职中数学第八章---平面解析几何
8-4第八章 平面解析几何
10 3．[教材改编]直线 l：3x－y－6＝0 与 x2＋y2－2x－4y＝0，相交于 A，B 两点，则|AB|＝________.
解析 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 配方得 (x－1)2＋ (y－ 2)2＝5，圆心为(1,2)， r＝ 5，圆心到直线的距离 d＝
5 2 ＝ 10. 5 － 10
4 条公切线； ①两圆外离时，有______ 3 条公切线； ②两圆外切时，有______ 2 条公切线； ③两圆相交时，有______ 1 条公切线； ④两圆内切时，有______
⑤两圆内含时，没有公切线．
(3)两个圆系方程 ①过直线 Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋ By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆 C1 ： x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1 ＝ 0 和圆 C2 ： x2 ＋ y2 ＋ D2x ＋ E2y ＋ F2 ＝ 0 交点的圆系方 程： 2 2 2 2 x ＋ y ＋ D x ＋ E y ＋ F ＋ λ ( x ＋ y ＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1) (其中不含圆 C ，因此注意检验 C 是否满足题 1 1 1 ___________________________________________________
相切 Δ＝0 如果_________ ，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆_________ ； Δ>0 如果 _________ ，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆 相交． _________
3．必记结论 当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
2020版高职高考数学总复习课件：第八章 平面解析几何 节练习(共48张PPT)
3
5
A. 5
B.3
C. 7
D.15
2.圆x2+y2=2与直线y=x+3的位置关系是 ( C )
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
3.过圆x2+y2=25上一点P(3,4),并与该圆相切的直线方程是( D )
A.3x+4y=0
B.3x-4y=0
C.3x-4y-25=0
D.3x+4y-25=0
4.直线y=x+b过圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心,则b= ( C )
故所求方程为 : x 2 y 1 0
一、选择题
8.3 曲线的方程
1.下列各点不在曲线x2+y2=4上的是
(C)
A.( 3, 1) B.(0, 2) C.( 3, 2) D.(2 cos , 2sin )
2.“c=0”是“曲线y=ax2+bx+c过原点”的
( C)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
第一部分 节练习
第八章 平面解析几何
8.1 直线的方程
一、选择题
1.经过下列两点的直线中,斜率不存在的是
( C)
A.(1,-1),(-3,2)
B.(1,-2),(5,-2)
C.(3,4),(3,-1)
D.(3,0),(0,2)
2.已知直线y-4=k(x-3)过点(-1,-2),则k的值为
( A)
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
A.1
B.-1
C.±1
D.± 7
8.直线mx+8y+2m=0和直线x+2my-4=0相交,那么 ( D )
职中数学第八章---平面解析几何
第八章 平面解析几何1．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x.（ ）2、双曲线离心率e<1 （ ）5、椭圆上的任一点到它的两焦点的距离的和都等于短轴长。
（ ）6、方程x 2+y 2+λx=0表示圆，则λ的取值范围是任意实数。
（ ）8、任意直线都有斜率。
（ ）9、直线2x —3y+1=0与圆x 2+y 2=1相交。
（ ）6、已知m ≠0，则过点（1，－1）的直线ax ＋3my ＋2a=0的斜率是 （ ）A 、3B 、－3C 、31D 、－31 7、直线L 1：ax ＋2y ＋6=0与直线L 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1=0平行，则a= （ ）A 、－1B 、2C 、－1，2D 、0，18、圆x 2－8x ＋y 2＋12=0与直线3x ＋y=0的位置关系是 （ ）A 、相切B 、相离C 、相交D 、无法确定9、如果椭圆的短轴长、焦距、长轴长依次成等差数列，则其离心率e=（ ） A 、54 B 、53 C 、43 D 、32 10、抛物线y=4x 2的焦点坐标是 （ ）A 、（1，0）B 、（0，1）C 、（0，161）D 、（161，0） 5、直线L 过点A （－2，－3），且在两坐标轴上的截距相等，则L 的方程为______6、若直线L 1与L 2的斜率是方程4x 2－15x －4=0的两根，则L 1与L 2的夹角为_______。
7、过圆x 2＋y 2=13上一点（2，－3）的切线方程是_____________。
8、椭圆m x 2＋42y =1的焦距为2，则m 的值为___________。
9、双曲线x 2－3y 2=1的两条渐近线的夹角是______________。
10、顶点在原点，且经过点P （－1，2）的抛物线标准方程为_____________。
三、解答题（共70分）1、已知：求（1）的值（2）（10分）2、已知：ABC 的三顶点为A （6，-2），B （-1，5），C （5，5），求ABC 的外接圆方程。
平面解析几何 PPT课件
高 是要考虑正切函数的单调性．
频
解 题
考 点
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若
训 练
要 通
不确定，则需要分类讨论．
要 高
关
效
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基
高
础
直线的倾斜角与斜率
分
知
障
识
碍
要
要
打 牢
[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，
训 练 要 高 效
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基 础
名
几何条件
知称
方程
局限性
高 分 障
识
碍
要 截 在x轴、y轴上
打
不包括_垂__直__于__坐__
要
破
牢
距 的截距分别为a， __xa_＋__by_＝__1__ 标轴 和_过__原__点__
除
高 式 b(a，b≠0)
的直线
知
障
识 要
则直线l的方程为
()
碍 要
打 牢
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
破 除
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
高
解
频 考 点
解析：由y－5＝－34(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
题 训 练
要 通
答案：A
要 高
关
效
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
解
频 考
一
点
_A_x_＋__B__y＋__C__＝__0_
中职教育数学《平面解析几何-复习课》练习题
第八章 平面解析几何（知识点）1. 直线：(1) 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。
其范围是),0[π(2) 斜率：①倾斜角为090的直线没有斜率；②αtan =k（倾斜角的正切）③经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1212x x y y K --= )(21x x ≠(3) 直线的方程①两点式：121121x x x x y y y y --=-- ② 截距式 1=+b y a x③ 斜截式：b kx y += ④点斜式：)(00x x k y y -=- ⑤一般式：0=++C By Ax注：1.若直线l 方程为3x+4y+5=0，则与l 平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l 垂直的直线可设为4X-3Y+C=0 2.求直线的方程最后要化成一般式。
(4) 两条直线的位置关系①点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2200||B A C By Ax d +++=②0:1=++C By Ax l 与0:2=++C By Ax l 平行2221||BA C C d ++=2. 圆的方程（1） 标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r）其中圆心),(b a ，半径r 。
（2） 一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）圆心（2,2E D --） 半径：2422F EDr -+=（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径r 比较。
相交⇔<r d ； 相切⇔=r d ； 相离⇔>r d3. 二次曲线：定义一：平面内到一个定点和一条定直线的距离的比等于定长e 的点的集合,①当0<e<1时,是椭圆.②当e>1时,是双曲线.③当e=1时,是抛物线. 4. 椭圆注：等轴双曲线：（1）b a =（2）离心率2=e （3）渐近线x y ±=6. 抛物线（如右图示） 注：（1）p 的几何意义表示焦点到准线的距离。
8-1第八章 平面解析几何
k2，解得 a＝3 或 a＝－2.经检验，a＝－2 时两直线重合，故 a＝3.
考点多维探究
考点 3
直线的方程
回扣教材 1.直线方程的形式及适用条件 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 几何条件 过点(x0，y0)，斜率为 k 斜率为 k，纵截距为 b 过两点(x1，y1)，(x2， y2)(x1≠x2，y1≠y2) 在 x 轴、 y 轴上的截距分别 为 a，b(a，b≠0) — 方程 y－y0＝
三年高考总结 从近三年高考情况来看，对于直线的考查，一是考 查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查 求直线的方程，平行垂直的判定，难度较低，常以 选择题形式出现，本节知识很少单独考查，常与其 他知识相结合，解题时充分利用分类讨论、数形结 合的思想，掌握概念、熟记公式，涉及直线的对称 问题是训练的重点.
第八章
平面解析几何
第 1讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
考纲展示 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过 两点的直线斜率的计算公式． 2． 能根据两条直线的斜率判断这两条直线 平行或垂直． 3．掌握确定直线位置的几何要素． 4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两 点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数 的关系.
m－4 1 ＝ ，求得 m＝3. 1－ m 2
解析
kAB＝
1 3．若直线 x－2y＋5＝0 与直线 2x＋my－6＝0 互相垂直，则实数 m 的值为________ ．
1 2 解析 由两直线垂直，得 ×－m＝－1，求得 m＝1. 2
典例2 A．－1
(1)[2015· 济南模拟]已知两条直线 l1： (a－1)· x＋2y＋1＝0， l2： x＋ay＋3＝0 平行， 则 a＝( B ．2 D．－1 或 2
高职单招数学复习第八章-平面解析几何
更为广泛,它可以使定性的问题直观化.在解题时要注意这一点.
【同步训练】
一、选择题
1.下列各点中,不在直线2x-y+3=0上的点是(
A.(-1,1)
B.(-2,-1)
C.(-5,-7)
【答案】D
)
D.(-3,3)
2.直线3x-2y+6=0不经过
(-2,0),则 k=
(
)
A.-3
B.3
C.-
D.
【答案】A
6.若直线 l 过点( ,-3),且倾斜角为 30° ,则直线 l 的方程为 (
A.y= x-4
B.y= x+2
C.y= x-6
D.y= x+4
【答案】A
)
3
7.过点(2,3)且斜率为 的直线方程是
(
4
.
x2 x1
2.直线的方程
(1)直线方程一览表
名称
已知条件
直线l上一点P(x0,y0)
点斜式
斜率k
斜截式
直线的斜率k
直线在y轴上的截距b
直线在x轴上的截距a
截距式
直线在y轴上的截距b
一般式
直线方程
说明
y-y0=k(x-x0)
不能表示平行于
y轴的直线(即斜
率不存在)
y=kx+b
不能表示平行于
y轴的直线(即斜
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
(
)
3.若直线经过点A(3,2)和点B(0,-1)，则直线的斜率为(
8-8第八章 平面解析几何
【跟踪训练】 x2 y2 1．P是椭圆 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足 a b x2 y2 → → → ＋ ＝1 4a2 4b2 OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是____________ ． → → → 解析 由OQ＝PF1＋PF2，
解
(1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD＝4|x0y0|，
x2 x2 0 0 2 2 由 ＋y0＝1，得y0＝1－ ， 9 9 x2 1 2 92 9 0 2 2 2 从而x0y0＝x0 1－ ＝－ x0－ ＋ .
9
9
2
4
9 1 2 当x2 ＝ ， y ＝ 时，Smax＝6. 0 0 2 2
y0 直线A2B的方程为y＝－ (x－3)．② x0－3 y2 0 由①②得y ＝－ 2 (x2－9)．③ x 0－ 9
2
x2 0 2 又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y0＝1－ .④ 9 x2 将④代入③得 －y2＝1(x<－3，y<0)． 9 x2 因此点M的轨迹方程为 －y2＝1(x<－3，y<0)． 9
2 2 2 3x ＋4y ＝12c ， 8 A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝ c， 5 y＝ 3x－c.
x2＝8c， 5 x1＝0， 得方程组的解 y1＝－ 3c， y2＝3 3c. 5
8 3 3 不妨设A c， c，B(0，－ 3c)． 5 5
解
如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点． ∴|O1M|＝ x2＋42， 又|O1A|＝ x－42＋y2， ∴ x－42＋y2＝ x2＋42， 化简得y2＝8x(x≠0)． 当O1在y轴上时，O1与O重合， 点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
高中数学 第八章 平面解析几何 知识汇总
第八章 平面解析几何1. 曲线C 上的点与方程0),(=y x F 之间的关系： （1） 曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；（2） 以方程0),(=y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上。
则曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程。
2. ∆求曲线方程的方法及步骤 （1） 设动点的坐标为),(y x（2） 写出动点在曲线上的充要条件； （3） 用y x ,的关系式表示这个条件列出的方程（4） 化简方程（不需要的全部约掉） 3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。
4. 直线（1） 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。
其范围是),0[π（2） 斜率：①倾斜角为090的直线没有斜率；②αtan =k （倾斜角的正切）注：当倾斜角α增大时，斜率k 也随着增大；当倾斜角α减小时，斜率k 也随着减小！③已知直线l 的方向向量为),(21v v ，则12v v k l =④经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1212x x y y K --= )(21x x ≠⑤直线0=++C By Ax 的斜率BA K -= （3） 直线的方程 ① 两点式：121121x x x x y y y y --=--② ∆斜截式：b kx y += ③ ∆点斜式：)(00x x k y y -=-④ 截距式：1=+bya x 轴上的截距在为轴上的截距，在为y lb x l a ⑤ ∆一般式：0=++C By Ax 其中直线l 的一个方向向量为),(A B -注：(Ⅰ)若直线l 方程为0543=++y x ，则与l 平行的直线可设为043=++C y x ；与l 垂直的直线可设为034=+-C y x 。
（4） 两条直线的位置关系① 斜截式：111:b x k y l +=与222:b x k y l +=1l ∥2l ⇔2121b b k k ≠=且1l 与2l 重合⇔2121b b k k ==且， 1l ⊥2l ⇔121-=⋅k k ，1l 与2l 相交⇔21k k ≠② 一般式：0:1111=++C x B x A l 与0:2222=++C x B x A l1l ∥2l ⇔222121C C B B A A ≠= 1l 与2l 重合⇔222121C C B B A A == 1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A1l 与2l 相交⇔2121B B A A ≠ （5） 两直线的夹角公式① 定义：两直线相交有四个角，其中不大于2π的那个角。
第八章 平面解析几何
5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于
________．
7－5 x－5 x－5 解析： 因为 kAB＝ ＝2， AC＝ k ＝－ 4 .A、 4－3 －1－3 x－5 B、C 三点共线，所以 kAB＝kAC，即－ 4 ＝2，解 得 x＝－3.
线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围________．
(1)设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ＝－ π sin α，其中 sin α∈[－1,1]．又 θ∈[0，π)，所以 0≤θ≤4或 3π 4 ≤θ<π. [自主解答]
(2)设直线 AB 的倾斜角为 θ，斜率为 k，则 m－n k＝tan θ＝ ＝－1，又 θ∈[0，π)， n－m 3π 所以 θ＝ 4 .
——————————————————————————
5．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点，由两点 y－1 x－2 式得 BC 的方程为 ＝ ，即 x＋2y－4＝0. 3－1 －2－2
3．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，
Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________.
m＋1 解析：k1＝tan 45° ＝1，k2＝ ， 3＋2 m＋1 ∵l1⊥l2，∴k2＝ ＝－1，m＝－6. 3＋2
答案：－6
4．已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝
职高数学——平面解析几何
曲线与方程一、高考要求：理解曲线与方程的关系，会根据曲线的特征性质选择适当的直角坐标系求曲线方程，会求曲线的交点. 二、知识要点： 1.曲线与方程的概念在平面直角坐标系中,如果曲线C 与方程F （x ，y ）=0之间具有如下关系: （1）曲线C 上的点都是方程F （x ，y ）=0的解； （2）以方程F （x ，y ）=0的解为坐标的点都在曲线C 上.那么, 曲线C 叫做方程F （x ，y ）=0的曲线,方程F （x ，y ）=0叫做曲线C 的方程.即：P （x ，y ）∈C ⇔ F （x ，y ）=0或C={}0),(),(=y x F y x P .2.求曲线的方程求曲线的方程的主要步骤是:(1)建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点P(即动点)的坐标为（x ，y ）;(2)根据给出的几何条件写出曲线上点集的特征性质;(3)用x ，y 的关系式表示这个特征性质,列出方程;(4)化简方程;(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程. 3.求曲线的交点如果两曲线C 1,C 2的方程分别是F 1（x ，y ）=0和F 2（x ，y ）=0,那么, C 1与C 2有交点(C 1∩C 2≠φ)⇔方程组⎩⎨⎧==0),(0),(21y x F y x F 有实数解,且方程组的实数解就是交点的坐标; C 1与C 2无交点(C 1∩C 2=φ)⇔方程组⎩⎨⎧==0),(0),(21y x F y x F 无实数解.即:求曲线的交点问题,就是求它们的方程所组成的方程组的实数解的问题. 三、典型例题：例1:已知方程x 2+(y-1)2=10.(1)判断点A(1,-2)、B(2,3)是否在此方程表示的曲线上? (2)若点C(2m,-m )在此方程表示的曲线上,求m 的值. 解：(1)把x=1,y=-2代入方程x 2+(y-1)2=10得左边=12+(-2-1)2=10=右边,所以点A(1,-2)在此方程表示的曲线上;把x=2,y=3代入方程x 2+(y-1)2=10得左边=(2)2+(3-1)2=6≠右边,所以点B(2,3)不在此方程表示的曲线上; (2) 把x=2m ,y=-m 代入方程x 2+(y-1)2=10得(2m )2+(-m -1)2=10解得m=2或m=518-. 例2:在直角坐标平面内,已知点A(2,3)、B(-3,1)、C(-2,-4). (1)求△ABC 的重心G 的坐标;(2)如果点P 为坐标平面内一动点,PB ++=+,试求P 点的轨迹方程; (3)根据P 点的轨迹方程,试判断它的图形. 解：(1)设G(x,y ),则x=3)2()3(2-+-+=-1;y=3)4(13-++=0.所以G 的坐标是(-1,0).(2) 设P(x,y ),则22)2()21()2,21(),(),1(y x y x y x y x -+--=---=--+---=+)3,33()4,2()1,3()3y x y x y x y ---=----+---+-依题意,得22)2()21(y x -+--22)3()33(y x -+--=,化简得 P 点的轨迹方程是5x 2+5y 2+14x+8=0.(3)将5x 2+5y 2+14x+8=0配方得222)53()57(=++y x ,P 点的轨迹是以(57-,0)为圆心, 53为半径的圆. 例3:已知抛物线y=x 2-kx+3和直线y=kx. (1)若它们没有交点,试求k 的取值范围; (2)若它们相交于一点,求此直线倾斜角的正弦值; (3)若它们相交于A 、B 两点,求AB 中点的轨迹方程. 解：(1)联立方程得⎩⎨⎧+-==32kx x y kxy 消去y ,得x-2kx+3=0,∵抛物线y=x 2-kx+3和直线y=kx没有交点,∴△=4k 2-12<0,解得k 的取值范围是{}33<<-k x ;(2) ∵抛物线y=x 2-kx+3和直线y=kx 相交于一点∴△=4k 2-12=0,解得3±=k ,设直线y=kx 的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα=3±=k ∴α=3π或32π∴sinα=23;(3)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、AB 的中点M(x,y),∵抛物线y=x 2-kx+3和直线y=kx 相交于两点∴△=4k 2-12>0,解得33>-<k k 或又x=21( x 1+ x 2)=k,y=kx=k 2.消去k ,得AB 中点的轨迹方程是y=x 2(33>-<x x 或).四、归纳小结：1.满足了曲线和方程关系的两个条件,就在曲线这个点集和方程间建立了一种一一对应关系.2.求曲线方程时,建立适当的坐标系是不可缺少的一步,若化简过程是同解变形,可省略步骤(5).求曲线方程的常用方法有:(1)直接法;(2)定义法;(3)消参法;(4)代入法.3.一般求直线L:y=kx+b 与二次曲线C:F （x ，y ）=0的交点坐标就是求方程组⎩⎨⎧=+=0),(y x F bkx y 的解,方程组有几组解,直线与曲线就有几个交点;由两方程消去y(或x)得到关于x (或y)的一元二次方程,由判别式判断解的个数;若L 与C 交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点,则有弦长公式:]4))[(1(212212x x x x k AB -++=或]4))[(11(212212y y y y kAB -++=. 五、基础知识训练： （一）选择题： 1.下列命题中:(1)与x 轴距离等于2的点的轨迹方程是x=2;(2)过点(2,-1)且斜率为1的方程是121=-+x y ; (3)与两坐标轴距离之积等于1的点的轨迹方程是xy=1;(4)与两点A(-3,0)、B(3,0)距离的平方和等于38的点的轨迹方程是x 2+y 2=10. 正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知两个方程:(1) x 2+y 2=0;(2) x 2-y 2=0.则下列结论中正确的是( ) A.方程(1)(2)都表示两条直线 B.方程(1)(2)都表示点(0,0)C.方程(1)表示两条直线,方程(2)表示点(0,0)D.方程(1)表示点(0,0),方程(2)表示两条直线 3.方程422=-++y x y x 所表示的曲线( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于x 轴、y 轴对称D.关于x 轴、y 轴、原点对称 4.方程411=-+-y x 所表示的图形是( )A.一个点B.四条直线C.正方形D.四个点 5.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是( ) A.y=x B.x y = C.x 2=y2D.x 2+y 2=06.若曲线y= x 2-x+2和y=x+m 有两个交点,则m 的取值范围是( )A.m ∈RB.m ∈(-∞,1)C.m =1D.m ∈(1,+∞)（二）填空题：7.已知点A(4,9)到y 轴上一点P 的距离是97,则点P 的坐标是 (0,0)或(0,18) .8.若点A(3,m)在方程x 2-xy+2y-1=0的曲线上,则m= 8 .9.到两点A(1,1)、B(3,-1)距离之和等于22的点的轨迹方程是 x+y-2=0(1≤x≤3) . 10.两曲线x 2-y 2=0, x 2+y 2=2的交点坐标是 (1,1)、(1,-1)、(-1,1)、(-1,-1) .11.直线y=x+1被曲线y=x 2所截得线段的中点坐标是()2321,.（三）解答题：12.点M 到点A(-1,0)和B(2,0)的距离之比是2:1,求点M 的轨迹方程.13.已知平面上有两点A 、B,且AB =2,平面上一动点M 到A 、B 两点的距离之比是2:1,求动点M 的轨迹方程.14.已知定点A(2,0),Q 是曲线C:x 2+y 2=1上的动点,M 为AQ 的中点,当Q 在曲线C 上移动时,求动点M 的轨迹方程.15.已知抛物线y= x 2-3x+2,直线 过定点P(23,-1),问:直线 的倾角α为何值时,直线和抛物线(1)有一个交点;(2)没有交点;(3)有两个交点,并用α表示此时抛物线截直线所得的弦长.线段的定比分点一、高考要求：理解线段的定比分点概念,掌握有向线段定比分点坐标公式并能进行简单的运用. 二、知识要点：1.有向线段定比分点的概念有向直线 上的一点P,把 上的有向线段分成两条有向线段和,和数量的比叫做点P 分所成的比,点P 叫做的定比分点,设其比为λ,则有=λ,或PBAP=λ(λ≠-1).当λ>0时,与同向,点P 是线段AB 的内分点;当λ<0(λ≠-1)时,AP 与PB 反向,点P 是线段AB 的外分点; 当λ=0时,点P 与A 重合. 2.定比分点公式设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是平面直角坐标系XOY 上的两点,点P(x,y)分有向线段成定比λ,则)1(1;12121-≠++=++=λλλλλy y y x x x三、典型例题：例1:(96上海)已知点O(0,0)和A(6,3)两点,若点P 在直线OA 上,且21=PA OP ,又P 是线段OB 的中点,则点B 的坐标是 .解:设P(x,y),由定比分点公式得121132101;2211621012121=+⋅+=++==+⋅+=++=λλλλy y y x x x ∴P(2,1),由中点公式得B 的坐标是(4,2).例2:已知点A(x,-3)、B(2,y),在直线AB 上有一点P(3,-1),使BP AP 2=,求A 、B 两点的坐标.解:(1)若P 是的内分点,则λ=PBAP=2,由定比分点公式得 .021231;521223=⇒+⋅+-=-=⇒+⋅+=y y x x∴A(5,-2)、B(2,0).(2)若P 是的外分点, ∵BP AP 2=∴B 为AP 的中点,由中点公式得x=1,y=-2.∴A(1,-3)、B(2,-2). 四、归纳小结：运用定比分点公式的关键是求定比λ,λ不是线段的长度之比,而是有向线段的数量之比,顺序特征是:21,P P P P →→,即起点→分点,分点→终点.这个顺序不能弄错. 五、基础知识训练： （一）选择题：1.设点P 在有向线段的延长线上,则点P 分所成的比( )A.λ<-1B.-1<λ<0C.0<λ<1D.λ<12.若点P 分有向线段的比为31,则点B 分有向线段的比为( ) A.43 B.34 C.34- D.43-3.点P 在直线AB 上, BP AP 2=,则点P 分AB 所成的比是( )A.2B.3C.±2D.2或21（二）填空题：4.已知A(-9,-2)、B(7,-5)、C(x,y)在同一直线上,B 点分的比为21,则点C 的坐标是(39,-11).5.已知点A(2,3)、B(10,5), 点P 在直线AB 上,且PB PA 2=,则P 点的坐标是())718(,313322，或. （三）解答题：6.线段AB 的端点A 、B 的坐标分别是(-1,1)、(-2,2),且CB AC 2=,求A 、B 、C 三点共线时点C 的坐标.直线方程一、高考要求：熟练掌握直线斜率的概念,会根据已知条件求直线的斜率；掌握直线的点斜式、斜截式方程,掌握直线的一般式方程及其系数的几何意义. 二、知识要点： 1.直线斜率的有关概念(1)一条直线 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角,用α表示,范围是0≤α<π.(2)倾斜角不是2π的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，用k 表示，即 k=tan α (α≠2π).经过两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的直线斜率的计算公式是 ).(211212x x x x y y k ≠--=2.直线方程的几种形式(1)两点式: 经过两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的直线方程是);,(2121121121x x y y x x x x y y y y ≠≠--=--(2)点斜式: 经过点A(x 1,y 1),斜率为k 的直线方程是y-y 1=k(x-x 1);(3)斜截式: 斜率为k,在y 轴上的截距为b 的直线方程是y=kx+b ;(4)截距式: 在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b 的直线方程是);0,0(1≠≠=+b a b ya x(5)一般式:Ax+By+C=0(A 、B 不能同时为0).当B=0时,直线没有斜率,方程为ACx -=, 当B≠0时,直线的斜率为B A -,方程为BC x B A y --=. 三、典型例题：例1:求证:点A(-2,12)、B(1,3)、C(4,-6)在同一条直线上.证明:(方法1) ∵AB =,103)123()21(22=-++BC =,103)36()14(22=--+-AC =,106)126()24(22=--++∴AB +BC =AC ∴A、B 、C 在同一条直线上.(方法2) ∵,,31436,324126BC AC BC AC k k k k =∴-=---=-=+--=∴A、B 、C 在同一条直线上.(方法3) 设P(1,y)是AC 的一个分点,则λλ+⋅+-=1421解得λ=1,于是,311)6(112=+-⋅+=y 即P 与B 重合,而P 在上, ∴A、B 、C 在同一条直线上.例2:求经过两点A(-5,0)、B(3,-3)的直线两点式方程,并将其化为点斜式、斜截式、截距式. 解:由两点式得经过两点A(-5,0)、B(3,-3)的直线两点式方程为)5(3)5(030----=---x y ,化为点斜式为y-0=83-(x+5),化为斜截式为y=83-x 815-,化为截距式为18155=-+-y x . 例3:已知直线ax+by+b=0(b ≠0)与曲线4xy+3=0有两个交点.(1)试求直线ax+by+b=0倾斜角的范围;(2)当直线与曲线相切时,求直线倾斜角的正弦值.解:(1)直线ax+by+b=0(b ≠0)可化为1--=x bay ,设直线ax+by+b=0的倾斜角为α(0≤α<π), 则tanα=ba-,于是方程变为1tan -⋅=x y α,代入曲线方程4xy+3=0得 034tan 42=+-⋅x x αααtan 31616)3(tan 44)4(2-=⋅⋅--=∆∴∵直线ax+by+b=0(b ≠0)与曲线4xy+3=0有两个交点∴0tan 31616>-=∆α∴tanα<33又∵0≤α<π∴0≤α<6π或2π<α<π. (2) ∵直线ax+by+b=0(b ≠0)与曲线4xy+3=0相切, ∴0tan 31616=-=∆α∴tanα=33又∵0≤α<π∴α=6π.∴sinα=21. 四、归纳小结：1.坐标平面内任一条直线都有倾斜角,但不是任一条直线都有斜率,当倾斜角α=2π时,直线的斜率不存在.倾斜角为α(α≠2π)的直线斜率k=tan α. 2.正确理解直线方程几种形式的局限性:两点式不能表示与坐标轴平行的直线,确需表示时,须将两点式方程121121x x x x y y y y --=--转化为(y-y 1)(x 2-x 1)=(y 2-y 1)(x-x 1);点斜式和斜截式都不能表示没有斜率的直线;截距式不能表示与坐标轴平行的直线,也不能表示过原点的直线.3.截距并非距离,而是直线与坐标轴交点的横(或纵)坐标. 五、基础知识训练： （一）选择题：1.若图中的直线1 、2 、3 的斜率分别为1k 、2k 、3k ,则( ) A.1k <2k <3k B.3k <1k <2k C.3k <2k <1k D.1k <3k <2k2.下列命题中:(1)若α是直线的倾斜角,则0≤α<π;(2)若k 是直线的斜率,则k∈(-∞,+∞);(3)任何一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率;(4)任何一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.其中,正确命题的个数是( )A.4B.3C.2D.13.若α是直线 的倾斜角,且满足:51cos sin =+αα,则直线 的斜率为( ) A.43 B.43-或34- C.34 D.34-4.下列四个命题中真命题是( )A.经过点A(x 1,y 1)的直线都可以用方程y-y 1=k(x-x 1)表示;B.经过任意两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(y 2-y 1)(x-x 1)表示;C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示; D.经过定点A(0,b )的直线都可以用方程y=kx+b 表示.5. 已知直线Ax+By+C=0,且AC ＜0,BC ＜0，则此直线不通过的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.经过点A(-4,-1)和B(4,3)的直线在x 轴上的截距为( )A.1B.-1C.2D.-27.过点(1,-2),倾斜角α的正弦值等于53的直线方程是( ) A.y+2=43±(x-1) B.y+2=34±(x-1) C. y+2=43(x-1) D. y+2=53(x-1)（二）填空题：8.经过点A(2, 3)和B(4,-5)的直线斜率是 -4 . 9.经过点A(3, 5)和B(3,-5)的直线方程是 x=3 .10.过直线4x-3y-12=0与x 轴的交点,且倾斜角等于该直线倾斜角的21的直线方程是 x-2y-3=0 .11.设直线的斜率为k,且333<<-k ,则直线的倾斜角α的取值范围是[)()πππ,,0326⋃.（三）解答题：12.求过点A(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线方程.13.一条光线从点A(5,3)射出,与x 轴正方向成角α,遇到x 轴后反射,已知tan α=3,求入射光线和反射光线所在直线的方程.14.求证:不论m 取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过一定点,并求出此定点的坐标.15.设直线 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=2m-6,根据下列条件,分别确定m 的值. (1) 在x 轴上的截距是-3;(2) 的倾斜角为4π;(3)当直线 与x 轴平行时.两直线的平行和垂直一、高考要求：掌握两直线平行和垂直的条件，能根据直线方程判断他们的位置关系. 二、知识要点： 两直线平行和垂直的条件(1)当两直线1 和2 的方程分别为1 : y =1k x+b 1;2 : y =2k x+b 2时, ①1 ∥2 ⇔1k =2k 且21b b ≠;②1 ⊥2 ⇔1k •2k =-1.(2)当两直线1 和2 的方程分别为1 :A 1x+B 1y+C 1=0;2 :A 2x+B 2y+C 2=0时, ①1 ∥2 ⇔A 1B 2=A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1; ②1 ⊥2 ⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 三、典型例题：例1:根据下列条件,分别求直线的方程:(1)过点P(2,1)且与直线3x-2y-6=0平行; (2)过点P(1,-1)且与直线2x+3y+1=0垂直. 解: (方法1) (1)由于所求直线与3x-2y-6=0平行,可设它的方程为3x-2y+C=0.又过点P(2,1)，∴3⨯2-2⨯1+C=0解得C=-4. ∴所求直线方程为3x-2y-4=0.(2)由于所求直线与2x+3y+1=0垂直,可设它的方程为3x-2y+D=0.又过点P(1,-1)， ∴3⨯1-2⨯(-1)+D=0解得D=-5. ∴所求直线方程为3x-2y-5=0.(方法2)(1)因为直线3x-2y-6=0的斜率为23,又由于所求直线与3x-2y-6=0平行,所以所求直线的斜率为23,又过点P(2,1)，由点斜式得所求直线方程为y-1=23(x-2)即3x-2y-4=0.(2) 因为直线2x+3y+1=0的斜率为32-,又由于所求直线与2x+3y+1=0垂直,所以所求直线的斜率为23,又过点P(1,-1)，由点斜式得所求直线方程为y-(-1)=23(x-1)即3x-2y-5=0.例2:已知直线1 :x+my+6=0、2 :(m-2)x+3y+2m=0,求m 的值,使得: (1) 1 ∥2 ；(2) 1 ⊥2 ；(3) 1 与2 重合.解：(1)由m(m-2)-3=0且2m 2-18≠0得m=-1; (2)由(m-2)•1+3m =0得m=21; (3)由m(m-2)-3=0且2m 2-18=0得m=3.例3:已知直线 :x+2y-2=0,试求:(1)点P(-2,-1)关于直线 的对称点坐标;(2)直线1 :y=x-2关于直线 对称的直线2 的方程;(3)直线 关于点(1,1)的对称直线方程.解:(1)设点P 关于直线 的对称点为P 1(x 1,y 1),则点PP 1的中点M 在对称轴 上,且PP 1⊥ .02212221)21(211111=--⋅+--=-⋅++∴y x x y 且解得519,5211==y x ∴P 1 (519,52). (2)直线1 : y=x-2关于直线 对称的直线为2 ,则2 上任一点P(x,y)关于 的对称点P 2(x 2,y 2)一定在直线1 上,反之也成立. 022221)21(2222=-+⋅++-=-⋅--∴y y x x x x y y 且 解得5834,544322-+-=+-=y x y y x x 把(x 2,y 2)代入y=x-2,整理得2 的方程为7x-y-14=0.(3)设直线 关于点A 对称的直线为3 ,则3 上任一点P(x,y)关于点A 的对称点P 3(x 3,y 3)一定在直线 上,反之也成立. 121233=+=+∴yy x x 且解得y y x x -=-=2,233 把(x 3,y 3)代入 的方程x+2y-2=0,整理得3 的方程为x+2y-4=0. 四、归纳小结：1.运用两条直线平行或垂直的条件处理有关问题时,一定要考虑斜率存在与否.2.已知直线 :Ax+By+C=0,则(1)和 平行的直线系方程是Ax+By+D=0;(2)和 垂直的直线系方程是Bx-Ay+E=0. 3.对称问题大致有四种类型:(1)两点关于点对称;(2)两点关于直线对称;(3)两直线关于点对称;(4)两直线关于直线对称.对于(1)利用中点公式即可;对于(2)需利用“垂直”、“平分”两个条件;对于(3)(4)通常采取坐标转移法. 五、基础知识训练： （一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.若两直线1 ∥2 ,则它们的斜率必相等B.若直线1 与2 的斜率都不存在，则1 ∥2C.若直线1 ⊥2 ，则必有121-=⋅k kD.两直线1 ,2 中,一条直线无斜率,另一条直线斜率为0,则1 ⊥2 2.直线(2m 2+m-3)x+(m 2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行,则m 的值为( ) A.23-B.89-或1C.89-D.13.直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,则a 的值为( ) A.23-或0 B.-3或1 C.-3 D.14.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是( )A.(5,2)B.(2,-5)C.(-5,-2)D.(-2,-5) 5.两直线A 1x+B 1y+C 1=0,A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是( ) A. A 1A 2+B 1B 2=0 B.A 1A 2-B 1B 2=0 C.12121-=B B A A D.12121=A A BB 6.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c ),则a+b+c 的值为( ) A.-4 B.20 C.0 D.24 （二）填空题：7.和直线x+3y+1=0垂直,且在x 轴上的截距为2的直线方程是 y=3x-6 . 8.直线 与直线x+y-1=0关于x 轴对称,则直线 的方程为 x-y-1=0 . （三）解答题：9.a 为何值时,(1)直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay-1=0平行? (2)直线2x+ay=2与直线ax+2y=1垂直?10.已知直线 :2x+4y+1=0,试求:(1)点P(2,0)关于直线 的对称点坐标;(2)直线1 : y=x-2关于直线 对称的直线2 的方程;(3)直线 关于点Q(1,1)的对称直线方程.两直线的夹角及点到直线的距离一、高考要求：会根据直线方程求两条直线的夹角和点到直线的距离,掌握求两条平行直线间的距离的方法.二、知识要点：1.两条直线的夹角0º≤θ≤90º(1)当两直线1 和2 存在斜率1k 、2k ,且121-≠⋅k k 时,21121tan k k k k +-=θ(2)当两直线1 和2 的方程分别为1 :A 1x+B 1y+C 1=0; 2 :A 2x+B 2y+C 2=0时,222221212121cos BA B A B B A A +⋅++=θ2.点到直线的距离(1)已知点P(x 0,x 0)与直线 :Ax+By+C=0,则点P(x 0,x 0)与直线 的距离为2200BA CBy Ax d +++=(2)两条平行线1 :Ax+By+C 1=0;2 :Ax+By+C 2=0间的距离为2221BA C C d +-=三、典型例题：例1:求过点(-2,-1),且与直线 :3x+y-3=0的夹角为60º的直线方程. 解: ∵直线 :3x+y-3=0的斜率为3-,且与所求直线的夹角为60º,∴所求直线的斜率存在,设为k,由两直线的夹角公式得,)3(1)3(360tan 0-⋅+--==k k 解得k=0或k=3,∴所求直线方程为y=-1或y+1=3(x+2).例2:已知三角形的三个顶点是A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7).求∠A 的内角平分线AD 的方程. 解:(方法1),10)17()44(22=-+--=AC ,5)15()47(22=-+-=AB,2==∴ABAC DBCD 由定比分点公式得,31021724=+⨯+-=D x ,31721527=+⨯+=D y由两点式(或其它形式)得∠A 的内角平分线AD 的方程为7x+y-29=0. (方法2)设AB 、AC 、AD 的斜率分别为1k 、2k 、k ,则,3447151=--=k .4344172-=---=k由两直线的夹角公式得,)43(1)43(34134-⋅+--=⋅+-k k k k 解得7-=k 或71=k . 由于71=k 是∠A 的外角平分线的斜率,故舍去.∴∠A 的内角平分线AD 的方程为7x+y-29=0.(方法3)AB 的方程为,371541--=--x y 得4x-3y-13=0, AC 的方程为,441741---=--x y 得3x+4y-16=0, 设角平分线AD 上任一点P(x,y ),则2222431643)3(41334+-+=-+--y x y x 整理,得7x+y-29=0或x-7y+3=0(舍去).∴∠A 的内角平分线AD 的方程为7x+y-29=0. 四、归纳小结： 1.对公式21121tan k k k k +-=θ,只有当两直线的斜率都存在,且两直线互不垂直时,才能使用.2.对公式2221BA C C d +-=,只有当两平行直线的方程的x,y 的系数都相同时,才能使用.五、基础知识训练： （一）选择题：1.直线1 与2 的斜率分别是方程6x 2+x-1=0的两个根,则直线1 与2 的夹角是( )A.30ºB.45ºC. 60ºD.75º 2.已知点 (0,5)到直线y=2x 的距离是( ) A.35 B.5 C.23D.253.两条平行直线1 :3x+4y-12=0;2 :6x+8y+6=0间的距离为( ) A.59B.-3C.6D.3 4.点P(1,1)到直线x+y+C=0的距离等于2,则C 的值是( )A.2B.0或3C.0或-4D.-4 （二）填空题：5.过点A(3,2)且与直线x-2y-3=0相交成4π的直线方程是 y-3x+7=0或3y+x-9=0 .6.过点A(1,1)且与点B(2,4)的距离等于5的直线方程是 x-2y+1=0或2x+y-3=0 .7.已知点(1,cosθ)到直线xsinθ+ycosθ=1的距离等于41,且0≤θ≤2π,则θ的值等于6π. （三）解答题：8.求经过两直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并与原点的距离等于2的直线方程.9.等腰三角形的两腰所在的直线方程为x-3y-2=0和3x-y-1=0,底边上有一点P(3,2),求底边所在直线的方程.圆一、高考要求：掌握圆的定义,圆的标准方程和一般方程,能根据已知条件求圆的方程,会判断点与圆、直线与圆的位置关系. 二、知识要点：1.圆的标准方程为: (x-a)2+(y-b)2=r 2,它表示以(a,b)为圆心,以r 为半径的圆,特别地,当圆心在坐标原点时, 圆的标准方程变为:x 2+y 2=r 2.2.圆的一般方程为: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 (D 2+E 2-4F>0),它表示以⎪⎭⎫⎝⎛-2,2E D 为圆心,以2422FE D -+为半径的圆.3.圆与二元二次方程的关系:二元二次方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充分必要条件是A=B≠0,C=0,.0422>⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛A F A E A D4.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的位置关系为:设圆心到直线的距离为d,将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程的判别式为△,则 相离⇔d>r (或△<0); 相切⇔d=r (或△=0); 相交⇔d<r (或△>0). 三、典型例题：例1: 求满足下列条件的圆的方程：(1)以A(4,-2)、B(-2,8)两点间的线段为直径的圆; (2)以点A(1,2)为圆心,过原点的圆; (3)以点A(1,2)为圆心,且与X 轴相切的圆;(4)以点A(3,-5)为圆心,且与直线x+7y+2=0相切的圆; (5)经过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆;(6)过两点A(5,2)、B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆;(7)已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边上一个顶点B 的坐标为(3,5),求另一个顶点C 的轨迹方程.解:(1)圆心的坐标是AB 的中点(1,3),半径是34)28()42(212122=++--=AB , 所以,所求圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=34.(2)半径是52122=+,所以,所求圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=5. (3)半径是2, 所以,所求圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=4. (4)半径是点A 到直线x+7y+2=0的距离,即23712)5(7322=++-⨯+==d r ,所以,所求圆的方程是(x-3)2+(y+5)2=18.(5)设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的坐标分别代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=+++010*******822F E D F E D F E D 解得D=-8,E=-2,F=12.所以, 所求圆的方程为x 2+y 2-8x-2y+12=0.(6)线段AB 的垂直平分线的方程是x+2y-4=0.联立方程得⎩⎨⎧=--=-+032042y x y x 解得⎩⎨⎧==12y x , 则圆心是(2,1),半径是10)21()52(22=-+-, 所以, 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.(7)设顶点C 的坐标是(x,y),由题意得2222)25()43()2()4(-+-=-+-y x ,化简得(x-4)2+(y-2)2=10,又由于A 、B 、C 不能在同一直线上,故应除去(3,5)、(5,-1)两点. 所以, 所求圆的方程为(x-4)2+(y-2)2=10(除去(3,5)、(5,-1)两点). 例2:求过圆x 2+y 2=10上一点M(2,6)的切线方程. 解:(方法1:判别式法)设过M 的直线方程为y-6=k(x-2),联立方程得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-10)2(622y x x k y 消去y,整理得04644)46(2)1(2222=--+-++k k x k k x k , 由△=0得36-=k . 所以,所求得切线方程为),2(366--=-x y 即01062=-+y x . (方法2:利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线)设过M 的直线方程为y-6=k(x-2),即kx-y-2k+6=0,由点到直线的距离公式得22)1(6210-++-=k k , 解得36-=k 所以,所求得切线方程为),2(366--=-x y 即01062=-+y x . (方法3:利用圆的切线垂直于过切点的半径) 因为直线MO 的斜率为260206=--=k ,所以所求切线的斜率为36-, 所以,所求得切线方程为),2(366--=-x y 即01062=-+y x . (方法4:利用过圆上一点的切线方程公式)因为经过圆x 2+y 2=r 2上的一点M(x 0,y 0)的切线方程是x 0x+y 0y=r 2, 所以,所求得切线方程为1062=+y x ,即01062=-+y x .例3:已知直线y=kx 与圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点,并与双曲线x 2-y 2=1交于C 、D 两点,(1)试求k 的取值范围;(2)若==,求k 的值; (3)求此时直线y=kx 的倾斜角的正弦值.解:(1)联立方程得⎩⎨⎧=+=122y x kx y 消去y,整理得01)1(22=-+x k 由△>0得R k ∈,又联立方程得⎩⎨⎧=-=122y x kxy 消去y,整理得01)1(22=--x k 由△>0得)1,1(-∈k ,综上得k 的取值范围是(-1,1);(2)由题意，AB 为圆的直径，且,2=AB 又由BD AB CA ==得AB CD 3==3×2=6, 设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2),则由弦长公式得]4))[(1(212212x x x x k CD -++=即 6]1140)[1(222=-⋅++k k 解得552±=k ;(3)设直线y=kx 的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα=552±, ),sin 1(54cos 54sin 222ααα-==∴,94sin 2=∴α又0≤α<π.32sin =∴α 四、归纳小结：1.求圆的方程时,应根据所给条件选择使用标准方程或一般方程,如果问题中给出了圆心与坐标之间的关系或圆心的特殊位置关系时,一般用标准方程;如果给出了圆上的三个点的坐标用一般方程.2.在解决直线与圆的位置关系或圆与圆的位置关系时,要充分利用圆的性质,如圆心到切线的距离等于圆的半径,圆的切线垂直于过切点的半径,两圆的连心线垂直平分两圆的相交弦,等等.五、基础知识训练： （一）选择题：1.如果圆x 2+y 2=b 与直线x+y=b 相切,则b 的值为( ) A.21B.1C.2D.2 2.方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0中A=B≠0且C=0是此方程表示圆的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. x 2+y 2+(λ-1)x+2λy+λ=0表示圆,则λ的取值范围是( ) A.λ>0 B.51≤λ≤1 C.λ>1或λ<51D.R 4.已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,则经过圆上的一点M(x 0,y 0)的切线方程是( ) A.x 0x+y 0y=r B.x 0x+y 0y=r2C.x 0y+y 0x=rD.x 0y+y 0x=r 25.设圆x 2+y 2+4x-2y+1=0上的点到直线3x-4y-15=0的距离为d,那么d 的最小值是( ) A.1 B.3 C.7 D.96.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 7.圆x 2+y 2-2x=0和圆x 2+y 2+4y=0的位置关系是( )A.相离B.外切C.相交D.内切 8.动圆x 2+y 2-(4m+2)x-2my+4m 2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是( )A.x-2y+1=0B.x-2y-1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=0 （二）填空题：9.与两坐标轴相切,且过点(2,1)的圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25 . 10.圆心为(1,-2),半径为25的圆在x 轴上截得的弦长为 8 . 11.由点P(1,3)引圆x 2+y 2=9的切线,则两切线夹角的余弦等于54-.（三）解答题：12.求过点A(10,1)和B(2,1)且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程.椭圆一、高考要求：掌握椭圆的定义及有关概念,掌握椭圆的标准方程及其几何性质. 二、知识要点： 1.椭圆的定义平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.三、典型例题：例1:已知△ABC 的一边BC 的长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程.解:以边BC 所在的直线为x 轴,线段BC 的中点O 为坐标原点,建立直角坐标系,则B(-3,0)、C(3,0)由条件知,,10=+AC AB 故动点A(x,y)的轨迹是椭圆,且c=3,a=5,所以b 2=16.所以,所求顶点A 的轨迹方程是).5(1162522±≠=+x y x 例2:求满足下列条件的椭圆方程：(1)以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的三倍,并且过点A(3,0)的椭圆; (2)离心率是0.8,焦距是8的椭圆;(3)与椭圆141622=+y x 有相同焦点,且过点P(5,6-)的椭圆. 解:(1)由题意,椭圆位于标准位置,若焦点在x 轴上,设方程为)0(12222>>=+b a b y a x∵椭圆过点A(3,0),∴1032222=+b a ,又∵a=3b,∴a=3,b=1,故方程为;1922=+y x 若焦点在y 轴上,设方程为)0(12222>>=+b a bx a y∵椭圆过点A(3,0),∴1302222=+b a ,又∵a=3b,∴a=9,b=3,故方程为.198122=+x y ∴所求椭圆的方程为1922=+y x 或.198122=+x y (2) ∵焦距2c=8,∴c=4,又∵54==a c e ,∴a=5, ∴焦点在x 轴上时,所求方程为;192522=+y x 焦点在y 轴上时,所求方程为.125922=+y x (3)由题意,设所求椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,由已知条件得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-165122222b ab a 解得a 2=20,b 2=8.所以,所求椭圆方程为.182022=+y x 四、归纳小结：1.椭圆标准方程的推导过程是求轨迹方程的常用方法,用定义法求动点轨迹更是常用方法之一,且简便易行;2.椭圆的几何性质包含内容多,应用广泛.解决椭圆问题时,要考虑焦点的位置.五、基础知识训练： （一）选择题：1.椭圆的两个焦点分别为F 1 (-4,0), F 2 (4,0),且椭圆上一点到两焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为( )A.1362022=+y x B.112814422=+y x C.1203622=+y x D.181222=+y x 2.设F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的焦点,P 为椭圆上一点,则△P F 1F 2的周长为( ) A.16 B.18 C.20 D.不能确定3.若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ) A.-16<m<25 B.29<m<25 C.-16<m<29 D.m>29 4.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C. (1,+∞) D.(0,1)5.曲线192522=+y x 与)90(125922<<=-+-k k y k x 的关系是( ) A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点 C.有不等的焦距,不同的焦点 D.有相同的离心率6.椭圆131222=+y x 的焦点是F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段P F 1的中点在y 轴上,那么1PF 是2PF 的( )A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍7.若直线t x y +=与椭圆1422=+y x 相交于A 、B 两点,则AB 的最大值是( ) A.2 B.554 C.5104 D.5103 （二）填空题：8.中心在原点,长轴在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则椭圆方程是1728122=+y x . 9.椭圆13422=+y x 上有一点A(m,n)到左焦点的距离为25,则m= 1 . 10. 若直线2-=kx y 与椭圆80422=+y x 相交于P 、Q 两点,若PQ 的中点的横坐标为2,则PQ =56. （三）解答题：11.设一动点到点F(1,0)和它到直线x=5的距离之比为33,求动点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.12.求中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴为6,离心率为31的椭圆的方程.13.方程x 2sin α+y 2cos α=1表示焦点在x 轴上的椭圆方程,求α的取值范围.14.求过点(0,1)且与椭圆4x 2+2y 2=4的相交弦长为2的直线方程.双曲线一、高考要求：掌握双曲线的定义及有关概念,掌握双曲线的标准方程及其几何性质. 二、知识要点： 1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做焦距.三、典型例题：例1:当α从0º到180º变化时,判定方程x 2+y 2cos α=1表示怎样的曲线? 解:当α=0º时, cos α=1, 方程化为x 2+y 2=1,它表示以原点为圆心,1为半径的圆;当0º<α<90º时, 1cos 1>α, 方程化为x 2+αcos 12y =1,它表示焦点在y 轴上的椭圆;当α=90º时, cos α=0, 方程化为x=1或x=-1,它表示两条平行直线;当90º<α<180º时, 0cos 1<α, 方程化为x 2αcos 12--y =1,它表示焦点在x 轴上的双曲线; 当α=180º时, cos α=-1, 方程化为122=-y x ,它表示焦点在x 轴上的等轴双曲线. 例2:求与双曲线14491622-=-y x 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程.解:由已知双曲线c=5,且焦点在y 轴上,设双曲线方程为1252222=--ax a y , 代入点(0,2),得42=a ,所以,所求双曲线方程为121422=-x y . 例3:给定双曲线1222=-y x ,过点B(1,1)能否作直线 ,使直线 与所给双曲线交于两点P 、Q,且点B 是线段PQ 的中点?若直线 存在,求出它的方程,若不存在,说明理由. 解:设过点B(1,1)的直线 的方程为y-1=k(x-1)或x=1(显然不合题意,舍去).联立方程,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(122y x x k y 消去y 得032)1(2)2(222=+-+-+-k k x k k x k , ∵直线 与双曲线交于两点P 、Q, ∴022≠-k 且△=24-16k>0, ∴23<k 且2±≠k 设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),若点B 是线段PQ 的中点,则12)1(2221=---=+k k k x x ,即k=2,这与23<k 矛盾,这说明过点B 与所给双曲线交于两点P 、Q,且点B 是线段PQ 的中点的直线不存在.四、归纳小结：1.双曲线标准方程的推导过程是求轨迹方程的常用方法,用定义法求动点的轨迹更是常用方法,且简便易行;对定义的理解,注意“距离的差”要加绝对值, 距离差的绝对值必须小于焦距.2.双曲线的几何性质包含内容多,应用广泛.解决双曲线问题时,要考虑焦点的位置. 五、基础知识训练： （一）选择题：。
2021高职高考数学复习第八章平面解析几何：考题直通
D.(0,2)
【答案】A 抛物线的焦点坐标为(2, 0), 故选A.
14.(2019年)抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为3,则点P
到y轴的距离为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】 C ∵抛物线的焦点在x轴的正半轴上,且焦点坐标为(1,0), 抛物线的准线方程为x=-1, ∴点P到焦点的距离等于它到准线的距离, ∴点P到准线的距离为3, ∴点P到y轴的距离为2,故选C.
16.(2015年)已知点A(2,1)和点B(-4,3),则线段AB的垂直平分
线在y轴上的截距为
.
【答案】 5 线段AB的中点为(1, 2),
uuur 线段AB的垂直平分线的法向量为n AB (3,1), 由直线的点法式方程得 3(x 1) ( y 2) 0, 整理得3x y 5 0,令x 0, 解得y 5, 所以线段AB的垂直平分线在y轴上的截距为5.
4 1 故选B.
5.(2015年)若圆(x -1)2 ( y 1)2 2与直线x y - k 0相切,则k
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
【答案】A 圆心为C(1, 1),半径r 2,圆与直线相切, 圆心到直线的距离等于圆的半径， 即|1-1- k | 2,k 2,
(|
PF1 2
|)2
25 .
23.(2015年)已知中心在坐标原点,两个焦点F1, F2在x轴上的椭圆E
的离心率为
4 5
, 抛物线y 2
16x的焦点与F2重合.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线y k(x 4)(k 0)交椭圆E于C, D两点,试判断以坐标原点
为圆心, 周长等于CF2 D的圆O与椭圆E是否有交点？请说明理由.
第八章平面解析几何
第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程[考情展望] 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等.2.考查不同条件下求直线的方程(点斜式、两点式及一般式等).3.题型多为客观题，多与两直线的位置关系、直线与圆的位置关系及圆锥曲线结合交汇命题．一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.二、直线方程的五种形式1．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 【答案】 B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1【答案】 D3．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝ . 【答案】 －34．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是 ，斜截式方程是 ．【答案】3x －y －23－3＝0 y ＝3x －23－35．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0【答案】 D6．(2013·辽宁高考)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0【答案】 C考向一 [132] 直线的倾斜角和斜率(1) 若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 (2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 【答案】 (1)B (2)B规律方法1 1.解答本例(2)时极易错选D ，出错的原因是忽视了正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化情况． 2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k ＝tan α的值域问题；已知斜率k 的范围求倾斜角的范围，实质上是在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k ＝tan α在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．对点训练 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k的取值范围是 ．【答案】 [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1考向二 [133] 求直线的方程已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【尝试解答】(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)∴直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0.②若a≠0，则设所求直线的方程为xa＋ya＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a＋4a＝1，∴a＝7，∴直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)．由点斜式得y－4＝±(x－3)，所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.规律方法2 1.截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．对点训练△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC的垂直平分线DE的方程．【解】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0. (3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.考向三 [134] 直线方程的综合应用已知直线方程为(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0.(1)证明：直线恒过定点M ；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【尝试解答】 (1)(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0可化为(x －2y －3)m ＝－2x －y －4.由⎩⎨⎧ x －2y －3＝0，－2x －y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴直线必过定点M (－1，－2)．(2)设直线的斜率为k (k ＜0)，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， ∴|OA |＝1－2k ，|OB |＝2－k ， S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k (2－k )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k －2)2－k . ∵k ＜0，∴－k ＞0， ∴S △AOB ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k －2)2－k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋(－k )≥4.当且仅当－4k ＝－k ，即k ＝－2时取等号，∴△AOB 的面积最小值是4，此时直线的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)，即y ＋2x ＋4＝0.规律方法3 1.解答本题的关键是面积最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔细体会此解法．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．对点训练 直线l 经过点P (3,2)且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程．【解】 法一 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)， ∴A (a,0)，B (0，b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝24，3a ＋2b＝1，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0. 法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得直线l 在x 轴的正半轴上的截距a ＝3－2k ， 令x ＝0，得直线l 在y 轴的正半轴上的截距b ＝2－3k ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k (2－3k )＝24， 解得k ＝－23，∴直线l 的方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.易错易误之十五 求直线方程忽视零截距 —————————— [1个示范例] ——————设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.此处易忽视在x 轴与y 轴上的截距为零的情形． 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0， ∴a ≤－1综上可知a 的取值范围是a ≤－1.【防范措施】 1.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形．注意分类讨论思想的运用．————————— [1个防错练] ———————求经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【解】 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.课时限时检测(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线方程(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1 D ．m ≠1【答案】 D2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( ) A ．－π7 B.π7 C.5π7 D.6π7 【答案】 D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】 B4．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(1，－2) D ．(1,2) 【答案】 A5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a 表示的直线是( )【答案】 C6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b 的值为 ． 【答案】 －128．如图8－1－1，点A 、B 在函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上，则直线AB 的方程为 ．图8－1－1【答案】 x －y －2＝09．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于 ．【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．【解】 设A (a,0)，B (0，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝－1，∴⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－2.即A (－2,0)，B (0，－2)，∴k AB＝－2－00－(－2)＝－1，故直线l的倾斜角为135°.11．(12分)(1)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．(2)求经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程．【解】(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－25时，此时，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由3x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－3，∴倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，∴所求直线的斜率为 3.又过点A(－3，3)，∴所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.12．(13分)已知定点P(6,4)与直线l1：y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M.求使△OQM面积最小的直线l的方程．【解】∵Q点在l1：y＝4x上，可设Q(x0,4x0)，则PQ的方程为y－44x0－4＝x－6 x0－6.令y＝0，得x＝5x0x0－1(x0＞1)，∴M⎝⎛⎭⎪⎫5x0x0－1，0.∴S △OQM ＝12×5x 0x 0－1×4x 0＝10×x 20x 0－1＝10×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x 0－1)＋1x 0－1＋2≥40. 当且仅当x 0－1＝1x 0－1即x 0＝2时取等号，∴Q (2,8)．PQ 的方程为：y －48－4＝x －62－6，∴x ＋y －10＝0. 第二节 两条直线的位置关系[考情展望] 1.考查由已知两条直线平行与垂直求参数.2.考查距离的计算及对称问题.3.本节内容客观题主要考查基础知识和基本能力，主观题主要在知识交汇处命题注重考查分类讨论与数形结合思想．一、两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.二、几种距离1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.2．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是() A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【答案】 A2．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A. 2 B．2－ 2C.2－1D.2＋1【答案】 C 3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7D.133【答案】 A4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝ .【答案】 15．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是 ．【答案】 －36．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是 ．【答案】 5考向一 [135] 两条直线的平行与垂直已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？【尝试解答】 (1)3≠m ·(m －2)即m 2－2m －3≠0，所以m ≠3且m ≠－1.当m ≠3且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)要使l 1⊥l 2，只要1·(m －2)＋m ·3＝0即m ＝12.∴当m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)要使l 1∥l 2，只要⎩⎨⎧ 3＝m ·(m －2)6(m －2)≠2m ⇒⎩⎨⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3.∴当m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)由(3)知，当m ＝3时，l 1与l 2重合．规律方法1 在研究直线平行与垂直的位臵关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)；(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根．对点训练 (1)(2015·威海模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直(2)已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( )A ．0或3或－1B ．0或3C ．3或－1D ．0或－1【答案】 (1)B (2)D考向二 [136] 两直线的交点与距离(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．【尝试解答】 (1)法一 先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15， 代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2. 由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.规律方法2 求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k 的代数关系式求解；(2)从几何中位臵关系的角度，利用几何关系求解．在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解．对点训练 直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．【解】 当直线l 与x 轴垂直时，此时l 的方程为x ＝2，A 到l 的距离为d 1＝1，B 到l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．∵直线l 过点P (2，－5)，∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0.∴A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1， B (－1,6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. ∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12， ∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.考向三 [137] 对称问题光线由点P (－1,3)射出，遇直线l ：x ＋y ＋1＝0反射，反射光线经过点Q (4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．【尝试解答】 设P (－1,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，点Q (4，－2)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为Q ′(x 2，y 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1－3x 1＋1·(－1)＝－1x 1－12＋y 1＋32＋1＝0⇒⎩⎨⎧x 1＝－4，y 1＝0， 所以P ′(－4,0)．同理有Q ′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P ′Q ，斜率k 1＝－2－04－(－4)＝－14. 直线方程为x ＋4y ＋4＝0.入射光线所在直线为PQ ′，斜率k 2＝－5－31－(－1)＝－4，直线方程为4x ＋y ＋1＝0.∴入射光线直线方程为4x ＋y ＋1＝0，反射光线直线方程为x ＋4y ＋4＝0. 规律方法3 (1)求点M (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)的对称点N 的方法：设N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －b x －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(垂直关系)A ·a ＋x 2＋B ·b ＋y 2＋C ＝0(中点在直线上)求出x ，y ，即得点N 的坐标．(2)两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：点(x ，y )关于x 轴、y 轴、直线x －y ＝0、直线x ＋y ＝0及原点的对称点分别为(x ，－y )、(－x ，y )、(y ，x )、(－y ，－x )和(－x ，－y )．对点训练 已知点A 的坐标为(－4,4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．【解】 (1)设点A ′的坐标为(x ，y )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ y －4x ＋4＝13，3×x －42＋y ＋42－2＝0，解得x ＝2，y ＝6，∴A ′点的坐标为(2,6)．(2)法一 在直线l ′上任取一点P ′(x ，y )，其关于点A (－4,4)的对称点(－8－x,8－y )必在直线l 上，∴即3(－8－x )＋(8－y )－2＝0，即3x ＋y ＋18＝0，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.法二 由题意可知l ′∥l ，设l ′的方程为3x ＋y ＋c ＝0， 由题意可知|－12＋4＋c |9＋1＝|－12＋4－2|9＋1， 解得c ＝18或c ＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.易错易误之十六小视斜率不存在——————————[1个示范例]——————已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值．【解】法一当直线斜率不存在，即a＝0时，有l1：3x－5＝0，l2：－x －2＝0，符合l1∥l2.此处易误认为直线l1与l2的斜率一定存在，漏掉讨论直线斜率不存在的情形当直线斜率存在时，l1∥l2，－32a＝3a－1a＝a＝－16，经检验，a＝－16符合题意．故使l1∥l2的a的值为0或－1 6.法二由l1∥l2⇔3·(－a)－(3a－1)·2a＝0，得a＝0或a＝－16，经检验，a＝0或a＝－16均符合题意，故使l1∥l2的a的值为0或－16.【防范措施】在讨论含参数的两条直线的位置关系时，一定不要忘记两条直线的斜率是否存在的情况，否则会出现漏解．—————————[1个防错练]———————已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a 的值是．【解析】因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.【答案】0或1课时限时检测(四十六)两条直线的位置关系(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.12B．－12C．2D．－2【答案】 A2．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A．－12 B．－2C．0 D．10【答案】 A3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是()A．0 B．2C.13D．4【答案】 B4．当0＜k＜12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 B5．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有()A．2个B．3个C．4个D．6个【答案】 C6．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 1：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是 ．【答案】 －18．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ． 【答案】 x －y ＋1＝09．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为 ．【答案】 ±1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 【解】 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0. 又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等． ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.11．(12分)已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．【解】 (1)证明 直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0， 由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线P A 的斜率k P A ＝4－33＋2＝15， ∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.12．(13分)过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．【解】 当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)， 此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |. ∴直线l 的斜率存在．∴设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)．令y ＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0. 由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得C 点横坐标x C ＝1＋3kk －2. 若|BC |＝2|AB |，则|x B －x C |＝2|x A －x B |. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3k k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k . ∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k ， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.第三节 圆的方程[考情展望] 1.结合直线方程，考查运用待定系数法求圆的方程.2.考查运用圆的几何性质求动点的轨迹方程.3.多以选择题、填空题形式考查．一、圆的定义及方程确定圆的方程时，常用到的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上 (2)圆心在任一弦的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 二、点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系1．若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.2．若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.3．若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.从位臵看d，r的关系判定点与圆的位臵关系还可利用点到圆心的距离d与r的关系：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．1．圆的方程为x2＋y2＋2by－2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为()A．(0，b)，3b B．(0，b)，3|b|C．(0，－b)，3b D．(0，－b)，3|b| 【答案】 D2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a＜－2或a＞23B．－23＜a＜0C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜2 3【答案】 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是() A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1【答案】 A4.已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 ． 【答案】 (x －2)2＋y 2＝105．(2013·重庆高考)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 【答案】 B6．(2014·课标全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是 ．【答案】 [－1,1]考向一 [138] 求圆的方程求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)和点B (3，－2)的圆的方程．【尝试解答】 法一 ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)． 设所求圆的圆心坐标为C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，b ＝－12(a －4)，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴C (2,1)，r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. 规律方法1 求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．对点训练 (2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为 ．【答案】 (x －2)2＋(y －1)2＝4考向二 [139] 与圆有关的最值问题已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【尝试解答】 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率．所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x ＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.规律方法2与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和(x，y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．对点训练已知圆Q：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任一点．(1)求y－2x－1的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值．【解】 (1)设y －2x －1＝k ，则kx －y －k ＋2＝0.由于P (x ，y )是圆上任一点，当直线与圆有交点时，如图所示：两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由d ＝|－2k －k ＋2|1＋k 2＝1，得k ＝3±34. ∴y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－34. (2)令x －2y ＝m ，同理，两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值． 由d ＝|－2－m |5＝1，得m ＝－2±5.∴x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－ 5.考向三 [140] 与圆有关的轨迹问题设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．【尝试解答】 ∵四边形MONP 为平行四边形， ∴OP →＝OM →＋ON →，设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，则ON →＝OP →－OM →＝(x ，y )－(－3,4)＝(x ＋3，y －4)．又点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动， ∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.又当OM 与ON 共线时，O 、M 、N 、P 构不成平行四边形． 故动点P 的轨迹是圆且除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.规律方法3 1.本例中点P 是平行四边形MONP 的一个顶点，因此在点M 、O 、N 三点共线时，点P 是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可用Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．对点训练 (2014·课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解】 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.规范解答之十三 破解圆的方程综合问题 —————————— [1个示范例] ——————(12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 【规范解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0) ，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.6分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组： ⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①8分 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ② 10分 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.12分【名师寄语】 (1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．————————— [1个规范练] ———————在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切． (1)求圆的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则r ＝|－4|12＋(－3)2＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)，设P (x 0，y 0)， 则|P A |＝(x 0＋2)2＋y 20，|PO |＝x 20＋y 20，|PB |＝(x 0－2)2＋y 20.又|P A |，|PO |，|PB |成等比数列， ∴|PO |2＝|P A |·|PB |，即x 20＋y 20＝[(x 0＋2)2＋y 20][(x 0－2)2＋y 20]， 整理得y 20＝x 20－2.∴P A →·PB →＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝(x 20－4)＋y 20＝2x 20－6.又点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜4. ∴2≤x 20＜3，∴－2≤P A →·PB →＜0.课时限时检测(四十七) 圆的方程(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)【答案】 A2．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝()A.3π4 B.π4C.3π2 D.5π4【答案】 A3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是()A．3－ 2 B．3＋ 2C．3－22 D.3－22【答案】 A4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 【答案】 A5．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径为( )A ．2 2 B. 2 C ．3 D ．1【答案】 C6．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的范围是 ．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞8．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是 ．【答案】 (x －1)2＋(y ＋1)2＝99．已知圆C 过点A (1,0)和B (3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为 ．【答案】 (x －2)2＋(y －2)2＝5 三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知圆的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2. (1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)． 【解】 (1)设C (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝m ，y ＝4－m . 消去m ，得y ＝4－x .∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直， ∴直线OC 的方程为x －y ＝0. 由⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2. 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.11．(12分)已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点． (1)求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； (2)求x －2y 的最大值和最小值； (3)求y －2x －1的最大值和最小值．【解】 (1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为 d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65. ∴P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为 d ＋r ＝65＋1＝115， 最小值为d －r ＝65－1＝15. (2)设t ＝x －2y ，则直线x －2y －t ＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点． ∴|－2－t |12＋(－2)2≤1.∴－5－2≤t ≤5－2. ∴t max ＝5－2，t min ＝－2－ 5. 即x －2y 的最大值为5－2.最小值为－2－ 5.(3)设k＝y－2 x－1，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，∴|－3k＋2|k2＋1≤1.∴3－34≤k≤3＋34.∴k max＝3＋34，k min＝3－34.即y－2x－1的最大值为3＋34，最小值为3－34.12．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【解】(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心O(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－12＝x－32，即y＝x－1，所以b＝a－1.①又由在y轴上截得的线段长为43，知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②由①②得：a＝1.b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知OA⊥OB，即k OA·k OB＝－1，∴m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1.整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13 可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122， 即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0.∴m ＝4或m ＝－3，∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[考情展望] 1.考查根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.3.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题．一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法1．几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离． 2．代数法：――→ 判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.。
四川省中等职业学校对口升学考试-数学-第八章《解析几何》总复习-课件
一
知识清单
知识点三
直线在坐标轴上的截距
一
知识清单
直线在坐标轴上的截距
在平面直角坐标系中,直线与x轴交点的横坐标称为直线在x 轴上的截距,
用a表示;直线与y轴交点的纵坐标称为直线在y 轴上的截距,用b表示.
注意:截距是坐标而不是距离,所以a、b可正、可负、可为零.
√
双曲线的顶点、实轴、虚轴
√
双曲线的渐近线
√
双曲线的离心率
√
抛物线的定义、焦点、准线
√
抛物线的方程
√
抛物线的范围、顶点
抛物线的离心率
√
√
掌握
一
命题趋势
近几年常考题型及分值
考点
命题规律
2015
2016
2017
2018
2019
直线方程与两直
线的位置关系
选择题,4分
选择题,4分
选择题,4分
选择题,4分
选择题,4分
知识清单
知识点二
直线与圆的位置关系
一
知识清单
2.点与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.
(2)若直线y=kx+m 与圆 （x-a）2+ （y-b）2=r2 相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,则直线
被圆截得的弦长为|AB|= √（1+k2）|x1-x2| .
(3)以圆x2+y2=r2 上一点P（x0,y0）为切点的切线方程为x0x+y0y=r2.
圆的方程积直线、
圆的位置关系
选择题,4分
解答题,12分
解答题,13分
平面解析几何ppt课件
对这个问题的解释一般是这样的：
如果缺少方程的完备性这个条件，就会使曲线上 有些点的坐标不满足方程，存在漏网之鱼；如果 缺少方程的纯粹性这个条件，就会使坐标满足方 程的有些点不在曲线上，造成鱼目混珠．
现在问题是：漏网之鱼或鱼目混珠有何不好？或 者说，不满足纯粹性与完备性就不行吗？
其实，如果联系解析几何的思想，这两个要求是 非常自然的。
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从本质上讲，切线应一般理解为割线的极限位置， 这也是切线一词的直觉意义。
但这样的认识涉及到极限，对中学生不太适用。 一个现实可行的选择方案是推广与圆切线判定相 关的结论。
椭圆是圆的仿射图形，而双曲线和抛物线又是前 两者的射影图形。直线与圆之间的切线关系又是 一个仿射性质。因此，推广圆切线命题到圆锥曲 线涉及图形的度量性质、仿射性质、射影性质以 及三者之间的关系。
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的 曲线。
通常称条件(1)为方程的完备性(或曲线的纯粹性)， 称条件(2)为方程的纯粹性(或曲线的完备性)。但 曲线方程为什么要满足纯粹性与完备性？
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从某种程度上讲，解析几何对变量数学的意义较 之微积分更为基本，它奠定了微积分研究的基础。
解析几何的历史贡献就在于它将坐标观念与运动 变化思想结合到一起。在解析几何创立之前，方 程是静态的，人们只关注如何求出方程的根。几 何研究虽然把曲线看作动点运动的轨迹，但是曲 线不能计算。只当解析几何把动点形成的曲线看 作是“坐标(数)”变化的结果，变数才破土而出。
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2020高职高考数学复习第八章平面解析几何8.3 曲线的方程
2.已知方程 ax+4y-1=0 过点(3,2),则 a 的值等于
A.3 B.-3 C.-������ D.������
������
������
【答案】C
()
3.曲线x2+y2=1与坐标轴交点的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
4.方程 16x2+25y2-96x-256=0 所表示的曲线在 x 轴上的截距 是 ()
������
【例3】 求直线2x-3y+3=0与抛物线x2=3y的交点.
【分析】 求曲线的交点,只需解两曲线方程构成的方程组.
【解】
解方程组
������������ − ������������ + ������ ������������ = ������������
=
������得:
������ = −������ ������ = ������ 或
������
������ ������
= =
������ ������
所以两条曲线的交点是(-1,������)、(3,3).
������
【例4】 一动点到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距 离,求动点的轨迹方程.
【解】 设点 P(x,y)为轨迹上的任意一点,做点 P 到直线 x=-1 的垂线 PN,垂足为 N(如图)
A.-2 B.8 C.-2 或 8 D.2 或-8
【答案】C
5.方程x2-y2=0表示的曲线是 ( ) A.两条相交直线 B.两条平行直线 C.两条重合直线 D.一个点
【答案】A
6.下面各对曲线方程表示的两条曲线相同的是
()
第8章-平面解析几何
第1课时直线及其方程1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角和斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0°.通常倾斜角用α表示，倾斜角的取值范围为0°≤α＜180°.(2)当直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，直线斜率可以表示为k＝y2－y1x2－x1，其中x1≠x2.2．直线的方程3.过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 22(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 4．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[基础自测]1．(教材改编题)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )A.23 B.32 C ．－23D ．－32解析：k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝0－23－0＝－23.答案：C2．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<120°，则直线l 的斜率k 的范围是( ) A ．－3＜k ≤0 B ．k ＞－ 3 C ．k ≥0或k ＜－ 3 D ．k ≥0或k ＜－33解析：0°≤α＜90°时，k ≥0；90°＜α＜180°时，k ＜0；90°＜α＜120°时，k ＜－ 3. 答案：C3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：直线的两点式方程为y －31－3＝x －02－0，即x ＋y －3＝0.答案：B4．(2016·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AC ＝k AB ，即a －35－4＝5－36－4.解得a ＝4. 答案：45．(2016·广东佛山模拟)在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成45°角的直线方程是________．解析：如图，满足条件的直线有l 1与l 2两种情况，其中l 1的倾斜角为45°，l 2的倾斜角为135°，所以，它们的方程分别为y ＝x －6，y ＝－x －6.答案：y ＝x －6或y ＝－x －6考点一 直线的倾斜角与斜率[例1] 直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 审题视点 先求斜率的范围，再求倾斜角的范围．解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.故选B.答案 B求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．1．(2016·开封调研)设A (－1,2)，B (3,1)，若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 解析：如图所示，直线y ＝kx 过定点O (0,0)，k OA ＝－2，k OB ＝13.若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则直线OA 逆时针旋转(斜率增大)到OB 都是满足条件的直线．数形结合得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13.故选C.答案：C2．(2016·成都七中模拟)已知函数f (x )＝a sin x －b ·cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，又倾角范围为[0，π)，故其倾斜角为3π4，选D.答案：D考点二 求直线方程[例2] (1)求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；(2)过点A (8,6)引三条直线l 1，l 2，l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y ＝34x ，求直线l 1，l 3的方程； (3)若一直线被直线4x ＋y ＋6＝0和3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程． 审题视点 根据已知条件，选择合适的直线方程的形式，(1)题采用待定系数法求解，(2)(3)题可采用直接法求解．解 (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25， 此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0. ②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时， 直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. (2)设直线l 2的倾斜角为α，则tan α＝34.于是tan α＝2tan a 21－tan 2α2＝34. 令tan α2＝m ，则8m ＝3(1－m 2)，即3m 2＋8m －3＝0， 解得m ＝13或m ＝－3(舍)，∴tan α2＝13， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247， 所以所求直线l 1的方程为y －6＝13(x －8)，即x －3y ＋10＝0，l 3的方程为y －6＝247(x －8)，即24x －7y －150＝0.(3)设所求直线与直线4x ＋y ＋6＝0相交于A ，与直线3x －5y －6＝0相交于B ， 设A (a ，－4a －6)，则由中点坐标公式知B (－a,4a ＋6)， 将B (－a,4a ＋6)代入3x －5y －6＝0得． 3(－a )－5(4a ＋6)－6＝0，得a ＝－3623， 从而求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3623，623，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3623，－623，所以所求直线方程为y ＝－16x .求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．1．(2016·合肥调研)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：(1)若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.(2)若直线不过原点，设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 2．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5； 解：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求． 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1).得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2，(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. ∴⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.考点三 直线方程的应用[例3] 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题视点 先设出AB 所在的直线方程，再求A 、B 两点的坐标，写出表示△ABO 的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值．解 法一：由题可设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程x a ＋yb ＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1， b ＝2a a －3且a ＞3，b ＞2.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3.故有S △ABO ＝(a －3)2＋6(a －3)＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2(a －3)·9a －3＋6＝12，当且仅当a －3＝9a －3， 即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4， ∴此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：由题可设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，代入P (3,2)，得3a ＋2b ＝1≥26ab ，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，S △ABO 取最小值12， 此时k ＝－b a ＝－23，∴此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 法三：依题意知，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 则有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立，S △ABO 取最小值12.此时，直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法四：如图所示，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为M ，N .设θ＝∠P AM ＝∠BPN 显然θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则S △ABO ＝S △PBN ＋S 四边形NPMO ＋S △PMA ＝12×3×3×tan θ＋6＋12×2×2×1tan θ ＝6＋92tan θ＋2tan θ≥6＋292tan θ·2tan θ＝12，当且仅当92tan θ＝2tan θ，即tan θ＝23时，S △ABO 取最小值12，此时直线l 的斜率为－23， 其方程为2x ＋3y －12＝0.(1)利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．(2)以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决．1．(2015·福州模拟)已知直线l 1的倾斜角为3π4，直线l 2经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 2垂直，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0D ．2解析：依题意知：直线l 1的斜率k 1＝tan 3π4＝－1， 又因为直线l 1与直线l 2垂直，直线l 2的斜率k 2＝2＋13－a ，所以k 2＝2＋13－a＝1，解得a ＝0. 答案：C2. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E (30,0)、F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ， PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )． 又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m . ∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． ∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．与直线方程有关的创新命题[典例]在平面直角坐标系中，若x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．解题指南存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形．解析①正确．例如y＝3x＋2，当x是整数时，y是无理数，(x，y)不是整点；②不正确，如y＝2x－2过整点(1,0)；③设y＝kx(k≠0)是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得y1－y2＝k(x1－x2)，则点(x1－x2，y1－y2)也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y＝kx知对于y＝kx＋b也成立，所以③正确；④不正确，如y＝13x＋12，当x为整数时，y不是整数，此直线不经过无穷多个整点；⑤正确，如直线y＝3x，只经过整点(0,0)．答案①③⑤阅卷点评本题呈现形式比较新颖，以斜截式方程为载体，但实质上还是考查了整点的概念．此类新概念题目经常会从几个不同的角度考查学生对知识或新信息的理解和把握，进而考查学生学习和应用新知识并结合原有知识解题的能力．创新点评本题有三处创新点：(1)本题为新定义问题，题目的结构形式、设问方式都有创新；(2)考查内容的创新，在考查直线的斜率、倾斜角、充要条件等知识的基础上，还考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同；(3)考查方式的创新，对直线方程的考查，由常规方式转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式．备考建议解决与直线方程有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；(2)掌握确定直线的两个条件；(3)注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；(4)注意逆向思维、发散思维的训练．◆一条规律求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．◆两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，则应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．课时规范训练[A级基础演练]1．(2016·秦皇岛模拟)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：由直线的方程得直线的斜率为k＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.答案：D2．(2016·江门模拟)如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由题意知A·B·C≠0，直线方程变为y＝－AB x－CB.∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，∴其斜率k＝－AB＜0，又y 轴上的截距b ＝－CB ＞0， ∴直线过第一、二、四象限． 答案：C3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案：D4．不论k 为何实数，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________． 解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0 ∵k ∈R ，∴⎩⎨⎧ x －1＝0，y －x ＋1＝0，即⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0.答案：(1,0)5．(2014·高考广东卷)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0. 答案：5x ＋y －3＝06．(2016·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π7．(2016·孝感模拟)在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程． 解：(1)设C (x ，y )．∵AC 的中点M 在y 轴上，∴x ＋52＝0得x ＝－5，又∵BC 的中点N 在x 轴上，∴y ＋32＝0得y ＝－3. ∴C (－5，－3)．(2)由(1)知C (－5，－3)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)．由截距式得MN 的方程为x 1＋y－52＝1即5x －2y －5＝0.8. (2016·青岛模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.[B 级 能力突破]1．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：取特殊值法或排除法，可知A 正确． 答案：A2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析：设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α， 其中sin α∈[－1,1]． 又θ∈[0，π)， ∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 答案：B3．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33 C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1 D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3， 所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B4．若过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的倾斜角的取值范围为π3≤α≤2π3，则实数a 的取值范围是________． 解析：过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的斜率 k ＝a －10＋3＝a －13， 又直线的倾斜角的取值范围是π3≤α≤2π3， 所以k ＝a －13≥3或k ＝a －13≤－3， 解得：a ≥4或a ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是____________． 解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2) 即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝06．(2015·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．解析：由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图像，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π，故直线的倾斜角的范围是：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π7．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第2课时 两条直线的位置关系1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)设两条直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2时，α1＝α2，从而有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.这是对于不重合的直线l 1，l 2而言的．如果l 1与l 2是否重合不能确定时，k 1＝k 2时，可以得到l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(2)若两条直线都有斜率，且l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若l 1的斜率为0，当l 1⊥l 2时，l 2的斜率不存在，其倾斜角为90°.2．两条直线的交点坐标已知两条直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，当满足条件A 1B 2－A 2B 1≠0时，l 1与l 2相交，其交点可由方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求得，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数解，则两直线重合．3．距离公式 (1)两点间距离公式两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式是|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点到直线的距离①点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.②点P (x 0，y 0)到x 轴的距离为d ＝|y 0|；点P (x 0，y 0)到y 轴的距离为d ＝|x 0|；点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a 的距离是d＝|y0－a|；点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离是d＝|x0－b|.(3)两条平行线间的距离两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2| A2＋B2.[基础自测]1．(教材改编题)直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为()A．－3B．－43C．2D．3解析：由2a＋2×(－3)＝0，得a＝3.答案：D2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 B. 3 C．2 D. 5解析：d＝|－5|12＋22＝ 5.答案：D3．(2016·铜川月考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将(1,0)点代入得1＋m＝0解得m＝－1.故所求直线方程为x－2y－1＝0. 答案：A4．平行线：l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为________．解：6x－4y＋3＝0⇔3x－2y＋32＝0，∴d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝13213＝132.答案：13 25．(2016·合肥调研)斜率为2，且与直线2x＋y－4＝0的交点恰好在x轴上的直线方程是________．解析：∵2x＋y－4＝0与x轴的交点坐标为(2,0)．∴所求直线的方程为y＝2(x－2)即2x－y－4＝0.答案：2x－y－4＝0考点一 两条直线的平行与垂直[例1] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 审题视点 根据两条直线的位置关系列方程(组)求解． 解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1，∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，即b ＝3a －4(与上述结论矛盾)． ∴此种情况不存在，即k 2≠0. 若k 2≠0，即k 1、k 2都存在， ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，④ 联立③④解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.在运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A、B为零时的特殊情况．求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．1．(2015·高考广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0解析：∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.又所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴|m|1＋4＝5，解得m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案：A2．(2016·河南天一联考)已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为() A．0B．2C．4 D. 2解析：若b＝2，两直线方程为y＝－a4x－1和x＝3a，此时两直线相交但不垂直．若b＝－2，两直线方程为x＝－4a和y＝a4x－34，此时两直线相交但不垂直．若b≠±2，此时，两直线方程为y＝－ab＋2x－4b＋2和y＝－ab－2x＋3b－2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1得a 2＋b 2＝4. 因为a 2＋b 2＝4≥2ab ， 所以ab ≤2，即ab 的最大值是2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．所以选B. 答案：B考点二 两条直线的交点与距离问题[例2] 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是710 5. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求P 点坐标；若不能，说明理由．审题视点 (1)由l 1与l 2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a 的方程，解方程即可得出a 的值；(2)由点P (x 0，y 0)满足②③条件可得出关于x 0、y 0的方程组，解方程组，即可求出点P 的坐标，注意验证是否适合条件①. 解 (1)l 2即2x －y －12＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a ＞0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上， 且|C －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪C ＋125，即C ＝132或C ＝116，∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，应舍去；由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．(1)挖掘题目的隐含条件，题目隐含l 1∥l 2，故第(2)问中满足②的条件转化为“P 点在直线l ′：2x －y ＋C ＝0”上； (2)第(2)问属存在型开放问题，解决的方法可概括为“假设——推理——否定(肯定)假设——得出结论”，即假设存在型开放问题的结论成立，以此为基础进行演绎推理，若出现矛盾，则否定假设，得出相反结论；若推出合理结果，说明假设正确．1．(2016·湖南衡阳模拟)若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2B.1a 2－1b 2＝1p 2C.1a 2＋1p 2＝1b 2D.1a 2p 2＝1b 2解析：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1，则p 2＝11a 2＋1b 2，∴1a 2＋1b 2＝1p 2，故选A. 答案：A2．(2016·山西忻州检测)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得⎩⎨⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋b 2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意， ∴a ＋b 的值为0或83. 答案：0或83考点三 对称问题[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 审题视点 借助平面几何知识找出代数关系．解(1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.求直线m 关于l 的对称直线m ′时，因m 与l 相交，先求交点，除了交点之外，我们可以再在m 上任选一点，求出其关于l 的对称点，利用两点式求出直线m ′的方程；若m 与l 平行，我们必须在m 上任取两点，求出其关于直线l 的对称点，用两点式求出直线m ′的方程，也可利用m ∥l ∥m ′这一性质，求出一个对称点的坐标，用点斜式求出m ′的方程．1．(2016·秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________． 解析：由⎩⎨⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即 kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得 |k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝02．(2016·北京东城期末)如图所示，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围是________．解析：如图所示，从特殊位置考虑．∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴直线A 1F 的斜率kA 1F ＝4.∵点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2,1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴kA 1F <k FD ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)新定义下的直线方程问题[典例] 在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点． 对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1； 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．解题指南 ①根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图像，即可求出该图形的面积；②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题．解析 ①由[OP ]＝1，根据新定义得：|x |＋|y |＝1，上式可化为：y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图像如图所示：根据图形得到：四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确； ②当点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0＜1， 所以[OP ]的最小值不为1，故②错误； 所以正确的结论有：①. 答案 ①创新点评 (1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查．(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维有所不同．备考建议 解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值； (3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何．◆一条规律在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接做出结论． 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1.(2)l 1与l 2相交⇔A 1B 2≠A 2B 1. (3)l 1与l 2重合⇔⎩⎨⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2＝A 2C 1.(4)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. ◆三种对称(1)点关于点的对称．点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．课时规范训练A级基础演练]1．(2016·株洲模拟)点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A.12 B.32C.322 D.22解析：由点到直线的距离公式得距离为|1＋1＋1|1＋(－1)2＝322.答案：C2．(2016·枣庄三中月考)若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有()A．2个B．3个C．4个D．6个解析：三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－16；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝－1或23，故实数m的取值最多有4个．答案：C3．(2016·宁夏银川模拟)已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于() A．3 B．1C．－1 D．3或－1解析：由题意知，l1∥l2⇔1a－2＝a3≠62a，即a＝－1.故选C.答案：C4．(2015·黄石模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为() A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：∵点P 在y 轴上，∴设P (0，y )，又∵kl 1＝2，l 1∥l 2，∴kl 2＝y －10－(－1)＝y －1＝2，∴y ＝3，∴P (0,3)．答案：D5．(2016·武汉模拟)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，当l 1与l 2相交于点P (m ，－1)时，m ，n 的值分别为________、________.解析：∵m 2－8＋n ＝0,2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7. 答案：1 76．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：求出定点A ，B 的坐标，并注意已知两直线互相垂直． ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立．答案：57．已知直线l 1经过点A (2，a )，B (a －1,3)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－3，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．解：设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，若a ＝3，则k 1不存在，k 2＝－34，则l 1与l 2既不平行，也不垂直． 因此a ≠3，k 1＝a －33－a ＝－1，k 2＝a ＋2－2－3－1＝－a4.(1)∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2. ∴－1＝－a4.∴a ＝4. (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1. ∴(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1.∴a ＝－4.8．过点P (－1,2)引一直线，两点A (2,3)，B (－4,5)到该直线的距离相等，求这条直线的方程．解：法一：当斜率不存在时，过点P (－1,2)的直线方程为：x ＝－1，A (2,3)到x ＝－1的距离等于3，且B (－4,5)到x ＝－1的距离也等于3，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，过点P (－1,2)的直线方程为：y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0， 依题设知：|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解上式得：k ＝－13，所以，所求直线方程为：x ＋3y －5＝0； 综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P (－1,2)与AB 平行的直线，另一条是过点P 及AB 中点的直线． 因为A (2,3)，B (－4,5)，所以k AB ＝3－52＋4＝－13，因此，过点P 与AB 平行的直线的方程为： y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；又因为A (2,3)，B (－4,5)的中点坐标D (－1,4)， 所以过点P 及AB 中点的直线方程为x ＝－1； 综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.[B 级 能力突破]1．(2016·浙江台州中学质检)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 2D ．2 3解析：由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b≥2b ·1b ＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B. 答案：B2．(2016·泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：法一：数形结合法(1)m 2＋n 2＝(m －0)2＋(n －0)2表示点(m ，n )与(0,0)距离的平方，∴m 2＋n 2表示点(m ，n )与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．。
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第八章平面解析几何1 .到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x.（）2、双曲线离心率e<1 （）5、椭圆上的任一点到它的两焦点的距离的和都等于短轴长。
（）6、方程x2+y2+入x=0表示圆，则入的取值范围是任意实数。
（）8、任意直线都有斜率。
（）9、直线2x —3y+1=0与圆x2+y2=1 相交。
（）6、已知0,则过点（1,- 1）的直线ax+ 3my+ 2a=0的斜率是（）_ 1 1A、3B、一3C、D、一—3 37、直线L1: ax+ 2y+ 6=0 与直线L2：x+ （a—1）y + a?—1=0 平行，则a= （）A、一1B、2C、一1, 2D、0, 18、圆x2—8x+ y2+ 12=0与直线3x + y=0的位置关系是（）A、相切B、相离C、相交D、无法确定9、如果椭圆的短轴长、焦距、长轴长依次成等差数列，贝U其离心率e=（）4332A、-B、一C、一D、-554310、抛物线y=4x2的焦点坐标是( )A、( 1, 0)B、 (0, 1) 1C、(0,—)D、（丄,0）16165、直线L过点A(—2,—3), 且在两坐标轴上的截距相等，则L的方程为6、__________________________________________________________________________ 若直线L1与L2的斜率是方程4x2—15x —4=0的两根，则L1与L2的夹角为______________ ■7、过圆x2+ y2=13上一点（2,—3）的切线方程是_____________ 。
2 2&椭圆—+ —=1的焦距为2,则m的值为___________________ 。
m 49、双曲线x2—3y2=1的两条渐近线的夹角是____________ 。
10、顶点在原点，且经过点P （—1, 2）的抛物线标准方程为 ___________ 。
、解答题（共70分）1、已知：求（1）的值（2）（10分）2、已知：ABC的三顶点为A （6, -2）, B （-1, 5）, C （5, 5）,求ABC的外接圆方程。
（10分）3、已知两直线L1 :, L2: =8,问当为何值时（1）L1L2 （2）L1L2 （12分）4、求以椭圆的卡轴端点为焦点，且过点P （, 3）的双曲线方程。
（12分）6、设斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，弦AB的长为，求此直线方程。
（13 分）例1、选择题（1）直线3x—2y=6在y轴上的截距是（）A、（3） B 、一 2 C 、一 3 D 、32（2）直线L1： 2x+（m+1y+4=0与直线L2： mx+3y— 2=0,平行则m等于（）A 2B 、3C 、2 或一3D 、一 2 或一3例2. （1）过点P（—3、1）是垂直于向量"n= （—2, 1）的直线方程为（2）一直线在X轴和T轴上的截距分别为一-和-，它的方程是3 5例3.已知：△ ABC的三个顶点 A （—3，0）、B （2，1）、C （—2，3）求：（1）BC所在的直线方程；（2）BC边上的中线AD所在的直线方程。
（3）BC边上的垂直平分线DE所在的直线方程。
例4.（已知：点A （—3, 5）和直线L: 4x—3y+7=0，求过点A且与L平行的直线方程）例5.一条直线P（2，—3），它的倾斜角等于直线x—2y+6=0的倾斜角的2 倍，求这条直线的方程。
练习：一、填空:1、过点(1, 3),且平行于向量V= ( —2, 3)的直线方程 ____________ 即。
2、过两点A(—1, —2), B(3, 5)的直线方程________ ,即 ___________ 。
3、斜率是一1,经过点(8,—2)的直线方程，即。
24、过点(2, 3),倾斜角为1500的直线方程____________ 即 ___________ 。
5、过点(1, 4),平行于X轴的直线方程____________ ，即___________ 。
6、过点(一2, 1),平行于Y轴的直线方程 ____________ ,即 ___________ 。
7、过点(3 , 0)、( 0 , _______________________ 4)的直线方程 _ ,即。
8、过点(2 , 1),( 0 , 3)的直线方程 ___________ ,即 __________ 。
9、已知：直线3x+(1 —a)y+5=0与直线x—y=0平行，贝卩a= ______ .10、已知直线(a —4)x+y+1=0与直线2x+3y—5=0垂直，贝S a= _____ 。
二、判断下列两条直线的位置关系：1 、L1：2x+y=11,L 2：x+3y=18( )2、L1：2x —3y=4,L2：4x —6y=8( )3、L1：3x+10y=16丄2：6x+20y=7( )4、L1：2x+5y=6丄2：2X—5y=6( )三、已知：两条直线L1： (m+3 x+4y=5—3m,L z：2x+(m+5)y=8,问当m为何值时，1、L1 II L2, 2、L1 与L2重合。
3、L1 与L2相交。
4、L1 与L2垂直。
四、求与直线x+3y=10垂直的圆x2+y2=4的切线方程。
五、已知直线L经过点P（2, 1）,且和直线5x+2y+3=0的夹角等于45°,求直线L的方程。
3、直线3x—2y=6在y轴上的截距是（）3A、B、一2 C、一3 D、327、已知点A（3，—5），B（1，3），那么线段AB的垂直平分线方程是（）A、x+4y—6=0B、x—4y+6C、x—4y—6=0D、x+4y+6=010、直线I过原点和（一1，1），则它的斜角是（）3 卡5二_A、B、C、一或D、4 4 4 4 41、经过点A（1，3）且与直线X-2Y+10=0平行的直线方程。
（8分）1 •下列各点中，不在曲线x2+y2+6ax —8ay=0（a^ 0）上的点是（）A、（0，0）B、（2a,4c）C、（3a,3a）D、（—3 a，—a）9 •直线3 x+y -1=0的倾斜角为（）A、30°B、150°C、60°D、120° 10、在Y轴上载距为2,且垂直于直线x+3y=0的直线方程是（）A、3x -y -2=0B、3x -y + 2=0C、x +3y + 6=0D、x +3y - 6=011•过点A （1, 3）且与直线x -2y + 10=0平行的直线方程是（）A、x -2y - 5=0B、x +2y +5=0C、x -2y + 5=0D、2x +y +5=012 .直线L1：x +2y -5=0 , L2：x -3y +1=0 的夹角为（）A、30°B、45°C、60°D、90°13. 已知MBC 中，A （2, 1）, B （3, 5）, C （-8, -3））则ABC 的重心坐标是（）A、（-1, -1）B、（1, 1）C、（-1 , 1）D、（-3, 3）14. 已知点M（2, -3）到直线x+y+m=0的距离等于2，贝U m=（）A、3B、-1C、3 或-1D、 2 ± 115. 若直线ax+by+c=0通过第一、二、三象限，则（）A、ab>0 , bc>0B、ab>0 ,bc<0C、ab<0, bc>0D、ab<0, bc<01 .过点（1, 2）倾斜角口的正弦值是4的直线方程是______________________52 .直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是______________________ 。
3.求直线x+2y- 4=0与曲线x2- 2y2- y=1的交点坐标。
（8分）4. 求点P (3, 5)关于直线x+y+2=0对称的点的坐标。
(10分)2、圆x +y +8y+7=0的圆心坐标是_____________ 半径是____________ 。
4、4x2+16y2=1的长轴为___________ ，离心率为 __________ ，焦点坐标5 .求经过原点，且倾斜角是直线y='x+1的倾斜角的2倍的直线方程。
(10分)26. 已知三角形的两个顶点A (-1, 1), B (3, 4),面积是3,求另一顶点C的轨迹方程。
(10分)7. 已知直线L1：x+(1+m)y+m -2=0, L2：2 mx+4y+16=0,求当m 为何值时，与L2 (1)相交？ (2)平行？( 3)重合？ ( 12分)6.设P为x轴上一点，P点到直线3x—4y+6=0的距离为6,则P点坐标为8 .过点P ( —3, 1)且垂直于向量韦=(—2, 1)的直线方程为_________ 。
10 .抛物线x2+6y=0的焦点坐标是__________________ ,准线方程是11. ______________________________________________________ 两平行线I: 5x—2y+1=0 与12： 5x—2y—4=0 的距离是__________________ 。
2. 直线11： 2x+(m+1)y+4=0与直线12：mx+3y-2=0平行，则等于( )A. 2 B . 3 C . 2 或3 D . —2 或—36.已知点A (3,—5), B (1, 3),那么线段AB的垂直平分线方程是( )A . x+4y —6=0B . x —4y+6=0C . x—4y—6=0D . x+4y+6=08. 方程x2+y2+4x—2y+5=0 表示( )1、不在曲线x2+2xy+y2-1=0上的点是（）2、直线3x —2y+7=0与直线6x+my-仁0垂直，则m=（）3、已知点（a, 3）到直线4x-3y+1=0的距离为4,则a的值为（）A、—3B、7C、—3 或7D、7 或34、过点（1, -3）且垂直于直线x-3y+3=0的直线方程是（）A、3x+y=0B、x+3y=0C、3x-y=0D、x-3y-10=02 25、圆x +y =4上的点到直线3x+4y-25=0的最短距离是（）C、2A、2 2B、7C、8D、107、2 2双曲线—_L=1的焦距是（)7 9A、4B、14C、8D、2、2&抛物线x2=4y的准线方程是（)A、x=1B、y=1c、x= -1D、y= -12 26、椭圆U =1的焦点在x轴上，焦距为2, k =（9 k )A. —个圆B . 一个点 C .两条直线D9 .椭圆的长轴是短轴的2倍, 则椭圆的离心率是（10.已知m（4, m）是抛物线Y2=8x上一点，则m到抛物线焦点F的距离是（.不能确定A、 (0, 1)B、(—1, 0)C、(1,—2)D、( 1,—1)A、一9B、9C、一4B、31、直线l i: x-2y+4=0 与12：3x-y+7=0 的夹角为______________ 。