初三奥数之一元二次方程的整数根

初三奥数之一元二次方程的整数根

专题05 一元二次方程的整数根

阅读与思考

解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解

若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式

在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系

由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.

4．巧选主元

若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.

例题与求解

【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2

=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题）

解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.

【例2】 q p ,为质数且是方程0132

=+-m x x 的根，那么

q

p

p q +的值是（ ）

A ．22121

B ．22123

C ．22125

D ．22

127

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系

【例3】 关于y x ,的方程2922

2

=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）

A ．2组

B ．3组

C ．4组

D ．无穷多组

解题思路：把2922

2

=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.

【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2

=-+++r x r rx 有根且只有整数根.

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.

【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.

（全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2

，即

0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.

【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22

=-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题）

解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.

能力训练

A 级

1．已知方程019992

=+-a x x 有两个质数根，则._______=a (江苏省竞赛题) 2．已知一元二次方程012

=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m

(四川省竞赛题)

3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和054442

2=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________

4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2

=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk

k p k +的值等于

______________.

5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212

=+-t x x 的两个根，则

b

a

a b +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．38

365

6．若062

=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．以上结论都不对 7．方程019972

=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)

1)(1(21++x x p

的值是（

）

A ．1

B ．1-

C ．21-

D ．2

1 （北京市竞赛试题）

8．若b a ,都是整数，方程020082

=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（

）

（太原市竞赛试题）

A ．100

B ．400

C ．700

D ．1000

9．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2

=-+++k x k kx 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）

10．已知关于x 的方程23842

=--n nx x 和022)3(2

2

=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个

方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）

11．若关于x 的方程0)2()3(22

=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.