8.5一元线性回归分析案例
一元线性回归案例分析
ˆ 0 135 .31 是样本回归方程的截距，它表示不受可支 配收入的影响的自发消费行为。
参数估计量的符号和大小，均符合经济理论及南通市的 实际情况。
第三步 评价模型——统计检验
r2=0.98，说明总离差平方和的98%被样本回归直线解 释，仅有2%违背解释。因此，样本回归直线对样本点 的拟合优度是很好的。 F=786.13﹥F0.05(1,17)=4.45，总体线性显著。 给出显著水平α=0.05，查自由度ν =19-2=17的t分布， 得临界值t0.025（17）=2.11， t0=5.47﹥t0.025（17）, t1=28.04 ﹥t0.025（17）， 故回归系数均显著不为零，回归模型中应包含常数项， X对Y有显著影响。
￥849.8 ￥1,035.3 ￥974.7 ￥1,200.9
82 ￥488.1 ￥566.8 89 ￥718.4 ￥821.0 95 ￥1,041.0 ￥1,289.8 83 ￥509.6 ￥591.2 90 ￥767.2 ￥884.2 96 ￥1,099.3 ￥1,432.9 84 ￥576.4 ￥700.0 91 ￥759.5 ￥903.7 97 ￥1,186.1 ￥1,539.0 85 ￥654.7 ￥744.1 92 ￥820.3 ￥984.1 98 ￥1,252.5 ￥1,663.6 86 ￥755.6 ￥851.2
ห้องสมุดไป่ตู้
从以上的评价可以看出，此模型是比较好的
第四步 预测应用
1.
2.
假如给出1999年、2000年南通的人均可支 配收入（1980年不变价格）分别为 X99=1763元，X00=1863元，求1999年、 2000年人均消费性支出预测值？ 假如2001——2004年的人均可支配收入未 知，你能预测2001——2004年的人均消费 性支出吗？如何预测？
统计案例(精讲)(提升版)(原卷版)
8.5 统计案例（精讲）（提升版）思维导图考点一独立性检验【例1】（2022·吉林·梅河口市第五中学高三开学考试）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了100名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99.5%的把握认为“文科方向”与性别有关？理科方向文科方向总计男40女45考点呈现例题剖析总计 1001人，共抽取4次，记被抽取的4人中“文科方向”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考临界值：()2P k αχ=0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【一隅三反】1．（2022·白山模拟）十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为118，119，120．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．()2P K k≥0.0500.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828（①P①100X（2）某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．甲型号乙型号合计满意不满意合计2．（2022·陕西咸阳·三模（理））2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占35，统计后得到如下22⨯列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时 17 20 线上销售时间不足8小时合计45售时间有关？(2)按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X ，求X 的分布列和数学期望． 附： ()20P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.841 6.635 10.828参考公式：()()()()2 n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．考点二 线性回归方程【例2-1】（2022·齐齐哈尔模拟）某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y （单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：月份（x ）5 6 7 8 日平均用电量（y ）1.93.4t7.11.7877ˆ.0y x =-t 的值为（ ）A ．5.8B ．5.6C ．5.4D ．5.2【例2-2】（2022·湖南模拟）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价x （元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （万件）908483807568附：参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()iii ii 1i 1222iii 1i 1ˆnnx x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：614066i ii x y==∑，621434.2i i x ==∑.（1）（i ）根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程；（ii ）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润.（2）为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾客中随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有300人，基本满意的有50人，不满意的有50人.为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.（视频率为相应事件发生的概率）【一隅三反】1．（2022·安徽三模）对某位同学5次体育测试的成绩（单位：分）进行统计得到如下表格：第x 次 1 2 3 4 5 测试成绩y3940484850根据上表，可得关于的线性回归方程为ˆ3ˆy x a =+，下列结论不正确的是（ ）A ．ˆ36a= B ．这5次测试成绩的方差为20.8 C ．y 与x 的线性相关系数0r < D ．预测第6次体育测试的成绩约为542．（2022·安徽模拟）新冠疫情期间，口罩的消耗量日益增加，某药店出于口罩进货量的考虑，连续9天统计了第i (i 1239)x =，，，，天的口罩的销售量i y （百件），得到的数据如下：99i i i=1i=145171x y ==∑∑，，()99922ii i i i=1i=1i=1312528510953x x y y y ==-=∑∑∑，，． 参考公式：相关系数()()()()iii=122iii=1i=1nnnx x y y r x x y y --=--∑∑∑数据()i i ()i 123x y n =，，，，，，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()iii i1222i i11ˆˆˆnn i inni i x x y y x y nxybay bx x x xnx ===---===---∑∑∑∑， （1）若用线性回归模型ˆˆˆybx a =+拟合y 与x 之间的关系，求该回归直线的方程； （2）统计学家甲认为用（1）中的线性回归模型（下面简称模型1）进行拟合，不够精确，于是尝试使用非线性模型（下面简称模型2）得到i x 与i y 之间的关系，且模型2的相关系数20989r =．，试通过计算说明模型1，2中，哪一个模型的拟合效果更好． 3．（2022·湖南模拟）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价x （元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （万件）908483807568附：参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()iiiii 1i 1222iii 1i 1ˆnnx x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：614066i ii x y==∑，621434.2i i x ==∑.（1）（i ）根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程；（ii ）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润.（2）为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾客中随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有300人，基本满意的有50人，不满意的有50人.为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望.（视频率为相应事件发生的概率）考点三非线性回归方程【例3】（2022·福建·三明一中模拟预测）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表年份20172018201920202021编号x12345企业总数量y（单位：千个） 2.156 3.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，y a bx=+与e dxy c=（其中 2.71828e=…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求y关于x的回归方程；(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；①每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；①在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙的概率为13，乙胜丙的概率为35，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：5174.691i i y ==∑，51312.761i i i x y ==∑，5110.980i i z ==∑，5140.457i i i x z ==∑（其中ln z y =）． 附：样本(),(1,2,,)i i x y i n =的最小二乘法估计公式为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，ˆa y bx=-．【一隅三反】1．（2022·山西二模）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y3.984.565.045.866.36参考数据： 5.16y =， 1.68v =，145.10i ii v y==∑，其中i i v x =．参考公式：对于一组数据()11v y ，，()22v y ，，…，()n n v y ，，其回归直线ˆˆˆybv a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii ni i v y nvybv nv ==-=-∑∑，ˆˆay bv =-． （1）由上表数据可知，可用函数模型ˆˆyx a =拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（ˆa ，ˆb 的值精确到0.01）；（2）已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p ，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X ，若()()34P X P X ===，求X 的分布列与期望．2．（2022·广东广州·一模）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表. 月份x1 2 3 4 5 销售量y （万件）4.95.86.88.310.2该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：ˆv . (1)根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程（ˆu 的值精确到0.1）；(2)已知该公司的月利润z （单位：万元）与x ，y 的关系为z x x=，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.11 / 113．（2022·广东肇庆·二模）下表是我国从2016年到2020年能源消费总量近似值y （单位：千万吨标准煤）的数据表格： 年份2016 2017 2018 2019 2020 年份代号x1 2 3 4 5 能源消费总量近似值y （单位：千万吨标准煤） 442 456 472 488 498以x 为解释变量，y 为预报变量，若以11为回归方程，则相关指数210.9946R ≈，若以22ˆln ya b x =+为回归方程，则相关指数220.9568R ≈． (1)判断11ˆyb x a =+与22ˆln y a b x =+哪一个更适宜作为能源消费总量近似值y 关于年份代号x 的回归方程，并说明理由；(2)根据（1）的判断结果及表中数据，求出y 关于年份代号x 的回归方程．参考数据：512356i i y ==∑，517212i i i x y ==∑．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆn ni i i ii i n n ii i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．。
高二数学课件：8.5一元线性回归分析案例
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差 过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则 检查数据是否有误，或模型是否合适等。
案例2
一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现 收集了7组观测数据列于表中：
温度xoC 产卵数y/个 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n
2
i 1 n
i
i
x
i 1
2 i
nx
2
,
a y bx,......(1)
^
^ （4）写出直线方程为y=bx+a, 即为所求的回归直线方程。
应用：利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验
例1、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少 直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼 时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳 量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一 列数据，如下表所示： x（0.01%） y（min）
i 1
i
i
称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。
练习：
x y
关于x与y有如下数据：
2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
有如下的两个线性模型：
ˆ （1） y
6.5x 17.5
；（2）
ˆ 7 x 17. y
试比较哪一个拟合效果更好。
6、注意回归模型的适用范围：
（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据 来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。
估计参数
一元线性回归案例
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
2001-2006年中国集装箱吞吐量增长与外贸 额增长的弹性分析.以Y表示集装箱吞吐量 (百万标准箱),X表示外贸额(百亿美元). OLS回归方程为 Y=3.7667+0.509X (2.06) (31.78) t (5)=2.776 n=6 R^2=0.996
0.1
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
2001-2007年中国集装箱吞吐量增长与外贸 额增长的弹性分析.以Y表示集装箱吞吐量 增长率(%),X表示外贸额增长率(%). OLS回归方程为 Y=18.449+0.3155X (2.3982) (1.078) t (5)=2.015 n=7 R^2=0.1887
0.1
例4. 考试分数与出勤率
假如期末考试的分数(score)取决于出勤率 (attend)和影响考试成绩的其他无法观测因素 （如学生能力等）： score= β1+β2 attend+u 许多不加分析的回归发现： 这一回归中β2 〈0，即分数与出勤率负相关. 这一模型在什么情况下满足均值独立条件？ 除非学生学习能力、学习攻击、年龄及其他因素与 出勤率无关，但这几乎不可能.
例3. 静态菲利普斯曲线
时间序列数据 令inf(t)表示年通货膨胀率,unem(t)表示事业率, 下 列菲利普斯曲线假定了一个不变的自然失业率和 固定的通货膨胀率预期. Inf(t)=β1+β2 unem(t)+u 依据1948-1996年美国经济数据, OLS回归方程为 Inf(t)=1.42+0.468 unem(t) (1.72) (0.289) n=49 R^2=0.053
例5. 学校的数学成绩与学校午餐项目
一元线性回归分析—内容提要与案例
⼀元线性回归分析—内容提要与案例⼀元线性回归分析—内容提要与案例⼀.回归分析的基本概念1.函数关系与相关关系【相关关系】指变量之间确实存在的，但在数量上表现为不确定的相互依存关系.例如，⼈的体重y与⾝⾼x有关，⼀般⽽⾔，较⾼的⼈体重较重，但同样⾝⾼的⼈体重却不会完全相同；⼜如居民的储蓄存款额y与他的收⼊x有关，但同样收⼊的⼈储蓄存款额也不会相同.【函数关系】指变量之间确实存在的，且在数量上表现为确定性的相互依存关系.例如，圆的⾯积S与半径R有关，⼀旦半径R确定，则⾯积S可通过函数2=)fπ(RR求出，即2R=.Sπ函数关系往往通过具有不确定性的相关关系表现出来，⽽完全的相关关系必定是函数关系.2.相关关系的种类⑴按相关的⽅向划分【正相关】指两个变量按照相同的趋势变化.或者说某个现象的数量增加，另⼀个现象的数量也增加的现象.【负相关】指两个变量按照相反的趋势变化.或者说某个现象的数量增加，另⼀个现象的数量反⽽减少的现象.【零相关】指两个变量在数量上完全独⽴，在⼀定的形式下，互不影响，互不相⼲的关系.严格的讲，零相关不是“不相关”，因为事物的联系是绝对的，⽽独⽴是相对的，只有在某种形式下它才能互不影响，互不相⼲.⑵按相关形式划分【线性相关】指两个变量之间呈线性关系的相关.【⾮线性相关】指两个变量之间呈⾮线性关系的相关关系.⑶按变量多少划分【单相关】指两个变量之间的相关关系.【复相关】指两个以上的变量之间的相关关系.【偏相关】指在多个变量相关的场合，考察其中两个变量的相关关系（假定其他变量不变）.⑷按相关性质划分【真实相关】变量之间具有内在联系的相关关系.【虚假相关】变量之间只是表⾯存在、⽽实质上并没有内在联系的相关关系. 3.回归分析的⼀般概念“回归”⼀词由英国统计学家道尔顿提出.道尔顿在研究⼈的⾝⾼问题时，发现⽗母的⾝⾼与⼦⼥的⾝⾼有⼀定关系，⽗母⾼的⼦⼥反⽽矮⼀些，⽗母矮的⼦⼥反⽽⾼⼀些，他称这种返祖现象为回归.此后，回归分析泛指遵循道尔顿研究问题的思想和⽅法的⼀类统计分析⽅法.【回归分析的⽬的】建⽴变量之间相关关系的具体的数学表达形式，并藉此来探讨对因变量的预测问题.这不仅依赖变量之间相关程度的度量（需要相关分析的辅助），更依赖变量之间真实相关性的存在.然⽽，现象之间是否存在真实相关，必须根据有关专业领域的学科理论来确定.因此，回归分析必须要在定性分析前提下进⾏，不能进⾏纯数量的计算.⼆. ⼀元线性回归分析1.⼀元线性回归模型【模型的理论假设】设x 是⾃变量（⾮随机变量，其值是可以控制或精确测量），y 是因变量（随机变量，对给定的x 值不能事先确定y 的取值），则⼀元线性回归模型的理论假设是),0(~ ,2σεεβαN x y ++=.【模型的建⽴】求线性函数x Ey βα+=的经验回归⽅程x yβα+= 其中y是Ey 的统计估计，βα?,?分别是βα,的的统计估计，称为回归系数. 【模型的数据结构】设数据对n i y x i i ,,2,1 ),,( =是对变量对),(y x 的观测数据，则i i i x y εβα++=，称为⼀元样本回归⽅程，其中),0(~2σεN i ，n i ,,2,1 =且各个i ε相互独⽴. 2.模型参数α与β的最⼩⼆乘估计【参数估计的准则】定义（诸i y 回归到直线x Ey βα+=时的误差平⽅和）2112)())?((),(∑∑==--=-=ni i i ni i i x y yE y Q βαβα，求βα,使得 ),(min )?,?(,βαβαβαQ Q =，称βα,称为模型参数βα,的最⼩⼆乘估计，称 ii x y βα+= 为因变量(1,2,,)i y i n =的回归拟合值，简称回归值或拟合值.称i i i e y y=- 为因变量(1,2,,)i y i n =的残差.【参数估计的算法】记??=n y y y y=n x x x X 1 1121，???? ??=βα??A ，则⼀元线性回归的数据模型为XA y =，这是⼀个不相容线性⽅程组，当n X rank <=2)(时，其最⼩⼆乘解为()y X XX A T T 1-=.可以证明21)?( var , )?(σβββxxl E ==并且)0(?>=k kr xyβ. 221)?( var , )?(σααα???? ?+==xx l x n E ，其中∑==ni i x n x 11，∑=-=ni i xx x x l 12)(. 3.回归⽅程的显著性检验【显著性检验基本定理】定义∑=-=ni i y y SST 12)( ─总偏差平⽅和，⾃由度1-=n f T .∑=-=n i i y ySSR 12)?( ─回归平⽅和，⾃由度1=T f . ∑=-=ni i i yy SSE 12)?( ─残差平⽅和，⾃由度2-=n f T .则有⑴ SSE SSR SST +=. ⑵)2(~22-n SSEχσ⑶ SSE 与β相互独⽴. 【显著性检验基本⽅法】⑴⽅差分析（F 检验）检验假设0：H 变量y 对变量x 不存在线性相关关系（即0=β）.检验统计量及其分布在0H 为真时，SSR 与SSE 相互独⽴，)1(~2χSSR ，于是检验统计量)2,1(~)2/(--=n F n SSE SSRF .检验的显著性概率))2,1((F n F P p >-=.决策准则在显著性⽔平α下，当p >α时拒绝0H ，即认为回归⽅程有显著意义. ①当01.0⑵拟合程度测定可决系数（测定回归直线对各个观测点的拟合程度的统计量)SSTSSRr =2. 可决系数的解释① ]1,0[2∈r ，2r 的值越⼤（⼩），表明回归直线对各个观测点的拟合程度越⾼（低）；若12=r ，即0=SSE ，表明y 对x ⼏乎有确定的线性函数关系；若02=r ，即0=SSR ，表明y 对x 完全没有线性相关关系.② 2r r ±=的统计意义是数据向量T n y y y)?,,?,?(21 与T n y y y ),,,(21 的相关系数，其正负号与回归系数β的正负号相同. ⑶估计的标准误差定义2-=n SSEs 为变量y 对x 的最⼩⼆乘回归的估计标准误差.显然，s 的值越⼩，表明回归直线对各个观测点的拟合程度越⾼.注意，)2/(2-=n SSE s 是2σ的⽆偏估计. 4.利⽤回归⽅程进⾏预测【点预测】设0x 是⾃变量x 的预测值，则因变量y 的预测值为00?bx a y+=，是ε++=00bx a y的⽆偏估计.近似-，2-=n SSEs .因此，⑴ 0y 的0.95预测置信区间近似为)2? ,2?(00s y s y+-. ⑵ 0y 的0.99预测置信区间近似为)3? ,3?(00s y s y+-. 5.应⽤范例【例题1】我们知道营业税税收总额 y 与社会商品零售总额x 有关.为能从社会商品零售总额去预测税收总额，需要了解两者的关系.现收集了如下九组数据(表1).表1 社会商品零售总额与税收总额（单位：亿元）序号社会商品零售总额x营业税税收总额y1 2142.08 177.303.93 5.963 4 5 6 7 8 9 204.68242.88316.24341.99332.69389.29453.407.859.8212.5015.5515.7916.3918.45【⼀元线性回归的基本步骤·M A T L A B实现】⑴绘制数据散点图，直观分析建⽴⼀元线性回归模型的可⾏性clear,clfx=[142.08,177.30,204.68,242.88,316.24,341.99,332.69,389.29,453.40]';y=[3.93,5.96,7.85,9.82,12.50,15.55,15.79,16.39,18.45]';plot(x,y,'.'),lsline⑵求出⼀元线性回归模型参数的最⼩⼆乘估计X=[ones(length(x),1),x]; %构造系数矩阵aANDb=inv(X'*X)*X'*y %求模型参数aANDb =-2.26100.0487即求出的回归⽅程为x-=..2+261y049.0注释求模型参数的MATLAB计算也可⽤命令ab=(X'*X)\(X'*y).⑶对求出的回归⽅程进⾏F检验①计算各偏差平⽅和yy=-2.26+0.048678.*x; %计算模型模拟值ST=sum((y-mean(y)).^2); %计算总偏差平⽅和SR=sum((yy-mean(y)).^2); %计算回归平⽅和SE=sum((y-yy).^2); %计算剩余平⽅和②计算⽅差和F统计量的值VR=SR; %计算回归⽅差FE=length(x)-2; %计算SE的⾃由度VE=SE/FE; %计算剩余⽅差F=VR/VE; %计算F统计量的值③计算检验的显著性概率p值p=1-fcdf(F,1,FE);④判断回归⽅程的显著性if p<0.01h='**'; %⾼度显著elseif 0.01<=p<0.05h='*'; %显著elseh='[ ]'; %不显著⑤报告检验结果Name={'⽅差来源';'回归';'剩余';'总和'};SS={'偏差平⽅和';SR;SE;ST};FD={'⾃由度';1;FE;1+FE};FF={'F值';F;[];[]};PP={'p值';p;[];[]};XZX={'显著性';h;[];[]};ANOVA=[Name,SS,FD,FF,PP,XZX]ANOVA =Columns 1 through 4'⽅差来源' '偏差平⽅和 ' '⾃由度 ' '⽅差''回归' [ 203.4102] [ 1] [203.4102]'剩余' [ 7.9204] [ 7] [ 1.1315]'总和' [ 211.3284] [ 8] []Columns 5 through 7'F值' 'p值' '显著性'[179.7728] [3.0103e-006] '**'[] [] [][] [] []注释为⽅便今后的使⽤，已经将上述指令汇编为m函数⽂件b y k l r，调⽤这个函数即可⾃动完成上述全部⼯作. clearx=[142.08,177.30,204.68,242.88,316.24,341.99,332.69,389.29,453.40]';y=[3.93,5.96,7.85,9.82,12.50,15.55,15.79,16.39,18.45]';[aANDb,RR,VE,ANOVA]=byklr(x,y)aANDb =-2.26100.0487RR =0.9625VE =1.1315ANOVA =Columns 1 through 4'⽅差来源' '偏差平⽅和' ' ⾃由度 ' ' F值 ''剩余' [ 7.9204] [ 7] []'总和' [ 211.3284] [ 8] []Columns 5 through 6'p值 ' '显著性 '[3.0103e-006] '**'[] [][] []]关于这个函数的使⽤⽅法，可通过M A T L A B系统的在线帮助得到，运⾏下⾯的命令即可.doc byklr⑷利⽤回归⽅程进⾏预测现预测社会商品零售总额x=300亿元时的营业税的平均税收总额.①点预测YCDx=300;YCZy=aANDb(1)+aANDb(2)*YCDx;DYC=[{'预测点:',YCDx};{'预测值:',YCZy}]DYC ='预测点:' [ 300]'预测值:' [12.3423]即当社会商品零售总额为300亿元时营业税平均税收总额的预测值为12.3423亿元.②区间预测求社会商品零售总额为300亿元时营业税平均税收总额的概率为0.95（或0.99）的预测区间ALPHA=0.95;if ALPHA==0.95bykZXBJ=2*sqrt(VE);elseif ALPHA==0.99bykZXBJ=3*sqrt(VE);endQJYC=[{'置信⽔平:',ALPHA};{'预测下限:',YCZy-bykZXBJ};{'预测上限:',YCZy+bykZXBJ}]QJYC ='置信⽔平:' [ 0.9500]'预测下限:' [10.0794]'预测上限:' [14.6053]注释为⽅便今后的使⽤，已经将上述预测指令也汇编为m 函数⽂件b y k l r d o ，调⽤这个函数即可⾃动完成上述全部⼯作. [DYC,QJYC]=byklrdo(aANDb,VE,300,0.99)'预测点:' [ 300] '预测值:' [12.3423] QJYC ='置信⽔平:' [ 0.9900] '预测下限:' [ 9.1512] '预测上限:' [15.5335]doc byklrdo【线性回归分析·S t a t i s t i c s T o o l b o x 解决⽅案】1、S t a t i s t i c s T o o l b o x 线性回归分析函数介绍【函数名称】 regress 【函数功能】多元线性回归模型 ),0(~ ,2I N X y σεεβ+= 的建模分析. 【调⽤格式】b=regress(y,X)[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha) 【参数说明】输⼊参数X –p 元线性模型⾃变量的n 个观测值的n ×p 矩阵. y -p 元线性模型因变量的n 个观测值的n ×1向量. alpha –显著性⽔平(默认为0.05)，1-alpha 为区间估计的置信⽔平. 输出参数b -模型系数β的最⼩⼆乘估计值.bint -模型系数β的100(1-alpha)%置信区间.r -模型拟合残差.rint -模型拟合残差的100(1-alpha)%置信区间.stats -包含R2统计量、⽅差分析的F统计量的值、⽅差分析的显著性概率p值和2 的估计值.2、例题1（社会商品零售总额与税收总额问题）的r e g r e s s函数建模与分析X=[ones(length(x),1),x];[b,bint,r,rint,states]=regress(y,X)b =-2.26100.0487bint =-4.8794 0.35750.0401 0.0573r =-0.7251-0.40960.14760.2581-0.63291.16371.8564-0.2988rint =-2.7785 1.3282-2.7189 1.8997-2.2875 2.5828-2.2551 2.7714-3.1075 1.8417-1.0851 3.41250.0718 3.6410-2.6678 2.0702-2.9448 0.2258states =0.9625 179.7711 0.0000 1.1315如果需要对残差进⾏更直观的观察，可调⽤rcoplot函数，绘制按案例号排序的残差及其置信区间的误差条图.如rcoplot(r,rint)其中r和rint是regress函数的输出参数.。
一元线性回归案例
8.5一元线性回归案例一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
二、学习目标1、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。
2、过程与方法 本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R 的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。
3、情感、态度与价值观 通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。
加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。
教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。
体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。
培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。
三、教学重点、难点教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
四、教学策略： 教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
案例分析(一元线性回归模型)
案例分析报告（2014——2015学年第一学期）课程名称：预测与决策专业班级：电子商务1202学号：02学生姓名：陈维维2014 年11月案例分析（一元线性回归模型）我国城镇居民家庭人均消费支出预测一、研究目的与要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用，居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。
从理论角度讲，消费需求的具体内容主要体现在消费结构上，要增加居民消费，就要从研究居民消费结构入手，只有了解居民消费结构变化的趋势和规律，掌握消费需求的热点和发展方向，才能为消费者提供良好的政策环境，引导消费者合理扩大消费，才能促进产业结构调整与消费结构优化升级相协调，才能推动国民经济平稳、健康发展。
例如，2008年全国城镇居民家庭平均每人每年消费支出为元，?最低的青海省仅为人均元，最高的上海市达人均元，上海是黑龙江的倍。
为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。
影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。
为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。
二、模型设定?我研究的对象是各地区居民消费的差异。
居民消费可分为城镇居民消费和农村居民消费，由于各地区的城镇与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。
而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城镇居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。
所以模型的被解释变量Y选定为“城镇居民每人每年的平均消费支出”。
因为研究的目的是各地区城镇居民消费的差异，并不是城镇居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城镇居民的消费支出来建立模型。
因此建立的是2008年截面数据模型。
一元线性回归模型案例
第二章一元线性回归模型案例一、中国居民人均消费模型从整体上考察中国居民收入与消费支出的关系。
表给出了1990年不变价钱测算的中国人均国内生产总值（GDPP）与以居民消费价钱指数（1990年为100）所见的人均居民消费支出（CONSP）两组数据。
表中国居民人均消费支出与人均GDP（单位：元/人）年份CONSP GDPP年份CONSP GDPP19781990197919911980 19921981 19931982 19941983 19951984 19961985 19971986 19981987 19991988 200019891) 成立模型，并分析结果。
输出结果为：对应的模型表达式为：=+201.1070.3862CONSP GDPP20.9927,2859.23,0.55===R F DW从回归估量的结果能够看出，拟合度较好，截距项和斜率项系数均通过了t查验。
中国人均消费增加10000元，GDP增加3862元。
二、线性回归模型估量表给出黑龙江省伊春林区1999年16个林业局的年木材采伐量和相应砍木剩余物数据。
利用该数据（1）画散点图；（2）进行OLS回归；（3）预测。
表年剩余物y林业局名年木材剩余物y t（万m3）年木材采伐量x t（万m3）乌伊岭东风新青红星五营上甘岭友好翠峦乌马河美溪大丰南岔带岭朗乡桃山双丰合计（1）画散点图先输入横轴变量名，再输入纵轴变量名得散点图（2）OLS估量弹出方程设定对话框取得输出结果如图：由输出结果能够看出，对应的回归表达式为：ˆ0.76290.4043t t yx =-+20.9129,146.7166, 1.48R F DW === （3）x=20条件下模型的样本外预测方式 第一修改工作文件范围将工作文件范围从1—16改成1—17确信后将工作文件的范围改成包括17个观测值，然后修改样本范围将样本范围从1—16改成1—17打开x的数据文件，利用Edit+/-给x的第17个观测值赋值为20将Forecast sample选择区把预测范围从1—17改成17—17，即只预测x=20时的y的值。
案例分析报告(一元线性回归模型)
案例分析报告（2014——2015学年第一学期）课程名称：预测与决策专业班级：电子商务1202 学号： 2204120202 学生：维维2014 年 11月案例分析（一元线性回归模型）我国城镇居民家庭人均消费支出预测一、研究目的与要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用，居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。
从理论角度讲，消费需求的具体容主要体现在消费结构上，要增加居民消费，就要从研究居民消费结构入手，只有了解居民消费结构变化的趋势和规律，掌握消费需求的热点和发展方向，才能为消费者提供良好的政策环境，引导消费者合理扩大消费，才能促进产业结构调整与消费结构优化升级相协调，才能推动国民经济平稳、健康发展。
例如，2008年全国城镇居民家庭平均每人每年消费支出为11242.85元，最低的省仅为人均8192.56元，最高的市达人均19397.89元，是的2.37倍。
为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。
影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。
为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。
二、模型设定我研究的对象是各地区居民消费的差异。
居民消费可分为城镇居民消费和农村居民消费，由于各地区的城镇与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。
而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城镇居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。
所以模型的被解释变量Y选定为“城镇居民每人每年的平均消费支出”。
因为研究的目的是各地区城镇居民消费的差异，并不是城镇居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城镇居民的消费支出来建立模型。
一元线性回归模型案例
⼀元线性回归模型案例第⼆章⼀元线性回归模型案例⼀、中国居民⼈均消费模型从总体上考察中国居民收⼊与消费⽀出的关系。
表2.1给出了1990年不变价格测算的中国⼈均国内⽣产总值（GDPP）与以居民消费价格指数（1990年为100）所见的⼈均居民消费⽀出（CONSP）两组数据。
1) 建⽴模型，并分析结果。
输出结果为：对应的模型表达式为：201.1070.3862CONSP GDPP =+(13.51) (53.47) 20.9927,2859.23,0.55R F DW ===从回归估计的结果可以看出，拟合度较好，截距项和斜率项系数均通过了t 检验。
中国⼈均消费增加10000元，GDP 增加3862元。
⼆、线性回归模型估计表2.2给出⿊龙江省伊春林区1999年16个林业局的年⽊材采伐量和相应伐⽊剩余物数据。
利⽤该数据（1）画散点图；（2）进⾏OLS 回归；（3）预测。
表2.2 年剩余物y 和年⽊材采伐量x 数据（1）画散点图先输⼊横轴变量名，再输⼊纵轴变量名得散点图（2）OLS估计弹出⽅程设定对话框得到输出结果如图：由输出结果可以看出，对应的回归表达式为：0.76290.4043t t yx =-+ (-0.625) (12.11)20.9129,146.7166, 1.48R F DW === （3）x=20条件下模型的样本外预测⽅法⾸先修改⼯作⽂件范围将⼯作⽂件范围从1—16改为1—17确定后将⼯作⽂件的范围改为包括17个观测值，然后修改样本范围将样本范围从1—16改为1—17打开x的数据⽂件，利⽤Edit+/-给x的第17个观测值赋值为20将Forecast sample选择区把预测范围从1—17改为17—17，即只预测x=20时的y的值。
由上图可以知道，当x=20时，y的预测值是7.32，yf的分布标准差是2.145。
三、表2.3列出了中国1978—2000年的参政收⼊Y和国内⽣产总值GDP的统计资料。
一元线性回归模型案例
运用一元线性回归模型所做的预测0911554 经济系 XXX一．提出问题：对某市城镇居民年人均可支配收入X ，研究它与年人均消费性支出Y 之间的关系。
二．建立模型：消费性支出除受可支配收入的影响之外，还受到其它变量及随机因素的影响，将其它变量及随机因素的影响均归并到随机变量u 中； 根据X 与Y 的样本数据，可做二者的散点图：4005006007008009001,0001,1001,2001,300XY可知，二者变化趋势是线性的，由此建立两者之间的一元线性回归模型Y i =0β+1βX i +u i模型的假设条件：（1） 随机误差项u i 是随机变量，服从正态分布，且E(u i )=0，Var(u i )=2u σ；（2） (,)0i j Cov u u =，i≠j,即随机误差项u 无序列相关； （3） 解释变量X 与随机项u 不相关，即Cov(u i ,X i )=0。
三．估计结果：由样本观测数据（见附录1），样本回归模型为Y t =0ˆβ+1ˆβX t +e t 通过Eviews 软件估计一元线性回归模型，可得样本回归方程为ˆt Y=135.31+0.69X t （5.47）（28.04）， r 2=0.98括号内数字为回归系数对应的t 统计量的值。
（见附录2） 四．评价模型： （1）结构分析1ˆβ=0.69是样本回归方程的斜率，它表示该市城镇居民的消费倾向，说明年人均可支配收入每增加1元，将0.69元用于消费性支出；0ˆβ=135.31是样本回归方程的截距，表示不受可支配收入影响的自发消费行为。
1ˆβ和0ˆβ的符号和大小，均符合经济理论及目前该市的实际情况。
（2）拟合优度：r 2=0.98，说明总离差平方和的98%被样本回归直线解释，仅2%未被解释。
因此样本回归直线对样本点拟合优度很高。
五．预测：分别给出1999年、2000年该市人均可支配收入为X 1999=1763元，X 2000=1863元。
概率论与数理统计教程 第8章
MSe= Se/fe
总和
ST
fT=n1
对给定的，可作如下判断：
若F F1 (fA ,fe) ，则说明因子A不显著。 该检验的p值也可利用统计软件求出，若 以Y记服从F(fA ,fe)的随机变量，则检验的 p 值为 p=P(YF)。
如果 F >F1 (fA ,fe)，则认为因子A显著；
由定理8.1.2，若H0成立，则检验统计量F服从自由度为fA和fe的F分布，因此拒绝域为W={FF1 (fA ,fe)}，通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表。
表8.1.3 单因子方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
因子
SA
fA=r1
MSA= SA/fA
F＝ MSA/ MSe
误差
Se
第八章 方差分析与回归分析
§8.1 方差分析 §8.2 多重比较 §8.3 方差齐性分析 §8.4 一元线性回归 §8.5 一元非线性回归
§8.1 方差分析
8.1.1 问题的提出 实际工作中我们经常碰到多个正态总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法。
例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：
模型（8.1.3）可以改写为 (8.1.8) 假设（8.1.1）可改写为 H0 ：a1 =a2 =…=ar =0 （8.1.9）
8.1.5 参数估计
在检验结果为显著时，我们可进一步求出总均值 、各主效应ai和误差方差 2的估计。
一元线性回归例子
城镇居民家庭人均可支配收入与城市 人均住宅面积一元线性回归分析(MATLAB)-------- 袁来SCAU回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。
例如，人的血压y 与年龄x 有关，这里x 是一个普通变量，y 是随机变量。
Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定，故可设有：ε+=)(x f y （1） 式中f(x)称作回归函数，ε为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x无关的随机变量，我们常假定它是均值为0的正态变量。
为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n次独立观测，得x与y的n对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n，对f(x)作估计。
一、一元线性回归的数学模型在一元线性回归中，有两个变量，其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。
通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系：y=a+bx+ε (2) 通常认为 ε～N (0,σ2)且假设σ2与x无关。
将观测数据(x i ,y i )(i=1，……，n)代入(2)再注意样本为简单随机样本得：),0(,),,1(21σεεεN n i bx a y n i i i 独立同分布""=++= (3)称(2)或(3)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。
对其进行统计分析称为一元线性回归分析。
模型(3)中EY=a+bx，若记y=E(Y),则y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称a、b 为回归系数。
二、a、b 的最小二乘估计、经验公式现讨论如何根据观测值(x i ,y i )，i=1,2,……,n估计模型（9.2）中回归函数f(x)=a+bx中的回归系数。
采用最小二乘法，记平方和∑=−−=nt t t bx a y b a 12)(),(Q (9.5)找使Q(a.b)达到最小的a、b 作为其估计，即),(min )ˆ,ˆ(b a b aQ Q = 为此，令112[]02()0nt t t n t t t t Qy a bx a Qy a bx x b ==⎧∂=−−=⎪∂⎪⎪⎨⎪∂⎪=−−⎪∂⎩∑∑"=化简得方程组(称为模型的正规方程)解得ˆˆˆxy xx L b L ay bx ⎧=⎪⎨⎪=−⎩ (9.6) (9.6)所示的分别称为a、b 的最小二乘估计，式中 b aˆ,ˆ()∑∑∑===−=−=ni ni ni i ii xx x n x x x L 112122)(1∑∑∑==−=−−=n i n i ni ni i i i i xy y x n y x y y x x L 111))((1))((∑1称为经验回归(直线方程)，或经验公式。
一元线性回归模型案例分析
一元线性回归模型案例分析——各地区城镇居民家庭平均每人全年可支配收入对平均每人全年消费性支出的影响一、研究目的和要求居民消费在社会经济的持续发展中具有重要的作用。
居民适度的消费可以促进经济的循环以及经济的增长。
随着改革开放以来，人们生活水平不断提高，消费水平也不断提升。
研究居民消费性支出的变动有哪些因素的影响，其中城镇居民家庭的人均全年可支配收入和人均全年消费性支出数据相对较稳定，人均全年可支配收入是指人均全年收入扣除人均全年储蓄后的剩余部分，在人们满足储蓄要需求后，剩余部分收入与人均消费性支出有怎样的关系？不同地区的人均收入与人均消费性支出又存在着差异，为了研究人均消费性支出的变动运用计量经济学建立相关模型，并进行分析。
二、模型设定为了分析各地区城镇居民家庭人均全年消费性支出与城镇居民家庭人均全年可支配收入的关系，选择“城镇居民家庭人均全年消费性支出”（单位：元）为被解释变量（用Y 表示）；选择“城镇居民家庭人均全年可支配收入”（单位：元）为解释变量（用X表示）。
表一由国泰安数据库得到的各省2013年城镇居民家庭人均全年消费性支出和城镇居民家庭人均全年可支配收入数据。
代码 简称 统计年度 城镇居民家庭平均每人全年可支配收入（单位：元） 城镇居民家庭平均每人全年消费性支出（单位：元） 500000 重庆 2013 25216.1271 17813.8642 510000 四川 2013 22367.633 16343.4513 520000 贵州 2013 20667.0748 13702.8708 530000 云南 2013 23235.5268 15156.1494 540000 西藏 2013 20023.35 12231.86 610000 陕西 2013 22858.3719 16679.6872 620000 甘肃 2013 18964.7783 14020.7206 630000 青海 2013 19498.54 13539.5 640000 宁夏 2013 21833.33 15321.1 650000新疆201319873.7715206.16为分析城镇居民家庭人均全年消费性支出（Y ）与城镇居民家庭人均全年可支配收入（X ）的关系，此案例用EViews 软件做计量分析。
一元线性回归方程案例数据
一元线性回归方程案例数据一元线性回归方程案例数据8. 一个工厂在某年里每月产品的总成本（单位：万元）与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：则月总成本与月产量之间的线性回归方程为________.收藏 加入试题篮 题目有误 查看详解9. 某中学高一期中考试后，对成绩进行分析，从13班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表:则外语成绩对总成绩的回归直线方程是_______________________. 收藏 加入试题篮 题目有误 查看详解 三. 解答题 （本大题共5小题，共0分）10. 在国民经济中，社会生产与货运之间有着密切关系，下面列出1991—2000年中某地区货运量与工业总产值的统计资料：利用上述资料：(1)画出散点图；(2)计算这两组变量的相关系数； (3)在显著水平0.05的条件下，对变量与进行相关性检验；(4)如果变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线方程. 收藏 加入试题篮 题目有误 查看详解 11. 随机选取15家销售公司，由营业报告中查出其上年度的广告费(占总费用的百分比)及盈利额(占销售总额的百分比)列表如下：试根据上述资料：(1)画出散点图；(2)计算出这两组变量的相关系数；(3)在显著水平O.01的条件下，对变量x与y进行相关性检验；(4)如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；(5)已知某销售公司的广告费占其总费用的1.7％，试估计其盈利净额占销售总额的百分比.收藏 加入试题篮 题目有误 查看详解12. 商品零售商要了解每周的广告费及消费额(单位：万元)之间的关系，记录如下：利用上述资料：(1)画出散点图;(2)求销售额对广告费的一元线性回归方程；(3)求出两个变量的相关系数.收藏 加入试题篮 题目有误 查看详解13. 某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月收入的相关关系，随机抽取10户进行调查,其结果如下:利用上述资料：(1)画出散点图；(2)计算这两组变量的相关系数；(3)在显著水平0.05的条件下，对变量与进行相关性检验；(4)如果变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；(5)测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为多少元?收藏 加入试题篮 题目有误 查看详解14. 要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩(如下表)：(1)画出散点图；(2)计算入学成绩与高一期末考试成绩的相关关系；(3)对变量与进行相关性检验，如果与之间具有线性相关关系，求出一元线性回归方程；(4)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．。
8.5一元线性回归案例
------------必修三内容回顾------------
1、变量之间的两种关系---函数关系和相关关系
如：正方形的面积y与正方形的边长x之间的
函数关系是 y = x2
确定性关系
如：某水田水稻产量y与施肥量x之间没有一个 确定性的关系
在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下 所示的一组数据：
3
3
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x
2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃ 时，卖出的热茶杯数为 57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
------------线性回归模型------------
案例：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则 选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残 差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或 模型是否合适等。
相关系数
( yi y)2
i 1
小结
用身高预报体重时，需要注意下列问题： ——这些问题也使用于其他问题。 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性； 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。
3、身高 y 的观测误差。
以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟 合效果越好。
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i=1(xi -x)(yi -y)
n
(xi -x)2
i=1
=
i=1
xi
yi
-n xy
n
xi2-nx 2
i=1
,
aˆ=y-bˆ x.
其中x=
1 n
n xi i=1
,y=
1 n
n yi. i=1
(x , y ) 称为样本点的中心。
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系，因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量．
5、残差分析与残差图的定义：
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是 否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。
判断然原后始，数我据们中可是以否通存过在残可差疑e数$1据, e$，2 ,这L方,面e$n的来分判析断工模作型称拟为合残的差效分果析，。
表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
xi2
2
nx
,
i1
^
a y bx,......(1)
（4）写出直线方程为y^=bx+a,即为所求的回归直线方程。
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
应用：利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验
例1、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少 直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼 时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳 量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一 列数据，如下表所示：
(3)当x=160时,yˆ 1.267.160-30.51=172
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
5.如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？
在《数学3》中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量 之间线性相关关系的方法。
相关系数r
n
(xi x)( yi y)
我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：
^
^
a y b x,......(1)
n
n
y ^
(xi x)( yi y)
xi
nx y
i
b i1 n
(xi x)2
i 1 n
xi2
2
nx
,......(2)
i 1
i 1
其中x
1 n
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
比《数学3》中“回归”增加的内容
数学３——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法
的思想 3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程 解决应用问题
选修2-3——统计案例
5. 引入线性回归模型
y＝bx＋a＋e
6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因
x（0.01%） 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
y（min）
100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
（1）y与x是否具有线性相关关系；
（2）如果具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
i 1
.
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
当r [0.75，1], 表明两个变量正相关很强； 当r [1, 0.75], 表明两个变量负相关很强； 当r [0.25, 0.25], 表明两个变量相关性较弱。
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
8.5一元线性回归分析案例
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
数学３——统计内容
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1. 画散点图
2. 了解最小二乘法的思想
3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程解决应用问题
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
复习 变量之间的两种关系
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是
y = x2
确定性关系
问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否
有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上
进行施肥量对水稻产量影响的试验，得
到如下所示的一组数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
x 159.8, y 172,
x y x y 10
10
2 265448,
2
10
312350,
287640
i
i
ii
i1
i1
i1
10
xi yi 10x y
于是，r
i 1
0.9906.
10
(
xi2
2
10x )(
10
yi2
10
2
y
)
i 1
计算公式是：
n
n
( yi $yi )2
( $yi y)2
R2
1
i 1 n
i1 n
( yi y)2
( yi y)2
i 1
i 1
R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归
方程拟合的越差。
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
小结：回归分析的内容与步骤：
回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释 另一变量的变化。
其主要内容和步骤是：
首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变 量；
其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间 的关系；
由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行 统计检验；
统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、 预测因变量。
7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系
8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类
非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1、线性回归模型：
y=bx+a+e， (3)
y=bx+a+e， E(e)=0,D(e)= 2.
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
解：(1)列出下表,并计算
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
xiyi 10400 36000 39900 32745 22785 18090 25500 39155 47940 15125
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
y 水稻产量
500
450
· ·· y x
400
·
350 ···
300
施化肥量
10 20 30 40 50
x
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
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对于一组具有线性相关关系的数据 (x1, y1), (x2 , y2 ),..., (xn , yn ),
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
4、两个指标：
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作
ˆ 2 1
n
eˆ2
1
Q(aˆ,bˆ)(n 2)
n 2 i1
n2
为 2 的估计量， 2越小，预报精度越高。
（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其
(4)
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
2是、随数机据误点差和的它效在应回，归称直e$线i =上y相i 应$y位i 为置残的差差。异(yi $yi )
3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得
的值平方后加起来，用数学符号表示为：n ( yi $yi )2 i 1
称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。
1. 散点图；
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
2.回归方程： yˆ 0.849x 85.172 身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)