八年级数学上册 14.1 勾股定理专题训练 (新版)华东师大版
华师大版八年级上册数学第14章 勾股定理含答案
华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，AB= ，AC= ，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A.3B.2C.2D.42、如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A.48B.60C.76D.803、如图，圆柱的底面直径和高均为4，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是 ( )A. B. C. D.4、如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（）A.a 2+b 2=c 2B.a 2+c 2=b 2C.b 2+c 2=a 2D.（a+c）2=b 25、若Rt△ABC中两条边的长分别为a＝3，b＝4，则第三边c的长为（）A.5B.C. 或D.5或6、如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直三角形，若正方形的面积分别是9、25、1、9，则最大正方形的边长是（）A.12B.44C.D.无法确定7、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13.则小正方形的面积为（）A.3B.4C.5D.68、在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（）A.3cmB. cmC.2cm或cmD. cm或cm9、如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=20cm，BD=12cm，则AD的长为（）A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm10、在平面直角坐标系中，定义：已知图形W和直线l，如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线1的距离小于或等于k，则称图形W与直线1“k关联”.已知线段AB，其中点A(1，1)，B(3.1).若线段AB与直线y=-x+b“关联”，则b的取值范围是( )A.-1≤b≤B.0≤b≤4C.0≤b≤6D. ≤b≤611、如图，圆柱底面的半径为cm，高为9 cm，A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，则这根棉线的长度最短是（）A.12 cmB.15 cmC.18 cmD.21 cm12、在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（）A.8 cmB.6 cmC.4 cmD.2 cm13、如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为（）米．A.4B.8C.12D.14、如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）．A. B. C.4 D.615、下列各组中的三条线段不能构成直角三角形的是（）A.3，4，5B.1，2，C.5，7，9D.7，24，25二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知AB＝2 ，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°.P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q 之间的距离最短为________（结果保留根号）.17、在中，，，若斜边上的高，则________．18、如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使，AQ，BP相交于点O.若，，则AP的长为________，AO的长为________.19、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是________．20、如图（1），用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD、若AE=4，CE=3BE，那么这个四边形的面积是________ ．21、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为________m．22、在△ABC中，∠C=90°，若a=5，c=13，则b=________.23、如图，把矩形纸片ABCD（BC＞CD）沿折痕DE折叠，点C落在对角线BD上的点P处：展开后再沿折痕BF折叠，点C落在BD上的点Q处：沿折痕DG折叠，点A落在BD上的点R处，若PQ＝4，PR＝7，则BD＝________.24、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为________25、如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD，放置在平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），D（0，3），M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．（Ⅰ）当AN平分∠MAB时，求∠DAM的度数和点M的坐标；（Ⅱ）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（Ⅲ）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．（直接写出答案）在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt△NAP，…小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt△NAP，…28、如图四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，求△ABC 的面积.29、如图，学校要把宣传标语掛到教学楼的顶部D处.已知楼顶D处离地面的距离DA为8m，云梯的长度为9m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为3m，云梯的顶部能到达D处吗？为什么？30、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC边上一点，连接BD，将△ABC沿BD折叠，顶点C恰好落在边AB上的点E处，若AC=2，BC=1，求CD的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、A4、B5、D6、C7、C8、D9、A10、C11、B12、C13、C14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
(基础题)华师大版八年级上册数学第14章 勾股定理含答案
华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，是等腰直角三角形，BC是斜边，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果AP=3，那么PP'的长等于（）A. B. C. D.2、如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，OC＝5，则弦AB的长是（）A.3B.4C.6D.83、如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为（）A.5B.6C.8D.124、下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A.30，40，50B.7，12，13C.5，9，12D.3，4，65、以下列线段长为边，能构成直角三角形的是（）A.2，3，5B.2，3，4C.3，，4D.2，4，56、如果一个等边三角形的边长是2，那么这个等边三角形的面积是（）A.1B.2C.D.7、底面周长为12cm，高为8cm的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）cm．A.10B.8C.5D.48、如图，正方形ABCD的边长为10，△ABP为直角三角形，∠P=90°，且PB=6，则AP等于（）A.6B.7C.8D.不能确定9、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CD翻折，使点A 落在AB上的点E处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CE的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点D，F，则线段B′F的长为( )A. B. C. D.10、在矩形中，，，AC是对角线，点E在线段BC 上，连结AE，将沿AE翻折，使得点B的对应点F恰好落在AC上，点G 在射线CD上，连接EG，将沿EG翻折，使得点C的对应点H恰好落在EF所在直线，则线段EG的长度为（）A. B. C. D.11、如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，EF//BC交AC，CF于M，F，若EM=3，则CE2+CF2的值为( )A.36B.9C.6D.1812、下列说法正确的是（）A.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B.面积相等的两个三角形一定全等C.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于”的第一步是“假设三角形中三个角都大于” D.反比例函数中函数值随自变量的增大一定而减小13、如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为（）A.10cmB.13cmC.15cmD.24cm14、长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是（）A.1，2，3B.3，5，7C.1，，3D.1，，15、如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A.45mB.40mC.50mD.56m二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有________个．17、如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为________.18、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=________．19、如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是________.20、如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为________．21、在中，，，，把绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点、，如果恰好经过点A，那么点A与点的距离为________22、用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是不正确的，这组值可以是a=________，b=________．23、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是________．（结果保留根号）24、如图，点D是等边△ABC内一点，DA=8，BD=10，CD=6，则∠ADC的度数是________．25、用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中________.“两直线平行，内错角相等”的逆命题是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．28、小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？29、如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积．30、如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A3、B4、A5、C6、D7、A8、C9、B10、B11、A12、C13、B14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14-1勾股定理》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14.1勾股定理》解答题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．2．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离．3．在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．（1）求线段AE的长；（2）求△ABC的面积．5．如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：①（）2+1＝2，S1＝；②（）2+1＝3，S2＝；③（）2+1＝4，S3＝…（1）请写出第n个等式：；（2）根据式子规律，线段OA10＝；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，到C点停止，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求△ABC的面积；（2）当P A＝PB时，求t的值．8．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”．下面是用三块全等的直角三角形移拼、补所形成的“无字证明”图形．已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图①、图②的面积相等，请你根据此图验证勾股定理．图①的面积S1＝；图②的面积S2＝；9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，若BC＝6，AC＝8，CD＝3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．10．（一）如图1在5×5的方格（每小格边长为1个单位长度）格点处有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下，规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+3），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中（1）A→C（，），D→B（，）；（2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D（如左图），请计算甲虫A爬行的路程；（3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），最终到达甲虫P处，请在图2标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置；若甲虫A向上爬行的速度为每秒2个单位长度，向下爬行的速度为每秒1个单位长度，向左或向右爬行的速度为每秒0.5个单位长度，请计算甲虫A爬行的时间．（二）数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，且b是最小正整数，|a+b|+（c﹣5）2＝0．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、C分别以每秒m（m＜5）个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．若BC ﹣AB的值保持不变，求m的值．11．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c（1）已知a＝12，b＝5，求c；（2）已知c＝10，b＝9，求a．12．如图在△ABC中，∠B＝90°，点E，F分别在AB，BC上，求证：AF2+CE2＝AC2+EF2．13．如图，AB∥CD，∠C＝50°，点P是射线CD上一个动点（不与点C重合），点E、F 都在射线CD上，AE平分∠CAP，AF平分∠BAP．（1）求∠EAF的度数；（2）①当∠CAP＝20°时，∠1＝，∠2＝；②当∠CAP＝50°时，∠1＝，∠2＝；③当∠CAP＝60°时，∠1＝，∠2＝；④猜想∠1和∠2的数量关系，写出一个等量关系式，并说明理由；（3）设∠CAP＝x°时，∠AEF＝y°．①求y与x的关系式；②当△ACP为直角三角形时，求y的值．14．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝4，求AC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠A＝120°，求BC的长．15．如图1，点O在线段AB上，AO＝4，OB＝2，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC方向运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求OP的长和△ABP的面积；（2）当△OBP是直角三角形时，求t的值．16．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）已知a＝7，b＝24，求c；（2）若c＝，b＝5，求a．17．数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．18．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心、BC为半径作圆弧，与边AB交于点D，再分别以A．D为圆心，大于AD的长为半径作圆弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F．（1）判断：直线MN是线段AD的线；（2）若BC＝5，AC＝12，求AE的长．20．如图所示，△OA1A2、△OA2A3、△OA3A4、△OA4A5、…都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2，S1＝；OA32＝12+（）2＝3，S2＝；OA42＝12+（）2＝4，S3＝；…（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．参考答案1．解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC＝＝25，∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，∴AB•AC＝BC•AD，∴15×20＝25AD，∴AD＝12；∵AD⊥BC，∴BD＝＝＝9．2．解：（1）AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝；（2）△ABC的面积＝3×3﹣×1×2﹣×3×2﹣×1×3＝；（3）点C到AB边的距离为h，则×AB×h＝，即××h＝，解得，h＝．3．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠DBC＝70°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°；（2）Rt△BCD中，BD＝＝＝9，设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣9，∵Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣9）2+122＝x2，解得x＝＝12.5，∴AC＝12.5．4．解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，∴DE＝CD＝6，∴AE＝＝8；（2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即162+x2＝（8+x）2，解得x＝12，即BC＝12，∴S＝96．5．解：（1）①（）2+1＝2，S1＝；②（）2+1＝3，S2＝；③（）2+1＝4，S3＝…则第n个等式为：③（）2+1＝n+1，S n＝，故答案为：（）2+1＝n+1，S n＝；（2）OA1＝1OA2＝，OA3＝，…则OA10＝，故答案为：；（3）S12+S22+S32+…+S102＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝＝．6．解：（1）∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10；（2）∵CD⊥AB，∴S△ABC＝，∴×6×8＝×10×CD，∴CD＝．7．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，由勾股定理得：BC＝＝＝12（cm），∴△ABC的面积＝AC•BC＝×16×12＝96（cm2）；（2）由题意得：AP＝tcm，在Rt△PBC中，PB2＝PC2+BC2＝（16﹣t）2+122，当AP＝PB时，t2＝（16﹣t）2+122，解得：t＝，∴当t＝时，AP＝PB．8．解：∵图①由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和三个直角边长分别为a、b的直角三角形拼成，∴S1＝a2+b2+3×ab＝a2+b2+ab；∵图②由一个边长为c的正方形和三个直角边长分别为a、b的直角三角形拼成，∴S2＝c2+3×ab＝c2+ab，故答案为：a2+b2+ab；c2+ab．∵S1＝S2，∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．9．解：（1）∵BD平分∠CBA，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴＝，∴＝．10．解：（一）（1）A→C（+3，+2），D→B（﹣1，+2），故答案为：+3，+2，﹣1，+2；（2）甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，∴甲虫A爬行的路程是1+3+2+1+1+1＝9；（3）甲虫A爬行示意图与点P的位置如图所示：（2+1+2+1）÷0.5+（2+3）÷2+（1+2）÷1＝12+2.5+3＝17.5（秒），所以甲虫A爬行的时间是17.5秒；（二）（1）∵b是最小正整数，|a+b|+（c﹣5）2＝0，∴b＝1，a＝﹣1，c＝5，故答案为：﹣1，1，5；（2）根据题意知，BC＝（5+5t）﹣（1+mt）＝4+5t﹣mt，AB＝（1+mt）﹣（﹣1﹣t）＝2+mt+t，∴BC﹣AB＝4+5t﹣mt﹣（2+mt+t）＝2+（4﹣2m）t，∵BC﹣AB的值不变，∴4﹣2m＝0，∴m＝2．11．解：（1）由勾股定理得，c＝＝13；（2）由勾股定理得，a＝＝．12．证明：∵∠B＝90°，∴AC2＝AB2+BC2，EF2＝BE2+BF2，AF2＝AB2+BF2，CE2＝BE2+BC2，∴AF2+CE2＝AB2+BF2+BE2+BC2＝AC2+EF2．即AF2+CE2＝AC2+EF2．13．解：（1）∵AB∥CD，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°，∵AE平分∠CAP，AF平分∠BAP，∴∠CAE＝∠P AE＝∠CAP，∠P AF＝∠BAF＝∠BAP，∴∠EAF＝∠P AE+∠P AF＝∠CAP+∠BAP＝（∠CAP+∠BAP）＝∠CAB＝×130°＝65°；（2）①∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝20°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝10°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝75°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣75°＝55°，故答案为：110°，55°；②∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝50°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝25°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝90°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣90°＝40°，故答案为：80°，40°；③∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝60°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝30°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝95°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣95°＝35°，故答案为：70，35°；④∠1＝2∠2，理由如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠P AB，∠2＝∠F AB，∵AF平分∠BAP，∴∠P AB＝2∠F AB，∴∠1＝2∠2；（3）①∵∠CAP＝x°，∴∠EAC＝x°，∵∠AEF＝∠EAC+∠C，∠C＝50°，∴y＝x+50；②当∠CAP＝90°时，则x＝90，∴y＝×90+50＝45+50＝95，当∠APC＝90°时，∠CAP＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°，则x＝40，∴y＝×40+50＝20+50＝70，综上所述，当△ACP为直角三角形时，y的值为95或70．14．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC＝＝＝2；（2）作CD⊥AB交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DCA＝30°，∴AD＝AC＝2，∴CD＝＝＝2，BD＝AD+AB＝4，在Rt△CDB中，BC＝＝2．15．解：（1）当t＝1秒时，OP＝2t＝2×1＝2．如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△POD中，∠PDO＝90°，∠BOC＝60°，∴∠DPO＝30°，∴OD＝OP＝1，PD＝＝，∴S△ABP＝AB•PD＝×（4+2）×＝3，故OP＝2，S△ABP＝3；（2）当△OBP是直角三角形时，①若∠B＝90°．如图，∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30°，∴OP＝2OB，即2t＝2×2，t＝2；②若∠BPO＝90°，如图，∵∠BOC＝60°，∴∠B＝30°，∴OP＝OB，又OP＝2t，∴t＝0.5；综上，当△OBP是直角三角形时，t＝2或t＝0.5．16．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c＝＝＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：a＝＝＝＝4．17．证明：如图，连接BC，∵Rt△ABE≌Rt△DEC，∴∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∵S梯形ABCD＝S Rt△ABE+S Rt△CDE+S Rt△BEC，∴，即∴，∴a2+b2＝c2．18．（1）证明：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，∴AC＝，∵AC2+CD2＝45+4＝49＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴AC⊥CD；（2）解：四边形ABCD的面积＝＝9+3．19．解：（1）由作图可知：直线MN是线段AD的垂直平分线，故答案为：垂直平分；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝，∵BC＝BD＝5，∴AD＝AB﹣BD＝13﹣5＝8，∵直线MN是线段AD的垂直平分线，∴AF＝4，∠AFE＝90°，∵∠A＝∠A，∴AE＝．20．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n，则S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA10＝；（3）S12+S22+S32+…+S102＝++++…+＝＝．。
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版（考试时间：60分钟 总分：100分）一、选择题1．以下四组数中，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3B ．12，13，4C ．8，15，17D ．4，5，62．在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）A ． 1.5a = 2b = 3c =B ．7a = 24b = 25c =C ．345a b c =：：：：D ．9a = 12b = 15c =3．如图，一根长为5m 的竹竿AB 斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B 离墙壁距离3m ，则该竹竿的顶端A 离地竖直高度为（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD 3m4．如图，在△ABC 中，△B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC 是正方形，则正方形ADEC 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，在ABC 中5AB AC ==，按以下步骤作图：①以C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 于点D ；②分别以点D ，B 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ；③作射线CE ，交边AB 于点F ．若4CF =，则线段AD 的长为（ ）A 3B ．1C ．22D ．126．由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（）A ．1，2，2B ．2，3，4C ．12 3 D ．22 37．用反证法证明“a b <”时应假设（ ）A ．a b >B ．a b ≥C ．a b =D ．a b ≤8．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（1CE =尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即10EF =尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（5DF =尺），求这个秋千的绳索AC 有多长？（ ）A ．12尺B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺二、填空题9．在Rt ABC 中1390BC AC B ==∠=︒，，，则AB 的长是 ．10．在△ABC 中，AB=5，BC=a ，AC=b ，如果a ，b 满足（a+5）(a-5)-b 2=0，那么△ABC 的形状是 ．11．用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．12．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm ，4cm ，3cm ，则能放进木箱中的直木棒最长为cm ．三、解答题13．如图，在ABC 中，CD 是高，BC=7，BD=6．若DE BC ，DEC DCB ∠=∠求CE 的长．14．已知ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a-b=8，ab=2，17c =ABC 的形状，并说明理由．15．已知：如图，直线a ，b 被c 所截，△1，△2是同位角，且△1≠△2.求证：a 不平行于b.16．在Rt ABC 中90C ∠=︒，若34a b =：：，10c =求a ，b 的长．四、综合题17．如图，在四边形ABCD 中=60A ∠︒，=90B D ∠=∠︒和BC=6，CD=4，求：（1）AB 的长；（2）四边形ABCD 的面积．18．如图，在ABC 中，AB 长比AC 长大1，15BC =，D 是AB 上一点9BD =和12CD =．（1）求证：CD AB ⊥； （2）求AC 长．19．如图，点A 是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B 或C 处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．20．阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定（填“是”或“不是”）奇异三角形；②若某三角形的三边长分别为17，2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形；（2）探究：在Rt ABC中，两边长分别是a，c，且250c=则这个三角形是否是奇异a=，2100三角形？请说明理由．参考答案与解析1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、12+22=5，32=9，5≠9，故不是勾股数；B 、42+122=160，132=169，160≠169，故不是勾股数；C 、82+152=189=172，故是勾股数；D 、42+52=41，62=36，41≠36，故不是勾股数. 故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】A【解析】【解答】解：A 、∵a=1.5，b=2，c=3∴a 2+b 2=1.52+22=6.25≠c 2=9∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形不是直角三角形，故此选项符合题意； B 、∵a=7，b=24，c=25 ∴a 2+b 2=72+242=625=c 2=252=625∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C 、∵a△b△c=3△4△5，设a=3x ，b=4x ，c=5x ∴a 2+b 2=（3x ）2+（4x ）22=25x 2=c 2=（5x ）2=25x 2∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B 、∵a=9，b=12，c=15 ∴a 2+b 2=92+122=225=c 2=152=225∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意. 故答案为：A.【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三条线段的长度满足较小两条长的平方和等于最大一条长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：5m AB = 3m BC = AC BC ⊥则224m AC AB BC =-=即该竹竿的顶端A 离地竖直高度为4m 故答案为：C ．【分析】直角利用勾股定理计算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC 中，△B=90°由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5 ∵四边形ADEC 是正方形 ∴S 正方形ADEC =AC 2=5 故答案为：C ．【分析】利用勾股定理求出AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5，再利用正方形的面积公式可得S 正方形ADEC =AC 2=5。
八年级数学上册第14章勾股定理检测题新版华东师大版(含参考答案)
八年级数学上册：第14章检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(C ) A．3，4，5 B．6，8，10 C.3，2， 5 D．5，12，132．若正整数a、b、c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是( C )A．a＋2，b＋2，c＋2 B．a2，b2，c2 C．3a，3b，3c D．a－2，b－2，c－23．对于命题“如果a>b>0，那么a2>b2”，用反证法证明，应假设( D )A．a2>b2 B．a2<b2 C．a2≥b2 D．a2≤b24．在下列条件中：①△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；②三角形三边长分别为32，42，52；③△ABC中，三边a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2；④三角形三边长分别为m－1，2m，m＋1(m为大于1的整数)，能确定△ABC是直角三角形的条件有( B ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知a、b、c为△ABC三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则它的形状为( D ) A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．(2016·株洲)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有( D )A．1 B．2 C．3 D．47．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( C )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个第7题图第9题图第10题图8．一木工师傅测量一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来，应该是( C )A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，49．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( D )A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m10．如图，AB＝AC＝4，P是BC上异于B、C的一点，则AP2＋BP·PC的值是( A ) A．16 B．20 C．25 D．30二、填空题(每小题3分，共24分)11．把命题“对顶角相等”的逆命题改写成“如果……那么……”的形式：如果__两个角相等__，那么__它们是对顶角__．12．若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，且周长为60 cm，则它的面积为__120_cm2__．13．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为__64__．第13题图第15题图第17题图14．有一段斜坡，水平距离为120 m，高50 m，在这段斜坡上每距6.5 m种一棵树(两端各种一棵树)，则从上到下共种__21__棵树．15．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2，…依此法继续作下去，得OP2017＝__2018__．16．在一个长6 m，宽3 m，高2 m的房间里放进一根竹竿，则竹竿最长是__7__m.17．如图，圆柱体的高为8 cm，底面周长为4 cm，小蚁在圆柱表面爬行，从A点到B 点，路线如图所示，则最短路程为__10_cm__．18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为__4或25或10__．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是否是直角三角形．解：(1)可求得AB＝20，AC＝13，则△ABC的周长为20＋13＋21＝54.(2)∵AB2＋AC2＝202＋132＝569，BC2＝212＝441，∴AB2＋AC2≠BC2，△ABC不是直角三角形．20．(8分)证明命题“△ABC中，若∠A>∠B＋∠C，则∠A>90°”．解：假设∠A≤90°，∵∠A>∠B＋∠C，∴∠B＋∠C<90°，则∠A＋∠B＋∠C<180°，这与三角形的内角和是180°相矛盾，∴假设不成立，即∠A>90°.21．(8分)如图，居民楼A与马路l相距60 m，一辆载重汽车在马路l上以36 km/h 的速度行驶，在距A点100 m的点P处就可使居民楼受到噪音影响，求这辆汽车给A楼的居民带来多长时间的噪音影响？解：作AQ⊥l于Q，以点A为圆心，AP的长为半径作弧交l于点P′，连结AP、AP′，勾股定理得PQ＝80 m，同理P′Q＝80 m，∴PP′＝160 m，又36 km/h＝10 m/s，∴160÷10＝16(s)，即给A楼居民带来16 s的噪音影响．22．(10分)如图，已知某学校A与直线公路BD相距3 000 m，且与该公路上的一个车站D相距5 000 m，现在在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？解：设超市C与车站D的距离是x m，则AC＝CD＝x m，在Rt△ABD中，BD＝AD2－AB2＝4 000 m，所以BC＝(4 000－x)m，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即x2＝3 0002＋(4 000－x)2，解得x＝3 125，因此该超市与车站D的距离是3 125米．23．(10分)如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm.点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，至少需要爬行多长距离？解：把长方体的右面展开与前面在同一个平面内，最短路径AB＝152＋202＝25(cm)，即至少需要爬行25 cm.24.(10分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋12ab ，又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋12a(b －a)，∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a(b －a)，∴a 2＋b 2＝c 2. 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2. 证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a ，∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABE ＋S △ADE＝12ab ＋12b 2＋12ab ，又∵S 五边形ACBED＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋12a (b －a )，∴12ab ＋12b2＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a (b －a )，∴a 2＋b 2＝c 2.25．(12分)如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16 cm ，BC ＝12 cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为每秒1 cm ，点Q 从点B 开始沿B →C →A 方向运动，且速度为每秒2 cm ，它们同时出发，设出发的时间为t s .(1)出发2 s 后，求PQ 的长；(2)当点Q 在边BC 上运动时，出发多久后，△PQB 能形成等腰三角形？ (3)当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间．解：(1)∵BQ ＝2×2＝4(cm )，BP ＝AB －AP ＝16－2×1＝14(cm )，∠B ＝90°，∴PQ ＝42＋142＝253(cm )．(2)BQ ＝2t ，BP ＝16－t ，根据题意得2t ＝16－t ，解得t ＝163，即出发163 s 后，△PQB能形成等腰三角形．(3)①当CQ ＝BQ 时，如图所示，错误! ,图②) ,图③)则∠C ＝∠CBQ.∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°.∵∠A ＋∠C ＝90°，∴∠A ＝∠ABQ ，∴BQ ＝AQ ，∴CQ ＝AQ ＝10，从而BC ＋CQ ＝22，∴t ＝22÷2＝11(s )．②当CQ ＝BC 时，如图所示，则BC ＋CQ ＝24，∴t ＝24÷2＝12(s )． ③当BC ＝BQ 时，如图所示．过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE ＝AB ·BC AC ＝12×1620＝485，∴CE ＝BC 2－BE 2＝122－（485）2＝365，∴CQ ＝2CE ＝14.4，从而BC ＋CQ ＝26.4，∴t ＝26.4÷2＝13.2(s )．综上所述，当t 为11 s 或12 s 或13.2 s 时，△BCQ 为等腰三角形．。
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14-1勾股定理》题型分类综合练习题(附答案)
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14.1勾股定理》题型分类综合练习题（附答案）一．勾股定理与图形面积1．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．2．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A．（）6B．（）7C．（）6D．（）73．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a b 时，ab取得最大值．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和5．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD 是△ABC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．6．点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB 所在直线的距离是．7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（）A．3B．4C．5D．2.48．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．59．学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图1放置，从正前方看图1得到的图形如图2所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！（提示：连接AC、CF、AF）10．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2证明：连接∵S五边形ACBED＝又∵S五边形ACBED＝∴∴a2+b2＝c2．二．勾股定理与方程思想11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得图形证明了勾股定理，如图所示矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．D．12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于cm．13．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5B．2C．2.5D．314．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为．15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH 的边长为2，则S1+S2+S3＝．16．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S17．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝．三．勾股定理与分类讨论18．如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2，则m的值为．19．在△ABC中，AB＝，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为．20．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．21．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．22．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3．如果点P在AC边上，且点P到Rt△ABC 的两个顶点的距离相等，那么AP的长为．23．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接P A，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．24．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝9，AB＝CD＝15．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为．四．勾股定理与平面几何综合26．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3B．6C．3D．27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个28．把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．29．如图，△ABC中，∠B＝45°，BC＝2，D是边AB靠近点B的三等分点，∠ADC ＝∠A，则CD长为（）A．2B．C．D．30．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（）A．B．C．D．2﹣31．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH 的长为（）A．B．2C．D．10﹣532．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．8133．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．34．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（）A．1.5B．2C．2.25D．2.535．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90B．100C．110D．12136．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE ＝，则AB的长是．37．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝．38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF ⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5B．1.8C．2D．2.539．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（）A．B．C．D．40．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为．参考答案一．勾股定理与图形面积1．解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．2．解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2+S2＝S1．观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝S1＝2，S3＝S2＝1，S4＝S3＝，…，∴S n＝（）n﹣3．当n＝9时，S9＝（）9﹣3＝（）6，故选：A．3．解：如图，作斜边c上高h，∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，又∵a2+b2＝c2，a2+b2为定值，∴ab≤，∴ab最大值为，∵a，b为直角边的直角三角形面积＝a•b＝c•h，∴＝c•h，∴h＝，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a＝b时，h＝，故答案为：＝．4．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．5．解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，∴，∴，∴BD＝，故选：D．6．解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC＝3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1＝9﹣1﹣1﹣﹣1＝，AB＝＝，∴×h＝，∴h＝．故答案为：．7．解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故选：D．8．解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选：A．9．证明：连接AC、CF、AF．由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+c）（a+c）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ac+ac+b2．两者列成等式化简即可得：a2+c2＝b2．10．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．二．勾股定理与方程思想11．解：设小正方形的边长为x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3+4＝7，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（3+x）2+（x+4）2＝72，整理得，x2+7x﹣12＝0，而长方形面积为x2+7x+12＝12+12＝24∴该矩形的面积为24，故选：B．12．解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，∴AB•CE＝BC•AD，∵AD＝6，CE＝8，∴＝，∴＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，∵AB2﹣BD2＝AD2，∴AB2＝BC2+36，∴＝，整理得；BC2＝，解得：BC＝，∴AB＝×BC＝×＝，∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+＝12．故答案为：12．13．解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5＝6，∴a+b＝3.5，①∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2＝2.52，②由②得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2.52∴3.52﹣2ab＝2.52ab＝3，故选：D．14．解：（14×14﹣2×2）÷8＝（196﹣4）÷8＝192÷8＝24，24×4+2×2＝96+4＝100，＝10．答：正方形EFGH的边长为10．故答案为：10．15．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝KG，CF＝DG＝KF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2＝KF2+NF2﹣2KF•NF，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF＝3GF2＝12，故答案是：12．16．解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝2EF，∴2a＝2b，∴a＝b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2＝S，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝9b2＝9S，故选：C．17．解：设AE＝ED＝x，CD＝y，∴BD＝2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∴AB2＝4x2+4y2，∴x2+y2＝1，在Rt△CDE中，∴EC2＝x2+y2＝1∵EC＞0∴EC＝1．另解：取AB中点F，连接DF、FE，∴DF＝AB＝1，∵E是AD中点，∴FE＝BD，FE∥BD，∵BD＝2DC，∴FE∥DC，FE＝DC，∴四边形FECD是平行四边形，∴EC＝FD＝1，故答案为：1．三．勾股定理与分类讨论18．解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2，∴D′E＝3，∴AD′＝＝2，∴m＝2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．19．解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得：BD＝＝＝5，CD＝＝＝4，∴BC＝BD+CD＝5+4＝9；②如图2，同理得：CD＝4，BD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝5﹣4＝1，综上所述，BC的长为9或1；故答案为：9或1．20．解：分两种情况：①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD＝，AD＝1，∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC＝＝＝2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．21．解：①如图1则BD＝CD＝3，∴底边长为6；②如图2．当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝3，∴BD＝2，∴BC＝＝2，∴此时底边长为2；③如图3：当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝＝3，∴BD＝8，∴BC＝4，∴此时底边长为4．故答案为：6或2或4．22．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4．若PB＝PC，连接PB，设P A＝x，则PB＝PC＝4﹣x，在Rt△P AB中，∵PB2＝AP2+AB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，∴x＝，即P A＝；若P A＝PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．综上所述，P A的长为：2或．故答案是：2或．23．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当P A＝PB时，如图：设BP＝P A＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．24．解：如图1，∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E＝∠D＝90°，∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三点共线，又∵AD′＝BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE＝AB＝15，∵BD′＝＝＝12，∴DE＝D′E＝15﹣12＝3；如图2，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC，∴BE＝AB＝15，∴DE＝D″E＝15+12＝27．综上所知，3或27．故答案为：3或2725．解：分三种情况：①如图1所示：当AD＝AB时，由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3；②如图2所示：当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝x+3，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（x+3）2＝x2+42，解得：x＝，∴CD＝；③如图3所示：当BD＝AB时，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∴BD＝5，∴CD＝5﹣3＝2；综上所述：CD的长为3或或2．故答案为：3或或2．四．勾股定理与平面几何综合26．解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝＝3，∠CAB＝45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝3，∴∠CAB′＝90°，∴B′C＝＝3，故选：A．27．解：过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选：C．28．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝×2＝，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案为：﹣．29．解：过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ADC＝∠A，∴AC＝CD，∵CE⊥AD，∴AE＝DE，∵D是边AB靠近点B的三等分点，∴AD＝2BD，∴BD＝AE＝DE，∵∠B＝45°，BC＝2，∴BE＝BC＝2，∴DE＝1，CE＝2，∴CD＝＝＝，故选：C．30．解：连接AD，如图所示：∵AD＝AB＝2，∴DE＝＝，∴CD＝2﹣；故选：D．31．解：如图，延长BG交CH于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝10，∵AG＝8，BG＝6，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，同理：∠4＝∠6，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠2＝∠4，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：B．32．解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝135﹣49＝86，故选：B．33．证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．34．解：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2+DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2+AM2＝BM2＝B′M2＝MD2+DB′2，即92+x2＝（9﹣x）2+（9﹣3）2，解得x＝2，即AM＝2，故选：B．35．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，易得△CAB≌△BOF≌△FLG，∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4，∴OA＝OL＝3+4＝7，∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°，所以四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故选：C．36．解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∵∠FED＝∠BEC，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．故答案为：12．37．解：∵AC＝BC，∠C＝90°，∴AC＝AB＝2，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠ADE，∴AC＝AE，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝45°，∴DE＝BE，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．38．解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．39．方法一：解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，∵FC＝FG，∴＝，解得：FC＝，即CE的长为．故选：A．方法二：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，在Rt△AFC和Rt△AFG中，，∴Rt△AFC≌Rt△AFG（HL），∴AC＝AG＝3，∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2，∴FG2+BG2＝BF2，则x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为．故选：A．40．解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵DE垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝AC＝，∠AOD＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠C，∴AD＝．解法二：连接AE．∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝EC．设EA＝EC＝x，在Rt△ABE中，则有x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∵AD∥EC，∴∠D＝∠DEC，∵EA＝EC，EO⊥AC，∴∠AEO＝∠CEO，∴∠D＝∠AEO，∴AD＝AE＝EC＝．故答案为：．。
华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》章节测试含答案(4套).doc
第14章勾股定理一、选择题（共2小题〉1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 252.如图，在AABC 中，ZC二90° , AC=2,点 D 在BC±, ZADC二2ZB, AD=,则BC 的长为（）A. - 1B. +1C. - 1D. +1点E是AD的中点，且AE=1, BE的垂直平分线MN恰好过点C.则3.如图，矩形纸片ABCD中,矩形的一边AB的长度为（）A. 1B.C.D. 24. AABC中，AB二AC二5, BC二8,点P是BC边上的动点，过点P作PD丄AB于点D, PE丄AC于点E,则PD+PE的长是（）A. 4. 8B. 4. 8 或 3. 8C. 3. 8 D・ 55. 如图，在RtAABC中，ZBAC二90° , ZABC的平分线BD交AC于点D, DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.已知DC二8, AD二4,则图中长为4 的线段有（）A. 4条B. 3条C. 2条D・1条6.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC, DE±BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF 的中点，ZACD 二2ZACB.若DG二3, ECh ,则DE 的长为（）A. 2B.C. 2D.7. 在边长为正整数的AABC中，AB二AC,且AB边上的中线CD将AABC的周长分为仁2的两部分，贝OAABC面积的最小值为（）A. B・C・ D.8. 如图，AABC中，BC二AC, D、E两点分别在BC与AC上，AD丄BC, BE丄AC, AD与BE相交于F 点.若AD二4, CD二3,则关于ZFBD、ZFCD、ZFCE的大小关系，下列何者正确？（）A. ZFBD>ZFCDB. ZFBDVZFCDC. ZFCE>ZFCDD. ZFCEVZFCD9.如图，在RtAABC中，ZACB二90°，点D是AB的中点，且CD二，如果RtAABC的面积为1,则它的周长为（）10.如图，AABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D.则BD的长为（）A. B. C. D.二、填空题（共15小题〉门.如图，在AABC中，AB二BC二4, A0二BO, P是射线C0上的一个动点，ZA0C二60°,则当Z\PAB 为直角三角形时，AP的长为・12. 在AABC 中，AB=13cm, AC二20cm, BC 边上的高为12cm,则Z\ABC 的面积为 _____ cml13. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF, DF二4.设AB二x, AD=y,贝lj x?+ （y-4）'的值为 .14. 正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点.若APBE是等腰三角形，则腰长为—・15. 如图，在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为・16.如图，AABC中，CD丄AB于D, E是AC的中点.若AD二6, DE二5,则CD的长等于17. 等腰Z\ABC 中，AB二AC二10c叫BC=12cm,则BC 边上的高是cm.18. 已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为_・19. 如图，在等腰AABC中，AB=AC, BC边上的高AD二6cm,腰AB上的高CE二8cm,则Z\ABC的周长等于___ cm.20.如图，四边形ABCD 中，AB〃DC, ZB二90°,连接AC, ZDAC=ZBAC.若BC二4c叫AD二5c叫则AB 二cm.21.如图，点D在AABC的边BC上,ZC+ZBAD=ZDAC, tan Z BAD二AD 二,CD=13,则线段AC的长为22.如图，RtAABC 中，ZABC二90。
八年级数学上册《第十四章 勾股定理》单元测试卷及答案(华东师大版)
八年级数学上册《第十四章 勾股定理》单元测试卷及答案（华东师大版）一、选择题1．下列各组数据中是勾股数的是（ ）2．有一直角三角形纸片，∠C ＝90°BC ＝6，AC ＝8，现将∠ABC 按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则CE 的长为( )A ．7B ．74C ．72D ．43．在∠ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判断∠ABC 是直角三角形的是（ ）A ．a ＝32，b ＝42，c ＝52B ．a ＝b ，∠C ＝45° C ．∠A ：∠B ：∠C ＝6：8：10D ．a 3b 7，c ＝24．在∠ABC 中，已知4AB =，5BC =和41AC =）A ．∠ABC 是锐角三角形B ．∠ABC 是直角三角形且90C ∠= C ．∠ABC 是钝角三角形D ．∠ABC 是直角三角形且90B ∠=5．要说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”是假命题，能举的一个反例是（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ﹣3，b ＝2C ．a ﹣＝3，b ＝﹣1D ．a ＝﹣1，b ＝36．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是9cm ，则图中所有正方形的面积的和是（ ）A ．264cmB ．281cmC ．2162cmD ．2243cm8．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（ ）A ．同加一个相同的数B ．同减一个相同的数C ．同乘以一个相同的正整数D ．同时平方9．如图，在ABC 中AB AC =，点P 为ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC 且APB APC ∠≠∠求证：PB PC ≠用反证法证明时，第一步应假设（ ）A ．AB AC ≠ B ．PB PC = C ．APB APC ∠=∠D ．PBC PCB ∠≠∠10．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A 点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）A ．9B ．13C ．14D ．245π+ 二、填空题11．6，一条直角边长为1，则另一条直角边长为 . 12．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC 的度数为 度．13．反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设 .14．如图是某滑雪场U 型池的示意图，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘16AB CD ==，点E 在CD 上，4CE =一名滑雪爱好者从A 点滑到E 点时，他滑行的最短路程约为 （π取3）．三、解答题15．如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 平分BAC ∠，已知BC 10=，AD=12，求AC 的长.16．如图，在ABC 中，D 为AB 边上一点，已知AC=13，CD=12，AD=5，AB=BC ．请判断ACD 的形状，并求出BC 的长．17．求证：对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)18．一个零件的形状如图所示，按规定BAC ∠应为直角，工人师傅测得90ADC ∠=︒，AD=3，CD=4，AB=12，BC=13请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么．四、综合题19．如图，在ABC 中60BAC ∠=︒，45B ∠=︒且AD 是BAC ∠的平分线，且3AC =CH AB ⊥于点H ，交AD 于点O .（1）求证：ACD 是等腰三角形； （2）求线段BD 的长.20．如图，ABC 的三边分别为5AC =，12BC =和13AB =，如果将ABC 沿AD 折叠，使AC恰好落在AB 边上．（1）试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）求线段CD 的长．21．综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为243OC = 求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123S S S ，，，若12342S S S ++=，求2S 的值．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；B 、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，不符合题意；C 、92+122=152，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；D 、不是正整数，故不是勾股数，不符合题； 故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt∠ACB 中，AC=8，BC=6∴2222=68AC BC ++． 根据翻折不变性得∠EDA∠∠EDB ∴EA=EB∴在Rt∠BCE 中，设CE=x ，则BE=AE=8-x ∴BE 2=BC 2+CE 2 ∴（8-x ）2=62+x 2 解得x=74． 故答案为：B ．【分析】在Rt∠ACB 中，利用勾股定理算出AB ，根据折叠性质得EA=EB ，在Rt∠BCE 中，设CE=x ，则BE=AE=8-x ，利用勾股定理建立方程，求解可得x 的值，从而得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：A 、∵22337a b +=，2625c = ∴222+a b c ≠，不是直角三角形，故A 不符合题意；B 、 a ＝b ，∠C ＝45°∴∠A=∠B=180=67.5452︒︒-︒，不是直角三角形，故B 不符合题意；C 、∠A ：∠B ：∠C ＝6：8：10，解得∠C=180°×10=7524︒，不是直角三角形，故C 不符合题意； D 、 ∵2223277+==，∴是直角三角形，∠B 是直角，故D 符合题意故答案为：D ．【分析】A 、分别计算a 2+b 2和c 2的值，是否满足a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解；B 、由等边对等角可得∠A=∠B ，然后用三角形内角和定理可判断求解；C 、由三角形内角和定理并结合∠A 、∠B 、∠C 的比值计算即可判断求解；D 、分别计算a 2+b 2和c 2的值，是否满足a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知216AB =，225BC =和241AC =∵222AB BC AC +=∴ABC 是直角三角形，且90B ∠=︒ 故答案为：D ．【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
八年级数学上册第14章勾股定理测试题(新版)华东师大版
第14章勾股定理班级姓名第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，已知其两条直角边长a＝1，b＝3，那么斜边c的长为( D)A．2 B．4 C.8 D.102．下列各组线段能构成直角三角形的一组是( A)A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，63．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( A)A．∠A为直角 B．∠C为直角C．∠B为直角 D．不是直角三角形4．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：①∴∠B＋∠C＋∠A>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②∴∠B<90°；③假设∠B≥90°；④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( C)A．①②③④B．③④②①C．③④①②D．④③②①5．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40m/min，小红用15min到家，小颖用20min到家，小红和小颖家的直线距离为( C)A．600m B ．800mC．1000m D．不能确定6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，CB＝9，点M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为( C) A．6 B．7 C．8 D．97．如图是两个大小、形状相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A与A′重合，点C落在边AB上，连结B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.218．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AC的长是( C) A．4 B．3 C．2 3 D. 39．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为( B)A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm10．如图，将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b＞a)拼接在一起，则四边形ABCD的面积为( A)A．b2＋(b－a)2B．b2＋a2C．(b＋a)2D．a2＋2ab第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，则AD＝__8__cm.12．如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′＝__13__cm__．13．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A__15__km.14．如图，某消防队员进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现最多只能靠近建筑物12m，即AD＝BC＝12m，此时建筑物中距离地面11.8m高的P处有一被困人员需要救援，已知消防云梯底部A距离地面2.8m，即AB＝2.8m，则消防车的云梯至少要伸长__15__m.15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(图1)，后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1＋S 2＋S 3＝12，则S 2的值为__4__．,图1) ,图2)16．在如图所示的圆柱体中，底面圆的半径是3π，高为4，BC 是上底面的直径，若一只小虫从点A 出发，沿圆柱体侧面爬行到点C ，则小虫爬行的最短路程是__5__．三、解答题(共52分)17．(6分)已知在△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b. (1)如果a ＝6，b ＝8，求c ； (2)如果a ＝12，c ＝13，求b ； (3)如果b ＝40，c ＝41，求a.解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2＝62＋82＝100， ∴c＝10.(2)∵b 2＝c 2－a 2＝132－122＝25， ∴b＝5.(3)∵a 2＝c 2－b 2＝412－402＝81， ∴a＝9.18．(6分)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，AD ＝25，若AC⊥BC，求证：AD∥BC.证明：∵AC⊥BC，∴AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝16. ∵在△ACD 中， AC 2＋AD 2＝16＋20＝36，CD 2＝36，∴AC 2＋AD 2＝CD 2，∴△ACD 为直角三角形， ∴AC⊥AD， ∴AD∥BC.19．(7分)如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，DE 是BC 的垂直平分线，DE 分别交BC 、AB 于点D 、E. (1)求证：△ABC 为直角三角形． (2)求AE 的长．答图(1)证明：∵△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，又∵42＋32＝52，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形． (2)解：连结CE ，如答图． ∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴EC＝EB.设AE ＝x ，则EC ＝BE ＝4－x.∴x 2＋32＝(4－x)2. 解得x ＝78，即AE 的长是78.20．(7分)甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，计算它们出发1.5小时后两船的距离．解：如答图所示，∵∠1＝75°，∠2＝15°，答图∴∠AOB＝90°，即△AOB 是直角三角形． ∵OA＝16×1.5＝24(海里)， OB ＝12×1.5＝18(海里)， ∴由勾股定理得，AB ＝OA 2＋OB 2＝242＋182＝30(海里)．答：它们出发1.5小时后两船的距离为30海里．21．(8分)如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，E 、F 分别是BG 、AC 的中点．(1)求证：DE ＝DF ，DE⊥DF；(2)连结EF ，若AC ＝10，求EF 的长． 解：(1)∵AD⊥BC 于D ， ∴∠BDG＝∠ADC＝90°. ∵BD＝AD ，DG ＝DC ，∴△BDG≌△ADC(S .A .S .)，∴BG＝AC.∵AD⊥BC 于D ，E 、F 分别是BG 、AC 的中点， ∴DE＝12BG ，DF ＝12AC ，∴DE＝DF.∵DE＝DF ，BD ＝AD ，BE ＝AF ，∴△BDE≌△ADF(S .S .S .)，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG ＋∠BDE＝∠BDG＝90°， ∴DE⊥DF. (2)∵AC＝10，∴DE＝DF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠EDF＝90°，∴EF＝DE 2＋DF 2＝52＋52＝5 2.22．(8分)如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，若AC ＝12，BC ＝5，CD ＝6.5.求证：△ABC 是直角三角形．答图证明：如答图，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连结BE. ∵AD＝BD ，CD ＝ED ，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC≌△BDE(S .A .S .)，∴BE＝AC ＝12，∴∠CAD＝∠DBE， ∴AC∥BE.在△BCE 中，∵BC 2＋BE 2＝52＋122＝169，CE 2＝4CD 2＝169，∴BC 2＋BE 2＝CE 2， ∴∠EBC＝90°. 又∵AC∥BE ，∴∠ACB＝180°－∠EBC＝90°， ∴△ABC 是直角三角形．23．(10分)我们运用图1中大正方形的面积可表示为(a ＋b)2，也可表示为c 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12ab ，即(a ＋b)2＝c 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12ab ，由此推导出一个重要的结论a 2＋b 2＝c 2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．图1图2图3(1)请你用图2(2002年国际数学家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c)．(2)请你用图3中的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：(x ＋2y)2＝x 2＋4xy ＋4y 2.解：(1)S 阴影＝4×12ab ，S 阴影＝c 2－(a －b)2，∴4×12ab ＝c 2－(a －b)2，即2ab ＝c 2－a 2＋2ab －b 2，则a 2＋b 2＝c 2. (2)如答图所示，答图大正方形的面积为x 2＋4y 2＋4xy ，也可以为(x ＋2y)2，则(x ＋2y)2＝x 2＋4xy ＋4y.。
华东师大版八年级数学上册《14.1 勾股定理》练习题及答案
华东师大版八年级数学上册《14.1 勾股定理》练习题及答案班级：姓名：学号：分数：一、选择题1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.5cm，9cm，12cmB.7cm，12cm，13cmC.30cm，40cm，50cmD.3cm，4cm，6cm2.由线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是( )A.＝7，b＝24，c＝25；B.a＝13，b＝14，c＝15；C.a＝54，b＝1，c＝34； D.a＝41，b＝4，c＝5；3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.14C.7D.7或254.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )A.8B.4C.6D.无法计算5.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.106.下列命题中，错误的是( )A.若x2＝5，则x＝5B.若a(a≥0)为有理数，则a是它的算术平方根C.化简（3－π）2的结果是π﹣3D.在直角三角形中，若两条直角边长分别是5，25，则斜边长为57.如下图中，边长k=5的直角三角形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A. 5 ＋1B.5﹣1C.﹣ 5 ＋1D.﹣5﹣19.如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )A.50B.62C.65D.6810.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是( )A.0B.1C. 2D. 3二、填空题11.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．12.如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式(a＋2b﹣60)2＋｜b﹣18｜＋｜c﹣30｜＝0，则△ABC的形状是.13.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以A，B为圆心，大于1 2 AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD 的长是.15.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边c＝8，直角边a＋b＝10，则此△ABC面积为 .16.如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角顶点P的坐标为(2，2)，一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点B的坐标 .三、作图题17.分别在以下网格中画出图形．(1)在网格中画出一个腰长为10，面积为3的等腰三角形．(2)在网格中画出一个腰长为10的等腰直角三角形．四、解答题18.已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1)如果a＝12，b＝5，求c；(2)如果a＝3，c＝4，求b；(3)如果c＝10，b＝9，求a.19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.20.如图，在△ABC中，AB＝17，BC＝21，AD⊥BC交边BC于点D，AD＝8，求边AC 的长.21.如图，四边形草坪ABCD中，∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m.(1)判断∠D是否是直角，并说明理由.(2)求四边形草坪ABCD的面积.22.已知,在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图，试说明MN2＝AM2＋BN2的理由．答案1.C.2.B.3.C4.A.5.B.6.A7.B.8.B9.A10.B11.答案为：24.12.答案为：直角三角形.13.答案为：等腰直角三角形.14.答案为：1.6.15.答案为：9；16.答案为：(0，2)，(0，0)，(0，4﹣22).17.解：(1)如图1所示：(2)如图2所示：18.解：(1)c＝a2＋b2＝122＋52＝13；(2)b＝c2－a2＝42－32＝7；(3)a＝c2－b2＝102－92＝19.19.解：(1)∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°；(2)∵AD⊥BC∴△ADC是直角三角形∵∠C＝45°∴∠DAC ＝45°∴AD ＝DC∵AC ＝2∴AD ＝ 2. 20.解：在Rt △ABD 中用勾股定理得BD 2＝AB 2﹣AD 2＝172﹣82＝225∴BD ＝15∴DC ＝6在Rt △ACD 中用勾股定理得AC 2＝AD 2＋DC 2＝100∴AC ＝10.21.解：(1)∠D 是直角，理由如下：连接AC∵∠B ＝90°，AB ＝24m ，BC ＝7m∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝242＋72＝625∴AC ＝25(m).又∵CD ＝15m ，AD ＝20m ，152＋202＝252，即AD 2＋DC 2＝AC 2 ∴△ACD 是直角三角形，或∠D 是直角.(2)S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC＝12•AB •BC ＋12•AD •DC＝234(m 2).22.证明：如图，作△AMC 的对称△PMC ，连接PN ；∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∠MCN＝45°∴∠A＝∠B＝45°，∠ACM＋∠BCN＝45°；由题意得：CP＝CA，∠ACM＝∠PCM(设为α) ∠MPC＝∠A＝45°；∵∠PCN＝45°﹣α，∠BCN＝45°﹣α∴∠PCN＝∠BCN；在△PCN与△BCN中PC＝BC，∠PCN＝∠BCN，NC＝NC∴△PCN≌△BCN(SAS)∴BN＝PN，∠NPC＝∠B＝45°∴∠MPN＝90°；由勾股定理得：MN2＝MP2＋NP2∵AM＝MP，BN＝NP∴MN2＝AM2＋BN2．。
华师大版八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案
华师大版八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中，点()1,2P 到原点的距离是( ) A.1 B.13 C.5 D.22.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离AB 是( )米. A.6 B.7 C.8 D.93.如图，已知正方形A 的面积为3，正方形B 的面积为4，则正方形C 的面积为( )A.7B.5C.25D.14.如图，点C 所表示的数是( )A.5B.3-C.5-D.55.已知钓鱼杆AC 的长为10米，露在水上的鱼线BC 长为6m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B C ''长度为8米，则BB '的长为( )A.4米B.3米C.2米D.1米6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A.20dmB.25dmC.30dmD.35dm 7.已知ABC △的三边分别为a ，b ，c ，且()2724250a b c --+-=，则ABC △的面积为( )A.30B.84C.168D.无法计算8.如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，AB=5，BC=3，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交，AC 于点E ，F ，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为( )A.35B.34C.43D.539.如图，线段AB 是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C 处安装一个监控装置，对主干道AB 进行监控，已知30m AC = 40m BC = AC BC ⊥监控的半径为30m ，路段AD 在监控范围内，路段BD 为监控盲区，则BD 的长为( )ABA. B. C.16mD.20m10.如图，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB=5，AC=12，BD 平分ABC ∠交边AC 于点D ，点E 、F 分别是边BD 、AB 上的动点，当AE EF +的值最小时，最小值为( )A.6B.125C.6013D.12013二、填空题（每小题4分，共20分）11.在ABC △中90C ∠=︒ A ∠ B ∠ C ∠对应的边分别为a ，b ，c ，若3c =，则²²²a b c ++=____________.12.如图5AB AC ==，BC=6，AD BC ⊥于D ，则AD =_____.13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺.问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B 离原处竹子C 的距离BC 为3尺，则原处还有竹子AC =______尺.(请直接写出答案，注：1丈10=尺.) 12m 14m14.如图,在四边形ABCD 中 已知3AB = 4AD = 12BC = 13CD = 90A ∠=︒ 则四边形ABCD 面积是______.15.如图,在ABC 中,点D 为BC 的中点 5AB = 3AC = 2AD = 则ABC 边BC 上的高为______.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度1m DE =，将它往前推送4m （水平距离4m BC =）时，秋千的踏板离地的垂直高度3m BF =，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.17.（8分）已知如图：AB BC ⊥ DC BC ⊥ AE DE ⊥ 且12AE = 3CD = 4CE = 求：AD 的长.18.（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地且距离旗杆底部A处4m.(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？=，点D是边BC上的一点，连接AD. 19.（10分）如图，ABC是等腰三角形，AB AC(1)若ABC的周长是32，CD=6，点D是BC的中点，求AD的长；BD=，AD=12，AB=15，求ABC的面积.(2)若920.（12分）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，BD=米如图，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上.经测量，24AD=米，10△的面积；（1）求ABD（2）求小路DE的长.21.（12分）如图，ABC △中90ABC ∠=︒ 25cm AC = 15cm BC =（1）设点P 在AB 上，若 PAC PCA ∠=∠.求AP 的长；（2）设点M 在AC 上.若MBC △为等腰三角形，求AM 的长.参考答案及解析1.答案：C解析：点(1,2P 到原点的距离是22125+=.故选：C.2.答案：C解析：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段AB 构成的直角三角形的斜边又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米∴221068AB =-=米故选：C.3.答案：A解析：正方体A 的面积为3，正方体B 的面积为4∴正方体C 的面积347=+=故选：A.4.答案：C解析：根据勾股定理得：2222125AB OA OB =+=+=5AC AB ∴==∴点C 表示的数是15-.故选：C.5.答案：C解析：在Rt ABC △中10m AC = 6m BC =22221068(m)AB AC BC ∴=-=-=在Rt AB C ''△中10m AC '= 8m B C ''=226(m)AB AC B C ''∴=-=862(m)BB AB AB ''∴=-=-=故选:C.6.答案：B解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x dm由勾股定理得：()22222023325x =++⨯⎦=⎡⎤⎣ 解得.故选B.7.答案：B解析:()2724250a b c -+-+-=70a ∴-= 240b -= 250c -=7a ∴= 24b = 25c =()233dm +⨯25x =2222724625a b +=+= 2225625c ==222a b c ∴+=ABC ∴△是直角三角形ABC ∴△的面积12ab = 1724842=⨯⨯= 故选:B.8.答案：D解析：作DM AB ⊥于M由题意知AD 平分BAC ∠DC AC ⊥CD DM ∴= 90C ∠=︒ 5AB = 3BC =224AC AB BC ∴=-=ABC △的面积ACD =△的面积ABD +△的面积111222AC BC AC CD AB MD ∴⋅=⋅+⋅4345CD CD ∴⨯=+43CD ∴=45333BD BC CD ∴=-=-=. 故选：D.9.答案：B解析：如图，过点C 作CE AB ⊥于E∵AC BC ⊥∴90ACB ∠=︒ ∴()2222304050m AB AC BC =+=+=∵∴∵监控的半径为∴∴∵ ∴∴∴在中，由勾股定理，得()2222302418m AE AC CE =-=-=∴236m AD AE ==∴()503614m BD AB AD =-=-=.故选：B.10.答案：C解析：如图所示，在BC 边上截取BG BF =，连接EG ，过点A 做AH BC ⊥交于点HCE AB ⊥90AEC BEC ∠=∠=︒30m 30m AC DC ==2AD AE =Rt 1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△304050CE ⨯=304050CE ⨯=24m CE =Rt ACE △∵BD 平分ABC ∠∴FBE GBE ∠=∠∵BG BF = BE BE =∴BGE BFE ≌△△∴EF EG =∴AE EF AE EG +=+当且仅当A 、E 、G 共线，且与BC 垂直时，AE EF +的值最小，即BC 边上的垂线段AH ∵5AB = 12AC = 90BAC ∠=︒ ∴2213BC AB AC =+= ∵1122ABC S AB AC BC AH =⋅=⋅△ ∴. ∴当的值最小时，最小值为. 故选：C.11.答案：18解析：90C ∠=︒ 3c =2229a b c +==2²²²218a b c c ++==故答案为：18.12.答案：4解析：∵5AB AC == AD BC ⊥ 6BC = ∴132BD CD BC === ∴224AD AB BD =-=.故答案为：4.13.答案：9120解析：设折断后的竹子AC 为x 尺，则斜边AB 为(10)x -尺 512601313AB AC AH BC ⋅⨯===AE +6013在Rt ABC △中，根据勾股定理得:2223(10),x x +=-解得:9120x = 故答案为:9120. 14.答案：36解析：如图，连接BD由勾股定理得225BD AB AD =+=∵22251216913+==∴222BD BC CD +=∴BCD △是直角三角形90CBD ∠=︒∴11345123622ABD BCD ABCD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=四边形△△故答案为：36.15.答案：61313 解析：如图，延长AD 到E ，使得2DE AD ==，连接BE ，作AF BC ⊥于点F 则24AE AD ==.∵点D 为BC 的中点∴CD BD =在ADC △和EDB △中AD ED ADC EDBCD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ADC EDB ≌∴3BE CA ==∴22223425BE AE +=+=∵22525AB ==∴222BE AE AB +=∴90E ∠=︒ ∴132BDE SBD DE =⋅= 22223213BD BE DE =+=+=∴3ADC BDE S S == 13CD BD ==∵AF BC ⊥ ∴12ADC AF S ⋅= 即1332AF = ∴61313AF =. 故答案为：61313 16.答案：5m 解析：3m CE BF == 1m DE =312m CD CE DE ∴=-=-=在Rt ACB △中222AC BC AB += 4m BC =设秋千的绳索长为m x ，则()2mAC x =-故2224(2)x x =+-解得：5x =答：绳索AD 的长度是5m.17.答案：13AD =解析：∵DC BC ⊥，∴90C ∠=︒∴在Rt DCE △中，根据勾股定理得：2222345DE DC CE =+=+=∵AE DE ⊥∴90AED ∠=︒∴在Rt ADE △中，根据勾股定理得：222251213AD DE AE =+=+=.18.答案：(1)旗杆在距地面3米处折断(2)距离旗杆底部周围6m 范围内有被砸伤的危险解析：(1)由题意可知，8m AC BC +=，设m AC x =，则()8m BC x =-. 90A ∠=︒ 4m AB =222AB AC BC ∴+= 即2224(8)x x +=-，解得3x =3m AC ∴= 5m BC =故旗杆在距地面3米处折断.(2)如图，若大风将旗杆从点D 处吹断，旗杆顶部B 落到B '处. D 点距地面的高度为()3 1.25 1.75m AD =-=()8 1.75 6.25m B D ∴=-='()226m AB B D AD ∴-'==' ∴距离旗杆底部周围6m 范围内有被砸伤的危险.19.答案：(1)8(2)108解析：（1）因为点D 是BC 的中点，CD=6，所以12BC =. 因为ABC 的周长是32，AB=AC ，所以()132102AB AC BC ==-=. 因为ABC 是等腰三角形，AB=AC ，点D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥. 在Rt ACD 中，AC=10，CD=6，所以228AD AC CD =-=.（2）因为BD=9，AD=12，AB=15所以22291215+=，即222BD AD AB +=，所以90ADB ∠=︒. 因为AB AC =，所以9BD CD ==所以18BC = 所以112181082ABC S =⨯⨯=△. 20.答案：（1）()2120米（2）小路的长为725米 解析：（1）26AB =米，24AD =米222AB BD AD ∴=+90ADB ∴∠=︒ABD S ∴△12BD AD =⋅⋅210242=⨯⨯()2120=米. 答：ABD △的面积是()2120米.（2）由（1）知，90ADB ADC ∠=∠=︒AC 比DC 长12米12AC CD ∴=+.由勾股定理知：222CD AD AC +=，即()2222412CD CD +=+. 18CD ∴=米.30AC ∴=米DE AC ⊥1722ADC S AD CD ∴=⋅=△241872305AD DC DE AC ⋅⨯∴===（米）. 答：小路的长为725米. 21.答案：（1）1258 （2）10，7 252 解析：（1）ABC △中90ABC ∠=︒ 25cm AC = 15cm BC = ∴2222251520AB AC BC =-=-=PAC PCA ∠=∠PA PC ∴=设PA PC x == 则20PB x =-在Rt PBC △中222PB BC PC +=即()2222015x x -+= 解得1258x =即1258PA =.（2）MBC △为等腰三角形 ∴①当BC CM =时，此时有：∴251510AM AC CM =-=-=；②当BC BM =时，此时： 如下图过B 作BN AC ⊥1122ABC S AC BN AB BC ∴=⋅=⋅⋅△∴12BN =∴222BN CN BC +=即2221215CN +=∴9CN =∴218CM CN ==∴25187AM =-=；③当BM CM =时 ∴MBC MCB ∠=∠又90MBC ABM ∠+∠=︒ 90MCB BAC ∠+∠=︒ ∴BAC ABM ∠=∠ ∴AM BM = ∴12522AC AM CM ===.。
八年级数学上册 14.1勾股定理同步练习 华东师大版
14.1勾股定理一、课内训练:1．在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2; C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB22．填空:（1）一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_______；（2）在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______，• AB 边上的高为________；（3）若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______．3．判断题:（1）三角形三边长分别为7、24、25，则这个三角形的面积为168；（）（2）三角形的三边长分别为9、16、25，则此三角形为直角三角形；（）（3）若三角形三边长分别为n-1、n、（n+1）（n>1），则此三角形为直角三角形（） 4．三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______．6．如图，设火柴盒ABCD的两边之长为a与b，对角线长为c，推倒后的火柴盒是AB′C′D′，试利用该图验证勾股定理的正确性．7．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，如图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）8．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，•求四边形ABCD的面积．（提示：直角三角形中，30°角所对边是斜边的一半）9．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题．2+1=2，S1=22+1=3，S2=2；2+1=4，S3=2；…（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．二、课外演练：1．若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（ ） A ．2：3：4 B ．3：4：6 C ．5：12：13 D ．4：6：72．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（• ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．123．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（ ） A ．13：12 B ．169：25 C ．13：5 D ．12：5 4．在下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ） A ．0.2，0.4，0.5 B ．6，8，10 C ．4，5，6 D ．34,55，255．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，•小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（• ） A ．0.7米 B ．0.8米 C ．0.9米 D ．1.0米6．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______． 7．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．8．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm ，12cm ，•13cm ，•则这个花坛的面积是________．9．已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足（a-5）2+（b-12）2+c 2-26c+169=0，则△ABC 是（ ） A ．以a 为斜边的直角三角形 B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形 10．矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式BCA C 'E DF折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．11．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_________．A B C D12．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．13）如图，在一次夏令营活动中，•小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了米到达B点，然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．14．阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、•阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=12（m2-1）和c=12（m2+1）是勾股数．方法2：若任取两个正整数m和n（m>n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，•各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．15．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），•根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，•试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．答案:一、课内训练:1．B 点拨：BC是斜边，在应用勾股定理时，应分清斜边和直角边．2．（1）12；（2）8 24 4.8点拨：两直角边的积=斜边×斜边上的高；（3）13．3．（1）×（2）×（3）×点拨：（1）是直角三角形，面积为12×7×24=84；（2）不能构成三角形；（3）中（n-1）2+n2≠（n+1）2．4．B 点拨：②③可构成直角三角形；①不能构成三角形；④不能构成直角三角形．5．8 点拨：此三角形为直角三角形．6．点拨：可看成火柴盒ABCD绕A点旋转90°后得到△AB′C′D′，有∠CAC′=•90°，△ACC′为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可．7．（1）是直角梯形；（2）因为S梯形=12（a+b）（a+b）=12（a+b）2，S=2×12ab+12c2=ab+12c2，所以12（a+b）2=ab+12c2，即a2+b2=c2．（3）如图所示．8．2点拨：延长AD 、BC 交于点E ，S 四边形ABCD =S △AEB -S △EDC ．9．（1）2+1=n+1，S n =2；（2）OA 1055(3)4．二、课外演练： 1．C2．C 点拨：设斜边长为x ，有x 2=（x-2）2+62，x=10．3．C 点拨：设两直角边为5x ，12x ．4．B5．A ．6．5点拨：分4为斜边长和直角边长解．7点拨：设直角边长为x ，有x 2+x 2=22，8．30cm 2点拨：此三角形为直角三角形，且两直角边长分别为5cm ，12cm ． 9．C 点拨：把c 2-26c+169变为（c-13）2，则（a-5）2（b-12）2，（c-13）2都是非负数，它们和为0， 即（a-5）2=0，（b-12）2=0，（c-13）2=0， 所以a=5，b=12，c=13，有c 2=a 2+b 2． 10．295点拨：设DE=x ，则DE=BE=x ，AE=AB-BE=10-x ； 在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2， 所以x 2=（10-x ）2+16，即x=295． 11．A A 不是直角三角形，B 、C 、D 是直角三角形 点拨：先观察得出A•不是直角三角形，对于其他三角形，设每一个小正方形边长为1，利用勾股定理求出各三角形的边长，再验证． 12．解：设BD=x ，则CD=14-x ，在Rt △ABD 中，AD 2+x 2=132， 在Rt △ADC 中，AD 2=152-（14-x ）2， 所以有132-x 2=152-（14-x ）2，解得x=5，在Rt △ABD 中，．13．解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．因为∠NBC=30°，所以∠ABC=90°．在Rt△ABC中，=（米）．14．（1）方法1c-a=12（m2+1）-m=12（m2-2m+1）=12（m-1）2>0，c-b=1>0，所以c>a，c>b．而a2+b2=m2+[12（m2-1）] 2=（14m4-2m2+1）+m2=14（m4+2m2+1）=[12（m2+1）] 2=c2，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．同理可证方法2．（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．（3）120．15．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2．证明：①当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2．②当△ABC是钝角三角形时，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD•为x，•则BD2=a2-x2．根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．即b2+2bx+x2+a2-x2=c2．∴a2+b2+2bx=c2．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2<c2．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14.1 勾股定理
专题一勾股定理与方程
1. 如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）
A．6 B．3 C．23 D．3
2. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝米时,有
DC2＝AE2＋BC2.
专题二构造直角三角形
3. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．
4. 如图所示，在△ABC中，已知AB=13cm，AC=5cm，BC边上的中线AD=6 cm，求BC.
5. 如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.
专题三勾股定理中的分类讨论思想
6. 在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．
7. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.
8. 在△ABC中， AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
状元笔记
【知识要点】
1. 勾股定理：
如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=.
2. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边a ，b ，c ，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.
【温馨提示】
在直角三角形中知道任意两边都可以利用勾股定理求出第三边.
【方法技巧】
1. 当图形中没有直角三角形时，有时可以通过作高构造直角三角形.
2. 判定一个三角形是直角三角形有两种方法：①借助三角形内角和求出一个角是直角；②利用勾股定理的逆定理.
参考答案
1. C 【解析】 由折叠可知BD =BA =6，DE =AE .∵BC =3，∴CD =BC =3，∴BE =DE =AE ，由勾股定理可得AC =33DE =AE =BE =x ，在Rt △BCE 中，32＋()233x =x 2
，解得x =3DE
的长度为23. 2. 143 【解析】 因∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC＝6米，所以AC ＝12米.设当AE 为 x 时，所以EC ＝12－x ，由DC 2＝AE 2＋BC 2.及DC 2＝DE 2＋EC 2，所以有22＋（12－x ）2＝x 2＋36，解
得：x ＝14
3.
3. 解：过C 作CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.
∵∠B ＝45°，
∴∠BCD ＝∠B ＝45°.
∴CD ＝BD .
∵∠A ＝30°，AC ＝23，
∴CD ＝3，
∴BD ＝CD ＝3.
由勾股定理得：AD ＝22AC CD -＝3，
∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.
答：AB 的长是3＋3．
4. 解：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.在△ADC 与△EDB 中.
∵AD=ED ，∠ADC=∠EDB ，CD=BD ，
∴△ADC ≌△EDB ，∴EB=AC=5cm.
在△AEB 中，
∵AB=13cm ，EB=5 cm ，AE=2AD=12 cm ，
∴222AB EB AE =+，
∴∠E=90°.
在Rt △BED 中，由勾股定理得2261BD EB DE +=，
∴61
5. 解：连结AC.设AB 、BC 、CD 、DA 分别为2x ，2x ，3x ，x ，则222222
8,,9AC x AD x CD x ===， ∴222AC AD CD +=，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=90°+45°=135°.
6. 433或43或4 【解析】 （1）如图①，当AB=AC 时， ∵∠A=30°， ∴CD=
12AC=12×8=4；
（2）如图②，当AB=BC 时，则∠A=∠ACB=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=1=42
BC ， ∴22BC BD -3
（3）如图③，当AC=BC 时，则AD=4.
设CD=x ，则AC=2x. 则
2222)4x x -=（，解得433433
3或4． 7. 42或32 【解析】 当△ABC 是锐角三角形时，如图①，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=14,此时当△ABC 的周长为15+13+14=42.
当△ABC 是钝角三角形时，如图②，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=9-5=4,此时当△ABC
的周长为15+13+4=32.
8. 解：∵AC=4，BC=2，AB=5
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
易证△ACB≌△BED，易求10
如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，易求13如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．易证△AFD≌△DEB，易求2.
∴CD的长为10132.。