波动与振动-答案和解析

1、 一简谐振动得表达式为)3cos(ϕ+=t A x ，已知0=t 时得初位移为0、04m, 初速度为0、09m ⋅s -1，则振幅A = ，初相位ϕ = 解：已知初始条件，则振幅为：(m )05.0)3

09.0(04.0)(2

220

20=-

+=-

+=

ω

v x A 初相： οο1.1439.36)04

.0309.0(tg )(tg 1001或-=⨯-=-=--x v ωϕ

因为x 0 > 0, 所以ο9.36-=ϕ

2、 两个弹簧振子得得周期都就是0、4s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0、5s 后，第二个振子才从正方向得端点开始运动，则这两振动得相位差为 。

解：从旋转矢量图可见，

t = 0、05 s 时，1A ρ与2A ρ

反相，

即相位差为π。

3、 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，

其动能就是总能量得 （设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧得长度比原长长l ∆,这一振动系统得周期为

解：谐振

动总能量22

1kA E E E p k =+=，当A x 21

=时

4

)2(212122E

A k kx E p ===，所以动能E E E E p k 43=-=。

物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，l

mg

k ∆=， 振动周期g

l k

m T ∆==ππ22

4、 上面放有物体得平台，以每秒5周得频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 ，物体将会脱离平台（设2s m 8.9-⋅=g ）。

解：在平台最高点时，若加速度大于g ，则物体会脱离平台，由最大加速度

g A v A a m ===22)2(πω 得最大振幅为

(m)100.11093.9548.94232222--⨯≈⨯=⨯==ππv g A 5、 一水平弹簧简谐振子得振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零与弹性力

为零得状态，对应于曲线上得 点。振子处在

位移得绝对值为A 、速度为零、加速度为-ω2A 与弹性力-kA 得状态，对应于曲线得 点。

解：位移0=x ，速度0d d <-==

A t

x

v ω，对应于曲线上得 b 、f 点；若|x |=A , A a 2ω-=，又x a 2ω-=, 所以x = A ，对应于曲线上得a 、e

点。

6、 两个同方向同频率得简谐振动，其振动表达式分别为：

.0=t A -

)2

1

5cos(10621π+⨯=-t x (SI) 与 )5sin(10222t x -⨯=-π (SI)

它们得合振动得振幅为 ，初相位为 。

解：将x 2改写成余弦函数形式：

)2

5cos(102)5sin(102222π

π-⨯=-⨯=--t t x

由矢量图可知，x 1与x 2反相，合成振动得振幅

(m )10410210622221---⨯=⨯-⨯=-=A A A ，初相2

1π

ϕϕ=

=

三、计算题

1、 一质量m = 0、25 kg 得物体，在弹簧得力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原

点、 弹簧得劲度系数k = 25 N ·m -1． (1) 求振动得周期T 与角频率ω．

(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7、5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相φ．

(3) 写出振动得数值表达式． 解：(1)

1s 10/-==m k ω

1分

63.0/2=π=ωT s 1分 (2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7、5 cm ，v 0 < 0

由 202

)/(ωv +=x A

得 3.12

20-=--=x A ωv m/s 2分

π=-=-3

1

)/(tg 001x ωφv 或 4π/3 2

分

∵ x 0 > 0 ，∴ π=3

1

φ

(3) )3

1

10cos(10152π+⨯=-t x (SI) 2

分

)s (m 30.1075.015.0101222

020-⋅-=--=--=x A v ω

(3) 振动方程为)3

10cos(

1015)cos(2π

ϕω+⨯=+=-t t A x （SI ）

2、 在一平板上放一质量为m =2 kg 得物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振

动周期为T = 2

1

s ，振幅A = 4 cm ，求

(1) 物体对平板得压力得表达式． (2) 平板以多大得振幅振动时，物体才能离开平板？

x

O A

ρ2

A ρ

1

ϕ1A ρ

解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板得振动方程为

t A x π=4cos (SI)

t A x π4cos π162-=&&

(SI) 1分 (1) 对物体有 x m N mg &&=- ① 1分 t A mg x m mg N ππ+=-=4cos 162

&& (SI) ② 物对板得压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)

t ππ--=4cos 28.16.192 ③ 2

分

(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分 04cos 162=ππ+t A mg (SI)

A

q

t 2

164cos π-=π 1分

若能脱离必须 14cos ≤πt (SI)

即 221021.6)16/(-⨯=π≥g A m 2

分

3、 一定滑轮得半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳得一端系一质量为m 得物体，另一端与一固定得轻弹簧相连，如图所示。设弹簧得倔强系数为k , 绳与滑轮间无滑动，且忽略摩擦力及空气得阻力。现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。 解：取如图x 坐标，原点为平衡位置，向下为正方向。

m 在平衡位置，弹簧伸长x 0, 则有

0kx mg = (1)

现将m 从平衡位置向下拉一微小距离x ， m 与滑轮M 受力如图所示。 由牛顿定律与转动定律列方程， ma T mg =-1..................... (2) βJ R T R T =-21.................. (3) βR a = ........................... (4) )(02x x k T +=............... (5)

联立以上各式，可以解出 x x m R J

k

a 22

ω-=+-=，

（※）

（※）就是谐振动方程， 所以物体作简谐振动，角频率为

2

2

2mR J kR m R

J

k +=

+=

ω

第二章 波动(1)

一、选择题

x &&

T 2 T 1