第二节_最优化原理与动态规划
动态规划解决最优化问题的高效算法
动态规划解决最优化问题的高效算法动态规划是一种高效解决最优化问题的算法。
它通过将问题划分为多个子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划算法的原理和应用。
一、动态规划的原理动态规划的基本思想是将原问题拆解为多个子问题，然后通过递推公式求解子问题的最优解，最后得到原问题的最优解。
其核心是利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
动态规划的求解过程分为三个步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为多个子问题，并定义子问题的状态。
2. 确定递推关系：确定子问题之间的递推关系，即子问题之间的重叠性质。
3. 求解最优解：使用递推公式从子问题的最优解中求解原问题的最优解。
二、动态规划的应用动态规划广泛应用于最优化问题的求解，包括线性规划、背包问题、最长公共子序列等。
下面以背包问题为例，介绍动态规划的应用过程。
背包问题是指在给定容量的背包和一组具有重量和价值的物品中，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
动态规划可以通过以下步骤求解背包问题：1. 定义子问题：定义子问题的状态为背包容量和可选择的物品数量。
2. 确定递推关系：通过递推公式将子问题和原问题联系起来，递推公式为dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j的背包中的最大价值，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
3. 求解最优解：通过递推公式，计算dp[i][j]的值，最后得到背包问题的最大价值。
三、动态规划算法的优势动态规划算法在解决最优化问题时具有以下优势：1. 高效性：动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，避免了重复计算，从而提高了求解效率。
2. 最优性：动态规划算法可以保证求解出的最优解是全局最优解。
3. 可行性：动态规划算法使用递推公式进行求解，因此可以确保求解过程是可行的。
综上所述，动态规划是一种高效解决最优化问题的算法。
动态规划算法的原理与优化
动态规划算法的原理与优化动态规划算法是一种优化问题求解的算法，它的基本思想是将问题分解为更小的子问题，通过求解子问题得到原问题的最优解。
1. 原理动态规划算法的基本原理是“最优子结构”。
也就是说，一个问题的最优解可由其子问题的最优解推导出。
因此，动态规划算法可以通过求解子问题来推导出整个问题的最优解。
另一个基本原理是“子问题重叠性”。
也就是说，与分治算法不同，同样的子问题可能会被多次求解。
因此，为了避免重复计算，动态规划算法可以用一个表格来存储已解决的子问题的结果。
动态规划算法的基本流程为：(1) 定义状态：定义比较小的子问题，以便于求解原问题。
(2) 描述状态转移：将原问题分解为若干个子问题，并制定状态转移方程。
(3) 边界条件：指定最小的问题的解。
(4) 递推计算：按照状态转移方程，通过已求解的子问题求解出当前问题的解。
2. 优化虽然动态规划算法可以解决很多优化问题，但在实际应用中，它也面临着一些问题。
其中最主要的问题就是时间复杂度。
由于动态规划算法需要存储已解决的子问题的结果，所以空间复杂度也可能很高。
为了避免这些问题，动态规划算法可以进行一些优化。
以下是一些常见的优化方法：(1) 状态压缩状态压缩是一种常见的空间优化方法。
当一个状态只与前一步的状态相关时，可以将状态的存储空间从二维降为一维。
这样可以大大减少存储空间，提高空间效率。
(2) 记忆化搜索动态规划算法中的状态转移方程可能会重复计算同一个子问题。
为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，将子问题的结果保存在一个数组中，每次需要计算子问题时先判断结果是否已经被计算过，如果已经计算过，直接取结果，否则进行计算，并将结果保存在数组中。
(3) 剪枝动态规划算法中可能存在一些无用的计算，通过一些剪枝技巧，可以在计算中跳过这些无用的步骤，从而减少计算量，提高效率。
以上是动态规划算法的原理与优化。
在实际应用中，通过不同的优化方法，可以进一步提高算法的效率。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划-动态规划-美国数学家贝尔曼-动态规划领域
物品
1 2 … j …n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an
每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
类似问题：工厂里的下料问题、运输中的 货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。
生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳 生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度 地根据库存和需求决定生产计划。
描述状态的变量称为状态变量，它可用一个数、 一组数或一向量（多维情形）来描述，第k阶段 的状态变量常用sk表示，通常一个阶段有若干个 状态。
第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合， 用Sk表示。在第1阶段状态变量s1是确定的，称初 始状态。如引例中:
S1 A，S2 B1, B2, B3，S3 C1,C2,C3，S4 D1, D2
min
4
9
12
决策点为B3
AB3
f2
B3
3 9*
f1(A)=12说明从A到E的最短距离为12，最短路 线的确定可按计算顺序反推而得。即
A→B3→C2→D2→E 上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图
形直观的表示出来：
12 2 A4
3
11
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
6
C1 3
多阶段决策过程特点：
（1）根据过程的特性可以将过程按空 间、时间等标志分为若干个互相联系又互相 区别的阶段。
（2）在每一个阶段都需要做出决策，从 而使整个过程达到最好的效果。
（3）在处理各阶段决策的选取上，不仅只 依赖于当前面临的状态，而且还要注意对以后 的发展。即是从全局考虑解决局部（阶段）的 问题。
动态规划原理
动态规划原理
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。
它通过将问题分解成较小的子问题，并通过寻找子问题的最优解来解决整体问题。
动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。
这样一来，当我们需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解，避免重复计算，提高算法效率。
其中，动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。
首先，我们需要确定问题的状态。
状态可以理解为问题的属性，它描述了问题在不同阶段、不同状态下的特征。
在动态规划中，我们将问题的状态表示成一个或多个变量，用于描述问题的特征。
接着，我们需要设计状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的联系和转移规律。
它通过将问题的解与子问题的解联系起来，建立起子问题与整体问题的关系。
通过推导状态转移方程，我们可以由已知的子问题解计算出更大规模的问题解。
最后，我们需要确定边界条件。
边界条件表示问题的终止条件，它是最小规模子问题的解。
边界条件是问题求解的起点，也是递归求解过程的出口。
通过依次求解子问题，并利用已经计算过的子问题解，动态规
划可以高效地解决复杂问题，并得到全局最优解。
因此，它在解决优化问题、序列问题、最短路径问题等方面有着广泛的应用。
优化原理与动态规划
优化原理与动态规划优化原理是通过改进算法或者改变计算模型来提高计算效率和性能的一门学科。
而动态规划是一种常见的优化原理，通过将问题划分为子问题，并将子问题的解保存在一个表格中，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
本文将重点介绍动态规划及其相关的优化原理。
动态规划是处理最优化问题的一种常见方法，它适用于那些具有重叠子问题和具有最优子结构的问题。
具有重叠子问题意味着原问题的解可以通过解决更小的子问题来计算得到。
具有最优子结构意味着问题的最优解包含了其子问题的最优解。
动态规划的核心思想就是将原问题划分为子问题，并将子问题的解保存在一个表格中，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
在应用动态规划之前，需要明确问题的状态和状态转移方程。
状态是问题的局部解，是解决问题的关键。
状态转移方程描述了问题的最优解与其子问题的最优解之间的关系。
动态规划的思路就是通过计算子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划常用于求解最优解问题，比如背包问题、最长递增子序列问题、矩阵链乘法问题等。
以背包问题为例，假设有一组物品，每个物品有重量和价值，并且有一个给定的容量的背包。
要求在不超过背包容量的情况下，装入物品的总价值最大。
解决这个问题的关键是构建状态数组和状态转移方程。
状态数组可以表示背包容量和拿到的物品个数两个维度，状态数组的值表示在当前状态下所能装入的物品的最大总价值。
状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中dp[i][j]表示在i个物品，容量为j的背包容量下的最大总价值，w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。
动态规划的核心就是填充状态数组。
我们可以从dp[0][0]开始填充数组，逐行逐列地计算dp[i][j]的值，直到填充完整个状态数组。
最后，dp[n][m]即为所求的最优解，其中n表示物品个数，m表示背包的容量。
动态规划是一种高效的计算方法，其时间复杂度和空间复杂度都与子问题的个数成正比。
最优化多目标规划动态规划
最优化多目标规划动态规划多目标规划是指在决策问题中同时考虑多个目标的优化问题，其目标可能相互矛盾或者相互关联。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题并利用子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
将多目标规划与动态规划结合起来，可以解决一些具有多个相互关联目标的决策问题。
下面将介绍最优化多目标规划动态规划的原理和应用举例。
1.定义决策变量：确定需要作出的决策，并定义决策变量。
2.建立状态转移方程：将问题划分为多个子问题，并建立它们之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的关系，通过子问题之间的转移可以得到整体问题的最优解。
3.确定初始状态和边界条件：确定初始状态和边界条件，即子问题的初始状态和边界条件，用于递归地求解子问题。
4.递推求解：使用动态规划的递推求解方法，从初始状态开始，逐步求解子问题，直到求解出整体的最优解。
5.分析最优解：根据求解结果分析得到的最优解，并根据需要进行调整和优化。
假设有一家公司要进行产品的生产安排，公司有多个产品需要安排生产，每个产品有不同的生产时间和利润，同时公司还要考虑生产能力的限制和产品订单的要求。
问题可以建立如下的数学模型：决策变量：对于每个产品，决定其生产数量。
目标函数：最大化总利润。
约束条件：生产时间不能超过生产能力限制，同时生产数量要满足订单要求。
利用动态规划方法可以将问题分解为多个子问题，以子问题的最优解作为动态规划的递推依据。
具体步骤如下：1.将产品的生产时间和利润作为状态，根据时间顺序划分为多个子问题。
2.定义状态转移方程，将子问题的最优解与前面子问题的最优解关联起来。
3.初始状态为生产时间为0的情况，边界条件为订单要求。
4.递推求解，根据状态转移方程求解每个子问题的最优解。
5.分析最优解，确定每个产品的生产数量，以及总利润。
通过最优化多目标规划动态规划的方法，可以在满足多个目标和约束条件的情况下，求解出最优的决策方案。
这种方法可以应用于生产调度、资源分配、物流配送等领域，帮助企业做出合理的决策，达到优化目标。
动态规划-最优化原理和无后效性
动态规划-最优化啊原理和无后效性上面已经介绍了动态规划模型的基本组成，现在需要解决的问题是：什么样的“多阶段决策问题”才可以采用动态规划的方法求解?一般来说，能够采用动态规划方法求解的问题必须满足.最优化原理和.无后效性原则。
(1)动态规划的最优化原理。
作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优，即问题具有最优子结构的性质，也就是说一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，非最优解对问题的求解没有影响。
在例题1最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。
下面来讨论另外一个问题。
【例题2】余数最少的路径。
如图所示，有4个点，分别是A、B、C、D，相邻两点用两条连线C2k，C2k-1(1≤k≤3)表示两条通行的道路。
连线上的数字表示道路的长度。
定义从A到D的所有路径中，长度除以4所得余数最小的路径为最优路径。
求一条最优路径。
【分析】在这个问题中，如果还按照例题1中的方法去求解就会发生错误。
按照例题1的思想，A的最优取值可以由B的最优取值来确定，而B的最优取值为(1+3) mod 4 = 0，所以A的最优值应为2，而实际上，路径C1－C3－C5可得最优值为(2+1+1) mod 4 = 0，所以，B的最优路径并不是A的最优路径的子路径，也就是说，A的最优取值不是由B的最优取值决定的，即其不满足最优化原理，问题不具有最优子结构的性质。
由此可见，并不是所有的“决策问题”都可以用“动态规划”来解决，运用“动态规划”来处理问题必须满足最优化原理。
(2)动态规划的无后效性原则。
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。
也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。
动态规划问题的基本要素和最优化原理ppt课件
选择变量既要能确切描述过程演变又要满足无后效性， 而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，状态变量 的选择是从过程演变的特点中寻找。
3、确定决策变量及允许决策集合
通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时要 给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集合。
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4、确定状态转移方程
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变 量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动 态规划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是指 从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优值， 最后写出动态规划基本方程。
f1(s1)
最优目标函数值
V 1 * ,n V 1 * ,n (s 1 * ,u 1 * 子, 从策略k ,的到s 最终n * 优点,u 目最n * 标优)函策数略值
fs ov ps tu s
, , ,
k k
k ,n k k
uu , ,
k
n
n 1
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§2.2 动态规划的基本思想
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样 的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面 的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构 成最优子策略。”也就是说，一个最优策略的子策 略也是最优的。
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§2.3 建立动态规划模型的步骤
1、划分阶段
划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一步， 在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺序，将过程划 分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要人为地赋予 “时间”概念，以便划分阶段。
最优控制与最优化问题中的动态规划方法
最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。
它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。
一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。
3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。
4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。
二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。
最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。
动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。
以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。
动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。
三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。
最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。
动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。
以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。
动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。
四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。
简述动态规划的最优性原理及应用
简述动态规划的最优性原理及应用1. 动态规划的最优性原理动态规划是一种求解最优化问题的方法，它通过将问题分解为更小的子问题，并通过保存中间结果来减少重复计算的次数。
1.1 最优子结构性质动态规划的最优性原理基于最优子结构性质。
最优子结构性质指的是一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
当一个问题满足最优子结构性质时，我们可以用递归的方式将问题分解为更小的子问题，然后通过解决这些子问题来得到原问题的最优解。
1.2 重叠子问题性质动态规划的最优性原理还依赖于重叠子问题性质。
重叠子问题性质指的是在求解一个问题时，我们会多次遇到相同的子问题。
通过保存中间结果，我们可以避免对相同的子问题重复计算，从而提高算法的效率。
2. 动态规划的应用动态规划的最优性原理可以应用于解决各种不同的问题，包括最长公共子序列、背包问题、图的最短路径等。
2.1 最长公共子序列最长公共子序列问题是指在两个序列中找到一个最长的公共子序列，该子序列不需要在原序列中是连续的。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将最长公共子序列问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
2.2 背包问题背包问题是指在给定的容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品的总价值最大。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将背包问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
2.3 图的最短路径图的最短路径问题是指在一个带有加权边的有向图中，找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将图的最短路径问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
3. 动态规划的实现步骤使用动态规划求解问题的一般步骤如下：1.定义状态：明确问题所求解的状态是什么，一般用函数或数组表示。
2.确定状态转移方程：通过分析问题的最优子结构，构建状态转移方程，表示当前状态与前一个状态之间的关系。
3.初始化边界条件：根据问题的实际情况，初始化边界条件，来解决最小规模的子问题。
动态规划的最优化原理有哪些内容
动态规划的最优化原理有哪些内容
动态规划的最优化原理包括以下内容：
1. 最优子结构性质：如果一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，则称该问题具有最优子结构性质。
简单来说，就是问题的最优解由子问题的最优解构成。
2. 重叠子问题性质：在求解一个动态规划问题时，需解决很多相同或相似的子问题。
为了避免重复计算，可以使用备忘录或者动态规划表来存储已经计算过的子问题的解，以便之后需要时直接查表获取。
3. 无后效性：即一个状态的值一旦确定，就不受之后决策的影响。
在动态规划的状态转移方程中，只关心当前状态和之前的状态，不关心状态之后的发展。
4. 状态转移方程：动态规划的核心就是确定状态转移方程。
通过分析问题的特点，找到问题当前状态和之前状态之间的关系，从而推导出状态转移方程，进而解决整个问题。
动态规划的最优化原理是动态规划算法能够高效解决问题的基础，通过把问题划分为子问题，求解并保存子问题的解，最终得到原问题的最优解。
动态规划与优化问题
1.动态规划的优点在于可以将复杂问题分解为简单的子问题，避免重复计算，提高 计算效率。 2.动态规划可以求得全局最优解，而非局部最优解。 3.动态规划的缺点在于需要大量的内存空间来存储子问题的解，因此对于大规模问 题可能会受到限制。
动态规划基本概念
▪ 动态规划与分治法的区别
1.分治法将问题分解为独立的子问题，而动态规划将问题分解 为重叠的子问题。 2.分治法的子问题之间没有联系，而动态规划的子问题之间通 过状态转移方程联系起来。 3.分治法的时间复杂度通常高于动态规划。
1.递推关系描述了问题各阶段状态之间的关系，是动态规划数 学模型的核心。 2.通过递推关系，可以将一个复杂的问题转化为一系列简单的 子问题进行求解。 3.建立递推关系需要明确问题的状态和决策，以及它们之间的 转移关系和代价。
▪ 动态规划的边界条件和初始条件
1.边界条件和初始条件是动态规划数学模型中的重要组成部分 ，它们定义了问题的起始状态和结束状态。 2.确定边界条件和初始条件需要考虑问题的实际情况和目标要 求。 3.合适的边界条件和初始条件可以简化计算过程，提高求解效 率。
动态规划与优化问题
目录页
Contents Page
1. 动态规划基本概念 2. 动态规划原理与步骤 3. 优化问题与动态规划 4. 常见优化问题实例 5. 动态规划数学模型 6. 动态规划算法实现 7. 动态规划应用领域 8. 总结与未来研究方向
动态规划与优化问题
动态规划基本概念
动态规划基本概念
常见优化问题实例
▪ 最短路径问题
1.最短路径问题是指在图中寻找从起点到终点的最短路径的问 题。 2.该问题可以采用动态规划的方法求解，通过逐步更新起点到 各个节点的最短路径来求解最优解。 3.最短路径问题在交通规划、网络优化等领域有着广泛的应用 。
动态规划原理
动态规划原理
动态规划是一种在数学、算法分析和组合优化中使用的有效技术，用于解决多步决策
问题，它把复杂的问题分解为若干个子问题，将已知条件依次应用于每个子问题，最终求
出最优的连续决策序列。
动态规划的核心思想就是将一系列具有特定结构的重叠子问题转换为个体子问题，然
后根据关于每个子问题的独立解决方案，求出一种最优解。
为了将问题简化，往往假设每
一步都只有一个状态，这种状态构成有限状态空间。
在空间状态下，能够求解问题最优解
的方式就是把状态转化为子问题，用最优子结构将这种重叠问题划分为之前的状态。
动态规划的过程是建立一个自顶向下的状态空间，由最优状态推导出其他的状态，从
而得到一组最优化决策序列。
在自底向上的过程中，我们可以按照最优化路径进行决策，
以实现最佳决策目标，这就是动态规划理论实施最优化结果的最终方向。
动态规划算法一般由三步组成：
状态定义：用一个数组来存储前一步的状态和本步状态，用它来确定本步之后最优解
的状态。
初始条件：设定初始状态，即确定最优解的起始状态。
转移方程：设定转移方程，用它来更新本步的状态，并据此更新最优解的状态。
在这三个步骤基础上，动态规划算法可以解决许多复杂问题，它可以帮助人们把大量
时间和空间复杂度消减到极小，使问题求解变得更简单。
其中最基础的应用包括赫夫曼树、矩阵连乘问题（Matrix–Chain Multiplication）、最长公共子序列等，动态规划算法的
广泛应用也是在网络路径、生物辨识、人脸识别、图像处理等多个领域中体现出来的。
最优化原理在动态规划中的应用
日毛吉，张爱萍 摇 最优化原理在动态规划中的应用
划的背景下进行研究；圆园员源 年潘云涛［远］将动态规划与公共设施管理联系在一起进行研究 郾 圆园员缘 年程 六满、王柯敬［员员］阐述了各行各业的企业都在管理应用中加入取得到了广泛的应用 郾 常淑芬［苑］通过 实际管理中的一些例子来阐述动态规划在管理中的应用 郾 而 酝蚤贼贼藻灶 则提出的一些基础性观点后来也 被应用在动态规划的发展当中，并对显式动态规划路径的数学性质做出了很大的贡献援
动态规划最初是由理查德·贝尔曼（ 砸蚤糟澡葬则凿 月藻造造皂葬灶） 在 圆园 世纪 源园 年代提出的，是为了叙述 并处理某一些比较特殊问题的过程，所以在该过程中不时地寻找最优的决策方案 郾 到 员怨缘猿 年， 月藻造造皂葬灶 继续对动态规划问题进行了推理分析，着重提出动态规划的作用是在较大的决策中代入较 小的决策问题 郾 员怨缘苑 年 月藻造造皂葬灶 发表了很多学术论文，并出版了他的第一部著作《 动态规划》，这本 书成为当时应用和研究动态规划理论的唯一书籍 郾 在 月藻造造皂葬灶 与协助他的工作人员正在完善和推广 此方法的同时，在时刻关注动态规划发展的其他的一些学者也对此做出了很大的功绩，其中贡献最 大的是 粤则蚤泽 和 酝蚤贼贼藻灶郾 粤则蚤泽 在三年期间共出版了两部涉及动态规划的著作，并在 员怨远源 年与 宰蚤造凿援
［摘摇 要］动态规划是一种将复杂的决策问题转化为一系列比较简单决策问题的优化方法，它具有与线性规划、非
线性规划完全不同的独特思路和方法 郾 本文通过动态规划多阶段决策过程最优化方法，解决管理中的一些问题，探
讨了动态规划在生产管理、资源分配、采购与销售、设备更新等方面的应用 郾
［关键词］ 动态规划；多阶段决策；最优化原理；管理摇 摇 ①
《最优化方法》动态规划
《最优化方法》动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学优化方法，它的核心思想是将问题分解为多个子问题，通过计算和存储每个子问题的最优解，再利用这些最优解逐步求解整个问题的最优解。
在解决实际问题时，动态规划通常包含三个关键要素：最优子结构、子问题重叠以及边界条件。
最优子结构是指一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。
这意味着整个问题的最优解是通过解决子问题的最优解来构建的，子问题的最优解是整个问题的最优解的一部分。
子问题重叠意味着在解决问题的过程中，相同的子问题会被重复计算多次，而动态规划通过存储子问题的最优解，避免了重复计算。
边界条件是指问题的最小规模，即最简单的情况下的解决方案。
动态规划的步骤通常包括确定状态、状态转移方程、边界条件和计算顺序。
确定状态是指找到一个合适的变量或者多个变量来描述问题的规模和解，状态转移方程是指找到问题的子问题之间的关系，通过这个关系可以得到子问题的最优解，边界条件是指最小规模的问题的解决方案，计算顺序是指按照从小规模到大规模的顺序计算问题的最优解。
动态规划的典型应用包括背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。
下面以背包问题为例进行详细介绍。
背包问题是动态规划中的经典问题之一，它是一个组合优化问题，通过在有限的物品集合中选择一些物品放入一个背包，使得背包中物品的价值最大。
背包问题通常有两种变种：0/1背包问题和完全背包问题。
0/1背包问题指每个物品只能选择一次，而完全背包问题指每个物品可以选择多次。
给定一个背包的容量和一组物品，物品有固定的重量和价值，要求选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总重量不超过容量，同时价值最大。
解决这个问题的方法是采用动态规划。
首先需要确定问题的状态。
在背包问题中，一个合适的状态是背包的容量和可选择的物品的数量。
状态转移方程是通过比较选择一个物品和不选择一个物品两种情况下，背包中物品的总价值，来计算当前状态下背包的最优解。
最优化理论_动态规划讲解
§1 动态规划问题实例
例1 给定一个线路网络， 要从A向F铺设一条输油管道， 各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么路线，可使总 距离最短？
2
C1
5
8
B1 3
4
D1
3
4
6
C2 5
5E14来自6A5
8 7
3
C3 4
B2
7
8
C4 4
D2 2
1
D3
3
3
E2
F
动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。所谓多阶段 决策问题是指这样的决策问题：其过程可分为若干个相互联 系的阶段，每一阶段都对应着一组可供选择的决策，每一决
(
sk
,
uk
)
f k 1 ( sk 1 )}
k 5,4,3,2,1
f6 (s6 ) 0
动态规划最优化原理：
不管该最优策略上某状态以前的状态和决策如何，对
最
该状态而言，余下的诸决策必定构成最优子策略。即
优
最优策略的任意后部子策略也是最优的。
性
原
C
理
B
fk (sk ) opt Fkn (sk , xk , sk1, xk1, , sn , xn )
最优指标函数：表示从第k阶段状态为 sk 时采用最佳策略 pk*n 到过程终止时的最佳效益。记为
fk (sk ) Vkn (sk , pk*n ) opt Vkn (sk , pkn )
pknDkn ( sk )
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。
基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
4
A
5
2
B1 3
第二节 最优化原理
最优化原理最优化原理-步骤
• 用动态规划求解多阶段决策问题的一般步骤： 用动态规划求解多阶段决策问题的一般步骤：
第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 明确问题， 明确问题，找出阶段数 确定变量，找出状态变量和决策变量 确定变量， 找出状态转移方程 一定阶段最短路问题
• 动态规划最优化原理： 动态规划最优化原理： 一个过程的最优策略具有这样的性质， 一个过程的最优策略具有这样的性质，即无论 其初始状态及其初始决策如何， 其初始状态及其初始决策如何，其以后诸决策 对以第一个决策所形成的状态作为初始状态而 必须构成最优策略。 言，必须构成最优策略。 • 动态规划原理还应该包括如下性质： 动态规划原理还应该包括如下性质： • 对于多阶段决策的最优策略如果用它的前i步 对于多阶段决策的最优策略如果用它的前i 产生的情况来形成一个前i步问题，那么所给 产生的情况来形成一个前i步问题， 最优策略的前i阶段的策略构成这前i 最优策略的前i阶段的策略构成这前i步问题的 一个最优策略。 一个最优策略。
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则 最优化原理 ：作为整个过程的最优策略具有这样
的性质，无论过去的状态和决策如何，对先前决 策
2.动态规划的数学模型(逆序法时)
(8.3a) (8.3b)
或
(8.3c) (8.3d)
(8.3b)和(8.3d)称为边界条件。
五、动态规划方法的基本步骤 1. 阶段的划分 2.正确地定义状态变量sk
A1
2 Q 4 3 7 4
B1
4 B2
1 C1 3 T C2 4
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
6 3
3 B3
3
4.策略和子策略(Policy) （1）全过程策略指具有n个阶段全部过程，简 称策略。表示为 {x1(s1),x2(s1),…,xn(sn)}。
k后部子过程策略,表示为pk(xk)
二、动态规划解题 标号法：
11,B1 ,B2
4,C1 7 4
A1
11,A3 Q 2 4 3
B1
4 7,C2 B2
1
3,T C1 3 0， T T 4,T C2
8,B1 6 4 A2 2 4 8,B1 4 2 A3 5
阶段1 阶段2
6 3
6,C1 3 B3 3
阶段3
4
阶段4
最短路径：Q→ A3→ B1→ C1→T
◆动态规划求解的问题的过程指标函数(指 标函数)，必须具有关于阶段指标的可分离 形式(和、积或其他形式) ：
表示某种运算，可为加、减、乘、除、开方 等。
◆常见有:
和
7.最优指标函数：fk(sk)
相应的子策略称为 sk状态下的最优子策略， 记为pk*(sk) ；而构成该子策略的各段决策称 为该过程上的最优决策，记为
阶段数k的编号法有两种： (1)顺序编号；(2)逆序编号法。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T 6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
4
3
2.状态(state)、状态变量和可能状态集 (1)状态与状态变量。表示每个阶段开始所 处的自然状况或客观条件。
3.决策(decision)、决策变量和允许决策集合 (1)决策。表示当过程处于某一阶段的某个状 态，可以作出不同的决定（选择），从而确 定下一阶段的状态。
A1 2 Q 4 3 7 4 B1 4 B2 1
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
C1 3
T C2 4
6
3 3
B3
3
(2)决策变量:xk=xk(sk) 决策ห้องสมุดไป่ตู้量 xk(sk) 的允许决策集用 Dk(sk) 表示 , xk(sk)∈Dk(sk) 允许决策集合实际是决策的约 束条件。
2.“局部最优路径”法：选择当前最短途径， “逢近便走”。 所取决策必是Q→ A1→ B2→ C2→T，全程长度 是13。 7 A B 1
1
4
1
2
Q 4 3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
4 B2 6 3
C1 3 T C2 4
3 B3
3
◆全枚举法计算工作量将会十分庞大。
◆局部最优求出的解不一定是最优解。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T
4
3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
(2)动态规划维数。 (3)可能状态集：用S(sk)表示。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T
4
3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
三、动态规划的基本概念。 1.阶段(stage)和阶段变量。 把所给问题恰当地划分为若干个相互联系又有 区别的子问题，称之为多段决策问题的阶段。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T
4
3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
用以描述阶段的变量叫作阶段变量，一般以 k表示阶段量．
离散 决策过程
连续 决策过程
离散确定性 决策过程
连续确定性 决策过程
离散随机性 决策过程
连续随机性 决策过程
七、学习方法建议 第一步 先看问题，充分理解问题的条件、 情况及求解目标。
第二步 分析针对该动态规划问题的“四大 要素、一个方程”。 第三步 动手把求解思路整理出来，或者 说，把该问题作为习题独立的来做。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T 6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
4
3
(2)允许策略集合记作P。 最优策略:从允许策略集中，找出的具有最 优效果的策略。
A1
2 Q 4 3 7 4
B1
4 B2
1 C1 3 T C2 4
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
6 3
3 B3
3
5.状态转移方程(状态转移律) ：多阶段决策 过程的发展就是用阶段状态的相继演变来描 述的。
从上阶段的某一状态值到下阶段某一状态值 的转移规律成为状态转移律
或简写为
6.指标函数 (1)阶段指标函数(也称阶段收益)（是对应某一 阶段状态和从该状态出发的一个阶段的决策的 某种效益度量。）vk(sk,xk) 简记为vk 。 (2)过程指标函数(指标函数)。(它所包含的 各阶段指标函数的函数。） Vk,n(sk,xk, sk+1,xk+1,…, sn,xn)。简记为Vk,n 。
有 简记为
8. 概念的关系。
决策xk(sk)
状态 sk
决策xk+1(sk+1) 阶段k+1 状态 T(sk+1,xk+1) sk+2
vk+1(sk+1,xk+1)
阶段k 状态 T(sk,xk) sk+1
vk(sk,xk)
四、最优化原理与动态规划的数学模型 1.最优化原理 (贝尔曼最优化原理) 若某一全过程最优策略为：
(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)包含到达这个状态前的足够信息，且满足 无后效性。 (3)要满足可知性。
3.正确地定义决策变量及各阶段的允许决策 集合Dk(sk)
4. 能够正确地写出状态转移方程，至少要 能正确反映状态转移规律。
5.根据题意,正确地构造出指标函数，应满 足下列性质： (1)可分性， (2)为了进行动态规划计算满足递推性，
第二节 最优化原理与动态规划的数学模型
◆理解动态规划的基本概念和基本原理
一、动态规划方法导引 1. 全枚举法或穷举法。共有 18 条可能路线， 进行比较，求得最优路线Q→ A3→ B1→ C1→T。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T
4
3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
或
6.确立边界条件写出动态规划函数基本方程。
决 策 x1 状态S1
决 策 x2 状态S2
决 策 xk 状态S3
决 策 xk+1 状态Sk+1
决 策 xn
阶段1
阶段2
… 阶段k
阶段k+1
… 阶段n
v1
v2
vk
寻求最优解的方向
vk+1
vn
六、动态规划的分类
根据多阶段决策过程的 时间参量
根据决策过程的 演变 确定性 决策过程 随机性 决策过程
第四步 把自己的求解放到一边，看书中的 求解方法，要充分理解教材中的论述。 第五步 对照自己的求解，分析成败。 ◆动态规划的四大要素 ① 状态变量及其可能集合 sk Sk ② 决策变量及其允许集合 xk Dk ③ 状态转移方程 sk+1= Tk (sk ,xk ) ④ 阶段收益 vk ( sk , xk )
3.动态规划方法就是从终点逐段向始点方向寻 找最短路线的方法。解题步骤如下： ●把问题划分为几个阶段。 ●按阶段顺序首先考虑最后阶段如第四阶段
的最优决策，也就是走哪条路线最短。
●按阶段顺序依次考虑第三、第二，第一阶 段的最优决策，为此只需确定每一阶段上 各初始点的最优决策即可。
◆用动态规划方法逐段求解时，每个阶段上 的求优方法基本相同，而且比较简单，每 一阶段的计算都要利用上一阶段的计算结 果，因而减少了很多计算量。阶段数愈多， 这种效果愈明显。