.1.4)和(2.2.9)可得v ~v +d v 频率段内的黑体辐射能量为： ε0dN(v) =

8πhν3c 3(e h νkT −1)V 0 dν 继而可得：

ρv dν=ε0dN(v)

V 0=8πhν3c 3∙1

e hv kT −1 (2.3.1)

由此，普朗克公式已推出。

结论：

相较于同时提出的维恩公式及瑞利-金斯公式，普朗克提出的(2.3.1)式精确地贴合了实验得出的黑体辐射能量分布曲线（如下图）。

普朗克对黑体辐射光谱的研究以及他对(2.3.1)的发现开创了量子力学整个学科。［4］

推导过程中的不足：论证结果是在黑体为规整的立方体的前提下得出的，没有进行更具有一般性的论证。

参考资料：

［1］周世勋，陈灏《量子力学教程（第二版）》北京：高等教育出版社 ,2008

［2］何丽珠，邵渭泉《热学》北京：清华大学出版社，2013 ［3］［4］费恩曼，莱顿，桑兹著，潘笃武，李洪芳译，《费恩曼物理学讲义（新千年版）》第三卷，第四章