【经典】圆的有关性质+知识点
九年级圆的基础知识点、经典例题及课后习题
圆【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
③弧、半圆、优弧、劣弧：，简称弧．，用符号“⌒”表示，弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．母表示。
)④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．.⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．（3）对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
数学圆的知识点总结
数学圆的知识点总结圆是几何中的一种基本图形，具有许多独特的性质和特征。
在数学中，圆是一个非常重要的概念，它涉及到许多不同的数学领域，包括几何、代数和微积分。
本文将从各个方面总结圆的知识点，希望能够帮助读者更好地理解和应用圆的相关知识。
一、圆的定义圆是一个平面图形，其上所有点到一个固定点的距离相等。
这个固定点叫做圆心，而相等的距离叫做半径。
圆通常用大写字母“O”表示圆心，用小写字母“r”表示半径。
通常情况下，圆可以用圆心O和半径r来表示。
二、圆的基本性质1. 圆的直径圆的直径等于半径的两倍，即d = 2r。
2. 圆的周长圆的周长等于直径乘以π，即C = πd或者C = 2πr。
3. 圆的面积圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。
4. 圆的圆周角圆的圆周角是指圆心所包含的角度，它s等于一定方向下两个相邻半径的夹角。
5. 圆的弧长圆的弧长等于半径乘以圆周角的弧度值，即L = rθ。
6. 圆心角圆心角是指圆心所包含的角度，它等于弧长所对应的弧度数。
圆心角的角度大小等于圆周角的角度大小。
7. 圆的内切角和外切角圆的内切角是指在圆的内部，通过切线和相交弧所形成的角；圆的外切角是指在圆的外部，通过切线和相交弧所形成的角。
9. 圆锥、圆台和圆柱圆锥、圆台和圆柱是由圆所产生的几何体形状，在工程和实际生活中都有重要应用。
三、圆的相关定理1. 圆的切线定理圆上的切线与半径的平行线平方和等于切线与圆心的连线的平方。
2. 圆的切线与圆之间的位置关系直径是圆的切线，而且直径等于两条相交切线的和。
3. 圆的切线和切点的性质切线与切线的切点之间的夹角等于切线与圆心之间的夹角。
4. 圆的切线和弦的性质切线与圆内的弦之间的夹角等于这条弦所对应的圆心角的一半。
5. 圆的两条交叉弦的性质两条交叉的弦所对应的弧是线段所在圆所包含的圆心角的一半。
6. 圆的内切接着角圆的内切角是指一条切线和它的两个相交半径形成的角，它等于所对应的弧的一半。
圆的知识点总结归纳
圆的知识点总结归纳圆是几何图形中的一种重要形状，它在数学、物理和工程学等领域中起着重要的作用。
本文将对圆的定义、性质及相关公式进行总结和归纳。
一、圆的定义圆是一个平面上的点距离某个固定点的距离始终相等的集合。
这个固定点称为圆心，相等的距离称为半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是圆的半径的两倍。
3. 圆的周长是圆上任意一点到圆心的距离乘以2π，也可表示为2πr，其中r为圆的半径。
4. 圆的面积是半径的平方乘以π，也可表示为πr^2。
5. 圆的内接正多边形的周长逐渐逼近圆的周长，而且边数越多逼近程度越高。
三、圆的相关公式1. 周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
2. 面积公式：A = πr^2，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。
3. 圆心角公式：圆心角的弧度等于弧长与半径的比值，即θ = l/r，其中θ表示圆心角的弧度，l表示弧长。
4. 弧长公式：l = θr，其中l表示弧长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。
四、圆的应用圆在生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 圆形运动：圆轨道上的物体经常进行往复运动，如地球绕太阳的运动。
2. 圆锥：圆锥是一个重要的几何体，常见于工程设计和建筑结构中，如锥形山、喷泉和轮胎等。
3. 镜面反射：平面镜的形状是一个圆，利用圆的反射特性，我们可以在镜子中看到清晰的倒影。
4. 电子设备：许多电子设备的屏幕是圆形的，如手表、手机和电视等。
5. 城市规划：许多城市的规划和设计中以圆为基础，如圆形广场和喷泉等。
综上所述，圆作为几何图形中的重要形状，具有自身独特的定义、性质和公式，广泛应用于各个领域。
了解圆的知识对于深入理解几何学和解决实际问题具有重要意义。
初中数学圆的知识点总结
初中数学圆的知识点总结初中数学圆的知识点总结【一】一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O 叫圆心，线段OA叫半径。
由圆的意义可知：圆上各点到定点〔圆心O〕的间隔等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的间隔等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。
心的间隔小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的间隔大于半径的点的集合。
连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点间的局部叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。
由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心一样，半径不相等的两个圆叫同心圆。
可以重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，可以互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明：设有两个以上是钝角那么两个钝角之和》180°与三角形内角和等于180°矛盾。
不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理1：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
(完整版)圆的性质及判定归纳
(完整版)圆的性质及判定归纳(完整版) 圆的性质及判定归纳1. 圆的定义圆是平面上一组距离给定点的距离都相等的所有点的集合。
给定的点称为圆心，相等的距离称为半径。
2. 圆的基本性质- 圆上任意两点与圆心的距离相等。
- 圆上任意一点到圆心的距离等于半径。
- 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段。
直径等于两倍的半径。
- 圆上的弦是圆上任意两点之间的线段。
弦的长度小于等于直径长度。
- 圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。
- 圆的弧长是圆上圆弧的长度。
- 圆的面积是指圆与圆心所包围的平面区域的大小。
3. 圆的判定方法- 判定一：两点判断法：如果一个点在圆上，那么它与圆心的距离等于半径。
- 判定二：三点判断法：如果一个点在圆上，且这个点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上。
4. 圆与其他几何图形的关系- 圆与直线的关系：1. 切线：圆上的切线与半径垂直。
切线与半径所在直线的夹角等于该切线在圆上所切割的弧所对的圆心角的一半。
2. 弦：圆上任意两点所连成的线段叫做弦。
半径垂直于其所在弦。
- 圆与多边形的关系：1. 正多边形内接圆：正多边形的外接圆和内切圆都是与正多边形相关的圆。
2. 圆内接正三角形：圆内接正三角形的内心是圆心。
- 圆与圆的关系：1. 外切圆：两个圆外切时，切线垂直于连接两圆心的直线。
2. 内切圆：两个圆内切时，连接两圆心的直线垂直于切点。
5. 圆的应用圆在几何学中有广泛的应用。
从数学到物理，从工程到艺术，圆的特性在各领域都发挥着重要的作用。
在建筑、制图、机械、电路设计等领域，人们经常使用圆来刻画和解决问题。
在艺术中，圆被用来传达平衡、完整和和谐的感觉。
总结圆是一种特殊的几何图形，具有独特的性质和判定方法。
掌握圆的性质和应用不仅有助于几何学的研究，也有助于我们更好地理解和应用几何学在实际生活和工作中的价值。
以上是关于圆的性质及判定归纳的完整版本，希望对您有所帮助。
圆的知识点总结
圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1.圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆; 圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2.圆的对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都長它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有族转不变性。
3.圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4.垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不長直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不長直径）;④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5.圆心角、弧、弦.弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等;推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90。
的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆的知识点综合及考点总结
圆的知识点综合及考点总结圆在数学中是一个重要的几何学概念，它在现实生活中也有着广泛的应用。
本文将从圆的定义、性质、相关公式以及常见的应用等方面进行综合总结，并列举一些常见的考点，旨在帮助读者全面了解圆的知识点。
一、圆的定义和基本性质圆是平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
其中，到这个固定点的距离称为半径，定长称为圆的半径。
圆的基本性质有以下几点：1. 圆的任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是任何两点之间的最长距离，是圆周上两个相对点之间的距离的两倍；3. 圆的半径垂直于圆的切线；4. 圆的弦是圆上的两点之间的线段；5. 相等弧所对的圆心角相等。
二、圆的相关公式1. 圆的周长和面积公式：圆的周长公式为：C = 2πr，其中r为圆的半径；圆的面积公式为：S = πr²。
2. 弧长和扇形面积公式：弧长公式为：L = 2πr * (θ/360°)，其中θ为弧度所对的圆心角的度数；扇形面积公式为：A = (θ/360°) * πr²。
3. 垂直弦定理：如果两条弦在圆的内部相交，那么相交点到各自的弦的垂直线的距离乘积相等。
三、圆的应用圆在日常生活和工作中有着广泛的应用，以下列举了其中的几个常见应用：1. 圆形花坛设计：在园林设计中，圆形花坛常常被用来增添景观的美感。
设计师可以利用圆的对称性和流畅的曲线来创造出美丽而和谐的花坛。
2. 轮胎原理：汽车轮胎采用圆的形状是为了减少与地面的接触面积，从而减小摩擦力，提高行驶的轻便性和机动性。
3. 圆形运动：许多物体在进行圆形运动时，具有周期性的变化。
通过研究圆形运动的特性和规律，可以探索出许多与运动相关的知识。
四、常见考点1. 圆心角与弧度的关系：掌握圆心角与其对应弧度之间的转换关系，熟练运用弧度制进行计算。
2. 弧长和扇形面积的计算：能够根据给定的圆心角或弧长计算出对应的弧长或扇形面积。
3. 切线和切线定理：了解切线与圆的相切关系及切线定理的应用，能够求解相关的几何问题。
高中-圆的有关概念和性质
高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。
圆的有关概念及性质
圆的有关概念及性质【2 】【基本常识回想】一、圆的界说及性质：1、圆的界说：⑴形成性界说：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O扭转一周,另一个端点A随之扭转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描写性界说：圆是到定点的距离等于的点的聚集2.弦与弧：弦：衔接圆上随意率性两点的叫做弦弧：圆上随意率性两点间的叫做弧,弧可分为..三类3.圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴⑵中间对称性：圆是中间对称图形,对称中间是【提示：1.在一个圆中,圆心决议圆的半径决议圆的2.直径是圆中的弦,弦不必定是直径;3.圆不仅是中间对称图形,并且具有扭转性,即绕圆心扭转随意率性角度都被与本来的图形重合】二、垂径定理及推论：1.垂径定理：垂直于弦的直径,并且等分弦所对的.2.推论：等分弦（）的直径,并且等分弦所对的.【提示：1.垂径定理及其推论本质是指一条直线知足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶等分弦⑷等分弦所对的优弧⑸等分弦所对的劣弧五个前提中的两个,那么可推出其余三个,留意解题进程中的灵巧应用2.圆中常作的帮助线是过圆心作弦的线（即弦心距）.3.垂径定理常用作盘算,在半径r.弦a.弦心d和弓高h中已知个中两个量可求别的两个量.】三.圆心角.弧.弦之间的关系：1.圆心角界说：极点在的角叫做圆心角2.定理：在中,两个圆心角.两条弧.两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分离【提示：留意：该定理的前提前提是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1.圆周角界说：极点在并且双方都和圆的角叫圆周角2.圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1.在同圆或等圆中,假如两个圆周角那么它们所对的弧推论2.半圆（或直弦）所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是【提示：1.在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,是类,它们的关系是,2.作直径所对的圆周角是圆中常作的帮助线】五、圆内接四边形：界说：假如一个多边形的所有极点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做.性质：圆内接四边形的对角.【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2015•舟山）如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,贯穿连接AO并延伸交⊙O于点E,贯穿连接EC．若AB=8,CD=2,则EC的长为（）A．215B．8 C．210D．213对应练习1．（2015•南宁）如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=12∠BOD,则⊙O的半径为（）A．42B．5 C．4 D．3考点二：圆周角定理例2 （2015•自贡）如图,在平面直角坐标系中,⊙A经由原点O,并且分离与x轴.y轴交于B.C 两点,已知B（8,0）,C（0,6）,则⊙A的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．8对应练习2．（2015•珠海）如图,▱ABCD的极点A.B.D在⊙O上,极点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=54°,衔接AE,则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°7．（2015•威海）如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,AO=1．（1）求∠C的大小;（2）求暗影部分的面积．演习：1．（2015•张家界）如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD=80°．2．（2015•盐城）如图,将⊙O沿弦AB折叠,使AB经由圆心O,则∠OAB= 30°．3．（2015•绥化）如图,在⊙O中,弦AB垂直等分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为．4．（2015•株洲）如图AB 是⊙O 的直径,∠BAC=42°,点D 是弦AC 的中点,则∠DOC 的度数是48度．5．（2015•广州）如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点P 在第一象限,⊙P 与x 轴交于O,A 两点,点A 的坐标为（6,0）,⊙P 的半径为13,则点P 的坐标为（3,2）． 三.解答题1（2016·山东潍坊）正方形ABCD 内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,衔接DE.BE,过点D 作DF ∥BE 交⊙O 于点F,衔接BF.AF,且AF 与DE 订交于点G,求证： （1）四边形EBFD 是矩形; （2）DG=BE ．2.（2015•浙江省台州市,第22题）如图,四边形ABCD 内接于⊙O,点E 在对角线AC 上,EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°,求∠BAD 的度数 （2）求证：∠1=∠23.AB 是⊙O 的一条弦,OD AB ⊥,垂足为C ,交⊙O 于点D ,点E 在⊙O 上． （1）若52AOD ∠=,求DEB ∠的度数; （2）若3OC =,5OA =,求AB 的长．4．（2015•贵阳）已知：如图,AB 是⊙O 的弦,⊙O 的半径为10,OE.OF 分离交AB 于点E.F,OF EO的延伸线交⊙O 于点D,且AE=BF,∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形;（2）当AE=OE 时,求暗影部分的面积．（成果保留根号和π）22．（2015•黔西南州）如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 与点E,点P 在⊙O上,∠1=∠C,（1）求证：CB ∥PD;（2）若BC=3,sin ∠P=35,求⊙O 的直径．常识点2：点和圆的地位关系如设⊙O 的半径为r,点P 到圆的距离为d,则有： 点P 在圆外⇔d ___ r 点P 在圆上⇔d ___ r 点P 在圆内⇔d ___ r①经由一点P 可以作_______个圆;经由两点P.Q 可以作________•个圆,圆心在_________上;经由不在统一向线上的三个点可以作________个圆,圆心是________的交点． ②直角三角形的外心是________的中点,锐角三角形外心在三角形的 ____________,钝角三角形外心在三角的___________．③经由三角形的三个极点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的______圆．外接圆的圆心是三角形三条边________________线的交点,这个点叫做这个三角形的___________．1.例1 （1）已知⊙O 的直径为10cm,有一点P 到圆心O 的距离为3cm,求点P 与圆有何地位关系？（2）如有一点M 到某圆的最大距离为8cm,最小距离为2cm,求这个圆的半径． 3.不在统一条直线上的三个点肯定一个圆经由三角形三个极点可以画个圆,并且只能画个．叫做三角形的外接圆．叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的．三角形的外心就是r dd CBAO的交点,它到的距离相等4.例2．某地出土一明代完整圆形瓷盘,如图所示．为复制该瓷盘要肯定其圆心和半径,请在图顶用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．作法提示：可联想垂径定理的逆定理：弦的垂直等分线必经由____________,并等分弦所对的两条_____________．5.例3.已知Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝5cm,BC＝12cm,求△ABC的外接圆半径．6.例4.如图,等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC＝10cm,求△ABC外接圆的半径．例2。
圆的所有知识点总结
圆的所有知识点总结圆是一个非常基础且重要的几何图形。
它在数学、物理、工程以及日常生活中都有广泛的应用。
下面是关于圆的一些知识点总结。
1. 定义和性质：圆是由平面上距离中心点相等的所有点组成的集合。
圆有以下性质：- 圆心：圆的中心点称为圆心，通常用大写字母表示，如O。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用小写字母r表示。
- 直径：通过圆心两个端点的线段称为直径，通常用字母d表示。
- 弧长：圆的一段弧的长度称为弧长，通常记作s。
- 圆周：圆的边界称为圆周或圆周线。
2. 圆的元素关系：- 相切：两个圆的圆周上有且只有一个公共点时，称这两个圆相切。
- 相离：两个圆没有公共点时，称这两个圆相离。
- 内含：一个圆完全包含于另一个圆内部时，称这两个圆内含。
- 相交：两个圆有公共点但不相切时，称这两个圆相交。
3. 圆的重要公式：- 圆的周长：圆的周长是圆周上的线段的长度，可以用公式C = 2πr表示，其中π是一个数学常数，约等于3.14159，r是圆的半径。
- 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点所构成的区域的大小，可以用公式A = πr^2表示。
4. 圆的相关性质和定理：- 圆与直线的关系：如果一个直线与一个圆相交于两个不同的点，那么这条直线被称为圆的切线。
如果一个直线只与一个圆相切于一个点，那么这条直线被称为圆的切线。
- 切线的性质：切线与半径的关系是垂直的，即切线与半径的相交点是直角。
这个性质可以用于解决一些几何问题。
- 弦的性质：弦是圆上连接两个不同点的线段。
弦的性质包括：半径和弦垂直相交，相等弦对应的弧相等，且两个半径将相等的弧等分。
5. 圆的应用：- 圆是建模现实世界中很多问题的重要工具。
例如，轮胎、圆形房间、圆形池塘等都可以通过圆来进行建模和计算。
- 在物理学中，圆的运动是一种重要的运动方式。
例如，行星绕太阳的运动、钟摆的运动等都可以用圆的运动来描述和计算。
- 在工程学中，圆可以用于设计和构造，例如汽车工程、建筑设计中经常用到的圆形结构。
圆的有关概念及性质
圆得有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆得定义及性质:1、圆得定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定得一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成得图形叫做圆,固定得端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆就是到定点得距离等于得点得集合2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点得叫做弦弧:圆上任意两点间得叫做弧,弧可分为、、三类3、圆得对称性:⑴轴对称性:圆就是轴对称图形,有条对称轴, 得直线都就是它得对称轴⑵中心对称性:圆就是中心对称图形,对称中心就是【提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆得半径决定圆得2、直径就是圆中得弦,弦不一定就是直径;3、圆不仅就是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来得图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理:垂直于弦得直径,并且平分弦所对得。
2、推论:平分弦( )得直径,并且平分弦所对得。
【提醒:1、垂径定理及其推论实质就是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对得优弧⑸平分弦所对得劣弧五个条件中得两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中得灵活运用2、圆中常作得辅助线就是过圆心作弦得线(即弦心距)。
3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d与弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间得关系:1、圆心角定义:顶点在得角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应得其余各组量也分别【提醒:注意:该定理得前提条件就是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都与圆得角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对得圆周角都等于这条弧所对得圆心角得推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对得弧推论2、半圆(或直弦)所对得圆周角就是,900得圆周角所对得弦就是【提醒:1、在圆中,一条弦所对得圆心角只有一个,而它所对得圆周角有个,就是类,它们得关系就是,2、作直径所对得圆周角就是圆中常作得辅助线】五、圆内接四边形:定义:如果一个多边形得所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。
圆的基本性质知识点总结
圆的基本性质知识点总结圆是平面上的一个几何图形，是由距离一个固定点的距离始终相等的所有点组成。
圆的基本性质有以下几个方面：1.圆的定义：圆是由平面上到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
2.圆的元素：圆由圆心、半径、直径、弦、弧等几个元素组成。
-圆心：圆的中心点，通常表示为O。
-半径：从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常表示为r。
-直径：通过圆心的一条直线，两端点在圆上，直径是半径的两倍，通常表示为d。
-弦：在圆上连接两点的线段。
-弧：圆上的一段曲线，是由弦所确定的。
3.圆的唯一性：在平面上，给定圆心和半径，唯一确定一个圆。
4.圆的周长和面积：-周长：圆的周长也叫做“圆周长”或“周长”，是圆的边界的长度。
周长C等于直径d乘以圆周率π，即C=πd。
-面积：圆的面积是圆内部的部分，通常表示为A。
面积A等于圆的半径r的平方乘以π，即A=πr²。
5.圆与直线的关系：-圆的直角：圆的半径是以任意点与与之相切的直线垂直相交。
-切线：如果直线刚好和圆相切，那么它是圆的切线。
切线与半径的夹角是直角。
-弦的性质：圆上的弦，如果经过圆心，那么它是圆的直径。
否则，弦将分割圆周上的两个弧。
并且，同一圆上的等长弦所对的弧相等，且同等弧所对的弦相等。
6.圆的相似性：-圆的相似性质：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。
相似的圆形状相同，但可能有不同的大小。
7.圆的相关定理：-弧的定理：两条弦所对圆心角相等，那么这两条弦所对的弧相等。
-弧与弦的定理：如果一条弦上的两个弧所对圆心角相等，那么这两个弧也相等。
-弧与切线的定理：如果一个圆的一条切线与圆上的一条弦相交，那么两条切线所对的弧相等。
以上是圆的基本性质的总结，掌握这些知识点可以帮助我们理解圆的特性和运用这些性质解决与圆相关的几何问题。
初中《圆》知识点及定理
初中《圆》知识点及定理
《圆》知识点
一、定义
1、圆是平面上一种特殊的曲线，它满足以下两个条件：
（1）任意两点到圆心的距离相等；
（2）圆上的任意一点，可以以圆心为中心，过这一点作圆的圆周，且这个圆周上的任意一点都等距离圆心。
2、定义：圆：平面上一点为圆心，到圆心的距离一定的曲线叫圆，这个固定的距离叫圆的半径。
二、圆的相关概念
1、圆心：圆的中心点。
2、半径：指从圆心出发，连接圆上任意一点的线段的长度。
3、圆弧：圆上的一段弧形，可以看作是圆的一部分。
4、圆周：圆的一周的弧形，也叫圆的周长。
5、圆心角：圆上的任意两点连接的线段所形成的角，叫圆心角。
6、切线：切圆弧的线段，叫做切线。
7、圆心的夹角：圆上任意两条切线所成的夹角。
8、切点：切线与圆弧公共的一点，叫做切点。
三、圆的性质
1、任意一点到圆心的距离相等，半径r=OC=OD。
2、圆上，任意两点之间的距离相等。
3、圆上任意两点的连线，其长度都等于直径的2倍。
4、圆周的周长等于圆的直径的2倍乘以π，公式：C=2πr。
5、圆的面积A=πr²。
6、圆心角是任意一点到圆心的连线和圆的直径的线段的所成的角，它的度数与圆的弧长满足：圆心角的角度=弧长/半径。
四、圆的有关定理。
圆形知识点归纳总结
圆形知识点归纳总结圆形是几何学中的重要概念，具有广泛的应用。
在我们日常生活和工作中，我们时常会遇到和使用到圆形的相关知识。
本文将对圆形的相关知识进行归纳总结，希望能够为大家提供一个全面的了解和掌握圆形知识的机会。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆的性质- 圆的半径是圆心到圆上任一点的距离。
- 圆的直径是连接圆上任意两点的线段，且经过圆心。
- 圆的周长是圆上的一条边长，即圆周的长度。
- 圆的面积是圆内部的所有点构成的集合的大小。
二、圆的相关公式1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中r为圆的半径，π是一个常数，约为3.14。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中r为圆的半径，π是一个常数，约为3.14。
三、圆的相关问题1. 圆的相交问题：当两个圆相交时，我们需要研究它们的相交情况，如相切、内切、外切等等。
2. 圆与直线的关系：直线与圆的关系主要包括直线与圆的位置关系、直线穿越圆的情况等。
四、圆的应用1. 圆在日常生活中的应用：钟表、车轮、篮球等都是圆形的物体，它们的设计和制造需要运用到圆的相关知识。
2. 圆在工程中的应用：如建筑、机械制造等领域都经常使用到圆的形状和相关计算。
五、圆内接多边形1. 圆内接多边形的性质：圆的直径就是多边形的对角线。
六、圆的补充角和余角1. 圆的补充角：一个角的补角如果是90度，那么这个角就是圆的补角。
2. 圆的余角：一个角的余角如果是90度，那么这个角就是圆的余角。
七、圆周角和弦1. 圆周角：圆周角是指圆周上的一个角可能，它的顶点都在圆周上与该角所对顶点的圆心的两条这个角的端点之间的两个弧所组成。
2. 弦：两点确定一条直线。
八、圆锥1. 圆锥的定义：圆锥是以一条射线为轴，在其上任一点作一个固定的圆，所得的旋转体。
2. 圆锥的性质：圆锥的侧面是一个尖点和一个圆的曲面。
在这篇文章中，我们对圆的相关知识点进行了归纳总结，包括定义、性质、公式、应用等内容。
初三《圆》知识点及定理
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
小学数学点知识归纳圆的概念与性质
小学数学点知识归纳圆的概念与性质圆是小学数学中重要的几何概念之一，它具有一些独特的性质。
下面我们将对圆的概念和性质进行归纳和解释。
一、圆的概念圆是由平面上所有离一个固定点相等距离的点所组成的图形。
固定点称为圆心，相等距离称为圆的半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等：圆上所有点到圆心的距离都相等，所以圆的半径是固定的。
2. 圆上任意两点的距离等于半径的长度：取圆上两点A和B，连接圆心O与点A、B，得到线段OA和OB。
根据定义，OA和OB的长度等于半径的长度，即|OA|=|OB|。
3. 圆的直径：圆上通过圆心的两个相对点，称为圆的直径。
直径的长度是半径长度的两倍，即直径=2*半径。
4. 圆的周长：圆的周长是指围绕圆的一段线段的长度。
根据定义，圆的周长等于直径长度乘以圆周率π。
即周长=直径*π。
5. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域的大小。
根据定义，圆的面积等于半径的平方乘以圆周率π的值的一半。
即面积=半径^2*π。
6. 切线：过圆上一点且垂直于半径的直线称为圆的切线。
切线的特点是与圆只有一个交点。
7. 弦：连接圆上两点的线段称为圆的弦。
圆的直径是最长的弦。
8. 弧：圆上的弧是指圆上两点间的一段曲线。
9. 弧长：圆的弧长是指圆上弧的长度。
根据定义，弧长等于弧所对的圆心角的度数/360度再乘以圆的周长。
以上是关于圆的概念和性质的简单归纳。
理解并掌握这些基本知识，对小学数学学习和几何问题的解决会有很大帮助。
希望本文能够对你有所启发。
九年级下圆-知识点总结
九年级下圆-知识点总结九年级下圆—知识点总结九年级下学期，我们学习了许多有关圆的知识，包括圆的定义、性质、相关定理等。
下面就九年级下圆的知识点进行总结。
一、圆的定义与性质圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆的性质有以下几点：1. 圆上任意两点之间的距离相等。
2. 圆心到圆上任意一点的距离相等，这个距离称为圆的半径。
3. 圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。
二、圆的相关定理1. 圆的直径是圆的最长的一条弦, 而圆的半径是最短的一条弦。
2. 圆的弧是两个端点在圆上的弦所对应的一段圆的长度。
3. 两条相交弦的乘积等于它们各自所分割的弧的乘积。
即，当AB和CD两条弦相交于点E时，有AE * BE = CE * DE。
4. 切线和半径垂直，切线是与圆相切于一点的直线。
切线和切线之间的夹角等于两条切线所对应的弧所夹的圆心角的一半。
5. 圆内接四边形的两条对角线之和等于常量。
即，当一个四边形的四个顶点都在同一个圆上时，它的两条对角线的和保持不变。
三、圆的面积与周长圆的周长是圆上任意一点到圆心的距离，也就是圆的半径乘以2π，即周长 = 2πr。
圆的面积是圆内的所有点构成的平面图形的大小，圆的面积公式为S = πr²，其中S表示面积，r表示半径。
四、圆锥与圆柱圆锥是由一个底面为圆的曲面和一个顶点所组成的立体图形。
圆柱是由两个平行的底面为圆的曲面和连接两个底面的侧面所组成的立体图形。
五、圆的应用1. 圆的运动：我们生活中有许多与圆相关的物体或现象，比如车轮的旋转、地球的公转等，这些都是圆的运动。
2. 圆的建筑与装饰：许多建筑物和装饰品中都用到了圆的形状，如钟楼、建筑的圆顶、圆形花坛等。
3. 圆的测量与制作：在工程测量和制图中经常用到圆的测量与制作，例如圆柱的体积计算、圆形图形的绘制等。
以上就是九年级下圆的知识点总结。
通过学习这些知识，我们对圆的性质和应用有了更深入的了解，也能更好地应用于实际生活中。
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圆的有关性质
一、〖知识点〗
圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质
〖大纲要求〗
1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；
2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。
一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；
3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；
4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
5．掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；
6．注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；
（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；
（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。
〖考查重点与常见题型〗
1．判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（）
(A)相等的圆心角所对的弧相等(B)平分弦的直径垂直于弦
(C)长度相等的两条弧是等弧(D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。
此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。
二、〖知识点〗
相交弦定理、切割线定理及其推论
〖大纲要求〗
1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；
2．了解圆幂定理的内在联系；
3．熟练地应用定理解决有关问题；
4．注意：（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。
这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。
使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；
（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。
〖考查重点与常见题型〗
证明等积式、等比式及混合等式等。
此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。
常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。
初中圆的知识点
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
4、同圆或等圆的半径相等
5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
11、推论1：
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
21、①直线L和⊙O相交d＜r
②直线L和⊙O相切d=r
③直线L和⊙O相离d＞r
22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
27、圆的外切四边形的两组对边的和相等
28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
35、①两圆外离d＞R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切d=R-r(R＞r)
⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37、定理：把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
39、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
42、正三角形面积√3a／4 a表示边长
43、弧长计算公式：L=n兀R／180
44、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
45、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。