信息安全数学基础教学大纲

西北师范大学网络与信息安全方向课程教学大纲
信息安全数学基础
一、说明
（一）课程性质
专业课、必修课
（二）教学目的
信息安全数学基础是网络与信息安全方向的一门核心数学基础课，是一门理论性较强的课程。

本课程的目的是为了适应信息安全专业培养目标的要求，使学生学习掌握如何应用信息安全数学中的理论和方法来分析研究信息安全中的实际问题。

（三）教学内容
向学生系统介绍信息安全数学基础的理论和方法，使学生认识信息安全数学在信息安全中的作用，领会其基本思想和分析与解决问题的思路。

要求掌握整除与欧几里得除法、不定方程、同余、同余方程、二次同余式与平方剩余、原根与指标，近世代数（群与群的结构、环论、域的结构、有限域等）等内容。

（四）教学时数
学时数为：72学时
（五）教学方式<宋体小四加粗>
教学方法为课堂教学
二、各章教学内容和要求
第1章整数的可除性
教学要点：
掌握整除的基本概念和性质，最大公因数的概念和广义欧几里得除法的使用，最小公倍数以及素数的基本定理。

重点为整除的概念、广义欧几里得除法。

从基本的整除理论入手，阐明本课程与其他学科的关系，让学生对整个理论框架有个初步的认识，同时也尽量培养学习兴趣。

教学时数：
11学时
教学内容：
1.1 整除的概念欧几里得除法（4学时）
介绍整数的一些基本概念和性质
1.2 整数的表示（1学时）
介绍整数的各种表示形式
1.3 最大公因数与广义欧几里得除法（1学时）
介绍最大公因数与广义欧几里得除法
1.4 整除的进一步性质及最小公倍数（1学时）
介绍最小公倍数的定义和相关性质
1.5 素数算术基本定理（1学时）
介绍算术基本定理和素数的性质
1.6 素数定理（1学时）
介绍素数的判定算法
1.7 习题素数定理（2学时）
讲解本章习题
第2章同余
教学要点：
掌握同余的概念及基本性质、剩余类及完全剩余系的概念，简化剩余类与欧拉函数、欧拉定理和费马小定理、模重复平方计算法。

重点是同余的概念及基本性质、欧拉定理和费马小定理。

在第一章的基础上，展开同余理论的学习，强调知识学习的灵活性，以及加强习题的训练。

教学时数：
13学时
教学内容：
2.1 同余的概念及基本性质（4学时）
介绍同余的基本理论和性质
2.2 剩余类及完全剩余系（2学时）
介绍剩余类及完全剩余系的定义和性质
2.3 简化剩余系与欧拉函数（2学时）
介绍简化剩余系与欧拉函数的定义及其性质
2.4 欧拉定理费马小定理（2学时）
介绍欧拉定理和费马小定理
2.5 模重复平方计算法（1学时）
介绍模重复平方计算法及应用
2.6 习题（2学时）
讲解本章习题
第3章同余式
教学要点：
掌握同余式的基本概念及一次同余式、中国剩余定理、高次同余式的解数及解法以及素数模的同余式。

重点是同余式的基本概念和中国剩余定理。

强调同余式理论与密码学的关系，加强对中国余数定理等的解题方法的掌握，使学生能熟练的进行解题。

教学时数：
10学时
教学内容：
3.1 基本概念及一次同余式（2学时）
介绍一次同余式及解法
3.2 中国剩余定理（2学时）
介绍中国剩余定理及应用
3.3 高次同余式的解数及解法（2学时）
介绍高次同余式的解数及解法
3.4 素数模的同余式（2学时）
介绍同余多项式的求解
3.5 习题（2学时）
讲解本章习题
第4章二次同余式与平方剩余
教学要点：
掌握二次同余式的概念和性质，以及相关的各种概念。

重点是二次同余式的解法，使学生能熟练的进行解题。

教学时数：
11学时
教学内容：
4.1 一般二次同余式（2学时）
介绍二次同余式的定义
4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余（2学时）
介绍平方剩余的计算方法
4.3 勒让德符号（2学时）
介绍勒让德符号的运算法则
4.4 二次互反律的证明（1学时）
介绍二次互反律
4.5 雅可比符号（2学时）
介绍雅可比符号的运算法则
4.6 习题（2学时）
讲解本章习题
第5章原根与指标
教学要点：
掌握指数及其基本性质、原根存在的条件以及原根的求解，指标及 n次剩余。

重点是原根的求解、指标及n次剩余。

注意加强本章理论与前面所学之间的联系。

教学时数：
11学时
教学内容：
5.1 指数及其基本性质（5学时）
介绍指数的性质和原根的一般求解方法
5.2 原根存在的条件（2学时）
介绍原根的特殊求解方法
5.3 指标及n次剩余（3学时）
介绍指标的特性和n次剩余的特殊解法
5.4 习题（1学时）
讲解本章习题
第6章群
教学要点：
掌握群的基本概念以及群同态、同构的概念。

重点是陪集，正规子群和商群的概念。

重点把握群理论与同余理论之间的关系，对前面所讲的内容可以在这章里进行总结。

教学时数：
10学时
教学内容：
6.1 群（4学时）
介绍群的定义和一般性质
6.2同态和同构（2学时）
介绍群的同态和同构
6.3 商群（3学时）
介绍商群的定义和构造方法
6.4 习题（1学时）
讲解本章习题
第7章群的结构
教学要点：
掌握循环群和置换群的概念。

教学时数：
4学时
教学内容：
7.1 循环群（2学时）
介绍循环群的定义和性质
7.2 置换群（2学时）
介绍置换群的定义和性质
第8章域的结构
教学要点：
掌握有限域的基本概念及定理，重点把握有限域理论与同余理论之间的关系。

教学时数：
2学时
教学内容：
8.1 有限域的构造（2学时）
介绍特殊有限域的构造方法
实验部分<宋体四号加粗>
（一）基本要求<宋体小四加粗>
[具体规定应达到的实验能力] <宋体五号>
（二）实验项目总表<宋体小四加粗>
[本部分应列出拟开设的所有实验项目，并规定学生应完成的必做项目数和选做项目数] （三）实验项目内容及要求<宋体小四加粗>
[本部分须依次对项目总表中的各个实验项目的内容、目的、要求及所需主要仪器设备、耗材做出说明]
（参考实验教学大纲要求）
三、参考书目
1、陈恭亮，《信息安全数学基础》，清华大学出版社，2004年第1版。

2、覃中平，《信息安全数学基础》，清华大学出版社，2006年第1版。

3、潘承洞、潘承彪，《初等数论》，北京大学出版社，2003年第2版。

4、李文卿，《数论及其应用》，北京大学出版社，2001年第1版。

本课程使用教具和现代教育技术的指导性意见
本课程使用以课堂教学为主，同时指导学生将主要的算法在计算机上加以实现。