(完整版)高数知识点总结

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高数部分知识点总结

高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。

(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。

所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。

所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。

高数知识点总结电子版

高数知识点总结电子版一、极限与连续1. 函数的极限(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质(3) 无穷小量与无穷大量(4) 夹逼准则2. 连续与间断(1) 连续的定义(2) 连续函数的性质(3) 间断点的分类(4) 间断函数的构造二、导数与微分1. 导数的定义(1) 导数的几何意义(2) 导数的计算方法(3) 导数的性质(4) 高阶导数2. 微分的定义(1) 微分的几何意义(2) 微分的计算方法(3) 微分的性质(4) 隐函数求导三、微分中值定理与泰勒公式1. 罗尔中值定理(1) 罗尔中值定理的条件(2) 罗尔中值定理的应用2. 拉格朗日中值定理(1) 拉格朗日中值定理的条件(2) 拉格朗日中值定理的应用3. 柯西中值定理(1) 柯西中值定理的条件(2) 柯西中值定理的应用4. 泰勒公式(1) 泰勒公式的表述(2) 泰勒公式的应用四、不定积分与定积分1. 不定积分(1) 不定积分的概念(2) 不定积分的计算方法(3) 不定积分的性质(4) 不定积分的换元法2. 定积分(1) 定积分的概念(2) 定积分的计算方法(3) 定积分的性质(4) 定积分的应用五、微分方程1. 微分方程的基本概念(1) 微分方程的定义(2) 微分方程的类型(3) 微分方程的解的存在唯一性定理2. 一阶常微分方程(1) 可分离变量的微分方程(2) 齐次微分方程(3) 一阶线性微分方程3. 高阶常微分方程(1) 高阶线性微分方程(2) 常系数齐次线性微分方程六、多元函数微分学1. 多元函数的极限(1) 多元函数极限的定义(2) 多元函数极限的性质(3) 重要极限的计算2. 偏导数(1) 偏导数的定义(2) 偏导数的计算方法(3) 高阶偏导数3. 方向导数(1) 方向导数的定义(2) 方向导数的计算方法(3) 梯度4. 多元函数的微分(1) 多元函数的全微分(2) 多元函数的微分近似七、多元函数积分学1. 二重积分(1) 二重积分的定义(2) 二重积分的计算方法(3) 二重积分的性质(4) 二重积分的应用2. 三重积分(1) 三重积分的定义(2) 三重积分的计算方法(3) 三重积分的性质(4) 三重积分的应用3. 曲线积分与曲面积分(1) 曲线积分的定义(2) 曲线积分的计算方法(3) 曲面积分的定义(4) 曲面积分的计算方法八、向量分析1. 向量及其运算(1) 向量的基本概念(2) 向量的线性运算(3) 向量的数量积与叉积2. 曲线与曲面的方程(1) 曲线的参数方程(2) 曲线的一般方程(3) 曲面的参数方程(4) 曲面的一般方程3. 向量场与散度(1) 向量场的定义与性质(2) 散度的概念与计算(3) 散度的物理意义4. 向量场与旋度(1) 旋度的概念与计算(2) 旋度的物理意义(3) 欧拉公式以上就是高等数学的知识点总结，希望对你的学习有所帮助。

高数基础知识总结

( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x = 1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(log a
lim
f (x) g(x)
=
A
（或
∞
）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结•相关推荐高等数学知识点总结在我们平凡无奇的学生时代，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点就是学习的重点。

那么，都有哪些知识点呢？下面是小编整理的高等数学的知识点总结，希望对大家有所帮助。

高等数学的知识点总结篇1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的.四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

(完整版)高等数学基础知识点归纳

(完整版)高等数学基础知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。

⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A??。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。

记作A∪B。

（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

(完整版)高等数学笔记

(完整版)高等数学笔记第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1。

函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。

2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。

隐函数： F(x,y ）= 04。

反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的；则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。

㈡函数的几何特性1。

函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。

函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。

函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数1。

常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n，（n 为实数）3.指数函数: y=a x，（a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。

三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。

反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1。

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点大全一、导数和微分在高等数学中，导数和微分是重要的基本概念。

导数描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们求解函数的最值、刻画曲线形状等问题。

微分则是导数的一种运算形式，表示函数在给定点附近的局部线性逼近。

1. 导数的定义和性质：- 导数定义：函数f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) =lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗。

- 导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率。

- 导数的性质：求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则等。

2. 微分的定义和性质：- 微分的定义：设y=f(x)为定义在区间I上的函数，若存在常数dy 使得Δy=f'(x)Δx+dy，其中Δx是x的增量，则称dy为函数f(x)在区间I 上的微分。

- 微分的性质：微分是线性近似，具有微分的小量运算法则。

3. 一阶导数和高阶导数：- 一阶导数：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称f(x)在该点可导，其导数为一阶导数，记作f'(x)或dy/dx。

- 高阶导数：若函数f(x)的导数f'(x)也存在导数，则称导数f'(x)为函数f(x)的二阶导数，记作f''(x)或d²y/dx²。

二、积分和定积分积分和定积分是数学中的重要工具，可以用来求解曲线下的面积、求解定量累计、求解方程等问题。

它们是导数的逆运算。

1. 定积分的定义和性质：- 定积分的定义：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，则称函数f(x)在区间[a,b]上的积分为定积分，记作∫_a^b▒f(x)dx。

- 定积分的性质：定积分具有线性性、加法性、估值性等。

2. 积分基本公式和换元积分法：- 积分基本公式：包括常数乘法法则、分步积分法则和换元积分法则等。

- 换元积分法：利用换元积分法可以将一些复杂的积分问题转化为简单的积分形式。

3. 不定积分和定积分的关系：- 不定积分：函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

完整版高数一知识点

完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。

它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。

导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。

导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。

微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。

微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。

2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。

二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。

不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。

计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。

2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。

3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。

定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。

定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。

计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。

2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。

三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。

它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。

常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。

高数重要知识点汇总

高数重要知识点汇总第一章函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0,称f (x )是比g (x )高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0,称f (x )与g (x )是同阶无穷小。

（3）l = 1,称f (x )与g (x )是等价无穷小,记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x , x e −1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二求极限的方法1．两个准则准则1高数重要知识点汇总准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．高数重要知识点汇总4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→例1计算极限0e 1lim x x x→-. 解该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 0e 1lim x x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x ax bx→．解该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)n x x x n e→+∞>．解所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有 lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

高数知识点

高数知识点总结1.函数定义：x 经过对应法则f 唯一确定y三要素：定义域、值域和对应法则基本性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性基本初等函数：反对幂指三复合函数：函数套函数y =f(g (x ))（注意复合次序及取值范围）初等函数：由常数和基本的初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤形成的一个式子的函数2.极限（1）定义：当自变量在某个变化的过程中，函数无限的接近某一个常数A ，则收敛，lim x→?f (x )=A （2）左右极限：左右极限存在且相等，则极限存在。

（3）求极限的方法：①四则运算（直接代入）②C 0或C ∞型：利用无穷大与无穷小的关系C 0=∞，C ∞=0 ③00型：去零因子（因式分解或有理化）、洛必达法则（上下求导） ④∞∞型:看最高次项、洛必达法则 ⑤无穷小的性质（有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量） ⑥等价无穷小替换（只能乘积因子）0~sin ~arcsin ~tan ~arctan ~ln(1)~1x x x x x x x x e →+-当时，，211cos ~.2x x -⑦两个重要极限：lim x→0sinx x=1(适用于含三角函数的00) lim x→∞(1+1x)x =e （1∞ 型的幂指函数） 3.函数的连续性（1）定义：0lim 0x y ∆→∆=，极限值=函数值（2）单侧连续：左连续且右连续⇔连续（3）间断点：①第一类间断点:左右极限都存在可去间断点（左右相等但不等于此处函数值）、跳跃间断点（左右不相等）②第二类间断点：（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点、振荡间断点4.导数（变化率问题）：（1）定义：增量比值取极限，极限存在即可导lim △x→0△y △x =A几何意义：切线的斜率单侧导数：左导右导存在且相等，则可导（2）常用导数公式（基本的初等函数求导）复合函数求导： x u x y y u '''=⋅（外导*内导）隐函数求导：参数方程求导：''d ()=d ()t t y y t x t x ψϕ'='5.导数的应用（1）单调性：()0f x '>单增，()0f x '<单减（2）极值：（驻点和不可导点为可能极值点）法一：f ′(x )左负右正取极小，f ′(x )左正右负取极大法二：f ′′(x 0)<0时， f(x)在x 0处取得极大值；f ′′(x 0)>0时， f(x)在x 0处取得极小值（3）最值：比较端点值和极值出最值（4）凹凸性：()0f x ">，则在[],a b 上为凹的；()0f x "<，则在[],a b 上为凸的．拐点：其横坐标是()0f x "=的点或()f x 二导不存在的点．微分：00|()()x x dy f x x f x dx =''=∆=6.不定积分：（1）定义：原函数的全体()d ()f x x F x C =+⎰几何意义：积分曲线族（2）不定积分的计算：①直接积分法②换元积分法：第一类还原法（凑微分法）()()(())()d (())d ()()d ()(())u x g x dx f x x x f x x f u u F u C F x Cϕϕϕϕϕϕ='====+=+⎰⎰⎰⎰第二类还原法 1()()d (())()d t x f x x f t t tψψψ-='=⎰⎰（根式代换、三角代换、倒数代换）③分部积分法： d d u v uv v u =-⎰⎰（反对幂指三，谁在前谁设为u ）7.定积分：(1)定义：分割、近似、求和、取极限，极限存在即可积01()d lim ()nb i i a i I f x x f x λξ→===∆∑⎰ 几何意义：曲边梯形的面积(2)性质：线性性、依区间可加性：()d ()d ()d b c ba a c f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰ 几何度量性：∫cdx =c(b −a)ba保号性、保序性、积分绝对值不等式、估值定理：()()d ()b a m b a f x x M b a -≤≤-⎰ 积分中值定理：至少存在一点[,]a b ξ∈，使得 ()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰．(3)定积分的计算：（求原函数，算增量）直接积分法、换元积分法、分部积分法+微积分基本公式 ()()|()()bba a f x dx F x Fb F a ==-⎰。

高数基础知识点汇总

高数知识点汇总第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。

⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A 。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。

记作A∪B。

（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。

(完整版)大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),nn n S x a xx ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞(含x →±∞); *0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x→→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时, sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -; ()1()u x eu x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00lim'()x ff x x→=3. 积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C uv C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax nx e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰ 三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*2(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性: 22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰220sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈ as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩ 21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limx x f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆ (3)22,lim()()x y f df f x f ydf x y ∆-++ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx yf x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1n a∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n ∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):np ka n(估计), 如10()n f x dx ⎰; ()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n p n+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0nn a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)n na-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xe x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω= 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒== (2)结论 ()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4. 应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Q y y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- [()()]xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ= (cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分: A d S ∑Φ=⋅⎰⎰ (∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结高等数学知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >=()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀 p="" 兀<<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为m，最小值为m则m(b-a)<= <=m(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学知识点总结2a.function函数(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)(5)复合函数，反函数(6)参数函数，极坐标函数，分段函数(7)函数图像平移和变换b.limit and continuity极限和连续(1)极限的定义和左右极限(2)极限的运算法则和有理函数求极限(3)两个重要的极限(4)极限的应用-求渐近线(5)连续的定义(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)(7)最值定理、介值定理和零值定理c.derivative导数(1)导数的定义、几何意义和单侧导数(2)极限、连续和可导的关系(3)导数的求导法则(共21个)(4)复合函数求导(5)高阶导数(6)隐函数求导数和高阶导数(7)反函数求导数(8)参数函数求导数和极坐标求导数d.application of derivative导数的应用(1)微分中值定理(d-mvt)(2)几何应用-切线和法线和相对变化率(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)(4)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性(5)洛比达法则求极限(6)微分和线性估计，四种估计求近似值(7)欧拉法则求近似值e.indefinite integral不定积分(1)不定积分和导数的关系(2)不定积分的公式(18个)(3)u换元法求不定积分(4)分部积分法求不定积分(5)待定系数法求不定积分f.definite integral 定积分(1)riemann sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质(3)accumulation function求导数(4)反常函数求积分h.application of integral定积分的应用(1)积分中值定理(i-mvt)(2)定积分求面积、极坐标求面积(3)定积分求体积，横截面体积(4)求弧长(5)定积分的物理应用i.differential equation微分方程(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程(2)斜率场j.infinite series无穷级数(1)无穷级数的定义和数列的级数(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法(3)四种级数-调和级数、几何级数、p级数和交错级数(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：(1)问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。

高数知识点整理

高数知识点整理高等数学是大学理工科和经济金融等专业的重要基础课程，其知识点繁多且复杂。

下面为大家整理了一些重要的高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。

简单来说，对于定义域中的每个输入值，都有唯一的输出值与之对应。

2、函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。

单调性指函数在某个区间内是递增或递减的；奇偶性是指函数关于原点对称（奇函数）或关于 y 轴对称（偶函数）；周期性是指函数在一定的区间内重复出现相同的取值规律；有界性则表示函数的值在一定范围内。

3、极限的概念极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的趋近值。

4、极限的计算方法包括直接代入法、因式分解法、有理化法、洛必达法则等。

直接代入法适用于简单的函数；因式分解法常用于分式函数；有理化法可用于消除根号；洛必达法则则用于求解 0/0 或∞／∞ 型的极限。

5、无穷小与无穷大无穷小是以 0 为极限的变量；无穷大是绝对值无限增大的变量。

无穷小的性质在极限计算中经常用到。

二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率。

2、导数的几何意义导数就是函数图像在某一点的切线斜率。

3、基本导数公式如常数的导数为 0，幂函数的导数，指数函数的导数，对数函数的导数等。

4、导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法的求导法则。

5、复合函数求导设 y ＝ f(u)，u ＝ g(x)，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为 f'（u) g'（x)。

6、隐函数求导对于方程 F(x, y) ＝ 0 确定的隐函数 y ＝ y(x)，通过对方程两边同时求导来求解 y'。

7、微分的定义函数的微分是函数增量的线性主部。

8、微分的运算法则与导数的运算法则类似。

三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a, b 上连续，在开区间（a, b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a, b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0。

高等数学知识点(全)

2、不定积分：在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数
称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分。
3、基本积分表（P188，13 个公式）；
4、性质（线性性）。
（二）换元积分法 1、第一类换元法（凑微分）：
f [(x)](x)dx f (u)du u(x)
（五）不等式证明
1、利用微分中值定理；
2、利用函数单调性；
3、利用极值（最值）。
（六）方程根的讨论
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阿樊教育 1、连续函数的介值定理；
永不改变年轻时的梦想
2、 Rolle 定理；
3、函数的单调性；
4、极值、最值；
5、凹凸性。
（七）渐近线
1、铅直渐近线： lim f (x) ，则 x a 为一条铅直渐近线； xa
（二）微分
1）定义：y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x) ，其中 A 与 x 无关。
2）可微与可导的关系：可微可导，且
dy f (x0 )x f (x0 )dx
第三章微分中值定理与导数的应用（一）中值定理
1、 Rolle 定理：若函数 f (x) 满足： 1 ） f (x) C[a,b] ； 2 ） f (x) D(a,b) ； 3 ）
f ( x1 x2 ) 2
f (x1) f (x2 ) ， 2
则称 f (x) 在区间 I 上的图形是凹的；若
x1, x2 I ,
f ( x1 x2 ) 2
f (x1) f (x2 ) ，则称 f (x) 在区间 2
I

高数基础知识总结与重点概念整理

高数基础知识总结与重点概念整理
一、导数与微分
导数：描述函数在某一点附近的变化率，是函数值的极限。

可导性：函数在某点可导，当且仅当该点附近存在一个定义恰当的导数。

微分：一个近似值，表示函数在某点附近的小变化所引起的函数值的大致变化。

二、积分
不定积分：求一个函数的原函数（或反导数），即求函数的不定积分。

定积分：对一个区间上函数的值的总和的量度，即求函数的定积分。

微积分基本定理：定积分可化为不定积分的计算。

三、级数
数列：一个数字序列。

无穷级数：无穷多个数的和，即数列的和。

收敛性：无穷级数趋于一个有限的和的性质称为收敛性。

发散性：无穷级数不收敛的性质称为发散性。

四、多元函数
多元函数：定义在多个变量上的函数。

偏导数：多元函数对一个变量的导数。

方向导数：描述函数在某点处沿某一方向的变化率。

梯度：方向导数的最大值，表示函数在某点处沿梯度方向的增长最快的方向。

五、微分方程
微分方程：包含未知函数的导数或微分的方程。

初值问题：给定初始条件的微分方程问题。

通解与特解：满足微分方程的解称为通解，满足特定初始条件的解称为特解。

(完整版)高数知识点总结

高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(y =a x )，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

x 2+x x=lim =13、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：lim x →0x →0xx sin x4、两个重要极限：(1)lim =1x →0x (2)lim (1+x )=ex →01x⎛1⎫lim 1+⎪=ex →∞⎝x ⎭g (x )x经验公式：当x →x 0,f (x )→0,g (x )→∞，lim [1+f (x )]x →x 0=e x →x 0lim f (x )g (x )例如：lim (1-3x )=e x →01x⎛3x ⎫lim -⎪x →0⎝x ⎭=e -35、可导必定连续，连续未必可导。

例如：y =|x |连续但不可导。

6、导数的定义：lim∆x →0f (x +∆x )-f (x )=f '(x )∆x x →x 0limf (x )-f (x 0)=f '(x 0)x -x 07、复合函数求导：df [g (x )]=f '[g (x )]•g '(x )dx例如：y =x +x ,y '=2x =2x +12x +x 4x 2+x x1+18、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dxx 2+y 2=1,2x +2yy '=0⇒y '=-例如：解：法(1),左右两边同时求导xy dy x法(2),左右两边同时微分,2xdx +2ydy ⇒=-dx y9、由参数方程所确定的函数求导：若⎨⎧y =g (t )dy dy /dt g '(t )==，则，其二阶导数：dx dx /dt h '(t )⎩x =h (t )d (dy /dx )d [g '(t )/h '(t )]d y d (dy /dx )dt dt ===2dx dx dx /dt h '(t )210、微分的近似计算：f (x 0+∆x )-f (x 0)=∆x •f '(x 0)例如：计算sin 31︒11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：y =sin x（x=0x是函数可去间断点），y =sgn(x )（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：f (x )=sin ⎪（x=0是函数的振荡间断点），y =数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：y =lim f (x )=cx →∞⎛1⎫⎝x ⎭1（x=0是函x 铅直渐近线：若，lim f (x )=∞，则x =a 是铅直渐近线.x →a斜渐近线：设斜渐近线为y =ax +b ,即求a =lim x →∞f (x ),b =lim [f (x )-ax ]x →∞x x 3+x 2+x +1例如：求函数y =的渐近线x 2-113、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

高等数学每章总结知识点

高等数学每章总结知识点1. 微积分微积分是研究函数的变化规律的数学分支，主要包括极限、导数、积分和微分方程等内容。

微积分的主要任务是研究函数的极限与连续性、导数与微分、积分与积分初等函数等概念与性质。

微积分是数学中的重要组成部分，它不仅为数学其他领域如微分方程、概率统计等提供了基础理论，而且在物理、化学、生物、经济等领域中有广泛的应用。

微积分的知识点包括：极限：函数在某一点的趋近过程，是微积分的基本概念之一。

极限可用来研究函数在某一点的变化趋势和性质。

导数：函数的变化率，是微积分的重要内容。

导数可以用来研究函数的单调性、凹凸性和最值等性质。

积分：是导数的逆运算，是微积分的另一个重要内容。

积分可以求出函数的面积、曲线长度、体积等。

微分方程：是描述自变量与因变量以及它们的导数之间的关系的方程。

微分方程在物理、化学、生物等领域有广泛的应用。

2. 线性代数线性代数是研究向量空间、线性变换和矩阵的代数学分支，主要内容包括向量空间、线性方程组、矩阵、行列式和特征值等。

线性代数是数学的基础课程之一，它不仅用于数学领域，而且在物理、工程、计算机等领域有广泛的应用。

线性代数的知识点包括：向量空间：是指具有加法和数乘运算的向量集合。

在向量空间中，向量的加法和数乘运算满足一些基本性质。

线性方程组：是由若干个线性方程组成的方程组。

解线性方程组是线性代数的重要内容之一。

矩阵：是一个由数域上的数构成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性变换、线性方程组等数学对象。

行列式：是一个数域上的一个函数，是线性代数的一个基本概念。

行列式可以用来判断矩阵的可逆性和求解方程组的解。

特征值：是矩阵的一个重要性质，可以用来研究矩阵的对角化和对角化矩阵的性质。

3. 概率统计概率统计是数学的一个重要分支，主要包括概率论和数理统计两个部分。

概率论是研究随机现象的数学分支，主要内容包括概率空间、随机变量、概率分布和大数定理等。

数理统计是研究利用样本数据对总体特征进行推断和决策的数学分支，主要内容包括参数估计、假设检验和方差分析等。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结1. 极限与连续性- 极限的定义与性质- 无穷小与无穷大- 极限的运算法则- 连续函数的定义与性质- 闭区间上连续函数的定理（确界存在定理、中值定理、罗尔定理等）2. 导数与微分- 导数的定义与几何意义- 导数的计算方法（基本导数公式、链式法则、乘积法则、商法则、隐函数求导等）- 高阶导数- 微分的定义与应用- 泰勒级数与麦克劳林级数3. 积分学- 不定积分的概念与性质- 基本积分表与积分技巧（换元法、分部积分法等）- 定积分的定义与性质- 定积分的应用（面积、体积、弧长、工作量等）- 微积分基本定理- 积分技巧（特殊技巧、积分表的使用等）4. 多元函数微分学- 多元函数的偏导数与全微分- 多元函数的极值问题与拉格朗日乘数法- 梯度、方向导数与切平面- 多重积分的概念与计算（二重积分、三重积分）5. 向量代数与空间解析几何- 向量的运算与性质- 点、直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程6. 级数- 级数的基本概念（数项级数、幂级数、函数项级数）- 收敛性判断（柯西准则、比较判别法、比值判别法、根值判别法等）- 幂级数的收敛半径与收敛区间- 傅里叶级数7. 常微分方程- 微分方程的基本概念- 可分离变量的微分方程- 一阶线性微分方程- 二阶常系数线性微分方程- 特殊类型的微分方程（贝塞尔方程、勒让德方程等）8. 复变函数- 复数的基本概念与运算- 解析函数的概念与性质- 复变函数的积分与柯西积分定理- 留数定理与应用9. 泛函分析初步- 赋范线性空间与内积空间- 线性算子与线性泛函- 正交性与谱理论初步10. 概率论与数理统计- 随机事件与概率的定义- 随机变量与分布函数- 多维随机变量及其分布- 大数定律与中心极限定理- 统计量的分布与假设检验以上是高等数学的主要知识点概要。

每个部分都需要深入学习并通过大量的练习来掌握。

这些知识点构成了高等数学的基础，对于理解和应用更高级的数学概念至关重要。