时域有限差分法

引言
时域有限差分法的基本点（二）
区的划分（一）
• 散射问题
引言
时域有限差分法的基本点（二）
区的划分（二）
• 对于辐射问题，激励源直接加到辐射天线上，整个计算区域为辐 射场
引言
时域有限差分法的基本点（三）
吸收边界条件
• 为了在有限计算区域模拟无界空间中的电磁问题，必 须在计算区域的截断边界上设置吸收边界条件 • 吸收边界条件从简单的插值边界，已经发展了多种吸 收边界条件 • 目前比较广泛采用的有Mur吸收边界，以及近几年发展 起来的完全匹配层（PML）吸收边界
引言
时域有限差分法的产生与发展
• 1992年，Maloney和Smith提出将阻抗边界条件应用于 时域有限差分法 • 1992年，Sui等人提出了用二维时域有限差分法计算有 集中参数元件的数字和微波电路模型，包括电阻、电 容、电感、二极管、晶体管等元件 • Berenger（1994，1996年）提出将麦克斯韦方程扩展为 场分量分裂形式，并构成完全匹配层（PML），这是 一种全新的吸收边界
≈
1 i , j ,k − 2
∂f ( x, y, z, t ) ∂t
x =iΔx y = j Δy z = k Δz t = nΔt
≈
fijk − fijk Δt
Yee元胞
在时域有限差分法的差分离散中，电场和磁场的空间分布
这就是著名的Yee元胞
Yee元胞
• • • • 在Yee元胞中，每个磁场分量由四个电场分量环绕，每个电场分 量由四个磁场分量环绕 这种电磁场的空间分布符合法拉第感应定律和安培环路定律 这种电磁场的空间分布适合与麦克斯韦方程的差分计算，能够恰 当地描述电磁场的传播特性 电场和磁场在时间顺序上交替取值，时间间隔彼此相差半个时间 步长，使麦克斯韦旋度方程在差分离散后构成显式差分格式，从 而可以在给定相应电磁问题的初始条件和边界条件后，利用时域 有限差分法可以逐步推进地求出以后各个时刻空间电磁场的分布
引言
时域有限差分法的产生与发展
• Sacks等人（1995年）和Gedney（1996年）提 出各向异性介质的PML，其支配方程是各向异 性介质麦克斯韦方程 • 1999年，Prather和Shi分析轴对称衍射透镜，给 出波长为一微米的平面波和高斯波入射时，直 径为102.47微米的衍射透镜的光波传播特性 • 。。。。。。
时域有限差分法
刘悦 大连理工大学物理与光电工程学院 中国大连，116024
参考书
葛德彪，闫玉波 《电磁波时域有限差分法》（第二版） 西安电子科技大学出版社，2005年
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目录
• • • • • • • • • 引言 麦克斯韦方程 Yee元胞 直角坐标系中的时域有限差分法：三维情形 直角坐标系中的时域有限差分法：二维情形 直角坐标系中的时域有限差分法：一维情形 数值稳定性 吸收边界条件 例子
引言
时域有限差分法的产生与发展
• 1975年，Taflove等人用时域有限差分法计算非均匀介 质在正弦波入射时的时谐场（稳态）电磁散射，讨论 了时谐场情况的近—远场外推，以及数值稳定性条件 • Holland（ 1977年）和Kunz（1978年）用时域有限差分 法计算F117飞机这种复杂目标的电磁脉冲辐射 • 1981年，Mur提出在计算区域截断边界处的一阶和二阶 吸收边界条件及其在时域有限差分法中的离散形式。 这是时域有限差分法中的一种十分有效的吸收边界条 件，获得广泛应用
引言
时域有限差分法的产生与发展
• 1990年，Sullivan用时域有限差分法计算60~70MHz电 磁波照射下透入人体内部的电磁场，研究了生物电磁 学问题 • 1990年，Luebbers和hunsberger等人研究了色散介质在 时域有限差分法中的处理方法 • 1991年，Yee等人和Luebbers等人分别提出了三维时域 有限差分法时域近—远场外推方法 • 1992年， Luebbers等人提出了二维时域有限差分法时 域近—远场外推方法
引言
时域有限差分法的应用
• 周期结构分析，例如频率选择表面、光栅传输特性、 周期阵列天线、光子带隙结构，以及随机粗糙表面等 • 电子封装，电磁兼容分析，例如多线传输及高密度封 装时的数字信号传输，分析环境和结构对元器件和系 统电磁参数及性能的影响 • 核电磁脉冲的传播和散射，在地面的反射及对电缆传 输的干扰 • 微光学元器件中光的传播和衍射特性 • 双负介质中电磁波的传播特性
对 f ( x, y , z , t ) 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即
∂f ( x, y, z , t ) ∂x ∂f ( x, y, z , t ) ∂z
f n1
x =iΔx y = j Δy z = k Δz t = nΔt
≈
i + , j ,k 2
− f n1
i − , j ,k 2
引言
时域有限差分法的产生与发展
• 1987年，Kasher和Yee提出亚网格技术 • Umsshankar和Taflove 分别在1987年和1988年用时域有 限差分法分析了自由空间及腔体中导线上的感应电 流，讨论了时域有限差分法中细导线的处理方法 • Zhang和Mei（1988年）、 Gwarek（1988年）、 Liang 等人（1989年）、Sheen和Kong等人（1990年）用时域 有限差分法分析计算了波导、同轴线、微带天线及微 带不连续性问题，得到相应的阻抗、传播常数及S参数
•
引言
时域有限差分法的软件
• AutoMESH，可以自动产生三维非均匀正交网格以描 写复杂结构物体，并给出二维分层显示，应用Visual BASIC语言，结合时域有限差分法可以计算微带滤波 器、微带天线传输及辐射特性等（1999年） • A Conformal FDTD Software Package，用来模拟射频天 线，微带电路元件，应用非均匀及共形网格，PML吸 收边界，近—远场变换，可处理曲面和有边缘物体， 使用Visual BASIC和C++语言（2000年）
引言
时域有限差分法的产生与发展 • 1966年，Yee首先提出了麦克斯韦方程的差分 离散方式，并用来处理电磁脉冲的传播和反射 问题 • 1969年，Taylor等人用时域有限差分法分析非 均匀介质的电磁散射，提出用吸收边界来吸收 外向行波，吸收边界采用的是简单插值方法 • 1971年，Merewether用时域有限差分法计算旋 转体上由入射脉冲所引起的感生电流，采用了 辐射边界条件
引言
时域有限差分法的软件
• • FDTDA，三维时域有限差分法的软件，源程序用FORTRAN语言 编写（1993年） XFDTD，具有多种功能，包含有瞬态近—远场外推，亚网格技 术，介质可以是有耗介质、磁化铁氧体，可用以分析生物体对电 磁波的吸收特性（SAR），螺旋及微带天线，天线阻抗的频率特 性，移动电话场强分布，细导线及复杂物体电磁散射和RCS （1996年） EMA3D，分析核电磁脉冲（NEMP）及雷电耦合，高功率微波， 宽带RCS，天线，屏蔽特性，印刷电路板的电磁兼容。软件具有 多种边界条件，亚网格剖分，适用于有耗介质、平面波源及电压 电流源（1997年）
∂H y ∂Ex ∂Ez − = −μ −σmH y ∂z ∂x ∂t ∂E y ∂Ex ∂H z − = −μ −σmHz ∂x ∂y ∂t
Yee元胞
时域有限差分法的差分离散 令 f ( x, y , z , t ) 代表E或H在直角坐标系中某一分量，在时间和空 间域中的离散取以下符号表示
n f ( x, y, z, t ) = f (iΔx, j Δy, k Δz, nΔt ) = fijk
引言
时域有限差分法的基本点（二）
区的划分（一）
对于散射问题，通常在计算区域中引入总场边界（即连接边 界），将计算区域划分为总场区和散射场区。 这样做的好处： • 应用惠更斯（Huygens）原理，可以在连接边界处设置入射波， 使入射波的加入简单易行 • 可以在截断边界（即吸收边界）处设置吸收边界条件，利用有限 计算区域就能够模拟开域的电磁散射过程 • 根据等效原理，应用数据存储边界（即输出边界）处的近区场便 可以实现远场的外推计算 •
m
Jm = σ mH
J =σE
0
μ = μ 0 = 4π × 10 −7 亨利/米
麦克斯韦方程
在直角坐标系中
∂Ex ∂H z ∂H y − =ε + σ Ex ∂y ∂z ∂t
∂H x ∂Ez ∂E y − = −μ −σ mHx ∂y ∂z ∂t
∂E y ∂H x ∂H z − =ε + σ Ey ∂z ∂x ∂t ∂H y ∂H x ∂Ez − =ε + σ Ez ∂x ∂y ∂t
其中E为电场强度，单位为伏特/米 D为电通量密度，单位为库仑/米2 H为磁场强度，单位为安培/米 B为磁通量密度，单位为韦伯/米2 J为电流密度，单位为安培/米2 Jm为磁流密度，单位为伏特/米2
麦克斯韦方程
各向同性线性介质中的本构关系为
B = μH
D = εE
其中 ε 为介质介电系数，单位为法拉/米 μ 为磁导系数，单位为亨利/米 σ 为电导率，单位为西门子/米 σ m 为导磁率，单位为欧姆/米 σ 和 σ m 分别为介质的电损耗和磁损耗 在真空中， σ = 0 ， σ = 0 ， ε = ε = 8.85 ×10−12 法拉/米
引言
• 时域有限差分法(Finite Difference Time Domain, FDTD) • 1966年，K. S. Yee首次提出的一种数值 计算电磁场的方法——时域有限差分法
引言
时域有限差分法 • 对于描述电磁场的麦克斯韦方程，每个电场E 的分量周围有四个磁场H分量环绕，同样地， 每个磁场H的分量周围有四个电场E分量环绕 • 对电磁场E和H分量在时间和空间上采用半步长 交替网格的离散形式，应用这种离散方式将含 时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分 方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁 场
引言
时域有限差分法的产生与发展
• 1982年，Umsshankar和Taflove用时域有限差分 法计算目标雷达散射截面，提出将计算区域分 成总场区和散射场区，并提出连接边界条件， 是散射计算中入射波设置的一种简便有效的方 法 • 1982年，Mei等人提出共形网格技术 • 1986年，Choi和Hoefer用时域有限差分法分析 了波导腔体的谐振问题，计算其谐振频率
引言
时域有限差分法的基本点
• Yee元胞 • 区的划分 • 吸收边界 • 近—远场变换
引言
时域有限差分法的基本点（一）
Yee元胞 • 对于描述电磁场的麦克斯韦方程，每个电场E 的分量周围有四个磁场H分量环绕，同样地， 每个磁场H的分量周围有四个电场E分量环绕 • 对电磁场E和H分量在时间和空间上采用半步长 交替网格的离散形式，应用这种离散方式将含 时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分 方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁 场
Δx fn
1 i , j ,k + 2
∂f ( x, y, z , t ) ∂y
fn
x = i Δx y = j Δy z = k Δz t = nΔt
≈
1 i , j + ,k 2
− fn
1 i , j − ,k 2
Δy
n+ 1 2 n− 1 2
− fn Δz
x =iΔx y = j Δy z = k Δz t = nΔt
引言
时域有限差分法的基本点（四）
近—远场变换
• 时域有限差分法的模拟只能限于有限空间，为了获得 计算域以外的散射或辐射场，必须借助等效原理应用 计算区域内的近场数据实现计算区域以外远场的外推 • 对于时谐场和瞬态场分别采用不同的外推方法
麦克斯韦方程
麦克斯韦旋度方程为
∂D ∇×H = +J ∂t ∂B ∇×E = − − Jm ∂t
引言
时域有限差分法的产生与发展
• 1989年，Britt首次给出时域远场的结果，但未给出外 推的具体方法 • 1989年，Larson、Perlik和Taflove等人提出研究适用于 时域有限差分法的专用计算机，以便用于计算电磁波 与电大尺寸物体的相互作用 • 1990年，Maloney等人用柱坐标系下的时域有限差分法 分析了柱状和锥状天线位于理想导体平面上的辐射， 得到宽带天线的输入阻抗及瞬态辐射场的直观可视化 显示
引言
时域有限差分法的应用
• 辐射天线的分析，例如柱状和锥状天线，接地导体附 近的天线，喇叭天线，微带天线，手机天线，缝隙天 线，螺旋天线以及天线阵列 • 微波器件和导行波结构的研究，例如波导，微带传 输，波导中的孔缝耦合，铁氧体器件，加载谐振腔等 • 散射和雷达截面计算，例如导体、介质物体和具有复 杂结构及形状物体（导弹、飞机）的雷达截面 （RCS），导弹导引头的电磁波透入分布，人体对电 磁波的吸收，地下物体散射等