第2章 拉格朗日方程
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
2_拉格朗日方程
O
(x1,y1)
A
P1
(x2,y2) B(x3,y3)
P2
F
(1)
由已知条件可得
x1
1 2
l1 sin 1 l 2 sin (2)
x 2 l1 sin
2 y 3 l1 cos l 2 cos
把(2) 式代入(1) 式得
P1 (
1 2
l1 sin ) P2 ( l1 sin
x i x i ( q1 , q 2 , , q s , t ) y i y i ( q1 , q 2 , , q s , t ) z i z i ( q1 , q 2 , , q s , t )
或 式中
( i 1, 2 , , n , s 3 n )
ri ri ( q 1 , q 2 , , q s , t )
以上分量式若改用s 个独立广义坐标表示，然后令s 个独立的 虚位移前的乘数等于零，则可得出所求的平衡条件。 若求约束力，则要利用拉格朗日未定乘数。 广义坐标下 ri 的虚位移为
ri
n
s
ri
由此得广义坐标下的平衡方程是
W
Q
1
q
q 0
s
F
i 1 s
n
i n
i 1
虚功原理：受理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学 体系的诸主动力在任意虚位移中所做的元功之和为零。这就 是虚功原理，也叫虚位移原理。是1717年伯努利首先发现。 对于理想约束体系，利用虚功原理可以方便的求出主动力满 足的平衡条件，但无法求出约束反力。 由于约束，3n 个坐标不独立，即作用在任一质点上的合外 力在虚位移方向上的投影，一般不会全令之为零。否则就可 能变成n 个自由质点的平衡方程。
《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的应用
2、第二类拉格朗日方程的应用例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计。
ACOxAOCx例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。
摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接。
M 1M 2φC 求：此系统的运动微分方程。
2、第二类拉格朗日方程的应用解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示：111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j===-=将上式两端对时间t 求导数得：111212,0;cos sin x x yx x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&22212111()(2cos )22m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为：)cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。
d 0(12)d k T TQ k N t q q æö¶¶--==ç÷¶¶L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。
选取原则：计算方便代入拉格朗日方程得到：1212110()cos T Tm m xm l x xj j ¶¶==+-¶¶&&&，2121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j¶=+-+׶&&&&&&10x V Q x ¶=-=¶先计算)cos 1(2j -=gl m V 22212111()(2cos )22m l T m m x l xj j j =++-&&&&221221sin cos T T m lx m l mlx j j jj j j¶¶==-¶¶&&&&&，222121d ()cos sin d T m l m lx m lx t jj j j j ¶=-+׶&&&&&&&2sin V Q m gl j j j¶=-=-¶212122()cos sin 0m m xm l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl jj j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用x 1φ再计算如果质点M 2摆动很小，可以近似地认为1cos sin »»j j j ，且可以忽略含和的高阶小量，2j &1xj &&微分方程可改写为:1212()0m m xm l j +-=&&&&1l x g jj -=-&&&&从以上两式中消去，得到1x&&1210m m gm lj j ++=&&这是自由振动的微分方程，其通解为:)sin(0q w j +=t A 固有角频率:lgm m m 1210+=w 摆动周期:如果21m m >>则质点M 1的位移x 1将很小，质点M 2的摆动周期将趋于普通单摆的周期:1lim 2m T ®¥=也可以从微分方程中消去，得到:j&&可见质点M 1沿x 方向也作自由振动。
(经典)拉格朗日方程
（9）式代入（8）式得约束反力
FN 2m 2bsht mgcht 2mg cost
第16页，共40页。
（7）
（8） （9）
[例2] 平面上的约束质点的运动
教材P.45 [例4]
解：（1）求体系质点的L函数，运动方程及其解
质点的自由度为1，选取图中的θ角为广义坐标，则
x r sin (l r )cos y r(1 cos ) (l r )sin
如果约束除了限制质点的位置外，还要限制质点的运动速度则称为
运动约束或微分约束，约束方程为
f
(r1
,
r2
,rn
;
r1
,
r2
,rn
;
t
)
0
（2.2）
微分约束通过积分可变为几何约束，不能积分即不能变为几何约束时称为非完整约 束。
（2）自由度
能完全描述体系的运动所需要的可独立变化的坐标参量数目，称为体系的自 由度。
BO CO
[例5] 带电粒子在电磁场中的拉氏函数(教材*§2.5)
教 材:P.51 [例].求质量为m,电荷为q的粒子在均匀电场 E Ej和 均匀磁场 B Bk 中运动时的拉格朗日函数.
第21页，共40页。
如图2.6所示,体系自由度为1,广义坐标为θ,广义力
Q
F
.
rc
FT
.
rA
FT
.
rA
FT
.
rB
0
Fj .
(l
sinj )
FT
.
(l
cos
)
FT
.
(l
cos
)
0
Fl cos FT .l sin FT l sin 0
拉格朗日方程
拉格朗日方程是理论力学中非常重要的方程。
像牛顿力学一样，它是对机械系统的描述。
但是与牛顿力学不同，他从整个系统的角度分析了系统的运动状态，而牛顿力学则分别分析了每个粒子。
这两种方法是等效的，可以相互推论，但使用方案却大不相同。
拉格朗日方程以数学物理学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）的名字命名，是分析力学中的重要方程，可用于描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。
拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。
假定一个物理系统满足一个完整系统的要求，即所有广义坐标彼此独立，则拉格朗日方程式为：其中，是拉格朗日量，广义坐标，时间函数和广义速度。
以分析力学为指导，有三种方法可以指导拉格朗日方程。
最原始的方法是使用D'Alembert原理来指导Lagrange方程（请参阅D'Alembert原理）。
在更高级的水平上，拉格朗日方程可从哈密顿原理（指哈密顿原理）推导。
最简而言之，它可以通过数学变分方法的欧拉-拉格朗日方程推导：集合函数sum：,,,;哪里是自变量。
如果该函数获得局部平稳值，则Euler-Lagrange方程将保持在区间。
现在，进行以下变换：将自变量设置为时间，将函数设置为广义坐标，并将函数设置为拉格朗日量，从而可以获得拉格朗日方程。
为了满足此转换的正确性，广义坐标必
须彼此独立，因此系统必须是完整的系统。
拉格朗日量是动能减去势，势必须是广义势。
因此，该系统必须是单人系统。
高等结构振动学-第2章-用拉格朗日方程建立系统数学模型
2muu
[Mg
L 2
0 mgu]sin
0
以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方 程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统 降阶的途径。 2． 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用
3
对一维连续系统，假设位移为：
N
u(x.t) i (x)qi (t) i 1
d dt
(
T qi
)
T qi
U qi
Qi
(i 1, 2, 3, N )
（2－5）
（推导：）
将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变
分驻值原理），有
t2
t1
(
T q1
q1
T q2
q2
T q N
q N
T q1
q1
f j (q1, q2 ,qM ) 0 ( j 1,2,C)
(i 1,2,M )
(2－43)
联立上两个方程，就可确定 M+C 个未知数 qi , j (i 1,2,M ; j 1,2,C)
【应用实例】
求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。
【解】令，
u(x,
t)
(
x L
D q
0
（2－15）
如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励
力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为 Qi ），则系统的拉 格朗日方程为：
d dt
(
T qi
)
T qi
理论力学：第二类拉格朗日方程的总结
θ&&(θ ) = ? x&(θ ) = ?
L中无 x, t
∂T ∂x&
=
5 2
mx& +
1 2
mLθ& cosθ
=
C
&x&(θ ) = ?
5 mx&2 + 1 mL2θ&2 + 1Lmg(1− cosθ ) = E
4
6
2
2014-3-25
8
理论力学
习题课
∂T ∂x&
2014-3-25
根据对z轴的动量矩守恒和初始条件，可得关系式： ϕ&
=
1
sin2 θ
15
理论力学
习题课
问题：B 点的运动轨迹？
θ0
=
π
4
=
0.7854,ϕ0
=
0,θ&0
=
0,ϕ&0
=
2.0rad/s
m = 1kg L = 1m k = 10N/m
∂T
∂ϕ&
=
1 mL2 3
sin2 θϕ&
=
C1
2014-3-25
mL&x&cosθ
+
1 mL2θ&&+
3
1 2
mgL sinθ
=
0
2014-3-25
10
理论力学
习题课
x
A
aA
θ&&= −15 2 g,
17L
&x&
=3g 17
求地面的约束力
F
aCt A
欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程【概述】欧拉−拉格朗日方程（Euler−Lagrange Equation）又称为Lagrange变分法，是一个重要的数学方程。
是由著名数学家Euler和Lagrange共同发现的。
它提供了一种简便有效的方法来求解多元复杂的函数的极大或极小值。
欧拉-拉格朗日方程实际上是也被称作动力系统的微分方程的一种表示形式【原理】欧拉-拉格朗日方程是一条带微分的方程，它是由拉格朗日变分法推出的，其形式如下：$$\frac{\delta\Psi}{\delta y_i}=0$$其中，$y_i$是需要求导的函数的变量；$\Psi$是不可微的函数，它是拉格朗日函数，也叫做动作函数。
具体地说，拉格朗日变分法要求最后计算出的函数值极大时其微分值应该为零，这样就可以使函数值朝着极大值方向变动，而拉格朗日函数记录了变分值之间的微分值大小以及函数变动的方向，因而可以推出欧拉-拉格朗日方程来求解函数本身的极大值或者极小值。
【优点】(1) 欧拉-拉格朗日方程可以不断调整变量，改变函数值，以达到求对对函数的极大值的极小值的目的。
(2) 求解欧拉-拉格朗日方程时涉及到微积分，可以简化解题步骤，省去需要繁琐的推导步骤，从而节省时间。
(3) 此方法可以有效地解决多元变量和复杂函数问题，有效提高解算精度。
【应用】(1) 力学中，欧拉-拉格朗日方程用来求解极小总动量及极小流体效率等。
(2) 工程中，用欧拉-拉格朗日方程来求解某种参数取得某种最佳效果的优化方程。
(3) 电子工程中，欧拉-拉格朗日方程可以用来求解电子电路中、集成电路中最优参数计算问题。
(4) 生物学中，欧拉-拉格朗日方程在对一定植物对环境适应度进行优化时可以得到很好的应用。
分析力学基础-第二类拉格朗日方程
广义坐标vA 。(Rr)
A
vA r
R r
r
M1-16
T
1 2
JO&2
1 2
Q g
v
2 A
1 2
J AA2
1 2
1 3
P g
(R
r)2&2
1 2
Q g
(R
r)2&2
1 2
1 2
Q g
r2
(R
r)2 r2
&2
1 2P 9Q (R r)2&2
12 g
W ( ) M
Q
W ( )
M
T&
1 6
2P
得
(m1 m2 )&x&1 m2l&&cos m2l&2 sin 0
M1-14
同理：
T& m2l2& m2lx&1 cos
T
m2lx&in
d dt
T x&1
m2l(l&&
cos &x&1
x&1&sin )
由拉格朗日方程d
dt
(
T q&k
)
T qk
Qk
得
m2l(l&& cos&x&1 x&1&sin) m2gl sin
)
M1-13
系统势能：（选质点 M2 在最低位置为零势能位
置）
V m2gl(1 cos)
求导运算可得：
T x&1
(m1
m2
)
x&1
拉格朗日方程
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
第二章用拉格朗日方程建立系统数学模型
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型§2.1概述拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。
§2.2拉格朗日方程1． 哈密尔顿原理 系统总动能),,,,,,,(321321N n q q q qq q q q T T = （2－1）系统总势能),,,,(321t q q q q U U N =（2－2）非保守力的虚功N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211（2－3）哈密尔顿原理的数学描述：0)(2121=+-⎰⎰t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4）2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式：),3,2,1()(N i Q q Uq T q T dt d iii i ==∂∂+∂∂-∂∂ （2－5）（推导：）将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有0)(221122112211221121=+++∂∂-∂∂-∂∂-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰dt q Q q Q q Q q q Tq q U q q U q qTq q T q q T q q T q q T q q T N N N NN N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6）利用分步积分dt q q Tdt d q qT dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ⎰⎰∂∂-∂∂=∂∂212121)(][ （2－7）并注意到端点不变分（端点变分为零）0)()(21==t q t q i i δδ （2－8）故dt q q T dt d dt q qTi i t t i t t i δδ)(2121∂∂-=∂∂⎰⎰（2－9）从而有0)])([211=+∂∂-∂∂+∂∂-⎰∑=dt q Q q Uq T q T dt d i i it t i i Ni δ （ （2－10）由变分学原理的基本引理：（设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有⎰=ft t T dt t M t 00)()(η则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ）我们可以得到：0)(=+∂∂-∂∂+∂∂-i ii i Q q U q T q T dt d （2－11）即i ii i Q q U q T q T dt d =∂∂+∂∂-∂∂)( （2－12）对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型，则阻尼力与广义速度}{q成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ，}]{[}{21q C q D T≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：i i qDQ ∂∂-= （2－14） 对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为：0)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂qD q U q T q T dt d i i i （2－15） 如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为i Q ），则系统的拉格朗日方程为：i i i i Q qD q U q T q T dt d =∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )( （2－16） §2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。
王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
理论力学 拉格朗日方程
解题步骤 （1）确定自由度 （2）选取广义坐标
（3）写出用广义坐标表示的T、V及L的表达式
（4）将拉格朗日函数L代入拉格朗日方程
例一：
滑轮组：求每个砝码的加速度
d L dt q L q 0
1, 2, s
例二：用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程。
简单求出主动力在平衡时满足的条件。
5.2.4广义力
由前面讨论我们知 ri 的虚位移为
ri ri q 1 , q 2 ,...q s , t
ri
q
1
s
r
i
q
所以，虚功原理在广义坐标下的表达式为
n s ri s n ri W Fi ri Fi ( q ) Fi q i 1 i 1 1 q 1 i 1
d ri ri m i ri m i ri dt i 1 q i 1 q
dt q d
2 n m i v i2 n mi vi q 2 i 1 i 1 2
可得保守力系下的拉格朗日方程为：
d L dt q L q 0
1, 2, s
拉格朗日函数
L T V
保守力系下的拉格朗日方程
d L dt q L q 0
1, 2, s
s
第二项
ri mi a i P q i 1
n
称之为广义惯性力。
5.3.2拉格朗日关系式
考察由n个质点组成的理想约束系统，受有k个完整约束，其 广义坐标数s=3n-k。第i个质点的位矢 ri ri (t , q1 , q 2 , q s ), i 1,2, n
§14.2、第二类拉格朗日方程
v1 r55 v4 v2 r44 r55 v3 r44 r55 1 1 1 2 2 2 2 T m1r5 5 m2 (r4 4 r55 ) m3 (r4 4 r55 ) 2 2 2 w 5 (m1 m2 m3 ) gr5 3) 确定广义力; Q5 5 w 4 m2 g r4 4 m3 g r4 4 Q4 (m2 m3 ) gr4 4 4
x r cos (r L) sin y r sin (r L) cos
1 2 2 T m(r L) 2
12
w m g y Q m g(r L) sin
4) 列拉格朗日方程;
3) 确定广义力;
(m1 m2 )a2 m1ar cos 0 2(m1 m2 ) sin 5) 联立求解; ar g 2 m1 2m1 sin 3m2
2
3) 确定广义力;
10
m1 sin( 2 ) a2 g 2 m1 2m1 sin 3m2
评论,在应用第二类拉格朗日方程求解动力学问题 时,解题思路/解题步骤都相同: 第一步、确定系统的自由度数与相应的系统参数 即广义坐标; 第二步、进行速度分析,确定系统动能; 第三步、确定各系统参数(广义坐标) 的广义力; 第四步、依次列各广义坐标对应的拉格朗日方程; 第五步、联立求解;
1) 确定系统参数:轮1轮心O点相对位移和三角 块向左的位移(xr /xe);
9
wxr m1 g sin xr wx 2 m1 g sin Qx 2 0 Qxr xr xr x2 T 3 4) 列拉格朗日方程; m1vr m1v2 cos vr 2 T 3 0 m1ar m1a2 cos m1 g sin xr 2 T T 0 (m1 m2 )v2 m1vr cos x2 v
拉格朗日方程
定义：拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。
拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。
通常可写成：式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj 的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。
从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。
而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。
拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。
如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。
通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。
拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。
拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。
公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1(x0) = y0P1(x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
第五讲02-非完整体系的拉格朗日方程
非完整体系的拉格朗日方程
理想约束、完整体系的拉格朗日方程：第二类拉格朗日方程
理想约束、非完整体系（非完整约束—微分约束）的拉格朗日方程：第一类拉格朗日方程
对于线性微分：设体系受到k外还受到m个微分约束，约束方程为：
Or
对于完整体系的拉格朗日方程是从达朗贝尔方程中消去非独立坐标，将k个完整约束条件带入达朗贝尔方程后得到：
如果系统没有其他不可积分的微分约束，则上式中的3S
n k =-个q α是相互独立的，若使上式
成立，则q αδ前面的系数为零，从而得到完整体系的拉格朗日方程。
若此时系统还受到m 个（不可积分的）微分约束，则上式中的S 个q α不是相互独立的，独立的广义坐标数目应为S
m -。
上式是对于完整体系下的虚位移，对于非完整体系： 体系作虚位移时：
用时间t的任意函数()
l
t
λ
乘以上式：
合并完整体系和非完整体系的两个表达式：
对于包含非完整体系的约束，由于S个qα中只有S m
-个是独
立的，因此不能令
q
α
δ
前面的系数为零，但是对于只要我们
适当选取m个条件，就可以使qα
δ
前面的系数为零，因此有:
例：
对于约束：C v 沿杆AB 方向，则x 和
y 在垂直于AB 方向上的投影为零。
此时：
00x y a dx a dy a d a dt θθ+++=
因为没有项，所以
将拉格朗日函数和上面的结果带入
由上式第3个方程：
其中：
;
αβ是积分常数。
由前两个方程得到：
→两边对 求导：
得到：
;γδ是积分常数。
其中：
ε为积分常数。
理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程
O1 rA FIA
A
x1
l l
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
2
rC
C
rB
B
FIB
m1g l
l m1g
m2g
y1
2m1lsin lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
B
解： 不考虑摩擦力，这一系统的约束 为理想约束；系统具有一个自由度。取 广义坐标 q =
1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为
m2g y1
FIA FIB mlsin 2
2、令系统有一虚位移。A、B、C 三处的 虚位移分别为rA、rB、 rC 。
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 y D ae a1 C1
O1 l l
拉格朗日方程
36 37 47 48 49 51 52 53 54
达朗贝尔原理
（1）质点的达朗贝尔原理
在质点运动的任一瞬时，作用在一个质点上的主动力、约束力、虚拟的惯性力 在形式上组成平衡力系：
→
→ → F + Ri + F0 = 0
.. → → F0 = − m r
达朗贝尔原理
拉格朗日方程
（1）方程的基本形式 设质点系由n个质点组成，并受到s 设质点系由n个质点组成，并受到s个完整的、理想约 束条件限制，则该质点系具有k=3n- 个自由度k 束条件限制，则该质点系具有k=3n-s个自由度k个广义坐 标 q j (j=1,2,3…,k),系统的运动应满足拉格朗日方程（简 (j=1,2,3…,k),系统的运动应满足拉格朗日方程（简 称拉氏方程），即
d ∂L − ∂L = 0 ∂q dt ∂ q. i j
j = (1,2,..., k )
式中拉格朗日函数（简称拉氏函数）L等于系统的动能T与势能 式中拉格朗日函数（简称拉氏函数）L等于系统的动能T V之差，即 L=TL=T-V L又称动势i
或
F n ∑ ( Fi −mi ai )•δ r i =0 i =1
上式的解析表达式为 .. .. .. n ∑ [(F −m xi )δ x + ( F − m yi )δ y + ( F − m zi )δ z ] = 0 i i iy i i iz i i i =1 ix
IE IE I
D
ω
3.简答题
13-8.一列火车在启动过程中，哪节车厢的挂钩受力最大？为什么？ 13-8.一列火车在启动过程中，哪节车厢的挂钩受力最大？为什么？
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z
O
l
2
x2 y2 z 2 l 2 0
x
M m
x vt
2
y z l 0
2 2
y
x2 y2 z 2 l 2 0
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚， 从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球 运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了 历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他 提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法， 总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。 他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后 来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论 的先驱。 在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问 题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。 在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运 算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题， 他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函 数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、 欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程， 引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析 力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称 轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉 格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体 运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题， 提出了彗星起源假说等。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展 产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。
约瑟夫· 路易斯· 拉格朗日 （Joseph-Louis Lagrange 1735~1813） 法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵， 1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学 科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为 突出。
拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产， 家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成 为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。 到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的 介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数 学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。 18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论 文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布 尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。 1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析 的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论 基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当 时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。 1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微 分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于 1766年获奖。 1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学 家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。 在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的 方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。
1783年，拉格朗日的故乡建立了“都灵科学院”，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的 邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。 这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工 作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。 1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最 高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作： 《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。 1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。
分析力学
分析力学主要内容:
约束与广义坐标 虚功原理 拉格朗日方程 小振动 哈密顿正则方程 泊松括号与泊松定理 哈密顿原理
正则变换 哈密顿—雅科比理论
导 论
一. 研究机械运动的着眼点
F V ( r ) 力 势能 2 牛顿力学（矢量力学） 分析力学 p T 2m 动能 动量
在一定初始条件下积分可得
yc R xc R 0
两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速 度的限制.
(3) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰 刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着 冰刀的纵向. 以冰刀的质心坐标xc, yc和转 角作为冰刀的位置坐标, 则 冰刀的约束方程为
§2.1
一. 约束的概念
约束
约束：对物体运动位置或速度的限制.
n 个质点的系统状态由 3n 个位置坐标和3n 个速度坐标确定. n 个质点如有 k 个约束，则只有 3n - k 个坐标是独立的.
二、 约束方程
由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束. vBiblioteka 0O mgx
y
初始条件和受力 决定轨迹是直线
二. 分析力学的特点
1. 把力学系统作为一个整体考虑 (牛顿力学是先质 点、再质点系 ); 2. 具有简单统一的微分方程；
力学体系不同 3. 使用范围更广
分析力学：力学量 L(T,V) 或 H(T,V) 不同. 牛顿力学：运动微分方程不同.
能量概念适用于量子力学，甚至非力学体系；
量子力学中的 r , , r , 等是没有意义的.
时间的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之
转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种 约束称为非完整约束, 其约束方程形式为
f ( xi , y i , z i , xi , y i , z i , t ) 0
不受非完整约束的系统称为完整系 本教材只研究
OM为刚性轻杆
O点固定 完整约束 O点不固定 完整约束 OM为柔软不可伸长轻绳 O点固定 完整约束 O点不固定
z
l
x
M m
y
若刚性轻杆换成柔软轻绳（绳长仍为l，不可伸 长），则约束方程为 2 2 2 2 O点固定 x y z l 0 O点不固定 x vt 2 y 2 z 2 l 2 0
（2）半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动, 约束方程表示为
yc 0 xc R 0
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系
拉格朗日力学
牛顿力学理论几乎都以力为基础，因此它的 应用只局限于纯力学问题的范畴，运算也比较 F 烦琐。18世纪伯努利、达朗贝尔、欧拉等人发 展了经典力学的分析形式。1788年拉格朗日发 表了名著《分析力学》，建立了经典力学的拉 格朗日形式，用体系的动能和势能取代了牛顿 形式的加速度和力，将力学的研究和应用范围 开拓到整个物理学。
三者本质上相同，可以相互证明
第2章 拉格朗日方程
内容: • 基本概念 • 理想完整系的拉格朗日方程 • 对称性和守恒定律 重点: 难点: 完整保守系的拉格朗日方程 拉格朗日方程的推导