2014年江苏高考数学试卷及答案

顶点 B 的坐标为 (0, b ) , 连结 BF2 并延长交椭圆于点 A, 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另
一点 C, 连结 F1C.
(1) 若点
C
的坐标为æç è
4 3
,
1 3
ö
÷
ø
,
且
BF2
=
2 , 求椭圆的方程;
(2) 若 F1 C彝AB, 求椭圆离心率 e 的值. 18. ( 本小题满分 16 分)
摇摇
摇摇
摇 摇 摇 摇 摇 摇 ( 第 16 题) 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 ( 第 17 题) 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 ( 第 18 题)
17. ( 本小题满分 14 分)
如图,
在平面直角坐标系 xOy 中, F1 ,
F2
分别是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
>
b
>
0) 的左、右焦点,
DE椅PA,
DE =
1 2
PA = 3,
EF =
1 2
BC = 4.
又因为 DF = 5, 故 DF2 = DE2 +EF2 ,
所以蚁DEF = 90毅, 即 DE彝EF.
又 PA彝AC, DE椅PA, 所以 DE彝AC.
因为 AC疑EF = E, AC奂平面 ABC, EF奂平面 ABC,
所以 DE彝平面 ABC.
( 第 12 题)
x2 - 2x
+
1 2
. 若函数 y = f(x) - a 在区间[ -3, 4] 上有 10 个零点( 互不相同), 则实数 a
的取值范围是摇 银摇 .
14. 若吟ABC 的内角满足 sinA + 2 sinB = 2sinC, 则 cosC 的最小值是摇 银摇 .
二、 解答题:本大题共 6 小题, 共计 90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说
6. 24摇
7. 4摇
8.
3 2
— 17 —
9.
2
55 5
10.
æ çè
2 2
,
0
ö
÷
ø
11. -3
12. 22
13.
æç0, è
1ö ÷
2ø
14.
64
2
二、 解答题
15. 本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式, 考查运算求解能
力. 满分 14 分.
解:(1)
因为
琢沂
æ
ç
è
ïc îíïïax22
+ +
y
b y2 b2
= =
1, ìïïx1 得í
1, îïïy1
= =
2 a2
a2 +
c c2
,
b( c2 -a2 a2 + c2
)
,
x2 = 0, y2 = b.
所以点
A
的坐标为
æ
ç
è
2 a2
a2 +
c c2
,
b( c2 -a2 ) ö
a2 + c2
÷
ø
.
又
AC
垂直于
x
轴,
又 DE奂平面 BDE, 所以平面 BDE彝平面 ABC.
( 第 16 题)
17. 本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识, 考查运
算求解能力. 满分 14 分.
解:设椭圆的焦距为 2c, 则 F1( - c, 0), F2(c, 0).
(1) 因为 B(0, b) , 所以 BF2 = b2 + c2 = a. 又 BF2 = 2 , 故 a = 2 . 16 1
如图, 为保护河上古桥 OA, 规划建一座新桥 BC, 同时设立一个圆形保护区. 规划要求:
新桥 BC 与河岸 AB 垂直; 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥
两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m. 经测量, 点 A 位于点 O 正北方向
60
-
è
2
5
ö
÷
=
5ø
-
4 5
,
cos2琢 = 1
-
2
sin2 琢 = 1
-
2
伊
æ来自百度文库
ç
è
5 ö2
÷
5ø
=
3 5
,
所以
cos
æ5仔
ç
è6
-
2
琢
ö
÷
ø
= cos
56仔cos2琢
+
sin
56仔sin2琢
=
æ çè
3 2
ö
÷
ø
伊
3 5
+
1 2
伊
æ
ç
-
è
4 5
ö
÷
ø
=
-
4
+3 10
3.
16. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力
答题卡相应位置上. 踿踿踿踿踿踿踿踿 1. 已知集合 A = { -2, -1, 3, 4}, B = { -1, 2, 3}, 则 A疑B = 摇 银摇 .
2. 已知复数 z = (5 + 2i)2(i 为虚数单位), 则 z 的实部为摇 银摇 .
3. 右图是一个算法流程图, 则输出的 n 的值是摇 银摇 .
(2)若关于 x 的不等式 m f(x) 臆e- x + m - 1 在(0, +¥) 上恒成立, 求实数 m 的取值范围;
(3) 已 知 正 数 a 满 足: 存 在 x0 沂 [ 1, + ¥ ), 使 得 f (x0 ) < a ( - x30 + 3x0 ) 成 立. 试 比 较 ea-1 与 ae-1 的大小, 并证明你的结论.
20. ( 本小题满分 16 分)
设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若对任意的正整数 n, 总存在正整数 m, 使得 Sn = am, 则称{an}是“H 数列冶. (1) 若数列{ an} 的前 n 项和 Sn = 2n( n沂N*) , 证明:{ an} 是“ H 数列冶 ; (2)设{an}是等差数列, 其首项 a1 = 1, 公差 d < 0. 若{an}是“H 数列冶, 求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{an}, 总存在两个“H 数列冶{bn}和{cn}, 使得 an = bn + cn
由椭圆的对称性,
可得点
C
的坐标为
æ
ç
è
2 a2
a2 +
c c2
,
b( a2 -c2 a2 + c2
)
ö
÷
ø
.
因为直线
F1 C
的斜率为
b( a2 -c2 )
a2 + c2
2a2 c a2 + c2
-
(
-0 -c)
=
b( a2 3a2 c
-c2 ) + c3
,
直线
AB
的斜率为
-
b c
,
且
F1 C彝AB,
{ 所以
r r
-
d逸80, (60 - d
)
逸80,摇
ìïï680 即 îíïï680
5 5
3d 3d
-
d逸80, (60 - d) 逸80.
解得 10臆d臆35.
故当
d = 10
时,
r
=
680
5
3d最大,
即圆面积最大.
所以当 OM = 10 m 时, 圆形保护区的面积最大.
4. 从 1, 2, 3, 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数, 则所取 2 个数的
乘积为 6 的概率是摇 银摇 .
5. 已知函数 y = cosx 与 y = sin(2x + 渍) (0臆渍<仔) , 它们的图象有一个
横坐标为
仔 3
的交点,
则
渍
的值是摇
银摇
.
6. 为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株
则
kBC
=
b-0 a - 170
=
-
4 3
,
kAB
=
b a
-
60 0
=
3 4
.
解得 a = 80, b = 120. 所以 BC = (170 - 80) 2 + (0 - 120) 2 =150.
( 第 18 题)
因此新桥 BC 的长是 150 m.
(2) 设保护区的边界圆 M 的半径为 r m, OM = d m (0臆d臆60 ) .
a8 = a6 + 2a4 , 则 a6 的值是摇 银摇 .
8. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1, S2, 体积分别为
V1 , V2 .
若它们的侧面积相等,
且
S1 S2
=
9 4
,
则
V1 V2
的值是
(第 6 题)
摇 银摇 .
9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x + 2y - 3 = 0 被圆 (x - 2 ) 2 + (y + 1 ) 2 = 4 截得的弦长
因为点
C
æ
ç
è
4 3
,
1 3
ö
÷
在椭圆上,
ø
所以
9 a2
+
9 b2
= 1.
解得
b2
= 1.
故所求椭圆的方程为
x2 2
+ y2 = 1.
(2) 因为 B(0, b) , F2( c, 0) 在直线 AB 上,
所以直线 AB 的方程为
x c
+
y b
= 1.
( 第 17 题)
— 18 —
ìï x
解方程组
,
且该曲线在点
P
处的切线与直线 7x + 2y + 3 = 0 平行, 则 a + b 的值是摇 银摇 .
12. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB = 8, AD = 5, C寅P = 3 P寅D, A寅P·B寅P = 2, 则 A寅B·A寅D 的值是摇 银摇 .
13. 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数, 当 x沂[0, 3)时, f(x)=
仔 2
,
仔
ö
÷
,
ø
sin琢 =
5 5
,
所以 cos琢 =
-
故
sin
æ
ç
è
仔 4
+
琢
ö
÷
= sin
ø
仔 4
cos琢
+ cos
仔 4
sin琢
1
-
sin2 琢 =
-
25 5
.
=
2 2
伊
æ
ç
è
-
2 5ö
÷
5ø
+
2 2
伊
5 5
=
-
10 10
.
(2) 由(1) 知
sin2琢
=
2sin琢cos琢
=
2伊
5 5
伊
æ
ç
(第 3 题)摇 摇
树木的底 部 周 长 ( 单 位: cm) , 所 得 数 据 均 在 区 间 [ 80,
130] 上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株
树木中,有摇 银摇 株树木的底部周长小于 100 cm.
7. 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 { an } 中, 若 a2 = 1,
明、证明过程或演算步骤.
踿踿踿踿踿踿踿
15. ( 本小题满分 14 分)
已知
琢沂
æ
ç
è
仔 2
,
仔
ö
÷
,
ø
sin琢 =
5 5
.
(1)求
sin
æ
ç
è
仔 4
+
琢
ö
÷
的值;摇
ø
(2)求
cos
æ5仔
ç
è6
-
2
琢
ö
÷
的值.
ø
— 16 —
16. ( 本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点. 已知 PA彝AC, PA = 6, BC = 8, DF = 5. 求证:(1) 直线 PA椅平面 DEF; (2) 平面 BDE彝平面 ABC.
m
处,
点
C
位于点
O
正东方向170
m
处( OC
为河岸) ,
tan蚁BCO =
4 3
.
(1) 求新桥 BC 的长;
(2) 当 OM 多长时, 圆形保护区的面积最大?
19. ( 本小题满分 16 分)
已知函数 f(x) = ex + e- x, 其中 e 是自然对数的底数.
(1)证明: f(x) 是 R 上的偶函数;
２０１４年江苏高考数学试卷及答案
数学玉试题
参考公式:
圆柱的侧面积公式: S圆柱侧 = cl, 其中 c 是圆柱底面的周长, l 为母线长. 圆柱的体积公式: V圆柱 = Sh, 其中 S 是圆柱的底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题, 每小题 5 分, 共计 70 分. 请把答案填写在
( n沂N*) 成立.
数学玉试题参考答案
一、 填空题: 本题考查基础知识、 基本运算和基本思想方法. 每小题 5 分, 共计 70 分.
摇 1.摇 {摇 -摇1,摇3}摇 摇 摇 摇 摇 摇 2.摇 2摇1 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 3.摇 5摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
4.
1 3
摇
5.
仔 6
摇
由条件知, 直线 BC 的方程为 y = -
4 3
(x
- 170 ) , 即 4x
+ 3y
-
680 = 0.
由于圆 M 与直线 BC 相切, 故点 M (0, d ) 到直线 BC 的距离是 r,
即 r=
3d - 680 42 + 32
=
680
5
3d.
因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,
和推理论证能力. 满分 14 分.
证明:(1) 因为 D, E 分别为棱 PC, AC 的中点, 所以 DE椅PA.
又因为 PA埭平面 DEF, DE奂平面 DEF,
所以直线 PA椅平面 DEF.
(2) 因为 D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点, PA = 6,
BC = 8,
所以
(1) 如图, 以 O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系 xOy.
由条件知 A (0, 60 ) , C (170, 0 ) ,
直线 BC 的斜率 kBC = -
tan蚁BCO = -
4 3
.
又因为
AB彝BC,
所以直线
AB
的斜率
kAB
=
3 4
.
设点 B 的坐标为(a, b) ,
所以3b(a2ac2
-c2 ) + c3
·çæ è
-
b c
ö
÷
ø
= -1.
又
b2
=a2 -
c2 ,
整理得
a2
= 5c2 .
故
e2
=
1 5
.
因此
e=
5 5
.
18. 本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识, 考查建立数学模
型及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分 16 分.
解:解法一:
为摇 银摇 . 10. 已知函数 f (x ) = x2 + mx - 1, 若对于任意 x沂[ m, m + 1] , 都有 f (x ) < 0 成立, 则实数 m
的取值范围是摇 银摇 .
11. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若曲线 y = ax2 +
b x
(a,
b
为常数) 过点
P (2,
-5 )