随机变量及其分布简介

“随机变量及其分布”简介

北京师范大学数学科学院李勇

随机变量是研究随机现象的重要工具之一，他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。

在本章中将通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

一、内容与要求

1.随机变量及其分布的概念。

通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。要求学生会用随机变量表达简单的随机事件，并会用分布列来计算这类事件的概率。

2.超几何分布模型及其应用。

通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

3.二项分布模型及其应用。

通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验和二项分布模型，并能解决一些简单的实际问题。

4.离散随机变量的均值与方差。

通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

5.正态分布模型。

借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。

二、内容安排及说明

1.全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：

2． 1 离散型随机变量及其分布列约3课时2． 2 二项分布及其应用约4课时

2． 3 离散型随机变量的均值与方差约3课时

2． 4 正态分布

约1课时

小

结

约1课时

2.本章知识框图

3.对内容安排的说明。

研究一个随机现象，可以借助于随机变量，而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．为了使学生能够更好地理解它们，并能用来解决一些实际问题，教科书在内容安排上作了如下考虑：

(1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上，通过取有限个不

同值的随机变量为载体介绍这些概念，以便他们能更好的应用这些概念解决实际问

题。例如，如何定义随机变量来描述所感兴趣的随机事件；一个具体的随机变量都能表达什么样的事件，如何表达这些事件；如何用分布列来表达随机事件发生的概率等。

(2) 介绍超几何分布模型及其应用，其目的是

i. 让学生了解它的广泛应用背景，并使学生能够应用该分布设计一些能够丰

富学生课外活动的摸奖游戏，引发学习兴趣；

ii. 另外该模型还可以帮助理解二项分布模型的背景；

iii.在产品的质量控制方面有广泛的应用。

(3) 介绍条件概率和独立性的概念，主要是为引入二项分布模型打基础，另外这些

概念在实际中也有广泛应用。

(4) 为了使学生更容易理解二项分布的产生背景，教材通过简单实例的讨论，向学

生们展示从独立重复实验到二项分布的推导过程。

(5) 对于离散型随机变量的均值与方差的含义及其计算公式，重点是概念的理解，

而不是均值与方差的计算。因此教材中借助于很简单的离散型随机变量来介绍均值与方差的概念，以避免复杂的计算冲淡概念的理解。

(6) 关于正态分布模型，仅需要学生们了解正态分布密度曲线的特征，密度曲线与

相应的随机变量落在某个区间的概率之间的关系，参数和的含义，以及准则。

4. 本章的重点和难点

(1)离散型随机变量的分布列、均知和方差概念的理解；

(2)条件概率、两事件相互独立的概念；

(3)二项分布、超几何分布模型及其应用．

三、教材编写中考虑的几个问题

1.知识的引入的变化

●注重利用学生熟悉的实例和具体情景引入知识，以促发学生们的兴趣；

●通过思考或探究栏目提出问题，以调动学生解决问题的积极性。

例如，我们通过学生们熟悉的掷骰子为背景提出问题，引导学生思考，以得到随机变量的概念。又如，我们以抽奖券为背景，设计了

一套问题，引导学生体会概率和条件概率的区别。再如，我们通过混

合糖果定价的问题，引入数学离散型随机变量均值的定义。

2.具体内容的变化

●知识载体的变化：以取限值离散型随机变量为知识载体。

使学生的注意力更集中在有关随机变量的均值、方差概念的理解；

不影响二点分布、超几何分布、二项分布的知识理解，他们都是取有限值的随机变量。

●增加了超几何分布。

贴近学生们的生活。如在模球和扑克牌游戏中，都会出现超几何分布。

而同学们又很熟悉这些游戏，由此可提升他们学习概率知识的兴趣。

应用广泛。如抽样中。

可以帮助正确理解二项分布产生的背景。

3.更注重知识的应用

●体现概率统计的应用价值。

●利用思考、探究等栏目提高学生解决实际问题能力。

如，例1.3演示了超几何分布在设计抽奖游戏中的应用，该例后的思考引导学生动手设计抽奖游戏；例2.2体现了条件概率在破译密

码中的应用；例2.3给出了独立性在抽奖活动中的应用；例2.4给出

了二项分布在射击中的应用；例3.3给出了离散型随机变量在制定减

灾方案中的应用。

四、教学建议

1.在教学过程中要交待引入随机变量的原因（章引言中）；

2.通过与函数的比较加深对随机变量的理解；

3.在介绍有关随机变量的概念过程中，重点在在于概念的理解及应用，不宜引入过于复

杂的计算，以免喧宾夺主；

4.注意产生超几何分布与二项分布的背景差别，以帮助学生更好地理解两个模型以及

两个事件间独立性的概念。