初三奥数之一元二次方程的整数根

初三奥数之一元二次方程的整数根专题05 一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么qpp q +的值是（ ）A ．22121B ．22123C ．22125D ．22127（黄冈市竞赛试题）解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a (江苏省竞赛题) 2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m(四川省竞赛题)3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pkk p k +的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则baa b +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．383656．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．以上结论都不对 7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p的值是（）A ．1B ．1-C ．21-D ．21 （北京市竞赛试题）8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（）（太原市竞赛试题）A ．100B ．400C ．700D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）11．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.（上海市竞赛试题）12．已知q p ,为整数，且是关于x 的方程016)(41591122=++++-q p x p x 的两个根，求q p ,的值. （全国初中数学联赛试题）B 级1．已知96=+q p ，并且二次方程02=++q px x 的根都是整数，则其最大根是___________.2．若关于x 的二次方程062=++a ax x 只有整数根，则_________=a . （美国数学邀请赛试题） 3．若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_________个.4．使方程071222=-++a ax x a 的两根都是整数的所有正数a 的和是______________.（上海市竞赛题）5．已知方程015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非零实数）至少有一个整数根，那么_________=a . （全国初中数学联赛试题）6．设方程03)6(2=-+++m x m x 有两个不同的奇数根，则整数m 的值为____________（《学习报》公开赛试题）7．若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则ba的值为（ ） A ．59 B ．95 C ．52001- D ．92001-8．若方程0232=+++m x x 有一个正跟1x ，和一个负根2x ，由以21,x x 为根的二次方程为（ ） A ．0232=---m x x B ．0232=--+m x x C ．02412=----m x m x D ．02412=++--m x m x9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.（全国初中数学联赛试题）10．当x 为何有理数时，22392-+x x 恰为两个连续的正偶数的乘积？（山东省竞赛题）11．是否存在质数q p ,使得关于x 的一元二次方程02=+-p qx px 有有理数根？（全国初中数学竞赛试题）12．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bcx a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b（1）求a 的值；（2）求k 的值及它对的y x ,的值.专题05 一元二次方程的整数根例1 当k =4时，x =1；当k =8时，x =-2；当k ≠4且k ≠8时，148x k =-，284x k=-，可得k =6或k =4,6,8或12． 例2 C例3 C 提示：方程变形为关于x 的二次方程()222290x yx y ++-=，2=71160y ∆-+≥且是完全平方数，得,162=y ∴4±=y ,∴⎩⎨⎧=-=4111y x ,⎩⎨⎧=-=4322y x ,⎩⎨⎧-==4133y x ,⎩⎨⎧-==4344y x .例4 ①若0=r ，则21=x 不是整数；②0≠r ，设方程的两根为)(,2121x x x x <，则r r x x 221+-=+，r r x x 121-=，于是,3212)(22121=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-r r r r x x x x 有7)12)(12(21=--x x ，解得⎩⎨⎧==4121x x 或⎩⎨⎧=-=0321x x 则31-=r 或1=r .例5由0)()50(2-22=-+-y y x y x 得0)992500(4)(4)50(422≥-=---=∆y y y y ,即0)992500(≥-y ,25≤y 时,方程有实数解y y x 99250050-±-=.由于)992500(y -必须是完全平方数,而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时30=x 或, 20=x ,故所求的四位数为2025或3025. 例6解法一:因a 的次数较低,故将方程整理为关a 于的一次方程,得)6(2)2(2+=+x a x ,显然02≠+x ,于是2)2()6(2++=x x a ,∵a 是正整数,1≥a ,即1)2()6(22=++x x ,化简得0822≤-+x x ,解得)2(24-≠≤≤-x x .当2,1,0,1,3,4---=x 时,.1,914,3,10,6,1=a ∵a 是正整数,故a 的值为1,3,6,10.解法二:()[])18(4)3(41242+=---=∆a a a a 为完全平方数,故)18(4+a 为奇数的平方.令2)12()18(+=+m a ,m 是正整数,则22mm a +=,于是,原方程可化为0)3)(2(4)1(4)1(22=+-+-+++m m x m m x m m ,即[][]0)3(2)1(2)-m 2=++++m x m mx （,解得mx 421+-=,1422+--=m x ,∴4m 或41）（+m 得4,2,1=m 或3,1=m ,故a 的值位1,3,6,10.A 级1. 3 9942. 13. 14. 1 9845. D6. B7. C8.D9.①当0=k 时，则1=x ，即0=k 为所求；②0≠k 时,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+k x x k x x 11112121,得3)1)(1(21=--x x ,由此可得1,71=-=k k 或.10. 0=n 提示:方程①()2342221++=-n n x x ,方程②根为n n -+1,22,注意讨论.11.4,10,2--=a12.由韦达定理，得9112+=+p q p ①，16)(415++=q p pq ②，0>+q p ，0>pq ，为q p ,正整数.由②得216)(6016++=q p pq ,即4811516)154)(154(22=+=+-q p ,故⎩⎨⎧=-=-13,37,1,48115437,13,481,1154q p ,得13,7,124,4=p ，7,13,4,124=q ，代入①，即只有7,13==q p 满足条件.B 级1. 982. 49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.3. 5 提示:当6=k 时,解得2=x .当9=k 时,解得3-=x .当96≠≠k k 且时,解得kx k x -=-=96,9921.当9,3,16±±±=-k 时,1x 是整数，这时3,15,3,5,7-=k ；当6,3,2,19±±±±=-k 时，2x 是整数，这时3,15,7,11,8,10=k .综上所述, 15,9,7,6,3=k 时,原方程的解为整数.4.611提示:将原方程整理为关于a 的二次方程(),01722=++-xa a x 03282≥-=∆x ,)7(232822--±-=x x x a ,讨论枚举.5. 1,3,5 提示:a x 321-=,ax 512-=. 6. -2,或-6 7. A 提示:a 与a1时方程09200152=++x x 的两个不相等的实数根. 8. C9. 解得4211---=k x ，2412---=k x ，故1241+-=-x k ，1422+-=-x k )1,1(21-≠-≠x x ，消去k 得，02312=++x x x x ，即()2321-=+x x ，求得310,3,6=k .10.设两连续正偶数为2,+k k ,则有)2(22392+=-+k k x x ,即0)22(23922=++-+k k x x ,x 为有理数,则[]2)1(6565++=∆k 为完全平方数,令)0(2≥=∆p p ,[]156********)1(622⨯=⨯-=+-k p也即[][]15655115)1(6)1(6⨯=⨯=--++k p k p , 于是得⎩⎨⎧=+-=++5)1(6113)1(6k p k p ,或⎩⎨⎧=+-=++1)1(6565)1(6k p k p 解得8=k 或46=k ,相应的方程的解为2=x 或941-=x 与17-=x 或9130=x .总之,当2=x 或 17-=x 时, 22392-+x x 恰为两个整数8或10,或者46或48的乘积.11. 令2224n p q =-=∆(n 为非负数),即24))(p n q n q =+-（.∵n q n q +≤-≤1且n q n q +-与奇偶性相同,则⎩⎨⎧=+=-222p n q n q ①, ⎩⎨⎧=+=-24p n q n q ②, ⎩⎨⎧=+=-p n q p n q 4③, ⎩⎨⎧=+=-p n q pn q 22④, ⎩⎨⎧=+=-42n q p n q ⑤；消去n 分别得：12+=p q ，222+=p q ，25p q =，p q 2=，222p q +=，对于第1、3种情形，5,2==q p 对于第2、5种情形，4,2==q p （不合题意，舍去）；对于第四种情形，p 为合数（舍去）.又当5,2==q p 时，方程为2,21,0252212===+-x x x x . 12. (1)2,12=++-=c b a a bc ,则c b ,是一元二次方程01222=+-+-a a t t 的两根, 故0)(4)1(4422≥--=+--=∆a a a a , 即0)1(≤-a a , 又 ∵ 0≥a 且a 为整数, 则1≥a ,∴1===c b a .(2)由条件得0)1(2=++-k x k kx ,又 ∵原方程只有一组解,当0=k 时,1,0==y x , ∴⎩⎨⎧==10y x 符合条件,此时0=k ； 当0≠k 时，01234)1(222=++-=-+=∆k k k k ，解得1,(3121=-=k k 舍），∴12=k ， 即0122=+-x x ， ∴1,1-==y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x ，符合条件，此时k =1。