八年级数学上册 14.1 勾股定理专题训练 (新版)华东师大版

14.1 勾股定理

专题一勾股定理与方程

1. 如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）

A．6 B．3 C．23 D．3

2. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝米时,有

DC2＝AE2＋BC2.

专题二构造直角三角形

3. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．

4. 如图所示，在△ABC中，已知AB=13cm，AC=5cm，BC边上的中线AD=6 cm，求BC.

5. 如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.

专题三勾股定理中的分类讨论思想

6. 在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．

7. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.

8. 在△ABC中， AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

状元笔记

【知识要点】

1. 勾股定理：

如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=.

2. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边a ，b ，c ，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.

【温馨提示】

在直角三角形中知道任意两边都可以利用勾股定理求出第三边.

【方法技巧】

1. 当图形中没有直角三角形时，有时可以通过作高构造直角三角形.

2. 判定一个三角形是直角三角形有两种方法：①借助三角形内角和求出一个角是直角；②利用勾股定理的逆定理.

参考答案

1. C 【解析】 由折叠可知BD =BA =6，DE =AE .∵BC =3，∴CD =BC =3，∴BE =DE =AE ，由勾股定理可得AC =33DE =AE =BE =x ，在Rt △BCE 中，32＋()233x =x 2

，解得x =3DE

的长度为23. 2. 143 【解析】 因∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC＝6米，所以AC ＝12米.设当AE 为 x 时，所以EC ＝12－x ，由DC 2＝AE 2＋BC 2.及DC 2＝DE 2＋EC 2，所以有22＋（12－x ）2＝x 2＋36，解

得：x ＝14

3.

3. 解：过C 作CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.

∵∠B ＝45°，

∴∠BCD ＝∠B ＝45°.

∴CD ＝BD .

∵∠A ＝30°，AC ＝23，

∴CD ＝3，

∴BD ＝CD ＝3.

由勾股定理得：AD ＝22AC CD -＝3，

∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.

答：AB 的长是3＋3．

4. 解：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.在△ADC 与△EDB 中.

∵AD=ED ，∠ADC=∠EDB ，CD=BD ，

∴△ADC ≌△EDB ，∴EB=AC=5cm.

在△AEB 中，

∵AB=13cm ，EB=5 cm ，AE=2AD=12 cm ，

∴222AB EB AE =+，

∴∠E=90°.

在Rt △BED 中，由勾股定理得2261BD EB DE +=，

∴61

5. 解：连结AC.设AB 、BC 、CD 、DA 分别为2x ，2x ，3x ，x ，则222222

8,,9AC x AD x CD x ===， ∴222AC AD CD +=，

∴∠DAC=90°，

∴∠DAB=90°+45°=135°.

6. 433或43或4 【解析】 （1）如图①，当AB=AC 时， ∵∠A=30°， ∴CD=

12AC=12×8=4；

（2）如图②，当AB=BC 时，则∠A=∠ACB=30°，

∴∠ACD=60°，

∴∠BCD=30°，

∴BD=1=42

BC ， ∴22BC BD -3

（3）如图③，当AC=BC 时，则AD=4.

设CD=x ，则AC=2x. 则

2222)4x x -=（，解得433433

3或4． 7. 42或32 【解析】 当△ABC 是锐角三角形时，如图①，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=14,此时当△ABC 的周长为15+13+14=42.

当△ABC 是钝角三角形时，如图②，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=9-5=4,此时当△ABC

的周长为15+13+4=32.

8. 解：∵AC=4，BC=2，AB=5

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．

分三种情况如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．

易证△ACB≌△BED，易求10

如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，易求13如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．易证△AFD≌△DEB，易求2.

∴CD的长为10132.